巧设极坐标方程 妙解圆锥曲线问题
圆锥曲线解题技巧归纳
圆锥曲线解题技巧归纳圆锥曲线是数学中的重要主题之一、它涉及到许多重要的概念和技巧，可以用于解决各种问题。
本文将归纳总结圆锥曲线解题的一些常用技巧，帮助读者更好地理解和应用这一主题。
1.判别式法：对于给定的二次方程，可以根据判别式的符号来判断它表示的曲线类型。
当判别式大于零时，曲线是一个椭圆；当判别式小于零时，曲线是一个双曲线；当判别式等于零时，曲线是一个抛物线。
2.参数方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用参数方程来表示。
通过选取合适的参数，可以将曲线表示为一系列点的集合。
这种方法可以简化问题，使得求解过程更加直观和方便。
3.极坐标方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用极坐标方程来表示。
通过将直角坐标系转换为极坐标系，可以更好地描述和分析曲线的特性。
这种方法在求解对称性等问题时非常有用。
4.曲线拟合法：对于给定的一组数据点，可以使用曲线拟合的方法来找到一个最适合的圆锥曲线。
通过将数据点与曲线进行比较，可以得出曲线的参数和特性。
这种方法在实际应用中非常常见，例如地图估算、经济预测等领域。
5.曲线平移法：对于给定的圆锥曲线，可以通过平移坐标系来使其简化。
通过选取合适的平移距离，可以将曲线的对称轴对准到坐标原点，从而更方便地进行分析和求解。
6.曲线旋转法：对于给定的圆锥曲线，可以通过旋转坐标系来改变其方向和形状。
通过选取合适的旋转角度，可以使曲线变得更简单和易于处理。
这种方法在求解对称性、求交点等问题时非常有用。
7.曲线对称性法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其对称性来简化问题。
根据曲线的对称轴、对称中心等特性，可以快速得到曲线的一些重要参数和结论。
8.曲线的几何性质法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其几何性质来解决问题。
例如，对于椭圆可以利用焦点、半长轴、半短轴等参数来求解问题；对于双曲线可以利用渐近线、渐近点等参数来求解问题。
9.曲线的微积分法：对于给定的圆锥曲线，可以通过微积分的方法来求解其一些重要特性。
极坐标圆锥曲线问题
极坐标秒杀圆锥曲线问题一、适用题型二、基本理论：（一）极坐标系、在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），如图对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。
（二）圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（成为标准极坐标方程）。
（1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆；定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。
（2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线.（3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。
（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中：（i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。
（ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a=。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。
由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为：推广1：1+cos epe ρθ=（1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆（2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线（3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线推广2：1-sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线推广3：1+sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（三）常用性质（1）对于圆锥曲线的标准极坐标方程θρcos 1e ep-=，则与之对应的直角坐标方程为：()22221x c y a b++=，当（0<e<1时）；()22221x c y a b++=，当（e>1时,R ρ∈）；22()y p x c =+(当e=1时)（2）记圆锥曲线的统一方程1-sin epe ρθ=，有公式1：2(0)()a ρρπ=+公式2：2(0)()c ρρπ=-公式3：22(0)()b ρρπ= 其中2a 表示椭圆长轴与双曲线实轴长，2b 表示椭圆短轴与双曲线虚轴长，2c 表示焦距。
圆锥曲线求解技巧
圆锥曲线求解技巧圆锥曲线是数学中重要的一个分支，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
它们都具有各自独特的性质和方程形式。
在求解圆锥曲线的问题时，有一些常见的技巧和方法可以帮助我们简化计算和理解问题。
下面是一些圆锥曲线求解技巧的介绍。
1. 几何特征：首先，了解每种圆锥曲线的几何特征是非常重要的。
圆是所有圆锥曲线中最简单的一种，其方程形式为x²+ y²= r²，其中r是圆的半径。
椭圆具有中心点和两个焦点，其方程形式为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)是中心点的坐标，a和b是椭圆在x轴和y轴上的半径。
抛物线则有焦点和直线的焦点形式，其方程形式为y²= 4ax或x²= 4ay，其中a是抛物线的焦距。
双曲线也有焦点和直线的形式，其方程形式为(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1或者(y - k)²/b² - (x - h)²/a² = 1，其中(h, k)是中心点的坐标，a和b 是双曲线在x轴和y轴上的半径。
2. 参数化表示：参数化是一种将一个曲线表示为参数的函数的方法。
通过引入新的参数，我们可以简化对曲线的表示和求解。
例如，对于椭圆，我们可以引入参数化坐标x = a cosθ和y = b sinθ，其中a和b是椭圆的半径。
这样，我们可以将椭圆的方程简化为极坐标形式r = a(1 - e²)/(1 + e cosθ)，其中e是椭圆的离心率。
同样地，对于抛物线，我们可以引入参数化坐标x = at²和y = 2at。
通过参数化，我们可以更容易地计算和理解曲线的性质。
3. 极坐标表示：极坐标是一种将点表示为距离和角度的方式。
对于圆锥曲线，极坐标表示是很有用的，特别是当涉及到对称性和角度的问题时。
专题13极坐标秒解圆锥曲线微点2极坐标秒解圆锥曲线综合训练
专题13 极坐标秒解圆锥曲线微点2 极坐标秒
解圆锥曲线综合训练
12．如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使∠
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点）长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线
参考答案：
（2）设椭圆的左焦点(13,0F -即12MP MF MP MF +=-+()()
22
1310117PF =
--+-=
（3）椭圆的右准线25
3x =
，设椭圆上的点35MF d =， 5||||3
MP MF +=离，即
2522
133
-=
所以5||||3MP MF +的最小值是223所以5
||||3MP MF +的值最小时点M 【点睛】本题考查椭圆内的最值问题，重点考查转化与变形，数形结合分析问题，属于中档题型.
