运筹学最短路概念模型的应用
运筹学05_图与网络分析2-最短路
v4
v7
－1
42
终 点
lij
P(t)1j
起 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 t=1 t=2 t=3 t=4 点
v1 0 -1 -2 3 0 0 0 0
v2 6 0 2 -1 -5 -5 -5
v3 -3 0 -5 1 -2 -2 -2 -2
v4 8 0 2 3 -7 -7 -7
60
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 2 2 0 5 5 1 4 0 6 v5 2 3 0 v6 2 2 0
61
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 2 2 05 5 1 4 0 6 3 23 0 v6 2 2 0
54
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 v3 2 0 5 1 1 4 0 4 v5 2 3 0 v6 2 2 0
55
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 v3 2 0 5 1 1 4 0 4+2 v5 2 3 0 v6 2 2 0
0
2
7
1
5 3 5 55 7
1
3
3
1
4
6
7
5
12
③从已标号的点出发，找与这
(1,2)
2
些相邻点最小权数（距离）者， 找到之后：标号；边变红。
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
1
3
3
1
34 5 6
7
13
④重复上述步骤，直至全部的
(1,2)
点都标完。
2
2
0
2
运筹学——.图与网络分析-最短路
可选择的最短路为
(v5 , v6 ), (v5 , v7 ).
min{ k24, k34, k56, k57} min{9,10,13,14} 9
① 给(v2 , v4 )
划成粗
线②。给v4 标号（9）。
③ 划第5个弧。
v2 (4) 5 v4(9) 9 v6 (13)
4 4
v1 (0)
1
75
v2 (4)
5
v4
9
v6
4
1
v1 (0)
4
75
5
v8
①
64
1
②
v3(6)
7 v5 6
v7
③
3）接着往下考察，有三条路可走：(v1, v3 ), (v2, v4 ), (v2 , v5 ).
可选择的最短路为
min{ k13, k24, k25} min{l13, l12 d24,l12 d25} min{ 6,4 5,4 4} 6
第6章 图与网络分析
本章内容重点
图的基本概念与基本定理 树和最小支撑树 最短路问题 网络最大流
引
言
图论是应用非常广泛的运筹学分 支，它已经广泛地应用于物理学控制论，信 息论，工程技术，交通运输，经济管理，电 子计算机等各项领域。对于科学研究，市场 和社会生活中的许多问题，可以同图论的理 论和方法来加以解决。例如，各种通信线路 的架设，输油管道的铺设，铁路或者公路交 通网络的合理布局等问题，都可以应用图论 的方法，简便、快捷地加以解决。
若已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的残值与 维修费，如表2所示.
项目 购买费 机器役龄 维修费 残值
第1年 11 0-1 5 4
算法合集之最短路算法及其应用
一种可能的方法是枚举出所有路径，并计算 出每条路径的长度，然后选择最短的一条。
然而我们很容易看到，即使不考虑含回路 的路径，依然存在数以百万计的行车路线!
实际上，其中绝大多数路线我们是没必 要考虑的。
这时候，我们应该用一种系统的方法来 解决问题，而不是通常人们所用的凑的方法 和凭经验的方法。
2
定义
定理2 每当结点u插入集合S时，有d[u]= (s,u)成立。
简证：我们每次选择在集合V-S中具有最小最短路径估计的结点u， 因为我们约定所有的边权值非负，所以有可能对结点u进行松弛操 作的结点必不在集合V-S中（否则与结点u的定义矛盾），因此只会 在集合S中。又由于我们选取结点进入S时，S中的结点已全部进行
4. d[s] 0
一次松弛操作可以减小最短路径的估计值 d[v]并更新v的先辈域 [v]
RELAX(u,v,w)
1. If d[v] > d[u] + w(u,v)
2. Then d[v] ← d[u] + w(u,v)
3.
