第五章 极限定理

lim
n
P

X n np npq

x


1
x t2
e 2 dt ( x),
2
其中：q=1-p
注：由于 Xn n的p 分布近似于N(0,1)正态
npq
分布从而 X的n 分布近似于N(np,npq)分布，由 于 X n服从二项分布B(n,p)，所以上述断言也 称为二项分布的正态近似。而式(1)称为二项分布 收敛于正态分布，它有助于计算出二项分布随机 变量 X落n 入某范围内的概率的近似值。
③ 考虑独立同分布的随机变量X1，…，Xn， 定义这些随机变量的平均序列 Yn = X—1—+ …n——+ —Xn 大数定律只能告诉我们平均序列的极限 是多少，而中心极限定理还可以给出平均序 列与这个极限的偏差有多大。
例如，独立地抛掷一枚均匀骰子，以 Xk 记 第 k 次抛掷出来的点数。n 次抛掷的平均点数：

1 ,则 12
P{| X | 15} P{| X 0 |
15
}
15001 / 12 15001 / 12
P{| X 0 | 1.34} 15001 / 12
(1.34) (1.34) 0.8198
定理5.2.2(棣莫佛-拉普拉斯定理)
设随机变量 X n (n服 从1,2B,(n,)p), 则对任意实数x,成 立
Fn
(
x)

lim
n
P{Yn

x}

( x)
其中 ( x是)标准正态分布N(0,1)的分布函数。
注： 标准化部分和(规范和)
对随机变量序列 X1，X2，… ，定义部分和序列 Sn = X1 + X2 + …+ Xn ，
则它的标准化部分和序列是指
Yn

Sn
ESn DSn
,
n

1
标准化部分和的期望是 0，方差是 1 。
解：记
1， 若 第i个 被 保 险 人 发 生 重 大 事故 ， X i 0， 若 第i个 被 保 险 人 未 发 生 重 大事 故 ，
i 1,2, ,5000,
于
是X
均
i
服
从
参
数
为p

0.005的 两 点 分 布 ，P{ X i
1}Байду номын сангаас
0.005,
5000
X i是5000个 被 保 险 人 中 一 年 内 发生 重 大 人 身 事 故 的 人 数，
( N 400 0.75 ) 400 0.75 0.23
0.99. 查 表(2.326) 0.99， 故
N 400 0.75 2.326 N 321,即 该 车 间 应 供 应321Q 400 0.75 0.23 千瓦的电功率。
例5.2.3: 某市保险公司开办一年人身保险业务，被保 险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事 故，其本人或家属可获2万元赔金。已知该市人员一年内 发生重大人身事故的概率为0.005，现在5000人参加此项 保险，问保险公司一年内从此业务所得的总收益在20万 到40万之间的概率是多少？
第五章 极限定理
随机变量的大数定律体现了n个随机变量的平均 值的一种稳定性。即如果大量地重复观察一个随机现 象，它将体现出某些规律。
中心极限定理主要研究n个随机变量之和在什么 条件下当 n 时极限会服从正态分布。
第一节 大数定律
定义5.1.1：设 {X n }(n 1是,2,一 个) 随机变量序列，
n
解：显然{ X i }满足定理5.1.2的条件，且每个E( X k
)

6
2
4

5,
故，X p 5,即对任意 0, 有
lim P{| X 5 | } 1.
n
依概率收敛的定义
定义5.1.4：设 X1, X 2 , 是, X一n ,个 随机变量序列，a为 常数，若对任意 ， 有0
P{
20 25
X i 25
i1

25 0.995 25 0.995
30 25 } 25 0.995
(1) (1) 0.6826
如何理解大数定律与中心极限定理
① 大数定律与中心极限定理讨论的都是随机 变量序列部分和的极限问题
② 大数定律说明，在一定的条件下部分和 Sn 的 算术平均的极限是一个常数 ( 共同的期望 )。 中心极限定理说明，在一定的条件下部分和 Sn 的极限分布是正态分布(标准化部分和的 极限分布是标准正态分布)。
lim
n→∞
P
{|
—nA n
–
p
|
<

