2012北约数学真题低版本 2
“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。
2012年高考理科数学北京卷(含详细答案)
A B=1,0}1,0,1}xy e=关于y轴对称，则()f x=()B.1x e-D.1xe--( )B.y=D.y=l与C所围成的图形的面积等于( )C.83D.表示的平面区域内存在点00(,)P x y，满足( )B.1(,)3-∞D.5(,)3-∞-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin2ρθ=的距离等于___________.10.若等比数列{}na满足2420a a+=，3540a a+=，则公比q=____；前n项和nS=____.11.如图，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若3PA=，:PD9:16DB=，则PD=___________；AB=___________.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λμ=________.14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为BC的中点，点P在线段1D E上.点P到直线1CC的距离的最小值为___________.4的正方形，平面ABC ⊥平面，并求1BDBC 的值.. 19.（本小题满分14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.20.（本小题满分13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-.（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意*n N ∈，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值； （Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3,n d d n =-=的充分必要条件是{}n a 是公差为d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若12a =，1(1,2,3,)n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{|3B x x =>或}1x <-，易得{}|3AB x x =>．【提示】求出集合B ，然后直接求解A B ．【考点】集合间的基本运算． 2.【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P ⨯-⨯-==⨯，故选D ．【提示】本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可． 【考点】不等式组，平面区域与几何概率． 3.【答案】B【解析】当0a =时，如果0b =，此时i 0a b +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a =，因此是必要条件，故选B ． 【提示】利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件． 【考点】复数的概念，充分、必要条件． 4.【答案】C【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==，循环结束，输出的s 为8，故选C ． 【提示】列出循环过程中s 与k 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 【考点】循环结构的程序框图． 5.【答案】A【解析】由切割线定理可知2CE CB CD =，在直角ABC △中90,ACB CD AB ∠=⊥，则由射影定理可知2CD AD DB =，所以CE CB AD DB =．数学试卷 第10页（共36页）【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可． 【考点】几何证明选讲． 6.【答案】B【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618+=种，选B ．【提示】选择数字进行排列，判断奇偶性即可． 【考点】排列组合． 7.【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和．利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,65S S S S ====后右底左，因此该几何体表面积3065S =+，故选B ．【提示】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 【考点】由三视图求几何体的表面积． 8.【答案】C【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C ． 【提示】由已知中图像表示某棵果树前n 年的总产量S 与n 之间的关系，结合图像可得答案． 【考点】函数图像的应用．第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】2【解析】直线转化为1x y +=，曲线转化为圆229x y +=，圆心(0,0)到直线1x y +=的距离132d =<，所以有两个交点．【提示】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论． 【考点】直线和圆的位置关系． 10.【答案】1 【解析】23S a =，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=．【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得12d =，由此能求出2a ． 【考点】等差数列的通项． 11.【答案】4【解析】在△ABC 中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得4,3b c ==，答案为4．【提示】根据27a b c =+=，，1cos 4B =-，利用余弦定理可得，即可求得b 的值 【考点】余弦定理的运用． 12.【答案】3【解析】由24y x =，可求得焦点坐标为(1,0)F ，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan603k ==，利用点斜式，直线的方程为33y x =-，将直线和曲线方程联立233123(3,23),,334y x A B y x⎧⎛⎫=-⎪⇒- ⎪⎨ ⎪=⎪⎝⎭⎩，因此11123322OAF A S OF y =⨯⨯=⨯⨯=△． 【提示】确定直线l 的方程，代入抛物线方程，确定A 的坐标，从而可求OAF △的面积．． 【考点】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系． 13.【答案】1【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为1． 【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可． 【考点】平面向量在平面几何中的运用． 14.【答案】(4,2)--【解析】对于①∵()22xg x =-，当1x <时，()0g x <，又∵①()0x R f x ∀∈<，或()0g x <∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左边，则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，∴40m -<<，即①成立的范围为40m -<<，数学试卷 第16页（共36页）又∵②(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <， ∴此时()220x g x =-<恒成立∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比12x x ，中的较小的根大即可，（i ）当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立， （ii ）当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，（iii ）当41m -<<-时，较小的根为224m m <，-即2m <-成立． 综上可得①②成立时42m -<<-．【提示】①由于()220x g x =->时，1x ≥，根据题意有()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x >时成立，根据二次函数的性质可求．②由于(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <，而()220xg x =-<，则()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈∞--时成立，结合二次函数的性质可求 【考点】指数函数的性质，二次函数的性质． 三、解答题15.【答案】（Ⅰ）{|π,}x x k k ≠∈Z π（Ⅱ）ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z 和3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z 【解析】（Ⅰ）(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x =-sin 21cos 2x x =--π2sin 214x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，{|π}x x k k ≠∈Z ,原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（Ⅱ）由πππ2π22π+,242k x k k -≤-≤∈Z ． 解得π3πππ,,88k x k k -≤≤+∈Z 又{|π,}x x k k ≠∈Z ，原函数的单调递增区间为ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z ，3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z ． 