信号的抽取与插值

xD m xDm
其中，D为正整数
抽取后是否会丢失信息？ x(n)
↓D
xD (m)
为此分析序列xD (m) 与原序列 x(n)
之间的频谱关系
Amplitude
Amplitude
1 0.5
0 -0.5
-1 0
1 0.5
0 -0.5
-1 0
Input Sequence
5
10
15
20
25
30
Time index n
x(n)
H D (ej )
↓D
xD (m)
x(n)
先滤波后抽取
I
H I (ej )
y(m)
先插值后滤波
对运算速度的要求相当高
7. 4. 1 抽取器与插值器的恒等变换
恒等变换1
x1(n) 1
y1 ( m )
x1 ( n)
↓D
1
↓D
x2(n) 2
2
x2 (n)
↓D
y(m)
两个信号分别定标以后再相加后的抽取等于它们各自抽取后再定标和相加
m
n
x(n)znI X (z I )
n
X I (ej ) X (ejI )
(a)
0
1
2
3
n
X I (m)
(b)
01 23 4567 89
m
X I (m)
(c)
01 23 4567 89
m
内插后信号频谱被压缩了I倍
X (ej )
（ a（ （ （ （
2π
π
0
π
2π
X I (ej )
（ b（ （ （
可以通过将D抽取与I插值结合来实现 为了保证不丢失信息，分数倍采样率转换应先插值后抽取
(a) x(n) f
I
S
H I (ej )
s(k) fS Ifs
H D (ej )
y(m) D
fS (I / D) fs
(b)
x(n)
I
H (ej )
D y(m)
|
H
(e
j
)
|
D
0
| | min[π / I , π / D]
Output sequence down-sampled by 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Time index n
x(n)
fs
xD (m)
fs / D
如果要采样不产生混叠，则 x(n) 的频率限制在 fs / 2 以内
以因子D进行抽取后不产生混叠的频率范围为 fs /(2D) 如果x(n)中含有大于 fs /(2D) 的频率分量
增加信号采样率的运算叫内插(interpolation) 或上采样(up-sampling)
降低采样率的运算叫抽取(decimation) 或下采样(down-sampling)
主要内容 整数因子抽取 整数因子插值 采样率的分数倍转换 抽取和插值的多相滤波器结构
1 整数因子抽取
把原序列 x(n) 每隔 D 1 个点抽取一个点组成一个新序列 xD (m)
l
l
l
h Dl zDl z1 h Dl 1 zDl z(D1) hDl D 1 zDl
l
l
l
令
E j z hDl jzl , j 0,1,, D 1
l
ej n h Dn j
多相分量
则
D1
H z z j E j zD
j0
I型多相分解
... ...
... ...
则按因子D抽取后信号频谱不会发生混叠
x(n)
H D (ej )
↓D
xD (m)
|
H
D
(e
j
)
|
D 0
| | π / D
其他
X (ej ) 1
4π
2π π π 0 π π 2π
4π
33
X (ej / 3 )
1
6π
π 0 π X (e j( 2π)/ 3 )
1
6π
6π 4π
0
2π
X (e j( 4π)/ 3 )
V2 (z) H (z D )X (z)
1 D1
Y2(z) D r0
1
1
H[(WDr z D )D ]X (WDr z D )
因为
W
rD D
1
Y1(z) Y2(z)
所以
Y2 ( z )
1 D
D1 r0
1
H(z)X (WDr z D )
1 D
D1
H(z)
r0
1
X (WDr z D )
将信号按D因子抽取后再经过滤波器H(z),等价于将信号先经过滤波器 H(zD),再按D因子抽取
信号的抽取与插值
许多数字信号处理应用中，一个系统中会存在不同采样频率的 信号，称这样的系统为多速率信号处理系统