）
记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，假设1203απ
≤≤
，且2123ααπ=+，3143
ααπ=+又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率e 2cos i i i i i a FP PQ e c FP e c α⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ 1
(92FP =
-
答案第17页，共17页。
利用几何法巧解圆锥曲线问题
理，找到两个变量之间的关系，从而求出圆锥曲线
的离心率。
五、利用相似三角形 例 5.已知曲线 C：y2=4x
P1 y H I P
的焦点为 F，过点 F 的直线
l 与曲线 C 交于 P，Q 两点， 且FP +2FQ = 0，试求吟OPQ
F
O
x
的面积。
Q1
Q
解析：如图 5，过点 P
向抛物线的准线作垂线，垂
线的定义、几何性质、特征量与之有机结合，寻找
到问题解决的突破口，从而达到求解问题的目的。
（作者单位：长沙市明德中学）
2018·5C·47
|F1C·| |F2C|=（c+a）（c-a）=b2。
上述问题的解答利用了“经过圆外一点作圆
的两条切线，那么它们的切线长相等”这一性质，
找到了点 C 的坐标和点 P 所满足的几何条件，从 而使问题顺利解决。
四、利用勾股定理
例 4. 如图 4，F 是
双 曲 线 C:
x2 a2
-
y2 b2
=1
（a ＞0，b ＞0） 的 右 焦
图5
足为 P1，过点 Q 向抛物线的准线作垂线，垂足为 Q1，过点 Q 向 PP1 作垂线，垂足为 H，过点 F 向 PP1 作垂线，垂足为I。设|QF|=t，则|PF|=2t，|PQ|=3t，
|PH|=t，|PI |=2t-2，由 吟QPH
吟FPI
可得
|PQ| |QH |
=
|PF| |PI|
，即
3t 2t
1 2
|F1F2|=c 。又
|OM
|逸0，所 以
|OM | 的取值范围是[0，c）。
2018·5C·46
解题教学
极坐标与直角坐标的互化圆锥曲线方程
极坐标与直角坐标的互化圆锥曲线方程在数学中，坐标系是研究和描述点在平面或空间中位置的方法。
坐标系分为直角坐标系和极坐标系两种类型。
在二维平面上，直角坐标系以直角为基础，使用直角坐标(x,y)来表示点的位置。
而极坐标系则使用极径r和极角 $\\theta$ 来描述点的位置。
直角坐标系和极坐标系在表达方式上有所不同，但它们可以互相转换。
本文将重点探讨极坐标与直角坐标之间的转换方法，以及如何通过这些转换得到圆锥曲线的方程。
极坐标与直角坐标之间的转换极坐标与直角坐标之间的转换涉及从一个坐标系到另一个坐标系的点的位置转换。
我们可以通过以下公式将极坐标转换为直角坐标：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\sin(\\theta)\\end{aligned} $$这里，x和y是直角坐标，r是极径，$\\theta$ 是极角。
同样地，我们可以使用以下公式将直角坐标转换为极坐标：$$ \\begin{aligned} r &= \\sqrt{x^2 + y^2} \\\\ \\theta &=\\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right) \\end{aligned} $$这些转换公式可以帮助我们在不同的坐标系中进行方便的计算和描述。
圆锥曲线的方程圆锥曲线是二维平面上的一类重要的曲线。
它包括四种类型：圆、椭圆、双曲线和抛物线。
我们可以使用极坐标或直角坐标来描述这些曲线。
圆的方程在直角坐标系中，圆的方程可以表示为：(x−ℎ)2+(y−k)2=r2其中(ℎ,k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
通过将直角坐标转换为极坐标，圆的方程可以改写为：r=a这里a是圆的半径长度。
椭圆的方程在直角坐标系中，椭圆的方程可以表示为：$$\\frac{(x - h)^2}{a^2} + \\frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$其中(ℎ,k)是椭圆中心的坐标，a和b分别是椭圆在x和y轴上的半轴长度。
极坐标方程在圆锥曲线中的应用
极坐标方程在圆锥曲线中的应用作者：周震来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第08期在圆锥曲线问题中，常出现的长度问题主要有两大类：一是与焦点有关，主要体现在过焦点的弦长、直线的倾斜角、焦准距等相关的问题；二是与原点有关的长度和角度问题。
这两类问题利用圆锥曲线常规解法往往运算量较大，学生通常比较害怕。
如果我们转换思路，合理利用曲线的极坐标方程来解，可以将繁琐复杂的计算简单化，提高解题速度和正确率。
下面通过具体例题来阐述圆锥曲线的极坐标解法。
在极坐标系中，以圆锥曲线的焦点F（椭圆为左焦点，双曲线为右焦点）为极点，对称轴为极轴建立极坐标系，离心率为e，焦点到准线的距离为p。
则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
当以原点为极点，Ox轴为极轴时，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的极坐标方程ρ2=a2b2b2cos2θ+a2sin2θ。
双曲线x2a2-y2b2=1的极坐标方程为ρ2=a2b2b2cos2θ-a2sin2θ。
抛物线y2=2px的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ。
圆心为（a，0），半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ。
一、与焦点有关的问题例1已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）过椭圆的左焦点F作倾斜角为π3的直线交椭圆于A、B两点，且AF∶BF=2∶1，求椭圆的离心率。
分析：在极坐标系中，由于椭圆的极坐标方程是以左焦点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的坐标系，极径的长即为椭圆上的点到焦点的距离，所以可以利用极坐标方程来解决。
解：以椭圆的左焦点F为极点，Fx轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。
则AF=ep1-12e，BF=ep1+12e。
因为AF∶BF=2∶1，所以ep1-12e∶ep1+12e=2∶1。
化简得e=23。
故所求椭圆的离心率为e=23。
运用极坐标方程解决与焦点弦长有关的问题可以简化计算量，提高解题速度和效率。
圆锥曲线问题解题方法 -完整获奖版
圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x y 2231-=，P 为双曲线上一点。
