黄金分割同步练习及答案 (7)
人教版九年级下册数黄金分割同步练习
27.1.2 黄金分割基础训练知识点1 比例中项1.若x是2,18的比例中项,则x=___________.2.若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为( )A.3错误!未找到引用源。
cmB.±3错误!未找到引用源。
cmC.±18 cmD.18 cm3.如果a∶b=3∶2,且b是a,c的比例中项,那么b∶c等于( )A.4∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶44.如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.±错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
知识点2 黄金分割5.如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是( )A.AB∶AC=AC∶BCB.AB∶BC=BC∶ACC.AC∶BC=BC∶ABD.AC∶AB=AB∶BC6.若点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则①AB=错误!未找到引用源。
AC;②AC=错误!未找到引用源。
AB;③AB∶AC=AC∶CB;④AC≈0.618AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.从美学角度来说,人的上身长与下身长之比为黄金比例,可以给人一种协调的美感.某女老师上身长约61.80 cm,下身长约93.00 cm,她要穿约___________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到1 cm).提升训练考查角度1 利用比例性质求解比例中项问题8.已知线段a,b,c满足错误!未找到引用源。
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,且a+2b+c=26.(1)求a,b,c的值;(2)若线段x是线段a,b的比例中项,求x.考查角度2 利用黄金分割的定义找黄金分割点(计算法、定义法)9.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求MA,DM的长;(2)求证:AM2=AD·DM.(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?考查角度3 利用黄金分割的定义证明黄金矩形(计算法、定义法)10.宽与长的比是错误!未找到引用源。
苏科版九年级数学下册 6.2 黄金分割 同步测试题(有答案)
6.2 黄金分割同步测试题一、选择题(本题共计8 小题,每题3 分,共计24分,)1. 已知P为线段AB的黄金分割点,且AP<PB,则()A.AP2=AB⋅PBB.AB2=AP⋅PBC.PB2=AP⋅ABD.AP2+BP2=AB22. △ABC中,AC=BC,在边AB上截取AD=AC,连接CD,若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点,则∠A的度数是()A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘3. 已知,点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB),若线段AB=2cm,则线段AP的长是()cm B.(√5−1)cm C.(3−√5)cm D.(2−√5)cmA.√5−124. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36∘,CD平分∠ACB交AB于点D,若CA=4,则CB的长是()A.2√5+2B.√5+1C.√5−1D.2√5−25. 爱美之心人皆有之,特别是很多女士,穿上高跟鞋后往往会有很好的效果,事实上,当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时,会给人以美感,某女士身高165cm,下半身长与身高的比值是0.60,为了尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm6. 如图,P是线段AB的黄金分割点(PB>PA),四边形ABCD、四边形PBEF都是正方形,且面积分别为S1、S2,四边形APMD、四边形APFN都是矩形,且面积分别为S3、S4,下列说法正确的是()A.s2=√5−12s1 B.s2=s3 C.s3=√5−12s4 D.s4=√5−127. 美术专家认为:如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数(√5−12≈0.618),那么就非常美丽,已知一个女孩身高为155cm,下半身为94cm,请你们替她选一个高度最理想的高跟鞋,则高度应为()A.2∼3cmB.3∼4cmC.4∼5cmD.5∼6cm8. 如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36∘,BD平分∠ABC,则BC的长为()A.1 2B.−1+√52C.1−√52D.−1+√52二、填空题(本题共计10 小题,每题3 分,共计30分,)9. 已知点P是线段AB上的黄金分割点,AP>PB,AB=4厘米,则线段AP=________厘米.10. 我们知道,下身长与身高的比等于黄金数的人身材比较协调.某女士身高1.50米,其下身长90厘米,则她应该穿________厘米高的高跟鞋比较合适(精确到1厘米).11. 点C是线段AB上的一个黄金分割点,且AC>BC,若AB=5cm,则AC=________cm,BC=________cm.12. 已知线段AB的长度为2,点C为线段AB上的黄金分割点(AC>BC),则AC的长度为________.13. 为了美观起见,通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比.已知这本书的宽为15cm,则它的长为________cm(精确到0.1cm).14. 已知线段AB=4厘米,点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),那么线段AP=________厘米.(结果保留根号)15. 如果点P是线段AB的黄金分割点,且AP>PB,已知AB=4,则AP=________(结果保留根号).16. 已知线段AB=4dm,点C是线段AB上一点,AC>BC,若C点是线段AB的黄金分割点,则AC=________dm.(保留根号)17. 科学研究表明,当人的下肢长与身高之比成0.618时,看起来最美,某成年女士身高为160cm,下肢长96cm,该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度应约为________cm(精确到0.1cm)18. 在人体躯干和身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.60米,身体躯干(脚底到肚脐的高度)与身高的比为0.60,那么她应选择约________厘米的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)三、解答题(本题共计6 小题,共计60分,)19. 已知M是线段AB的黄金分割点,且AM>BM.(1)写出AB、AM、BM之间的比例式;(2)若AB=12cm,求AM与BM的长.20. 已知线段AB=a,点C为AB的黄金分割点,求AC的长.21. 中国民间乐器二胡的“千斤钩”钩在弦长的黄金分割点处音质最好,一把二胡的弦长为68cm,求“千金钩”上、下两部分弦长.22. 一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看.如图,是一个参加空姐选拔活动的选手情况,那么她应该穿多高的鞋子好看?,√5≈2.236)(精确到1cm)(参考数据:黄金分割数:√5−1223. 已知线段AB,按照如下的方法作图:以AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA到F,使EF=EB,以线段AF为边,作正方形AFGH,那么点H是线段AB的黄金分割点吗?请说明理由.24. 电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,若舞台AB长为20米,主持人现站在A处,请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体?(结果精确到0.1米)参考答案一、选择题(本题共计8 小题,每题 3 分,共计24分)1.【答案】C【解答】∵ P为线段AB的黄金分割点,且AP<PB,∵ PB2=AP⋅AB.2.【答案】C【解答】解:∵ 点D是线段AB的一个黄金分割点,∵ AD2=BD⋅AB,∵ AD=AC=BC,∵ BC2=BD⋅AB,即BC:BD=AB:BC,而∠ABC=∠CBD,∵ △BCD∽△BAC,∵ ∠A=∠BCD,设∠A=x,则∠B=x,∠BCD=x,∵ ∠ADC=∠BCD+∠B=2x,而AC=AD,∵ ∠ACD=∠ADC=2x,∵ x+2x+x+x=180∘,解得x=36∘,即∠A=36∘.故选:C.3.【答案】B【解答】解:由于P为线段AB=8cm的黄金分割点,且AP是较长线段;=√5−1.则AP=2×√5−12故选B.4.【答案】D【解答】解:∵ △ABC中,AB=AC,∠A=36∘,∵ △ABC是黄金三角形,∵ BC=√5−12AC=2√5−2,故选:D.5.【答案】C【解答】解:根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm,设需要穿的高跟鞋是ycm,则根据黄金分割的定义得:96+y160+y=0.618,解得:y≈8cm.故选C.6.【答案】B【解答】解:根据黄金分割得出:PB=√5−12AB,设AB=x,PB=√5−12x,PA=(1−√5−12)x,∵ S1=x2,S2=√5−12x⋅√5−12x,S3=(1−√5−12)x⋅x,S4=(1−√5−12)x⋅√5−12x,∵ S1S2=3−√5,故A错误;S2S3=1,即S2=S3,故B正确;S3 S4=√52√5−4,故C错误;S4S1=√5−2,故D错误;故选B.7.【答案】C【解答】解:设高跟鞋的高度是xcm ,则 94+x 155+x =0.618,解得:x ≈4.69,即高跟鞋的高度应为4∼5cm .故选C .8.【答案】B【解答】解:∵ AB =AC ,∠A =36∘,∵ ∠ABC =∠ACB =12×(180∘−36∘)=72∘,∵ BD 平分∠ABC ,∵ ∠ABD =∠CBD =12×72∘=36∘, ∵ ∠A =∠ABD ,∵ AD =BD ,又∵ ∠ACB =∠BCD ,∵ △ABC ∽△BCD ,∵ BC CD =AC BC ,设BC =x ,则x 1−x =1x , 整理得,x 2+x −1=0,解得x 1=−1+√52,x 2=−1−√52(舍去), 即BC 的长为−1+√52. 故选B .二、 填空题 (本题共计 10 小题 ,每题 3 分 ,共计30分 )9.【答案】 2√5−2【解答】解:由于P 为线段AB =4厘米的黄金分割点,且AP 是较长线段;则AP =4×√5−12=2√5−2(厘米).故答案为:2√5−2.10.【答案】7【解答】答:设高跟鞋鞋跟的高度为x ,根据题意列方程得:(90+x)÷(150+x)≈0.618,解得x ≈7.故答案为:7.11.【答案】5√5−52,15−5√52 【解答】解:∵ C 为线段AB 上的一个的黄金分割点,且AC >BC ,∵ AC =√5−12AB ,BC =AB −AC =3−√52AB ,∵ AB =5cm ,∵ AC =√5−12×5=5√5−52(cm),BC =3−√52×5=15−5√52(cm). 故答案为:5√5−52,15−5√52. 12.【答案】 √5−1【解答】∵ C 为线段AB 上的黄金分割点,AC >BC ,∵ AC =√5−12AB =√5−1, 13.【答案】24.3【解答】解:根据题意得这本书的长=√5−12≈150.618≈24.3(cm).故答案为24.3.14.【答案】2√5−2【解答】∵ 点P 是线段AB 的黄金分割点,AP >BP ,AB=2√5−2,∵ AP=√5−1215.【答案】6−2√5【解答】解:∵ 点P是线段AB的黄金分割点,且AP>PB,AB=4,=6−2√5,∵ AP=4×3−√52故答案为:6−2√5.16.【答案】(2√5−2)【解答】解:由于C为线段AB=4dm的黄金分割点,且AC>BC,AC为较长线段;=2√5−2(dm).则AC=4×√5−12故答案为:(2√5−2).17.【答案】7.5【解答】解:设该女士穿的鞋跟高度约为xcm,由题意得(96+x):(160+x)=0.618,解得x≈7.5.故答案为:7.5.18.【答案】7.5【解答】解:设应选择xcm的高跟鞋,∵ 张女士的身高为1.60米,身体躯干(脚底到肚脐的高度)与身高的比为0.60,∵ 其身高为1.60米=160厘米,身体躯干高为160×0.60=96厘米,≈0.618,则有96+x160+x解得:x≈7.5.故本题答案为:7.5.三、解答题(本题共计6 小题,每题10 分,共计60分)19.【答案】解:(1)∵ M是线段AB的黄金分割点,且AM>BM,∵ AM:AB=BM:AM,∵ AM2=BM⋅AB;(2)AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6,BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5.【解答】解:(1)∵ M是线段AB的黄金分割点,且AM>BM,∵ AM:AB=BM:AM,∵ AM2=BM⋅AB;(2)AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6,BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5.20.【答案】解:根据题意得当AC为较长线段时,AC=√5−12AB=√5−12a;当AC为较短线段时,AC=AB−√5−12AB=3−√52a.【解答】解:根据题意得当AC为较长线段时,AC=√5−12AB=√5−12a;当AC为较短线段时,AC=AB−√5−12AB=3−√52a.21.【答案】解:“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm,下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm.【解答】解:“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm,下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm.22.【答案】她应该穿约10cm高的鞋好看【解答】设她应该穿xcm的鞋子,依题意得:65 95+x =√5−12,解得x≈10,经检验,x≈10是原方程的解.23.【答案】解:设正方形ABCD的边长为2a,在Rt△AEB中,依题意,得AE=a,AB=2a,由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a,∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a,HB=AB−AH=(3−√5)a;∵ AH2=(6−2√5)a2,AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2,∵ AH2=AB⋅HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.【解答】解:设正方形ABCD的边长为2a,在Rt△AEB中,依题意,得AE=a,AB=2a,由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a,∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a,HB=AB−AH=(3−√5)a;∵ AH2=(6−2√5)a2,AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2,∵ AH2=AB⋅HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.24.【答案】主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体.【解答】解:根据黄金比得:20×(1−0.618)≈7.6米,∵ 黄金分割点有2个,∵ 20−7.6=12.4,由于7.6<12.4米。
北师大版九年级数学上册《黄金分割》 同步测试题(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章4.4.4黄金分割 同步测试题一、选择题1.已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ,BC ,下列说法错误的是( )A .如果AC AB =BCAC ,那么线段AB 被点C 黄金分割B .如果AC 2=AB ·BC ,那么线段AB 被点C 黄金分割C .如果线段AB 被点C 黄金分割,那么AC 与AB 的比叫做黄金比D .一条线段有两个黄金分割点2.已知点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC >BC ,则下列各式中正确的是( )A .AB 2=AC ·BC B .BC 2=AC ·AB C .AC 2=BC ·ABD .AC 2=2AB ·BC3.已知AB =2 cm ,C 为AB 上的黄金分割点,且AC >BC ,则AC 的值为( )A .(5-1)cmB .0.618 cmC .(3-5)cmD.3-52cm4.若点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC >BC ,则下列说法正确的有( )①AB =5+12AC ;②AC =3-52AB ;③AB ∶AC =AC ∶BC ;④AC ≈0.618AB. A .1个B .2个C .3个D .4个5.我们把宽与长的比值等于黄金比5-12的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形ABCD(AB >BC)的边AB 上取一点E ,使得BE =BC ,连接DE ,则AEAD等于( )A.22B.5-12C.3-52D.5+12二、填空题6.已知线段AB,点P是它的黄金分割点,AP>BP,设以AP为边的正方形的面积为S1,以PB,AB为边的矩形的面积为S1与S2的关系是S1=S2.7.相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形,叫做黄金矩形,从外形看,它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡,如果较长的一条边长等于20 cm,那么相邻一条边的边长等于(105-10)cm.8.已知线段AB=4 cm,C为AB的黄金分割点,则AC的长为(25-2)cm或(6-25)cm.9.宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:如图,作正方形ABCD,分别取AD,BC的中点E,F,连接EF;以点F为圆心,FD的长为半径画弧,交BC的延长线于点G;作GH⊥AD,交AD的延长线于点H,则图中是黄金矩形的是矩形DCGH.10.如图,△ABC是顶角为36°的等腰三角形,若△ABC,△BDC,△DEC都是黄金三角形(底与腰的比为5-12的三角形是黄金三角形).已知AB=4,则DE=6-25.11.乐器上一根弦AB长80 cm,两个端点A,B固定在乐器板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则CD的长为(805-160)cm.9.如图,连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形,我们把这种三角形称为“黄金三角形”,黄金三角形的底与腰之比为5-1 2.若AB=5-12,则MN=5-2.三、解答题12.如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC的中点,点F在BC的延长线上,且EF=DE,以CF为边作正方形CFGH,点H在CD边上.试说明点H是线段CD的黄金分割点.13.如图,以长为2 cm的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AFEM,点M落在AD上.(1)试求AM,DM的长;(2)点M是线段AD的黄金分割点吗?请说明理由.14.如图,在△ABC中,AC=BC,在边AB上截取AD=AC,连接CD,若点D恰好是线段AB 的一个黄金分割点,且有AD>BD,求∠A的度数.15.如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E.若AE=BC,则点E是线段AB的黄金分割点吗?说明你的理由.参考答案1-5、CCACB6、S1=S2.7、(105-10)cm.8、(25-2)cm或(6-25)cm.9、矩形DCGH.10、6-25.11、5-2.12、解:∵点E是BC的中点,∴EC=1.∴EF=DE=22+12= 5. ∴CF=5-1.∵四边形CFGH是正方形,∴CH=CF=5-1.∴CHCD=5-12.∴点H是线段CD的黄金分割点.13、解:(1)在Rt△APD中,AP=1 cm,AD=2 cm,由勾股定理,得PD=AD2+AP2= 5 cm.∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=(5-1)cm.∴DM=AD-AM=(3-5)cm.(2)点M是线段AD的黄金分割点,理由如下:∵AM2=(5-1)2=6-25,AD·DM=2×(3-5)=6-25,∴AM2=AD·DM.∴点M是线段AD的黄金分割点.14、解:∵点D是线段AB的一个黄金分割点,且AD>BD,∴AD2=BD·AB.∵AD=AC=BC,∴BC2=BD·AB,即BC∶BD=AB∶BC.∵∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC.∴∠A=∠BCD.设∠A=x,则∠B=x,∠BCD=x,∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x.∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC=2x.在△ABC中,x+(2x+x)+x=180°,解得x=36°,∴∠A=36°.15、解:点E是线段AB的黄金分割点.理由如下:连接EC.∵DE是AC的垂直平分线,∴EA=EC.又∵AE=BC,∴EC=BC.∴∠BEC=∠B.∵AB=AC,∴∠ACB=∠B.∴∠BEC=∠ACB.又∵∠B=∠B,∴△CEB∽△ACB.∴BEBC=BCAB,即BC2=BE·AB,又∵AE=BC,∴AE2=BE·AB.∴点E是线段AB的黄金分割点1、在最软入的时候,你会想起谁。