【提示】（Ⅰ）直接求出函数的定义域和最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可． 【考点】三角函数的定义域，周期，单调性． 16.【答案】（Ⅰ）证明CD DE ⊥，1A D DE ⊥，又1CDA D D =，∴DE ⊥平面1A CD ，又1AC ⊂平面1A CD ， ∴1AC ⊥DE ，又1AC CD ⊥，CD DE D =∴1AC ⊥平面BCDE ． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则(2,0,0)D -，1(00,23)A ,，(0,3,0)B ，(2,2,0)E -，(0,0,0)C ， ∴1(0,3,23)A B =-，1(2,2,23)A E =--，设平面1A BE 法向量为(,,)n x y z =，则1100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴323022230y z x y z ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵(1,0,3)M -∴(1,0,3)CM =-∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ+====+++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45数学试卷 第22页（共36页）（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈则1(0,,23)A P a =-，(2,,0)DP a =设平面1A DP 法向量为1111(,,)n x y z =，则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴1111(,,)(3,6,3)n x y z a a ==-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =， ∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a ≤≤，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直．【提示】（Ⅰ）证明1A C ⊥平面BCDE ，因为1A C CD ⊥，只需证明1AC DE ⊥，即证明DE ⊥平面1A CD ． （Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面1A BE 法向量(1,2,3)n =-，(1,0,3)CM =-，利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈，求出平面1A DP 法向量为1(3,6,3)n a a =-， 假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =，可求得03a ≤≤，从而可得结论．． 【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．17.【答案】（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨， 故生活垃圾投放错误的概率为：40026003= （Ⅱ）由题意可知，生活垃圾投放错误有200602020300+++=, 故生活垃圾投放错误的概率：20060403100010++=（Ⅲ）由题意可知：600a b c ++=，,,a b c 的平均数为200，222222211[(200)(200)(200)](120000)33S a b c a b c =-+-+-=++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．【提示】（Ⅰ）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率． （Ⅱ）生活垃圾投放错误有2006040300++=，故可求生活垃圾投放错误的概率．（Ⅲ）计算方差可得22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000S =． 【考点】概率，方差18.【答案】（Ⅰ）33a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）由(1,)c 为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3g x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（Ⅱ）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a -≤-，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126aa -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a -≥-时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(02]a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-； 当(2,)a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【提示】（Ⅰ）根据曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a b ，的值．（Ⅱ）根据24a b =，构建函数3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++，求导函数，利用导数的正负，可确数学试卷 第28页（共36页）定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间(,1)-∞-上的最大值． 【考点】利用导数求函数单调区间及最值．19.【答案】（Ⅰ）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--， 由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：75.2m <<（Ⅱ）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得：232k >．由韦达定理得：21621M N k x x k +=-+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x 则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线 即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证． 【提示】（Ⅰ）原曲线方程，化为标准方程，利用C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围．（Ⅱ）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得232k >设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x ，则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭， 从而可得316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．11 / 1220.【答案】（Ⅰ）0.7（Ⅱ）1（Ⅲ）212t t ++ 【解析】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-∴()0.7k A =（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤：若()1k A >，则1|()||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为0，即1a b c ++=-，∴11c a b =---<-与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在∴()k A 的最大值为1．（Ⅲ）()k A 的最大值为212t t ++． 首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1,...2t t t t t a a a a a a t +++-========-+，22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+． 经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|()||()|2t r A r A t +==+，2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++． 下面证明212t t ++是最大值． 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+． 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中． 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -．设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则1g t h t ≤≥+，． 另外，由对称数学试卷 第34页（共36页）数学试卷 第35页（共36页） 数学试卷 第36页（共36页） 性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）． 因此11|()|()1(1)(1)21(1)[21(2)]r A r A t t x t t x x t t x x =≤++-=+-+=++-+<，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此()k A 的最大值为212t t ++ 【提示】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-，其中的最小值，即可求出所求．（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤，然后证明()1k A =存在即可．（Ⅲ）首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+，然后证明212t t ++是最大值即可． 【考点】合情推理．。