求||||P A P F +12的最小值。
三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3. 已知x y R,∈，且满足方程x y y 2230+=≥()，又m y x =++33，求m 范围。
四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆()x y -+=3422和直线y m x=的交点为P 、Q ，则||||O P O Q ⋅的值为________。
五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆：x y 2224161+=，直线l ：x y 1281+=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于一点R ，点Q 在OP 上且满足||||||O Q O P O R ⋅=2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。
所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。
例 6. 求经过两圆x y x 22640++-=和x y y 226280++-=的交点，且圆心在直线x y --=40上的圆的方程。
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。
求的最小值。
解析：如图所示，双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。
二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数），而再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则消去t，得轨迹方程三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3. 已知，且满足方程，又，求m范围。
解析：的几何意义为，曲线上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆和直线的交点为P、Q，则的值为________。
解：五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆：，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解：如图，共线，设，，，则，点R在椭圆上，P点在直线上，即化简整理得点Q的轨迹方程为：（直线上方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。
高考数学圆锥曲线及解题技巧.doc
圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x y 2231-=，P 为双曲线上一点。
求||||PA PF +12的最小值。
解析：如图所示，双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第二定律知12||PF 即点P 到准线距离。
∴+=+≥=||||||||PA PF PA PE AM 1252二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。
例2. 求共焦点F 、共准线l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F 到准线l 的距离为p （定值），椭圆中心坐标为M （t ，0）（t 为参数）p b c =2，而c t = ∴==b pc pt 2 再设椭圆短轴端点坐标为P （x ，y ），则x c t y b pt ====⎧⎨⎪⎩⎪消去t ，得轨迹方程y px 2=三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3. 已知x y R ,∈，且满足方程x y y 2230+=≥()，又m y x =++33，求m 范围。
解析： m y x =++33的几何意义为，曲线x y y 2230+=≥()上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示k m k PA PB ≤≤ ∴-≤≤+332352m四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
14. 【圆锥曲线篇】秒杀技巧极坐标1
先给大家总结几个圆锥曲线焦半径、焦点弦重要的性质。
性质 1：以圆锥曲线的焦点 p，(椭圆是左焦点、双曲线是右焦点)为极点，对称轴(椭圆是长轴，双曲线是实轴)
ep
b2
为 极 轴 ， 离 心 率 为 e ， 焦 点 到 相 应 准 线 的 距 离 为 p 。 则 AF
大招二 极坐标秒解圆锥曲线选择题
圆锥曲线是高考压轴题经常涉及和考查的对象，解决此类问题若使用常规解法，计算、化简都相当繁琐，运 用焦半径、焦点弦公式则会大大减少运算，非常巧妙，在解题中起到事半功倍的效果。而焦半径、焦点弦公式可 以用圆锥曲线的统一定义推导，圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系在一起。
AF
在 y 轴左侧），则
．
FB
x2
例 7、已知双曲线 C：
a2
y2 b2
（1 a
0, b 0）的右焦点为 F，过点 F 作直线 l 垂直于一条渐近线于 M，交
另一条渐近线于 N，若 MF 2FN ，则 C 的离心率是
例 8、已知抛物线 y2=4x，焦点为 F，点 A（-3，0）． （1）过点 A 的直线与抛物线只有一个交点的直线有几条，并写出直线方程；
经过椭圆 B 点，求 AB 的长。
法 1：解：
的左焦点 作倾斜角为 60°的直线 ，直线 与椭圆相交于 A， 斜率
设 A（ ）,B（ ）
联立得： 化简得： 解得
, ,
∴
法 2：
AB
1
2ep e2 cos2
= a2
2ab2 c2 cos2
8 7
2
第 60 页例 6
巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题
巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题48福建中学数学2015年第9期断：因为0j叶dtanAj在求解三角函数问题时，一定要注意角的范围对解题结果产生的影响．实际上，学生有自己的“思想”，未必会按照教师传授的解题方法求解，当然，“思想”离不开课堂或课外所获取的，但是会受到各种解法的干扰，甚至误导．笔者认为，教师教学时按学生“最近发展区”不断调整、完善教学方案，平时多了解学生的解题思想；学生也多与教师交流、探讨，学习是一个不断优化的过程，只有把教师所教的“渔”化为己有，且不受干扰，才能获得自己的“鱼”，真正提升自己的学习能力，为后续学习和长远发展提供潜质．巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题邱有文福建省龙岩市长汀二中(366300)新课程中极坐标方程的引入，不仅让我们感受数学的艺术性，欣赏了那些奇妙的曲线及其方程，而且还会强化我们解决问题的能力．若极坐标方程恰当地引入到圆锥曲线问题中，解答过程往往能化繁为筒，下面就谈谈极坐标方程在圆锥曲线中的妙用．先介绍圆锥曲线的极坐标方程：圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线三)的距离之比等于常数e的轨迹．建立以焦点F为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系，其统一极坐标方程为P=·-(称为标准极坐标方l—ecoS，T2程)．其中在椭圆、双曲线中P=I一c1．C(1)当0它的左焦点，定直线是它的左准线；(2)当e=1时，方程表示开口向右的抛物线；(3)当e>1时，方程表示双曲线的右支，定点F是它的右焦点．定直线三是它的右准线(若P<0，方程表示整个双曲线)．根据不同的坐标系，有下列推论：推论1P=_，l+eCOS(1)当0(2)当e=1时，方程表示开口向左的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在左焦点的双曲线．推论2ep，(1)当0椭圆；(2)当e=1时，方程表示开口向上的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在上焦点的双曲线．推论3P=_，I十es1rl(1)当0椭圆；(2)当e=1时，方程表示开口向下的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在下焦点的双曲下面就举例分析圆锥曲线中哪几种题型用极坐标方程解答能化繁为简．题型一型如FA=AFB(其中A，B在椭圆上，F为焦点)的圆锥曲线问题例1设，分别为椭圆X／3+Y=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若=5B，则点的坐标是——．解析设椭圆的极坐标方程为：p=ep／(1-eCOS，因为=5，所以ep／(1一ecos0)=5ep／(1+ecos，解得COS0=46／3，所以tan0=,／2／2．于是所在的直线方程为Y=(√2／2)(一√2)，代入x／3+y=l，解得A(0，±1)．例2已知以F为焦点的抛物线Y=4x上的两点，满足F=3FB，则弦AB的中点到准线的距2015年第9期福建中学数学49离为．解析设抛物线的极坐标方程为：p=p／(1+cos~，因为『=p／(1一cosO)，=p／(1+cosO)，：3历．所以P／(1一cos0)=3p／(1+cos0)．于是有COS0=1／2，所以Jf=2／(1一cosO)=4，Il=2／(1+cosO)=4／3，(IFl+l船I)×(1／2)=8／3，即填8／3．题型二涉及到焦点弦长问题例3如图1，设P是圆+Y=25上的动点，点D是P在轴上的射影，为PD上一点，且『MDI=(4／5)lPDI．(I)当P在圆上运动时，求点的轨迹C的方程；(II)求过点(3，0)且斜率为h(x)>h(1)=0的直线被C所截线段的长度．解(I)／25+Y／16=1；(Ⅱ)设椭圆的极坐标方程为P=ep／(1+ecosO)，P=a。
利用极坐标解圆锥曲线题
利用极坐标解题知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.（复旦自招）确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 2225155()()882b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：转化为直角坐标（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。
巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题
巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题∗陈㊀蕾(金华第一中学,浙江金华㊀321000)摘㊀要:圆锥曲线的统一极坐标方程是高中数学中一种重要而简便的工具.文章利用这一工具来解决高考考查的热点之一 圆锥曲线的焦点弦问题.在解决的过程中我们看到这一工具的精准有效和大大减少繁琐运算的威力,同时也体现了对同一问题从不同视角采用不同的技术方法时智力上的创造力.关键词:极坐标方程;焦点弦;精准解法中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)04-0014-03㊀㊀高中数学中的圆锥曲线问题常采用代数运算解决,但大多数圆锥曲线问题计算量不但大而且繁琐,因此笔者一直在寻求解决此类问题的简便方法或者减少运算量的技巧.极坐标方程是高中数学新课程中的选修内容,我们发现一些圆锥曲线问题如果使用圆锥曲线统一极坐标方程ρ=ep1-e cosθ来求,不但精准有效而且大大减少繁琐的运算.下面以圆锥曲线中的焦点弦问题为例来说明,旨在抛砖引玉.1 圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆㊁双曲线㊁抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比为常数e的点的轨迹.如图1所示,以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点或抛物线的焦点)F为极点,过点F作相应准线的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.图1在极坐标系中,椭圆㊁双曲线㊁抛物线方程得到了完美的统一:ρ=ep1-e cosθ,其中p是定点F到定直线L的距离,当0<e<1时,方程表示椭圆;当e>1时,方程表示双曲线;当e=1时,方程表示开口(上接第13页)径,将不等式(8)简化到不等式(11),再通过不等式(12)简化到不等式(13),最后构造出了函数(14),利用函数的性质,找到了证明思路.在高三数学复习解题教学设计及其课堂实施中,不少数学教师(就像教师甲一样)在没有仔细探究具体数学问题思路的情况下,就直接进入课堂教学环节,如此造成的结果是:只能将解决问题结果的逻辑表达过程不加改变地传达于学生,如此堵塞了学生探究解题思路的心理来源,逼迫学生不得不采用记忆题型的途径应对比较难一些的高考题.本文通过这道高考压轴题,相应地构造合适的函数作为解决问题关键环节的桥梁,将教师甲自己(或者是来源于其他人的答案)探究思路的活动所形成的逻辑表达结果,转化为启发学生构造具体函数的心理过程.以此挑开了探究命题证明思路的逻辑面纱,启发学生在课堂现场上进行数学构造,鼓励他们进行火热的思维与心理活动.对此,一线数学教师要思之再思,慎之又慎.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀张昆.