数学-初三-圆的相关概念与垂径定理

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初三下册数学圆知识点定理总结

1.垂径定理及推论:如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例：∵ CD过圆心∵CD⊥AB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”；“等弦对等角”；“等角对等弧”；“等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD(2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：（1）∵∠ACB=∠AOB∴……………（2）∵ AB是直径∴∠ACB=90°（3）∵∠ACB=90°∴ AB是直径（4）∵ CD=AD=BD∴ΔABC是RtΔ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例：∵ ABCD是圆内接四边形∴∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180°6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：（1）∵OC是半径∵OC⊥AB∴AB是切线（2）∵OC是半径∵AB是切线∴OC⊥AB（3）……………7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵ PA、PB是切线∴ PA=PB∵PO过圆心∴∠APO =∠BPO8．弦切角定理及其推论: 几何表达式举例：（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）（1）∵BD是切线，BC是弦∴∠CBD =∠CAB（2）∵ ED，BC是切线∴∠CBA =∠DEF9．相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. 几何表达式举例：（1）∵PA·PB=PC·PD∴………（2）∵AB是直径∵PC⊥AB∴PC2=PA·PB10．切割线定理及其推论:（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：（1）∵PC是切线，PB是割线∴PC2=PA·PB （2）∵PB、PD是割线∴PA·PB=PC·PD11．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1）（2）几何表达式举例：（1）∵O1，O2是圆心∴O1O2垂直平分AB （2）∵⊙1 、⊙2相切∴O1 、A、O2三点一线12．正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角βn ，边数n；（2）有关计算在RtΔAOC中进行. 公式举例：(1) αn =；(2)几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR2.（4）扇形面积S扇形=；（5）弓形面积S弓形=扇形面积S AOB±ΔAOB的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交⇔ d＜r ；直线与圆相切⇔ d=r ；直线与圆相离⇔ d＞r.5．圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）两圆外离⇔ d＞R+r；两圆外切⇔ d=R+r；两圆相交⇔ R-r＜d＜R+r；两圆内切⇔ d=R-r；两圆内含⇔ d＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：已知弦构造弦心距.已知弦构造RtΔ. 已知直径构造直角.已知切线连半径，出垂直.圆外角转化为圆周角. 圆内角转化为圆周角. 构造垂径定理. 构造相似形.两圆内切，构造外公切线与垂直.两圆内切，构造外公切线与平行.两圆外切，构造内公切线与垂直.两圆外切，构造内公切线与平行.两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.相交弦出相似.一切一割出相似, 并且构造弦切角.两割出相似,并且构造圆周角.双垂出相似,并且构造直角.规则图形折叠出一对全等，一对相似.圆的外切四边形对边和相等. 若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.RtΔABC的内切圆半径：r=.补全半圆.AB=. AB=.PC过圆心，PA是切线，构造双垂、RtΔ.O是圆心，等弧出平行和相似. 作AN⊥BC，可证出:.。

初三数学圆的知识点

初三数学圆的知识点1．圆的定义（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。

（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。

说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。

2．圆的有关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段。

（如右图中的CD）。

（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。

直径等于半径的2倍。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。

（如右图中的CD、CAD）其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD，小于半圆的弧叫做劣弧。

（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。

3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

4．过三点的圆。

（1）定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

（2）三角形的外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。

5．垂径定理。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

（2）圆的两条平行弦所夹的弧相等。

6．与圆相关的角（1）与圆相关的角的定义①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。

（2）与圆相关的角的性质AB①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆（或直径）所对的圆周角相等；⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

九年级圆垂径定理知识点

九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。

本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。

一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。

二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。

1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。

我们需要证明AO = BO。

首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。

根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。

又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。

由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。

代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。

通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。

进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。

所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。

因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。

2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。

设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。

直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。

根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。

将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。

简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。

人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质

在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD，则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为：一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.

