第四章 线性系统的根轨迹法(二)
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第四章 线性系统的根轨迹法-4-2——【南航 自动控制原理】
根轨迹起于开环极点，终于开环零点。
由根轨迹方程，有
m
n
K (s zi )+ (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹起点 K =0 s pi , i 1, , n n个开环有限极点
由根轨迹方程，又有
m
n
(s zi )+(K )1 (s pi )=0
i 1
i 1
根轨迹终点 K s zi , i 1, , m m个开环有限零点
a
(2k 1)
nm
， k 0, 1,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
=
(a1 n
b1 m
)
由多项式的根与系数关系
n
n
a1 pi b1 zi
i 1
i 1
n
m
pi z j
a
i 1
j 1
nm
例4.2-1 已知单位反馈系统的开环传递函数为
K G(s)
s(s 3) (s )2 2
0, 0
试分析开环极点参数变化时渐近线。
1
n
1
j1 d z j i1 d pi
分离点处相邻两条根 轨分迹离分点支处切一线共之有间多的少
夹条角根等轨于迹分支/？l
分离点处根轨迹的分离角d 为
d (2k 1) / l k 0,1,
分离点处，根轨迹进
侧的开环实有限零极点数为奇数。
系统的开环零极点分为 两类：实数零极点和复数 零极点，且复数零点或复 数极点必共轭成对。
系统开环零极点的分布为
图示，取实轴任一点 s=s1
·对复共轭开环极点
p4 j, p5 p4 j,
(s1 j)+(s1 +j)=2
夏德钤《自动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】
夏德钤《⾃动控制原理》（第4版）章节题库-第4章线性系统的根轨迹分析【圣才出品】第4章 线性系统的根轨迹分析1．系统的开环传递函数试证明：点在根轨迹上，并求出相应的和系统开环增益K。
证明：根据系统的开环传递函数可知，系统的开环极点为由闭环根轨迹的相⾓条件可得：当时，故点在根轨迹上。
由闭环根轨迹的幅值条件可知，此时即相应的根轨迹增益和系统开环增益仿真曲线如图4-1所⽰。
MATLAB程序：exe402.m２．设单位反馈控制系统的开环传递函数为试⽤解析法绘出K*从零变到⽆穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：（﹣2＋j0），（0＋j1），（﹣3＋j2）解：闭环传递函数为则闭环特征⽅程为闭环特征根为当。
可逐个描点得闭环根轨迹如图4-2所⽰，从图4-2中明显可见，只有（－2，j0）在根轨迹上。
图4-2３．设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘制闭环根轨迹图。
解：（1）系统的开环传递函数令为根轨迹增益。
①实轴上的根轨迹：[0，－2]，[－5，－∞）。
②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜解得④根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征⽅程令s＝jω，将其代⼊上式可得即由于ω≠0，故可解得则根轨迹与虚轴的交点为±j3.16。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-3所⽰。
图4-3 系统（1）概略根轨迹图（2）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹[0，－2]，[－3，－5]。
③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－0.89。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-4所⽰。
图4-4 系统（2）概略根轨迹图（3）系统的开环传递函数①实轴上的根轨迹：[－1，－3]，[－10，－5]。
②根轨迹的渐近线：③根轨迹的分离点：根轨迹的分离点坐标满⾜通过试凑可得d＝－7.27。
根据以上⼏点，可以画出概略根轨迹如图4-5所⽰。
图4-5 系统（3）概略根轨迹图（4）系统的开环传递函数实轴上的根轨迹为[－2，－1]，系统概略根轨迹如图4-6所⽰。
第四章根轨迹法4-2
P( s )Q( s ) P( s )Q( s ) 0
即 其中
P( s ) Q( s ) P( s ) Q( s )
d [ln P(s)] d [ln Q(s)]
ds
ds
P(s) (s z1 )(s z2 ) (s zm )
Q(s)- (s p1 )(s p2 ) (s pn )
的 j 值。工作在此点时，系统处于临界稳定状态。
介绍二种常用的求交点的方法。 (1) 利用特征方程求取。用 j 替代s，令虚部、实部分别等
于 零，求得 和对应的K1。 (2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方程
