交大_信号与系统_答案

{
}
求 y ( t ) 的频谱 Y ( w) . 4、比较 X ( w) 和 Y ( w) ，你能得到什么结论？ [试题解析]
1 ∞ ⎡ s1 ( t ) e jωct + s*1 ( t ) e − jωct ⎤ e − jωct dt ∫ ⎣ ⎦ −∞ 2 1 ＝ ⎡ S1 (ω − ωc ) + S1* ( −ω − ωc ) ⎤ ⎣ ⎦ 2 1 2、 x ( t ) = Am ⎡ ⎣ G ( ω + ωc ) + G ( ω − ωc ) ⎤ ⎦， 2 频谱如下：
N − 1 ⎞⎤ jθ (ω ) H (ω ) ⎟⎥ = e 2 ⎠⎦
θ (ω ) == ω
N −1
N −1 π + 2 2
N −1
⎡ ⎛ N − 1 ⎞⎤ 2 ⎡ ⎛ N − 1 ⎞⎤ H (ω ) = ∑ h ( n ) sin ⎢ω ⎜ n − ⎟ ⎥ = ∑ 2h ( n ) sin ⎢ω ⎜ n − ⎟ 2 ⎠ ⎦ n=0 2 ⎠⎥ n =0 ⎣ ⎝ ⎣ ⎝ ⎦
⎛π ⎞ 五、假设信号 x ( n ) 的频谱在 ⎜ ⎟ ≤ ω < π 范围内为 0，另一信号 s ( n ) 与 x ( n ) 之间的关系表示 ⎝4⎠
为 s ( n ) = x ( n ) ∑ δ ( n − 1 − 4k ) ，试设计一个低通滤波器的频率响应 H ( e jw ) ，使之当该滤
N −1
同理可求： x2 ( n ) = b n
四、某频率采样滤波器的系统函数表示为 H ( z ) = (1 − z − N ) ∑
H (k ) / N ，其中 1 − z k z −1
zk = e
⎛ 2π ⎞ j⎜ ⎟k ⎝ N ⎠
，k＝0.1.2.…….N－1 .
试求： 1、用系统函数为 (1 − z − N ) 的 FIR 系统域一节 IIR 系统的并联组合进行级联来实现该采 样滤波器，画出这种信号的信号流图。 2、求采样滤波器的单位样值响应，
⎛ 2π 3、 证明常数 H ( k ) 就是系统频率响应在等间隔频率 ωk = ⎜ ⎝ N ⎞ （k＝0.1.2.……N－1） . ⎟k ， ⎠
上的样本。 [试题解析] 1、梅森公式可得信流图如下：
% (k ) / N ⎤ ⎡ N −1 H −1 −N −1 1 ⎡ ⎤ 2、 h ( n ) = z−1 ⎡ ⎤ = − H z z 1 z * z ( ) ( ) ⎢ ∑ −1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ k =0 1 − Z k z ⎦
二、N 阶 FIR 数字滤波器的单位样值响应为 h ( n ) ，N 为奇数，且又有
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h ( n ) = −h ( N − 1 − n ) 。试证明该滤波器不可能是低通或者高通滤波器。
[试题解析] 证明：
H (z) =
1⎡ 1 N −1 − ( N −1) − N −1 −1 ⎤ − = H z z H z h (n) ⎡ z −n − z ( ) z n ⎤ ( ) ( ) ∑ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2 n=0
δ ⎜ω −
⎛ ⎝
2π 4
⎞ k⎟ ⎠
N＝4
2π ⎞ ⎛ ω− k ⎟ ⎞ 1 1 3 − j 24π k ⎛ − j ⎜ jω jω 4 ⎠ ⎝ 又： S ( e ) = P (e ) * X (e ) = ∑ e X ⎜e ⎟ ⎜ ⎟ 2π 4 k =0 ⎝ ⎠
所以得到：
⎧ ⎪4 H (e ) = ⎨ ⎪ ⎩0
x2 ( n ) = I m ⎡ ⎣ y ( n )⎤ ⎦
1 1− aN * ⎡ ⎤ Y k + Y N − k = ( ) ( ) ⎦ 1 − aW K 2⎣ N
X 2 ( k ) = DFT ⎡ ⎣ y ( n )⎤ ⎦⎤ ⎣ Im ⎡ ⎦ = Yop ( k )
1 1 1− bN * ⎡ ⎤ = − − = Y k Y N k ( ) ( )⎦ k j 2j ⎣ 1 − bWN
