第一讲 量子力学
量子力学讲义1
量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
第一章 量子力学基础知识
《结构化学基础》讲稿第一章孟祥军第一章 量子力学基础知识 （第一讲）1.1 微观粒子的运动特征☆ 经典物理学遇到了难题：19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ◆ Newton 力学 ◆ Maxwell 电磁场理论 ◆ Gibbs 热力学 ◆ Boltzmann 统计物理学上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。
1.1.1 黑体辐射与能量量子化黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。
黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。
黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。
★经典理论与实验事实间的矛盾：经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。
按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。
按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线：Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。
Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。
经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。
• 1900年，Planck （普朗克）假定：黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。
• h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J •S•按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合：●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。
能量波长黑体辐射能量分布曲线 ()1/8133--=kt h c h eE ννπν1.1.2 光电效应和光子学说光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。
量子力学 第01章
经典力学和电磁学的理论是基于实验的基础上，
经受了三次重大的理论冲击之后才达到量子力学的。
普朗克和爱因斯坦提出了光的粒子性理论； 玻尔提出定态及跃迁的概念； 德布罗意和薛定谔提出粒子具有波动性的理论；
1
第一次冲击：光的粒子性理论
一、黑体辐射与Planck能量子假设
25
（2）基本关系式 粒子性：能量 波动性：波长 动量P 数量N
频率 振幅E0 h ˆ k h P n
式中
h
2π 2π
波矢量
2π ˆ k n
26
（3） 波动性和粒子性的统一
光作为电磁波是 弥散在空间而连 续的 怎样统 一 ? 波动性:某处明 亮则某处光强 大， 即 I 大 粒子性:某处明 亮则某处光子 多， 即 N 大 光作为粒子在 空间中是集中 而分立的
19
光电管
光 电 效 应 实 验
K
O O O O O O
A
G
.
照射光
V B
O O
20
实验结果：
（1）存在临界频率（最低频率） 0 （2）逸出的光电子初动能只与 有关, 与光强 I 无关 （3）频率符合条件后，弛豫时间为零
经典物理的困难：
根据经典电磁理论，受迫振动与光强有关， 只有当能量积累到一定程度才有光电子出现。 比如，一束光的强度为10-6w/m2，照在10层原 子上（有1020个原子），电子吸收1eV的能量 需要107s（约一年），即使发生共振吸收，也 需要104s。
9
Planck公式
E ( )d
c1 3 d e
c2 T
1
第一章量子力学基础知识.doc
第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。
2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。
金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。
光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。
(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。
按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。
(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。
电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。
2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。
01第一章量子力学基础
2
sin
n
x
a
(
x)
均所 值以
， 只 能 求 位 置 的 平
x
* ( x )x ( x )dx
0
2
0
x
sin
2
n
xdx
2
0
x
1
cos
2n
2
x dx
1
(
0
x
x
cos
2n
x )dx
1
[
x2 2
0
2n
0
xd
sin
2n
x]
1
[
2 2
2n
1
2n
( x sin 2
x
1 2n
cos 4
x) ]
E h
E E2 E1
h
h
实物粒子的波粒二象性
de Broglie关系式为: ν= E / h λ= h / p λ= h / mv
λ h/ 2mT
不确定原理
量子力学公设
公设1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函 数Ψ（q, t）描述，Ψ（q, t）决定了体系的全部 可测物理量.
波函数应具有品优性: 单值性、 连续性、 平方可积性.
n=4
n=3 n=2 n=1
波函数
概率密度
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
能量本征方程为：
本 征 函 数 与 本 征 值
三维无限深正方体势阱中粒子的简并态
三维无限深正方体势阱中粒子的波函数
定理：
简并本征函数的任意线性组合仍是原算符的具有同样 本征值的本征函数.