多速率信号处理系统的核心内容是 信号采样率转换与滤波器组
数字音频：广播、数字压缩光盘和数字音频磁带使用的采样率 不同，音频系统中经常需要在几种不同的采样率之间转换
多媒体通信，所传输的信号包括音频、视频和数据等不同类型的 信号，这些信号的带宽相差很大，因此它们的采样率也不同
x(n)
H D (ej )
↓D
D1
H z z j E j zD
j0
x(n) z 1 z 1
E (zD) 0
E (zD) 1
z 1 E (zD)
D1
xD (m)
x(n)
v1 (m)
↓D
H (z)
y(m)
D
x(n) z 1
z 1
z 1
y1(m)
x(n)
v2 (n)
H (z D )
↓D
y2 (m)
4π
2π π 0 π 2π
4π
4π
4π
4π
抽取产生 频谱混叠
为保证抽取后不丢失信息，应该保证抽取后信号的频 谱不发生混叠，所以在抽取前对信号的频谱应该加以 限制。
如果在抽取前先用一数字低通滤波器（滤波器的带宽
为/D,对x(n)进行滤波，使得
X (ej ) 0 | | π / D
序列抽取不发生混叠的 Nyquist条件
Y (z) 1 D1
D r0
1
X (WDr z D )
Y2(z)
z1Y (z)
1 D
D1 r0
1
z
1
X
(W
r D
z
D
)
Y1(z) Y2(z)
信号延迟D个样本后作D倍抽取和先作D倍抽取再延迟一个样本是等效的
恒等变换4
z 1
x(n)
↑I
y(m)
x(n)
zI
↑I
y(m)
信号经过单位延迟后作I倍插值和先作I倍插值再延迟L个样本是等效的
D
E (z) 0
D
E (z) 1
D
E (z) D 1
y(m)
每一支 路上滤 波器的 阶数只 有H(z) 阶数的 1/D
先滤波后抽取
先抽取后滤波
降低了对处理速度的要求，提高了实时处理能力
减小运算误差的积累，提高运算精度降,低对字长的要求,
H z hnzn n
h Il zIl h Il 1 zIl1 h Il I 1 zIlI1
1
6π
6π
2π
0
X D (ej / 3 ) 1 3
4π
6π
6π
π 0 π
6π
2 整数因子插值
x(n)
fs
x(n)
↑I
xI (m)
xI (m)
If s
x(n)
x(m / I ) m 0, I ,2I ,......
xI (m)
0
其 它n
X I (z)
xI (m)zm
x(n / I )zn
v3 (n)
H (z)
↑I
y3 (m)
x(n)
v4 (m)
y4 (m)
↑I
H(zI )
将信号先经过滤波器H(z)后再按I因子内插，等价于将信号按I因子内插 后再经过滤波器H(zI)
7. 4. 2 抽取和插值的多相滤波器结构
H z hnzn n
h Dl zDl h Dl 1 zDl1 h Dl D 1 zDlD1
恒等变换2
x(n) ↑I
1 y1(m)
2 y2 (m )
1 ↑I x(n)
2 ↑I
y1 ( m ) y2 (m )
信号分别定标以后的插值等于它们各自插值后再分别定标
恒等变换3
x’(n)
x(n) z D ↓D
y(m)
x(n)
y’(m)
↓D
z 1
y2 (m )
证明：设 x '(n) x(n D) 则
n
x(n) D (n)z D
n
n
1 D1
D r0
WDnr
1 0
n iD
n iD D(n)
XD(z)
n
1 D1 x(n)
D r0
WDnr
z
n D
1 D1
D r0
n
1
x(n)[WDr z D ]n
1 D
D1 r0
1
X (WDr z D )
X D(ej )
1 D
D1 r0
x(n)
...
...
-9 -8 -7-6-5-4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
D (n)
...
...
-9 -8 -7-6-5-4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
x (n) int
X D (z)
xD(m)zm
x( Dn )z n
m
n
...