求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯 阵列中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
i1
ib
8 虚轴交点 （1）满足特征方程 1 G( j)H( j) 0 的 j 值；
（2）由劳斯判据求临界稳定时的特征根；
9
根之和与 根之积
n
pcj
n
p
j
j 1
j 1
n
j 1
pcj
1
n
n
j 1
pj
K1
m
i 1
zi
19
例1: 系统的开环传递函数 试画根轨迹。
G(s)H(s)
K1
s(s 4)(s 6)
ω4 -36ω2 K0 jω80 - 8ω2 0
ω4 -36ω2 K0 0
jω80 - 8ω2 0
求得 ω 10 , K0 260
( (4)出射角
极点-p3的出射角 ： 3 180 (2k 1) (2 90 180 2 ) 90
同理不难求得极点-p4处的出射角： 4 90
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
自动控制原理(第三版)第4章根轨迹法(2)
dK * (4 s 3 24 s 2 72 s 80) 0 ds b1 2 b2, 3 2 j 2.45
p3、p4的连接线上
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自动控制原理
规则6
根轨迹的出射角和入射角
入射角 根轨迹进入开环复 数零点处的切线方向与实 轴正方向的夹角
i 1 i 1
d m d n ln (s1 pi ) ln (s1 zi ) ds1 i 1 ds1 i 1
或
m d d ln( s p ) ln(s1 zi ) 1 i ds ds i 1 i 1 1 1
n
即得
G( s) K ( s 1) s( s 4)(s 2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4
一个开环零点：-1
渐近线与实轴交点：
a＝ i 1
n-m=4-1=3
p z
i i 1
n
m
i
nm
(0) (1 j) (1 j) (4) (1) 5 4 1 3
n m
或
(s
i 1
n
1
pi ) K ' ( s1 zi )
i 1
m
m d n ' d ( s p ) K (s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1
两式相除
d n d m ( s p ) ( s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1 n m (s1 pi ) (s1 zi )
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p3、p4的连接线上
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自动控制原理
规则6
根轨迹的出射角和入射角
入射角 根轨迹进入开环复 数零点处的切线方向与实 轴正方向的夹角
i 1 i 1
d m d n ln (s1 pi ) ln (s1 zi ) ds1 i 1 ds1 i 1
或
m d d ln( s p ) ln(s1 zi ) 1 i ds ds i 1 i 1 1 1
n
即得
G( s) K ( s 1) s( s 4)(s 2 2s 2)
四个开环极点：0、-1+j、-1-j、-4
一个开环零点：-1
渐近线与实轴交点：
a＝ i 1
n-m=4-1=3
p z
i i 1
n
m
i
nm
(0) (1 j) (1 j) (4) (1) 5 4 1 3
n m
或
(s
i 1
n
1
pi ) K ' ( s1 zi )
i 1
m
m d n ' d ( s p ) K (s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1
两式相除
d n d m ( s p ) ( s1 zi ) 1 i ds1 i 1 ds1 i 1 n m (s1 pi ) (s1 zi )
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根轨迹法的基本概念
K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。
自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
q 0，2， 1 … ， G(S ) H (S ) 180(2q 1), 以上条件是判断复平面上某点是否在系统根 轨迹上的充要条件。
一、绘制 根轨迹的 条件
• 系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即 时间常数表达式和零极点表达式。 （1）时间常数表达式： （2）零极点表达式：
jω ∞
如果系统的开环增益K（根轨迹
增益K1）从0向变化时，系统闭环 曲线，如图所示。 这样获得的曲线称为K1从0向变