[v] ← u
7
常用算法
一、Dijkstra算法 二、Bellman-Ford算法 三、SPFA算法
根据最短路的最优子结构（定理1），路径边数上限为k时的最短路可以 由边数上限为k-1时的最短路“加一条边”来求，而根据刚才的结论，最 多只需要迭代n-1次就可以求出最短路。
效率:
Bellman-Ford算法的运行时间为O(VE)。很多时候，我们的算法并不 需要运行|V|-1次就能得到最优值。对于一次完整的第3-4行操作，要是 一个结点的最短路径估计值也没能更新，就可以退出了。
定理4 在平均情况下，SPFA算法的期望时间复杂度为O(E)。
运筹学最短路问题实际应用--上课路线选择
距离矩阵摹乘法
修正之后的路线
路线
1.新区出发-西山大铁门-图书馆后面的公路 -网球场的坡地-沿着公路-励志楼（772M) 2.图书馆-学汇楼-横穿学汇楼-沿着公路-励 志楼（290.5M） 3.知行楼-路口七-德济楼-四海楼-沿着公路励志楼（332.5） 4.E1、十一舍-三食堂-电航楼-百川楼-德济 楼-四海楼-沿着公路-励志楼（482.1/422.1） 5.成教二-路口3-电航楼-百川楼-德济楼-四 海楼-沿着公路-励志楼（412.7M）
大连海事大学
新区——西山教学楼的最短路
成员：杨俊成 王红建 唐琴 李敏垚
主要内容
背景介绍 问题描述 模型建立 解决的问题
背景介绍
一、宿舍楼与教学楼的分布情况
新区的分1、B2、B3、研二宿舍楼等）
西山的分布：学汇楼，百川、德济、四海、励志、知 行、图书馆、三食堂、十一舍、计算机学院宿舍楼， （当然还有一些研究生宿舍楼这里我们忽略不计）
问题描述
宿舍楼与教学楼间的距离太远了，大量的 同学们每天要都花十多分钟在去教学楼的 路上，而不能在这段时间内做跟有意义的 事情 由于上课地点的不同，大量的同学要不停 的转换上课地点。 无论是冬天还是夏天同学们都不想自己在 寒冷的室外停留太长的时间
要达到目标
学校里的路很多，我们的目的是如何帮助 同学们选择一条或几条最短的路帮助同学 们解决耽误在路上的时间，减少在大连寒 冷的阴风中逗留的时间，增加同学们的幸 福感
不同区域同学住所的分布情况
新区宿舍楼：大二、大三、大四的学生，还 有部分的研二学生，大量的同学住在新区 宿舍楼
西山宿舍楼分布：大一的学生，E1一般都是 信息学院的学生，还有一些不被我们计算 在内的研究生宿舍，
最短路问题数学模型
最短路问题数学模型
最短路问题是指在带权有向图中，求两个顶点之间的最短路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，如在交通规划、电信网络设计、人工智能等领域。
为了解决这个问题，需要建立一个数学模型。
数学模型是指用数学方法对实际问题进行抽象和描述，从而进行定量分析和求解的方法。
对于最短路问题，可以使用图论和运筹学的方法建立数学模型。
在图论中，最短路问题可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法求解。
这些算法基于图的边权和，采用动态规划的思想，逐步计算每个节点到源节点的最短距离，最终得到整个图中每对节点之间的最短路径。
在运筹学中，最短路问题可以被看作是一种线性规划问题。
可以将每个节点看作是一个决策变量，节点之间的边权看作是线性约束条件，目标函数则是从源节点到目标节点的路径长度。
通过对目标函数进行最小化，可以得到最短路径的解。
总之，最短路问题数学模型可以通过图论和运筹学的方法进行建立和求解。
建立好的数学模型可以为实际问题提供科学解决方案，优化效率和效果。
- 1 -。
运筹学第六章6.2最短路问题
二、最短路算法： 最短路算法：
1． D氏标号法（Dijkstra） 氏标号法（Dijkstra） （1）求解思路 求解思路——从始点出发，逐步顺序 从始点出发， 从始点出发 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最 短的。 短的。 （2）使用条件 使用条件——网络中所有的弧权均 网络中所有的弧权均 非负， 非负，即 wij ≥ 0 。
（4） 计算步骤及例：
第三步：若网络图中已无T标号点 标号点， 第三步：若网络图中已无 标号点，停止 计算。否则 令 计算。否则,令
T ( v j0 ) =ຫໍສະໝຸດ min {T ( v )}
v j ∈s j
,
标号改成P 然后将 v j0 的T 标号改成 标号 ，转入第 二步。 二步。 此时，要注意将第二步中的 v1 改为 v j0 。 此时，
2 ,3, L , N ）
使用条件— 使用条件—没有负回路
3. 海斯算法
算法思想： 算法思想： 利用v 利用 vi 到 vj 的一步距离求出 vi 到 vj 的一步距离求出v 的两步距离, 的两步距离 , 再由两步距离求出四步 距离,经有限步迭代即可求得v 距离,经有限步迭代即可求得vi到vj的 最短路线和最短距离。 最短路线和最短距离。
6-2. 最 短 路 问 题
一、问题的提法及应用背景
（1）问题的提法 问题的提法——寻求网络中两点间 寻求网络中两点间 的最短路就是寻求连接这两个点的边的 总权数为最小的通路。 注意： 总权数为最小的通路。（注意：在有向 图中，通路——开的初等链中所有的弧 开的初等链中所有的弧 图中，通路 开的初等链 应是首尾相连 首尾相连的 应是首尾相连的） （2）应用背景 应用背景——管道铺设、线路安排、 管道铺设、线路安排、 管道铺设 厂区布局、设备更新等。 厂区布局、设备更新等。
管理运筹学 第7章 最短路实例
8
§4 最大流问题
• 最大流问题：给一个带收发点的网络，其每条弧的赋权称之为容量， 在不超过每条弧的容量的前提下，求出从发点到收点的最大流量。 一、最大流的数学模型 例6 某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络可以把石油从采地 运送到一些销售点，这个网络的一部分如下图所示。由于管道的直径 的变化，它的各段管道（vi,vj）的流量cij（容量）也是不一样的。cij的 单位为万加仑/小时。如果使用这个网络系统从采地 v1向销地 v7运送石 油，问每小时能运送多少加仑石油？
2 0 0
2 0 2 1
3 v6 4
3 01
2
v7
3 5
3 1 v4
第五次迭代：选择路为v1 v2 v3 v5 v7 。弧（ v2 , v3 ）的顺流容 量为2，决定了pf=2，改进的网络流量图如下图：
1 v2 0 5 2 3 0 0 2 3 v5 2 0 0 0
管 理 运 筹 学
15
20
v1 1
3
(a)
图11-12
管 理 运
(b)
筹 学
(c)
5
§3 最小生成树问题
一、求解最小生成树的破圈算法 算法的步骤：