X 1 ( k ) = DFT ⎡ ⎣ x1 ( n ) ⎤ ⎦ ， X 2 ( k ) = DFT ⎡ ⎣ x2 ( n ) ⎤ ⎦ 以及 x1 ( n ) 和 x2 ( n ) 。
[试题解析]
x1 ( n ) = Re ⎡ ⎣ y ( n )⎤ ⎦
X 1 ( k ) = DFT ⎡ ⎣ Re ( y ( n ) ) ⎤ ⎦ = Yep ( k ) =
N −1 ⎛ N −1 ⎞ = ∑ 2h ⎜ − m ⎟ sin ( mω ) ⎝ 2 ⎠ m =1
因为：sin ( mω ) 在 ω = kπ 处为 0， 其中 k＝1， 2， 3， ……， 相当于 H ( z ) 在 z = ±1 处有 2 个零点，且 H (ω ) 在这些点为奇对称，所以不能成为低通或者高通滤波器。 三、已知 y ( n ) = x1 ( n ) + jx2 ( n ) ， x1 ( n ) 和 x2 ( n ) 均为具有长度为 N 的实序列.设 y ( n ) 的离散傅 立叶变换 Y ( k ) = DFT ⎡ ⎣ y ( n )⎤ ⎦= 1− aN 1− bN + j ， 0 ≤ k ≤ N − 1, a，b 为实数，试求： 1 − aWNk 1 − bWNk
号 脉 冲 ， 其 频 谱 G ( w) 如 图 一 所 示 ， 试 画 出 x ( t ) 的 频 谱 X ( w) .
图一
jwct ˆ ( t ) 为 2 问中的 g ( t ) 的希尔波特变换。 ˆ ( t )⎤ 3、如果 y ( t ) = Re Am ⎡ ，0 ≤ t ≤ T ，g ⎣ g ( t ) + jg ⎦e
−j N −1 N −1 ω 2 n =0
则： H ( e jω ) = − je
ω⎜n− ∑ h ( n ) sin ⎢ ⎣ ⎝
⎡ ⎛
⎡ ⎛
N − 1 ⎞⎤ ⎟ 2 ⎠⎥ ⎦
=e
⎛ N −1 π ⎞ N −1 − j⎜ ω− ⎟ 2⎠ ⎝ 2 n =0
ω⎜n− ∑ h ( n ) sin ⎢ ⎣ ⎝
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＝⎡ ⎣δ ( n ) − δ ( n − N ) ⎤ ⎦* ＝
1 N
% ( k )( z ) ∑H
k =0 1 k N −1 n
1 N
% ( k )( z ) ε ( n ) ∑H
n k =0 1 k
N −1
⎡ε ( n ) − ( zk )− N ε ( n − 1) ⎤ ⎣ ⎦
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上海交通大学硕士研究生入学考试 2005 年信号与系统试题解析
Hale Waihona Puke Baidu
一、DFT 及 IDFT 是数字信号处理技术的核心算法，可以用 FFT 的芯片或者模块来实现。 1、写出基二时域抽选 FFT 算法的推导过程。 2、用若干片 4 点时域抽选 FFT 芯片计算一个 8 点 DFT，画出实现该信号的信号流图。 3、 如果通过调用 8 点 FFT 的程序模块实现 8 点的 IFFT 运算， 用数学方法来说明实现过程， 并写出相应的步骤。 [试题解析] 1、 X [ k ] = ∑ x ( n ) WNnk
0≤k ≤
2、信号流图画法同 96 年第九题。 3、步骤如下： a）求 X ( k ) 的共轭 X ∗ ( k ) b）调用正 FFT 程序输入 X ∗ ( k ) 以及 N X ∗ ( k ) c）对 b）的结果求共轭：求
1 ，得到 N
*
1 ⎡ N −1 − kn ⎤ x ( n ) , x ( n ) = ⎢ ∑ X ∗ ( k ) WN ⎥ N ⎣ k =0 ⎦
jω
∞
ω ≤
π
4 其他ω
六、一个序列 y ( n ) 定义为： y ( n ) =
n
m =−∞
∑ h ( m ) h ( n + m ) ，其中 h ( n ) 是最小相位序列，当输入为
4⎛1⎞ 4 y ( n ) = ⎜ ⎟ + 2n ε ( − n − 1) 时候，试求： 3⎝ 2⎠ 3
1、 y ( n ) 的 z 变换 Y ( z ) 并画出它的零极图.