K=0 × 特征根在复平面上的变化情况绘制为 -1
K K=0.25 K=0 × K ∞ σ
化时系统的根轨迹。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化
参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描
nm
当q=0时，求得的渐进线倾角最小，q增大，倾角值将重 复出现，而独立的渐进线只有（n－m）条．
（2）渐近线与实轴的交点坐标为：
a
p
i 1
n
i
zj
j 1
m
nm
在计算时，考 虑到共轭复数极点、 零点的虚部总是相 互抵消，只须把开 环零、极点的实部 代入即可．
K1 【例4-3】设系统的开环传递函数为：G(S ) H (S ) S (S 1)(S 2)
幅值条件改写
jω ∞
j )
(s z (s
i 1 j 1 n
m
K
pi )
1 K1
K=0 × -1 K
K=0.25 K=0 ×
σ
当 K1 0 ，必有Ｓ＝ 当 K1 ，必有Ｓ＝
pi ，即起点是开环极点。∞
zj
，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处 起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋 于无穷远处。
第四章 根轨迹分析法 2
4. 牛顿余数定理
（1）求出表达式 Ps D(s)N(s) N(s)D(s)
（2）分析根轨迹，估计在其分离点（或会合点）可能出现的实轴 坐标附件找一个试探点 s1。
（3）用 s s1 去除 Ps ，得出商多项式 Qs 及余数，该余数记
为 R1 ；
（4）再用 s s1 去除商多项式 Qs，得第二个余数，定义为 R2 ；
s2 3
k gp
s1 6-kgp 3
s0 kgp
令 6-kgp 3
0 kgp
6
由辅助方程求交点坐标：
3s2 Hale Waihona Puke 6 0s1,2 2 j
法则10 闭环极点的和与积
若n-m>=2，则有
n
n
(sj ) ( pj ) const
j1
j1
证明：
开环传递函数：
m
根轨迹的入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点出的切线同正 实轴的夹角。
j
[s]
p1 p1 z1
z1
0 z2
z2 p2 p2
m
n
先求出射角： (s zi ) (s pj ) 180o (2k 1)
i 1
j 1
• s1 →-p1则 0, (s1 pa ) a
1802k 1 (180 arctan1) arctan 1 90 71.6
j
2
p4 p3 71.6
7) 根轨迹同虚轴的交点：
-p3
1.1j
p3
j
特征方程 s4 5s3 8s2 6s kg 0
令s j
-p2 s1
-3
4第四章__根轨迹法(2)
3
2
1
Imag Axis
0
-1
-2
-3 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
第四章 线性系统的根轨迹分析
2)确定内环的闭环极点 要求内环的反馈系数 内环的特征方程 3.2<Kf<3.5
( s 0.6)(s2 2s 4) K f 0
在实轴上选取试验点进行试探，P1=-1.6时，Kf =3.36 可求得内环的另外两个闭环极点为 p2 0.5 j1.83 p3 0.5 j1.83 3)绘制外环的根轨迹图 外环的开环传递函数
（2）根轨迹的起点 （3）实轴上的根轨迹
0，-1，-3
终点 均为∞
[0 , ] [3 , 1]
第四章 线性系统的根轨迹分析
（4）根轨迹的渐近线
a
n
2k 180 0 ,120 nm
m j i 1 i
k 0、 1
a＝
( p ) ( z )
i 1 j与虚轴的交点 (相同) （9）闭环极点的和 (相同)
第四章 线性系统的根轨迹分析
例：控制系统方框图如下所示
R(s )
Kc s2
K0 s( s 1)
C (s )
1 s3
系统的内环为正反馈，绘制内环根轨迹图。 解： （1）内环的开环传递函数
G1 ( s ) H1 ( s ) K0 s( s 1)(s 3)
第四章 线性系统的根轨迹分析
4-3
广义根轨迹
其它种类的根轨迹: 1.参数根轨迹
2.多回路系统的根轨迹 3.正反馈回路和零度根轨迹
2
1
Imag Axis
0
-1
-2
-3 -2
-1.5
-1
-0.5 Real Axis
0
0.5
1
第四章 线性系统的根轨迹分析
2)确定内环的闭环极点 要求内环的反馈系数 内环的特征方程 3.2<Kf<3.5
( s 0.6)(s2 2s 4) K f 0
在实轴上选取试验点进行试探，P1=-1.6时，Kf =3.36 可求得内环的另外两个闭环极点为 p2 0.5 j1.83 p3 0.5 j1.83 3)绘制外环的根轨迹图 外环的开环传递函数
（2）根轨迹的起点 （3）实轴上的根轨迹
0，-1，-3
终点 均为∞
[0 , ] [3 , 1]
第四章 线性系统的根轨迹分析
（4）根轨迹的渐近线
a
n
2k 180 0 ,120 nm
m j i 1 i
k 0、 1
