高等数学(上)(褚宝增 陈兆斗主编)北京大学出版社出版--高阶导数
高等数学(上册)知识点的细分目录
高等数学（上册）知识点的细分目录高等数学（上册）知识点的细分目录第一章函数、极限与连续(01)（注：以下括号内的时间为建议的视频讲课时间，不包括讲习题的时间）0101 函数（80分钟）010101 函数的概念（两个要素）010102 函数的解析表示和几个函数的例子（绝对值函数、符号函数、取整函数、分段函数、狄利克雷函数）010103 函数的几种特性010104 反函数与反三角函数010105 函数的四则运算和复合运算010106 基本初等函数与初等函数010107 双曲函数（反双曲函数可暂时从略）0102 数列极限的概念（40分钟）010201 数列的概念010202 数列极限的描述性定义010203 数列极限的精确定义010204 数列极限的几何解释010205 数列极限的例子0103 收敛数列的性质（40分钟）010301 唯一性010302 有界性010303 保号性*010304 收敛数列与其子数列的关系0104 自变量趋于无穷大时函数极限的概念（40分钟）010401 自变量趋于无穷大时函数极限的直观描述 010402 自变量趋于无穷大时函数极限的精确定义010403 自变量趋于无穷大时函数极限的几何解释及曲线的水平渐近线0105 自变量趋于有限值时函数极限的概念（40分钟）010501 自变量趋于有限值时函数极限的直观描述 010502 自变量趋于有限值时函数极限的精确定义010503 自变量趋于有限值时函数极限的几何解释010504 左右极限及其与极限存在的关系0106 函数极限的性质（40分钟）010601 唯一性010602 局部有界性010603 局部保号性*010604 函数极限与数列极限的关系0107 无穷小与无穷大（40分钟）010701 无穷小的定义及例子010702 无穷小与极限的关系010703 无穷大的定义及例子010704 无穷大与无穷小的关系010705 铅直渐近线0108 极限的运算法则（30分钟）010801 极限的四则运算法则010802 复合函数极限的运算法则（变量代换法则）010803 极限的保序性0109 极限存在准则两个重要极限（60分钟）010901 极限存在的夹逼准则（几何说明，可不证明) 010902 重要极限及其在求极限中的应用举例010903 数列的单调有界收敛准则（只几何说明）010904 重要极限其在求极限中的应用举例0110 无穷小的比较（30分钟）011001 无穷小阶的概念011002 等价无穷小的概念与常见的等价无穷小011003 两个无穷小等价的一个充要条件011004 等价无穷小在求极限中的应用举例0111 函数的连续性（20分钟）011101 函数连续的实例与直观描述011102 函数在一点处连续的两个等价定义011103 函数在一个区间上连续的定义0112 函数的间断点（30分钟）011201 函数间断点的实例与直观描述011202 函数间断点的定义（三种情况）011203 间断点的分类及举例0113 连续函数的运算（30分钟）011301 连续函数的四则运算（主要用例子说明）011302 反函数的连续性011303 复合函数的连续性0114 初等函数的连续性（20分钟）011401 基本初等函数与初等函数的连续性011402 分段函数在分段点处的连续性0115 闭区间上连续函数的性质（40分钟）011501 有界性与最大值最小值定理（用图形和例子说明）011502 零点定理与介值定理（用图形和例子说明）011503 用二分法求方程的根011504 应用实例0116 单元小结（60分钟）0117 单元测试（60分钟）第二章导数与微分(02)0201 导数的概念（60分钟）020101 引例（切线问题、速度问题）020102 导数的定义020103 左右导数及其与可导的关系020104 在一个区间上的可导性，可导函数020105 导数的几何意义020106 函数可导性与连续性的关系020107 