1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。
2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两条 以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。
3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图即 为最小生成树，否则返回第1步。
§2 最短路问题
例 设备更新问题。某公司使用一台设备，在每年年初，公司就要 决定是购买新的设备还是继续使用旧设备。如果购置新设备，就要支 付一定的购置费，当然新设备的维修费用就低。如果继续使用旧设备， 可以省去购置费，但维修费用就高了。请设计一个五年之内的更新设 备的计划，使得五年内购置费用和维修费用总的支付费用最小。 已知：设备每年年初的价格表
最短路问题实际案例
最短路问题实际案例最短路问题是指在图中找出两个顶点之间的最短路径的问题，其中图可以是有向图或无向图，并且每条边可以有权重。
这个问题是在许多实际案例中都会遇到的。
以下是几个实际案例，其中涉及到最短路问题：1. 导航系统：导航系统是最常见的利用最短路问题的实例。
当用户输入起点和终点时，导航系统会计算出最短路径，并显示给用户。
这个过程中，导航系统需要考虑路程的时间或距离，同时还需要考虑道路的限速和交通情况等因素。
2. 物流配送：物流配送涉及到从一个地点到另一个地点的最短路径。
物流公司需要计算出从货物的起始点到目标点的最短路径，以最快速度将货物送达目的地。
在这个问题中，可能还会有其他限制条件，如运输工具的载重量、路段的通行能力等。
3. 电信网络：电信网络是一个复杂的网络，其中存在着许多节点和边，每个节点代表一个通信设备，边代表设备之间的通信连接。
在设计电信网络时，需要考虑到从一个节点到另一个节点的最短路径，以最小化通信的时延。
这个问题中，还会有其他因素，如网络拓扑的复杂性、网络流量的负载均衡等。
4. 交通规划：交通规划涉及到城市道路网络的设计和优化。
在设计城市交通规划时，需要考虑到不同节点之间的最短路径，以便在城市中建设高效的道路系统。
这个问题中，需要考虑到人口分布、交通流量、环境因素等复杂变量。
5. 谷歌地图：谷歌地图是一种广泛使用最短路径算法的应用。
当用户在谷歌地图上搜索起点和终点时，谷歌地图会计算出最短路径，并给出导航指引。
这个过程中，谷歌地图需要考虑到道路的限速、交通情况和实时路况等因素。
综上所述，最短路问题在许多实际案例中都有应用。
无论是导航系统、物流配送、电信网络、交通规划还是谷歌地图等，都需要计算出最短路径以满足需求。
因此，研究和解决最短路问题在实际应用中具有重要意义。
运筹学论文最短路问题
运筹学论文——旅游路线最短问题摘要：随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚，越来越多的人喜欢旅游。
而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题随之出现，如何决策成为一道难题。
然而，如果运用运筹学方法来解决这一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。
本文以旅游路线最短问题为列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。
关键词：最短路 0-1规划约束条件提出问题:从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。
各城市之间的航线距离如下表：问题分析：1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则没有用。
这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。
2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个城市是不连接的。
这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着去旅游的则为1，否则为0。
就如同下图3．因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。
LINGO解法：为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点，将其标为1）重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明1 2 3 4 5 6假设：设变量x11。
如果x11=1,则表示城市i与城市j直接相连（即先后紧接到达关系），否则若x11=0，则表示城市i与城市j不相连。
特别说明：xij和xji是同一变量，都表示表示城市i与城市j是否有相连的关系。
这里取其中xij (i<j)的变量。
模型建立：由于这是一个最短路线的问题，且变量已经设好。
运筹学课件(第十讲)—最短路问题
Dijkstra法的适用条件
求出一点到图中任意点最短路
求解思路
从vs出发，逐步地向外探索最短路。执行过程中，与每个点记下一个数， 它或者表示从vs到该点的最短路的权（称为P(perpetual)标号），或者是 从vs到该点的最短路的权的上界（称为T(temporary)标号），方法的每一 步是去修改T标号，并且把某一个T标号点改为P标号点，从而使D中P标 号顶点多一个，这样最多经过p-1步就可以求出从vs到各点的最短路。
（2）起点发出的流的总和(称为流量)，必须等于终点接收的流的总 和；
（3）各中间点流入的流量之和必须等于从该点流出的流量之和，即 流入的流量之和与流出的流量 之和的差为0，也就是说各中间点只 起转运作用，它既不产出新的物资，也不得截留过境的物资．
Operation Research
网络最大流的基本概念（3）
第八讲
Operation Research
网络最大流的基本概念（6）
增广链的基本概念
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
第八讲
Operation Research
实例：寻找图中增广链
第八讲
Operation Research
第八讲
网络最大流的基本概念（7）
运筹学课程
Operation Research
最短路问题
定义
第八讲
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短距离的Dijkstra(狄 克斯屈拉)算法；另一种是求网络图上任意两点之间最短距离的矩阵算法.