a＝
( p ) ( z )
i 1 j与虚轴的交点 (相同) （9）闭环极点的和 (相同)
第四章 线性系统的根轨迹分析
例：控制系统方框图如下所示
R(s )
Kc s2
K0 s( s 1)
C (s )
1 s3
系统的内环为正反馈，绘制内环根轨迹图。 解： （1）内环的开环传递函数
G1 ( s ) H1 ( s ) K0 s( s 1)(s 3)
第四章 线性系统的根轨迹分析
4-3
广义根轨迹
其它种类的根轨迹: 1.参数根轨迹
2.多回路系统的根轨迹 3.正反馈回路和零度根轨迹
第四章 根轨迹分析法2_2
出射角为
入射角为
例4-11：已知开环传递函数零极点分布 图，试确定根轨迹的出射角。
解：
9. 根轨迹与虚轴的交点
利用劳斯判据
令s=jω代入闭环特征方程
10 5
交点处的增益 称为临界根轨 迹增益，用 Kgp表示
Imag Axis
0 -5 -10 -6 -4 -2 0 2
例4-12：已知系统的开环传函，试求其 根轨迹与虚轴的交点。 解： （1）闭环特征方程
s(s 1)(s 2) Kg 0
或
s 3s 2s Kg 0
3 2
是三阶方程，应有3个闭环极点。闭环极点之 和等于开环极点之和，即
(s1 s2 s3 ) 0 (1) (2) 3
所以
(s3 ) 3 (s1 ) (s2 ) 3 j 2 ( j 2) 3
闭环极点之和为
( s
j 1
n j 1
j
) cn 1
闭环极点之积为
n ( s ) ( 1) c0 j
且n-m≥2有：
(s ) ( p ) const
j 1 j j 1 j
n
n
当 n-m≥2 时，闭环极点之和等于开
环极点之和且为常数
闭环极点之积和开环零极点关系为
n ( s ) ( 1) c0 j j 1 n
例4-13 已知系统的开环传递函数为
G( s) H ( s)
Kg s(s 1)(s 2)
根轨迹与虚轴的交点已在例4-10中求得，为 s1,2 j 2 试寻找其相应的第三个闭环极点，并求出交点处的临界增益 Kgp。 解: 本例的闭环特征方程为
Imag Axis
第四章线性系统的根轨迹法
2. 零度根轨迹： 1 实轴上根轨迹区间右侧开环零极点数目之和为偶数 2 实轴与渐近线正方向夹角2kπ/n-m 3 求出射角和入射角时2kπ
4 分离角不变
1-G(S)H(S)=0 G(K)=1 例题：开环传递函数：
绘制系统的根轨迹。
解：①n=3.所以根轨迹有三条。 ②极点： ③渐近线： 5 分离点：
令 1． 闭环零极点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成，对于单 位负反馈系统的闭环零点就是开环零点。 2． 闭环极点与开环极点，开环零极点及根轨迹都有关系。
4）.根轨迹方程：
幅值条件： 相角条件： ①满足相角条件的点肯定是根轨迹上的点，相角条件是确定根轨迹 的充要条件。 ②幅值条件是用来确定根轨迹上的点所对应的根轨迹增益。 5）.绘制更轨迹的法则： ①根轨迹的连续性：根轨迹是连续变化的直线或曲线。 ②根轨迹的对称性：根轨迹位于幅平面的实轴上或对称的实轴上。 ③根轨迹的条数;等于系统的阶次。即：闭环特征根最高次幂。 ④根轨迹的起点和终点：起源于n个开环极点，终止于m个开环零点。 以及n-m个无穷远零点。
闭环极点。
解 （1）系统的开环极点为，，是根轨迹各分支的起点。由于 系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有条渐进线
渐进线的倾斜角为 取式中的K=0，1，2，得=π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为
三条渐近线如图的虚线所示。 （3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图中 的粗实线所示。 （4）确定分离点：系统的特征方程式为 即
所以 即： ②分离点： 证明：
②除以①式
无零点 分离点重根 ③分离角：指根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之 间的夹角。当l条根轨迹进入并立即离开分离点时 8）根轨迹的出射角和入射角： 出射角：起始于开环极点的根轨迹在起点处，切线方向与正实轴的夹 角。 入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处切线方向与正实轴的夹角。
4 分离角不变
1-G(S)H(S)=0 G(K)=1 例题：开环传递函数：
绘制系统的根轨迹。
解：①n=3.所以根轨迹有三条。 ②极点： ③渐近线： 5 分离点：
令 1． 闭环零极点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成，对于单 位负反馈系统的闭环零点就是开环零点。 2． 闭环极点与开环极点，开环零极点及根轨迹都有关系。
4）.根轨迹方程：
