北师大版八年级数学上册1.1.1 探索勾股定理
北师大版八年级数学上册-1.1-探索勾股定理
探究新知
请想办法计算左边图形中A，B，C的面积.
SA=9
A
SC=18 C
B
SB=9
A
C
B
你用什么办法计算C的面积呢？
数格子
探究新知
还可以用什么办法计算C的面积呢？
验证法1
方法：可 把正方形C分 成两个全等的 等腰直角三角 形，可求得正 方形C的面积 为18.
C A
B
探究新知
a+b
大正方形A1BCD的面积可以表示为：
4× 2 ab+c2 或者 (a + b
)2
可得等式
4 × 1 ab+c2 =(a+b)2 2
探究新知
你能用右图验证勾股定理吗？
证明：∵S正方形ABCD =4
×
1 2
ab+c 2，
又∵S正方形ABCD =（a+b）2，
∴4 × 1 ab+c2 =（a+b）2. 2
还可以用什么办法计算C的面积呢？
验证法2
方法：可 把正方形C分成 四个全等的等 腰直角三角形， 可求得正方形C 的面积为18.
C A
B
探究新知
还可以用什么办法计算C的面积呢？
验证法3
方法：可在
正方形C外边圈
C
一个大正方形，
A
用大正方形的面
积减去4个直角
B
三角形的面积，
即可求得正方形
C的面积为18.
9米
12米
解：设旗杆折断前有x m，由勾股定理得： （x－9）2=122+92=225. 因为x－9>0，所以x－9=15，所以x=24.
北师版八年级数学上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理
式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题 教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三 边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表 方法
伽菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75， 求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理(教案)
1. 探究勾股定理1.经历用测量法和数格子的方法探究勾股定理的过程,开展合情推理才能,体会数形结合的思想.2.会解决直角三角形的两边求另一边的问题.1.经历“测量—猜测—归纳—验证〞等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜测、归纳、验证等过程中培养语言表达才能和初步的逻辑推理才能.3.在探究过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.通过让学生参加探究与创造,获得参加数学活动成功的经历.【重点】勾股定理的探究及应用.【难点】勾股定理的探究过程.【老师准备】分发给学生打印的方格纸.【学生准备】有刻度的直尺.导入一:展示教材P2开头的情境.如下图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,假如这条钢索在地面的固定点间隔电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.[设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.导入二:如下图,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?【师生活动】在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?为什么?在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探究吧!一、用测量的方法探究勾股定理思路一【学生活动】1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边长是多少.2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.3.画一个直角边长分别是5 cm和12 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.【问题】你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探究欲望.思路二任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.直角三角形直角边长直角边长斜边长123【师生活动】师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很准确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……师:哪些数据没得到a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?二、验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探究勾股定理1.探究等腰直角三角形的情况.思路一展示教材P2图1 - 2局部图.探究问题:(1)这个三角形是什么样的三角形?(2)直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足怎样的数量关系?(学生通过数格子的方法可以得出S A+S B=S C)[设计意图]通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.思路二展示教材P2图1 - 2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜测的数量关系吗?你是如何计算的?【师生活动】师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜测如何实现?生:用正方形A,B,C刻画的,就是证A+B=C.师:再准确点说呢?生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.(学生交流面积C的求法,老师巡视点评)生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.师:你用什么方法得到正方形C的面积为18个单位面积?生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算) 生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法)师:方法不错,你们很擅长动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积,还有什么方法可以得到吗?生:在正方形C的外侧画一个大正方形,用大正方形的面积减去4个三角形的面积.(学生板演,口述面积求法)师:很好,他采用了补形的方法计算面积,我们能得到什么结论?生1:S A+S B=S C.生2:a2+b2=c2.师:我们看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能验证吗?2.探究边长为3,4,5的直角三角形的情况.展示教材P2图1 - 3局部图.对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?你是如何计算的?【问题】(1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格?(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格?(3)三个正方形的面积之间有什么关系?