导数作为变化率的实际意义（根据专业选例）0202 函数的求导法则（60分钟）020201 函数求导的四则运算法则020202 反函数的求导法则020203 复合函数的求导法则020204 基本初等函数的导数公式表0203 高阶导数（30分钟）020301 高阶导数的概念020302 高阶导数的计算020303 几个基本初等函数的高阶导数公式0204 隐函数的求导法（30分钟）020401 隐函数的概念020402 隐函数的求导法则020403 隐函数求导的几何应用举例0205 由参数方程所确定的函数的导数（30分钟）020501 由参数方程所确定的函数的概念020502 由参数方程所确定的函数的求导法020503 参数方程求导的应用实例0206 相关变化率（30分钟）020601 相关变化率的概念与计算020602 相关变化率的应用实例0207 函数的微分（40分钟）020701 微分的概念020702 可微与可导的关系020703 微分的几何意义020704 基本初等函数的微分公式与微分运算法则020705 基本初等函数的微分公式表020706 微分在近似计算中的应用（误差估计、函数的线性近似）0208 单元小结（60分钟）0209 单元测试（60分钟）第三章微分中值定理和导数的应用(03)0301 罗尔定理（30分钟）030101 罗尔定理及其几何意义030102 罗尔定理的证明030103 罗尔定理的应用举例0302 拉格朗日定理（40分钟）030201 拉格朗日定理及其几何意义030202 拉格朗日定理的证明030203 拉格朗日公式的几种形式030204 在区间I上恒为零的充要条件030205 拉格朗日公式的其他应用举例0303 柯西中值定理（20分钟）030301 柯西中值定理及其几何意义030302 柯西中值定理与拉格朗日定理的关系030303 柯西中值定理的应用举例0304 洛必达法则（50分钟）030401 型未定式的洛必达法则030402 型未定式的洛必达法则030403用洛必达法则求型和型未定式的极限030404 用洛必达法则求型未定式的极限030405 不能用洛必达法则求解的未定式的例子0305 泰勒定理（50分钟）030501 多项式逼近函数与泰勒公式030502 具有佩亚诺余项的泰勒定理030503 具有拉格朗日余项的泰勒定理030504 常用函数的麦克劳林公式及其应用举例0306 函数的单调性（30分钟）030601 函数单调性的判别法030602 函数单调性的应用举例0307 函数曲线的凹凸性（40分钟）030701 曲线凹凸性的定义和几何解释030702 曲线凹凸性的判别法030703 拐点的定义和几何解释030704 拐点的判别法0308 函数的极值（30分钟）030801 函数极值的概念030802 函数极值点的必要条件030803 函数极值点的第一充分条件030804 函数极值点的第二充分条件0309 函数的最值（30分钟）030901 函数最大值最小值的求法030902 函数最值的应用实例0310 函数图形的描绘（30分钟）031001 借助导数描绘函数图形的步骤031002 函数作图举例*031003 利用软件函数作图0311 平面曲线的曲率（50分钟）031101 弧微分及其计算公式031102 曲率的概念031103 曲率的计算公式031104 曲率圆与曲率半径031105 曲率的应用举例0312 方程的近似解（30分钟）031201 利用两分法求方程的近似解031202 利用切线法求方程的近似解*031203 利用软件求方程的近似解0313 单元小结（60分钟）0314 单元测试（60分钟）第四章不定积分（04）0401 原函数与不定积分的概念（40分钟）040101 原函数的定义040102 原函数概念的两点说明1.若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数；2.f(x)的任意两个原函数相差一常数。
高等数学上册教材目录