}
=
1
伯努利定理说明概率可以利用频率来近似， 它是“概率的频率定义”的理论基础。
证明. 定理的证明根据数学期望、方差的性质 以及切比雪夫不等式完成。
由于 X1，X2，… 是具有相同期望和方差的
独立随机变量序列，根据Xn 的定义显然有：
E Xn
=
, DXn
= —2;
例5.2.2：设某车间有400台同类型的机器，每台的电 功率均为Q千瓦.设每台机器开动时间为总工作时间的3/4 且每台机器的开与停是相互独立的.为了保证以0.99的概 率有足够的电力，问车间应供应多大的电功率？
解 ： 设 有X台 机 器 同 时 开 动.由 题 设 ，X ~ B(400, 3 ). 4
则 问 题 转 化 为: 求 最 小 的N值 ， 使 得
200
P{0 X i N } 0.99. i 1
使 用 隶 莫 佛 拉 普 拉 斯 定 理 ， 有
P{0 X N } P{ X 400 0.75 N 400 0.75 } 400 0.75 0.23 400 0.75 0.23
⑤ 从大数定律知道“频率的极限是概率”； 从中心极限定理知道“如果随机现象由大量独立 随机因素总和组成，各个因素所起作用相对均匀 并且几乎可以忽略，则这种随机现象就可以近似 地用正态分布来描述”。
Xn

E(
Xn
)
|

}

1.
则称 { X服n } 从大数定律。
定理 5.1.1 (切比雪夫大数定理)
假设随机变量X1，…，Xn，…相互独立，并具有 相同的期望和方差：E( X k ) , D( X k ) 2 , k 1,2,
则对于任意的正数 ＞ 0 ，有
1 n
lim
n
P{
n
k 1
Xk

} 1
即，相同期望与方差的独立随机变量序列
算术平均的极限是它们共同的数学期望
为什么频率的极限是概率
定理 5.1.2 (伯努里大数定理) 假设随机事件A 在一次试验中发生概率是 p，
以 nA 记 n 次独立重复试验里 A 发生的次数，
则对于任意的正数 ＞ 0 都有：
i 1
保 险 公 司 一 年 内 从 此 项业 务 所 得 到 的 总 收 益 为：
5000
0.016

5000

2


X
万
i
元
，
于
是,
i 1
5000
P{20 0.016 5000 2 X i 40} i 1
5000
P{20 X i 30} i 1
5000
例5.2.1: P143 例5.2
解 ： 设X i是 第i个 数 的 取 整 误 差 ， 则X（i 1，2， ，1500） 是 相 互 独 立 的 且 都 服 从 （- 0.5，0.5]上 的 均 匀 分 布 ， 总 误 差
X

1500
X i ,已 知E( X i )
i 1

0，D( X i )
Yn = X—1—+ …n——+ —Xn
因为 Xk 的期望是3.5，方差35/12，
当 n 很大(即抛掷次数足够多)时，从大数定律 我们知道平均点数 Yn很接近 3.5 ，或者是 n 次抛 掷的点数总和 Sn = n Yn 很接近 3.5n 。
而中心极限定理的含义是：
| Sn – 3.5 n | ≤ x (35n/12)0.5 的概率接近 2(x) – 1
若对每一个
都是k 相 1,互X1独, X立2,的, X,k则称
是相互独立的. { X n }
1.大数定律的定义
定义5.1.2：设 X1, X2 , 序列，E( X n )(n存在1，) 令
对任意的 ，0有
,为X n一,X随如n机果变n1 量in1
Xi
lim
n
P{|
n
因此利用切比雪夫不等式，
P ( | Xn – | ≤ ) ≥ 1 – ——n22
1。
□
例5.1.3: 设 列，记
X1, X2 ,是, X独n立,同分布的随机变量序
X

1 n
n
Xk
k 1
若每个 X k ~ U (4,6), k， 问1,2,在当 X时 依概率收敛于何值？写出极限表达式
lim
n
P{|
Xn

a
|

}

0
则称 X1 , X 2 ,依 ,概X率n ,收 敛于a,记为 可表为
。其X等n 价P形a式
记为
lim
n
P{|
Xn

a
|

}

1
Xn a P0
第二节 中心极限定理
定理5.2.1(林德伯格-莱维定理或独立同分布的中心
极限定理)
设随机变量 X1 , X 2 , 相, 互X n独,立 ，同分布， 且具有期望和方差： E( X k ) , D( X k ) 2 0,
k 1,，2,则 当 时n，随机变量
Yn

X1

X2

n
Xn
n
的分布趋于标准正态分布，也就是
lim
n
取 n = 1000、x = 1，则我们可以肯定点数总和在 3450 ~ 3550 之间的概率大约是 0.68，
如果 x = 0.6744，则1000次抛掷的点数总和在区间 3500±36 之内与在这个区间之外的可能大致相等。
④ “极限” 的含义不同 大数定律里的极限是指概率意义上的极限，
它在本质上是一种数列的收敛； 中心极限定理的极限指的是分布函数的收敛， 本质上是一种函数列的收敛。