2012年北京普通高中会考数学真题及答案
2012年北京普通高中会考数学真题及答案第一部分 选择题（每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合，，那么集合等于（ ）{}0,1,2M ={}1,4B =A B （A ） （B ） （C ） （D ）{}1{}4{}2,3{}1,2,3,42．在等比数列中，已知，那么等于{}n a 122,4a a ==5a (A)6 (B)8 (C)10 (D)163．已知向量，那么等于（ ）(3,1),(2,5)==-a b 2+a b A.（－1,11） B. （4,7） C.（1,6） D （5,－4）4．函数的定义域是（ ）2log (+1)y x =(A) (B) (C) (D) ()0,+∞(1,+)-∞1,+∞（）[)1,-+∞5．如果直线与直线平行，那么的值为（ ）30x y -=10mx y +-=m (A) (B) (C) (D) 3-13-1336．函数的图象可以看做是把函数的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原=sin y x ω=sin y x 来的倍而得到，那么的值为（ ） 12ω(A) 4 (B) 2 (C) (D) 1237．在函数，，，中，奇函数的是（ ）3y x =2x y =2log y x =y =(A) (B) (C) (D) 3y x =2x y =2log y x =y =8．的值为（ ） 11sin 6π(A) (B) (C) 12-129．不等式的解集是（ ）23+20x x -<A. B. C.. D.{}2x x >{}>1x x {}12x x <<{}1,2x x x <>或10．实数的值为（ ）lg 4+2lg 5(A) 2 (B) 5 (C) 10 (D) 2011．某城市有大型、中型与小型超市共1500个，它们的个数之比为1：5：9．为调查超市每日的零售额情况，需通过分层抽样抽取30个超市进行调查，那么抽取的小型超市个数为（ ）(A) 5 (B) 9 (C) 18 (D) 2012．已知平面∥平面，直线平面，那么直线 与平面 的关系是( )αβm ⊂αm βA.直线在平面内 B.直线与平面相交但不垂直m βm βC.直线与平面垂直 D.直线与平面平行m βm β13．在中，，，那么的值是（ ） ABC ∆a =2b =1c =A A ． B ． C ． D ．2π3π4π6π14．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的表面积是（ ）A ．B ．3π8π C ． D ．12π14π15．当时，的最小值是（ ） >0x 122x x+A ． 1 B ． 2 C ． D ． 416．从数字1,2,3,4,5中随机抽取两个数字（不允许重复），那么这两个数字的和是奇数的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 4535251517．当满足条件时，目标函数的最小值是（ ）,x y 10260y x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩z x y =+(A) 2 (B) (C) (D)42.53.518．已知函数如果，那么实数的值为（ ）2,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥0()2f x =0x A. 4 B. 0 C. 或4 D. 或112-(A) 4 (B) 0 (C) 1或4 (D) 1或－219．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造。
2012年高考理科数学北京卷-答案
数学（理科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】 ，利用二次不等式的解法可得 或 ，易得 ．
【提示】求出集合 ，然后直接求解 ．
【考点】集合间的基本运算．
2.【答案】D
【解析】题目中 表示的区域表示正方形区域，而动点 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此 ，故选D．
20.【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ1
（Ⅲ）
【解析】（Ⅰ）由题意可知 ， ， ， ，
∴
（Ⅱ）先用反证法证明 ：
若 ，则 ，∴
同理可知 ，
∴ ，由题目所有数和为 ，即 ，
∴ 与题目条件矛盾
∴ ．
易知当 时， 存在
∴ 的最大值为1．
（Ⅲ） 的最大值为 ．
首先构造满足 的 ：
， ．
经计算知， 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ， ， ．
下面证明 是最大值．若不然，则存在一个数表 ，使得 ．
由 的定义知 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 中．由于 ，故 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于 ．
设 中有 列的列和为正，有 列的列和为负，由对称性不妨设 ，则 ．另外，由对称性不妨设 的第一行行和为正，第二行行和为负．
【考点】由三视图求几何体的表面积．
8.【答案】C
【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C．
【提示】由已知中图像表示某棵果树前 年的总产量 与 之间的关系，结合图像可得答案．
【考点】函数图像的应用．
2011-2012北约语文数学考题及详解+2013数学考题及详解分解
2011年综合性大学(北约)自主选拔录取联合考试数学试题请注意:文科考生做1至5题,理科考生做3至7题,每题20分,共100分.1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长.2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程.3.在等差数列{}n a 中,3713,3,a a =-=数列{}n a 的前n 项和为n S ,求数列{}n S 的最小项,并指出其值为何.4.在ABC ∆中,2a b c +≥,求证:60C ∠≤.5.是否存在四个正实数,使得它们的两两乘积为2,3,5,6,10,16?6.1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆,C 是平面上的一个动圆,C 与12,C C 都相切,则C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.7.求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值.2012年北约自主招生数学试题1、求x 的取值范围使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数；3、已知0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为41的等差数列，求n m -； 4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比；5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。
6、在2012,,2,1 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解的a ；8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s2013“北约”自主招生试题（时间90分钟，满分120分） 一、选择题（每题8分，共48分）1和1 ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 62．66⨯方阵，3个红车，3个黑车，且6个均不在同一行且不在同一列，有（ ）种方法 A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 3．已知225x y =+，225y x =+，（x y ≠），则32232x x y y -+值为（ ） A. 10- B. 12- C. 14- D. 无法确定 4．在数列{}n a 中，11a =，142n n S a +=+（1n ≥），则2013a 值为（ ） A. 201230192⨯ B. 201330192⨯ C. 201230182⨯ D. 无法确定5．在ABC ∆中，D 为BC 中点，DM 平分ADB ∠交AB 于点M ，DN 平分ADC ∠交AC 于N ，则BM CN +与MN 的关系为（ ）A. BM CN MN +>B. MN CN MN +<C. BM CN MN +=D. 无法确定6．若,,A B C 为三个复数A B C ≠≠，且模全为1，则BC AC ABA B C++++=（ ）A. 12-B. 1C. 2D. 无法确定 二、解答题（每题18分，共72分）7．最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数，并证明你的结论。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B= A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 【答案】D2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。
【答案】D3．设a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】当0=a 时，如果0=b 同时等于零，此时0=+bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a +已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0=a ，因此想必要条件，故选B 。
【答案】B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。
2012年北约自主招生文科试题及答案