同桌交流、小组讨论,共同讨论如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系.【提示】在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形,变成一个新的大正方形.【拓展】假如直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜测的数量关系还成立吗?说明你的理由.学生考虑、交流,老师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.【学生总结】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.[考虑](1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?(3)由(2)知直角三角形中,只要知道条边,就可以利用求出.[设计意图]让学生经历“独立考虑——小组讨论——合作交流〞的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.[知识拓展]1.由勾股定理的根本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).2.在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2<c2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2>c2.1.勾股定理的由来.2.勾股定理的探究方法:测量法和数格子法.3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,那么ΔABC的斜边AB的长是()C.9.6D.8解析:BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202.应选A.2.直角三角形两直角边长分别是6和8,那么周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶7解析:利用勾股定理求出斜边的长为10.应选B.3.(2021·温州模拟)如下图,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,假设BC=10,AD=12,那么AC=.解析:根据等腰三角形三线合一,判断出ΔADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.4.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,那么S1+S2的值等于.解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆的面积.所以S1+S2=1πAB2=12.5π.故填12.5π.8第1课时1.概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.表示法:假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第2题.二、课后作业【根底稳固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,那么AC=.2.假设三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,那么此三角形的周长为,面积为.3.(2021·凉山中考)直角三角形的两边长分别是3和4,那么第三边长为.4.假如梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【才能提升】5.如下图,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c6.如下图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如下图,阴影局部是一个正方形,它的面积为.8.如下图,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中程度飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机间隔这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如下图,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,那么BD=.13.如下图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的间隔是.【答案与解析】1.8(解析:AC2=BC2-AB2=64.)2.3030(解析:由题意得此直角三角形的斜边长为13.)3.5或√74.12米5.D(解析:两个正数比拟大小,可以按照下面的方法进展:假如a>0,b>0,并且a2>b2,那么a>b.可以设每一个小正方形的边长为1,在直角三角形BDC中,根据勾股定理可以求出a2=10,同理可以求出b2=5,c2=13,因为a>0,b>0,c>0,且b2<a2<c2,所以b<a<c.)6.5∶8(解析:可以设每个小正方形的边长为1,那么正方形ABCD的面积就是4×4=16,斜放的小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边长,另外两条直角边长分别是1和3,根据勾股定理可以求出小正方形的面积是10.所以以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.)7.64 cm2(解析:设阴影局部的边长为x,那么它的面积为x2=172-152=64(cm2).)8.7(解析:根据正方形的面积公式和勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积,由勾股定理可知A=16-9=7.故A的面积为7.)9.解:根据题意可以先画出符合题意的图形.如下图,在ΔABC中,∠C=90°,AC=4000米,AB=5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在20秒的时间里飞行的路程,即图中的CB长,由于RtΔABC的斜边AB=5000米=5千米,AC=4000米=4千米,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,即BC=3千米.飞机20秒飞行3千米,那么它1小时飞行×3=540(千米).答:飞机每小时飞行540千米.的间隔为36002010.解:连接AC,在RtΔABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5.又因为2.22=4.84<5.所以AC>木板的宽,所以木板可以从门框内通过.11.解:在RtΔABD中,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=252-242=49,所以BD=7.在RtΔADC中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=302-242=324,所以CD=18.所以BC=BD+DC=7+18=25.12.2(解析:∵在RtΔABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,∵以点A为圆心,AC 长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC,∴AD=3,∴BD=AB-AD=5-3=2.)13.15(解析:解此题时要求出A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6等各线段的长,再利用勾股定理求解.)