-第1章-量子力学基础详细讲解
1.3.4 表象变换 设有两个表象A和B，其基矢分别为、。 （a）态矢的表象变换 在表象A中，可将任意态矢展开为 ，； 在表象B中，可将同一个态矢展开为 ，。 所谓态矢的表象变换，就是要建立和之间的关系。
（1.28） （1.29）
， （1.30） 其中
（1.31） 矩阵称为表象A和表象B之间的变换矩阵。（1.30）式可简写成
态矢量的归一化条件为 （1.23）
在连续变量表象中，完备性条件为 （1.24）
任意态矢量可展开为 （1.25a）
其中 （1.25b）
是态矢在表象中的表示，也就是通常讲的波函数。可见，态矢量在连续 表象中表现为一个普通函数。
态矢量的归一化条件为
（1.26） 可见，选定了一组基矢，就选定了一个表象；这类似于，选定了一 组单位矢量，就选定了一个坐标系。常用的连续表象有坐标表象和动量 表象；常用的离散表象有能量表象和角动量表象。
由于线性厄密算符的上述性质，在实验上可观测的力学量（如：坐 标、动量、能量、角动量、自旋等）均用线性厄密算符表示。不过，我 们也会遇到一些非常重要的非厄密算符，如光子产生算符、光子湮灭算 符等。
算符在量子态中的期望值（平均值）记为 （1.12a）
平均值为c数。若将态矢量按（1.11a）式用算符的本征态展开，则平均 值的计算如下：
1.4.2 纯态和混合态举例 (a) 纯态： 光子数态（photon-number state） ，其密度算符为 （1.51）
其中为光子数。 相干态（coherent state），其密度算符为 （1.52）
（1.18） 其中 。例如，坐标和动量的对易关系为
其不确定度关系为
（5） 全同粒子假设 作为量子力学的一条基本假设，认为所有的同一类粒子（例如所有 的电子、所有的光子等）的各种固有属性都是相同的，即同一类粒子是 全同的粒子。因而，在由全同粒子组成的系统中，交换其中任意两个粒 子不会改变系统的状态，这导致描述全同粒子系统的波函数对粒子的交 换要么是对称的，要么是反对称的。 研究发现，全同粒子可分为两大类，一类称为玻色子，其自旋为零 或正整数（，…）；另一类称为费米子，其自旋为半奇数（，…）。玻 色子和费米子具有完全不同的性质，例如，描述玻色子系统的波函数对 粒子的交换是对称的，而描述费米子系统的波函数对粒子的交换是反对 称的；玻色子服从玻色-爱因斯坦统计，而费米子服从费米-狄拉克统 计。
[理学]量子力学第1讲
![[理学]量子力学第1讲](https://img.taocdn.com/s3/m/c54e3f4e3d1ec5da50e2524de518964bcf84d20d.png)
主要参考书
量子力学，科学出版社 曾谨言
量子力学原理，北京大学出版社 王正行
量子力学原理，科学出版社 P.A.M. 狄拉克
高等量子力学， Quantum Theory
P. Roman Quantum Mechanics – Symmetries
矢量空间的元素称为矢量。
如果a是实数，则空间称为实数域上的矢量空间。
如果a是复数，则空间称为复数域上的矢量空间。
二、内积空间
内积：在矢量空间L 中按顺序任意取两个矢量和
，总有一个数c与之对应，记为：
(, ) c
称c为这两个矢量的内积或数积。 内积运算要满足：
(1) (,) (,)*
(2) (, ) (,) (, )
左矢空间和右矢空间合在一起，与原来由矢量
构成的希尔伯特空间L 等价。
基矢的正交归一关系： ei | e j i j
| | ei ei |
i
| | ei ei |
| ei ei | 1
i
i
| | ei ei |
i
七、函数空间
对区间[a,b]上的所有连续的、平方可积的
证：
[
Aˆ (
n1)
,
Bˆ ]
Aˆ ,
[
Aˆ (
n)
,
Bˆ
]
设 Fˆ () e Aˆ Bˆe Aˆ
dFˆ () d
e
Aˆ
(
Aˆ Bˆ
Bˆ Aˆ )e
Aˆ
e Aˆ [Aˆ, Bˆ]e Aˆ
d2Fˆ () d2
d
d
e
Aˆ [
Aˆ,
Bˆ ]e
第一章 量子力学基础
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
1913年, Bohr提出一个新模型: 原子中的电子在确定的分 立轨道上运行时并不辐射能量; 只有在分立轨道之间跃迁时才有 不连续的能量辐射; 分立轨道由“轨道角动量量子化”条件确定:
m、v、r分别是电子的质量、线速度和轨道半径，n是一系列正 整数. 由此解释了氢原子的不连续线状光谱. 1922年, Bohr获诺 贝尔物理学奖.