运筹学05_图与网络分析2-最短路
根 据 Dijkstra 算 法 ， 可 以 得 出 从 v1 到 v2 最 短路权是2，但是这显然不对，因为从v1到 v2的最短路是(v1, v3, v2)，权是-1。
2
v1
v2
2
-3
vh 3
38
有向图某些权值为负
逐次逼近算法
1、先对图中各个点按照Dijkstra算法标号，称之为第 一次标号，令m=1，转入第二步；
2.5
3
1
2
v3
4 3
4
v7 2
v4
v9
4 v8
h
27
v5
3
5
3
3 0 v1
v2
3
2
v6
2.5
3
1
2
v3
4 3
4
v7 2
v4
v9
4 v8
h
28
v5
3
5
3
3 0 v1
v2
3
v6
2.5
2
53
1
2
v3
4 3
4
v7 2
v4
v9
4 v8
h
29
v5
3
5
3
3 0 v1
v2
3
v6
2.5
2
53
1
2
v3
4 3
4
v7 2
h
60
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 2 2 0 5 5 1 4 0 6 v5 2 3 0 v6 2 2 0
h
61
v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 0 12 1 04 5 2 2 05 5 1 4 0 6 3 23 0 v6 2 2 0
最短路问题的实际应用论文
金华双龙洞旅游路线中最短路问题摘要：金华双龙洞景点分布较多，通过对其旅游路线的设置，转化为图论内容中的最短路情景进行讨论，建立模型，并通过搜索资料，利用几种方法解决路线最小的问题。
关键字：数学建模最短路问题 lingo Dijkstra法 flod算法一、研究背景：在旅游过程中，我们常常感觉到自己一天下来走了很多路，回到宾馆脚痛的不行。
但其实我们可以利用运筹学的知识，通过建立数学模型，转化为图论的内容。
从而较为合理的制定出选择的路线（即最短路问题）。
因而这次的小论文，我主要探究一下几个问题：1.从景点进口到出口的最短路程。
（最短路问题）2.从景点到出口的最长路线。
3.建立的模型是否满足能回到起点（古典图论问题）二、研究内容：根据从互联网中搜索的资料，金华双龙洞的主要景点：景区进口双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个，其余为小景点（若要加入，同样可以按照以下问题的研究方法进行讨论）现在忽略。
问题总假设：分别设置双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个景点为A,B,C,D,E五点，根据现实及假设，可以得到如图所示的路线图：再利用用Dijkstra算法求解无负权网络的最短路。
同时也可以利用此法算出最长路程。
问题一的解决：以A为景点出口，E为出口。
故A点标号为P（a）=0 给其余所有的T标号T（i）=+∞考虑与A相邻的两个顶点BC，两个顶点为T标号，故修改这两个点的标号为：T(b)=min[T(b),P(a)+l12]=min[+∞,0+3]=3T(c)=min[T(c),P(a)+l13]=min[+∞,0+2]=2比较所有T标号，T(c)最小，所以令P(c)=2再考察（C,B）(C,D)(C,E)的端点：同理可得T(b)=6 T(d)=6.8 T(e)=10.2(显然已经到终点但还需要看看其余路线长短)故又令P（b）=6.综合分析只有一条线路即A→C→B→D→E 此时总路程为2+4+3+8.4=16.4>10.2所以，最短路程为A→C→E。
运筹学及其应用10.2 最短路问题
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 ∞,1
11,4
∞,1
v8
18
v2 5,3 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 6,2 2
∞,1
v9
6
3
3 4
10 4
v6 2 v7 9,5
10,5
12,5
v8
19
v2 5,3 1
9
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
∞,1
∞,1
v9
3
∞,1
v8
10
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
10
v4
1,1
v5 ∞,1 2
6
3
4 10
4
v6
2
v7
∞,1
∞,1
∞,1
v9
3
∞,1
v8
11
v2 6,1 1
6 2
v1
3
3,1
v3
0,0
6
1
2
运筹学最短路径问题
运筹学最短路径问题
在运筹学中，最短路径问题是指寻找图中两个节点之间的最短路径。
最短路径可以通过一系列边连接起来，使得路径上的累计权值总和最小。