高等数学上册教材目录1. 微积分导论1.1. 实数与数集1.1.1. 实数的概念与性质1.1.2. 数集的分类与运算1.1.3. 上确界与下确界1.2. 极限与连续性1.2.1. 函数极限的定义1.2.2. 极限的性质1.2.3. 无穷小量与无穷大量1.2.4. 连续性的定义与性质2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.1.1. 函数的定义与表示2.1.2. 函数的图像与性质2.2. 函数的极限2.2.1. 函数极限的计算方法2.2.2. 无穷小量对函数极限的影响2.3. 极限存在与连续性2.3.1. 极限存在的条件2.3.2. 连续函数与间断点3. 导数与微分3.1. 导数的概念与性质3.1.1. 导数的定义3.1.2. 导数的运算法则3.1.3. 高阶导数与导数的应用3.2. 微分的概念与应用3.2.1. 微分的定义与计算3.2.2. 微分中值定理与导数的应用3.3. 函数的凸性与最值3.3.1. 函数的单调性与凸性3.3.2. 最值问题与应用4. 微分中值定理与导数应用4.1. 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理4.2. 柯西中值定理与洛必达法则4.3. 震荡定理与不等式的应用4.4. 张贴问题与曲线追踪5. 积分与不定积分5.1. 积分的概念与性质5.1.1. 不定积分的定义5.1.2. 积分运算法则5.2. 牛顿-莱布尼兹公式与变限积分 5.2.1. 牛顿-莱布尼兹公式的应用 5.2.2. 变限积分的计算5.3. 定积分的概念与性质5.3.1. 定积分的定义5.3.2. 定积分的计算方法5.4. 积分中值定理与上积分5.4.1. 积分中值定理的应用5.4.2. 上积分的概念与计算6. 积分应用与定积分计算6.1. 曲线的长度与平面图形的面积6.1.1. 曲线长度的计算6.1.2. 平面图形面积的计算6.2. 旋转体的体积与平面曲线的求弧长6.2.1. 旋转体的体积计算6.2.2. 平面曲线弧长的计算6.3. 曲线的参数方程与极坐标方程6.3.1. 参数方程与极坐标方程的基本概念6.3.2. 参数方程与极坐标方程的应用7. 微分方程初步7.1. 微分方程的基本概念与解的存在唯一性 7.2. 一阶微分方程的解法7.2.1. 可分离变量的微分方程7.2.2. 齐次与一阶线性微分方程7.2.3. 可降阶的高阶微分方程7.3. 二阶线性齐次微分方程7.3.1. 齐次线性微分方程的基本概念7.3.2. 常系数齐次线性微分方程的解法 7.4. 可降阶的高阶线性微分方程7.4.1. 高阶线性微分方程的基本概念7.4.2. 可降阶的高阶线性微分方程的解法8. 多元函数微分学8.1. 二元函数与偏导数8.1.1. 二元函数的概念与性质8.1.2. 偏导数的定义与计算8.2. 多元函数的微分8.2.1. 多元函数的全微分8.2.2. 隐函数与反函数的微分8.2.3. 多元函数的全微分与偏导数8.3. 多元函数的极值与条件极值8.3.1. 多元函数的极值及其判定条件8.3.2. 多元函数的条件极值及其求解9. 重积分9.1. 二重积分的概念与性质9.1.1. 二重积分的定义9.1.2. 二重积分的计算方法9.2. 二重积分的应用9.2.1. 平面图形的质心与重心 9.2.2. 轴对称曲面的体积计算 9.3. 三重积分的概念与性质9.3.1. 三重积分的定义9.3.2. 三重积分的计算方法9.4. 三重积分的应用9.4.1. 空间图形的体积计算9.4.2. 质量和质心的计算10. 曲线积分与曲面积分10.1. 曲线积分的概念与计算10.1.1. 第一类曲线积分10.1.2. 第二类曲线积分10.2. Green公式与环流量10.2.1. Green公式的推导与应用10.2.2. 曲线的环流量计算10.3. 曲面积分的概念与计算10.3.1. 第一类曲面积分10.3.2. 第二类曲面积分10.4. Stokes公式与散度定理10.4.1. Stokes公式的应用10.4.2. 散度定理的应用11. 