假设 1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函数Ψ（x, y, z, t） 描述， Ψ（x, y, z, t）决定了体系的全部可测物理量. 波函数应具有品优性, 包括单值性、连续性、平方可积性.
z 定态波函数 不含时间的波函数ψ(x,y,z)称为定态波函数。 （定态：概率密 度与能量不随时间改变的状态） z 波函数的具体表示形式 用量子力学处理微观体系时，要设法求出波函数的具体表示形 式。而波函数的具体表达式是由解Schrödinger方程得到的。 例如氢原子的1s态的波函数为： ψ 1s =
n=5 n=4 n=3 n=2
n=1
1.1.3 氢原子光谱与轨道角动量量子化
Bohr模型对于单电子原子在多方面应用得很有成效，也 能解释原子的稳定性. 但它竟不能解释 He 原子的光谱，更不 必说较复杂的原子；也不能计算谱线强度。 量子化条件是对的，半径有问题，角动量是错的； 仍属于经典力学，只是认为附加了一些量子化条件——称 为旧量子论
E = hv
λ= h / p
1.1.4 实物微粒的波粒二象性
1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用 多晶透射法证实了物质波的存在. 1929年, de Broglie获诺贝尔物 理学奖；1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖.
量子力学第一课
顿主张光是像经典力学中的质点那样的粒子流，惠更斯主张光是
一种波动。 Maxwell 在十九世纪证明光是一种电磁波，于是光的 波动学说便战胜了微粒学说，在相当长时期内占据了统治地位。 Einstein 光子学说的提出，迫使人们在承认光的波动的同时又承 认光是由具有一定能量的粒子（光子）所组成。这样光具有波动 和微粒的双重性质，就称为光的波粒二象性。标志光的粒子性的 能量和动量，和标志波动性的光的频率和波长之间，遵循爱因斯 坦关系式
7
结构化学课程
第一章 实验得出: 平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和 位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及 组成的物质无关。
ρ(λ):黑体辐射的能量密度
在到d范围内、单位时间、单位 表面积上辐射的能量
8
结构化学课程
第一章
经典物理学方法解释
按照经典物理学的方法，Rayleigh-Jeans 及 Wien等分别作了很多研究工作，但 都不能满意地解释黑体辐射实验的能量分布曲线
27
结构化学课程
第一章 （2）德布罗波波长的估算
动量为p的自由粒子，当它的运动速度比光速小得多时（ν<<c）
1 2
2
h h h == = 2meV p mv 6.626 ×10 34 = 2 × 9.11×10 31 ×1.602 ×10 19 V 1.226 12.26 ×10 9 (m) = = A V V 1-8
De Brogile
26
结构化学课程
第一章 De Broglie提出实物微粒也具有波性，以此作为克服
旧量子论的缺点，探求微观粒子运动的根本途径，这种实 物微粒所具有的波就称为物质波或德布罗依波。
德布罗依（De Brogile）关系式
第01讲 量子力学基础
第01讲量子论基础1.1 经典物理学的困难毛泽东在《实践论》中指出：“在绝对宇宙发展过程中，各个具体过程的发展都是相对的。
因而在绝对真理的长河中，人们对于各个发展阶段的具体过程的认识只具有相对真理。
”量子力学的发展过程，是充满着矛盾和斗争的过程，一方面，新的现象的发现暴露了微观过程的内部矛盾，推动人们突破经典物理理论的限制，提出新的思想和新的理论；另一方面，也有一些人不愿承认经典物理理论的局限性，总是千方百计把这些新发现的现象提出新的思想，新的方法纳入经典物理理论的框架中。
19世纪末20世纪初，经典物理学，主要是经典力学、热力学和经典统计物理学、经典动力学，已经发展的相当完善。