从本节课教案的思路设计看,始终贯彻以学生为主体,充分运用各种手段调动学生参与探究活动的积极性.课前的导入利用生活中的问题,唤起学生带着问题进入本节课的学习.在探求直角三角形三边平方关系时,遵循了发现问题、证实问题到推导问题的认识过程.在引导学生进展探究的过程中,对学生的指导过多,不敢放手让学生自己进展尝试.比方在利用教材第2页下面的两幅图的时候,要求学生选取与教材一致的数据.在这里应该放手让学生自己选取数据.在总结勾股定理的时候,可以让学生自己总结勾股定理的数学表达式.在利用教材给出的例如进展勾股定理结论探究的时候,一定要立足于“面积相等〞这个探究的立足点,这样才能保证学生找准探究活动的方向.随堂练习(教材第3页)1.解:字母A代表的正方形的面积=225+400=625,字母B代表的正方形的面积=225-81=144.2.解:不同意他的想法,因为29 in的电视机是指屏幕长方形的对角线长为29 in,由屏幕的长为58 cm,宽为46 cm,可知屏幕的对角线长的平方=(46025.4)2+(58025.4)2,所以对角线长≈29 in.习题1.1(教材第4页)1.解:①x2=62+82=100,x=10.②y2=132-52=144,y=12.2.解:172-152=64,所以另一条直角边长为8 cm.面积为12×8×15=60(cm2).3.解:此题具有一定的开放性,现给出4种方案:如下图,设①的面积为g,③的面积为e,④的面积为f,⑦的面积为a,⑨的面积为b,⑧的面积为d ,⑩的面积为c ,那么(1)a +b +c +d =g ,(2)a +b +f =g ,(3)e +c +d =g ,(4)e +f =g.4.解:过C 点作CD ⊥AB 于D ,因为CA =CB =5 cm,所以AD =BD =12AB =3 cm .在Rt ΔADC 中,CD 2=AC 2-AD 2,所以CD =4 cm,所以S ΔABC =12AB ·CD =12×6×4=12(cm 2).(2021·淮安中考)如左下列图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A ,B 都是格点,那么线段AB 的长度为( )C .7D .25〔解析〕 此题考察勾股定理的知识,解答此题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用,建立格点三角形.如下图,利用勾股定理求解AB 的长度即可.由图可知AC =4,BC =3,那么由勾股定理得AB =5.应选A .如下图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,假设a ,c 的面积分别为3和4,那么b 的面积为 .〔解析〕 ∵∠ACB +∠ECD =90°,∠DEC +∠ECD =90°,∴∠ACB =∠DEC.∵∠ABC =∠CDE ,AC =CE ,∴ΔABC ≌ΔCDE ,∴BC =DE.根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,∴b的面积=3+4=7.故填7.。
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《几何初步》的第一节内容。
本节内容通过探究直角三角形三边的关系，引入勾股定理，是学生学习几何的重要基础。
教材以我国古代数学家赵爽的弦图作为探究勾股定理的载体，让学生经历探究过程，感悟数学的证明过程，体会数形结合的数学思想。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够识别直角三角形，并了解其性质。
但对于证明勾股定理，他们可能还没有直观的感受。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，逐步理解并证明勾股定理。
三. 教学目标1.了解勾股定理的发现过程，感受数学家探索勾股定理的艰辛。
2.掌握勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、推理能力，提升学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的证明过程。
2.难点：理解并证明勾股定理。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、数形结合法等教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等过程，探索并证明勾股定理。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、视频等教学资源。
2.准备直角三角形模型、拼图等教具。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平面几何的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：什么是直角三角形？直角三角形有哪些性质？2.呈现（10分钟）展示勾股定理的背景知识，介绍赵爽的弦图，让学生了解勾股定理的来源。
同时，提出探究问题：如何证明勾股定理？3.操练（15分钟）让学生分组进行讨论，每组尝试用拼图或者模型来证明勾股定理。
教师巡回指导，引导学生发现证明勾股定理的关键。
4.巩固（10分钟）学生汇报各自的证明过程，教师点评并总结。
同时，让学生回答一些与勾股定理相关的问题，加深对勾股定理的理解。
5.拓展（10分钟）让学生运用勾股定理解决实际问题，例如：计算一个直角三角形的两条直角边长。
北师大版初中八年级数学上册 1.1.1 认识勾股定理 课件(共20张PPT)
( 55 ) 25
30
( 34)
95 61
( 42 ) 18
60
200 ( 350)
150
总结归纳
C A
B
SA+SB=SC
ac b
ac b
a2+b2=c2
a2+b2=c2
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的 两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
导入新课
情境引入
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发 现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
数学家毕达哥拉斯的故事
相传2005年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现 朋友家的用砖铺成的地面…
毕达哥拉斯就从地面上这十分常见的图形中，发现了令世人震惊的定理：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三 角形和一个小正方 形.
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小 正方形，图中两块红色 （或绿色）可拼成一个小 正方形.
填一填：观察右边两 幅图：完成下表（每 个小
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
怎样计 算正方 形C的面 积呢？
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
C A
B
SA+SB=SC
结论：以直角三角形两 直角边为边长的小正方 形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的 面积.