苏科版九年级数学下册 6.2 黄金分割 同步测试题(有答案)
6.2 黄金分割同步测试题一、选择题(本题共计 8 小题,每题 3 分,共计24分,)1. 已知P为线段AB的黄金分割点,且AP<PB,则()A.AP2=AB⋅PBB.AB2=AP⋅PBC.PB2=AP⋅ABD.AP2+BP2=AB22. △ABC中,AC=BC,在边AB上截取AD=AC,连接CD,若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点,则∠A的度数是()A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘3. 已知,点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB),若线段AB=2cm,则线段AP的长是()cm B.(√5−1)cm C.(3−√5)cm D.(2−√5)cmA.√5−124. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36∘,CD平分∠ACB交AB于点D,若CA=4,则CB的长是()A.2√5+2B.√5+1C.√5−1D.2√5−25. 爱美之心人皆有之,特别是很多女士,穿上高跟鞋后往往会有很好的效果,事实上,当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时,会给人以美感,某女士身高165cm,下半身长与身高的比值是0.60,为了尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为()A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm6. 如图,P是线段AB的黄金分割点(PB>PA),四边形ABCD、四边形PBEF都是正方形,且面积分别为S1、S2,四边形APMD、四边形APFN都是矩形,且面积分别为S3、S4,下列说法正确的是()A.s2=√5−12s1 B.s2=s3 C.s3=√5−12s4 D.s4=√5−127. 美术专家认为:如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数(√5−12≈0.618),那么就非常美丽,已知一个女孩身高为155cm,下半身为94cm,请你们替她选一个高度最理想的高跟鞋,则高度应为()A.2∼3cmB.3∼4cmC.4∼5cmD.5∼6cm8. 如图,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36∘,BD平分∠ABC,则BC的长为()A.1 2B.−1+√52C.1−√52D.−1+√52二、填空题(本题共计10 小题,每题3 分,共计30分,)9. 已知点P是线段AB上的黄金分割点,AP>PB,AB=4厘米,则线段AP=________厘米.10. 我们知道,下身长与身高的比等于黄金数的人身材比较协调.某女士身高1.50米,其下身长90厘米,则她应该穿________厘米高的高跟鞋比较合适(精确到1厘米).11. 点C是线段AB上的一个黄金分割点,且AC>BC,若AB=5cm,则AC=________cm,BC=________cm.12. 已知线段AB的长度为2,点C为线段AB上的黄金分割点(AC>BC),则AC的长度为________.13. 为了美观起见,通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比.已知这本书的宽为15cm,则它的长为________cm(精确到0.1cm).14. 已知线段AB=4厘米,点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP),那么线段AP=________厘米.(结果保留根号)15. 如果点P是线段AB的黄金分割点,且AP>PB,已知AB=4,则AP=________(结果保留根号).16. 已知线段AB=4dm,点C是线段AB上一点,AC>BC,若C点是线段AB的黄金分割点,则AC=________dm.(保留根号)17. 科学研究表明,当人的下肢长与身高之比成0.618时,看起来最美,某成年女士身高为160cm,下肢长96cm,该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度应约为________cm(精确到0.1cm)18. 在人体躯干和身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.60米,身体躯干(脚底到肚脐的高度)与身高的比为0.60,那么她应选择约________厘米的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)三、解答题(本题共计6 小题,共计60分,)19. 已知M是线段AB的黄金分割点,且AM>BM.(1)写出AB、AM、BM之间的比例式;(2)若AB=12cm,求AM与BM的长.20. 已知线段AB=a,点C为AB的黄金分割点,求AC的长.21. 中国民间乐器二胡的“千斤钩”钩在弦长的黄金分割点处音质最好,一把二胡的弦长为68cm,求“千金钩”上、下两部分弦长.22. 一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看.如图,是一个参加空姐选拔活动的选手情况,那么她应该穿多高的鞋子好看?(精,√5≈2.236)确到1cm)(参考数据:黄金分割数:√5−1223. 已知线段AB,按照如下的方法作图:以AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA到F,使EF=EB,以线段AF为边,作正方形AFGH,那么点H是线段AB的黄金分割点吗?请说明理由.24. 电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,若舞台AB长为20米,主持人现站在A处,请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体?(结果精确到0.1米)参考答案一、选择题(本题共计8 小题,每题 3 分,共计24分)1.【答案】C【解答】∵ P为线段AB的黄金分割点,且AP<PB,∵ PB2=AP⋅AB.2.【答案】C【解答】解:∵ 点D是线段AB的一个黄金分割点,∵ AD2=BD⋅AB,∵ AD=AC=BC,∵ BC2=BD⋅AB,即BC:BD=AB:BC,而∠ABC=∠CBD,∵ △BCD∽△BAC,∵ ∠A=∠BCD,设∠A=x,则∠B=x,∠BCD=x,∵ ∠ADC=∠BCD+∠B=2x,而AC=AD,∵ ∠ACD=∠ADC=2x,∵ x+2x+x+x=180∘,解得x=36∘,即∠A=36∘.故选:C.3.【答案】B【解答】解:由于P为线段AB=8cm的黄金分割点,且AP是较长线段;=√5−1.则AP=2×√5−12故选B.4.【答案】D【解答】解:∵ △ABC中,AB=AC,∠A=36∘,∵ △ABC是黄金三角形,∵ BC=√5−12AC=2√5−2,故选:D.5.【答案】C【解答】解:根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm,设需要穿的高跟鞋是ycm,则根据黄金分割的定义得:96+y160+y=0.618,解得:y≈8cm.故选C.6.【答案】B【解答】解:根据黄金分割得出:PB=√5−12AB,设AB=x,PB=√5−12x,PA=(1−√5−12)x,∵ S1=x2,S2=√5−12x⋅√5−12x,S3=(1−√5−12)x⋅x,S4=(1−√5−12)x⋅√5−12x,∵ S1S2=3−5,故A错误;S2S3=1,即S2=S3,故B正确;S3 S4=√52√5−4,故C错误;S4S1=√5−2,故D错误;故选B.7.【答案】C解:设高跟鞋的高度是xcm ,则 94+x 155+x =0.618,解得:x ≈4.69,即高跟鞋的高度应为4∼5cm .故选C .8.【答案】B【解答】解:∵ AB =AC ,∠A =36∘,∵ ∠ABC =∠ACB =12×(180∘−36∘)=72∘, ∵ BD 平分∠ABC ,∵ ∠ABD =∠CBD =12×72∘=36∘,∵ ∠A =∠ABD ,∵ AD =BD ,又∵ ∠ACB =∠BCD ,∵ △ABC ∽△BCD ,∵ BC CD =AC BC ,设BC =x ,则x 1−x =1x , 整理得,x 2+x −1=0,解得x 1=−1+√52,x 2=−1−√52(舍去), 即BC 的长为−1+√52. 故选B .二、 填空题 (本题共计 10 小题 ,每题 3 分 ,共计30分 )9.【答案】 2√5−2【解答】解:由于P 为线段AB =4厘米的黄金分割点,且AP 是较长线段;则AP =4×√5−12=2√5−2(厘米).故答案为:2√5−2.10.7【解答】答:设高跟鞋鞋跟的高度为x ,根据题意列方程得:(90+x)÷(150+x)≈0.618,解得x ≈7.故答案为:7.11.【答案】5√5−52,15−5√52 【解答】解:∵ C 为线段AB 上的一个的黄金分割点,且AC >BC ,∵ AC =√5−12AB ,BC =AB −AC =3−√52AB ,∵ AB =5cm ,∵ AC =√5−12×5=5√5−52(cm),BC =3−√52×5=15−5√52(cm). 故答案为:5√5−52,15−5√52. 12.【答案】 √5−1【解答】∵ C 为线段AB 上的黄金分割点,AC >BC ,∵ AC =√5−12AB =√5−1, 13.【答案】24.3【解答】解:根据题意得这本书的长=√5−12≈150.618≈24.3(cm).故答案为24.3.14.【答案】2√5−2【解答】∵ 点P是线段AB的黄金分割点,AP>BP,AB=2√5−2,∵ AP=√5−1215.【答案】6−2√5【解答】解:∵ 点P是线段AB的黄金分割点,且AP>PB,AB=4,=6−2√5,∵ AP=4×3−√52故答案为:6−2√5.16.【答案】(2√5−2)【解答】解:由于C为线段AB=4dm的黄金分割点,且AC>BC,AC为较长线段;=2√5−2(dm).则AC=4×√5−12故答案为:(2√5−2).17.【答案】7.5【解答】解:设该女士穿的鞋跟高度约为xcm,由题意得(96+x):(160+x)=0.618,解得x≈7.5.故答案为:7.5.18.【答案】7.5【解答】解:设应选择xcm的高跟鞋,∵ 张女士的身高为1.60米,身体躯干(脚底到肚脐的高度)与身高的比为0.60,∵ 其身高为1.60米=160厘米,身体躯干高为160×0.60=96厘米,≈0.618,则有96+x160+x解得:x≈7.5.故本题答案为:7.5.三、解答题(本题共计6 小题,每题10 分,共计60分)19.【答案】解:(1)∵ M是线段AB的黄金分割点,且AM>BM,∵ AM:AB=BM:AM,∵ AM2=BM⋅AB;(2)AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6,BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5.【解答】解:(1)∵ M是线段AB的黄金分割点,且AM>BM,∵ AM:AB=BM:AM,∵ AM2=BM⋅AB;(2)AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6,BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5.20.【答案】解:根据题意得当AC为较长线段时,AC=√5−12AB=√5−12a;当AC为较短线段时,AC=AB−√5−12AB=3−√52a.【解答】解:根据题意得当AC为较长线段时,AC=√5−12AB=√5−12a;当AC为较短线段时,AC=AB−√5−12AB=3−√52a.21.【答案】解:“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm,下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm.【解答】解:“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm,下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm.22.【答案】她应该穿约10cm高的鞋好看【解答】设她应该穿xcm的鞋子,依题意得:65 95+x =√5−12,解得x≈10,经检验,x≈10是原方程的解.23.【答案】解:设正方形ABCD的边长为2a,在Rt△AEB中,依题意,得AE=a,AB=2a,由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a,∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a,HB=AB−AH=(3−√5)a;∵ AH2=(6−2√5)a2,AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2,∵ AH2=AB⋅HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.【解答】解:设正方形ABCD的边长为2a,在Rt△AEB中,依题意,得AE=a,AB=2a,由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a,∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a,HB=AB−AH=(3−√5)a;∵ AH2=(6−2√5)a2,AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2,∵ AH2=AB⋅HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.24.【答案】主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体.【解答】解:根据黄金比得:20×(1−0.618)≈7.6米,∵ 黄金分割点有2个,∵ 20−7.6=12.4,由于7.6<12.4米。
初中黄金分割试题及答案
初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比,其比值约为0.618。
这个比例在自然界和艺术设计中非常常见,被认为是一种美学上的比例。
以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案:1. 已知线段AB的长度为10厘米,按照黄金分割点C将线段分割,求AC的长度。
答案:根据黄金分割的定义,AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。
2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割,且长为20厘米,求宽的长度。
答案:设矩形的宽为x厘米,根据黄金分割的定义,有20 / x = (x + 20) / 20。
解这个方程,我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。
3. 在一个正方形中,按照黄金分割点将正方形的一边分割,求分割后较小部分的长度。
答案:设正方形的边长为a厘米,按照黄金分割点分割后,较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。
4. 一个等腰三角形的顶角为36°,底角为72°,求这个三角形的高与底边的比例。
答案:根据黄金分割的定义,这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。
5. 已知一个五边形的边长都相等,且每个内角都为108°,求这个五边形的对角线与边长的比例。
答案:这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割,即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。
这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用,通过计算和理解黄金分割的定义,可以解决这些问题。
北师大版九年级上册数学《黄金分割》同步练习(含答案)
黄金分割一 、选择题1.生活中到处可见黄金分割的美.如图,在设计人体雕像时,使雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618,可以增加视觉美感.若图中b 为2米,则a 约为( )A .1.24米B .1.38米C .1.42米D .1.62米二 、填空题2.如图所示,乐器上的一根弦80AB cm =,两个端点A B ,固定在乐器面板上,支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点(即AC 是AB 与BC 的比例中项),支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点,则AC = cm ,DC = cm .3.如图所示,在黄金分割矩形ABCD AB BC ⎛=⎝⎭中,分出一个正方形ABFE ,则FC CD= .三 、解答题4.如图所示,以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ,取AB 的中点P ,连接PD ,在BA 的延长线上取点F F ,使PF PD =,以AF 为边作正方形AMEF ,点M 在AD 上.(1)求,AM DM 的长;(2)点M 是AD 的黄金分割点吗?为什么?C D F E DB A C6.E 为平行四边形ABCD 的边AD 延长线上的一点,且D 为AE 的黄金分割点,即AD AE =,BE 交DC 于F .已知1AB =,求CF 的长. 黄金分割答案解析一 、选择题1.A;解:∵雕像的腰部以下a 与全身b 的高度比值接近0.618,∴≈0.618,∵b 为2米,∴a 约为1.24米.二 、填空题2.40;点C 是靠近点B 的黄金分割点,∴:AC AB =,即8040AC AB ==,又∵点D 是靠近点A 的黄金分割点,∴40BD =,∴8080160DC AC BD AB =+-=-=AB AC =BC AB =.∴BC AB AB -=. ∵BC AB BC BF FC -=-=,AB CD =∴12FC CD =. FE D C BA 160三 、解答题4.1,3AM DM ==M 是AD 的黄金分割点.(1)在Rt APD △中,1,2AP AD ==,由勾股定理知:PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=,3DM AD AM =-=故1,3AM DM =(2)点M 是AD 的黄金分割点.由于AM DM AD AM ∴点M 是AD 的黄金分割点.【解析】(1)要求AM 的长,只需求得AF 的长,又AF PF AP =-,PF PD =1,3AM AF DM AD ===(2)根据(1)中的数据得:,AM DM AD AM =,根据黄金分割点的概念,则点M 是AD 的黄金分割点.5.∵四边形ABCD 为平行四边形,∴,CBF AEB BCF BAE ∠-∠∠-∠∴BCF EAB △∽△ ∴BC AE CF BA =,即AD CF AE AB =2CF =. 【解析】根据平行四边形的性质得出,CBF AEB BCF BAE ∠-∠∠-∠,从而得出BCF EAB △∽△,根据相似三角形比例关系即可得出答案.6.∵AD AE =,∴DE AE又∵DC AB ∥,∴DE DF AE AB =,1AB =∴4DF =∴3CF =。
黄金分割专项练习题有答案
黄金分割专项练习30题(有答案)1.定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC?AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC 中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.2.如图,用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB>AD).(1)若这个矩形的面积等于99cm2,求AB的长度;(2)这个矩形的面积可能等于101cm2吗?若能,求出AB的长度,若不能,说明理由;(3)若这个矩形为黄金矩形(AD与AB之比等于黄金比),求该矩形的面积.(结果保留根号)3.定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC?AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.4.作一个等腰三角形,使得腰与底之比为黄金比.(1)尺规作图并保留作图痕迹;(2)写出你的作法;(3)证明:腰与底之比为黄金比.5.(1)已知线段AB的长为2,P是AB的黄金分割点,求AP的长;(2)求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图,且使AP>PB.6.如图,线段AB的长度为1.(1)线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB,求线段AC的长度;(选做)(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC,求线段AD的长度;(选做)(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD,求线段AE的长度;上面各题的结果反映了什么规律?(提示:在每一小题中设x和l)7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∠1=∠2,请问点D是不是线段AC的黄金分割点.请说明理由.8.在△ABC中,AB=AC=2,BC=﹣1,∠A=36°,BD平分∠ABC,交于AC于D.试说明点D是线段AC的黄金分割点.9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形,如在矩形ABCD中,当时,称矩形ABCD为黄金矩形ABCD.请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.10.如图,设AB是已知线段,在AB上作正方形ABCD;取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使EF=EB;以线段AF为边作正方形AFGH.则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点,你能说出其中的道理吗?请试一试,说一说.11.如图,已知△ABC中,D是AC边上一点,∠A=36°,∠C=72°,∠ADB=108°.求证:(1)AD=BD=BC;(2)点D是线段AC的黄金分割点.12.已知AB=2,点C是AB的黄金分割线,点D在AB上,且AD2=BD?AB,求的值.13.如果一个矩形ABCD(AB<BC)中,≈0.618,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE(如图),请问矩形ABFE是否是黄金矩形?请说明你的结论的正确性.14.