北京大学自主招生数学（文科）解答24. 解法一：（4分）（6分）（6分）（2分）说明1. 直接猜出取中点时取得最小值43，得2分.解答二：建立坐标系，设)0,(a A ，)3,(b b B ，))1(3,(c c C -222CA BC AB ++6126422882222+--+--++=c c bc ca ab c b a （4分）61263215215)2(2222+--++++-=c b bc c b c b a （6分） 4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a （6分）当43 =c ，41 =b ，21 =a 时，222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)说明1. 原点取在别处（比如某边中点），可相应给分解答三：建立坐标系，设)0,(x A ，))21(3,(y y B -，))21(3,(z z C +222CA BC AB ++2333422882222++-+--++=z y yz xz xy z y x （4分） 4343)41(536)51(215)2(2222≥+++-+++-=z z y z y x （6分）4343)43(536)1563(215)2(2222≥+-+-+++-=c c b c b a （6分）当且仅当41- =z ，41 =y ，0 =x 时，222CA BC AB ++取到最小值43 (2分)25. 证明：内角相等的圆内接五边形必为正五边形。
解法一：证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x ， y ， z ，u ，v . 利用等角对等弧这一结论 我们有x + y + z = y + z + u （5分）同理 x + y + z = y + z + u =z + u + v = u + v + x = v + x + y (10 分)由此可知 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦，所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法二：证明: 假设圆内接五边形每条边所对应的弧长分别是x ， y ， z ，u ，v . 利用等角对等弧这一结论我们有 x + y + z = y + z + u （5分）x = u (10 分)同理 x = y = z = u = v (15 分)再利用等弧对等弦，所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分) 解法三：证明: 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形∴ ∠A+∠1=180° ∠B+∠2=180°∵ ∠A=∠B∴ ∠1=∠2 （5分） ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 （10分） ∴ DE = CD （15分） 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法四： 连接CE∵ ABCE 是圆内接四边形 ∴ ∠A+∠1=180° ∵ ∠A=108°∴ ∠1= 72° (5分)∴ ∠BOE=2∠1= 144° (10分) 同理 ∠BOD=144°∴ ∠EOD=360°-144°-144°=72° (15分) 同理 ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=72°∴ AB=BC=CD=DE=EA∴圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法五：证明: ∵∠BAE=∠ABC ∠1=∠2∴∠3=∠10 (5分)∵∠3=∠4 ∠9=∠10∴∠4=∠9∵∠BCD=∠AED∴∠5=∠8∵∠5=∠6 ∠7=∠8∴∠6=∠7 (或∠6=∠7= 54°) (10分) ∴∠5+∠6=∠7+∠8∴∠COD=∠DOE∴ CD=DE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法六：∵半径相等∴∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠5=∠6 ∠7=∠8 ∠9=∠10∵∠1+∠2+∠3+… +∠9+∠10 =540°∴（∠1+∠10）+（∠4+∠5）+∠8=270°∵∠1+∠10=108°∠4+∠5=108°∴∠8= 54°（5分）∴∠9+∠8 = 108°∴∠9= 54°∴∠8=∠9 （10分）∵∠9+∠10=∠7+∠8∴∠AOE=∠DOE∴ AE=DE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法七：∵同弧AB所对的角相等∴∠1=∠2 (5分)∵∠BAE=∠ABC AB=AB∴△ABC ≌△ABE (10分)∴ BC=AE (15分)同理AB=BC= CD =DE = AE所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法八：∵∠B=∠E∴ AC=AD （5分）∴∠1=∠2∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∴ A B=AE (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法九：∵ ∠B=∠E ∴ AC=AD （5分） ∴ ∠1=∠2 ∵ ∠1+∠3=∠2+∠4∴ ∠3=∠4 (10分) ∵ ∠B=∠E AC=AD∴ △ABC ≌ △ADE （15分） ∴ BC=AE同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十： 设AB=a, AE= b2 ，BC= b 1,∵ ∠BAE=∠ABC= 108° ∴ AC=BE （5分）设 AC=BE=c 由余弦定理，得在△ABC 中 c 2= a 2+ b 12 －2 a b cos 108° ①在△ABE 中 c 2= a 2 +b 22 －2 a b cos 108° ② （10分） ①-②,得 （b 1－b 2）(b 1+b 2－2 a b cos 108°）= 0 ∵ cos 108°＜0∴ b 1+b 2－ 2 a b cos 108°＞0 （若同学没有这一步，则这道题只得10分） ∴ b 1= b 2 即BC=AE (15分) 同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)解法十一：∵ 圆内接五边形的各内角相等 ∴ AC=BD∴∠A0C=∠BOD (5分) ∴∠A0B+∠B0C=∠COD+∠BOC∴∠A0B =∠COD (10分) ∴ AB=CD (15分)同理 AB=BC= CD =DE = AE 所以圆内接五边形的五条边都相等. (20分)阅卷说明：1、只画图，没有证明，记0分。
2012年北约试题荟萃
2012年北京大学等校“北约”11校联考试题汇整（据学生回忆整理）北约语文一、词语运用（10题）1、警察发现箱子不见了，应该表述为警察发现箱子______。
A遭遇被盗B遭遇被劫C遭盗D遭劫2、运动员跑步的消息立刻发布，“立刻”二字应该表述为______。
A、即时B、及时C、及至二、文言文阅读（翻译）孔子曰赐不受命而货殖焉亿则屡中罪子贡善居积意贵贱之期数得其时故货殖多富比陶朱然则圣人先知也子贡亿数中之类也圣人据象兆原物类意而得之其见变名物博学而识之巧商而善意广见而多记由微见较若揆之今睹千载所谓智如渊海孔子见窍睹微思虑洞达材智兼倍强力不倦超逾伦等耳目非有达视之明知人所不知之状也使圣人达视远见洞听潜闻与天地谈与鬼神言知天上地下之事乃可谓神而先知与人卓异今耳目闻见与人无别遭事睹物与人无异差贤一等尔何以谓神而卓绝三、现代文阅读（见PPT）四、诗歌鉴赏后人观古书，每随己境地。
譬如广场中，环看高台戏。
矮人在平地，举头仰而企。
危楼有凭槛，刘桢方平视。
做戏非有殊，看戏乃各异。
矮人看戏归，自谓见仔细；楼上人闻之，不觉笑喷鼻。
——赵翼《闲居读书六首选一》（1）作者讽刺了什么现象？怎样讽刺的？（5分）（2）以一部你看过的书籍或电影为例，说出对这种现象的理解。
（5分）五、作文以“暖”为题，写一篇700-800字的作文。
【上海语文名师任其斌点评：关键要把握好审题关。
第一是要准确理解“暖”的意思，这是作文的“出发点”。
一个是作为形容词，是“温暖、暖和”之意；一个是作为动词，意思是“使东西变热或使身体变暖”。
进一步分析可知：“暖”是有“温度”的，这个温度不低也不太高；“暖”是人的一种感觉（生理和心理的），所以应该“适度”，以舒适宜人为准；“暖”的感觉是有“过程”的，要体现“逐渐性”的特征。
第二是要把握命题意图。
作为自主招生考试，它当然要考查考生的语文基本素养，但它更关注考生的“思想的力量”，在“才情”与“识见”之间，它更倾向于后者。
2004-2012历届北方数学奥林匹克试题PDF(无答案)
目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格 ，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民 供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张 雷 供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平 供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张 雷 供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1） 求证：AD +CF =DF ；（2） 设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君 供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张 利 供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金 供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨 贾应红 供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏 供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒 供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平 供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+13�⋯�1+13�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。