整合数学教学中设计问题的取向:透过 观念性问题 与 技术性问题 的视点[J].中小学教师培训,2019(6):53-56. [2]㊀十三院校协编组.中学数学教材教法总论[M].北京:人民教育出版社,1980:27. [3]㊀张昆,罗增儒.数学解题教学设计研究:指向萌生数学观念的视点[J].中学数学杂志,2017(11):15-18.㊃41㊃中学教研(数学)2021年第4期∗收文日期:2020-11-19;修订日期:2020-12-20作者简介:陈㊀蕾(1991 ),女,浙江诸暨人,中学一级教师.研究方向:数学教育.向右的抛物线.2㊀应用实例㊀㊀例1㊀如图2,过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(其中a >b >0)的左右焦点F 1,F 2分别做斜率为22的直线交椭圆C 的上半部分于点A ,B ,记әAOF 1,әBOF 2的面积分别为S 1,S 2,若S 1ʒS 2=7ʒ5,求椭圆C 的离心率e.图2分析㊀一般的思路是:首先延长BO 交椭圆于点Bᶄ,利用用两三角形面积比例关系得到比例关系y A ʒy B =-7ʒ5,再设直线ABᶄ的方程并与椭圆方程联立,最后用韦达定理解决.这样思路虽然明确,但计算量很大,对学生的运算能力要求较高,学生在处理的时候准确度也不高,颇有点小题大做之嫌.但如果建立极坐标系,采用椭圆的极坐标方程解决此题,则计算量很小,而且不容易出错,是真正意义的小题小做.解法1㊀(韦达定理法)作点B 关于原点的对称点Bᶄ,设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),Bᶄ(x Bᶄ,y Bᶄ),可得S 1S 2=y A-y Bᶄ=75,将直线方程的ABᶄ设为x =24y -c,与椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1联立可得(b 2+8a 2)y 2-42b 2cy -8b 4=0.利用韦达定理得到㊀y A +y Bᶄ=42b 2cb 2+8a 2,㊀y A y Bᶄ=-8b 4b 2+8a 2,㊀Δ>0,从而㊀(y A +y Bᶄ)2y A y Bᶄ=42b 2c b 2+8a 2()2-8b 4b 2+8a 2=-4c 2b 2+8a 2=y Bᶄy A +y A y Bᶄ+2=-57+-75+2=-435,整理可得e =c a =12.解法2㊀(极坐标法)以椭圆左焦点F 1为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep 1-e cos θ,其中tan θ=22,cos θ=13.设A(ρ1,θ),Bᶄ(ρ2,π+θ),则ρ1=ep 1-e cos θ=ep1-13e ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=ep1+13e ,又S 1ʒS 2=7ʒ5,得ρ1ρ2=1-13e1+13e =75,从而椭圆离心率e =12.点评㊀解法1为常规解法,先将面积比转化为坐标比,用到了对称思想,然后借助韦达定理来表达坐标关系,进而运算得到a ,b ,c 的关系求出离心率.因为是字母运算,计算量偏大.而建立极坐标系,将长度用角度θ表示,可以统一处理,使得运算简便.通过以上两种解法的对比,我们发现在表达同一个几何关系或数量关系的时候,采用极坐标方程有时候更加简便有效[1].以下再用两个例子来说明.图3例2㊀如图3,已知过椭圆E :x 22+y 2=1的左焦点F的直线L 交椭圆于点A ,B ,求|AF |+2|BF |的最小值.极坐标解法㊀以椭圆左焦点F 为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep1-e cos θ.根据椭圆方程可得e =22,p =1,设A(ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),则㊃51㊃2021年第4期中学教研(数学)ρ1=ep1-e cos θ=221-22cos θ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=221+22cos θ.而|AF |即为ρ1,|BF |即为ρ2,则ρ1+2ρ2=2211-22cos θ+21+22cos θ()=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ.令t =6-2cos θ,则ρ1+2ρ2=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ=22㊃t-t 22+6t -16,当t =42时,上式取到最小值1+324.点评㊀本题常规方法可参照例1的解法1,计算量非常大.我们这里直接采用极坐标方程来解决,发现极坐标方程把两个长度直接表达成三角函数cos θ来运算,得到关于cos θ的表达式,然后再利用换元法将它转化为关于t 的二次函数求最小值,表达上简洁快捷,便于计算.图4例3 如图4,已知抛物线y 2=4x ,作过焦点且互相垂直的两条弦AB ,CD ,求|AB |+|CD |的最小值.解㊀以抛物线焦点F 为极点㊁x 正半轴为极轴建立极坐标系,得抛物线极坐标方程为ρ=21-cos θ.设A (ρ1,θ),B (ρ2,π+θ),C ρ3,π2+θ(),D ρ4,3π2+θ(),则|AB |=ρ1+ρ2=21-cos θ+21-cos (π+θ)=4sin 2θ,|CD |=ρ3+ρ4=21-cosπ2+θ()+21-cos 3π2+θ()=4cos 2θ,从而|AB |+|CD |=4sin 2θ+4cos 2θ=16sin 22θ,故当θ=π4和θ=3π4时,|AB |+|CD |取到最小值16.点评㊀这个问题是一道比较经典的抛物线问题,涉及的量比较多,且表达起来比较困难,学生在处理的时候很难达到统一协调,阻碍比较多,很容易在多个量的运算中迷失方向.我们这里采用圆锥曲线极坐标方程来解,使得所有的量都能用同一个角θ来表示,最后转化为简单的三角函数运算问题,解题方向明确,目标单一容易实现,运算量少.奥地利思想家马赫提出了一个思维的经济原则,又称 费力最小原则 ,参照这一原则,我们在寻求表达事物的本质上需要从不同的角度㊁采用不同的工具来实现我们的目标.通过上面的几个简单的例子,我们发现圆锥曲线极坐标方程在解决圆锥曲线焦点弦问题上的精准有效和简便,当然在解决其他一些圆锥曲线问题上也是非常有效的.其根源在于圆锥曲线在表达数学中的某些几何关系或数量关系时有天然的优势.本文只是浅尝辄止地想表达一个理念,即如何提升我们在高中数学教育教学中的智力上的创造力,这种创造力更多地体现在:我们可以对同一问题采用不同的视角和思想方法来处理,更加跟上我们这个日新月异的科技时代[2].事实上,高考考查类似的问题很多,也期望读者能够触类旁通.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀舒镜霖.用圆锥曲线的极坐标方程解高考题与传统方法之比较[J ].考试周刊,2011(40):3-4.[2]㊀龚袭. 极坐标 思想速解圆锥曲线焦点弦问题[J ].数理化解题研究,2017(7):43.㊃61㊃中学教研(数学)2021年第4期。