圆的基本概念和垂径定理

【练】某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为 7.2 米，拱顶高出水面 2.4 米。现有一艘宽 3 米、船舱顶部为方形并高出水面 2 米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？ M C N
A
3
E
D
B F
【作业】 1、一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径 OB=10，截面圆圆心 O 到水面的距离 OC 是 6，则水面宽 AB 是（） A、16 B、10 C、8 D、6 2、如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB= 6，则⊙O 的半径为（ A、 2 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 AE=BF，请你找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明．
【练】如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=20cm，∠AOB=120° ，求△AOB 的面积．
【例 4】如图所示，⊙O 表示一个圆形工件，图中标注了有关尺寸，并且 MB:MA＝1:4，求工件的半径的长。
A
中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD ∴弧 AC 弧 BD
C O A B
C B
D
O E D
【例题解析】【例 1】如图所示， P 为弦 AB 上一点， CP⊥OP 交⊙O 于点 C， AB＝8， AP:PB＝1:3，求 PC 的长。 P O B
4
10、如图， ⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E， AE=5， BE=1， CD=4 2，则∠AED=
_________ ．
11、如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OA=6cm，∠AOB=120° ，则 AB= _________ cm．

数学-初三-圆的相关概念与垂径定理

精锐教育1对1辅导讲义学员：学科教师：年级：辅导科目：主题：圆基本概念与垂径定理授课时间：学习目标1、掌握圆的相关基本概念2、运用垂径定理解决问题教学容1、圆是如何确定的？大小怎么判定？2、圆中有哪些概念？3、垂径定理如何应用？【知识梳理1】圆的确定定理同圆或等圆中半径相等1.点与圆的位置关系圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的部是到圆心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。

点P 与圆心的距离为d ，则点P 在直线外⇔r d >；点P 在直线上⇔r d =；点P 在直线⇔r d <。

【例题精讲】例1.如图，圆O 的半径为15，O 到直线l 的距离OH =9，P 、Q 、R 为l 上的三点.PH =9，QH =12，RH =15，请分别说明点P 、Q 、R 与圆O 的位置关系.【试一试】1.矩形ABCD 中，AB ＝8，35BC =，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P ； (C) 点B 在圆P 、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P ．2.如图所示，已知ABC ∆，90ACB ∠=o，12AC =，13AB =，CD AB ⊥于点D ，以C 为圆心，5为半径作圆C （）A .点D 在圆，B A 、在圆外 B .点D 在圆，点B 在圆上，点A 在圆外C .点B 、D 在圆，A 在圆外 D .点D 、B A 、都在圆外2. 过三点的圆1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的接三角形。

例2.如图，作出»AB所在圆的圆心，并补全整个圆.【试一试】1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商定去的一块玻璃片应该是（）A.第①快B.第②快C.第③快D.第④快2.三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【知识梳理2】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角：顶点在圆心的角。

(一) 圆的相关概念及垂径定理

AODBCAO（一）圆的相关概念及垂径定理一、知识梳理（一）圆的有关概念1.圆的基本概念：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）；以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。

注：圆中有无数条直径6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。

如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。

说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。

（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。

（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。

（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。

（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。

（三）和圆有关的角：1、圆周角：顶点在圆上，它的两边和圆还有另一个交点的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

初三数学圆——圆的认识及垂径定理(教案)

圆的认识及垂径定理【知识导图】知识梳理知识点一圆的认识（弦，弧）1、什么叫弦？直径与弦的关系？弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径.2、什么叫弧？什么叫优弧？什么叫劣弧？什么是等弧？弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全重合的两条弧叫等弧.3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.知识点二垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：，⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD.分析：要证，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、BM AM=BM AM =OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在和中∴∴∴点A 和点B 关于CD 对称∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合．∴⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理推论：1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论扩展推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

2、垂径定理及其推论可概括为OAM Rt ∆OBM Rt ∆⎩⎨⎧==OM OM OB OA OBM Rt OAM Rt ∆≅∆BM AM=考点解析类型一圆的认识（弦、弧）【例题1】下列五个命题：（1）平分弦的直径必垂直于弦（2）圆是轴对称图形，对称轴是直径（3）圆中两点之间的部分叫做弧（4）长度相等的两条弧叫等弧（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】（1）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，故原命题是假命题，（2）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题是假命题，（3）圆上两点之间的部分叫做弧，故原命题是假命题，（4）能够完全重合的两条弧叫等弧，故原命题是假命题，（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，原命题是真命题，其中真命题有1个．故选；A．【总结与反思】本题考查圆的相关概念及垂径定理，理解概念及定理即可解决，要求学生掌握圆的相关概念及垂径定理内容。