比方说，速度远小于光速的物体的机械运动遵从牛顿力学规律；电磁现象满足麦克斯韦方程组；光的现象满足光的波动理论；特别是当时已认识到热辐射和光辐射都是电磁波，还提出了热辐射满足的基尔霍夫定律(Kirchhoff)定律和斯忒藩(Stefan)-波耳兹曼（Boltzmann）定律，证实黑体辐射场的能量密度与温度的四次方成正比。
对于热现象，除了已经有了非常系统的热力学理论外，还有波耳兹曼、吉布斯（Gibbs）等人提出的统计物理学。
经典物理学的大厦已经建立得相当完美了。
当时还有很多人都认为物理现象的基本规律完全被揭露了，剩下的工作只要把这些基本规律应用到具体的问题上进行一些计算就可以了。
图1.1.1 黑体辐射但是，在和实验进一步对比的过程中，也出现了一些困难，而这些困难，在经典物理的范畴内是无法解释的。
这主要表现在： 1. 黑体辐射`任何物体总在吸收投射在它身上的辐射，物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数，一般地讲，物体只吸收投射到它身上的部分能量，吸收系数小于1。
如果一个物体，能吸收投射到它表面上的全部辐射，即其吸收系数为1时，则称这个物体为黑体，一个开有小孔的空腔可近似为黑体。
因为一旦光线通过小孔射入空腔后，就很难在通过小孔反射过来。
量子力学课件01
4
对光电效应的解释是由 Einstein 给出的。他认为电磁辐射不仅在被发射和吸收时能量以
hν 的形式出现，而且是以这种形式在空间运动的，即电磁波是以不连续的能量形式（可以
叫能量子）在空间运动，并且被发射和吸收。 当电磁波照射到金属表面时，一个能量子被电子吸收，电子的能量就是 hν ， （由于多 次吸收的概率非常小，因此不必考虑）如果这个能量大于电子逸出金属表面的脱出功，电子 就可以飞出金属，否则就不会飞出，由此得能量关系
对光子来说， E = pc = hν = ℏ ω ；子性联系了起来。 三、光具有粒子性的实验佐证-----康普顿（Arthur Holly Compton）效应 将光量子看成是粒子，或者说光具有粒子性的观点在 Compton 效应中得到了进一步 的证实。 Compton 效应是指高频率的 X 射线（电磁波）被轻元素的电子散射后，波长随散 射角的增大而增大。 设光子为粒子， 碰撞前后的能量分别为 ℏω 和 ℏω ' ， 如图 （P8） 所示， 碰撞前光子沿 OA
E = nhν
这里 n 为整数。即振子的能量变化
不像经典物理学中那样连续变化， 而是不连续地变化。 h 是一个常数， 且h
= 6.62559× 10−34
焦耳秒，称之为普朗克常数。由此假设出发，普朗克采用与维恩和瑞利类似的计算得出了黑 体辐射公式
ρ (ν , T ) =
8πhν 3 1 c 3 exp( hν ) − 1 kT
ρ (ν , T ) = B ν 3 e −αν / T
其中 B 和 α 为常数。1897 年实验证明维恩的公式在波长较短、温度较低时与实验结果相符， 但在长波区域比实验值要低。维恩由于这一发现获得了 1911 年的诺贝尔物理学奖。 1900 年英国物理学家瑞利（Rayleigh Lord, J. W. Strutt）利用能量均分学说，推出了一个 公式 ρ (ν , T ) = 合的很好。 维恩的公式半经验的公式， 因此其与实验不符还不至于引起多大的问题， 但瑞利的公式 完全依赖经典物理学，它的失败则清楚地表明了经典物理学在黑体辐射问题上的失败。
量子力学第1章
第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω===。
a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a =， （2）a x ±=即为粒子运动的转折点。