序列与级数11.1. 数列的极限与收敛性11.1.1. 数列极限的概念与性质11.1.2. 数列收敛性的判定准则11.2. 函数项级数11.2.1. 函数项级数的收敛性判定11.2.2. 常见函数项级数的性质11.3. 幂级数与Taylor展开11.3.1. 幂级数的概念与收敛半径11.3.2. Taylor级数与Maclaurin级数11.4. 函数的一致收敛性11.4.1. 函数列的逐点收敛与一致收敛11.4.2. 一致收敛的判定条件以上为《高等数学上册》教材目录的简要内容概述，各章节内容详细，适合根据教材目录迅速定位所需知识点并展开学习。
高数上猴博士课堂笔记
高数上猴博士课堂笔记第一节：函数与极限1.1 函数的定义在数学中，函数是一个将一个集合的元素（称为“自变量”）映射到另一个集合的元素（称为“因变量”）的规则。
函数通常表示为y=y(y)，其中y是自变量，y是因变量。
1.2 极限的定义极限是函数运算中的一个重要概念，可以形式化地描述函数在某个点逼近某一值的过程。
极限可以用符号 $\\lim$ 来表示，例如 $\\lim_{x \\to a} f(x)$ 表示当y趋近于y时，函数y(y)的极限。
1.3 极限的性质极限具有一些基本的性质，例如：•极限的唯一性：如果一个函数存在极限，则该极限是唯一的。
•极限的四则运算法则：对于两个函数y(y)和y(y)，有以下四则运算法则：–$\\lim_{x \\to a}(f(x) + g(x)) = \\lim_{x \\to a} f(x) + \\lim_{x \\to a} g(x)$–$\\lim_{x \\to a}(f(x) - g(x)) = \\lim_{x \\to a} f(x) - \\lim_{x \\to a} g(x)$–$\\lim_{x \\to a}(f(x) \\cdot g(x)) = \\lim_{x \\to a} f(x) \\cdot \\lim_{x \\to a} g(x)$–$\\lim_{x \\toa}\\left(\\frac{f(x)}{g(x)}\\right) = \\frac{\\lim_{x\\to a} f(x)}{\\lim_{x \\to a} g(x)}$（当 $\\lim_{x\\to a} g(x) \ eq 0$）1.4 函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点附近的取值与该点的极限值相等。
函数连续性的几个基本定义包括：•函数在某一点连续：如果函数y(y)在点y处存在极限，并且 $\\lim_{x \\to a} f(x) = f(a)$，那么函数y(y)在点y处连续。
大一高数知识点总结高阶导数
大一高数知识点总结高阶导数大一高数知识点总结：高阶导数一、导数的基本概念在微积分学中，导数是描述函数变化率的重要工具。
对于函数f(x)而言，其导数表示函数在某一点处的切线斜率，记作f'(x)或dy/dx。
二、高阶导数的定义高阶导数即对于函数的导数再次求导。
对于f(x)的n阶导数，记作f^n(x)，其中n为正整数。
三、导数的计算方法1. 基本导数法则- 常函数的导数为0；- 变量的导数为1；- 幂函数的导数可通过幂的法则计算；- 对数函数的导数可通过对数的法则计算；- 三角函数的导数可通过三角函数的法则计算；- 指数函数的导数可通过指数的法则计算。
2. 高阶导数的计算高阶导数的计算可以采用递推的方法，即通过已知的低阶导数计算得到高阶导数的表达式。
四、高阶导数的应用高阶导数在数学和物理学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 函数的凹凸性分析通过判断函数的二阶导数符号可以确定其凹凸性。
当二阶导数大于0时，函数是凹函数；当二阶导数小于0时，函数是凸函数。
2. 曲线的拐点分析曲线的拐点即函数图像上出现拐角的点，通过判断函数高阶导数的零点可以确定拐点的位置。
3. 泰勒展开泰勒展开是一种将函数在某一点附近展开成幂级数的方法，可以利用函数的高阶导数来求取函数的近似值。