圆的相关概念及垂径定理

学习目标：通过研究圆的基本性质，重点掌握垂径定理及其推论，圆心角与弧、弦的关系的定理及其推论.学法建议：圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题.另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识.由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章.学习内容精析：一、圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径．以O为圆心的圆记作：⊙O，读作：圆O．圆心为O，半径为r的圆，可以看作是所有到定点O距离等于定长r的点组成的图形．要确定一个圆，需要定圆心、定半径．圆心相同的圆叫同心圆．半径相等的几个圆叫等圆．问题：为什么车轮做成圆形?把车轮做成圆形，车轮上各点到圆心的距离都等于圆的半径，当车轮在地面上滚动的时候，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车在平坦的路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳．二、圆的有关概念连接圆上任意两点的线段叫做弦．过圆心的弦叫做直径，直径是半径的两倍，直径是圆中最长的弦．圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作弧AB．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，任意一条非直径的弦的两个端点把圆分成两条弧，大于半圆的叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧．为了区分，一般优弧用三个大写字母表示，记作.一条弦对两条弧．能够完全重合的两条弧叫做等弧．等弧包含着两层意思，既要弧度等，又要长度等，所以等弧只在同圆或等圆中出现．例1：如图，A、B、C为⊙O上的三点，AB为直径，OD⊥BC于D，OD=3，求弦AC的长度.分析：图中有什么基本图形?有什么基本图形中的元素?猜想已知线段与所求线段有什么关系?需要什么?解：连接OC∵OC=OB，OD⊥BC于D∴BD=DC∵BO=OA∴AC=2OD=6小结：1．同圆或等圆的半径相等，是圆中一个隐藏的数量关系，在同圆中，见到两条半径就要想到等腰三角形．2．圆中计算和证明的难点，在于直线形中的定理和圆中的定理的综合运用，见到一条线段或一个角要分析是圆中的什么元素，是直线形中的什么元素，并在两种基本图形之间进行转化．圆中的特殊的数量关系提供条件，在直线形中进行计算，是这一章计算问题的常规思路．三、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．我们在一个圆中任画一条直径并沿之折叠，直径左右两个半圆能够完全重合．如图，CD是⊙O的直径，点C、D的对称点是它本身，一个半圆上任取一点A，另一个半圆上一定有一个点B与之对称．四、垂径定理：观察图形：AB是⊙O的一条弦，作直径CD⊥AB于E，这个图形是轴对称图形吗?对称轴是谁?图中有哪些相等的线段和弧?你能证明你的结论吗?已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E．求证：AE=EB，，．证明：连结OA、OB，则OA=OB∵CD⊥AB∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴∴沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合∴AE=BE，，．从而得到圆的一条重要性质：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何符号语言表述：⊙O中，∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E∴AE=EB，，．分析定理：这个定理的条件、结论分别是什么?为了便于理解可以叙述为：如果一条直线满足过圆心、垂直弦，一定可以平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．主语是一条直线，两个条件推三个结论．可以利用垂径定理来证明线段等和弧等．垂径定理的推论：如果把定理的条件和结论换一换：如果一条直线过圆心、平分弦(不是直径)，会得到什么结论?平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．几何符号语言表述：⊙O中，∵CD是直径，AB是非直径的弦，AE=EB∴CD⊥AB于E，，．为了便于理解可以叙述为：如果一条直线满足过圆心、平分弦(非直径)，一定可以垂直弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．需要特别注意：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?垂径定理及推论是圆的轴对称性的具体体现，用来证明线段等、弧等、垂直关系．例2：(1)如何把一条弧二等分?分析：利用圆的轴对称性，点A、点B为对称点，对称轴是对应点连线的垂直平分线，所以作弦AB的垂直平分线就可以把弧二等分．思考：如何把一条弧四等分?(2)利用上面的结论，如何确定一条弧的圆心?分析：圆的对称轴即直径所在直线，两条直径的交点即圆心．例3：解决赵州桥的半径问题.分析：首先，把实际问题转化为数学问题桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB=37.4米，的中点C到线段AB的距离为7.2米．如何确定点C呢?对于，如果经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，并延长交于点C，那么根据垂径定理可知，OD平分弦AB，0C平分，即C点为的中点，CD就是拱高，这样做出的图形符合题意．解：如图，用表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，半径为R过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足．OC与相交于点C，则D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．AB=37.4，CD=7.2AD=AB=18.7OD=OC-CD=R-7.2在Rt△OAD中，即解得R≈27.9(m)因此，赵州桥主拱半径约为27.9米．小结：1．此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧．这是圆中解决弦的有关计算问题的常用辅助线——垂直于弦的直径(半径)．2．解决这类问题时，只要抓住弦长、圆心到弦的距离(弦心距)、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量．四条线段的长：弦长、圆半径、弦心距d、弓形高h关系：；思路：辅助线构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理相结合．五、圆的旋转不变性：一个圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．六、圆心角的概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是所对的弦．注意：一个圆心角对一条弧、一条弦．一条弧对一个圆周角、一条弦．但是一条弦对两条弧，两个圆周角．七、研究圆心角以及它们所对的弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明．把∠AOB绕O旋转，使与重合，因为，所以射线与射线重合．因为，，所以点A与点重合，点B与点重合．因为圆具有旋转不变性，所以与重合于是有结论：，．这就是圆心角以及它们所对的弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．几何符号语言：⊙O中，∵∴，或∵⊙与⊙是等圆，∴，同样的，在同圆或等圆中，如果两条弧等，还能知道什么相等?在同圆或等圆中，如果两条弦等，还能知道什么相等? ’(弦所对的优弧相等、劣弧相等，优弧所对的弦心角相等、劣弧所对的弦心角相等) 把这三个真命题概括起来，得到定理的推论．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．分析定理：同圆或等圆中圆心角等、弧等、弦等，知一推二．用来找角、线段、弧的相等关系．1．判断题，下列说法正确吗?为什么?(1)因为，所以．错，反例如图．没有同圆或等圆的前提．(2)在⊙和⊙中，如果弦，那么．错一在于没有同圆或等圆中，不能用定理．错二在于同圆或等圆中，也有优弧、劣弧之分．(3)如图，∠1=∠2，则AD=BC错，BC不是弦．2．如图，在⊙O中，，∠1=45°，求∠2的度数．解：∵⊙O中，∴即∴∠2=∠1=45°3．如图，在⊙O中，，∠ACB=60°求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．证明：∵⊙O中，∴AB=AC∵∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠AOC小结：1．在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦之间的关系定理及推论，这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据．2．在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件．。