有量子化条件h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p aaaa==⋅=-=-=⋅⎰⎰⎰+-+-222222222)21(22πωπωωω得ωωπm nm nh a 22==（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4）积分公式：c au a u a u du u a ++-=-⎰arcsin 22222221.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E zy x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。
第一讲 量子力学
第2章 波函数与薛定谔方程@ Quantum Mechanics
花样
第2章 波函数与薛定谔方程@ Quantum Mechanics
波粒二象性
观点一： 波由粒子组成 大量粒子在空间形成疏密波 （水波，声波）
7个电子
100个电子
单电子双缝干涉实验
3000个电子 70000个电子
第2章 波函数与薛定谔方程@ Quantum Mechanics
Fang Jun
观点二：粒子由波组成 包括薛定谔、德布罗意都曾认为，电子是三维空间中的物质波包，因而呈 现出干涉、衍射等现象。波包的大小就是粒子的大小，群速度就是粒子
现减弱入射光束的强度，使之只让一个光子入射，则当α ＝0时， 光子通过，且光子的能量和偏振方向在通过检偏片后不变。当α ＝π /2 时，光子被吸收。当夹角为α 时，在通过检偏片后，既有可能观测到光 子，也有可能观测不到光子。观测到光子的几率是cos2α ，观测不到光
子的几率是sin2α 。当然，观测到的光子总是一个整个光子，而不是半
片后的光强为I0cos2α 。
这表明，若光的偏振方向与晶轴平行，α ＝0时，光全部通过检偏片；若相互 垂直，α ＝π /2时，光全部被吸收；当两者之间的夹角为α 时，原入射光 强的cos2α 通过检偏片，它的sin2α 被吸收。
第2章 波函数与薛定谔方程@ Quantum Mechanics
Fang Jun
+c2Ψ 2 。
|ψ |2 = |c1Ψ1|2 + |c2Ψ2|2 + c1*c2ψ 1*ψ 2 + c1c2*ψ 1ψ 2 干涉项
第2章 波函数与薛定谔方程@ Quantum Mechanics
第一章 量子力学基础总结
ψ c1ψ1 c 2 ψ 2 ... c n ψ n ci ψi
i 1
假设Ⅴ 微观粒子除空间运动外还作自旋运动
一维势箱
通解
2 d 2 ( x) E ( x) 2 2m dx 2mE 2mE ( x) A cos x B sin x
量 子 力 学 的 简 单 应 用
[
h
8 2 m h2 [ 2 2 V ( x, y, z )] ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 8 m
N
2 V ( x, y, z )] ( x, y, z, t )
ih ( x, y , z , t ) 2 t
假设Ⅳ 如果ψ1、ψ2、ψ3、...、ψn是某个微观体系的可能状态，那么， 将这些状态线性组合得到的ψ也是这个体系可能存在的状态
第一章 量子力学基础
§1量子力学产生的背景 §2量子力学基本原理 §3量子力学基本原理的简单应用
刘杰 2012210605
黑体辐射 经典 力学 无法 解释 光电效应 氢原子光谱 光照在金属表面上，金 属发射出电子的现象。
能量量子化 光子学说 波尔理论
量 子 力 学 产 生 的 背 景
1 1 1 RH( 2 2 ) n1 n 2
2i ( x, t ) a0 exp[ ( x p x Et )] h
品优波函数条件：①单值函数②一阶微商连续③平方可积
假设Ⅱ 微观体系每一个可观察的力学量都对应于一个线性厄米算符 哈密顿算符 拉普拉斯算符 2
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第一量子力学基础(ppt)
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Ek 0 ν0
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②对于每一种金属电极， 仅当入射光的频率大于 某一频率时，才有电流 产生，称临阈频率，与 金属性质有关。
