实变函数第二章习题解答.docx

第二章习题参考解答

1：证明:有理数全体是尺中可测集,且测度为0.

证：（1）先证单点集的测度为O.V XG /?\令£ = {X }.V^>0,V HG /V

p

p

8

00

—尹“莎）,因如Sf 专初屮严'人为开区砖

00

工I I =工= £ .

故加*E = 0.m 以E 可测且mE = 0. M = 1 〃 = 1 '"

（2）再证：/?'中全体有理数全体Q 测度为0.

设匕}羸是只中全体有理数,VneTV,令E n ={r n }.则{乞}是两两不相交的可测集

00

8

8

列，由可测的可加性冇：加* 0 =加（u &）=工mE n =工0 = 0.

n=1

n=l n=\

法二：设e = {rJL ，Vne/v,令/；=（乙—缶心+希），其中£是预先给定的

任意性，加*2 = 0.

2. 证明：若E 是/?"有界集，则m*E<+oo.

证明：若E 是/?"有界.则日常数M >0,使Vx = （x p x 2,•••%…）€£,有间=

Eu 匚[[兀一M,兀 +M].

1=1

所以加门比 -M,兀 +M]sf2M =（2M ）” <+oo

/=i

/=i

3. 至少含有一个内点的集合的外测度能否为零？

解：不能.事实上，设E u R”, E 中有一个內点兀=（坷，…兀”）wEH5〉（）,使得

”

“

Q Q

0（兀,5）=訂（兀一牙，兀+ 牙）U E .则/??*£ >m*[]^[（x.

+ —）] = s n

> 0

；=i

2

2

f=i

2 2

所以加* E H O.

00

co

r

~

q

与斤无关的正常数，贝ij ： m^Q =诚{工I I n \ | U A o Q} <^l I

1=工乔之•由£得

n=\ J 】 >=1 i=\ 2

〃二 1 /=!

4•在㈡上]上能否作一个测度为h-a f但乂界于[Q,切的闭集？

解：不能

事实上，如果有闭集Fu[d,b]使得mF = b-a.不失一般性，可设aeFf\.beF . 事实上，若a 电F，则可作F* 二{a} U F，F* u [G,/?].UmF^ = m[a] + mF = mF .这样, 我们可记F*为新的F ,从而[a,b]-F = (a,b)-F = (a,b)-FCl@劝.

如果[a,b]-FH0,即Bxe[a,b]-F = (a,b)-F f而(a,b)_F是开集，故兀是[a,b]-F的一个内点，由3题,([a,b]- F) = m([a,b]- F) = m(a.b)-mF与mF = b-a才盾.

故不存在闭集Fcz[a,b]且mF=b — a

5.若将§ 1定理6中条件”加(U ®) <0去掉，等式0 /n(limEJ

n>k0"TOO "T8

成立？

解：§ 1定理6中条件*( U £,.)< 00”是不可去掉的.

心k()

事实上，Vne2V,令E n-[n-l,n),贝U{E”}爲是两两相交的可测集列,由习题一得

15 题：iim£n = lim E/? = 0 m(lim £ J = 0，但V” w N , mE n =m[n-l,n) = l.所以

"T8 w_>oo ms

lim mE n = 1 •从而lim mE n丰加(lim E tl).

>00 "—>8

6.设代，E，…是[0,1)中具有下述性质的可测集列：X/£>0, 3k eN使证& >1-£',

00

证明：7H(U£/)=1

/=!

证：事实上，Vg〉0,因为mk G N , mE k >\-£

1 > m[O,l] > m(U EJ > mE k >\-£

i=\

7.证明:对任意可测集A,B,下式恒成立.

m{A U B) + m( A Pl B) = mA + mB .

证明：A^B = (A\JB-A)\JA且(4UB —4)门4 = 0

故m(A U B) = m(A U B 一A) + 加4 •即加(力U B) - mA = m(A B - A) = m(B - A)又因为B = (B-A)U(BnA)..E(B-A)n(BnA) = 0,所以mB =

m{B一A) + m{B A A)

故加(A U 5) - mA = mB -m(A Pl B),从而m{A U B) + m(A Pl B) = mA + mB

&设是A，A?是[0,1]屮的两个可测集且满足m\+mA2 >1,证明：m(A^A2)>0.

证：m{A{ UA2) + /n(A, 0^2) = /^ +mA2.又因为加(出U A2) < m([0,l]) = 1

所以加(A 0 A?) = mA x + mA^ - m(A, U 人)》加人 + ""V -1 > 0

9.设A2,码是[0,1]中的两个可测集,且皿+叽+叽>2,证明：

/n(A] n A2 n A3) > 0

证:m(A l U A2 \J A3) + m[(A{ [J A2)C\A3] = m(A] U >42) + mA3 =

in(A{) + m(A2) + m(A3) -m{A{ A A2).

所以m(A i nA2) + m[(A I\JA2 Pl ^3)] = + m(A2) + m(A3) -m(A} \JA2 U £)

又因为m[(A, nA2)u(A2nx3)u(A3 nA,)i=血[(儿AA2)U(AUA2A A3)J=加(Al 0人2)+ 〃[(£ u A2 n A3)J -zn[(A1AA2)D[(A1 U A2 D AJ] =加(儿门仏)* m[(A UA2)n AJ- m[(A{ C\A2H A J .所以加(岀介每门州)= m(A, M)+/7?[(A U A2 A 4 )1 - zn[(A1 HA2)U (A2 n 4)U (A3 AA)]= m(A,) + m(A2) + zn(A3) -zn(4 U A2 U A3)-加[(人A A2) U (A2 A A3)U (A3 A A,)]

因为/n(A1UA2UA3)

加KA nA2)u(A2n A3)U(A3 nA)]

加(A D A2 A A.) > 加(A〕)+ m(A2) + m(A3)-l-l = m(A t) + m(A2)-b m(A3) - 2 > 0.

1().证明：存在开集G,使加乙>M G

证明：设｛乙｝爲是［0,1］闭区间的一切有理数，对于V HG/V,令

人二⑴一肖心+拾)，并^G=Ol n是疋中开集

Z Z 川=1

1

二二1 C亍1 —— 1

mG < Y mI n=S^F =~^T = - Gn[O,l],故mG > /n[O,l] = l>- = mG. n=\ n=\ 2 | _ 丄2 2

2

11.设E是X中的不可测集，4是疋中的零测集，证明：EHCA不町测.