立体几何中的探索性问题-存在型问题配套练习
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立体几何中的探索性问题-存在型问题配套练习
福州第三中学陈增
1. 如图,在三棱锥P−ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC为正三角形,D、E分别是BC、CA的中点.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAC.
(2)在BC上是否存在一点F,使AD//平面PEF?说明理由.
2. 如图,在三棱锥V−ABC中,VC⊥底面ABC,AC⊥BC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ(0<θ<π
2
).
(1)求证:平面VAB⊥平面VCD;
(2)当角θ在(0,π
2)上变化时,求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.
P
C
B
A
立体几何中的探索性问题-存在型问题配套练习参考答案
福州第三中学陈增
1.解:(1)证明:∵PA⊥底面ABC,BE⊂平面ABC,
∴PA⊥BE.
又△ABC是正三角形,E是AC的中点,
∴BE⊥AC,又PA∩AC=A.
∴BE⊥平面PAC.
又BE⊂平面PBE,∴平面PBE⊥平面PAC.
(2)存在满足条件的点F,且F是CD的中点.
理由:∵E、F分别是AC、CD的中点,
∴EF//AD.
而EF⊂平面PEF,AD⊄平面PEF,
∴AD//平面PEF.
2.解:(1)证明:因为AC=BC=a,所以△ACB是等腰三角形.又D是AB的中点,所以CD⊥AB.
又VC⊥底面ABC,所以VC⊥AB.
于是AB⊥平面VCD.又AB⊂平面VAB,
所以平面VAB⊥平面VCD.
(2)在平面VCD内过点C作CH⊥VD于H,则由(1)知CH⊥平面VAB.连接BH,
于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.
在Rt△CHD中,易知CH=√2
2
asinθ.
设∠CBH=φ,在Rt△BHC中,CH=asinφ,
所以√2
2
sinθ=sinφ.
因为0<θ<π
2,所以0 2 . 又0<φ<π 2,所以0<φ<π 4 . 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0,π 4 ).