五角星是我们常见的图形,如图所示,其中,点C,D分别是线段AB的黄金分割点,AB=20cm,求EC+CD的长.15.人的肚脐是人的身高的黄金分割点,一般来讲,当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时,是比较好看的黄金身段.一个身高1.70m的人,他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段(保留两位小数)?16.如图所示,以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求AM,DM的长;(2)点M是AD的黄金分割点吗?为什么?17.如图,点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,设以AP为边长的正方形面积为S1,以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2,试比较S1与S2的大小.18.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD延长线上的一点,且D为AE的黄金分割点,即,BE交DC于点F,已知,求CF的长.19.图1是一张宽与长之比为的矩形纸片,我们称这样的矩形为黄金矩形.同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠,折叠后再展开,可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC,那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗?若是,请根据图2证明你的结论;若不是,请说明理由.20.(如图1),点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果,那么称点P为线段AB的黄金分割点,设=k,则k就是黄金比,并且k≈0.618.(1)以图1中的AP为底,BP为腰得到等腰△APB(如图2),等腰△APB即为黄金三角形,黄金三角形的定义为:满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形;类似地,请你给出黄金矩形的定义:;(2)如图1,设AB=1,请你说明为什么k约为0.618;(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分(设S1<S2),如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(如图3),点P是线段AB的黄金分割点,那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗?请说明理由;(4)图3中的△ABC的黄金分割线有几条?21.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618,越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60m,她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美?(精确到十分位)22.已知线段AB,按照如下的方法作图:以AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA到F,使EF=EB,以线段AF为边,作正方形AFGH,那么点H是线段AB的黄金分割点吗?请说明理由.23.如图,用纸折出黄金分割点:裁一张正方的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落到线段EA上,折出点B的新位置B′,因而EB′=EB.类似地,在AB上折出点B″使AB″=AB′.这时B″就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.24.如图,用纸折出黄金分割点:裁一张边长为2的正方形纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置F,因而EF=EB.类似的,在AB上折出点M使AM=AF.则M是AB的黄金分割点吗?若是请你证明,若不是请说明理由.25.如图,在△ABC中,点D在边AB上,且DB=DC=AC,已知∠ACE=108°,BC=2.(1)求∠B的度数;(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由;②求AD的长;③在直线AB或BC上是否存在点P(点A、B除外),使△PDC是黄金三角形?若存在,在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法(不要求证明);若不存在,说明理由.26.宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):第一步:作一个正方形ABCD;第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.27.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,把像这样的三角形叫做黄金三角形.(1)请你设计三种不同的分法,将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形,使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形(画图工具不限,要求画出分割线段;标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数,不要求写画法,不要求证明.分别画在图1,图2,图3中)注:两种分法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的分法.(2)如图4中,BF平分∠ABC交AC于F,取AB的中点E,连接EF并延长交BC的延长线于M.试判断CM 与AB之间的数量关系?只需说明结果,不用证明.答:CM与AB之间的数量关系是.28.折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点:第一步:如图(1),先将一张正方形纸片ABCD对折,得到折痕EF;再折出矩形BCFE的对角线BF.第二步:如图(2),将AB边折到BF上,得到折痕BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点(AG>GD)29.三角形中,顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形,如图1,在△ABC中,已知:AB=AC,且∠A=36°.(1)在图1中,用尺规作AB的垂直平分线交AC于D,并连接BD(保留作图痕迹,不写作法);(2)△BCD是不是黄金三角形?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由;(3)设,试求k的值;(4)如图2,在△A1B1C1中,已知A1B1=A1C1,∠A1=108°,且A1B1=AB,请直接写出的值.30.如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EF∥AD,交DC于点F,显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线,使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点.黄金分割专项练习30题参考答案: 1.(1)证明:∵AB=AC=1,∴∠ABC=∠C=(180°﹣∠A)=(180°﹣36°)=72°,∵BD平分∠ABC交AC于点D,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°,∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°,∴DA=DB,BD=BC,∴AD=BD=BC,易得△BDC∽△ABC,∴BC:AC=CD:BC,即BC2=CD?AC,∴AD2=CD?AC,∴点D是线段AC的黄金分割点;(2)设AD=x,则CD=AC﹣AD=1﹣x,∵AD2=CD?AC,∴x2=1﹣x,解得x1=,x2=,即AD的长为2.解:(1)设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得x(20﹣x)=99,整理得x2﹣20x+99=0,解得x1=9,x2=11,当x=9时,20﹣x=11;当x=11时,20﹣11=9,而AB>AD,所以x=11,即AB的长为11cm;(2)不能.理由如下:设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得x(20﹣x)=101,整理得x2﹣20x+101=0,因为△=202﹣4×101=﹣4<0,所以方程没有实数解,所以这个矩形的面积可能等于101cm2;(3)设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得20﹣x=x,解得x=10(﹣1),则20﹣x=10(3﹣),所以矩形的面积=10(﹣1)?10(3﹣)=(400﹣800)cm2.3.解:(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°,∴AD=BD,BC=BD,∴△ABC∽△BDC,∴=,即=, ∴AD 2=AC?CD .∴点D 是线段AC 的黄金分割点.(2)∵点D 是线段AC 的黄金分割点,∴AD=AC ,∵AC=2,∴AD=﹣14.解:(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图,(2)作法:①画线段AB 作为三角形底边;②取AB 的一半作AB 的垂线AC ,连接BC ,在BC 上取CD=CA .③分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧,交点为E ;④分别连接EA 、EB ,则△ABE 即是所求的三角形.(3)证明:设AB=2,则AC=1,BC=,AE=BE=BD=BC ﹣CD=﹣1,=. 5.解:(1)由于P 为线段AB=2的黄金分割点,则AP=2×=﹣1,或AP=2﹣(﹣1)=3﹣; (2)如图,点P 是线段AB 的一个黄金分割点.6.解:(1)设AC=x ,则BC=AB ﹣AC=1﹣x ,∵AC 2=BC?AB ,∴x 2=1×(1﹣x ),整理得x 2+x ﹣1=0,解得x 1=,x 2=(舍去),所以线段AC 的长度为; (2)设线段AD 的长度为x ,AC=l ,∵AD 2=CD?AC ,∴x 2=l×(l ﹣x ),∴x 1=,x 2=(舍去),∴线段AD 的长度AC ;(3)同理得到线段AE 的长度AD ; 上面各题的结果反映:若线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC ),且使AC 是AB 和BC 的比例中项(即AB :AC=AC :BC ),则C 点为AB 的黄金分割点7.解:D 是AC 的黄金分割点.理由如下:∵在△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB==72°.∵∠1=∠2,∴∠1=∠2=∠ABC=36°.∴在△BDC中,∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°,∴∠C=∠BDC,∴BC=BD.∵∠A=∠1,∴AD=BC.∵△ABC和△BDC中,∠2=∠A,∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,∴,又∵AB=AC,AD=BC=BD,∴,∴AD2=AC?CD,即D是AC的黄金分割点8.证明:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=(180°﹣36°)=72°,∵BD平分∠ABC,交于AC于D,∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°,∴∠A=∠DBC,又∵∠C=∠C,∴△BCD∽△ABC,∴∵AB=AC,∴=,∵AB=AC=2,BC=﹣1,∴(﹣1)2=2×(2﹣AD),解得AD=,AD:AC=():2.∴点D是线段AC的黄金分割点.9.证明:在AB上截取AE=BC,DF=BC,连接EF.∵AE=BC,DF=BC,∴AE=DF=BC=AD,又∵∠ADF=90°,∴四边形AEFD是正方形.BE=,∴,∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比,矩形BCFE是黄金矩形.∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.10.解:设正方形ABCD的边长为2,在Rt△AEB中,依题意,得AE=1,AB=2,由勾股定理知EB===,∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1,HB=AB﹣AH=3﹣;∴AH2=()2=6﹣2,AB?HB=2×(3﹣)=6﹣2,∴AH2=AB?HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.11.证明:(1)∵∠A=36°,∠C=72°,∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°,∵∠ADB=108°,∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°,∴△ADB是等腰三角形,∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°,∴△BDC是等腰三角形,∴AD=BD=BC.(2)∵∠DBC=∠A=36°,∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,∴BC:AC=CD:BC,∴BC2=AC?DC,∵BC=AD,∴AD2=AC?DC,∴点D是线段AC的黄金分割点.12.解:∵D在AB上,且AD2=BD?AB,∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点,∴AC=AB=﹣1,AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1,AC=3﹣,∴CD=﹣1﹣(3﹣)=2﹣4,∴==或==.13.解:矩形ABFE是黄金矩形.∵AD=BC,DE=AB,∴==﹣1==.∴矩形ABFE是黄金矩形.14.解:∵D为AB的黄金分割点(AD>BD),∴AD=AB=10﹣10,∵EC+CD=AC+CD=AD,∴EC+CD=(10﹣10)cm.15.解:设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段,根据题意得x:1.70=0.618,即x=1.70×0.618≈1.1(m).答:他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段.16.解:(1)在Rt△APD中,AP=1,AD=2,由勾股定理知PD===,∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1,DM=AD﹣AM=3﹣.故AM的长为﹣1,DM的长为3﹣;(2)点M是AD的黄金分割点.由于=,∴点M是AD的黄金分割点.17.解:∵点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,∴AP2=BP×AB,又∵S1=AP2,S2=PB×AB,∴S1=S2.18.解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠CBF=∠AEB,∠BCF=∠BAE,∴△BCF∽△EAB,∴,即,把AD=,AB=+1代入得,=,解得:CF=2.故答案为:2.19.解:矩形EFDC是黄金矩形,证明:∵四边形ABEF是正方形,∴AB=DC=AF,又∵,∴,即点F是线段AD的黄金分割点.∴,∴,∴矩形CDFE是黄金矩形.20.解:(1)满足≈0.618的矩形是黄金矩形;(2)由=k得,BP=1×k=k,从而AP=1﹣k,由得,BP2=AP×AB,即k2=(1﹣k)×1,解得k=,∵k>0,∴k=≈0.618;(3)因为点P是线段AB的黄金分割点,所以,设△ABC的AB上的高为h,则,∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线.(4)由(2)知,在BC边上也存在这样的黄金分割点Q,则AQ也是黄金分割线,设AQ与CP交于点W,则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线,故黄金分割线有无数条.21.解:根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm,设选择的高跟鞋的高度是xcm,则根据黄金分割的定义得:=0.618,解得:x≈7.5cm.故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美.22.解:设正方形ABCD的边长为2a,在Rt△AEB中,依题意,得AE=a,AB=2a,由勾股定理知EB==a,∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=(﹣1)a,HB=AB﹣AH=(3﹣)a;∴AH2=(6﹣2)a2,AB?HB=2a×(3﹣)a=(6﹣2)a2,∴AH2=AB?HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.23.证明:设正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,∴BE=1∴AE==,又∵B′E=BE=1,∴AB′=AE﹣B′E=﹣1,∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点.24.证明:∵正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,∴BE=1∴AE==,∵EF=BE=1,∴AF=AE﹣EF=﹣1,∴AM=AF=﹣1,∴AM:AB=(﹣1):2,∴点M是线段AB的黄金分割点.25.解:(1)∵BD=DC=AC.则∠B=∠DCB,∠CDA=∠A.设∠B=x,则∠DCB=x,∠CDA=∠A=2x.又∠BOC=108°,∴∠B+∠A=108°.∴x+2x=108,x=36°.∴∠B=36°;(2)①有三个:△BDC,△ADC,△BAC.∵DB=DC,∠B=36°,∴△DBC是黄金三角形,(或∵CD=CA,∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°.∴△CDA是黄金三角形.或∵∠ACE=108°,∴∠ACB=72°.又∠A=2x=72°,∴∠A=∠ACB.∴BA=BC.∴△BAC是黄金三角形.②△BAC是黄金三角形,∴,∵BC=2,∴AC=﹣1.∵BA=BC=2,BD=AC=﹣1,∴AD=BA﹣BD=2﹣(﹣1)=3﹣,③存在,有三个符合条件的点P1、P2、P3.ⅰ)以CD为底边的黄金三角形:作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2.ⅱ)以CD为腰的黄金三角形:以点C为圆心,CD为半径作弧与BC的交点为点P3.26.证明:在正方形ABCD中,取AB=2a,∵N为BC的中点,∴NC=BC=a.在Rt△DNC中,.又∵NE=ND,∴CE=NE﹣NC=(﹣1)a.∴.故矩形DCEF为黄金矩形.27.解:(1)(2)CM=AB(4分)28.证明:如图,连接GF,设正方形ABCD的边长为1,则DF=.在Rt△BCF中,BF==,则A′F=BF﹣BA′=﹣1.设AG=A′G=x,则GD=1﹣x,在Rt△A′GF和Rt△DGF中,有A'F2+A'G2=DF2+DG2,即,解得x=,即点G是AD的黄金分割点(AG>GD).29.解:(1)如图所示;(2)△BCD是黄金三角形.证明如下:∵点D在AB的垂直平分线上,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A.∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°,∴∠ABD=∠DBC=36°.又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴△BCD是黄金三角形.(3)设BC=x,AC=y,由(2)知,AD=BD=BC=x.∵∠DBC=∠A,∠C=∠C,∴△BDC∽△ABC,∴,即,整理,得x2+xy﹣y2=0,解得.因为x、y均为正数,所以.(4).理由:延长BC到E,使CE=AC,连接AE.∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ACB=∠B=72°,∴∠ACE=180°﹣72°=108°,∴∠ACE=∠B1A1C1.∵A1B1=AB,∴AC=CE=A1B1=A1C1,∴△ACE≌△B1A1C1,∴AE=B1C1.由(3)知,∴,,∴.30.解:(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设△ABC的边AB上的高为h.则,,,∴,.又∵点D为边AB的黄金分割点,∴,∴.故直线CD是△ABC的黄金分割线.(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,∴,即,故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.(3)∵DF∥CE,∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等,∴S△DFC=S△DFE,∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF,S△BDC=S四边形BEFC.又∵,∴.因此,直线EF也是△ABC的黄金分割线.(7分)(4)画法不惟一,现提供两种画法;画法一:如答图1,取EF的中点G,再过点G作一条直线分别交AB,DC于M,N点,则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线.画法二:如答图2,在DF上取一点N,连接EN,再过点F作FM∥NE交AB于点M,连接MN,则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线.(9分)。
《黄金分割》专题练习