幅值条件： 相角条件： ①满足相角条件的点肯定是根轨迹上的点，相角条件是确定根轨迹 的充要条件。 ②幅值条件是用来确定根轨迹上的点所对应的根轨迹增益。 5）.绘制更轨迹的法则： ①根轨迹的连续性：根轨迹是连续变化的直线或曲线。 ②根轨迹的对称性：根轨迹位于幅平面的实轴上或对称的实轴上。 ③根轨迹的条数;等于系统的阶次。即：闭环特征根最高次幂。 ④根轨迹的起点和终点：起源于n个开环极点，终止于m个开环零点。 以及n-m个无穷远零点。
闭环极点。
解 （1）系统的开环极点为，，是根轨迹各分支的起点。由于 系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有条渐进线
渐进线的倾斜角为 取式中的K=0，1，2，得=π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为
三条渐近线如图的虚线所示。 （3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图中 的粗实线所示。 （4）确定分离点：系统的特征方程式为 即
所以 即： ②分离点： 证明：
②除以①式
无零点 分离点重根 ③分离角：指根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之 间的夹角。当l条根轨迹进入并立即离开分离点时 8）根轨迹的出射角和入射角： 出射角：起始于开环极点的根轨迹在起点处，切线方向与正实轴的夹 角。 入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处切线方向与正实轴的夹角。
自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s
j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)
第4章线性系统的根轨迹分析
➢根轨迹的渐近线 根轨迹的渐近线就是确定当开环零点数目m小于极点 数目n时，(n-m)条根轨迹沿什么方向趋于[s]平面无 穷远处。由式(4-1-7)及式(4-2-1)求得
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍 去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型， 即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。
k (s z1)(s z2 )(s zm ) 1 (s p1)(s p2 )(s pn )
(4-2-6)
g(t) c(t) 1 et /
闭环系统特征方程为
f (s) s3 3s2 2s k 0
df (s) 3s2 6s 2 0 ds
s1 0.422, s2 1.578
由前边分析得知，s2 不是根轨迹上的点，故舍 去。s1是根轨迹与实轴分离点坐标。最后画出
根轨迹如图4-2-4所示。
图4-2-4 例4-2-1的跟轨迹图
利用多项式乘法和除法，由式(4-2-6)可得
n
s n ( pi )s n1
k
i 1 m
s m ( z j )s m1
j 1
m
n
s nm ( z j
pi )s nm1
j 1
i 1
将式(4-2-8)代入上式可得
m
n
(s )nm snm ( z j pi )snm1
(n m)
(4-2-1)
式中 s z j ( j 1,2,, m) 为系统的开环零点 s pi (i 1,2,, n) 为系统的开环极点
k称为根轨迹增益或根轨迹放大倍数。设系统为v型， 即有s=0的开环极点，将式(4-2-1)改写为
G(s)H (s)
K (1s 1)( 2s 1)( ms 1)
当1<k<∞时，两个闭环极点变为一对共轭复数极点
明当sk1→、s21、∞ 时s12，位js1于、k(s-121,将,且j趋0s1)、向点s于且2 无平的限行实远于部处虚不。轴随图的k变4直-化1线的，上控说。
孙炳达版《自动控制原理》第4章控制系统的根轨迹分析法-2
1 1 2 3 180 (2k 1)
L1 L2 L3 再按幅值条件求得该 Kg0 点的根轨迹传递系数： l1
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
例 已知系统的开环传递函数
2K GK ( s) ( s 2) 2
试证明复平面上点 s1 2 j 4, s2 2 j 4 是该系统的闭环极点。 证明 该系统的开环极点 p1 2, p2 2 若系统闭环极点为s1，s2，则它们应满足 相角条件。
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
以s1为试验点，由图可得
(s1 p1 ) (s1 p2 ) 90 90 180(2k 1) (k 1)
以s2为试验点，由图可得
(s2 p1 ) (s2 p2 ) 90 90 180(2k 1) (k 0)
可见， s1和s2均满足相角条件， 均为闭环极点。 证毕。
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
4 G ( s ) K /( s 1 ) 例 已知系统的开环传递函数 K
当 K 0 变化时其根轨迹如图所示， 求根轨迹上点 s1 0.5 j 0.5 所对应的K值。 解 根据幅值条件
自动控制原理
