立体几何中的探索性问题-存在型问题配套练习

立体几何中的探索性问题-存在型问题配套练习

福州第三中学陈增

1. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．

(1)证明：平面PBE⊥平面PAC.

(2)在BC上是否存在一点F，使AD//平面PEF？说明理由．

2. 如图，在三棱锥V−ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ(0<θ<π

2

).

(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；

(2)当角θ在(0，π

2)上变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．

P

C

B

A

立体几何中的探索性问题-存在型问题配套练习参考答案

福州第三中学陈增

1.解：(1)证明：∵PA⊥底面ABC，BE⊂平面ABC，

∴PA⊥BE.

又△ABC是正三角形，E是AC的中点，

∴BE⊥AC，又PA∩AC=A.

∴BE⊥平面PAC.

又BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC.

(2)存在满足条件的点F，且F是CD的中点．

理由：∵E、F分别是AC、CD的中点，

∴EF//AD.

而EF⊂平面PEF，AD⊄平面PEF，

∴AD//平面PEF.

2.解：(1)证明：因为AC=BC=a，所以△ACB是等腰三角形．又D是AB的中点，所以CD⊥AB.

又VC⊥底面ABC，所以VC⊥AB.

于是AB⊥平面VCD.又AB⊂平面VAB，

所以平面VAB⊥平面VCD.

(2)在平面VCD内过点C作CH⊥VD于H，则由(1)知CH⊥平面VAB.连接BH，

于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．

在Rt△CHD中，易知CH=√2

2

asinθ.

设∠CBH=φ，在Rt△BHC中，CH=asinφ，

所以√2

2

sinθ=sinφ.

因为0<θ<π

2，所以0

2

.

又0<φ<π

2，所以0<φ<π

4

.

即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0，π

4

).