黄金分割专题练习一、选择题1.已知C 是线段AB 的一个黄金分割点,则AC ∶AB 为A .215-B .253-C .215+D .215-或253-A .55B .21C .25 D 3.把2米的线段进行黄金分割,则分成的较短的线段长为A .53-B .15-C .51+D .3+4.美是一种感觉,本应没有什么客观的标准,但在自然界里,物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考,在数学上,这个比例称为黄金分割;在人体躯干由脚底至肚脐的长度与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,也就是说,若此比值越接近0.618,就越给别人一种美的感觉;如果某女士身高为1.60m,躯干与身高的比为0.60,为了追求美,她想利用高跟鞋达到这一效果,那么她选的高跟鞋的高度约为A .2.5cmB .5.1cmC .7.5cmD .8.2cm 5.如图,在正五边形ABCDE 中,对角线AD 、AC 与EB 分别相交于点M 、N .下列命题:①四边形EDCN 是菱形;②四边形MNCD 是等腰梯形;③△AEN 与△EDM 全等; ④△AEM 与△CBN 相似;⑤点M 是线段AD 、BE 、NE 的黄金分割点,其中假命题有A .0个B .1个C .2个D .4个二、填空题1.C 是AB 的黄金分割点,则=BCAC ; 2.P 为线段AB =10cm 的黄金分割点,则AP = cm 保留两个有效数字;3.当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618时,身材是最完美的;一位身高为165cm,肚脐到头顶高度为65cm 的女性,应穿鞋跟为 cm 的高跟鞋才能使身材最完美精确到1cm;4.如图,节目主持人现站在舞台AB 的一端A 点,在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果,若舞台AB 长20米,主持人要想站在舞台的黄金分割点处,她应走到距A 点至少 米处,如果向B 点再走 米,也处在舞台的黄金分割点处结果精确到0.1米5.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 是边BC 上的黄金分割点,且BE >CE,AE 与BD 相交于点F .那么BF :FD 的值为 ;6.如图,在△ABC 中,点D 是AB 的黄金分割点AD >BD,BC =AD,如果∠ACD =90°, 那么tanA = ;三、 解答下列各题1.在人体躯干脚底到肚脐的长度与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618越给人以美感;张女士的身高为1.68米,身体躯干脚底到肚脐的高度为1.02米,那么她应选择约多大的高跟鞋看起来更美;精确到十分位2.一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看;如图,是一个参加空姐选拔的选手的身高情况,那么她应穿多高的鞋子才能好看 精确到1cm参考数据:黄金分割比为215-,5=2.236; 3.要设计一座2m 高的维纳斯女神雕像如图,使雕像的上部AC 肚脐以上与下部BC 肚脐以下的高度比,等于下部与全部的高度比,即点C 肚脐就叫做线段AB 的黄金分割点,这个比值叫做黄金分割比;试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比 结果精确到0.0014.如图,在△ABC 中,AB =AC,∠A =36°,∠1=∠2,请问点D 是不是线段AC 的黄金分割点;请说明理由;5.如图,△ABC 中,AB =AC,∠BAC =108°,在BC 边上取一点D,使BD =BA,连接AD;求证: 1△ADC ∽△BAC ;2点D 是BC 的黄金分割点;6.如图1,点C 将线段AB 分成两.部分,如果AC BC AB AC=,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点;某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果121S S S S =,那么称直线l 为该图形的黄金分割线; 1研究小组猜想:在ABC △中,若点D 为AB 边上的黄金分割点如图2,则直线CD 是ABC △的黄金分割线;你认为对吗 为什么2请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线3研究小组在进一步探究中发现:过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF CE ∥,交AC于点F ,连接EF 如图3,则直线EF 也是ABC △的黄金分割线;请你说明理由;4如图4,点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点,过点E 作EF ∥AD,交DC 于点F,显然直线EF 是ABCD的黄金分割线;请你画一条ABCD 的黄金分割线,使它不经过ABCD 各边黄金分割点;7.2013 黄石如图1,点C 将线段AB 分成两部分,如果AC BC AB AC=,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点 ;某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S 1、S 2,如果121S S S S =,那么称直线l 为该 图形的黄金分割线;1如图2,在△ABC 中,∠A =36°,AB =AC,∠C 的平分线交AB 于点D,请问点D 是否是AB 边上的黄金分割点,并证明你的结论;2若△ABC 在1的条件下,如图3,请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线,并证明你的结论; 3如图4,在直角梯形ABCD 中,∠D =∠C =90°,对角线AC 、BD 交于点F,延长AB 、DC 交于点E,连接EF交梯形上、下底于G 、H 两点,请问直线GH 是不是直角梯形ABCD 的黄金分割线,并证明你的结论;8.已知线段AB,求作线段AB 的黄金分割点C,使AC >BC;相似形专题练习答案一、选择题1.D2.D3.A4.C5.B二、填空题1.215-或215+; 2.6.2或3.8;3618.0= 456.解:∵点D 是AB 的黄金分割点AD >BD,====AB AD AB BC 在△ACD 中,∠ACD =90°,=三、 解答下列各题1.设张女士应该选择xcm 高的高跟鞋,则618.0168102=++xx ,解得x =4.8cm; 2.解:设应穿xcm 高的鞋子,=3答:维纳斯女神雕像下部的高度为1.236m;618.0≈; 456.1直线是的黄金分割线;理由如下:设ABC △的边AB 上的高为h ;12ADC S AD h =△,12BDC S BD h =△,12ABC S AB h =△, 所以,ADC ABC S AD S AB =△△,BDC ADC S BD S AD=△△;又因为点D 为边AB 的黄金分割点,所以有AD BD AB AD =.因此ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△; 所以,直线CD 是ABC △的黄金分割线; 2因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时1212s s s ==,即 121s s s s ≠,所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线; 3因为DF CE ∥,所以DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等,所以有DEC FCE S S =△△;设直线EF 与CD 交于点G .所以DGE FGC S S =△△.所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形,BDC BEFC S S =△四边形;又因为ADC BDC ABC ADCS S S S =△△△△,所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△; 因此,直线EF 也是ABC △的黄金分割线;4画法不惟一,现提供两种画法;画法一:如答图1,取EF 的中点G ,再过点G 作一条直线分别交AB ,DC 于M ,N 点,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线.画法二:如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ,连接MN ,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线;7.解:1点D 是AB 边上的黄金分割点.理由如下:∵AB =AC,∠A =36°,∴∠B =∠ACB =72°;∵CD 是角平分线,∴∠ACD =∠BCD =36°,∴∠A =∠ACD,∴AD =CD;∵∠CDB =180°-∠B -∠BCD =72°,∴∠CDB =∠B,∴BC =CD; FB D E N M G第6题答图1F B D E N M 第6题答图2另一种作法:⑴经过点B作BD⊥AB,使BD=错误!AB;⑵连接AD,在AD上截取DE=DB;⑶在线段AB上截取AC=AE;如图,点C就是线段AB的黄金分割点;A EB CD。
专题07-黄金分割-同步学与练-(含解析)数学苏科版九年级下册
专题07黄金分割(2个知识点2种题型1个中考考点)【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.黄金分割(重点)知识点2.黄金矩形(拓展)【方法二】实例探索法题型1.与黄金分割有关的计算题型2.黄金分割的实际应用【方法三】仿真实战法考法:利用黄金分割的概念计算【方法四】成果评定法【学习目标】1.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割、黄金比、黄金分割点、黄金矩形的定义.2.会一条线段的黄金分割点.3.了解黄金分割在生活中的应用,会运用黄金比解决实际问题.【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.黄金分割(重点)黄金分割:一般地,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (如图AC BC >),如果AC BC AB AC=,则称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫线段AB 的黄金分割点,其中0.618AC AB =≈,BC AB =.AB ≈0382,AC 与AB 的比叫做黄金比.(注意:对于线段AB 而言,黄金分割点有两个.)注意!!!一条线段有两个黄金分割点,因此,一般说点P 是线段AB 的黄金分割点时,需加注 AP PB >或AP < BP ,否则在已知AB 的长度求AP (或BP )的长度时,会有两种情况,此时应分情况讨论.【例1】1.已知线段AB 的长度为l ,点P 在线段上,PB AP AP AB=,求线段AP 的长.【变式1】2.(1)点P 是线段AB 的黄金分割点,AP BP >,6AB =厘米,求BP 的长;(2)已知点P 是线段AB 的黄金分割点,1AB =,求AP 的值.【变式2】3.如图,以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ,取AB 的中点P ,连接PD .在BA 的延长线上取点F ,使PF PD =.以AF 为边作正方形AMEF ,点M 在AD 上.(1)求线段AM 、DM 的长;(2)求证:2AM AD DM =⋅;(3)请指出图中的黄金分割点.知识点2.黄金矩形(拓展)【例2】4的矩形叫黄金矩形.如图:如果在一个黄金矩形里面画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你的结论.【变式】.(绵阳)5.黄金分割由于其美学性质,受到摄影爱好者和艺术家的喜爱,摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法.其原理是:如图,将正方形ABCD 的底边BC 取中点E ,以E 为圆心,线段DE 为半径作圆,其与底边BC 的延长线交于点F ,这样就把正方形ABCD 延伸为矩形ABFG ,称其为黄金矩形.若4CF a =,则AB =( ).A .)1a -B .()2aC .)1aD .()2a 【方法二】实例探索法题型1.与黄金分割有关的计算(芦溪县期中)6.已知线段AB 的长度为2,点C 是线段AB 的黄金分割点,则AC 的长度为( )A B C 1或3D 2(瑞安市期末)7.已知P 为线段AB 的黄金分割点,4AB =,AP BP >,则AP 的长为( )A .2B .4C .1D .6-题型2.黄金分割的实际应用(安庆期中)8.大自然巧夺天工,一片小树叶也蕴含着“黄金分割”,如图,P 为AB 的黄金分割点(AP PB >),如果AP 的长度为10cm ,那么AB 的长度是( )A .5B .15-C .5D .15+(沈河区期末)9.如图,冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚,健康,可爱,活泼,它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处,若玩偶身高6cm ,则玩偶嘴巴到脚的距离是( )A .3)cmB C D .(9-(天长市期中)10.大自然是美的设计师,即使是一个小小的盆景,经常也会产生最具美感的黄金分割比(黄金分割比约为0.618).如图,点B 为AC 的黄金分割点(AB BC >),若100AC =cm ,则BC 约为( )A .42cmB .38cmC .62cmD .70cm(酒泉期中)11.某品牌汽车为了打造更加精美的外观,特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置(如图),若车头与倒车镜的水平距离为1.58米,则该车车身总长约为( )米.A .4.14B .2.56C .6.70D .3.82【方法三】 仿真实战法考法:利用黄金分割的概念计算(黄石)12.关于x 的一元二次方程210x mx +-=,当1m =时,该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形,希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计;我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数.(1)求黄金分割数;(2)已知实数a ,b 满足:221,24a ma b mb +=-=,且2b a ≠-,求ab 的值;(3)已知两个不相等的实数p ,q 满足:2211p np q q nq p +-=+-=,,求pq n -的值.【方法四】 成果评定法一.选择题(共8小题)(杨浦区期末)13.已知P 是线段AB 的黄金分割点,且AP>BP ,那么下列比例式能成立的是( )A .AB AP AP BP =B .AB BP AP AB =C .BP AB AP BP =D .AB AP =(开化县模拟)14.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值接近0.618时,越给人一种美感.某女士身高 165cm ,下半身长x 与身高l 的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A .4cmB .6cmC .8cmD .10cm(会同县期末)15.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”.如图,P 为AB 的黄金分割点()AP PB >,如果AB 的长度为8cm ,那么AP 的长度是( )cm .A .4-B .4C .4+D .4-(八步区期中)16.若线段MN 的长为1cm ,点P 是线段MN 的黄金分割点,MP NP >,则较长的线段MP 的长为( )A .1)cmB .(3CD (鄞州区期中)17.点P ,点Q 是线段AB 的黄金分割点,若2AB =,则PQ 长度是( )A .1B .C .4-D (福鼎市期中)18.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示以线段AB 为边作正方形ABCD ,取AD 的中点E ,连接BE ,延长DA 至F ,使得EF BE =,以AF 为边作正方形AFGH ,则点H 即是线段AB 的黄金分割点.若记正方形AFGH 的面积为1S ,矩形BCIH 的面积为2S ,则1S 与2S 的比值是( )A B C D .1(盐湖区校级期中)19.如图,正五边形ABCDE 的几条对角线的交点分别为,,,,M N P Q R ,它们分别是所在对角线的黄金分割点.若2AB =,则MN 的长为( )A .3B .3C 1D 1(和平区期末)20.如果一个等腰三角形的顶角为36︒,我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形.如图,在ABC 中,1AB AC ==,36A ∠=︒,ABC 看作第一个黄金三角形;作ABC ∠的平分线BD ,交AC 于点D ,BCD △看作第二个黄金三角形;作BCD ∠的平分线CE ,交BD 于点E ,CDE 看作第三个黄金三角形……以此类推,第2024个黄金三角形的腰长是( )A .2023B .2024C .2023D .2024二.填空题(共8小题)(沈北新区校级月考)21.如果点C 是线段AB 的黄金分割点,2cm =AC ,AC BC >,那么AB 的长为 .(平川区校级期末)22.若点P 为线段AB 的黄金分割点,且AP BP <,10BP =,则AP = .(吉安期中)23.如图,线段10cm AB =,点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC BC >,设以AC 为边的正方形的面积为1S ,以BC 为一边,AB 长为另一边的矩形BCFG 的面积为21S S , 2S (填:“>”、“=”或“<”).(高港区期中)24.我们把宽与长的比是1):2的矩形叫做黄金矩形,从外形看它最具美感.小明想制作一张“黄金矩形”的贺卡,已知贺卡长为20cm ,那么贺卡的宽为 cm .(结果保留根号).(朝阳一模)25.如图,在某校的2022年新年晚会中,舞台AB 的长为20米,主持人站在点C 处自然得体,已知点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点,则此时主持人与点A 的距离为 米.(徐汇区期末)26.已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >,如果2AB =,那么BP 的长是 .(达州)27.如图,乐器上的一根弦80cm AB =,两个端点,A B 固定在乐器板面上,支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点,支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点,,C D 之间的距离为 .(天府新区期中)28.黄金分割由于其美学性质,受到摄影爱好者和艺术家的喜爱,摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法.其原理是:如图,将正方形ABCD 的底边BC 取中点E ,以E 为圆心,线段DE 为半径作圆,其与底边BC 的延长线交于点F ,这样就把正方形ABCD 延伸为矩形ABFG ,称其为黄金矩形.若4CF a =,则AB = .三.解答题(共5小题)(市南区校级期中)29.如图,点C 是线段AB 的黄金分割点,AC BC >,计算线段AB 的黄金比AC AB 的值.(瑞安市期中)30.(1)已知 4.5a =,2b =,c 是a ,b 的比例中项,求c ;(2)如图,C 是AB 的黄金分割点,且AC BC >,4AB =,求AC 的长.(金安区校级期中)31.已知顶角为36︒的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比),如图,ABC ,BDC ,DEC 都是黄金三角形,已知36A ∠=︒,1AB =,求DE 的长度.(上城区校级期中)32.如图所示,以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ,取AB 的中点P ,连接PD ,在BA 的延长线上取点F ,使PF PD =,以AF 为边作正方形AMEF ,点M 在AD 上.(1)求,AM DM 的长;(2)点M 是AD 的黄金分割点吗?为什么?(兰山区期中)33.在设计人体雕像时,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,可以增加视觉美感.按此比例,如果雕像的高为2m,那么它的下部应设计多高?参考答案:1.AP=【分析】由题意得点P是线段AB的黄金分割点,再列式计算即可.=,【详解】解: 点P在线段AB上,PB APAP AB∴点P是线段AB的黄金分割点,且AP BP>,PB AP∴==AP AB线段AB的长度为l,AP∴.【点睛】本题考查了黄金分割点的定义,解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值.2.(1)(9BP=-厘米;(2)2AP=或1AP=-.【分析】(1)根据条件建立等式AP AB=,求解即可;(2然后建立等式求解.【详解】解:(1)根据黄金分割点定义,且AP BP>,可知AP AB=,此时(BP AB69===-厘米;(2故2AP ABAP=.==或1【点睛】本题考查了黄金分割点,解题的关键是注意黄金分割点和黄金分割的区别,一条线段的黄金分割点有两个,满足黄金分割黄金比的只有一个.3.(1)1DM=AM=-,3(2)见解析(3)见解析【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念.(1)要求AM 的长,只需求得AF 的长,又AF PF AP =-,PF PD =,则1,3AM AF DM AD AM ===-=(2)根据(1)所求分别求出2AM AD DM ⋅,的值即可证明结论;(3)根据(1)中的数据得:AM AD M 是AD 的黄金分割点.【详解】(1)解:在Rt APD 中,1,2AP AD ==,由勾股定理知:PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=,∴3DM AD AM =-=(2)证明:由(1)得)(2216236AM AD DM ==-⋅=⨯=-∴2AM AD DM =⋅;(3)解:∵AM AD =∴点M 是AD 的黄金分割点.4.是;见解析【分析】本题主要考查了黄金分解的定义,根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案.【详解】解:是,证明如下:∵四边形ABEF 是正方形,∴AB AF =,∵四边形ABCD 是矩形 ,∴AB CD =,∴AF CD =,又∵AB AD =∴AF AD =, 即点F 是AD 的黄金分割点,∴AF AD =,∴DF AD AF AD =-=,∴DF AF =,即DFDC=∴矩形CDEF 是黄金矩形.5.D【分析】本题考查了黄金分割,正方形的性质,矩形的性质,解题的关键是掌握A BB F =计算即可.【详解】解:设AB x =,四边形ABCD 是正方形,AB BC x ∴==,矩形ABFG 是黄金矩形,A B B F \=4x x a \=+解得:(2x a =+,经检验:(2x a =+是原方程的根,(2A B a \=+,故选:D .6.C【分析】分AC <BC 、AC >BC 两种情况,根据黄金比值计算即可.