③光电效应产生的电子
ν
的初动能随光的频率增 大而增加而与光的强度
无关。
④入射光照射到金属表 面立即有电子逸出，二 者几乎无时间差。
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根据光波的经典图象，光波的能量与它的强度 （振幅的平方）成正比，而与频率无关。因此 只要有足够的强度，任何频率的光都能产生光 电效应，而电子的动能将随着光强的增加而增 加，与光的频率无关，这些经典物理学家的推 测与实验事实不符。
E( ,对T ) 作 2图应为一抛物线，在长波处很接近实验 曲线，在短波长处与实验结果（能量趋于零）显 著不符（紫外灾难）。Wein（维恩）用经典热力 学进行解释，假设辐射按波长的分布类似于 Maxwell的分子速率分布，所得公式在短波处与 实验比较接近，但长波处与实验曲线相差很大。
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只有把光看成是由光子组成的才能理解光电效应， 而只有把光看成波才能解释衍射和干涉现象,光表 现出波粒二象性。
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3．氢原子光谱与玻尔的氢原子模型 当原子被电火花、电弧或其它方法激发
1927年，海特勒和伦敦运用量子力学成功解释 了氢分子的成因，标志着量子化学的诞生，使 化学由经验科学向理论科学过渡。
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§1-1量子力学产生的背景
一、经典物理学的困难与旧量子论的诞生 1.黑体辐射与普朗克（ planck）的量子论
任何物体都能受激吸收能量，又能自发辐射能量。 物体低温时能吸收什么波长的电磁波，高温时会发 射同样波长的电磁波。吸收光的本领越强的物体就
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第二章波函数与Schrödinger 方程微观粒子具有波粒二象性，经典牛顿力学及波动理论不再适用，必须从全新的观点和理念来认识微观世界，建立新的理论（既容许波动性）也容许粒子性）。
内容概要：物质波概念1.1 物质波概念1.2 波函数及量子态叠加原理波动力学形式E.Schrödinger 1.3 Schrödinger方程 E. Schrödinger 1887—19611.1 物质波的提出11Planck，Einstein 光量子论：λ/E=hv=,hpBohr 量子论：1. 原子具有能量不连续的定态；1原子具有能量不连续的定态；2. 两个定态间量子跃迁及频率条件贡献：原子辐射能级和原子两个定态能级差联系起来，打开了人类认识原子结构的大门。
1922年,Bohr诺贝尔奖。
缺点：人为性太强，并未从根本上解决不连续本质。
人为性太强并未从根本上解决不连续本质。
1924年法国大学生1924年，法国大学生德布罗意在他向巴黎大学理学院提交的博士论文中建议，既然，知道光有波动和粒子双重性质，那么，物质粒子——特别是电子——或许也有波动和粒子双重性质。
这种建议是出于高度的推测，因为当时并没有任何实验证据。
德布罗意根据光子满足的方程用类比的方式提出物质粒德布罗意根据光子满足的方程，用类比的方式提出物质粒子也具有波粒二象性（物质波）, de Broglie 关系de Broglie把原子中的定态与驻波的频率及波长不连续性联系起来。
性联系起来意义：1. 物质存在的两种形式，光和实物粒子统一起来。
2. 更深刻地理解微观粒子能量不连续性，克服Bohr理论人为性质的缺陷。
Bohr理论人为性质的缺陷,自由粒子平面波对自由粒子，p, E为常数，对应物质波的波长和频率不变。
频率为，波长为，沿x方向传播的平面波为波传播方向n，则平面波为则平面波为记为复数形式=带入de Broglie 关系式，得到自由粒子平面波，也称德布罗意波。
de Broglie预言当电子通过一个小孔或者晶体的时候，会像光波样，产生衍射现象。