最短路径问题是运筹学中的经典问题，有广泛的应用领域，如交通网络规划、物流路径优化等。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是用于解决单源最短路径问题的一种算法。
它从起点开始，通过不断更新节点的最短路径估计值和前驱节点，逐步扩展到其他节点，直到找到目标节点或所有节点都被处理。
弗洛伊德算法是用于解决全源最短路径问题的一种算法。
它通过动态规划的方式，对所有节点之间的最短路径进行逐步计算和更新，最终得到所有节点之间的最短路径。
除了迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法，还有其他一些算法可以用于解决最短路径问题，如贝尔曼-福特算法和A*算法等。
总之，最短路径问题在运筹学中具有重要的实际应用价值，可以通过不同的算法来求解。
这些算法在实践中可以根据具体的问题特点和需求选择合适的算法进行求解。
教师培训课件：数学建模中的最短路
本课程的目标和内容
掌握最短路问题的基 本概念和求解方法。
通过实际操作和案例 分析，提高解决实际 问题的能力。
理解最短路问题在现 实生活中的应用和案 例分析。
最短路问题的数学
02
模型
图论基础
图论是研究图的结构、性质和应用的数学分支。 图由节点和边组成，节点表示事物，边表示事物之间的关系。
概念讲解
详细解释最短路的概念、 定义和特点，确保学生理 解最短路的数学基础。
互动讨论
鼓励学生提问和发表观点 ，通过讨论加深学生对最 短路问题的理解。
如何使用图论和算法解决最短路问题
图论基础
介绍图论的基本概念，如节点、 边和权重，为解决最短路问题奠
定基础。
算法讲解
详细讲解Dijkstra算法和BellmanFord算法等常用解决最短路问题的 算法，让学生掌握核心思想。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法是一种用于 查找带权图中单源最短路径的算
法。
该算法由美国数学家理查德·贝尔 曼和莱曼·福特共同提出。
Bellman-Ford算法的基本思想是 利用松弛操作来更新路径上的节 点距离，并检查是否存在负权环
。
Floyd-Warshall算法
Floyd-Warshall算法是一种用于查找 所有节点对之间的最短路径的算法。
详细描述
在城市交通路线规划中，最短路问题是一个关键问题。通过应用最短路径算法， 可以找到城市中两点之间的最短路径，从而优化交通路线的布局和设计。这有助 于提高交通效率，减少出行时间和成本，缓解城市交通拥堵问题。
物流配送路径优化
总结词
最短路问题及其应用
最短路问题及其应用最短路问题及其应用顾碧芬 06200103摘要：主要介绍最短路的两种算法，迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法。
以及这两种算法在实际问题中的应用和比较。
1 引言最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的畴之中。
经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。
2 最短路 2.1 最短路的定义对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图()ij w ≥的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra 在1959年首次提出的,该算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G 中一特定点到其它各顶点的最短路。
后来海斯在Dijkstra 算法的基础之上提出了海斯算法。
但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。
因此由Ford 提出了Ford 算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。
但在现实生活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在()0ij w ≥的情况下选择Dijkstra 算法。
定义①1若图G=G(V,E)中各边e 都赋有一个实数W(e),称为边e 的权,则称这种图为赋权图,记为G=G(V,E,W)。
定义②2若图G=G(V,E)是赋权图且()0W e ≥,()e E G ∈,若u 是i v 到j v 的路()W u 的权,则称()W u 为u 的长,长最小的i v 到j v 的路()Wu 称为最短路。
若要找出从i v 到n v 的通路u ,使全长最短,即()()min ij e uW u W e ∈=∑。
2.2 最短路问题算法的基本思想及基本步骤在求解网络图上节点间最短路径的方法中,目前国外一致公认的较好算法有迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法。