北师大版数学八年级上册课件 第一章 1.1 探索勾股定理(共19张PPT)
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古 希腊著名的数学家、 哲学家.
发现了直角三角形三边 的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？ 方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？ 请你在小组内交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业
北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理
自学指点二：
自学内容：课本例1 自学时间：3分钟 自学要求： （1）认真阅读例题分析部分，明确
要求速度需先求什么； （2）掌握例题的解题步骤，注意单位
的换算
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好 飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20 秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时 飞行多少千米？
C
B
4练习：1
M
30km
O N 40km
50km
P
Q
120km
自学检测
课本6页知识技能：1
3米 4米
如图，受台风麦莎影响，一棵高18米的 大树断裂,树的顶部落在离树根底部6m处, 这棵树折断后有多高？
6m
课本6页“议一议”
达标检测
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东
三角形的面积
A
解：设这个三角形为△ABC，
高为AD，设BD为X，则AB
为（16-X），
8
由勾股定理得： X2+82=(16-X)2
B
C D
X
即X2+64=256-32X+X2 ∴ X=6 ∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 ×6 ×8/2=48
达标测试
助学第6页自主评价：1----8 题
1.1 探索勾股定理（2）
学习目标：
1.掌握验证勾股定理的两种方法； 2.能应用勾股定理解决一些实际问题.
自学指点一
自学内容:课本4---5页例上方内容 自学时间:8分钟 自学要求：（1）将图1-5,1-6中正
方形ABCD的面积用a,b,c表示出来； （2）利用面积相等列出等式，验证
勾股定理.
检验自学效果：
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》的第一节内容。
本节课的主要内容是通过实际问题引导学生探究直角三角形三边之间的关系，从而引入勾股定理。
教材通过丰富的情境和探究活动，让学生经历探究过程，感受数学的发现过程，培养学生的探究能力和创新精神。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够理解直角三角形的概念，但对于勾股定理的证明和应用可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，通过适当的引导和启发，帮助学生理解和掌握勾股定理。
三. 教学目标1.理解勾股定理的定义和证明过程。
2.能够运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的探究能力和创新精神。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的理解和应用。
2.难点：勾股定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实际问题和探究活动，引导学生发现勾股定理。
2.小组合作学习：学生在小组内进行讨论和交流，共同完成探究任务。
3.情境教学法：通过丰富的情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括图片、动画和视频等，帮助学生形象地理解勾股定理。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生探究勾股定理。
3.学生活动材料：为学生提供一些卡片，上面写有直角三角形的三边长度，用于学生进行小组探究。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如篮球架、自行车的三角形车把等，引导学生观察并思考直角三角形的特点。
然后提出问题：“直角三角形的三边之间有什么特殊的关系呢？”2.呈现（10分钟）呈现教材中的探究活动，让学生分组进行探究。
每组有一张卡片，上面写有直角三角形的三边长度。
学生通过测量、计算和讨论，发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3.操练（10分钟）学生分组进行探究，验证勾股定理。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
1.1 探索勾股定理 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册
拨
［答案］ B
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
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方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
［解题思路］设 AC=b，BC=a，AB=c，易得 AB⊥DE，所
考
点
清 以四边形 ACBE 的面积=S△ACB+S△ABE= AB·DG+ AB·EG=
单
解
2
读 AB·（DG+EG）= AB·DE= c ， 四边形 ACBE 的面积
=S
梯形 ACFE
）b+
+S△EFB=
返回目录
［答案］ 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，
所以∠ADB=∠ADC=90°．
设 BD=x，则 CD=21-x，
在 Rt△ABD 中，AD2=102-x2，
在 Rt△ADC 中，AD2=172-（21-x）2，
解得 x=6，所以 AD2=102-62=64，
所以 AD=8，即 BC 边上的高为 8．
（1）已知∠C=90°，a=6，b=8，求 c；
（2）已知∠B=90°，a=15，b=25，求 c.
1.1 探索勾股定理
考
点
清
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
（2）如图， 直角三角形三边 的平方分别是多 少，它们满足上 面所猜想的数量 关系吗？你是如 何计算的？与同 伴进行交流.