会像光波一样，产生衍射现象。
1927年戴维逊和革末首先完成了电子束被金属（镍单晶）散射的实验，在这个实验中他们观察到了与X光相似的衍射现象，从而直接证明了德布罗意的假设。
z θz 入射电子注因此，德布罗意获得了1929年度的诺贝尔物理学奖，成z 镍单晶为第一个以博士论文接受诺贝尔奖的人1928年以后，人们还摄得电子束通过薄云母片或金属多晶薄膜产生的衍射花样的照片，与X光通过这类物体产生的花样完全类似。
后来很多实验进一步证实，不仅是电子，而且质子、原子、分子都具有波动性。
这就清楚地表明，波动性是物质粒子普遍具有的。
电子束通过金属薄膜产生的衍射花样波粒二象性观点：波由粒子组成大量粒子在空间形成疏密波观点一：（水波，声波）7个电子100个电子单电子双缝干涉实验3000个电子70000个电子粒子波动性并不是大量粒子分布形成的！观点二：粒子由波组成包括薛定谔、德布罗意都曾认为，电子是三维空间中的物质波包，因而呈现出干涉、衍射等现象。
波包的大小物质波包因而呈现出干涉衍射等现象波包的大小就是粒子的大小，群速度就是粒子速度。
但仔细分析发现满足德布罗意关系的物质波包随时间但仔细分析发现，满足德布罗意关系的物质波包随时间必然要扩散。
或者更形象一点，随时间推移，粒子将越来越“胖”，与实验矛盾。
电子究竟是什么东西？电子既是粒子，也是波。
但不是经典的粒子，也不是经电子既是粒子也是波但不是经典的粒子也不是经典的波。
颗粒性（原子性），具有确定的质量，电荷，但并未观颗粒性（原子性）具有确定的质量电荷但并未观测到确定轨道。
电子所呈现出来的波动性，也只是波动性中最本质的东西相干叠加性并不是某种物理量的空间分布作周期西，相干叠加性，并不是某种物理量的空间分布作周期变化形成波动。
121.2 波函数及量子态叠加原理如何描写微观粒子的状态？经典力学给出(t)经典力学：给出x(t)。
x, v, 根据牛顿定律00x, p=m dx/dt。
量子力学中，上述方案不行：量子力学中上述方案不行1. 粒子的波动性不能反映。
2. 粒子轨道的概念不能使用（不确定性关系：位置、动量不可能同时具有确定值）概率波1926年，波恩（Born）提出概率波的概念，将粒子性和波动性统一起来。
微观粒子的波动性并不是某个物理量在空间和时间上的变化，它是描写粒子在空间分布的概率波。
r 点附近花样的强度正比于该点附近感光点的数目，∼正比于该点附近出现的电子数目，∼正比于电子出现在r点附近的几率。
亮条纹：粒子出现概率大的地方暗条纹：粒子出现概率小的地方波函数微观粒子的状态用波函数ψ表示微观粒子的状态用波函数ψ表示。
表示在r附近体积元中找到粒子的概率，为概率密度。
Born对波函数的概率诠释。
知道了微观粒子的波函数，就可以得到微观粒子出现在知道了微观粒子的波函数就可以得到微观粒子出现在空间某一点处的概率，以后我们会看到，利用波函数还可以得到体系的其他性质，因此波函数描写了微观体系的状态。
（量子力学的基本假设之一）的状态（量子力学的基本假设之）统计解释的重要含义——物理图像统解释的重含物像微观粒子仍然是一个一个呈颗粒状的，然而波函数并不能绝对准确地给出粒子什么粒子到达哪点，而只能给能绝对准确地给出粒子什么粒子到达哪一点而只能给出它到达地点的一个统计分布。
粒子的运动受到ψ的向导，它往往出现在|ψ |2大的地方，而不会出现在|ψ |=0的地方。
Ψ又是按照波的方式在时空中变化传ψ|2=0的地方播的，因此微观粒子又表现出波动性。
因此，统计解释反应了微观粒子的波粒二象性。
在经典力学系统中，用一组力学量可以对该系统做出完全决定性的描述，可以准确地预言它在任何时刻的位形和动力学行为。
量子力学中，一般地讲，当粒子处在某一状态时，它的力学量一般有很多可能值，这些可能值各自以一定的概率出现，这些概率值由波函数确定。
这就是说，对微观粒子的描写是统计性的，从决定性的规律到统计性的规律，是一个很大的改变，体现了微观系统和经典系统之间原则性的差别。
在量子力学中，力学量的可能取值的概率分布都可通过波函数决定，因此，微观粒子的运动状态完全由波函数波函数决定因此微观粒子的运动状态完全由波函数来决定，ψ代表微观粒子的态，不同的ψ给出不同的统计分布，表示不同的态，ψ随时间的变化就表示态的变化，也就是表达了运动过程。