运筹学最短路邮递员问题
设d（vi）表示点vi 到终点的最短距离，根据动态规划最优性原理，最短路径中任何子路径也必然是最短的。
Dijkstra算法 存在欧拉链，且从其中一个奇顶点开始，结束在另一个奇顶点。
2、与地图的区别为两点之间的距离并不真实。
v6
2
20
1°标p（vs）=0，其余点标T（vi）=+∞;
对于点v4 ：d（v4）=min｛17+18,23｝=23，v4 →v6 ；
54
3
5
78
55
13
7
1
3
3
1
34 5
6 7
7
小结
• ①从点1出发，因L(1,1)=0，在点1 处标记 0
• ②从点1出发，找相邻点r使得边 L(1,r)权数（距离）最小，若L(1,r) = L(1,1)+ d(1,r) 将 L(1,r) 标于点r处。 并将边1r变红。
• ③从已标号的点出发，找与这些 相邻点最小权数（距离）者，若 L(1,p) =Min{L(1,r)+ d(r,p)} ，这 里r为已标号者下标，p为未标号 下标，则将 L(1,p)标于p处。并把 (r,p)边变红。
算法是1959年首次被提出来的。该算法适用于每条弧的权数ωij ≥0 情形。算法的基本思路：从发点vs 出发，有一个假想的流沿网络一 切可能的方向等速前进，遇到新节点后，再继续沿一切可能的方向 继续前进，则最先到达终点vt 的流所走过的路径一定是最短的。为 了实现这一想法，对假想流依次到达的点，依次给予p标号，表示vs 到这些点的最短距离。对于假想流尚未到达的点给予T标号，表示vs 到这些点的最短距离的估计值。具体作法如下：
• ④重复上述步骤，直至全部的点 都标完。
浅谈最短路的数学模型解问题
浅谈最短路的数学模型解问题在生产与科学实验中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分为若干个互相联系的阶段，在它的每一个阶段都需要做出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此，各个阶段的决策的选取不是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成了一个决策序列，因而也就决定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题可看作一个前后关联且具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题就称为多阶段决策问题，而最短路问题是这类问题中的比较典型的一种。
现在我们一起来探讨这类问题的特点和解决方法。
问题1（最小价格的管道铺设方案）如下图用点表示城市，现有共7个城市。
点与点之间的连线表示城市间有道路相连。
连线旁的数字表示道路的长度。
现计划从城市A到城市D铺设一条天然气管道，请设计出最小价格管道铺设方案。
首选我们要明确以下2点：（1）管道长短与成本价格之间有什么关系？显然，管道越短，成本越低。
（2）你能在众多管道路线中找到一条最短的管道路线吗？答案是肯定的。
这是一般人都有的最直接最原始的思路。
我们在这里就是要寻找一个比较简便的方法。
本题的实质就是求从城市A到城市D的一条最短路。
1、建立数学模型：Min{d（xk，xk+1）+f（xk+1）}的含义是：前一个阶段距离加上后一状态变量到终点的最短距离，然后在这些距离和中取最小者，即为所求的最短距离。
其中xk+1=u（xk），即从状态xk出发，采取决策uk到达下一状态xk+1；Sk表示从状态xk 出发的所有可能选取的决策的集合；而f4（x4）=0称为边界条件，因为状态x4=D已经是终点；各个决策路径xk+1=u（xk）都是所有决策的集合Sk中的一种，即xk+1=u（xk）∈Sk。
2、模型求解：①从最后一个阶段即第三阶段开始，按f3的定义有②第二个阶段有2个状态，而每个状态又有3个决策可选取，因此有B1到D的最短路长得B1到D的最短路径B2到D的最短路长得B2到D的最短路径③当k=1时，有A到D的最短路长得A到D的最短路径，故从A到D的最短弧长为6，路径为最短路问题是最重要的优化问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问题。
最短路算法的应用
最短路算法的应用最短路径算法的应用最短路径算法（Shortest Path Algorithm）是图论中的经典问题，其目标是在一个加权有向图或无向图中找到两个顶点之间的最短路径。
最短路径算法在现实生活中有着广泛的应用，包括交通导航、网络路由、物流运输等领域。
本文将详细介绍最短路径算法的原理及其应用。
一、最短路径算法的原理最短路径算法的核心思想是通过遍历图中的节点，并计算出每个节点到起始节点的最短路径值（即距离）。