第四章 控制系统的根轨迹分析法
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
一、根轨迹的幅值条件和相角条件 一般的闭环系统结构框 图如图所示，其特征方程为：
1 G( s ) H ( s ) 0
其开环传递函数： Gk (s) G(s) H (s) 1 由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得：
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
5 实轴上的根轨迹
第4章根轨迹法(2)
可见方程(4-13)在时n个根应是
s (n m重)， z1 , , zm
规则3
根轨迹在实轴上的分布
实轴上的根轨迹只能是其右侧开环实数零、极点总 数为奇数的线段。共轭复数开环零、极点对确定实 轴上的根轨迹无影响。
G( s1 ) H ( s1 ) ( s zi ) ( s pi )
计算入射角的表达式
j 1 j l
k (2k 1) j i
j 1 i 1 ik
n
m
K ' ( s 1.5)(s 2 j )(s 2 j ) G( s ) H ( s ) s( s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 j1.5)
K ( s 1)( s 4)( s 6) G( s ) s 2 ( s 2)( s 3)2
[-1，-2] 右侧实零、极点数=3。
[-4，-6] 右侧实零、极点数=7。
规则4
根轨迹的渐近线
若m < n ,当 k →∞时有 n-m 条根轨迹沿着 n-m 条渐近线趋于s平面无穷远处。
根据规则4 根轨迹有四条渐近线
(2k 1)180 a 45， 135 nm
a＝ i 1
p z
i i 1
n
m
i
nm
0 (4) (2)＋(2) 2 4
K* 辐角条件 p3、p4的连接线 G( s ) H ( s ) s( s 4)( s 2 4s 20) 为根轨迹
i 1 i 1 1 5
？ G( s1 ) H ( s1 )＝ (2k 1)180
每对共轭复数极点所提供 的幅角之和为360°；
s1右边所有位于实轴上的每一个极
根轨迹方程
j
a
0
a
23
例：已知系统的开环传递函数
G(s)H (s)
s(s
K *(s 1) 4)(s2 2s
2)
求出根轨迹的渐近线。
j
。 0
解： 开环零点： z 1, m 1
开环极点： p1 0, p2 4,
n
m p3 1 j1, p4 1 j1, n 4
终点 K * s zi 0 s zi
16
若开环极点数n > 开环零点数m ，有(n－m)个开环零 点在无穷远处，则有(n－m)条根轨迹趋于无穷远处。
m
模值方程：
s zi
i 1
n
s pj
1 K*
当s→∞时，zi、pj都可忽略
m
j1
m
s zi
G(s)H(s) K*
i 1 n
（首1型） (s pj )
j 1
开环根轨迹增益
G(s)H(s) = -1
m
(s zi )
K * i1 n
1
(s pj)
j 1
分 解
Ⅲ.根轨迹方程形式三： m
①模值方程：
s zi
K * i1 n
1
s pj
m j1
a
pj zi
j1
i 1
nm
5 3
;a
(2k 1) (2k 1)
nm
41
(2k 1)
3
600(k 0); 1800(k 1); 3000(k 2)
a1
a2
a3
自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹方法(2011-3) (2)
要求等价为：
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
自动控制原理-线性系统的根轨迹法 (2)
閉環控制系統的動態性能與閉環極點在S平面上的 分佈位置是密切相關的,分析系統的性能時,往往要求 確定系統閉環極點的位置.另一方面,在分析和設計系 統時,經常需要研究一個或幾個參量變化時,對系統的 極點和系統性能的影響。
採用分解因式的古典方法求特徵方程式的根通常不容 易,特別是當某一參量發生變化(靈敏度)時,需要反復進 行計算,這時採用上述方法就顯得十分煩瑣,難以在實際 中應用。
K＝0.5 K＝0
該系統對於所有的K都是穩定的 穩態性能：
-1 0
原點處有一個極點 Ⅰ型系統
根軌跡上的K值就 是靜態誤差係數
0 K 0.5 : 过阻尼系 ，階统 躍回應為非週期過程
動態 K＝0.5：临界阻尼 ，階系 躍回统應為非週期過程
性能：
K
0.5：欠阻尼，階系躍统 回應為阻上尼頁振盪下過頁程
返回
根據相角條件,在同一分離點分離的各條根軌跡 分支,它們的切線將均分360度。2條根軌跡在分離 點相隔180度,4條根軌跡在分離點相隔90度。
分離點的座標為:
m
1
n
1
i1 d zi
j1 d p j
分離角：根軌跡進入分離點的切線方向與離開分離點的切 線方向之間的夾角
(2k 1)
l
l－進入並立即離開分離點的 根軌跡條數
根軌跡：當系統某一參數在規定範圍內變化時，相應的系
統閉環特徵方程根在s平面上的位置也隨之變化移動，一個
根形成一條軌跡。
系統特徵根的圖解方法!!!