极坐标方程在解决与焦点有关的圆锥曲线问题中的应用
极坐标方程在解决与焦点有关的圆锥曲线问题中的应用作者：李秀梅来源：《读写算》2018年第31期摘要学生们在解决极坐标方程在解决与焦点有关的圆锥曲线问题时，需灵活运用极坐标方程与圆锥曲线问题。
关键词高考；圆锥曲线；极坐标方程中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）31-0219-01近五年高考全国卷每年出一道大题考查极坐标、参数方程或绝对值不等式，大部分学生选择极坐标参数方程，解题方法都是把极坐标参数方程化为直角坐标求解，不仅解题过程繁琐，也失去了考查极坐标参数方程的目的。
其实极坐标方程在解决直角坐标系下与焦点有关的圆锥曲线问题中有广泛的应用。
一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：平面内到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹。
以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系。
椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：。
其中p是定点F到定直线的距离，p>0，当0当e>1时，方程表示双曲线，若ρ>0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ二、圆锥曲线极坐标方程的应用（一）焦点弦问题【典例1】（2008年海南卷）过椭圆的焦点作一条斜率为2的直線与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积。
简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式求弦长，然后利用公式直接得出答案。
注：用直角坐标求弦长过程比较烦杂（请参考高考解析）。
【典例2】（2009理科12文12）已知椭圆的右焦点为，右准线为，点，线段AF交C 于点B，若，则 =（）A. B. C. D.解析：选取右焦点为极点，由题意知： = 设AF与X轴所成的角为，由极坐标方程可得，又因为所以，，解得，所以。
（二）定值问题【典例1】经过椭圆的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD，求证为定值。
证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为，又设则代入可得，，则注：此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立，注意使用的范围。
用极坐标解决圆曲线焦点弦问题
用极坐标解决圆曲线焦点弦问题
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用极坐标解决圆锥曲线焦点弦问题-中学数学论文
用极坐标解决圆锥曲线焦点弦问题
邓晓宇
（乐山外国语学校，四川乐山614000）
摘要：圆锥曲线试题在考试中的计算量和计算能力要求都比较高，对很多学生很困难。
用新课程中圆锥曲线统一的极坐标方程解答，那么圆锥问题的思路和解答就变得简单很多，本文就用极坐标解决圆锥焦点弦问题做点抛砖引玉的工作。
关键词：极坐标；圆锥曲线；数学教学
中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-02-0067-01 一、基础知识。
由“繁简差异”看“极坐标法”解圆锥曲线问题
（ １ ）求 椭 圆 Ｃ 的 方 程 ；
（ ２ ）过原 点 ０ 的 ２条 互 相 垂 直 的 射 线 与 椭 圆 Ｃ 分别 交 于 Ａ、 Ｂ ２点． 求证： 点 Ｏ 到直 线 ＡＢ 的距 离 为
卜ｃ Ｏ 詈
ｐ ２ 一 — — — 一（ 一 ２ ～ ） Ｐ’ Ｐ，
定值 ， 并 求 出这个 定值 。
ｎ
３＋ ２
．
焦点 分别 为 Ｆ 、 Ｆ ， 离 心率 为 寺 ， 过 Ｆ 的直 线 ｚ 与椭
圆 Ｃ交 于 Ｍ 、 Ｎ ２点 ， △ Ｍ ＮＦ 。的 周 长 为 ８ ．
设Ａ Ｃ ｐ ， 詈） 、 Ｂ （ ｐ 。 ， 丌 ＋ 詈 ） ， 所以
ｐ ｌ Ｄ １ 一 — — — ～ 一 一（ ２ ＋ ＿ Ｔ ＿ ， ） Ｐ’ ，
所以 丽 Ｉ Ａ ＦＩ 一 （ ３ ＋ ＋ Ｚ￣ ｒ ２
＿
—
３ ） 当ｅ ＞ １时 ， 式 ① 表 示 以右 焦 点 为 极 点 的双 曲
线 的右支 ．
３ 变 式 研 究
－
变 式 已 知 椭 圆 Ｃ． ｘ ＠ｙ － 一 １（ 口 ＞６ ＞ｏ ） 的 ２ 个
２ 拓 展 探 究
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王 凯辉
根据 圆锥 曲线 的 统一 定 义 ： 平 面 上 到定 点 的距离 与 到定直 线 的距 离 （ 定点不在定直线 上） 之 比为 常数 （ 记为 ｅ ） 的点 的集合 ， 其 中定 点称 为焦 点 ， 定 直线 称 为 准线 ． 如图 １ ， 以 定 点 ０ 为 极
一
．
’
①
析方 法 １易 知 直 线 Ａ Ｂ 方 程 一 － ｚ 一 号 ， 与 解 得
抛 物 线 方 程ｙ ２ ＝ ２ ｐ ｚ 联 立， 得 ｚ ～ ３ ｐ ｚ ＋ 等一 ０ ， 由 根
高考数学复习历年考点题型专题讲解44---巧妙设点研究圆锥曲线问题(解析版)
高考数学复习历年考点题型专题讲解44巧妙设点研究圆锥曲线问题解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解析几何主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的两种解法分属于设点法和设线法．一般地，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用得好，解题过程往往会显得很简捷．解析几何大题肩负着对计算能力考查的重任，所以必要的计算量是少不了的，不要一遇到稍微有一点计算量的题目就想放弃，坚持到底才是胜利一、题型精讲 解题方法与技巧题型一、巧妙设点，降低运算量例1、(2018南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的下顶点为B ，点M ，N 是椭圆上异于点B 的动点，直线BM ，BN分别与x 轴交于点P ，Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，32处时，点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，0.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设直线MN 交y 轴于点D ，当点M ，N 均在y 轴右侧，且DN →＝2NM →时，求直线BM 的方程．