2012年普通高等学校招生全数学国统一考试
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23） C （-23,3）D (3,+∞) 【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ．【答案】D2．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。
【答案】D3．设a ，b ∈R 。
“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【解析】当0=a 时，如果0=b 同时等于零，此时0=+bi a 是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果bi a +已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0=a ，因此想必要条件，故选B 。
【答案】B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环结束，输出的s 为8，故选C 。
2012年高考真题——理科数学(北京卷)解析版(2).pdf
答案 20 常考角度 应用等腰梯形的判定定理及定义进行等腰梯形的判定． 对接点二：等腰梯形的判定 【例题2】 (2012·毕节地区)如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′. (1)如图②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是________形； (2)如图③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为________度；连接CC′，四边形CDBC′是________形； (3)如图④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由． 分析 (1)利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；(2)利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可；(3)利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD＝CE，即可得出答案． (1)解析 证明 ∵AD＝AB，AA′＝AC， ∴A′C与BD互相平分， ∴四边形A′BCD是平行四边形． 答案 平行四边形 (2)解析 ∵DA垂直于AB，逆时针旋转到点D、A、B在同一直线上，∴旋转角为90度； 证明 ∵∠D＝∠B＝90°，A，D，B在一条直线上， ∴CD∥BC′，∴四边形CDBC′是直角梯形； 答案 90 直角梯形 (3)解 四边形ADBC是等腰梯形； 证明 过点B作BM⊥AC，过点D作DN⊥AC，垂足分别为M，N，则BM∥DN ∵有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′. ∴△ACD≌△A′BC′，∴BM＝ND， ∴四边形是NDBM是平行四边形 ∴BD∥AC，∵AD＝BC， ∴四边形ADBC是等腰梯形． 1. 根据图形，先猜结论，然后再运用相应的判定定理进行判定； 2．平移、旋转前后的图形是全等的关系； 3．等腰梯形的定义是常用的一种判定方法． (1)有两个角相等的梯形是等腰梯形； (2)有两条对角线相等的梯形是等腰梯形； (3)有两条边相等的梯形是等腰梯形； (4)有两个直角的梯形是直角梯形． 其中不正确的命题有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析 根据梯形的判定与性质可判断：(1)错误，直角梯形中有两个角是直角相等，但不是等腰梯形；(2)正确；(3)错误，一腰与一底相等时，不是等腰梯形；(4)正确．所以不正确的命题有2个． 答案 B 【预测3】 有如下命题： 【预测4】 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC，对角线BD平分∠ABC. 求证：梯形ABCD是等腰梯形． 证明 ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∵AD＝DC，∴AB＝CD， ∵四边形ABCD是梯形， ∴梯形ABCD是等腰梯形． 常考角度 运用梯形中位线的性质进行相关的计算． 对接点三：梯形的中位线 【例题3】 (2012·咸宁)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD＝2，BC＝12时，四边形BGEF的周长为________． 分析 先根据EF∥BC，EG∥AB得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE＝∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC＝∠FEB，故∠FBE＝∠FEB，由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD＝2，BC＝12，求出EF的长，进而可得出结论． 答案 28 1. 根据题意，猜出四边形BGEF是菱形并加以判断是关键； 2．见线段中点，结合图形，应联想到梯形中位线的性质． 【预测5】 若梯形的面积为8 cm2，高为2cm，则此梯形的中位线长是 ( ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 解析 根据梯形的面积＝梯形的中位线×高，得梯形的中位线的长＝8÷2＝4(cm)． 答案 B 【预测6】 如图，在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，EF为中位线，且BC＝EF＝4，那么AB＝ ( ) A．3B．5 C．6 D．8 解析 如图，作CG⊥AB于G点， ∵∠ABC＝60°，BC＝EF＝4， ∴BG＝2， 设AB＝x，则CD＝x－2， ∵EF为中位线， ∴AB＋CD＝2EF，即x＋x－2＝8，解得x＝5. 答案 B 易 错 防 范 问题1.对等腰梯形的概念及判定方法理解不透彻， 出现了混淆； 问题2.添加辅助线进行梯形的转化常常出错． 梯形中常见错误【例题4】 (2012·西城区)下列说法中正确的是 ( ) A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 B．有一组对角互补的梯形是等腰梯形 C．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 D．有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形 [错解] 学生往往选A. [错因分析] 本题很容易错选A，认为平行的两边为底，相等的对边一定是腰，主要是对梯形的概念认识不清．如一个平行四边形符合一组对边平行，另一组对边相等，但它不是梯形．只有当一组对边平行，另一组对边相等且不平行时才是等腰梯形． [正解] A项平行四边形满足条件，故A错；C项一腰和上底相等的梯形不是等腰梯形，故C错；D项矩形的两组对角分别相等，不是等腰梯形，故D错．所以选B(条件可得出梯形在同一底上的两个角相等)． 熟记等腰梯形的定义及判定方法，尤其准确把握其包含的条件． 课 时 跟 踪 检 测 第二十七讲 梯形 课 前 必 读 考纲要求 1.掌握梯形的概念； 2.掌握等腰梯形的性质； 3.掌握等腰梯形的判定. 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010年 梯形中位线性质(3分) 填空题 容易 2011年 等腰梯形的性质(3分) 填空题 中等 2012年 等腰梯形的判定(8分) 解答题 中等 网 络 构 建 等腰梯形的学习 与特殊平行四边形相类似 还是围绕边、角、线 梯形转化是关键 见到中点中位线 它的性质应牢记 考 点 梳 理 1．梯形：一组对边_____，而另一组对边_______的四边形，叫做梯形． 2．梯形的分类 3．连接梯形两腰的_____的线段叫做梯形的中位线．梯形的中位线___________，且等于__________________ ． 梯形的概念、分类及梯形的中位线 平行 不平行中点 平行于两底 上、下两底和的一半 等腰梯形 等腰梯形 性质 判定 1.等腰梯形________的两个底角相等. 2.等腰梯形的对角线_____. 3.等腰梯形是___对称图形. 1.两腰_____的梯形是等腰梯形 2. ________的两个底角相等的梯形是等腰梯形. 3.对角线_____的梯形是等腰梯形. 等腰梯形的性质和判定 同一底上 相等 轴 相等 同一底上 相等 对接 中 考 常考角度 根据等腰梯形的性质进行有关的计算和证明． 对接点一：等腰梯形的性质 【例题1】 (2012·丽水)如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝ ，AB＝6.在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°.当点E是AB的中点时，线段DF的长度是________． 答案 6 1. 梯形问题常常转化为三角形或平行四边形问题； 2．遇角度求线段常常利用解直角三角形． 【预测1】 如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝ 2 cm，则上底DC的长是________． 解析 ∵AB∥CD，AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝∠CAB＝30°，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠DCA， ∴CD＝AD＝BC＝2 cm. 答案 2 cm 【预测2】 某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E，F，G，H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40 cm，则对角线AC＝________cm.。