廣義根軌跡:系統的任意一變化參數形成根軌跡。
狹義根軌跡（通常情況）：
變化參數為開環增益K，且其變化取值範圍為0到∞。
自動控制原理
一 根軌跡的概念
根軌跡法:系統某一參數變化時,繪製特徵方程的根在 S平面的位置變化軌跡的圖解方法。 根軌跡法的優點： 1：從已知的開環零、極點的位置及某一變化參數來求 取閉環極點的分佈，即解決閉環特徵式的求根問題。
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K*增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会 有另外一些根轨迹分支向右移动
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第四章
绘制根轨迹图的基本法则
求例2中系统主导极点在临界阻尼比时的K*值 解：系统的开环传递函数
K* G( s ) H ( s ) s( s 1)( s 2)
j
临界阻尼比=1，对应系统的 分离点，两重根为-0.42 系统闭环特征方程 1 G(s)H (s) 0
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第四章
根轨迹图绘制举例
实轴上的根轨迹 (-, -2) 分离点坐标d： 1 1 1 d 1 j d 1 j d 2 d = 0.59(舍去) d = 3.41 p1＝-1 +j 的起始角
d
j
135o
z1 -2
p1
j1
-1 p2 -135o
0
p 180o ( p1 z1 ) ( p1 p2 )
1
180o (1 j ) (2 j ) 180 45 90 135
p 2 =－135
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第四章
根轨迹图绘制举例
结论：由两个极点和一个有限零点组成的开环系统，
分离点 d=-0.42
-4 -3 -2 -1
2
1Hale Waihona Puke 01-1s 3s 2s K 0
3 2 *
si 3
i 1
3
( si ) K *
i 1
3
分离点处 K*=0.38
s3 2.156
-2
(0.42*2 s3 ) 3
K * 0.422 *2.156 0.38
只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当K从0
时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为
圆心，以有限零点到分离点为半径的一个圆，或圆 的一部分。 思考：系统有一对共轭复根所对应的K*值范围？
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第四章
根轨迹图绘制举例
例5 设负反馈系统的开环传递函数为
K* G( s) H ( s) s( s 4)( s 2 4s 20)
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第四章
根轨迹图绘制举例
实轴上的根轨迹 (-4, 0) 分离点坐标d：
1 1 1 1 0 d d 4 d 24 j d 24 j
求根轨迹与虚轴交点：
系统闭环特征方程
(d 2)(d 2 4d 10) 0
分离点：d 2, d 2 j 6 p3＝-2+4j 的起始角
31
j
0
起始于坐标原点的两条根轨迹在虚轴上，系统临界稳定
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第四章
附加开环零点对根轨迹的影响
（4）b<a时，附加一个比(3)更接 近于虚轴的开环零点 sb * G( s) H ( s) K 2 s ( s a) 2条渐近线交点
a ( b) b a a 0 31 2
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第四章
绘制根轨迹图的基本法则
方法2： 闭环特征方程 s3 3s 2 2s K * 0
K s 3s 2s
* 3 2
s 0.42
0.38
j
方法3：由模值条件
K＝
3
*
2
s p sz
j 1 i 1 m
n
1
i
-4 -3 -2 -1 0 1
p 4＝90
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第四章
附加开环零点对根轨迹的影响
在控制系统设计中，有时为改善系统的性能而附 加开环实零点，由此给根轨迹带来明显的改变 例6 设单位负反馈系统的开环传递函数为
K* G( s) H ( s) 2 , (a 0常数) s ( s a)
分析附加一个实数开环零点-b (b0)时系统根轨迹 的变化 （1）b→∞；（2）b>a； （3）b=a ； （4）b<a; （5）b=0 K* 解：（1） G( s) H ( s) 2 s ( s a) 开环极点：p1=0, p2= 0，p3=-a 开环零点：无
si 0
i 1
n
s s 0
s s s
i 1 i
n i 1
n
n
( si ) s
i 1
n i 1
i 1
i
n
n 1
n
si a1 ;