【分析】思路分析第(2)问中由DN →＝2NM →，可得2x M ＝3x N .可以用直线BM ，BN 的方程，与椭圆联立得到横坐标，即可求出直线BM 的斜率k ；也可以用点M ，N 表示直线方程得出点P ，Q 坐标，再利用向量关系得出坐标之间的关系，最后回代椭圆求解．【解析】 (1)由N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233，0，得直线NQ 的方程为y ＝32x － 3.(2分)令x ＝0，得点B 的坐标为(0，－3)．所以椭圆的方程为x2a2＋y23＝1.(4分)将点N 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，32代入，得（3）2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3223＝1，解得a 2＝4.所以椭圆C 的标准方程为x24＋y23＝1.(8分)(2)解法1(设线法)设直线BM 的斜率为k(k ＞0)，则直线BM 的方程为y ＝kx － 3.在y ＝kx －3中，令y ＝0，得x P ＝3k ，而点Q 是线段OP 的中点，所以x Q ＝32k .所以直线BN 的斜率k BN ＝k BQ ＝0－（－3）32k －0＝2k.(10分) (注：由k BM ＝OB OP ，k BN ＝OBOQ ，及OP ＝2OQ 也可得到k BN ＝2k BM .) 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x24＋y23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－83kx ＝0，解得x M ＝83k3＋4k2 .用2k 代替k ，得x N ＝163k3＋16k2 .(12分)又DN →＝2NM→，所以x N ＝2(x M －x N )，得2x M ＝3x N .(14分)故2×83k 3＋4k2＝3×163k 3＋16k2，又k ＞0，解得k ＝62.所以直线BM 的方程为y ＝62x － 3.(16分)解法2(设点法)设点P ，Q 的坐标分别为(2t ，0)，(t ，0)，t ＞0，则直线BM 的方程为y ＝32t x －3，(10分)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32t x －3，x24＋y23＝1，消去y ，得(1＋t 2)x 2－4tx ＝0，解得x M ＝4t 1＋t2，用12t代替t ，得x N ＝8t4＋t2.(12分)又DN →＝2NM→，所以x N ＝2(x M －x N )，得2x M ＝3x N .(14分)故2×4t 1＋t2＝3×8t 4＋t2，又t ＞0，解得t ＝22，所以k ＝62.所以直线BM 的方程为y ＝62x － 3.(16分)解法3(设点法)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由B(0，－3)，得直线BM 的方程为y ＝y1＋3x1x －3， 令y ＝0，得x P ＝3x1y1＋3.同理，得x Q ＝3x2y2＋3. 而点Q 是线段OP 的中点，所以x P ＝2x Q ， 故3x1y1＋3＝2×3x2y2＋3.(10分)又DN →＝2NM →，所以x 2＝2(x 1－x 2)，得x 2＝23x 1＞0，从而1y1＋3＝43y2＋3，解得y 2＝43y 1＋33.(12分)将⎩⎪⎨⎪⎧x2＝23x1，y2＝43y1＋33代入椭圆C 的方程，得x219＋（4y1＋3）227＝1.又x21＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－y213，所以4⎝⎛⎭⎪⎫1－y2139＋（4y1＋3）227＝1，(14分) 即3y21＋2y 1－3＝0，解得y 1＝－3(舍)或y 1＝33.又x 1＞0，所以点M 的坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫423，33.故直线BM 的方程为y ＝62x － 3.(16分)例2、(2018南京学情调研）如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，一条准线方程为x ＝2.过椭圆的上顶点A 作一条与x 轴，y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P ，P 关于x 轴的对称点为Q .(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线AP ，AQ 与x 轴交点的横坐标分别为m ，n ，求证：mn 为常数，并求出此常数．【解析】(1) 因为c a ＝22，a2c ＝2,所以a ＝2，c ＝1，所以b ＝a2－c2＝1.故椭圆的方程为x22＋y 2＝1.(4分)(2) 解法1由(1)知A (0,1)，设点P 坐标为(x 1，y 1)，则点Q 坐标为(x 1，－y 1)．因为k AP ＝y1－1x1－0＝y1－1x1，所以直线AP 的方程为y ＝y1－1x1x ＋1.令y ＝0，解得m ＝－x1y1－1.(8分)因为k AQ ＝－y1－1x1－0＝－y1＋1x1，所以直线AQ 的方程为y ＝－y1＋1x1x ＋1.令y＝0，解得n ＝x1y1＋1.(12分)所以mn ＝－x1y1－1×x1y1＋1＝x211－y21.(14分)又因为(x 1，y 1)在椭圆x22＋y 2＝1上，所以x212＋y 21＝1，即1－y 21＝x212，所以x211－y21＝2，即mn ＝2.所以mn 为常数，且常数为2.(16分)解法2设直线AP 的斜率为k (k ≠0)，则AP 的方程为y ＝kx ＋1，令y ＝0，得m ＝－1k .(6分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x22＋y2＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，解得x A ＝0，x P ＝－4k1＋2k2，(8分)所以y P ＝kx P ＋1＝1－2k21＋2k2，则点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k2，－1－2k21＋2k2.(10分)所以k AQ ＝－1－2k21＋2k2－1－4k1＋2k2＝12k ，故直线AQ 的方程为y ＝12k x ＋1.令y ＝0，得n ＝－2k ，(14分)所以mn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ×(－2k )＝2.所以mn 为常数，常数为2.(16分)解后反思解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解决解析几何问题主要有两种方法：一是设线法；二是设点法．此题的解法1就属于设点法，解法2就属于设线法．