初中关于圆的知识点

初中关于圆的知识点一、圆的基本知识1、相关概念：圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

还可以表述为：如果一条直线满足：1过圆心;2垂直于弦;3平分弦：;4平分优弧;5平分劣弧中的任意两个，就可推出其它三个。

3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

还可以表述为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么所对应的其余各组量分别相等。

4、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。

5、半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

6、圆内接四边形的对角互补。

7、点和圆的位置关系：点P在圆外<=>d>r点P在圆上<=>d=r点P在圆内<=>d8、不在同一直线上的三个点确定一个圆。

9、三角形外接圆圆心是三角形的三边垂直平分线的交点，叫做外心。

10、三角形内切圆圆心是三角形的三条角平分线的交点，叫做内心。

11、直线和圆的位置关系：直线l和圆相离<=>d>r直线l和圆相切<=>d=r直线l和圆相交<=>d12、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

13、圆的切线垂直于过切点的半径。

14、证明一条直线是圆的切线的方法：1切点确定，证明直线垂直于半径;2切点不确定，证明圆心到直线的距离等于半径。

15、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

16、圆和圆的位置关系：外离：d>r1+r2外切：d=r1+r2相交：r1-r2< p="">内切：d=r1-r2内含：d17、正多边形与圆：正多边形外接圆或内切圆的圆心叫做正多边形的中心。

初中数学重点梳理：圆的基本性质

圆的基本性质知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。

圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O读作“圆O”。

（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3、垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．4、圆心角和圆周角：（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．5、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。

第01讲与圆有关的性质-垂径定理(原卷版)

第01讲与圆有关的性质——垂径定理课程标准学习目标①与圆有关的概念②圆的对称性③圆的垂径定理1.认识圆，掌握圆的相关概念。

2.掌握圆的对称性。

3.掌握垂径定理，并能够灵活运用垂径定理解决相关题目。

1.圆的概念：静态定义：圆可以看做是到定点O的距离等于定长r的所有点的集合。

定点是，定长是圆的。

动态定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点A所形成的叫做圆．固定的端点O叫做，线段OA的长叫做。