【详解】解:当AC <BC 时,∵点C 是线段AB 的黄金分割点,∴1BC AB ==,同理当AC >BC 时,1AC AB ==,∴)213BC AB AC =-=-=故选C .【点睛】本题考查的是黄金分割的概念,把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线)叫做黄金比.7.A【分析】本题考查了黄金分割的概念.黄金分割的定义,把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值【详解】解: 点P 是线段AB 上的一个黄金分割点,且4AB =,AP BP >,42AP ∴==.故选:A .8.A【分析】本题考查黄金分割的应用;由黄金分割知:AP AB =,由此可求得AB 的长.【详解】解:∵P 为AB 的黄金分割点,∴AP AB =,即105)cm AB ==+,故选:A .9.A【分析】本题考查了黄金分割,熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.根据黄金分割的定义进行列式计算即可解答.【详解】解:由题意得玩偶嘴巴到脚的距离为:()63cm =故选:A .10.B【分析】本题考查黄金分割.根据黄金分割点的定义,列出比例式进行求解即可.熟练掌握黄金分割中的比例关系,是解题的关键.【详解】解:由题意,得:0.618ABAC≈,100AC =cm ,∴61.8cm AB ≈,∴38cm BC AC AB =-≈;故选B .11.A【分析】设整个车身长为AB ,点C 表示倒车镜位置,根据题意,确定BC 的长,继而确定车身长,对照选项判断即可.【详解】如图,设整个车身长为AB ,点C 表示倒车镜位置,根据题意,AC =1.58米,∴BC =1.58÷0.618=2.56米,故车长为1.58+2.56=4.14米,故选:A .【点睛】本题考查了线段的黄金分割点,准确理解黄金分割点的意义并灵活计算是解题的关键.12.(2)2(3)0【分析】(1)依据题意,将1m =代入然后解一元二次方程210x x +-=即可得解;(2)依据题意,将224b m b -=变形为21022b b m ⎛⎫⎛⎫-+⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而可以看作a ,2b -是一元二次方程210x mx +-=的两个根,进而可以得解;(3)依据题意,将已知两式相加减后得到,两个关系式,从而求得pq ,进而可以得解.【详解】(1)依据题意,将1m =代入210x mx +-=得210x x +-=,解得x =,∵黄金分割数大于0,∴(2)∵224b m b -=,∴2240b m b --=,则21022b b m ⎛⎫⎛⎫-+⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又∵2b a ≠-,∴a ,2b-是一元二次方程210x mx +-=的两个根,则12b a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭,∴2ab =.(3)∵21p np q +-=,21q nq p +-=;∴()()2211p np q nq q p +-++-=+;即()()222p q n p q p q +++-=+;∴()()222p q pq n p q p q +-++-=+.又∵()()2211p np q nq q p +--+-=-;∴()()()22p q n p q p q -+-=--;即()()10p q p q n -+++=.∵p ,q 为两个不相等的实数,∴0p q -≠,则10p q n +++=,∴1p q n +=--.又∵()()222p q pq n p q p q +-++-=+,∴()()212121n pq n n n ---+---=--,即0pq n -=.【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是掌握根与系数的关系,灵活运用所学知识解决问题.13.A【分析】由于点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP>BP ,故有AP 2=BP×AB ,那么AB APAP BP=.【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,∴AP2=BP×AB,即AB APAP BP=,故A正确,B、C错误;BP APAP AB==D错误;故答案为A.【点睛】本题考查了黄金分割的知识,把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割.14.C【分析】本题考查了黄金分割的应用.先求得下半身的实际高度,再根据黄金分割的定义求解即可.【详解】根据已知条件得下半身长是1650.6099⨯=,设需要穿的高跟鞋是y,根据黄金分割的定义得:990.618 165yy+=+,解得:8y≈.故选:C.15.B【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB,然后把AP的长度代入可求出AB的长.【详解】解:∵P为AB的黄金分割点(AP>PB),∴AP AB,∵AB的长度为8cm,∴AP×8=4(cm).故选:A.【点睛】本题考查了黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC 是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,其中AC AB.16.C【分析】本题考查了黄金分割.利用黄金分割的定义进行计算,即可解答.【详解】解: 点P 是线段MN 的黄金分割点,MP NP >,1cm MN =,)cm MP ∴==,故选:C .17.C【分析】本题考查了黄金分割,熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键.根据黄金分割的定义,得到AQ BP AB AB ==【详解】如图,点P ,点Q 是线段AB 的黄金分割点,若2AB =,∴AQ BP AB AB ==∴1AQ BP ==,∴1124PQ AQ BP AB =+-=---=,故选:C .18.D【分析】根据H 是AB 的黄金分割点求出2AH BH AB =⋅,求出21S AH =,2S BH BC BH AB =⋅=⋅,再得出答案即可.【详解】解:H 是AB 的黄金分割点,2AH BH AB ∴=⋅,21S AH = ,2S BH BC BH AB =⋅=⋅,12S S ∴=,即121S S =,故选:D .【点睛】本题考查了黄金分割,能熟记黄金分割的性质是解此题的关键.19.A【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质,平行四边形的性质及判定,首先根据正五边形的相关性质判定四边形ABME 为平行四边形,进而求出BM 的长度,再根据黄金分割点进行计算即可得到MN 的长.黄金分割点等相关内容,熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键.【详解】解:∵五边形ABCDE 为正五边形∴2AE AB ==,()180521085EAB ABC ︒⨯-∠=∠==︒,∴36AEB ABE ∠=∠=︒同理可得36CBD ∠=︒∴1083672ABD ∠=︒-︒=︒∵10872180EAB ABD ∠+∠=︒+︒=︒∴AE BD同理可证明EC AB ∥∴四边形ABME 为平行四边形∴2EM AB ==,2BM AE ==,同理:2DN =,∵M 、N 为BD 的黄金分割点∴BD =21=+,∴DM BD BM =-=1,∴21)3MN DN DM =-=-=故选:A .20.A【分析】本题考查了黄金三角形,规律型等知识;由黄金三角形的定义得BC AB =,同理求出2CD =,3DE =,可得第1个黄金三角形的腰长为1AB AC ==,第2,第3个黄金三角形的腰长是2,第4个黄金三角形的腰长是3,得出规律第n 个黄金三角形的腰长是1n -,即可得出答案.【详解】解:∵ABC 是第1个黄金三角形,第1个黄金三角形的腰长为1AB AC ==,∴BC AB =,BC AB ∴==,∵BCD △是第2个黄金三角形,∴CD BC =第2,2CD ∴==,∵CDE 是第3个黄金三角形,∴DE CD 第3个黄金三角形的腰长是2,3DE ∴==,∴第4个黄金三角形的腰长是3,…∴第n 个黄金三角形的腰长是1n -,∴第2024个黄金三角形的腰长是202412023-=,故选:A .21.(1cm【分析】本题考查黄金分割.根据黄金分割比“将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,”结合题意AC BC >,且2cm =AC ,即可列出关于线段AC 长的等式,解出AC 即可.【详解】解:∵点C 是线段AB 的一个黄金分割点,且AC BC >,∴AC AB =,∴2AB∴)1cm AC =+.故答案为:(1cm .22.5-+5【分析】本题考查了黄金分割的定义,解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值.设AP x =,则10AB x =+,根据黄金分割的定义得到AP BP BP AB =即101010x x =+,解方程即可得到答案.【详解】解:设AP x =,则10AB AP BP x =+=+,∵点P 为线段AB 的黄金分割点,∴AP BP BP AB =,即101010x x =+,∴2101000x x +-=,解得5x =-+或5x =--(舍去),经检验,5x =-+∴5AP =-+故答案为:5-+23.=【分析】根据黄金分割的定义,即可得到答案.【详解】解:∵点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC BC >,∴AC BC AB AC=,∴2AC AB BC =⋅,∵212,S AC S AB BC ==×,∴12S S =,故答案为:=.【点睛】本题主要考查黄金分割的定义,记住公式即可.24.)101【分析】本题主要考查的是黄金分割的概念和性质,根据黄金比值求解即可.【详解】解∶ 宽与长的比是1):2-,∵贺卡长为20cm∴贺卡宽为)20101=,故答案为:)101.25.()10##(10-+【分析】本题考查了黄金分割,熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键.由黄金分割点的定义得AC AB =,再代入AB 的长计算即可.【详解】解: 点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点,20AB =米,2010)AC ∴===(米),故答案为:10).26.3##3+【分析】本题考出来黄金分割,解一元二次方程组.由题意知,2BP AB AP AP =-=-,由点P 是线段AB 的黄金分割点,可得=AP BP AB AP ,即22AP AP AP -=,整理得2240AP AP -+=,计算求出满足要求的解即可.【详解】解:由题意知,2BP AB AP AP =-=-,∵点P 是线段 AB 的黄金分割点,∴=AP BP AB AP ,即22AP AP AP-=,整理得2240AP AP -+=,解得:1AP =-1AP =-,∴(2213BP AP =-=--=故答案为:327.160)cm-【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分,由此即可求解.【详解】解:弦80cm AB =,点C 是靠近点B 的黄金分割点,设BC x =,则80AC x =-,∴8080x -=120x =-点D 是靠近点A 的黄金分割点,设AD y =,则80BD y =-,∴8080y -=120y =-,∴,C D 之间的距离为8080120120160x y --=-++=,故答案为:160)cm .【点睛】本题主要考查线段成比例,掌握线段成比例,黄金分割点的定义是解题的关键.28.()2a【分析】结合题意可得,DE 和EF 是扇形DEF 的边,则DE EF CE CF ==+,根据正方形性质可得BC CD AB ==,90ECD ∠=︒,因为E 是BC 的中点,则12CE BE BC ==;根据勾股定理可得,直角CDE 中,222CD CE DE +=,即DE =CE CF +=AB 的值.【详解】解:依题得:DE EF =,设2AB x =,则正方形ABCD 中,2BC CD AB x ===,90ECD ∠=︒,E 是BC 的中点,12CE BE BC x ∴===,又4CF a = ,4EF CE CF x a DE ∴=+=+=,在直角CDE 中,222CD CE DE +=,即()()22224x x x a +=+2225816x x ax a =++2224x ax a -=()225x a a -=)11x a ∴=,()21x a =,40CF a => ,即0a >,()210x a ∴=<,2x ∴舍去,)()2212AB x a a ∴===+.故答案为:()2a .【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、圆的性质、勾股定理、一元二次方程的解,解题关键是找到DE EF CE CF ==+和222DE CE CD =+两个等量关系式列一元二次方程.29即可解答,熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.【详解】解: 点C 是线段AB 的黄金分割点,AC BC >,∴AC AB =,∴线段AB 的黄金比AC AB .30.(1)c 为3或3-;(2)2AC =【分析】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项,正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键.(1)由c 是a ,b 的比例中项,可得29c ab ==,由此求解即可;(2)根据黄金分割点的定义进行求解即可.【详解】解:(1)∵c 是,a b 的比例中项,∴2 4.529c ab ==⨯=∴13c =,23c =-∴c 为3或3-;(2)∵C 是AB 的黄金分割点,且AC BC >,4AB =,∴4 2.AC AB ===31【分析】证明ABC BDC ∽△△,可得2BC AB CD =⨯,从而得到221CD BC AD CD AD AC ==+==①,②,进而得到CD =【详解】解:∵ABC ,BDC ,DEC 都是黄金三角形,∴,,AB AC BD BC AD DE CD ====,36A CBD CDE ∠=∠=∠=︒,∵C C ∠=∠,∴ABC BDC ∽△△,∴AC BC BC CD=,∴2BC AB CD =⨯,∵1AB =,∴221CD BC AD CD AD AC ==+==①,②,∴1AD CD =-③,代入①整理得,()21CD CD =-,解得:CD =∵1CD <,∴CD =,∵DE CD =,∴DE =【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,黄金三角形的定义,解题的关键是理解黄金三角形的定义.32.(1)AM 1,DM 的长为3(2)点M 是AD 的黄金分割点,理由见解析【分析】(1)要求AM 的长,只需求得AF 的长,又AF PF AP =-,PF PD ===,则1,3AM AF DM AD AM ==-=-=(2)根据(1)中的数据得:AM AD M 是AD 的黄金分割点.【详解】(1)在Rt APD 中,1,2AP AD ==,由勾股定理知∶PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=,3DM AD AM =-=故AM 1,DM 的长为3(2)点M 是AD 的黄金分割点.∵AM AD =∴点M 是AD 的黄金分割点.【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念.先求得线段,AM DM 的长,然后求得线段AM 和AD 之间的比,根据黄金分割的概念进行判断.33.1)m【分析】本题考查了黄金分割,解题的关键是设雕像的下部高为x m ,则上部长为(2)m x -,然后根据题意列出方程求解即可.【详解】解:设雕像的下部高为x m ,则题意得:22x x x -=,整理得:2240x x +-=,解得11x =,21x =-(舍去),答:雕像的下部高为1)m -.。
苏科版九年级数学下册 6.2 黄金分割 同步测试题(有答案)
6.2 黄金分割同步测试题(满分120分;时间:120分钟)一、选择题(本题共计10 小题,每题3 分,共计30分,)1. 已知P是线段AB的黄金分割点,且AP>PB,AB=10,则AP长约为()A.0.618B.6.18C.3.82D.0.3822. △ABC中,AC=BC,在边AB上截取AD=AC,连接CD,若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点,则∠A的度数是()A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘3. 如果点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列各式不正确的是()A.AB:AC=AC:BCB.AC=√5−12ABC.AB=√5+12AC D.BC≈0.618AB4. 如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36∘,CD是∠ACB的平分线,则△DBC的面积与△ADC的面积的比值是()A.√5−12B.√5+12C.3−√52D.3+√525. 把2米长的线段进行黄金分割,则分成的较长线段的长为()A.−1+√5B.3−√5C.3+√5D.1+√56. 现已知线段AB=10,点P是线段AB的黄金分割点,PA>PB,那么线段PA的长约为()A.6.18B.0.382C.0.618D.3.287. 已知点P是线段AB的黄金分割点,AP>PB,若AB=2,则PB=()A.√5−12B.√5+12C.3−√5D.√5−18. 已知点P是线段AB的黄金分割点,且AP>PB,则下列各式的值不等于√5−12的是()A.AP ABB.PBAPC.PBABD.√PBAB9. 顶角为36∘的等腰三角形称为黄金三角形,如图,五边形ABCDE的5条边相等,5个内角相等,则图中共有黄金三角形的个数是()A.25B.10C.15D.2010. 如图所示,顶角为36∘的等腰三角形,其底边与腰之比等于k,这样的三角形叫做黄金三角形.已知AB=1,△ABC为第一个黄金三角形,△BCD为第二个黄金三角形,△CDE为第三个黄金三角形,以此类推,第2014个黄金三角形的周长为()A.k2012B.k2013C.k2013(2+k)D.k20132+k二、填空题(本题共计10 小题,每题3 分,共计30分,)11. C是长为10cm的线段AB的黄金分割点(AC>BC),则AC=________.12. 如图,△ABC中,D是AB的黄金分割点(AD<BD),过点D作DE // BC交AC于E,若BC=3+√5,则DE=________.13. 美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.李老师身高165厘米,下半身长与身高的比值是0.6,为了尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为________(结果精确到0.1).14. 美是一种感觉,一矩形的长为6cm,宽为3cm,当矩形的宽与长的比值是黄金比值时,这样的矩形给人一种美感.试问长不变,宽增加________cm时,给人的美感效果最佳.15. 有些植物茎上,相邻两张叶子成137∘28′的角,这种角度使植物通风和采光的效果最佳,这一度数与________∘角成黄金比例.16. 要使点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC),那么线段AB、BC、AC应满足的数量关系是________.17. 若点P是AB的黄金分割点(AP<BP),则线段AP、BP、AB满足关系式________.18. 如果点P是线段AB的黄金分割点,且AP<PB,那么PB的值为________.PA19. 已知线段AB,点C是靠近B点的AB的黄金分割点.点G是靠近点A的黄金分割点,则AG=________.BC20. 报幕员在台上时,若站在黄金分割点处,会显得活泼而生动,已知舞台长10米,那么报幕员要至少走________米报幕.三、解答题(本题共计6 小题,共计60分,)21. 如图,在五角星图形中,AD=BC,C,D两点都是AB的黄金分割点,AB=1,求CD的长.22.(1)已知线段AB的长为2,P是AB的黄金分割点,求AP的长;(2)求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图,且使AP>PB.23. 在△ABC中,D为BC边上一点,过点D作DE//AB交AC与点E,连接BE.若BE= CD,∠C=∠ABE.(1)点D是线段BC的黄金分割点吗?请说明你的理由;(2)已知BC=1,计算黄金比.24. 如图,在线段AB上有一点C,若AC:CB=CB:AB,则称点C为AB的黄金分割点,现已知AB=1,点C是线段AB的黄金分割点(AC<BC),求BC的长.25. 在△ABC中,AB=AC,∠A=36∘,把像这样的三角形叫做黄金三角形.(1)请你设计三种不同的分法,将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形,使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形(画图工具不限,要求画出分割线段;标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数,不要求写画法,不要求证明.分别画在图1,图2,图3中)注:两种分法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的分法.(2)如图4中,BF平分∠ABC交AC于F,取AB的中点E,连接EF并延长交BC的延长线于M.试判断CM与AB之间的数量关系?只需说明结果,不用证明.答:CM与AB之间的数量关系是________.26. 如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BOC=108∘,过点C作直线CD分别交直线AB,OD=2.AB和⊙O于点D、E,连接OE,DE=12(1)求∠CDB的度数;(2)我们把有一个内角等于36∘的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比.(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割比√5−12①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由;②求弦CE的长;③在直线AB或CD上是否存在点P(点C、D除外),使△POE是黄金三角形?若存在,画出点P,简要说明画出点P的方法(不要求证明);若不存在,说明理由.参考答案一、选择题(本题共计10 小题,每题 3 分,共计30分)1.