4. 物理问题中的加速度和速度分析在物理学中，速度是位移关于时间的导数，而加速度是速度关于时间的导数。
通过计算物体的高阶导数，可以得到物体在不同时间点的加速度和速度。
五、总结高阶导数是导数的进一步推广，对于函数的变化率和曲线的性质分析具有重要作用。
在应用数学和物理学等学科中，高阶导数的概念和计算方法被广泛应用，帮助解决了许多实际问题。
熟练掌握高阶导数的知识，对于深入理解微积分和应用数学具有重要意义。
关于同理可证的教学准备
关于同理可证的教学准备作者：褚宝增赵俊芳廉海荣耿凤杰来源：《知识力量·教育理论与教学研究》2013年第03期[摘要]同一个定理中含两种情况时，或不同的相似定理间，在证明过程中对后者往往使用“同理可证”一语代过。
多数证明是明显的同理可证，然也存在一些证明并不是简单的同理，需要做一定的先期变换方可。
教师在备课时应当有所准备。
[关键词]定理证明同理可证教师备课一、同理可证的概念在数学教学过程中的“同理可证”，对于多年在教学一线的教师而言，确实“同理”即“可证”，对于刚刚接触到新的学习内容的学生而言，觉得“同理”未必“可证”。
如何避免课堂教学过程当中学生提问的突然性，就要求教师在课堂教学前对“同理可证”做充分的教学准备。
“同理可证”是数学定理证明中时常使用的手段，其具有易于阅读、过程简洁的特点。
从数学理论上说，证明命题A与证明命题B同理是指：证明命题A与证明命题B或者用了相同的定理，或者用了相同的方法[1]。
“同理可证”的使用，必须注意同理的对应范围，且“同理”得出的结论必须是明显的，如果过程复杂，不建议用“同理可证”。
特别是具有对称性时，最应选择“同理可证”。
二、直接的同理可证例如在《高等数学》中，关于极限保号性的定理，就应该用“同理可证”的手段[2]。
定理（局部保号性）若（或则对任意正数r（0使得对一切x∈N ，恒有地f（x）>r>0（或f（x）证明：当A>0时，取ε=A-r>0，由函数极限的定义，存在正数δ，使得对一切 x∈N 有|f （x）-A|即0所以 f（x）>r>0当A取ε=-A-r>0，由函数极限的定义，存在正数δ，使得对一切x∈N 有|f（x）-A|即2A+r=A-（-A-r）所以f（x）从上面这个例子可以看出，除了极少数细节外，其证明过程几乎完全一样[3]。
三、需要调整后的同理可证例如在《积分变换》中，关于Fourier变换的卷积定理，就无法直接用“同理可证”的手段[4]。
《高等数学讲义》(上、下册)--目录 樊映川等编
第一篇解析几何《高等数学讲义》 (上、下册) -- 目录第五章极坐标樊映川等编12.平面束的方程第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积10.两矢量的夹角11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离5.两平面的夹角6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I. 常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T- 函数II. 函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III 幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。
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四、函数在区间内可导的概念
如果函数 y f (x)在区间(a,b)内的每一点都可导，
则称函数 y f (x) 在区间 (a,b) 内可导.这时，对于区间
(a,b) 内的每一个确定的 x 值，都有唯一的导数值 f (x)
与之对应，即 f (x) lim f (x x) f (x)
11
例2 已知 y x2 ，求 y 与 y x2 .