最短路径算法主要有以下两种经典算法：1. 迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）：迪杰斯特拉算法用于求解单源最短路径问题，即给定一个起始节点，计算其到图中所有其他节点的最短路径。
该算法的步骤如下：（1）初始化：设置起始节点的最短路径值为0，其他节点的最短路径值为无穷大。
（2）选择最短路径值最小的节点，并将其标记为已访问。
（3）更新相邻节点的最短路径值：对于当前节点的所有相邻节点，通过比较经过当前节点的路径长度与已记录的最短路径值，更新最短路径值。
（4）重复步骤（2）和（3），直到所有节点都被标记为已访问。
（5）得到起始节点到图中其他节点的最短路径值。
2. 贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）：贝尔曼-福特算法用于求解任意两个节点之间的最短路径，可以处理存在负权边的图。
该算法的步骤如下：（1）初始化：设置起始节点的最短路径值为0，其他节点的最短路径值为无穷大。
（2）对所有边进行松弛操作：遍历图中的所有边，通过比较经过当前边的路径长度与已记录的最短路径值，更新最短路径值。
（3）重复步骤（2）|V|-1次（其中|V|为图中节点的个数），以保证所有节点的最短路径值被正确计算。
（4）检测是否存在负权回路：再次遍历图中的所有边，如果经过某条边的路径长度仍然可以被缩短，则说明图中存在负权回路，无法得到最短路径。
（5）得到任意两个节点之间的最短路径值。
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运筹学最短路概念网络模型的应用
摘要：运筹学在不同领域中的应用非常广泛，应急物流的调度问题在现实生活中很受关注，尤其是在考虑时间、成本、显示路况等前提下解决网络规划模型优化的方法上极其重要。
论文重点针对应急物资配送网络应急调度突发情形建立基于图论的最短路概念模型，将其分别抽象为最短路问题的三种具体情形：1．弧上权值的改变(变大或变小)的情形；2．去掉网络中的一条弧的情形；3．在网络中添加一条弧的情形，进而运用具有约束条件的最短路问题分析方法进行了理论分析。
在此基础上解决了应急物流过程的调度和时间问题，以达到模型优化的目的，为应急物资调用问题提供有效方法。
关键词：应急配送，网络最短路，优化模型
1.1应急物资配送路线的选择指标集
在应急物资配送方面所面临的决策即是应急物资配送线路的选择，评价应急物资网络各配送路线的指标集可分为个体表现评价指标集和协同表现评价指标集，前者包括时间效益、
运输成本、线路状况等，后者包括运输总成本、柔性水平等。
[1]
1.个体表现评价指标
①时间效益
运输线路的选择要以保证时间效益为前提，及时为灾害发生地提供应急物资保障。
因此，在进行运输线路选择时必须将时间效益最大化放在第一位。
②运输成本
合理的运输线路不仅可以节约运输时间，同时可以降低运输成本。
合理的运输路径不仅可以减少派出车辆的数目，同时可以节约油耗、减少车辆磨损等，使
运输成本降到最低。
③路况水平
有效的运输线路一般具有较好的路况水平，可以保证车辆的安全行驶和运输效率，能够为应急物资的及时供应提供基础设施保障，因此，运输线路应依据当前可利用线路的路况水平子以选择。
2.协同表现评价指标
①运输总成本
某一线路较低的运输成本并不能代表整体运输方案的最优，只有当整体运输成本最低时，才能体现出整体优势，最大限度地节约运输成本。
这就要求在运输应急物流协同决策方法体系研究线路选择时要从全局上把握，做到整体最优，将运输总成本降到最低。
②柔性水平
由十应急物流活动应对的是具有突发性、不确定性的灾害事件，因此外部环境存在着很大的模糊性和不确定性，包括选定的运输线路可能在实际运输过程中会随着灾害规模的扩大而临时改变，这就要求运输线路在整体选择上要有一定的柔性水平，线路之间要具有一定的可替代性，保证应急物资运输路径在不确定环境下的可达性。
1.2应急物资配送路线选择指标的权重确定方法
在交通网络中，每个城市可以看作一个节点，而节点之间根据应急物流的需要，设置权重，权重是一个相对的概念，是针对某一指标而言的，某一指标的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度，权重的确定是指在决策过程中对被评价对象衡量指标的相对重要程度进行定量赋值，从而体现各决策评价指标在总
体决策指标体系中的作用。
可以说没有重点的评价指标体系是一个不客观、不科学、不实用的评价体系，每个被评价的对象以及评价指标的性质和所处的层次不同，所反映的侧重点也有所不同。
因此，需要对指标的重要程度和对决策目标的贡献程度做出定量估计，即权重的确定。
如何科学、合理地确定指标权重，关系到决策结果的可靠性与正确性。
目前确定指标权重的方法有很多，大致可以归为3类:主观赋权法、客观赋权法和主客观综合赋权法(或称组合赋权法)。
[2]、[3]
（l)主观赋权法