（每个小正方形的面积为单位 1）
C A
B
C A
B
左图
A 的面积 9
B 的面积 9
C 的面积 18
面积 关系
边的 关系
9 + 9 = 18 a2+b2=c2
（每个小正方形的面积为单位 1）
边和斜边，那么a2+b2=c2.
a
c
b
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，这便是勾股 定理的由来.
课堂练习
1. 求下图中字母所代表的正方形的面积.
A = 225 + 400 = 625 81
A
225 400
B 225
（1） B = 225 - 81 = 144 （2）
C Aa c
b B
C A
B
右图
A 的面积 4
B 的面积 4
C 的面积 8
面积 关系
边的 关系
4+4=8 a2+b2=c2
（每个小正方形的面积为单位 1）
C A
B
Aa c C bB
对于右图 中的直角三角 形，是否还满 足这样的关系？ 你又是如何计 算的呢？
（每个小正方形的面积为单位 1）CΒιβλιοθήκη ABC AB
左图
A 的面积 16
B 的面积 9
C 的面积 25
面积 关系
边的 关系
16 + 9 = 25 a2+b2=c2
（每个小正方形的面积为单位 1）
Aa
北师大八年级数学上册1.1.1探索勾股定理
谢谢！
A
B 15 cm
A
17 cm
D
C
5.观察下列表格：
列举 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，b，c
猜想 32=4+5 52=12+13 72=24+25 92=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b， c的值.即b= 40 ，c= 41 .
课后作业
如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于 离地面10 m处折断倒下，树顶落在离树根 24 m处. 大树在折断之前高多少米？
课外练习
一、判断题.
1.△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( )
2.△ABC的a=6,b=8,则c=10 (
)
二、填空题
3.在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
△ABC面积为_2_4___,斜边为上的高为_4_._8___.
A D
C
B
4.阴影部分是一个正方形，则此正方形ABCD的面积 为 64 cm² .
图1-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
1.阅读课本 回答问题
（2）在图1-2中，正方形1，
2，3中各含有多少个小方
格？它们的面积各是多少？
3 1
4,4,8
（3）你能发现两图中三个
2
3
图1-1 1
正方形1，2，3的面积之间 有什么关系吗？
2
图1-2
S1+S2=S3
（图中每个小方格代表一个单位面积）
D
解：∵ ∠ACB=90°，AC=3，BC=4， 3
∴在Rt△ABC中根据勾股定理可得,
AC² + BC² =
C4
B
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理 》教学设计1
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计1一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册的第一节内容。
本节课的主要内容是通过探究直角三角形的边长关系，引导学生发现并证明勾股定理。
教材通过丰富的背景材料，激发学生的学习兴趣，培养学生探索数学规律的能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了相似三角形的性质，对三角形的边长关系有一定的了解。
但勾股定理的证明较为抽象，需要学生具有较强的逻辑思维能力。
此外，学生对于证明方法的多样性可能不够了解，需要在教学中进行引导。
三. 教学目标1.了解勾股定理的背景，理解勾股定理的含义。
2.学会用多种方法证明勾股定理。
3.培养学生的探索精神，提高逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重难点：证明勾股定理。
2.难点：如何引导学生发现并证明勾股定理。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示勾股定理的证明过程。
3.采用分组合作学习，培养学生团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.直角三角形模型。
3.勾股定理相关背景材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示古代数学家探索勾股定理的故事，激发学生的学习兴趣。
引导学生思考：为什么勾股定理如此重要？2.呈现（10分钟）展示直角三角形的模型，引导学生观察并总结直角三角形边长之间的关系。
呈现勾股定理的定义：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试用不同方法证明勾股定理。
教师巡回指导，引导学生发现证明过程中的关键步骤。
4.巩固（10分钟）选取几种典型的证明方法，让学生在黑板上展示并进行讲解。
其他学生听讲并提问，教师适时给予点评。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：勾股定理在其他领域的应用。
举例说明勾股定理在工程、建筑等方面的应用。
6.小结（5分钟）学生总结本节课的学习收获，教师进行点评并强调勾股定理的重要性。
7.家庭作业（5分钟）布置一道关于勾股定理的应用题，让学生课后思考。
北师大版八年级数学上册1.1.1探索勾股定理教案
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
4.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的边长等；