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2、求该最小相位序列的 h ( n ) 及其 z 变换 H ( z ) 3、求该最小相位序列的 h ( n ) 的频谱，粗略画出幅频特性和相频特性图。 [试题解析]
⎛ ⎞ 4⎜ 1 1 ⎟ − 1、 Y ( z ) = ⎜ ⎟ 3 ⎜ 1 − 1 z −1 1 − 2 z −1 ⎟ ⎝ 2 ⎠
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1 x1 ( n ) = N
∑ X ( k )W
k =0 1
N −1
− kn N
1 N −1 1 − b N 1 = ∑ WN− kn = k N k =0 1 − bWN N
∑⎜ ∑a W ⎝
m k =0 n =0
N −1
⎛ N −1
式中复信号 sl ( t ) 为 s ( t ) 的等效低通， ωc 为调制信号的载波频率。试求:
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1、如果 sl ( t ) 的频谱为 Sl ( w ) ，求 s ( t ) 的频谱 S ( w ) .
jwct 2、用 x ( t ) = Re ⎡ ⎣ Am g ( t ) e ⎤ ⎦ ， 0 ≤ t ≤ T ，表示幅度调制信号. Am 为调制幅度， g ( t ) 为实信
k =0 N −1
0 ≤ k ≤ N −1
N −1 2
( 2 m +1) k = ∑ x ( 2m ) WN2 mk + ∑ x ( 2m + 1) WN
m=0 m =0
N −1 2
令： g ( m ) = x ( 2m )
0≤m≤ 0≤m≤
N −1 2
h ( m ) = x ( 2m + 1)
mk 则： X ( k ) = ∑ g ( m ) W N m=0 2 N −1 2
N −1 2
−1 ⎛N ⎞ 2 km ⎟ k ⎜ + ∑ h ( m ) W N WN ⎜ m=0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
0≤k ≤
N −1 2 N −1 2
k n+ N⎞ N⎞ N⎞ ⎛ ⎛ ⎛ X ⎜ k + ⎟ = G ⎜ k + ⎟ + WN 2 H ⎜ k + ⎟ = G ( k ) − WNk H ( k ) 2⎠ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎝
−N π N −1 % % (k ) k ⎞ ⎛ j 2N H1 ( k ) / N 1 − ( zk ) H −N ⎡ ⎤ 3、 H ⎜ e = = − = H z 1 z ( ) ( ) ⎟ k k −1 ⎣ ⎦∑ 1 − z k z −1 N k =0 1 − Z k z ⎝ ⎠
% (k ) ＝H
所以： H ( z ) =
±1 1 1 − z −1 2
⎛1⎞ 3、 h ( n ) = ± ⎜ ⎟ ε ( n ) ⎝2⎠
n
H ( e jω ) =
e jω e jω − 1 2
幅频特性和相频特性图如下：
jw 七、设某已经被调制的窄带实带通信号 s ( t ) ，它的等效低通表示形式为 s ( t ) = Re ⎡ ⎣ sl ( t ) e ⎤ ⎦，
k =−∞
∞
波器的输入为 s ( n ) 时候输出为 x ( n ) . [试题解析]
% (n) = 设P
k =−∞
∑ δ ( n − 1 − 4k )
2π
∞
% (k ) = ∑ P % ( n ) e− j N k P
n =0
N −1
P ( e jω ) =
jω
2π N
∑e
k =0
3
−j
2π k N
− km N
⎞ − kn ⎟WN ⎠
＝ ∑ am
m=0
N −1
1 N −1 m − k ( m − n ) ∑ a WN N n=0
因为：
1 N
∑W
k =0
N −1
− R( m − n ) N
⎧1 =⎨ ⎩0
m=n m≠n
所以： x1 ( n ) = a n
0 ≤ n ≤ N −1 0 ≤ n ≤ N −1
＝
1 < z <2 2
−2 z −1 = 1⎞ ⎛ ⎛ 1 −1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ z − ⎟ ( z − 2 ) ⎜ 1 − z ⎟⎜ 1 − z ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠
零极图如下：
2、
y ( n ) = h ( n ) * h ( −n )
Y ( z ) = H ( z ) H ( z −1 )