一般的，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用的好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目，方法选择的不同，差别会很大，因此要注意从此题的解法中体会设点法和设线法的不同．题型二、设而不求法，降低运算量例3、【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为12+，此时G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2.所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23Ac t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，12212221343242S m S m m m m m =-=--=+++++.当m =12S S取得最小值1+G （2，0）例4、(2016南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2,1)在椭圆C 上．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点.①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积；②求证：OP ⊥OQ .思路分析 (1) 由e ＝c a ＝22，得a ∶b ∶c ＝2∶1∶1，用b 表示a 更方便； (2) ①设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，由直线l 与圆O 相切可先求出k ，再求出PQ 的长即可．②设l ：y ＝kx ＋m ，则只要证OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0.联列直线与椭圆方程可得x 1＋x 2，x 1x 2均可用k ，m 表示．由直线l 与圆O 相切，可得k 与m 的关系式．规范解答 (1) 由题意，得c a ＝22，4a2＋1b2＝1，解得a 2＝6，b 2＝3.所以椭圆的方程为x26＋y23＝1.(2分)(2) ①解法1椭圆C 的右焦点F (3，0)．设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k|k2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．当k ＝2时，(4分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，x 26＋y23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43＋325，y ＝－6＋65或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43－325，y ＝－6－65.所以点P ，Q 的坐标分别为43＋325，－6＋65，43－325，－6－65， 所以PQ ＝665.(6分)因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△OPQ 的面积为635.因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，△OPQ 的面积也为635.综上所述，△OPQ 的面积为635.(8分)解法2椭圆C 的右焦点F (3，0)．设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k|k2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．当k ＝2时，(4分)把切线方程y ＝2(x －3)代入椭圆C 的方程，消去y 得5x 2－83x ＋6＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝835.由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e (x 1＋x 2)＝2×6－22×835＝665.(6分)因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△OPQ 的面积为635.因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，△OPQ 的面积为635.综上所述，△OPQ 的面积为635.(8分)②解法1 (i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ .(10分)(ii)若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0.因为直线与圆相切，所以|m|1＋k2＝2，即m 2＝2k 2＋2.将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2，x 1x 2＝2m2－61＋2k2.(12分)因为OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)×2m2－61＋2k2＋km ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k2＋m 2. 将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP →·OQ→＝0，所以OP ⊥OQ . 综上所述，OP ⊥OQ .(14分)解法2设切点T (x 0，y 0)，则其切线方程为x 0x ＋y 0y －2＝0，且x 20＋y 20＝2.(i)当y 0＝0时，则直线PQ 的直线方程为x ＝2或x ＝－ 2.当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ .(10分)(ii)当y 0≠0时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x0x ＋y0y －2＝0，x26＋y23＝1，消去y 得(2x 20＋y 20)x 2－8x 0x ＋8－6y 20＝0.设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8x02x20＋y20，x 1x 2＝8－6y202x20＋y20.(12分)所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋2－x 0x 12－x 0x 2y 20＝－6x 20＋y 20＋122x 20＋y 2. 因为x 20＋y 20＝2，代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .综上所述，OP ⊥OQ .(14分)解后反思：对于题目中要设的点比较多，就可以大胆的设点，找到点之间的关系，达到不要求解的目的。