以O点为圆心的圆，记作，读作。

2.弦的概念：如图：连接圆上任意两点的线段叫做。

如图中有弦CD与弦AB。

3.直径：过的弦叫做直径。

如图中弦AB是直径。

直径是弦，但是弦不一定是直径。

4.弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。

它包含、、。

（1）半圆：的两个端点把圆分成了两条弧，每一条弧都叫做。

（2）优弧：半圆的弧叫做优弧。

如图中的优弧AOC，表示为。

读作。

表示优弧时，必须有三个字母表示，中间加圆心或弧上的字母。

若只有两个字母默认为劣弧。

（3）劣弧：半圆的弧叫做劣弧，如图中的劣弧AC，表示为。

读作。

5.等圆：能够的两个圆或半径的两个圆叫做等圆。

6.等弧：在同圆或等圆中，能够的两条弧叫做等弧。

题型考点：①相关概念的理解与认识。

知识点02 圆的对称性1.圆的对称性：圆既是图形，有条对称轴。

又是图形，对称中心是圆的。

【即学即练1】1．圆的有关概念：（1）圆两种定义方式：（a）在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做．线段OA叫做．（b）圆是所有点到定点O的距离定长r的点的集合．（2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦．（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）；（3）弧：圆上任意两点间的部分叫（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（4）等弧：在同圆与等圆中，能够的弧叫等弧．（5）等圆：能够的两个圆叫等圆，半径的两个圆也叫等圆..【即学即练2】2．如图中有条直径，有条弦，以点A为端点的优弧有条，有劣弧条．【即学即练3】3．下列说法中，正确的是．①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧；③长度相等的两条弧是等弧；④圆心不同的圆不可能是等圆；⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形；⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段；⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形．知识点03 垂径定理1.垂径定理的内容：垂直于弦的，弦，平分弦所对的和。

初三下册数学圆知识点定理总结

一基本概念：圆的几何定义和集合定义, 弦, 弦心距, 弧, 等弧, 弓形, 弓形高三角形的外接圆, 三角形的外心, 三角形的内切圆, 三角形的内心, 圆心角, 圆周角, 弦切角, 圆的切线, 圆的割线, 两圆的内公切线, 两圆的外公切线, 两圆的内（外）公切线长, 正多边形, 正多边形的中心, 正多边形的半径, 正多边形的边心距, 正多边形的中心角.二定理：1．不在始终线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21360R n 2=π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面绽开图：（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形. 2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交 ⇔ d ＜r ；直线与圆相切 ⇔ d=r ；直线与圆相离 ⇔ d ＞r.5．圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R, r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ⇔ d ＞R+r ；两圆外切 ⇔ d=R+r ；两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ；两圆内切 ⇔ d=R-r ；两圆内含 ⇔ d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加协助线. 7．关于圆的常见协助线：。

人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质—垂径定理(复习)

典型例题
二、填空题
5、如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，
连接OP，若OP=4，∠P=30°，则弦AB的长为_______。
H
6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3。将其绕点
B顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成
一个圆环。该圆环的面积为_______。
7、如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，
h+d=r 或h-d=r
r2
d2
a 2
2
O
特别提示:若已知h或d、a、r中两个量，利
用垂径定理和勾股定理，设适当的未知数，
用方程（组）的数学思想列方程（组）求解
B B
典型例题一、概念辨析 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦。 ②平分弦的直线必垂直弦。平分弦的直线有无数条。 ③垂直于弦的直径平分这条弦。 ④平分弦的直径垂直于这条弦。如果弦是直径会怎样 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径。？垂直平分线是直线
二、图形语言：（如右图）
C
三、几何推理语言：
∵ CD是直径，AE=BE,
∴CD⊥AB，
A⌒C=B⌒C,
A⌒D =B⌒D.
·O
AE D
知二推三
一、文字语言：对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个。简记：“知二推三”
①经过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）；
(2)如图，连接 AC，过点 G 作 GM⊥AC 于点 M.∵AG＝2，OG＝1，∴∠GAO＝ 30°，∴∠AGO＝60°.∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC＝12∠AGO＝30°，∴MG＝12AG ＝1.在 Rt△AMG 中，AM＝ AG2－MG2＝ 3 .∵CF⊥AE，GM⊥AC，∴AM＝CM ＝MF，∴点 A、F、C 在以点 M 为圆心的⊙M 上，∴当点 F 在 MG 的延长线上时， FG 的长最小，最小值＝FM－GM＝ 3－1.即 FG 的最小值为 3－1.

