常规数字控制技术
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s
z1
T
（3-10）
式（3-10）便是前向差分法由D(s)求取D(z)的 计算公式。
前向差分法也可由数ຫໍສະໝຸດ Baidu微分中得到。设微分 控制规律为
u(t) de(t) dt
两边求拉氏变换后可推导出控制器为
D(s) U (s) s E(s)
采用前向差分近似可得
u(k) e(k 1) e(k) T
上式两边求Z变换后可推导出数字控制器为
3.1 数字控制器的连续化设计技术
设计方法：数字控制器的连续化设计是 忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器， 在S域中按连续系统进行初步设计，求出连续 控制器，然后通过某种近似，将连续控制器离 散化为数字控制器，并由计算机来实现。
3.1.1 数字控制器的连续化设计步骤 计算机控制系统的结构框图：
4.设计由计算机实现的控制算法
数字控制器D(Z)的一般形式为下式
D(z)
U (z) E(z)
b0 b1z 1 1 a1z 1
bm z m an z n
（3-14）
其中n≥m,各系数ai,bi为实数，且有n个极点和 m个零点，则式（3-14）可写为
U (z) ( a1z 1 a2 z 2
an z n )U (z)
1 T 0.15 ~ 0.5
ωc
其中ωC是连续控制系统的剪切频率。
按上式的经验法选择的采样周期相当短。 因此，采用连续化设计方法，用数字控制器去 近似连续控制器，要有相当短的采样周期。
3.将D(S)离散化为D(Z)
将连续控制器D(s)离散化为数字控制器的方 法有很多，如双线性变化法、后向差分法、前向 差分法、冲击响应不变法、零极点匹配法、零阶 保持法等。
(1)双线性变换法 (2) (3)后向差分法
（1）双线性变换法 由Z变换的定义可知，利用级数展开可得
z esT
sT
e2
sT
e2
1 sT 2
1 sT 2
1 sT
1
2 sT
（3-5）
2
上式称为双线性变换或塔斯廷（Tustin）近似。
为了由D(s)求解D(z)，由式（3-5）可得
s 2z 1 Tz 1
计算机控制
第3章 常规数字控制技术
郝成
计算机控制系统的设计，是指在给定系统
性能指标的条件下，设计出控制器的控制规律 和相应的数字控制算法。
本章主要介绍计算机控制系统的常规及复杂 控制技术。
①常规控制技术介绍数字控制器的连续化 设计技术和离散化设计技术；
②复杂控制技术介绍纯滞后控制、串级控 制、前馈—反馈控制、解耦控制。
且有
D(z)
D(s)
s
2z 1
Tz 1
式（3-7）就是利用双线性变换法由D(s)求取 D(z)的计算公式。
双线性变换也可从数值积分的梯形法对 应得到。设积分控制规律为
u(t) t e(t)dt 0
两边求拉氏变换后可推导得出控制器为
D(s) U (s) 1 E(s) s
当用梯形法求积分运算可得算式如下
u(k) u(k 1) T e(k) e(k 1) 2
上式两边求Z变换后可推导得出数字控制器为
D(z)
U (z) E(z)
1 2z 1 Tz 1
D(s) s 2 z 1 Tz 1
(2)前向差分法 利用级数展开可将z=esT写成以下形式
z= 1+sT+…≈1+sT 由上式可得
s z1 T
D(z)
D(s)
PID调节器之所以经久不衰，主要有以下 优点：
1.技术成熟，通用性强 2.原理简单，易被人们熟悉和掌握 3.不需要建立数学模型 4.控制效果好
(b0 b1z 1
bm z m )E(z)
上式用时域表示为
u(k) a1u(k 1) a2u(k 2)
anu(k n)
b0e(k) b1e(k 1)
bme(k m)
利用上式即可实现计算机编程，因此上式称 为数字控制器D(z)的控制算法。
5.校验 控制器D(z)设计完并求出控制算法后，须
按图3-1所示的计算机控制系统检验其闭环特 性是否符合设计要求，这一步可由计算机控制
1 e sT H (s)
s
其频率特性为
H(j )
1 e jT
2e
j
T 2 (e j
T 2
e
j
T
2)
j
2j
sin T
sin T
T
2
e
j
T 2
T
2
T
T
T2
2
2
从上式可以看出，零阶保持器将对控制信号
产生附加相移(滞后)。对于小的采样周期，可把