5.能够运用勾股定理证明一些简单的几何问题。
本节课将结合实际案例，引导学生通过观察、探索、验证和运用，深入理解勾股定理，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。二 Nhomakorabea核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑思维能力，通过探索勾股定理的过程，使学生能够运用数学语言进行严谨的逻辑推理；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式a² + b² = c²以及如何正确运用这个公式。对于难点部分，比如定理的证明，我会通过动画演示和教具操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题，如计算不同形状的直角三角形的边长。
首先，我意识到在讲授理论部分时，需要更注重直观演示和引导。尤其是勾股定理的证明过程，可以通过更多实际操作和动画演示，让学生更直观地理解。这样，他们就能更好地把握定理的本质，而不是仅仅记住一个公式。
其次，在实践活动中，我发现学生们在分组讨论和实验操作环节表现得很积极，这说明他们喜欢动手操作和合作学习。今后，我可以多设计一些这样的活动，提高学生的参与度和兴趣。
2.提高学生的空间想象力，通过直角三角形的实际操作，让学生在脑海中形成清晰的空间图形，并能够灵活运用勾股定理解决问题；
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x2+52=132 x2=132-52 x2=169-25 x2=144 x=12
x=10
3. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少米? A
C
B
做一做
小明的妈妈买了一部29英寸(74厘米)的 电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏 幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是 售货员搞错了. 你能解释这是为什么吗？
图1-3
图1-4
16
4
9
9
分割成直角边为整数的三角形计算面积
S正方形c
1 4 4 3 1 2
A C
25
（分割求和）
B
图1-3
C
A
B
图1-4
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
议一议
(1)你能用三角形 C A 的边长表示正方 形的面积吗？ (2)你能发现直角 B C 三角形三边长度 A 图1-3 之间存在什么关 B 系吗？与同伴进 图1-4 行交流. (3)分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个 直角三角形，并测量斜边的长度.(2)中的规律 对这个三角形仍然成立吗？
a b c
勾 弦
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方.
b
股
练习：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
81 A 225 225 B
400
2、求出下列直角三角形中未知边的长度
x x 5 13 8 解：（1）由勾股定理得： （2）由勾股定理得： x2=62+82
6
x2 =36+64
x2 =100
A
(3)你能发现图 B 1-1中三个正方 图1-2 形A，B，C的 （图中每个小方格代表一个单位面积） 面积之间有什 么关系吗？
图1-1
做一做
你是怎样得 到表中的结 果的？与同 伴交流交流.
A C
B
图1-3
C
(1)观察图1-3、 图1-4，并填 的面积 （单位面积） （单位面积） （单位面积）
第一章
勾股定理
第一节
探索定理
做一做
C A B
(1)观察图1-1 正方形A中含有 9 . 个小方格，即A的面 积是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积. 正方形C的面积是 18 个单位面积.
图1-1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A B C
(2)在图1-2中， 正方形A，B，C 中各含有多少个 小方格？它们的 面积各是多少？
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
2 解：∵ 58 46 5480 74 5476 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
2
2
延伸拓展
1、如图，一艘船在A处要到达小岛B处，但AB之间有暗礁， 为了行船安全，船先向正西方向行驶了400海里，再向正南方 向行驶了300海里便到达了小岛B，请你计算A与B之间的直线 距离是多少？
正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积 （正方形的面积可以表示为边长的平方）
如果直角三角形两直角边
分别为 a、b ，斜边为 c，那么
c弦
b
a b c
2 2
2
勾a
即直角三角形两直角边的
平方和等于斜边的平方。
股
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜 边为c，那么 c 2 2 2 a
2、利用公式来推导
2-n2 X=m
y=2mn
2+n2 z=m
(m、n是任意两个正整数，且m＞n)
A
B
延伸拓展
2、高速公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小集镇， DA⊥AB与A，CB⊥AB与B,已知DA＝15km，CB＝10km， 现在要在公路AB边上建设一个土特产收购站E，使得C、D两 镇到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
A
E
B C
D
怎样寻找勾股数：
1、牢记几组常用的勾股数