主观赋权法是人们研究较早、较为成熟的方法，它根据决策者主观上对各指标的重视程度来确定其权重，其原始数据由专家根据经验主观判断而得到，决策或评价结果具有较强的主观性，客观性较差。
该类方法中常见的有层次分析、德尔菲法、二角模糊数赋权法等。
(2)客观赋权法
国内外对客观赋权法的研究相对较晚，研究成果较少。
其主要原理是考虑原始数据之间的关联性，利用指标数值在评价中的分辨信息伴随数学变换过程生成权重。
该类方法脱离人的主观判断，评价结果具有较强的数学理论依据，但这种赋权方法针对性较强，大多只能针对某一具体问题，因而通用性和决策者的可参与性较差，计算方法较为麻烦，不能体现决策者对不同指标的重视程度，有时确定的权重会与指标的实际重要程度相背离。
该类方法中常用的有嫡值法、主成分分析法、均方差赋值法、最短路问题的Gauss-Seidel 矩阵算法[4]等。
(3)主客观综合赋权法
针对主客观赋权法各自的优缺点，为了既体现决策者对评价指标的偏好，同
时又为了保证赋权的客观性，使对指标的赋权达到主客观的统一性，进而使得决策结果更加真实有效，不少学者又提出了一类综合主客观赋权的新方法，即组合赋权法。
该方法可弥补主客观赋权法各自的不足，有着自身的优势，但在实际应用过程中显得操作较为繁琐。
综上分析，我国应急物流相关统计数据及各类突发性事件引起的物流需求的相关统计工作目前还不完善，难以获取相关的具体数据，客观评价方法很难得出正确的决策成果。
在这种情况下，本文主要采用主观赋权法来确定指标的权重，即决策者对各指标进行分值赋权。
随着今后对应急物流以及各类突发性事件相关数据统计工作的开展，客观赋权法以及组合赋权法将更多地运用到应急物流协同决策过程中。
在一些实际的应急物流调度案例中，常常因应急物流调度的实际需要对一些路线或经过的城市结点进行调整，以满足最小时间或者是最小费用决策目标的要求。
这些调整对原网络最优方案的最短路距离矩阵和路线矩阵有影响，由此最优方案已经改变，变为可行方案，对这类问题的研究被称之为约束条件下的最短路问题。
这类问题的解决方法通常可以运用原算法重新计算最优方案，但对十一些大型网络，节点多到几百个、几千个，重新计算浪费时间，成本非常高。
本文针对应急物流调度实践常常面临的二个典型情况，讨论其约束条件下的最短路问题，并给出计算方法，将现有约束条件下的最短路问题的理论研究成果应用十具体实际。
1.3应急物资配送网络模型的建立
应急物流调度通常出现的二种情况，抽象为最短路问题中的二种具体情形，建立相应的概念模型:W当配送网络的费用发生改变或者是通过该路线的时间发生改变的情况，即权值改变的情形(Condition 1)[5] ; C 2当配送网络的一条路
21发生中断的情况，相当十最短路问题去掉网络中的一条弧的情形(Condition 2) ; C 3当增加了一条新的配送线路的情况，对应十最短路问题添加一条弧的情形(Condition 3)。
针对上述三种情况，问题描述如下：
Condition 1：配送网络的配送成本发生改变，即图3.1中 D = (V , E)中某一条
弧上的权值发生改变（变大或变小）的情形。
图3.1 改变权值的情形
Condition 2：当配送网络由于某种原因其中一条路不能再通过了，即图3.2
中 D = (V , E)中去掉一个弧的情形。
图 3.2 去掉一个弧的情形
Condition 3：应急物资配送网络中，由于已有网络不畅通而新修了一条路，
即图3.3中 D = (V , E)中增加一个弧的情形。
图3.3 增加一个弧的情形
在无向网络中，W是一个对称矩阵，但在有向网络中W一般不对称。
在应急物资配送网络中，赋权是非常复杂的一项工作，赋权分成两种情况，一种情况是费用最小，在理想状态下在默认所有网络中每公里费用相同，此时赋予的权就是两个城市间的距离。
第二种情况下，突发事件下，为了减少损失，需要尽快的把必须的物资运到目的地，以便减少事件发生地的损失，此时不考虑运送的成本，在理想的状态下，利用每条公路的平均速度，求出通过每条公路的时间作为权值。
参考文献
[1][俄]卡普斯京(В.Ф.Капустин)，李国海译．运筹学：问题与前景[J]．学科趋势，2005，39-40．
[2]彭岳林，邱赛兵．网络最短路灵敏度的算法[J]．山东理工大学学报，2004，18(3)：
50-52．
[3]陈挚，谢政．最短路的灵敏度分析[J]．数学理论与应用，2002，22(2)：104-106．
[4]徐冬梅．最短路问题的Gauss-Seidel矩阵算法[D]．沈阳：东北大学，2005．
[5]Ramkumar Ramaswamy James Bolin Nil opal Chakravarti. Sensitivity analysis for shortest path problems and maximum capacity path problems in undirected graphs [J],Math program,SerA,2004,7(7): 1-15．。