零阶保持器H(S)近似为：
H (s) 1 e sT s
1 1 sT (sT )2 2
r(t) + _
e(t)
e(k)
D(z)
T
u(k) T
u(t)
y(t)
H(s)
G(s)
这是一个采样系统的框图：控制器D(Z)的输 入量是偏差，U(k)是控制量，H(S)是零阶保持 器，G(S)是被控对象的传递函数。
1.假想的连续控制器D(S)
设计的第一步就是找一种近似的结构，来 设计一种假想的连续控制器D(S)，这时候我们 的结构图可以简化为：
r(t)
+ _
e(t) D(s)
u(t)
G(s)
y(t)
已知G(S)来求D(S)的方法有很多种，比如 频率特性法、根轨迹法等。
2.选择采样周期T
香农采样定理给出了从采样信号恢复连续信 号的最低采样频率。在计算机控制系统中，完成 信号恢复功能一般由零阶保持器H(S)来实现。零 阶保持器的传递函数为：
D(z) U (z) E(z)
z1 T
D(s) s z 1 T
(3)后向差分法 利用级数展开还可将Z=esT写成以下形式
Z esT
1 e sT
1 1 sT
（3-11）
由式（3-11）可得
s z1 Tz
D(z) D(s) s z 1 Tz
双线性变换的优点在于：它把左半s平面 转换到单位圆内。如果使用双线性变换，一个 稳定的连续控制系统在变换后仍将是稳定的， 可是使用前向差分法，就可能把它变换为一个 不稳定的离散控制系统。
系统的数字仿真计算来验证，如果满足设计要 求设计结束，否则应修改设计。
r(t)
+ _
e(t) D(s)
u(t)
G(s)
y(t)
图3-1 连续控制器示意图
3.1.2 数字PID控制器的设计
根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)进 行控制(简称PID控制)，是控制系统中应用最 为广泛的一种控制规律。
s
T (1 s T 2
sT
) Te 2
上式表明，当T很小时，零阶保持器H(S) 可用半个采样周期的时间滞后环节来近似。 它使得相角滞后了。而在控制理论中，大家 都知道，若有滞后的环节，每滞后一段时间， 其相位裕量就减少一部分。我们就要把相应 减少的相位裕量补偿回来。假定相位裕量可 减少5°～15°，则采样周期应选为：
z1
T
（3-10）
式（3-10）便是前向差分法由D(s)求取D(z)的 计算公式。
前向差分法也可由数ຫໍສະໝຸດ Baidu微分中得到。设微分 控制规律为
u(t) de(t) dt
两边求拉氏变换后可推导出控制器为
D(s) U (s) s E(s)
采用前向差分近似可得
u(k) e(k 1) e(k) T
上式两边求Z变换后可推导出数字控制器为
3.1 数字控制器的连续化设计技术
设计方法：数字控制器的连续化设计是 忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器， 在S域中按连续系统进行初步设计，求出连续 控制器，然后通过某种近似，将连续控制器离 散化为数字控制器，并由计算机来实现。
3.1.1 数字控制器的连续化设计步骤 计算机控制系统的结构框图：
4.设计由计算机实现的控制算法
数字控制器D(Z)的一般形式为下式
D(z)
U (z) E(z)
b0 b1z 1 1 a1z 1
bm z m an z n
（3-14）
其中n≥m,各系数ai,bi为实数，且有n个极点和 m个零点，则式（3-14）可写为
U (z) ( a1z 1 a2 z 2
an z n )U (z)
1 T 0.15 ~ 0.5
ωc
其中ωC是连续控制系统的剪切频率。
按上式的经验法选择的采样周期相当短。 因此，采用连续化设计方法，用数字控制器去 近似连续控制器，要有相当短的采样周期。
3.将D(S)离散化为D(Z)
将连续控制器D(s)离散化为数字控制器的方 法有很多，如双线性变化法、后向差分法、前向 差分法、冲击响应不变法、零极点匹配法、零阶 保持法等。
(1)双线性变换法 (2) (3)后向差分法
（1）双线性变换法 由Z变换的定义可知，利用级数展开可得
z esT
sT
e2
sT
e2
1 sT 2
1 sT 2
1 sT
1
2 sT
（3-5）
2
上式称为双线性变换或塔斯廷（Tustin）近似。
为了由D(s)求解D(z)，由式（3-5）可得
s 2z 1 Tz 1
计算机控制
第3章 常规数字控制技术