2012年北京卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学本试卷共20题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设．“”是“复数是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16 5．如图，，于点，以为直径的圆与交于点，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）{}|320A x x =∈+>R ()(){}|130B x x x =∈+−>R A B =()1−∞−，213⎧⎫−−⎨⎬⎩⎭，233⎛⎫− ⎪⎝⎭，()3+∞，0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤D D π4π22−π64π4−a b ∈R ，0a =i a b +S 90ACB ∠=︒CD AB ⊥D BD BC E CE CB AD DB ⋅=⋅CE CB AD AB ⋅=⋅2AD AB CD ⋅=2CE EB CD ⋅=EBDACA ．B ．C ．D ．8．某棵果树前前的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为 ．10．已知为等差数列，为其前项和．若，，则 ． 11．在中，若，，，则 ．12．在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，其中点 在轴上方，若直线的倾斜角为．则的面积为 ．13．已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的值为 ；的最大值为 ．14．已知，．若同时满足条件：①，或； ②，则的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数．（1）求的定义域及最小正周期；28+30+56+60+n n S n m m 21x t y t =+⎧⎨=−−⎩t 3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩α{}n a n S n 112a =23S a =2a =ABC △2a =7b c +=1cos 4B =−b =xOy l 24y x =F A B A x l 60︒OAF △ABCD E AB DE CB ⋅DE DC ⋅()()()23f x m x m x m =−++()22x g x =−x ∀∈R ()0f x <()0g x <()()()40x f x g x ∃∈−∞−<，，m ()()sin cos sin 2sin x x xf x x −=()fx 34正（主）视图侧（左）视图俯视图（2）求的单调递增区间．16．（本小题共14分） 如图1，在中，，，．，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）求证：平面； （2）若是的中点，求与平面所成角的大小；（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．17．（本小题共13分） 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率； （3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，．当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值． （求：，其中为数据，，…，的平均数）18．（本小题共13分） 已知函数，．（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值； （2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值． 19．（本小题共14分）已知曲线（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围； （2）设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点．求证：三点共线．()f x Rt ABC △90C ∠=︒3BC =6AC =D E AC AB DE BC ∥2DE =ADE △DE 1A DE △1AC CD ⊥1AC ⊥BCDE M 1A D CM 1A BE BC P 1A DP 1A BE a b c ，，0a >600a b c ++=a b c ，，2s a b c ，，2s ()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=−+−++−⎢⎥⎣⎦x 1x 2x n x ()()210f x ax a =+>()3g x x bx =+()y f x =()y g x =()1c ，a b 24a b =()()f x g x +(]1−∞−，()()()22:528C m x m y m −+−=∈R C x m 4m =C y A B ，A B 4y kx =+C M N 1y =BM G A G N ，，AC D E B A 1MC B ED 图1图220．（本小题共13分）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合． 对于，记为的第行各数之和，为的第列各数之和；记为，，…，，，，…，中的最小值． （1）对如下数表，求的值；（2）设数表求的最大值；（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值．A m n ⨯m n ()S m n ，()A S m n ∈，()i r A A i ()1i m ≤≤()j c A A j ()1j n ≤≤()k A ()1||r A ()2||r A ()||m r A ()1||c A ()2||c A ()||n c A A k A (23A S ∈，()k A t ()221A S t ∈+，()k A2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)理科数学(参考答案)1．D 【解析】 试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算 2．D 【解析】 【分析】试题分析：阴影部分的面积为：4π−，故选.D 考点：1、几何概型的计算，面积比【方法点晴】本题主要考查的是几何概型，属于中等题，由题作出所对应的图像，可得平面区域D 为如图所示的正方形区域，而区域内的任意点到原点的距离大于的区域为图中的阴影部分，由几何概型的公式可知概率即为面积之比，易得答案. 【详解】 3．B 【解析】 【分析】 【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B 【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义 4．C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：列出循环过程中S 与k 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 解：第1次判断后S=1，k=1， 第2次判断后S=2，k=2， 第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8． 故选C ．考点：循环结构． 5．A 【解析】如图所示，由切割线定理可知2•CE CB CD =，在直角△ACB 中，090ACB ∠=，CD AB ⊥，则由射影定理可知2=?,CD AD DB ∴••CE CB AD DB =. 【考点定位】本题考查的是平面几何的知识，具体到本题就是射影定理的各种情况，需要学生对于垂直的变化有比较深刻的印象． 6．B 【解析】 【分析】【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况． 7．B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如右图所示．图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长，本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和．利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10S S S S ====后右底左，，因此该几何体表面积30S S S S S =+++=+后右底左B ．【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题，原来考查的是棱锥或棱柱的体积而今年考得是表面积，因此考查了学生的计算基本功和空间想象的能力． 8．C 【解析】 【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论． 【详解】由题意，将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度， 可得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=−=−.故选C ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型. 9．2 【解析】 【分析】试题分析：将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．根据题意，由于直线2{1x ty t=+=−−(t 为参数)与曲线3cos {3sin x y αα==(α为参数)化为普通方程分别是x+y-1=0和x 2+y 2=9，那么可知∵圆心（0，0）到直线x+y-1=0的距离为d=＜3，∴直线与圆有两个交点，故答案为2考点：参数方程与普通方程点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题 【详解】请在此输入详解！10．1 ，【解析】【考点定位】本小题主要考查等差数列的基本运算，考查通项公式和前n 项和公式的计算 11．4 【解析】在△ABC 中，利用余弦定理222cos 2a c b B ac+−=，14()()47()444c b c b c b c c ++−+−−==，化简得：，与题目条件7b c +=联立，可解得2,4,3a b c ===，【考点定位】本题考查的是解三角形，考查余弦定理的应用．利用题目所给的条件列出方程组求解 12【解析】由24y x =可求得焦点坐标(1,0)F ，因为倾角60º，所以直线的斜率为0tan 60k ==，利用点斜式，直线方程为y =2{4y y x =={1(,33A B ⇒−，因此11122OAF A S OF y ∆=⨯⨯=⨯⨯=.