...
j 2r
X (e D )
可见，抽取序列的频谱 X D (ej ) 是原序列频谱D倍展宽后 按（2）的整数倍位移并叠加而成
X (ej ) 1
4π
2π π 0 π 2π
X (ej / 2 ) 1
4π
2π π 0 X (e j( 2 )/ 2 )
1
π 2π
4π
2π π 0 π 2π
X D (ej ) 1 2
恒等变换6
因为 X I (z) X (z I )
V3 (z) H (z)X (z)
Y3 (z) V3 (z I ) H (z I ) X (z I )
V4 (z) X (z I )
Y4 (z) H (z I )V4 (z) H (z I )X (z I )
Y3(z) Y4(z)
x(n)
l
l
l
I1
zjEj zI
I 1
z E z ( I 1 j )
I
I 1 j
j0
j0
令 j I 1 j
定义
Rj z EI1 j z
I1
H z z I 1 jR j z I
j0
适合于插值
II型多相分解
x(n) I
H I (e j )
y(m)
...
... ...
... ...
-9 -8 -7-6-5-4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
xD (m)
xint (Dn)zn
xint (n)zn/ D
n
n是D的 整数 倍
由于n不是D的整数倍时xint (n) =0
...
...
-3 -2 -1 0 1 2 3
m
XD(z)
xint (n)zn/ D
其他
[例] 在图示系统中，已知输入信号x(n)的采样率为4kHz，其频
谱幅度如图所示。试确定该系统中的I、D和
H (ej )
幅度特性，使输出信号y(m)的抽样频率为5kHz
解：
x(n)
由于输出信号比输
入信号的抽样频率 提高了5/4倍，所以 (a)
R=5/4
取I=5，D=4
(b)
|
H
(e
j
)
|
4 0
...
I1
H z z I 1 jRj z I
j0
x(n) I
R0 (z I )
z 1
R1(z I )
z 1
z 1
I
RI 1(z )
先插值后滤波
x(n)
y(m)
v3 (n)
H (z)
↑I
x(n)
y3 (m)
x(n)
v4 (m)
y4 (m)
↑I
H(zI )
R (z) 0
R (z) 1
必然产生频谱混叠，导致不能从 xD (m) 中恢复 x(n)
x(n) n 0, D,2D,......
xint (n)
0
其 它n
xint (n) x(n) (n iD) x(n) D (n) i
其中
D(n) (n iD) i
xD (m) xint (Dm ) x(Dm )
恒等变换5
x(n)
v1 (m)
↓D
H (z)
y1(m)
x(n)
v2 (n)
H (z D )
↓D
y2 (m)
X D(z)
1 D
D1 r0
1
X (WDr z D )
1 D1
V1(z) D r0
1
X (WDr z D )
1
D1
Y1 ( z )
源自文库
H ( z )V1
(z)
D
H(z)
r0
1
X (WDr z D )
2π
π π /I 0 π /I
2π
X I (ej )
（ c（ （ （ （
2π
π π /I 0 π /I π
2π
X I (ej ) 中不仅包含 X (ej )的基带部分 还含有大于/I 的高频成分
为了能从中 XI (e得j )到基带信号，需要通过低通滤波消
除内插带来的镜像。
低通滤波器的幅度响应为
X '(z) zD X (z)
Y1(z)
X
' D
(
z
)
1 D
D1 r0
1
X
(W
r D
z
D
)
1 D
D1 r0
1
1
(WDr z D ) D X (WDr z D )
1 D1 D r0
1
z1 X (WDr z D )
y '(m) xD (m) x(Dm)
y2(m) y '(m 1)
Y2 (z) z1Y (z)
| | 0.16π
0.16π | | π
(c)
I
H (ej )
| X (e j ) | 1
D y(m)
0.8
0
| X I (e j ) | 1
0.8
0.96
0.16 0 0.16 0.24 0.56 0.64 0.96
| Y (e j ) | 1
0.64
0
0.64
7. 4 多抽样率系统的多相滤波结构
|
H
I
(e j
)
|
1 0
| | / I
其他
x(n) I
H I (ej )
插值可以提高时域分辨率
y(m) x(m)
x(n)
(a)
0
1
2
3
n
xI (m)
(b)
01 23 4567 89
m
xI (m)
(c)
01 23 4567 89
m
3 采样率的分数倍转换 假设输入输出信号采样率的转换因子为
R I/D