解：y x x2 x2 2xx x2
y
x = 2 x x
lim y lim 2x x 2x
x0 x
x0
所以：
y
x2
2x;
y 22 4
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例1 求下列函数的导数：
（1） y 3x5 2sin x 4cos x 8
（2） y 2x 1 ln x
（3）
y
2
3x 5x4
（4）
y
2
x3 1
解 (1) y (3x5) (2sin x) (4cos x) (8)
3(x5) 2(sin x) 4(cos x) 0
y e xx e x e x ex 1
x x
x
利用极限 lim e t 1 1 ，得
t 0
t
y lim y lim e x ex1 e x
x x0
x0
x
由此得到 e x e x
推广：对于一般的指数函数,有导数公式：
ax ax ln a a 0,a 1
f
1 x
x
f
1
lim 1 x2 12 lim 1 1
高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版--求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
第二章
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解决求导问题的思路:
( 构造性定义 ) 本节内容
( C ) 0 ( sin x ) cos x 证明中利用了 1 两个重要极限 ( ln x ) x
dy y lim lim d x x 0 x x 0
f (u ) g ( x)
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推广：此法则可推广到多个中间变量的情 形. y 例如,
d y d y d u dv d x d u dv d x
u v x
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定理2. 设 y f ( x) 为 x f
二、反函数的求导法则 1
1
d y
例3. 求反三角函数及指数函数的导数. π π 解: 1) 设 则 y ( , ) , 2 2 cos y 0 , 则 1 1 (sin y ) cos y 1 sin 2 y 利用 π arccos x arcsin x 2 类似可求得
1 (log a x) x ln a 1
1 ( x ) x (cos x) sin x (cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x (e x ) e x
1 (ln x) x
2
1 x 1 (arctan x) 1 x2
(a ) a ln a
x x
( arccos x) ( arc cot x)
( e x ) e x
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高等数学(上册)(慕课版)第二章 导数与微分
y f (x0 x) f (x0 )
dy f (x0 )x
标准形式
y Ax (x)
近似
dy Ax
10
02 微分
几何意义
y
M0 y f(x)
T M
P dyy Q
“以直代曲”
x
O
x0
x0 x
x
数学思想
注意 当曲线y f (x)在点M (x, y)处的横坐标x 有增量x 时， y是其纵坐标的增量，dy 就是曲线切线上点的纵坐标相应增量. 当 x 很小时，y dy.
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
一、 导数的定义
定义2.1
设函数y f (x)在点x0 的某邻域内有定义，当自变量x 在x0 处有增量x时，
相应函数的增量为y
f (x0 x)
f
( x0
).
如果当x
0
时，极限
lim
x0
y x
存在，
则称函数y f (x)在点x0 处可导，并把这个极限值称为
f (x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在且相等.
19
一、 导数的定义
例1
若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在，证明f (x)在x=0 处可导. x0 x
证法一
设 lim f (x) A( A为常数)，则lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
记作：f (x) ，y，df ，dy ， dx dx
即
f (x) lim f (x x) f (x) ，
高等数学(上)(褚宝增 陈兆斗主编)北京大学出版社出版--引言
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引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成
恩格斯
为必要的了,而它们也就立刻产生.
笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
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二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
任课教师:张蓉
• 答疑时间: 星期一 下午4：00-5：00
• 地点:数理楼三楼信息与计算科学教学部 • 周一下午4：00-5：00交作业到办公室 • 作业本上写明班级、学号和教师
平时成绩占30%，期末成绩占70% • 平时成绩由考勤、作业、半期考试成绩 几部分构成。
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一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习 , 天才在于积累 . 学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚
由薄到厚 , 由厚到薄 .
第一节 目录 上页 下页 返回 结束
高等数学(上)(褚宝增陈兆斗主编)北京大学出版社出版--导数概念共27页
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自
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例8. 设
求
1 2 y , 即 (1 x ) y 1 解: 2 1 x 用莱布尼茨公式求 n 阶导数
(1 x 2 )
令 由 由 即y
(n)
2x
得 得
2
y ( 2 m) (0) 0
得 y ( 2 m 1) (0) (1) m (2m) ! y (0)
y ( y)
d2 y d dy 或 ( ) 2 d x dx dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
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例1. 设
解:
求
y a1 2a2 x 3a3 x 2 nan x n 1 y 2 1a2 3 2a3 x n(n 1)an x n 2
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3. 试从
导出
d 2 x d dx d 1 d x 解： d y 2 d y d y d x y d y 1 y
d x 同样可求 3 dy
(见 P103 题4 )
3
作业
P103 1 (9) , (12) ; 10 (2) ; 3 ; 4 (2) ; 6 ; 9 ; *11 (2) , (3)
u ( k ) 2 k e 2 x ( k 1 , 2 ,, 20 ) v 2x , v 2 ,
v (k ) 0
( 20)
(k 3 ,, 20)
2
代入莱布尼茨公式 , 得
y
2
20 2 x
20 19 18 2 x e x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
第四节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
设
解: 求
其中 f 二阶可导.