( s ) a
i
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第四章
绘制根轨迹图的基本法则
（3）b=a时，附加一个比(2)更接近 于虚轴的开环零点 sb * * 1 G( s) H (s) K 2 K 2 s ( s a) s P=-a和z=-b恰好构成开环偶极子 2条渐近线 b=-a 渐近线交角：a = 90, -90
交点： a a (b) 0
P1,2=0的起始角90
j
(ba)/2 b 00
a
实轴上的根轨迹 (-a, -b) P1,2=0的起始角90 根轨迹与虚轴无交点 起始于坐标原点的两条根轨迹的渐近线位 于左半s平面，系统稳定
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第四章
附加开环零点对根轨迹的影响
(5)b=0,附加一个位于原点的开环零点
sb 1 * G( s) H ( s) K 2 K s ( s a) s(s a)
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自动控制原理
第四章
4 绘制根轨迹图的基本法则
j
2
j 2
1
临界稳定 K*=6， K=3
1
-4
-3
-2
-1
0
j 2
-2
-1
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绘制根轨迹图的基本法则
代数法求解：
s j 代入系统闭环特征方程 s3 3s2 2s K * 0
( j )3 3( j )2 2( j ) K * 0 ( K * 3 2 ) j (2 3 ) 0
一定要写 成零极点 表达式
试绘制出系统的根轨迹。
* * K ( s 2) K ( s 2) 解：G( s) H ( s) 2 s 2s 2 ( s 1 j )( s 1 j )
开环极点：p1=-1+j，p2= -1-j 开环零点：z1=-2 2条根轨迹，一条沿负实轴趋于无穷远处
j
2
1
K* G( s ) H ( s ) s( s 1)( s 2)
-4
-3
-2
-1
0
1
-1
-2
K*=2K
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绘制根轨迹图的基本法则
K* 解： 闭环特征方程: 1 G(s) H (s) 1 0 s(s 1)(s 2)
即：
s(s 1)(s 2) K * s3 3s 2 2s K * 0
j
-1
s pi s s 1 s 2 s 0.42 0.38
i 1
-2
思考：系统主导极点在阻尼比=0.707时的K*值？
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根轨迹图绘制举例
例4 设负反馈系统的开环传递函数为
K * (0.5s 1) G( s) H ( s) 0.5s 2 s 1
K * 3 2＝0
2 ＝0
3
思考：系统稳定 的开环增益和根 轨迹增益范围？
2 根轨迹与虚轴的交点为 j 2 临界稳定的根轨迹增益 K* =6 * K 6 临界稳定的开环增益K=3
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6 绘制根轨迹图的基本法则
法则8 闭环极点(特征根)的和与积 m 系统闭环特征 方程(n>m时) 即：
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1 绘制根轨迹图的基本法则
法则7 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴相交 闭环特征方程有纯虚根，若 其它特征根均位于左半S平面,则系统处于临界稳定 交点的两种求法 (1)劳斯判据法：用劳斯判据求纯虚根和相应的根轨 迹增益K* (2)代数法：s j 代入特征方程，得 1 G( j ) H ( j ) 0
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附加开环零点对根轨迹的影响
3条根轨迹沿3条渐近线趋于无穷 渐近线交角：a = 60, 180 交点： a a a
30 3
j
实轴上的根轨迹 (-∞, -a) 相当于有一个无穷远的实数零点,即b→∞ a/3 P1,2=0的起始角 2 p1 180o (2k 1) ( p1 p3 ), k 0,1 a p 90 , p 270
Re1 G( j ) H ( j ) 0 联立求解 根轨迹与虚轴的交点处ω值 Im1 G( j ) H ( j ) 0 和相应的临界K* 值。
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绘制根轨迹图的基本法则
求例2中根轨迹与虚轴的交点及临界稳定的开环增益。
系统的开环传递函数 K G( s ) H ( s ) s( s 1)(0.5 s 1) 零极点标准形式
s 8s 36s 80s K 0
4 3 2 *
令
s j
( j )4 8( j )3 36( j )2 8( j ) K * 0 ( 4 36 2 K * ) j(8 3 80 ) 0