【考点定位】本题考查的是解析几何中抛物线的问题，根据交点弦问题求围成面积．此题把握住抛物线的基本概念，熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标和方程是成功的关键，当然还要知道三角形面积公式． 13． 1,1 【解析】根据平面向量的点乘公式•••cos DE CB DE DA DE DA θ==,由图可知，•cos DE DA θ=, 因此•DE CB =2||1DA =;••cos cos DE DC DE DC DE αα==,而•cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让•DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为DC ，所以长度为1.【考点定位】本题是平面向量问题，考查学生对于平面向量点乘知识的理解，其中包含动点问题，考查学生最值的求法． 14．()4,2m ∈−− 【解析】根据()220xg x =−<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此24n n +时2个根为122,3x m x m ==−−，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=−−<1{24m m <⇒>−，和大前提m<0取交集结果为40m −<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈−∞−恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈−时，34m −−<−，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24−>−，舍．当(4,1)m ∈−−时，24m <−，解得2m <−，综上所述，(4,2)m ∈−−．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想． 15．2==2T ππ 单调递增区间为[,)8k k πππ−和（k Z ∈）【考点定位】本题考查三角函数知识，此类型题在平时练习时练的较多，考生应该觉得非常容易入手。
一道2012年自主招生北约联考试题的联想
一道２０１２年自主招生北约联考试题的联想蔡祖才（江苏省常熟市中学，２１５５００） ２０１２年自主招生北约联考试题中有一道三角形试题，题目描述简单，解答就很容易．但这种优美的设问方法，给我们带来很多联想，有利于我们对数学思维的展开．题目 如果锐角△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ，求Ｏ到三角形三边的距离比．图１解答 因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以圆心Ｏ在△ＡＢＣ内部，如图１，过Ｏ分别作ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的垂线，垂足分别是Ｄ、Ｅ、Ｆ，设外接圆的半径为Ｒ，根据圆心角与圆周角的定义，可知∠ＤＯＣ＝１２∠ＢＯＣ＝∠Ａ．在Ｒｔ△ＤＯＣ中，ＯＤ＝Ｒｃｏｓ∠ＤＯＣ＝ＲｃｏｓＡ，同理可得，ＯＥ＝ＲｃｏｓＢ，ＯＦ＝ＲｃｏｓＣ．因此，Ｏ到三角形三边的距离比为ＯＤ∶ＯＥ∶ＯＦ＝ｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．锐角三角形外接圆圆心到三边的距离比有这样优美的结论，可以联想，锐角三角形的垂心，重心到三边的距离比也有同样优美的结论．经过探究，我们得到以下结论．结论１ 如果锐角△ＡＢＣ的垂心为Ｈ，则Ｈ到三角形三边的距离比为１ｃｏｓ Ａ∶１ｃｏｓＢ∶１ｃｏｓＣ．图２证明 设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图２，三角形ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ边上的高分别是ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ，因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以垂心Ｈ在△ＡＢＣ内部．在Ｒｔ△ＡＤＣ中，ＤＣ＝ＡＣｃｏｓＣ＝２ＲｓｉｎＢｃｏｓＣ；在Ｒｔ△ＨＤＣ中，∠ＤＨＣ＝∠Ｂ，ＨＤ＝ＤＣｃｏｔ∠ＤＨＣ＝ＤＣｃｏｔ Ｂ＝２ＲｓｉｎＢｃｏｓＣｃｏｔ Ｂ＝２ＲｃｏｓＢｃｏｓＣ，同理可得ＨＥ＝２ＲｃｏｓＣｃｏｓ Ａ，ＨＦ＝２Ｒｃｏｓ ＡｃｏｓＢ，所以ＨＤ∶ＨＥ∶ＨＦ＝ｃｏｓＢｃｏｓＣ∶ｃｏｓＣｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓ ＡｃｏｓＢ＝１ｃｏｓ Ａ∶１ｃｏｓＢ∶１ｃｏｓＣ．结论２ 如果锐角△ＡＢＣ的重心为Ｇ，则Ｇ到三角形三边的距离比为１ｓｉｎＡ∶１ｓｉｎＢ∶１ｓｉｎＣ．图３证明 设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图３，过Ｇ分别作ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的垂线，垂足分别是Ｄ、Ｅ、Ｆ，ＢＣ的中点为Ｍ，ＢＣ边上的高为ＡＨ，则ＧＤ＝１３ＡＨ＝１３ＡＣｓｉｎＣ＝２Ｒ３ｓｉｎＢｓｉｎＣ．同理可得ＧＥ＝２Ｒ３ｓｉｎＣｓｉｎＡ，ＧＦ＝２Ｒ３ｓｉｎＡｓｉｎＢ，所以ＧＤ∶ＧＥ∶ＧＦ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ∶ｓｉｎＣｓｉｎＡ∶ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝１ｓｉｎＡ∶１ｓｉｎＢ∶１ｓｉｎＣ．我们还可以联想，锐角三角形的垂心和内心到三顶点的距离比也有优美的结论．经过探究，我们还可以得到以下的结论．结论３ 如果锐角△ＡＢＣ的垂心为Ｈ，则Ｈ到三角形三顶点的距离比为ｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．图４证明 设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，如图４，三角形ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ边上的高分别是ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ，因为△ＡＢＣ为锐角三角形，所以垂心Ｈ在△ＡＢＣ内部．在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ＡＥ＝ＡＢｃｏｓ Ａ＝２ＲｓｉｎＣｃｏｓ Ａ．９５·辅教导学· 数学通讯———２０１２年第７、８期（上半月）在Ｒｔ△ＡＨＥ中，∠ＡＨＥ＝∠Ｃ，ＡＨ＝ＡＥｓｉｎ∠ＡＨＥ＝２ＲｓｉｎＣｃｏｓ ＡｓｉｎＣ＝２Ｒｃｏｓ Ａ．同理可得ＢＨ＝２ＲｃｏｓＢ，ＣＨ＝２ＲｃｏｓＣ，所以ＡＨ∶ＢＨ∶ＣＨ＝ｃｏｓ Ａ∶ｃｏｓＢ∶ｃｏｓＣ．图５结论４ 如果锐角△ＡＢＣ的内心为Ｉ，则Ｉ到三角形三顶点的距离比为１ｓｉｎＡ２∶１ｓｉｎＢ２∶１ｓｉｎＣ２．证明 设△ＡＢＣ的内切圆半径为ｒ，如图５，过Ｉ作ＡＢ的垂线，垂足为Ｆ，在Ｒｔ△ＡＩＦ中，ＡＩ＝ＩＦｓｉｎ∠ＦＡＩ＝ｒｓｉｎＡ２． 同理可得ＢＩ＝ｒｓｉｎＢ２，ＣＩ＝ｒｓｉｎＣ２，所以ＡＩ∶ＢＩ∶ＣＩ＝１ｓｉｎＡ２∶１ｓｉｎＢ２∶１ｓｉｎＣ２．类似地，若三角形是钝角三角形，也会有类似的结论，请读者自行研究．一道自主招生试题，让我们从锐角三角形的外心类比到垂心、重心，从到三边的距离比类比到三顶点的距离比，这种思维以放射性思考模式为基础，运用了联想，达到了锻炼思维的目的．虽然试题及联想结论简单明了，但结论的优美性和联想思维的价值不言而喻．（收稿日期：２０１２－０３－０１）由一道课本习题引起的思考王业和（安徽省潜山中学，２４６２００） 高中数学必修２（人教版）第１３３面Ｂ组第３题为：已知圆ｘ２＋ｙ２＝４，直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ．当ｂ为何值时，圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有３个点到直线ｌ的距离等于１．分析和解 由题设可知圆的半径ｒ＝２，要使圆上恰有３个点到直线ｌ的距离为１，则只需圆心Ｏ到ｌ的距离为１即可，即ｄ＝ｂ１２＋（－１）槡２＝１，解得ｂ＝±槡２．因此，当ｂ＝±槡２时，圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有３个点到直线ｌ的距离等于１．这是一道经典习题，此题的灵魂和核心就是转化为计算圆心Ｏ到直线ｌ的距离问题，这也是解决此类问题的关键所在．若满足于求出问题的答案为止，则甚为可惜．若对此题进行恰当的变式训练，则能更好地使学生解一题会一类，提高学生触类旁通的能力．一、改变点的个数．思考１ 已知圆ｘ２＋ｙ２＝４，直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｂ．分别求ｂ的取值范围，使圆ｘ２＋ｙ２＝４上恰有：（１）４个点到直线ｌ的距离等于１； （２）２个点到直线ｌ的距离等于１；（３）１个点到直线ｌ的距离等于１；（４）没有点到直线ｌ的距离等于１．仿照前面的解答易求得答案为：（２）－槡２＜ｂ＜槡２；（２）槡２＜ｂ＜槡３ ２或－槡３ ２＜ｂ＜－槡２；（３）ｂ＝±槡３ ２；（４）ｂ＜－槡３ ２或ｂ＞槡３ ２．二、改变字母参数．思考２ 已知圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上恰有两点到直线ｌ：３ｘ－４ｙ＝２５的距离等于１，求ｒ的取值范围．分析和解 此题改变了未知量，需要求的是圆的半径ｒ的取值范围，难度显然增加，但解题的关键还是利用圆心到直线的距离求解．０６数学通讯———２０１２年第７、８期（上半月） ·辅教导学·。