初中数学：有关圆的概念及性质

初中数学：有关圆的概念及性质一、圆的基本概念及性质(1)圆的有关概念①圆:平面. 上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.②弧:圆. 上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.(2)圆的有关性质①圆是轴对称图形:其对称轴是任意一条过圆心的直线:圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.③弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有-组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推论:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角: 90”的圆周角所对的弦是直径.④三角形的内心和外心确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.⑥:三角形的外心:三角形的三个顶点确定-一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.2.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角:顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的- -半.(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补，它的一一个外角等于它相邻内角的对角.圆的性质1、圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并粗平分弦所对的弧。

垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦对的弧。

初中数学什么是垂径定理

初中数学什么是垂径定理
垂径定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的直径和垂直关系。

下面我将详细介绍垂径定理的定义、性质和相关的概念。

1. 垂径定理的定义：
-垂径定理：如果一条线段垂直于一条直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。

2. 垂径定理的性质：
-垂直关系：垂径定理表明，如果一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。

-直径与垂直弦的关系：垂径定理还表明，直径与垂直于它的弦是垂直的。

3. 垂径定理的应用：
-判断垂直关系：根据垂径定理，可以通过判断一条线段是否垂直于圆的直径来判断这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦是否垂直于这条直径。

-求解问题：根据垂径定理，可以在已知一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交的情况下，得到与这条线段所得的弦垂直的弦。

垂径定理是圆的直径和垂直关系之间的重要定理，它可以帮助我们判断垂直关系和求解相关问题。

在应用垂径定理时，需要注意理解垂径定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

希望以上内容能够满足你对垂径定理的了解。

圆的概念、垂径定理练习题

圆的基本概念、垂径定理复习一、圆的相关概念知识扫描:1、圆的定义:(1 在同一平面内, 线段 OP 绕它固定的一个端点 O , 另一端点 P 所经过的叫做圆,定点 O 叫做 ,线段 OP 叫做圆的 ,以点 O 为圆心的圆记作 ,读作圆O 。

(2动点到定点等于定长的点的轨迹叫做圆。

2、弦和直径:连接圆上任意叫做弦,其中经过圆心的弦叫做 , 是圆中最长的弦。

3、弧:圆上任意叫做圆弧,简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧,每一条弧都叫做。

小于半圆的弧叫做 , 用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来,大于半圆的弧叫做 ,用弧两端的字母和中间的字母,再加上“⌒”就可表示出来。

4、等圆:半径相等的两个圆叫做等圆;也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、过一点可作过两点可作个圆; 过的三点确定一个圆。

对应练习:1、有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④长度相等的两段弧是等弧。

其中正确的有(A.4个B.3个C.3个D.2个2、已知矩形 ABCD 的边 AB=3cm, AD=4cm, 若以 A 点为圆心作⊙ A , 使 B 、C 、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外, 则⊙ A 的半径 r 的取值范围是3、如图, AB 为⊙ O 的直径, CD 为⊙ O 的弦, AB 、 CD 的延长线交于点 E ,已知 AB=2DE,∠ E=18°,求∠ AOC 的度数4、已知⊙ O 的半径为 1, 点 P 与圆心 O 的距离为 d , 且方程 x 2-2x+d=0有实数根, 则点 P 在⊙ O 的5、若线段 AB=6,则经过 A 、 B 两点的圆的半径 r 的取值范围是6、在 Rt △ ABC 中,∠ C=90°,两直角边 a 、 b 是方程 x 2-7x+12=0的两根,则△ABC 的外接圆面积为127、如图,点 A 、 D 、 G 、 M 在半圆上,四边形 ABOC , DEOF 、 HMNO 均为矩形, 设 BC=a, EF=b, NH=c,则 a , b , c 的大小关系是二、垂径定理知识扫描:1、轴对称图形:如果一个图形沿着某一条直线直线 , 直线两旁的部分能够 ,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是对称轴。

初三圆知识点

初三圆知识点圆是初中数学中的一个重要图形，也是中考的重点和热点之一。

在初三阶段，我们对圆的认识会更加深入和全面。

接下来，让我们一起详细了解初三圆的相关知识点。

一、圆的定义圆可以从两个角度来定义。

动态定义：在平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。

固定的端点 O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

静态定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

二、圆的相关概念1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。

2、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧分为优弧、劣弧和半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

3、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。

4、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

三、圆的基本性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

四、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，点在圆外；当 d ＝ r 时，点在圆上；当 d ＜ r 时，点在圆内。

2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，直线与圆相离，没有公共点；当 d ＝ r 时，直线与圆相切，有一个公共点；当 d ＜ r 时，直线与圆相交，有两个公共点。

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