【答案】B【解答】解:由于P为线段AB=10的黄金分割点,且AP是较长线段;则AP=√5−12AB≈0.618AB=0.618×10=6.18.故选B.2.【答案】C【解答】解:∵ 点D是线段AB的一个黄金分割点,∵ AD2=BD⋅AB,∵ AD=AC=BC,∵ BC2=BD⋅AB,即BC:BD=AB:BC,而∠ABC=∠CBD,∵ △BCD∽△BAC,∵ ∠A=∠BCD,设∠A=x,则∠B=x,∠BCD=x,∵ ∠ADC=∠BCD+∠B=2x,而AC=AD,∵ ∠ACD=∠ADC=2x,∵ x+2x+x+x=180∘,解得x=36∘,即∠A=36∘.故选:C.3.【答案】D【解答】解:∵ AC>BC,∵ AC是较长的线段,根据黄金分割的定义可知:AB:AC=AC:BC,AC=√5−12AB,AB=√5+12AC,AC≈0.618AB.故选D.【答案】A【解答】解:设AB=x,BC=y.∵ △ABC中,AB=AC,∠A=36∘,∵ ∠ABC=∠ACB=72∘.∵ CD是角平分线,∵ ∠BCD=∠ACD=36∘.∵ AD=CD=BC=y,∵ BD=x−y.∵ ∠BCD=∠A=36∘,∠B=∠ACB=72∘,∵ △DBC∽△ABC.∵ ABBC =BCBD,即xy =yx−y,x2−xy−y2=0,x=1±√52y(负值舍去).则yx =√5−12.∵ △DBC与△ADC底边分别为BD,AD时,高度相等,∵ △DBC的面积与△ADC的面积的比值是:ADBD =yx=√5−12.故选:A.5.【答案】A【解答】把2米长的线段进行黄金分割,分成的较长线段的长=√5−12×2=√5−1,【答案】A【解答】解:∵ 点P是线段AB的黄金分割点,∵ PA=0.618AB=6.18.故选:A.7.【答案】C【解答】解:当AP>BP时,AP=√5−12×2=√5−1,PB=2−(√5−1)=3−√5,故选C.8.【答案】C【解答】解:∵ 点P是线段AB的黄金分割点,且AP>PB,∵ AP=√5−12AB,设AB=2,则AP=√5−1,BP=2−(√5−1)=3−√5,∵ APAB =√5−12;PB AP =√5√5−1=√5−12;PB AB =3−√52≠√5−12;√PB AB =√3−√52=√5−12.故选C.9.【答案】D【解答】解:根据题意,得图中的黄金三角形有△BMN、△CNF、△DFG、△EHG、△AMH、△ABN、△CBM、△CDG、△EDF、△AGE、△ACD、△BDE、△CEA、△DBA、△EBC,△NCD,△HDE,△AME,△ABH,△BCF,共20个.故选D10.【答案】C【解答】解:∵ AB=AC=1,∵ △ABC的周长为2+k;△BCD的周长为k+k+k2=k(2+k);△CDE的周长为k2+k2+k3=k2(2+k);依此类推,第2014个黄金三角形的周长为k2013(2+k);故选:C.二、填空题(本题共计10 小题,每题 3 分,共计30分)11.【答案】(5√5−5)cm【解答】解:∵ 点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),∵ AC=√5−12AB,∵ AB=10cm,∵ AC=(5√5−5)cm.故答案为:(5√5−5)cm.12.【答案】2【解答】解:∵ DE // BC,∵ △ADE∽△ABC,∵ DEBC =ADAB,∵ D是AB的黄金分割点(AD<BD),∵ BD=√5−12AB,∵ AD=AB−√5−12AB=3−√52AB,∵3+√5=3−√52,∵ DE=2.故答案为2.13.【答案】7.8cm 【解答】解:根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm,设需要穿的高跟鞋是ycm,则根据黄金分割的定义得:99+y165+y=0.618,解得:y≈7.8.故答案为7.8cm.14.【答案】(3√5−6)【解答】解:设宽增加xcm,根据题意得x+36=√5−12,解得x=3√5−6,即长不变,宽增加(3√5−6)cm时,给人的美感效果最佳.故答案为(3√5−6).15.【答案】84.95∘或222.44【解答】解:137∘28′≈137.467∘,137.467∘×0.618=84.95∘,137.467∘÷0.618=222.44∘,所以137∘28′与84.95∘或222.44∘的角成黄金比例.故答案为84.95∘或222.44.16.【答案】AB2=BC⋅AC【解答】解:∵ 点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC),∵ AB2=BC⋅AC.故答案为AB2=BC⋅AC.17.【答案】BP2=AB⋅AP 【解答】解:∵ 点P是AB的黄金分割点(AP<BP),∵ BP2=AB⋅AP.故答案为BP2=AB⋅AP.18.【答案】√5+12【解答】∵ 点P是线段AB的黄金分割点,且AP<PB,∵ PBPA =√5−13−√5=√5+12,19.【答案】1【解答】解:由题意得,AG=3−√52AB,BC=3−√52AB,∵ AGBC=1.故答案为:1.20.【答案】(15−5√5)【解答】解:报幕员要走的路程为:10×(1−√5−12)=15−5√5(米).故答案为:(15−5√5).三、解答题(本题共计6 小题,每题10 分,共计60分)21.【答案】解:∵ C、D两点都是AB的黄金分割点,∵ AC=BD=√5−12AB=√5−12,∵ AD=AC−CD=√5−12−CD,∵ AD=BC,∵ BC=√5−12−CD,而AC+BC=AB,∵ √5−12+√5−12−CD=1,∵ CD=√5−2.【解答】解:∵ C、D两点都是AB的黄金分割点,∵ AC=BD=√5−12AB=√5−12,∵ AD=AC−CD=√5−12−CD,∵ AD=BC,∵ BC=√5−12−CD,而AC+BC=AB,∵ √5−12+√5−12−CD=1,∵ CD=√5−2.22.【答案】解:(1)由于P为线段AB=2的黄金分割点,则AP=2×√5−12=√5−1,或AP=2−(√5−1)=3−√5;(2)如图,点P是线段AB的一个黄金分割点.【解答】解:(1)由于P为线段AB=2的黄金分割点,则AP=2×√5−12=√5−1,或AP=2−(√5−1)=3−√5;(2)如图,点P是线段AB的一个黄金分割点.23.【答案】解:(1)点D是线段BC的黄金分割点.证明:∵ ∠C=∠ABE,DE//AB,∵ ∠ABE=∠DEB,∵ ∠C=∠DEB.又∠EBD=∠CBE,∵ △EBD∼△CBE.∵ BEBC =BDBE,即BE2=BC⋅BD,又BE=CD,∵ CD2=BC⋅BD∵ D为线段BC的黄金分割点;(2)由(1)知,BDBC =CDBD,即BD2=BC⋅CD,∵ BD2=BC(BC−BD),即BD2=BC2−BC⋅BD,BC2−BC⋅BD+14BD2=54BD2,BC BD =√5+12,BD=√5−12.所以黄金比为√5−12.【解答】解:(1)点D是线段BC的黄金分割点.证明:∵ ∠C=∠ABE,DE//AB,∵ ∠ABE=∠DEB,∵ ∠C=∠DEB.又∠EBD=∠CBE,∵ △EBD∼△CBE.∵ BEBC =BDBE,即BE2=BC⋅BD,又BE=CD,∵ CD2=BC⋅BD∵ D为线段BC的黄金分割点;(2)由(1)知,BDBC =CDBD,即BD2=BC⋅CD,∵ BD2=BC(BC−BD),即BD2=BC2−BC⋅BD,BC2−BC⋅BD+14BD2=54BD2,BC BD =√5+12,BD=√5−12.所以黄金比为√5−12.24.【答案】解:∵ C为线段AB=1的黄金分割点,且AC<BC,BC为较长线段,∵ BC=√5−12AB=1×√5−12=√5−12.【解答】解:∵ C为线段AB=1的黄金分割点,且AC<BC,BC为较长线段,∵ BC=√5−12AB=1×√5−12=√5−12.25.【答案】解:(1)(2)CM=AB【解答】解:(1)(2)CM=AB26.【答案】AB,解:(1)∵ AB是⊙O的直径,DE=12∵ OA=OC=OE=DE,则∠EOD=∠CDB,∠OCE=∠OEC,设∠CDB=x,则∠EOD=x,∠OCE=∠OEC=2x,又∠BOC=108∘,∵ ∠CDB+∠OCD=108∘,∵ x+2x=108,x=36∘.∵ ∠CDB=36∘.(2)①有三个:△DOE,△COE,△COD.∵ OE=DE,∠CDB=36∘,∵ △DOE是黄金三角形;∵ OC=OE,∠COE=180∘−∠OCE−∠OEC=36∘.∵ △COE是黄金三角形;∵ ∠COB=108∘,∵ ∠COD=72∘;∵ ∠OCD=∠COD.∵ OD=CD,∵ △COD是黄金三角形;②∵ △COD是黄金三角形,∵ OCOD =√5−12,∵ OD=2,∵ OC=√5−1,∵ CD=OD=2,DE=OC=√5−1,∵ CE=CD−DE=2−(√5−1)=3−√5;③存在,有三个符合条件的点P1、P2、P3,如图所示,∵以OE为底边的黄金三角形:作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2;∵以OE为腰的黄金三角形:点P3与点A重合.【解答】解:(1)∵ AB是⊙O的直径,DE=12AB,∵ OA=OC=OE=DE,则∠EOD=∠CDB,∠OCE=∠OEC,设∠CDB=x,则∠EOD=x,∠OCE=∠OEC=2x,又∠BOC=108∘,∵ ∠CDB+∠OCD=108∘,∵ x+2x=108,x=36∘.∵ ∠CDB=36∘.(2)①有三个:△DOE,△COE,△COD.∵ OE=DE,∠CDB=36∘,∵ △DOE是黄金三角形;∵ OC=OE,∠COE=180∘−∠OCE−∠OEC=36∘.∵ △COE是黄金三角形;∵ ∠COB=108∘,∵ ∠COD=72∘;∵ ∠OCD=∠COD.∵ OD=CD,∵ △COD是黄金三角形;②∵ △COD是黄金三角形,∵ OCOD =√5−12,∵ OD=2,∵ OC=√5−1,∵ CD=OD=2,DE=OC=√5−1,∵ CE=CD−DE=2−(√5−1)=3−√5;③存在,有三个符合条件的点P1、P2、P3,如图所示,∵以OE为底边的黄金三角形:作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2;∵以OE为腰的黄金三角形:点P3与点A重合。
4.2 黄金分割 同步练习及答案
4.2 黄金分割 同步练习◆基础训练一、选择题1.若3a=4b ,则(a-b ):(a+b )的值是( ).A .17B .C .-17D .-7 2.已知P 是线段AB 上一点,且AP :PB=2:5,则AB :PB 等于( ).A .7:5B .5:2C .2:7D .5:73.已知线段AB ,点P 是它的黄金分割点,AP>BP ,设以AP 为边的正方形的面积为S 1,•以PB 、AB 为边的矩形面积为S 2,则S 1与S 2的关系是( ).A .S 1>S 2B .S 1<S 2C .S 1=S 2D .S 1≥S 2二、填空题4.若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ,则______,AB BC AC AB==_______. 5.等边△ABC 中,AD ⊥BC ,AB=4,则高AD 与边长AB 的比是______.三、解答题6.求下列各式中的x :(1)7:4=11:x ; (2)2:3=(5-x ):x .7.已知a b =112,a c c b a b c-+=-求证:.◆能力提高一、填空题8.在线段AB上取一点P,使AP:PB=1:3,则AP:AB=______,BC:PB=______.9.如图,已知3,(1)2AB AC BC CEAD AE DE AE===则:=______,(2)若BD=10cm,则AD=______;(3)若△ADE的周长为16cm,则△ABC的周长为_______.二、解答题10.已知两数4和8,试写出第三个数,使这三个数中,其中一个数是其余两个数的比例中项,那么第三个数是多少?11.在相同时刻的物高和影长成比例.已知上午9点时,高为1.5m的测杆的影长为2.5m,此时一古塔在地面的影长是50m,求古塔的高.如果上午10点时,1.5m•高的测杆的影长为2m,中午12点时,1.5m高的测杆的影长为1m,求古塔的影长是20m的时刻.◆拓展训练12.用厘米作为长度单位量一下几何作业本,求出长与宽的比.•如果你来设计作业本的大小,你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗?答案:1.A 2.A 3.C 4.1344,2 6.(1)227(2)x=3 7.由已知得ac-ab=ab-bc ,∴ac+bc=2ab ,∴2112a b ab c a b c+=+=即. 8.1:4,4:3 9.(1)52 (2)4cm (3)24cm10.2或16或±.30m ,中午12点 12.略.。
黄金分割专项练习题有答案
黄金分割专项练习30题(有答案)1.定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC?AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.2.如图,用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB>AD).(1)若这个矩形的面积等于99cm2,求AB的长度;(2)这个矩形的面积可能等于101cm2吗?若能,求出AB的长度,若不能,说明理由;(3)若这个矩形为黄金矩形(AD与AB之比等于黄金比),求该矩形的面积.(结果保留根号)3.定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC?AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.4.作一个等腰三角形,使得腰与底之比为黄金比.(1)尺规作图并保留作图痕迹;(2)写出你的作法;(3)证明:腰与底之比为黄金比.5.(1)已知线段AB的长为2,P是AB的黄金分割点,求AP的长;(2)求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图,且使AP>PB.6.如图,线段AB的长度为1.(1)线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB,求线段AC的长度;(选做)(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC,求线段AD的长度;(选做)(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD,求线段AE的长度;上面各题的结果反映了什么规律?(提示:在每一小题中设x和l)7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∠1=∠2,请问点D是不是线段AC的黄金分割点.请说明理由.8.在△ABC中,AB=AC=2,BC=﹣1,∠A=36°,BD平分∠ABC,交于AC于D.试说明点D是线段AC 的黄金分割点.9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形,如在矩形ABCD中,当时,称矩形ABCD为黄金矩形ABCD.请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.10.如图,设AB是已知线段,在AB上作正方形ABCD;取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使EF=EB;以线段AF为边作正方形AFGH.则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点,你能说出其中的道理吗?请试一试,说一说.11.如图,已知△ABC中,D是AC边上一点,∠A=36°,∠C=72°,∠ADB=108°.求证:(1)AD=BD=BC;(2)点D是线段AC的黄金分割点.12.已知AB=2,点C是AB的黄金分割线,点D在AB上,且AD2=BD?AB,求的值.13.如果一个矩形ABCD(AB<BC)中,≈,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE(如图),请问矩形ABFE是否是黄金矩形?请说明你的结论的正确性.14.五角星是我们常见的图形,如图所示,其中,点C,D分别是线段AB的黄金分割点,AB=20cm,求EC+CD的长.15.人的肚脐是人的身高的黄金分割点,一般来讲,当肚脐到脚底的长度与身高的比为时,是比较好看的黄金身段.一个身高的人,他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段(保留两位小数)?16.如图所示,以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求AM,DM的长;(2)点M是AD的黄金分割点吗?为什么?17.如图,点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,设以AP为边长的正方形面积为S1,以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2,试比较S1与S2的大小.18.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD延长线上的一点,且D为AE的黄金分割点,即,BE交DC于点F,已知,求CF的长.19.图1是一张宽与长之比为的矩形纸片,我们称这样的矩形为黄金矩形.同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠,折叠后再展开,可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC,那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗?若是,请根据图2证明你的结论;若不是,请说明理由.20.(如图1),点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果,那么称点P 为线段AB的黄金分割点,设=k,则k就是黄金比,并且k≈.(1)以图1中的AP为底,BP为腰得到等腰△APB(如图2),等腰△APB即为黄金三角形,黄金三角形的定义为:满足≈的等腰三角形是黄金三角形;类似地,请你给出黄金矩形的定义:;(2)如图1,设AB=1,请你说明为什么k约为;(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分(设S1<S2),如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(如图3),点P是线段AB的黄金分割点,那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗?请说明理由;(4)图3中的△ABC的黄金分割线有几条?21.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近,越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为,她的身高为,她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美?(精确到十分位)22.已知线段AB,按照如下的方法作图:以AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA到F,使EF=EB,以线段AF为边,作正方形AFGH,那么点H是线段AB的黄金分割点吗?请说明理由.23.如图,用纸折出黄金分割点:裁一张正方的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落到线段EA上,折出点B的新位置B′,因而EB′=EB.类似地,在AB上折出点B″使AB″=AB′.这时B″就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.24.如图,用纸折出黄金分割点:裁一张边长为2的正方形纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置F,因而EF=EB.类似的,在AB上折出点M使AM=AF.则M是AB的黄金分割点吗?若是请你证明,若不是请说明理由.25.如图,在△ABC中,点D在边AB上,且DB=DC=AC,已知∠ACE=108°,BC=2.(1)求∠B的度数;(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由;②求AD的长;③在直线AB或BC上是否存在点P(点A、B除外),使△PDC是黄金三角形?若存在,在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法(不要求证明);若不存在,说明理由.26.宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):第一步:作一个正方形ABCD;第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.27.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,把像这样的三角形叫做黄金三角形.(1)请你设计三种不同的分法,将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形,使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形(画图工具不限,要求画出分割线段;标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数,不要求写画法,不要求证明.分别画在图1,图2,图3中)注:两种分法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的分法.(2)如图4中,BF平分∠ABC交AC于F,取AB的中点E,连接EF并延长交BC的延长线于M.试判断CM与AB之间的数量关系?只需说明结果,不用证明.答:CM与AB之间的数量关系是.28.折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点:第一步:如图(1),先将一张正方形纸片ABCD对折,得到折痕EF;再折出矩形BCFE的对角线BF.第二步:如图(2),将AB边折到BF上,得到折痕BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点(AG>GD)29.三角形中,顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形,如图1,在△ABC中,已知:AB=AC,且∠A=36°.(1)在图1中,用尺规作AB的垂直平分线交AC于D,并连接BD(保留作图痕迹,不写作法);(2)△BCD是不是黄金三角形?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由;(3)设,试求k的值;(4)如图2,在△A1B1C1中,已知A1B1=A1C1,∠A1=108°,且A1B1=AB,请直接写出的值.30.如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EF∥AD,交DC于点F,显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线,使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点.