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(cos x) ( n) cos( x n π ) 2 n! 1 (n) n (1) ax (a x) n 1
(4) 利用莱布尼茨公式
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思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 1 x (1) y 解: 1 x
y
(2) x y 1 x
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(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
1 cos 2 sin 2
2
y
(n)
3 n 4 cos(4 x n π ) 2 8 a 3 b 3 (a b) (a 2 ab b 2 )
一般地 , 类似可证:
(sin x) ( n ) sin( x n π ) 2
(cos x)
( n)
cos( x n π ) 2
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(n ) ax 例5 . 设 y e sin bx (a , b 为常数 ) , 求 y .
解: y a e a x sin bx b e a x cos bx
e (a sin bx b cos bx)
ax
e
ax
a b sin(bx )
2 2
b ( arctቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn ) a
y a 2 b 2
a 2 b 2 e a x a 2 b 2 sin(bx 2 )
a ( n ) ( b y
2 2
b n bx sin a x cos b x) 2 (a 2 b 2 ) 2 e sin(bx n ) ( a2 a2 b2
( n)
a e
n ax
特别有: (e x ) ( n) e x 求 解: y
1 y 1 x
1 y (1 x) 2
1 1 2 1 (1) 2 , y , , y 2 3 1 x (1 x) (1 x)
,
思考:
y
(n )
第三节 高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
第二章
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一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动
速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
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定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导, 则称
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或 即
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2. (填空题) (1) 设 f ( x) ( x 3x 2)
2
n
π x2 cos 16
,则
f
(n )
(2) n!
π x2 ( x 2) ( x 1) n cos 提示: 16 π x2 n n! ( x 1) cos 16 (2) 已知 f (x) 任意阶可导, 且 f ( x) [ f ( x)]2 , 则当
n
2 2
x 2 3x 2 各项均含因 ((x – x) 子 x 2)(2 1)
n2时 f
提示:
(n)
n ! [ f ( x)]n 1 ( x)
f (x) 2 f ( x) f ( x) 2 ! [ f ( x)]3 f (x) 2 ! 3[ f ( x)]2 f ( x) 3 ! [ f ( x)]4
(1)
n 1
(n 1)!
(1 x) n
规定 0 ! = 1
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例4. 设
求
解:
y cos x sin( x π ) 2
y cos( x π ) sin( x π π ) 2 2 2 sin( x 2 π ) 2 y cos( x 2 π ) sin( x 3 π ) 2 2
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x0 x0 x0 x0
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二、高阶导数的运算法则
设函数 及 都有 n 阶导数 , 则
(C为常数)
n(n 1) 2! n(n 1) (n k 1) k!
规律
莱布尼茨(Leibniz) 公式
规律 目录 上页 下页 返回 结束
例7.
2x
求
2
解: 设 u e , v x , 则
3
(n)
n! 2 (1) (1 x) n 1
n
解:
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x)
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1 (3) y 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1 1 1 A (x 2) ( x 2)( x 1) x 2 1 1 B (x 1) ( x 2)( x 1) x 1 1 1 y x 2 x 1 1 1 ( n) n y (1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
a
cos
sin
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b arctan ) a
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求使 f (n ) (0) 存在的最高 例6. 设 f ( x) 3x x x , 2 阶数
3 2
分析:
4 x3 , f (x) 2 x3 ,
x0 x0
2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 3 4x 0 6x2 , f (0) lim 0 x x 0 6 x2 0 又 f (0) lim 24x , 0 x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim 0 x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
依次类推 , 可得
y
( n)
n! a n
y x ( 为任意常数 ) , 问 思考: 设
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(n ) 例2. 设 y e a x , 求 y .
解:
a 2 e a x , y a 3 e a x , , y a e , y
ax
y
例3. 设
n 2m (m 0,1, 2,) (0) m ( 2m m n ) y( 1) ((1) ! ,(2m!2m0)1
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1 y ( 2 m) (00 ),
内容小结
高阶导数的求法 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 如下列公式 (sin x) ( n ) sin( x n π ) 2