归纳起来可以表示为量子力学也就是表达了运动过程归纳起来可以表示为量子力学的一个基本原理，微观粒子的运动状态称为量子态，对这种态的描写是统计性的，波函数是量子态的数学表示，也成为态函数。
波函数的性质1.物理上只要求在有限空间中找到粒子的概率单值、有限。
除个别奇点外，单值有界。
在奇点处，限除个别奇点外单值有界在奇点处，但要求有，为包围奇点的有限体积22. 常数因子不确定性与描写的是同样的概率分布。
3. 相角不确定性4. 可归一性。
许多物理态，粒子总要在全空间中出现，是必然事件，是可归一化的。
A为是常数。
就是归一化的波函数。
和δ（r）是不可归一化的。
波函数仍有一不确定的相因子, 取C为实数.例2. 设粒子波函数为，求在(x, x+dx)中找到粒子的几率。
例3. 设用球坐标表示，粒子波函数表示为,求例3.设用球坐标表示，粒子波函数表示为(a) 粒子在球壳(r, r+dr)中被测到的概率；(b) 在方向的立体元找到粒子的概率。
(b)在,多粒子体系的波函数2态叠加原理如果Ψ1和Ψ2是体系的可能状态,那么它们的线性叠加Ψ= cΨ+cΨ1122也是体系的一个可能状态。
一般情况,体系的态可以是许多态的线性叠加,1122......n n n nc c c c Ψ=Ψ+Ψ+Ψ+=Ψ∑c 1,c2,…cn为复数.n量子力学的态的叠加原理也可表述为：若波函数Ψ1，Ψ2，···ΨN是描述微观体系的可能状态，则由它们线性叠加所得出的波函数Ψ=c1Ψ1+ c2Ψ2+···+c NΨN,c,···也是体系的一个可能状态，其中c1, c2, c N为一组任意有限复常数；当体系处在Ψ态时，出现Ψj概率为。
何谓出现Ψj的概率？设Ψ1，Ψ2，···ΨN恰是表示某一力学量A取确定值A1，A 2，···AN的态，则在Ψ态下测量力学量A，其值只能是A 1，或者A2，······或者AN中的某一个，且力学量A值为A 1，A2，···AN的几率分别为|c1|2,|c2|2, ···|cN|2，这里已假设Ψ已归一化了，即在态的叠加原理中出现的叠加，是波函数的叠加而不是几率的叠加因它必须出现涉衍射等现象仍以缝涉为例设加。
因而它必须出现干涉、衍射等现象。
仍以双缝干涉为例。
设通过第一缝的波函数为Ψ1，第二缝的波函数为Ψ2，同时开启两个缝后的波函数是Ψ1 和Ψ2的线性叠加：Ψ＝c 1Ψ1+c 2Ψ2。
2=2|c 2**c *|ψ| |c 1Ψ1|+ 2Ψ2|+ c 1c 2ψ1ψ2+ 1c 2ψ1ψ2干涉项在量子力学中，对于几率波而言，波的干涉是描述粒子运动状态的几率波自身的干涉，而不是不同粒子之间的干涉。
动状态的几率波自身的干涉而不是不同粒子之间的干涉现以一束偏振光通过检偏片为例对比加以说明。
设光的偏振方向与晶轴的夹角为α，根据光学中的马吕斯定律，若入射光的强度为I0，则则通过检偏片后的光强为I0cos2α。
则则通过检偏片后的光强为这表明，若光的偏振方向与晶轴平行，α＝0时，光全部通过检偏片；若相互垂直，α＝π/2时，光全部被吸收；当两者之间的夹角为α时，原入射光强的cos2α通过检偏时原入射光强的片，它的sin2α被吸收。
现减弱入射光束的强度，使之只让一个光子入射，则当α＝0时，光子通过，且光子的能量和偏振方向在通0时光子通过且光子的能量和偏振方向在通过检偏片后不变。
当α＝π/2时，光子被吸收。
当夹角为α时，在通过检偏片后，既有可能观测到光子，也有可能观测不到光子观测到光子的几率是观测不到观测不到光子。
观测到光子的几率是cos2α，观测不到光子的几率是sin2α 。
当然，观测到的光子总是一个整个光子，而不是半个或者分数个光子。
动量波函数和动量分布几率以一个确定的动量运动的状态用如下波函数描写按态叠加原理，ψ(r, t)可以表示为不同动量的平面波的叠加，通过傅里叶变换，与ψ(r, t) 完全等价，描述同一个量子态。
波函数ψ(r, t)的含义：以坐标r 为自变量的波函数，称波函数ψ(t)的含义r为自变量的波函数，称为坐标空间波函数，或坐标表象波函数。