黄金分割专项练习30题参考答案:1.(1)证明:∵AB=AC=1,∴∠ABC=∠C=(180°﹣∠A)=(180°﹣36°)=72°,∵BD平分∠ABC交AC于点D,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°,∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°,∴DA=DB,BD=BC,∴AD=BD=BC,易得△BDC∽△ABC,∴BC:AC=CD:BC,即BC2=CD?AC,∴AD2=CD?AC,∴点D是线段AC的黄金分割点;(2)设AD=x,则CD=AC﹣AD=1﹣x,∵AD2=CD?AC,∴x2=1﹣x,解得x1=,x2=,即AD的长为2.解:(1)设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得x(20﹣x)=99,整理得x2﹣20x+99=0,解得x1=9,x2=11,当x=9时,20﹣x=11;当x=11时,20﹣11=9,而AB>AD,所以x=11,即AB的长为11cm;(2)不能.理由如下:设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得x(20﹣x)=101,整理得x2﹣20x+101=0,因为△=202﹣4×101=﹣4<0,所以方程没有实数解,所以这个矩形的面积可能等于101cm2;(3)设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得20﹣x=x,解得x=10(﹣1),则20﹣x=10(3﹣),所以矩形的面积=10(﹣1)?10(3﹣)=(400﹣800)cm2.3.解:(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°,∴AD=BD,BC=BD,∴△ABC∽△BDC,∴=,即=,∴AD2=AC?CD.∴点D是线段AC的黄金分割点.(2)∵点D是线段AC的黄金分割点,∴AD=AC,∵AC=2,∴AD=﹣14.解:(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图,(2)作法:①画线段AB作为三角形底边;②取AB的一半作AB的垂线AC,连接BC,在BC上取CD=CA.③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧,交点为E;④分别连接EA、EB,则△ABE即是所求的三角形.(3)证明:设AB=2,则AC=1,BC=,AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1,=.5.解:(1)由于P为线段AB=2的黄金分割点,则AP=2×=﹣1,或AP=2﹣(﹣1)=3﹣;(2)如图,点P是线段AB的一个黄金分割点.6.解:(1)设AC=x,则BC=AB﹣AC=1﹣x,∵AC2=BC?AB,∴x2=1×(1﹣x),整理得x2+x﹣1=0,解得x1=,x2=(舍去),所以线段AC的长度为;(2)设线段AD的长度为x,AC=l,∵AD2=CD?AC,∴x2=l×(l﹣x),∴x1=,x2=(舍去),∴线段AD的长度AC;(3)同理得到线段AE的长度AD;上面各题的结果反映:若线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),则C点为AB的黄金分割点7.解:D是AC的黄金分割点.理由如下:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB==72°.∵∠1=∠2,∴∠1=∠2=∠ABC=36°.∴在△BDC中,∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°,∴∠C=∠BDC,∴BC=BD.∵∠A=∠1,∴AD=BC.∵△ABC和△BDC中,∠2=∠A,∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,∴,又∵AB=AC,AD=BC=BD,∴,∴AD2=AC?CD,即D是AC的黄金分割点8.证明:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=(180°﹣36°)=72°,∵BD平分∠ABC,交于AC于D,∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°,∴∠A=∠DBC,又∵∠C=∠C,∴△BCD∽△ABC,∴∵AB=AC,∴=,∵AB=AC=2,BC=﹣1,∴(﹣1)2=2×(2﹣AD),解得AD=,AD:AC=():2.∴点D是线段AC的黄金分割点.9.证明:在AB上截取AE=BC,DF=BC,连接EF.∵AE=BC,DF=BC,∴AE=DF=BC=AD,又∵∠ADF=90°,∴四边形AEFD是正方形.BE=,∴,∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比,矩形BCFE是黄金矩形.∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.10.解:设正方形ABCD的边长为2,在Rt△AEB中,依题意,得AE=1,AB=2,由勾股定理知EB===,∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1,HB=AB﹣AH=3﹣;∴AH2=()2=6﹣2,AB?HB=2×(3﹣)=6﹣2,∴AH2=AB?HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.11.证明:(1)∵∠A=36°,∠C=72°,∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°,∵∠ADB=108°,∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°,∴△ADB是等腰三角形,∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°,∴△BDC是等腰三角形,∴AD=BD=BC.(2)∵∠DBC=∠A=36°,∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,∴BC:AC=CD:BC,∴BC2=AC?DC,∵BC=AD,∴AD2=AC?DC,∴点D是线段AC的黄金分割点.12.解:∵D在AB上,且AD2=BD?AB,∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点,∴AC=AB=﹣1,AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1,AC=3﹣,∴CD=﹣1﹣(3﹣)=2﹣4,∴==或==.13.解:矩形ABFE是黄金矩形.∵AD=BC,DE=AB,∴==﹣1==.∴矩形ABFE是黄金矩形.14.解:∵D为AB的黄金分割点(AD>BD),∴AD=AB=10﹣10,∵EC+CD=AC+CD=AD,∴EC+CD=(10﹣10)cm.15.解:设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段,根据题意得x:=,即x=×≈(m).答:他的肚脐到脚底的长度为时才是黄金身段.16.解:(1)在Rt△APD中,AP=1,AD=2,由勾股定理知PD===,∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1,DM=AD﹣AM=3﹣.故AM的长为﹣1,DM的长为3﹣;(2)点M是AD的黄金分割点.由于=,∴点M是AD的黄金分割点.17.解:∵点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,∴AP2=BP×AB,又∵S1=AP2,S2=PB×AB,∴S1=S2.18.解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠CBF=∠AEB,∠BCF=∠BAE,∴△BCF∽△EAB,∴,即,把AD=,AB=+1代入得,=,解得:CF=2.故答案为:2.19.解:矩形EFDC是黄金矩形,证明:∵四边形ABEF是正方形,∴AB=DC=AF,又∵,∴,即点F是线段AD的黄金分割点.∴,∴,∴矩形CDFE是黄金矩形.20.解:(1)满足≈的矩形是黄金矩形;(2)由=k得,BP=1×k=k,从而AP=1﹣k,由得,BP2=AP×AB,即k2=(1﹣k)×1,解得k=,∵k>0,∴k=≈;(3)因为点P是线段AB的黄金分割点,所以,设△ABC的AB上的高为h,则,∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线.(4)由(2)知,在BC边上也存在这样的黄金分割点Q,则AQ也是黄金分割线,设AQ与CP交于点W,则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线,故黄金分割线有无数条.21.解:根据已知条件得下半身长是160×=96cm,设选择的高跟鞋的高度是xcm,则根据黄金分割的定义得:=,解得:x≈.故她应该选择左右的高跟鞋穿上看起来更美.22.解:设正方形ABCD的边长为2a,在Rt△AEB中,依题意,得AE=a,AB=2a,由勾股定理知EB==a,∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=(﹣1)a,HB=AB﹣AH=(3﹣)a;∴AH2=(6﹣2)a2,AB?HB=2a×(3﹣)a=(6﹣2)a2,∴AH2=AB?HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.23.证明:设正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,∴BE=1∴AE==,又∵B′E=BE=1,∴AB′=AE﹣B′E=﹣1,∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点.24.证明:∵正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,∴BE=1∴AE==,∵EF=BE=1,∴AF=AE﹣EF=﹣1,∴AM=AF=﹣1,∴AM:AB=(﹣1):2,∴点M是线段AB的黄金分割点.25.解:(1)∵BD=DC=AC.则∠B=∠DCB,∠CDA=∠A.设∠B=x,则∠DCB=x,∠CDA=∠A=2x.又∠BOC=108°,∴∠B+∠A=108°.∴x+2x=108,x=36°.∴∠B=36°;(2)①有三个:△BDC,△ADC,△BAC.∵DB=DC,∠B=36°,∴△DBC是黄金三角形,(或∵CD=CA,∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°.∴△CDA是黄金三角形.或∵∠ACE=108°,∴∠ACB=72°.又∠A=2x=72°,∴∠A=∠ACB.∴BA=BC.∴△BAC是黄金三角形.②△BAC是黄金三角形,∴,∵BC=2,∴AC=﹣1.∵BA=BC=2,BD=AC=﹣1,∴AD=BA﹣BD=2﹣(﹣1)=3﹣,③存在,有三个符合条件的点P1、P2、P3.ⅰ)以CD为底边的黄金三角形:作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2.ⅱ)以CD为腰的黄金三角形:以点C为圆心,CD为半径作弧与BC的交点为点P3.26.证明:在正方形ABCD中,取AB=2a,∵N为BC的中点,∴NC=BC=a.在Rt△DNC中,.又∵NE=ND,∴CE=NE﹣NC=(﹣1)a.∴.故矩形DCEF为黄金矩形.27.解:(1)(2)CM=AB(4分)28.证明:如图,连接GF,设正方形ABCD的边长为1,则DF=.在Rt△BCF中,BF==,则A′F=BF﹣BA′=﹣1.设AG=A′G=x,则GD=1﹣x,在Rt△A′GF和Rt△DGF中,有A'F2+A'G2=DF2+DG2,即,解得x=,即点G是AD的黄金分割点(AG>GD).29.解:(1)如图所示;(2)△BCD是黄金三角形.证明如下:∵点D在AB的垂直平分线上,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A.∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°,∴∠ABD=∠DBC=36°.又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴△BCD是黄金三角形.(3)设BC=x,AC=y,由(2)知,AD=BD=BC=x.∵∠DBC=∠A,∠C=∠C,∴△BDC∽△ABC,∴,即,整理,得x2+xy﹣y2=0,解得.因为x、y均为正数,所以.(4).理由:延长BC到E,使CE=AC,连接AE.∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ACB=∠B=72°,∴∠ACE=180°﹣72°=108°,∴∠ACE=∠B1A1C1.∵A1B1=AB,∴AC=CE=A1B1=A1C1,∴△ACE≌△B1A1C1,∴AE=B1C1.由(3)知,∴,,∴.30.解:(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设△ABC的边AB上的高为h.则,,,∴,.又∵点D为边AB的黄金分割点,∴,∴.故直线CD是△ABC的黄金分割线.(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,∴,即,故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.(3)∵DF∥CE,∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等,∴S△DFC=S△DFE,∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF,S△BDC=S四边形BEFC.又∵,∴.因此,直线EF也是△ABC的黄金分割线.(7分)(4)画法不惟一,现提供两种画法;画法一:如答图1,取EF的中点G,再过点G作一条直线分别交AB,DC于M,N点,则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线.画法二:如答图2,在DF上取一点N,连接EN,再过点F作FM∥NE交AB于点M,连接MN,则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线.(9分)。
黄金分割及答案
黄金分割(一)、主要知识点: 1.黄金分割的定义在线段AB 上,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果ACBCAB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.其中215-=AB AC ≈0.618. ABC推导黄金比过程。
设AB=1,AC=x ,则BC=1-x ,所以xxx -=11,即x x -=12,用配方法解得x=215-≈0.618 . 注意:(1)一条线段有2个黄金分割点。
(2)较长线段较短线段原线段较长线段黄金比==(3)宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形 (4)黄金分割点把线段分成一长一短,则较长线段较短线段原线段较长线段=,即:点C 是线段AB 的黄金分割点:①若AC>BC,则ACBCAB AC = ;②若AC<BC,则BCACAB BC = . 2.如何作一条线段的黄金分割点. 如图,已知线段AB ,按照如下方法作图:(1)经过点B 作BD ⊥AB ,使BD=21AB. (2)连接AD ,在DA 上截取DE=DB.(3)在AB 上截取AC=AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点.作图原理:可设AB=1,,则BD=21,则由勾股定理可知25=AD .可进一步求出AE, AC.从而解决问题。
3.比例的基本性质:如果a b cd =,那么ad=bc ,逆命题也成立。
4.合比性质:如果a b c d =,那么a b b c d d +=+;如果a b c d =,那么a b b c dd -=-。
5.等比性质:如果a b c d ==……=mn(b +d +……+n ≠0);那么,a c m b d n ab ++++++=(二)、典型习题: 一、选择题1.等边三角形的一边与这边上的高的比是_________. A .3∶2 B .3∶1 C .2∶3 D .1∶32.下列各组中的四条线段成比例的是_________. A .a =2,b =3,c =2,d =3 B .a =4,b =6,c =5,d =10 C .a =2,b =5,c =23,d =15 D .a =2,b =3,c =4,d =13.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ,把它改写成比例式,错误的是_________. A .a ∶d =c ∶b B .a ∶b =c ∶dC .d ∶a =b ∶cD .a ∶c =d ∶b4.若ac =bd ,则下列各式一定成立的是_________.A .d c b a =B .c c b d d a +=+C .c d b a =22D .dacd ab =5.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM >BM ),则下列各式中不正确的是_________.A .AM ∶BM =AB ∶AM B .AM =215-AB C .BM =215-AB D .AM ≈0.618AB 二、填空题6.在1∶500000的地图上,A 、B 两地的距离是64 cm ,则这两地间的实际距离是________.7.正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________. 8.若2x -5y =0,则y ∶x =________,xyx +=________. 9.若53=-b b a ,则b a=________. 10.若AE ACAD AB =,且AB =12,AC =3,AD =5,则AE =________. 三、解答题 11.已知342=+x y x ,求y x .12.在同一时刻物高与影长成比例,如果一古塔在地面上的影长为50 m ,同时高为1.5 m 的测杆的影长为2.5 m ,那么古塔的高是多少?13.在△ABC 中,D 是BC 上一点,若AB =15 cm ,AC =10 cm ,且BD ∶DC =AB ∶AC ,BD -DC =2 cm ,求B C .14.如果一个矩形ABCD (AB <BC )中,215-=BC AB ≈0.618,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ,得到一个小矩形ABFE (如图1),请问矩形ABFE 是否是黄金矩形?请说明你的结论的正确性.分式(一)、主要知识点: 1.分式的定义分母中含有字母的式子叫做分式,成立的条件:分母不为0 。
黄金分割专项练习题有答案
黄金分割专项练习30题(有答案)1.定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC•AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC 中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.2.如图,用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB>AD).(1)若这个矩形的面积等于99cm2,求AB的长度;(2)这个矩形的面积可能等于101cm2吗?若能,求出AB的长度,若不能,说明理由;(3)若这个矩形为黄金矩形(AD与AB之比等于黄金比),求该矩形的面积.(结果保留根号)3.定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC•AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.4.作一个等腰三角形,使得腰与底之比为黄金比.(1)尺规作图并保留作图痕迹;(2)写出你的作法;(3)证明:腰与底之比为黄金比.5.(1)已知线段AB的长为2,P是AB的黄金分割点,求AP的长;(2)求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图,且使AP>PB.6.如图,线段AB的长度为1.(1)线段AB上的点C满足系式AC2=BC•AB,求线段AC的长度;(选做)(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD•AC,求线段AD的长度;(选做)(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE•AD,求线段AE的长度;上面各题的结果反映了什么规律?(提示:在每一小题中设x和l)7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∠1=∠2,请问点D是不是线段AC的黄金分割点.请说明理由.8.在△ABC中,AB=AC=2,BC=﹣1,∠A=36°,BD平分∠ABC,交于AC于D.试说明点D是线段AC的黄金分割点.9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形,如在矩形ABCD中,当时,称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD.请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.10.如图,设AB是已知线段,在AB上作正方形ABCD;取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使EF=EB;以线段AF为边作正方形AFGH.则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点,你能说出其中的道理吗?请试一试,说一说.11.如图,已知△ABC中,D是AC边上一点,∠A=36°,∠C=72°,∠ADB=108°.求证:(1)AD=BD=BC;(2)点D是线段AC的黄金分割点.12.已知AB=2,点C是AB的黄金分割线,点D在AB上,且AD2=BD•AB,求的值.13.如果一个矩形ABCD(AB<BC)中,≈0.618,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE(如图),请问矩形ABFE是否是黄金矩形?请说明你的结论的正确性.14.五角星是我们常见的图形,如图所示,其中,点C,D分别是线段AB的黄金分割点,AB=20cm,求EC+CD 的长.15.