现代设计方法有限元法

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第五章 等参数单元 5.1 平面等参元 5.1.1 坐标变换及位移 5.1.2 应变及应变矩阵 5.1.3 单元刚度矩阵 5.1.4 单元等效节点力 5.1.5 高斯积分 5.1.6 等参元的完备性和协调性 5.2 轴对称等参元 5.2.1 坐标变换及位移 5.2.2 应变及应变矩阵 5.2.3 单元刚度矩阵 5.2.4 单元等效节点力 5.3 等参元的应力、应变计算
• 弹性力学求解的困难：弹性力学需求解边值条件下的偏微分方程组， 在大多数情况下，不存在显式的解析解。
3. 有限元法（Finite Element Method-FEM）
• 求解偏微分方程解的一种基于变分原理和离散化的数值方法。
4. 弹性（静）力学有限元
• 求解弹性（静）力学问题的有限元法
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现代设计方法
——有限元法
Advanced Design Methods
——Finite Element Method
天津大学机械工程学院
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第二部分 有限元
序论 第一章 弹性力学简介
1.1 求和约定 1.2 应力与应变
1.2.1 应力 1.2.2 应变 1.2.3 小变形弹性理论基本方程 第二章 有限元理论基础 2.1 变分法原理 2.1.1 变分法第一定理 2.1.2 泛函极值的求解——欧拉方程 2.1.3 求解变分问题的近似计算法——李兹(Ritz)法 2.2 虚功原理（虚功方程）与能量泛函 2.3 插值及单元位移 2.4 弹性力学有限元的矩阵方程
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第三章 平面问题有限元 3.1 平面问题基本方程及有限元矩阵方程 3.1.1 基本方程 3.1.2 有限元矩阵方程 3.2 三角形场应变单元 3.2.1 离散化 3.2.2 位移模式 3.2.3 应变 3.4 刚度矩阵 3.4.1 单元刚度矩阵 3.4.2 总体刚度矩阵的组装 3.4.3 总体位移向量 3.5 单元的等效节点力与总体载荷向量 3.5.1 单元的等效节点力 3.5.2 总体载荷向量
序论
5. 结构动力学有限元 • 求解动力学问题的有限元法：包括振动、动态响应、模态等。 6. 热传导有限元 • 求解热传导温度场问题。 7. 塑性有限元 • 弹塑性小变形有限元：弹塑性小变形过程分析； • 弹塑性有限变形有限元：弹塑性大变形过程分析，如压力加工变形过 程分析（锻造、冲压）；
• 刚塑性有限元：不考虑弹性部分的基于速率的大变形过程分析，如压 力加工变形过程分析（锻造、冲压）；
z
其中，独立的分量为6个
yxx
xy y
xz yz
zx zy z
其中， xy
，
yx
zБайду номын сангаас
zx
zy yz
xz x xy yx
y
x
yz zy， zx xz
记为
或
ij
x
y
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第一章 弹性力学简介
1.2.2 应变
1. 位移
u [ux uy uz ]T [u v w]T u u(x, y, z) v v(x, y, z)
B dl Au
u dl
B' du
B ''
dl'
A'
w w(x, y, z)
ui ui (x, y, z),i x, y, z
点A的位移为u，点B的 位移为u du，du为位移增量，
dl u
u du du u dl
dl'
表征微线段dl变为dl'，产生的变形和转动量。
du [dux duy duz ]T
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第六章 杆件系统 第七章 薄板弯曲问题 第八章 结构动力学问题
8.1 结构动力学微分方程 8.2 结构动力学虚功方程 8.3 结构动力学有限元矩阵方程 8.4 结构自由振动有限元矩阵方程——模态分析 第九章 塑性力学问题有限元 9.1 屈服与塑性流动
9.1.1 屈服准则 9.1.2 塑性流动本构关系 9.2 弹塑性小变形有限元 9.3 弹塑性有限变形有限元 9.4 刚塑性和刚粘塑性有限元
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3.6 刚度方程求解 3.6.1 边界条件处理
3.7 有限元分析的实施步骤 3.8 有限元计算收敛性 第四章 轴对称问题有限元 4.1 基本方程 4.1.1 平衡方程 4.1.2 几何方程 4.1.3 物理方程 4.2 三角形截面环单元 4.3 轴对称问题的有限元矩阵表达式
4.3.1 单元刚度矩阵 4.3.2 组装总体刚度矩阵 4.3.3 单元等效节点力
8. 其它有限元 • 流体力学有限元； • 电磁场有限元
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第一章 弹性力学简介
1.1 求和约定（求和表达式的简化记法）
a1x1 a2 x2 ... an xn c
n
ai xi c
i 1
ai xi a j x j c
在表达式的任一项中，当某一下标重复出现时，即表示对该下表从 1~n求和（求和下表可用任何符号表示，见上式）。
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第一章 弹性力学简介
dux
ux x
dx
ux y
dy
ux z
dz
dui
ui x j
dx j
2. 应变 应变是对变形的度量
(dl)2 dxidxi
(dl')2 (dxi dui )(dxi dui ) dxidxi duidui 2dxidui
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序论
1. 材料力学的局限性
只能求解梁、杆的应力、应变（变形）状态，对于更一般的结构（如 短梁等）不能给出合理的解。原因：材料力学的基本假设于简化。
2. 弹性力学
• 弹性力学解：求解弹性力学基本方程（包括微分平衡方程、几何方程、 物理方程、边界条件等），得到结构内应力、应变分布的解析解，是 结构内应力、变形状态的精确解。
n
Q
A
S
P
m-n
截面m n上点P的应力
S lim Q A0 A
应力S分解为法向的正应力和切向的切应力
S
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第一章 弹性力学简介
2. 应力状态
在过P点的不同截面上，P点的应力不同。 P点的应力状态可以用过P
点的三个正交平面xoy,yoz,zox上的应力描述。
点P的应力状态可由9个应力分量描述，
例：
f ( x1, x2,...,xn )
df
f x1
dx1
f x2
dx2
...
f xn
dxn
f xi
dxi
f x j
dx j
f,idxi f, jdx j
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第一章 弹性力学简介
1.2 应力与应变
几个相关概念
外力：体积力，表面力
内力：应力 变形：位移、应变 1.2.1 应力 1. 应力是单位面积上的内力