郝成
计算机控制系统的设计，是指在给定系统
性能指标的条件下，设计出控制器的控制规律 和相应的数字控制算法。
本章主要介绍计算机控制系统的常规及复杂 控制技术。
①常规控制技术介绍数字控制器的连续化 设计技术和离散化设计技术；
②复杂控制技术介绍纯滞后控制、串级控 制、前馈—反馈控制、解耦控制。
且有
D(z)
D(s)
s
2z 1
Tz 1
式（3-7）就是利用双线性变换法由D(s)求取 D(z)的计算公式。
双线性变换也可从数值积分的梯形法对 应得到。设积分控制规律为
u(t) t e(t)dt 0
两边求拉氏变换后可推导得出控制器为
D(s) U (s) 1 E(s) s
当用梯形法求积分运算可得算式如下
u(k) u(k 1) T e(k) e(k 1) 2
上式两边求Z变换后可推导得出数字控制器为
D(z)
U (z) E(z)
1 2z 1 Tz 1
D(s) s 2 z 1 Tz 1
(2)前向差分法 利用级数展开可将z=esT写成以下形式
z= 1+sT+…≈1+sT 由上式可得
s z1 T
D(z)
D(s)
PID调节器之所以经久不衰，主要有以下 优点：
1.技术成熟，通用性强 2.原理简单，易被人们熟悉和掌握 3.不需要建立数学模型 4.控制效果好
(b0 b1z 1
bm z m )E(z)
上式用时域表示为
u(k) a1u(k 1) a2u(k 2)
anu(k n)
b0e(k) b1e(k 1)
bme(k m)
利用上式即可实现计算机编程，因此上式称 为数字控制器D(z)的控制算法。
5.校验 控制器D(z)设计完并求出控制算法后，须
按图3-1所示的计算机控制系统检验其闭环特 性是否符合设计要求，这一步可由计算机控制
1 e sT H (s)
s
其频率特性为
H(j )
1 e jT
2e
j
T 2 (e j
T 2
e
j
T
2)
j
2j
sin T
sin T
T
2
e
j
T 2
T
2
T
T
T2
2
2
从上式可以看出，零阶保持器将对控制信号
产生附加相移(滞后)。对于小的采样周期，可把
零阶保持器H(S)近似为：
H (s) 1 e sT s
1 1 sT (sT )2 2
r(t) + _
e(t)
e(k)
D(z)
T
u(k) T
u(t)
y(t)
H(s)
G(s)
这是一个采样系统的框图：控制器D(Z)的输 入量是偏差，U(k)是控制量，H(S)是零阶保持 器，G(S)是被控对象的传递函数。
1.假想的连续控制器D(S)
设计的第一步就是找一种近似的结构，来 设计一种假想的连续控制器D(S)，这时候我们 的结构图可以简化为：
r(t)
+ _
e(t) D(s)
u(t)
G(s)
y(t)
已知G(S)来求D(S)的方法有很多种，比如 频率特性法、根轨迹法等。
2.选择采样周期T
香农采样定理给出了从采样信号恢复连续信 号的最低采样频率。在计算机控制系统中，完成 信号恢复功能一般由零阶保持器H(S)来实现。零 阶保持器的传递函数为：
D(z) U (z) E(z)
z1 T
D(s) s z 1 T
(3)后向差分法 利用级数展开还可将Z=esT写成以下形式
Z esT
1 e sT
1 1 sT
（3-11）
由式（3-11）可得
s z1 Tz
D(z) D(s) s z 1 Tz
双线性变换的优点在于：它把左半s平面 转换到单位圆内。如果使用双线性变换，一个 稳定的连续控制系统在变换后仍将是稳定的， 可是使用前向差分法，就可能把它变换为一个 不稳定的离散控制系统。
系统的数字仿真计算来验证，如果满足设计要 求设计结束，否则应修改设计。
r(t)
+ _
e(t) D(s)
u(t)
G(s)
y(t)
图3-1 连续控制器示意图
3.1.2 数字PID控制器的设计
根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D)进 行控制(简称PID控制)，是控制系统中应用最 为广泛的一种控制规律。
s
T (1 s T 2
sT
) Te 2
上式表明，当T很小时，零阶保持器H(S) 可用半个采样周期的时间滞后环节来近似。 它使得相角滞后了。而在控制理论中，大家 都知道，若有滞后的环节，每滞后一段时间， 其相位裕量就减少一部分。我们就要把相应 减少的相位裕量补偿回来。假定相位裕量可 减少5°～15°，则采样周期应选为：