2012年普通高等学校招生全国统一考试北京文科数学和理科数学整编卷详细解析(精品回顾)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ，则A B = （ ）A ．()1-∞-，B ．213⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，C ．233⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．()3+∞，2．设不等式组0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．π4B ．π22-C ．π6D ．4π4- 3．设a b ∈R ，．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．如图，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（ ）A ．CE CB AD DB ⋅=⋅ B ．CE CB AD AB ⋅=⋅C ．2AD AB CD ⋅= D ．2CE EB CD ⋅=回归往日精品，再现今日辉煌EBDAC6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A ．24B ．18C ．12D ．67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+ B．30+C．56+D．60+8．某棵果树前n 前的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为（）A ．5B ．7C ．9D ．1134主主主主主主主主主主主主主主主回归往日精品，再现今日辉煌第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为．10．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a =．11．在ABC △中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b =．12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60︒．则OAF △的面积为．13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为 ；DE DC ⋅的最大值为．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <； ②()()()40x f x g x ∃∈-∞-<，，， 则m 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数()()sin cos sin 2sin x x xf x x-=．（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间． 16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =．D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE BC ∥，2DE =，将ADE △沿AEA 1MDE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，如图2. （1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．17．（本小题共13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a b c ，，，其中0a >，600a b c ++=．当数据a b c ，，的方差2s 最大时，写出a b c ，，的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值． （求：()()()2222121n s x x x xx x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均数）18．（本小题共13分）已知函数()()210f x ax a =+>，()3g x x bx =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]1-∞-，上的最大值．19．（本小题共14分）已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A B ，（点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ．求证：A G N ，，三点共线．20．（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记()S m n ，为所有这样的数表构成的集合．对于()A S m n ∈，，记()i r A 为A 的第i 行各数之和()1i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和()1j n ≤≤；记()k A 为()1||r A ，()2||r A ，…，()||m r A ，()1||c A ，()2||c A ，…，()||n c A 中的最小值．（1）对如下数表A ，求()k A 的值；110.8-0.10.3-1-（2）设数表()23A S ∈，形如1 1 cab 1-求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的()221A S t ∈+，，求()k A 的最大值．答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DDBCABBC二、填空题三、解答题 15． 解： (sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x xf x x x x x x--===-{}πsin 21cos 221|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z16． 解：（1） CD DE ⊥，1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD ，又 1A C ⊂平面1A CD ，∴1A C ⊥DE又1A C CD ⊥，∴1A C ⊥平面BCDEy C（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，(00A ，，，()030B ，，，()220E -，，∴(103A B =-，，,()1210A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴3020y x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ ∴2z y yx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(12n=-，又∵(10M -， ∴(10CM =-，∴cos ||||CM n CM n θ⋅====⋅ ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则(10A P a =-，，，()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ ∴111112z x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()136n a =-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直 则10n n ⋅=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a <<∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直 17．（1）由题意可知：4002=6003（2）由题意可知：200+60+403=100010（3）由题意可知：22221(120000)3s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000s =．18． 解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩． （2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26a x =-；0a >，∴26a a -<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．19．（1）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：752m <<（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)k ∆-，解得：232k >由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421M N x x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=-⎪+⎝⎭ ，，()2N N AN x x k =+，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。
2012年＂北约＂高校自主招生数学试题简解与讨论
中学 数学 杂 志
２１ ０２年第 ５期
ｇ磁 缓 Ａ ２的直 径 中靠近 Ａ ： Ｂ Ｂ 一侧 的端 点．
豸 嬲
中， 已知 （ 一ｋ ｘ＋ｍ） 一ｌ （ ｘ＋ｎ ）＝０的 ４个 根组
成首 项为 ｔ 的等 比数 列 ， 中 ｍ， ，，，为 给定 的常 其 ｒ ｋＺｔ ｂ
数， ｌ 求 ｋ—Ｚ ． ” Ｉ
＝ ＋１ ≥ １ 戛 ＋３ ０≤ ≤ １ 宅 ＋３ 一 （ ） 一 （ ） （
＋ ）＝０ ｎ 的４ 个根组成首项为 ｔ 的等差数列 ， 其
中 ｍ，， ，为给定的常数 ， Ｉ ｋｔ 求 ｍ一儿Ｉ ” ． 同法 可解 得 ４根 之和 ４ ＋６ ｔ ｅ＝ａ＋ｂ＋Ｃ＋ｄ＝
时，与 为方程 Ｉ的两根 ， 另两根为方程 １ １
—
Ｃ ， 时 方程的解为 Ｙ ＝ｂ＋ｅｙ ， ２＝ｂ—ｅ其 中 ｅ＝ ，
．
山一 ｄ＿
二
２ 。
：Ａ的实根个数为０ Ａ ＜０ （ ） 的两根 ； ③ｚ： 时 ，与 为方程 Ｉ 或 Ⅱ） （
的两根 ， 另两根为方程 Ⅱ（ Ｉ） 或 的两根． 三种情形
５ ０３ １６ １
吴
康
设 一２ ＋ｍ ＝０的根 为 ａ ｂ 一２ ，， ｘ＋ｎ＝０
的为， 根 成 差 列 ，＋ ＋， 根 ｃ， 组 等 数 ÷１ｅ ２ － ｄ ４ ， ｅ １ ￣
＋３ ， ４根之 和为 １＋６ ｅ则 ｅ＝ａ＋ｂ＋Ｃ＋ｄ ＝２＋２
Ｉ ｘ （ ＝３ ＋１ ≥１ 或 ＋ （ ≤１ 或 一 ３ 一 ） ３ ０≤ ） ＋ （ ２≤ ≤０ 或 一 ｘ一１ ≤一 ）所求 的取值范 ） ３ （ ２，
１
与
，
两棍
故 由 韦 达 定 理 ，Ｉ — ｎ Ｉ ａ — ｃ ｍ ＝Ｉ ｂ ｄＩ