人的肚脐是人的身高的黄金分割点,一般来讲,当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时,是比较好看的黄金身段.一个身高1.70m的人,他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段(保留两位小数)?16.如图所示,以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求AM,DM的长;(2)点M是AD的黄金分割点吗?为什么?17.如图,点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,设以AP为边长的正方形面积为S1,以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2,试比较S1与S2的大小.18.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD延长线上的一点,且D为AE的黄金分割点,即,BE交DC于点F,已知,求CF的长.19.图1是一张宽与长之比为的矩形纸片,我们称这样的矩形为黄金矩形.同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠,折叠后再展开,可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC,那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗?若是,请根据图2证明你的结论;若不是,请说明理由.20.(如图1),点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果,那么称点P为线段AB的黄金分割点,设=k,则k就是黄金比,并且k≈0.618.(1)以图1中的AP为底,BP为腰得到等腰△APB(如图2),等腰△APB即为黄金三角形,黄金三角形的定义为:满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形;类似地,请你给出黄金矩形的定义:;(2)如图1,设AB=1,请你说明为什么k约为0.618;(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分(设S1<S2),如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(如图3),点P是线段AB的黄金分割点,那么直线CP是△AB C的黄金分割线吗?请说明理由;(4)图3中的△ABC的黄金分割线有几条?21.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618,越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60m,她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美?(精确到十分位)22.已知线段AB,按照如下的方法作图:以AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA到F,使EF=EB,以线段AF为边,作正方形AFGH,那么点H是线段AB的黄金分割点吗?请说明理由.23.如图,用纸折出黄金分割点:裁一张正方的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落到线段EA上,折出点B的新位置B′,因而EB′=EB.类似地,在AB上折出点B″使AB″=AB′.这时B″就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.24.如图,用纸折出黄金分割点:裁一张边长为2的正方形纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置F,因而EF=EB.类似的,在AB上折出点M使AM=AF.则M是AB的黄金分割点吗?若是请你证明,若不是请说明理由.25.如图,在△ABC中,点D在边AB上,且DB=DC=AC,已知∠ACE=108°,BC=2.(1)求∠B的度数;(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由;②求AD的长;③在直线AB或BC上是否存在点P(点A、B除外),使△PDC是黄金三角形?若存在,在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法(不要求证明);若不存在,说明理由.26.宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):第一步:作一个正方形ABCD;第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.27.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,把像这样的三角形叫做黄金三角形.(1)请你设计三种不同的分法,将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形,使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形(画图工具不限,要求画出分割线段;标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数,不要求写画法,不要求证明.分别画在图1,图2,图3中)(2)如图4中,BF平分∠ABC交AC于F,取AB的中点E,连接EF并延长交BC的延长线于M.试判断CM 与AB之间的数量关系?只需说明结果,不用证明.答:CM与AB之间的数量关系是.28.折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点:第一步:如图(1),先将一张正方形纸片ABCD对折,得到折痕EF;再折出矩形BCFE的对角线BF.第二步:如图(2),将AB边折到BF上,得到折痕BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点(AG>GD)29.三角形中,顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形,如图1,在△ABC中,已知:AB=AC,且∠A=36°.(1)在图1中,用尺规作AB的垂直平分线交AC于D,并连接BD(保留作图痕迹,不写作法);(2)△BCD是不是黄金三角形?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由;(3)设,试求k的值;(4)如图2,在△A1B1C1中,已知A1B1=A1C1,∠A1=108°,且A1B1=AB,请直接写出的值.30.如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EF∥AD,交DC于点F,显然直线EF 是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线,使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点.黄金分割专项练习30题参考答案:1.(1)证明:∵AB=AC=1,∴∠ABC=∠C=(180°﹣∠A)=(180°﹣36°)=72°,∵BD平分∠ABC交AC于点D,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°,∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°,∴DA=DB,BD=BC,∴AD=BD=BC,易得△BDC∽△ABC,∴BC:AC=CD:BC,即BC2=CD•AC,∴AD2=CD•AC,∴点D是线段AC的黄金分割点;(2)设AD=x,则CD=AC﹣AD=1﹣x,∵AD2=CD•AC,∴x2=1﹣x,解得x1=,x2=,即AD的长为2.解:(1)设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得x(20﹣x)=99,整理得x2﹣20x+99=0,解得x1=9,x2=11,当x=9时,20﹣x=11;当x=11时,20﹣11=9,而AB>AD,所以x=11,即AB的长为11cm;(2)不能.理由如下:设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得x(20﹣x)=101,整理得x2﹣20x+101=0,因为△=202﹣4×101=﹣4<0,所以方程没有实数解,所以这个矩形的面积可能等于101cm2;(3)设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得20﹣x=x,解得x=10(﹣1),则20﹣x=10(3﹣),所以矩形的面积=10(﹣1)•10(3﹣)=(400﹣800)cm2.∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°,∴AD=BD,BC=BD,∴△ABC∽△BDC,∴=,即=,∴AD2=AC•CD.∴点D是线段AC的黄金分割点.(2)∵点D是线段AC的黄金分割点,∴AD=AC,∵AC=2,∴AD=﹣14.解:(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图,(2)作法:①画线段AB作为三角形底边;②取AB的一半作AB的垂线AC,连接BC,在BC上取CD=CA.③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧,交点为E;④分别连接EA、EB,则△ABE即是所求的三角形.(3)证明:设AB=2,则AC=1,BC=,AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1,=.5.解:(1)由于P为线段AB=2的黄金分割点,则AP=2×=﹣1,或AP=2﹣(﹣1)=3﹣;(2)如图,点P是线段AB的一个黄金分割点.6.解:(1)设AC=x,则BC=AB﹣AC=1﹣x,∵AC2=BC•AB,∴x2=1×(1﹣x),整理得x2+x﹣1=0,解得x1=,x2=(舍去),所以线段AC的长度为;(2)设线段AD的长度为x,AC=l,∵AD2=CD•AC,∴x2=l×(l﹣x),∴x1=,x2=(舍去),∴线段AD的长度AC;(3)同理得到线段AE的长度AD;上面各题的结果反映:若线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),则C点为AB的黄金分割点7.解:D是AC的黄金分割点.理由如下:∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB==72°.∵∠1=∠2,∴∠1=∠2=∠ABC=36°.∴在△BDC中,∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°,∴∠C=∠BDC,∴BC=BD.∵∠A=∠1,∴AD=BC.∵△ABC和△BDC中,∠2=∠A,∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,∴,又∵AB=AC,AD=BC=BD,∴,∴AD2=AC•CD,即D是AC的黄金分割点8.证明:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=(180°﹣36°)=72°,∵BD平分∠ABC,交于AC于D,∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°,∴∠A=∠DBC,又∵∠C=∠C,∴△BCD∽△ABC,∴∵AB=AC,∴=,∵AB=AC=2,BC=﹣1,∴(﹣1)2=2×(2﹣AD),解得AD=,AD:AC=():2.∴点D是线段AC的黄金分割点.9.证明:在AB上截取AE=BC,DF=BC,连接EF.∵AE=BC,DF=BC,∴AE=DF=BC=AD,又∵∠ADF=90°,∴四边形AEFD是正方形.BE=,∴,∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比,矩形BCFE是黄金矩形.∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.10.解:设正方形ABCD的边长为2,在Rt△AEB中,依题意,得AE=1,AB=2,由勾股定理知EB===,∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1,HB=AB﹣AH=3﹣;∴AH2=()2=6﹣2,AB•HB=2×(3﹣)=6﹣2,∴AH2=AB•HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.11.证明:(1)∵∠A=36°,∠C=72°,∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°,∵∠ADB=108°,∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°,∴△ADB是等腰三角形,∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°,∴△BDC是等腰三角形,∴AD=BD=BC.(2)∵∠DBC=∠A=36°,∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC,∴BC:AC=CD:BC,∴BC2=AC•DC,∵BC=AD,∴AD2=AC•DC,∴点D是线段AC的黄金分割点.12.解:∵D在AB上,且AD2=BD•AB,∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点,∴AC=AB=﹣1,AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1,AC=3﹣,∴CD=﹣1﹣(3﹣)=2﹣4,∴==或==.13.解:矩形ABFE是黄金矩形.∵AD=BC,DE=AB,∴==﹣1==.∴矩形ABFE是黄金矩形.14.解:∵D为AB的黄金分割点(AD>BD),∴AD=AB=10﹣10,∵EC+CD=AC+CD=AD,∴EC+CD=(10﹣10)cm.15.解:设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段,根据题意得x:1.70=0.618,即x=1.70×0.618≈1.1(m).答:他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段.16.解:(1)在Rt△APD中,AP=1,AD=2,由勾股定理知PD===,∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1,DM=AD﹣AM=3﹣.故AM的长为﹣1,DM的长为3﹣;(2)点M是AD的黄金分割点.由于=,∴点M是AD的黄金分割点.17.解:∵点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,∴AP2=BP×AB,又∵S1=AP2,S2=PB×AB,∴S1=S2.18.解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠CBF=∠AEB,∠BCF=∠BAE,∴△BCF∽△EAB,∴,即,把AD=,AB=+1代入得,=,解得:CF=2.故答案为:2.19.解:矩形EFDC是黄金矩形,证明:∵四边形ABEF是正方形,∴AB=DC=AF,又∵,∴,即点F是线段AD的黄金分割点.∴,∴,∴矩形CDFE是黄金矩形.20.解:(1)满足≈0.618的矩形是黄金矩形;(2)由=k得,BP=1×k=k,从而AP=1﹣k,由得,BP2=AP×AB,即k2=(1﹣k)×1,解得k=,∵k>0,∴k=≈0.618;(3)因为点P是线段AB的黄金分割点,所以,设△ABC的AB上的高为h,则,∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线.(4)由(2)知,在BC边上也存在这样的黄金分割点Q,则AQ也是黄金分割线,设AQ与CP交于点W,则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线,故黄金分割线有无数条.21.解:根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm,设选择的高跟鞋的高度是xcm,则根据黄金分割的定义得:=0.618,解得:x≈7.5cm.故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美.22.解:设正方形ABCD的边长为2a,在Rt△AEB中,依题意,得AE=a,AB=2a,由勾股定理知EB==a,∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=(﹣1)a,HB=AB﹣AH=(3﹣)a;∴AH2=(6﹣2)a2,AB•HB=2a×(3﹣)a=(6﹣2)a2,∴AH2=AB•HB,所以点H是线段AB的黄金分割点.23.证明:设正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,∴BE=1∴AE==,又∵B′E=BE=1,∴AB′=AE﹣B′E=﹣1,∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点.24.证明:∵正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,∴BE=1∴AE==,∵EF=BE=1,∴AF=AE﹣EF=﹣1,∴AM=AF=﹣1,∴AM:AB=(﹣1):2,∴点M是线段AB的黄金分割点.25.解:(1)∵BD=DC=AC.则∠B=∠DCB,∠CDA=∠A.设∠B=x,则∠DCB=x,∠CDA=∠A=2x.又∠BOC=108°,∴∠B+∠A=108°.∴x+2x=108,x=36°.∴∠B=36°;(2)①有三个:△BDC,△ADC,△BAC.∵DB=DC,∠B=36°,∴△DBC是黄金三角形,(或∵CD=CA,∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°.∴△CDA是黄金三角形.或∵∠ACE=108°,∴∠ACB=72°.又∠A=2x=72°,∴∠A=∠ACB.∴BA=BC.∴△BAC是黄金三角形.②△BAC是黄金三角形,∴,∵BC=2,∴AC=﹣1.∵BA=BC=2,BD=AC=﹣1,∴AD=BA﹣BD=2﹣(﹣1)=3﹣,③存在,有三个符合条件的点P1、P2、P3.ⅰ)以CD为底边的黄金三角形:作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2.ⅱ)以CD为腰的黄金三角形:以点C为圆心,CD为半径作弧与BC的交点为点P3.26.证明:在正方形ABCD中,取AB=2a,∵N为BC的中点,∴NC=BC=a.在Rt△DNC中,.又∵NE=ND,∴CE=NE﹣NC=(﹣1)a.∴.故矩形DCEF为黄金矩形.27.解:(1)(2)CM=AB(4分)28.证明:如图,连接GF,设正方形ABCD的边长为1,则DF=.在R t△BCF中,BF==,则A′F=BF﹣BA′=﹣1.设AG=A′G=x,则GD=1﹣x,在Rt△A′GF和Rt△DGF中,有A'F2+A'G2=DF2+DG2,即,解得x=,即点G是AD的黄金分割点(AG>GD).29.解:(1)如图所示;(2)△BCD是黄金三角形.证明如下:∵点D在AB的垂直平分线上,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A.∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°,∴∠ABD=∠DBC=36°.又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴△BCD是黄金三角形.(3)设BC=x,AC=y,由(2)知,AD=BD=BC=x.∵∠DBC=∠A,∠C=∠C,∴△BDC∽△ABC,∴,即,整理,得x2+xy﹣y2=0,解得.因为x、y均为正数,所以.(4).理由:延长BC到E,使CE=AC,连接AE.∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ACB=∠B=72°,∴∠ACE=180°﹣72°=108°,∴∠ACE=∠B1A1C1.∵A1B1=AB,∴AC=CE=A1B1=A1C1,∴△ACE≌△B1A1C1,∴AE=B1C1.由(3)知,∴,,∴.30.解:(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:设△ABC的边AB上的高为h.则,,,∴,.又∵点D为边AB的黄金分割点,∴,∴.故直线CD是△ABC的黄金分割线.(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,∴,即,故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.(3)∵DF∥CE,∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等,∴S△DFC=S△DFE,∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF,S△BDC=S四边形BEFC.又∵,∴.因此,直线EF也是△ABC的黄金分割线.(7分)(4)画法不惟一,现提供两种画法;画法一:如答图1,取EF的中点G,再过点G作一条直线分别交AB,DC于M,N点,则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线.画法二:如答图2,在DF上取一点N,连接EN,再过点F作FM∥NE交AB于点M,连接MN,则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线.(9分)。
苏科版九年级数学下册黄金分割同步练习
6.2黄金分割A组题1、点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,若AB=2cm,则BC ≈cm。
(精确到0.1cm)≈2、顶角为的等腰三角形称为黄金三角形,等腰△ABC中,若∠A=360,则BCAB3、研究表明:标准人体的黄金分割点是人的肚脐,请你计算身高180cm的人,如果肚脐是黄金分割点,那头顶到肚脐的长度约为cm。
(精确到1c m)4、已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),那么AC是线段与的比例中项,若AC=10cm,则BC约为cm。
(精确到0.1cm)5、已知点C是线段的黄金分割点,且AC>BC,则下列等式中成立的是()A、2AB AC BCCB AC AB=•=•B、2C、2=•AC AB BCAC BC AB=•D、226、如图,点C是线段AB的黄金分割点,矩形ABFD的宽与长的比等于黄金比,则下列结论中错误的是DA()A、四边形ACED是正方形B、矩形CBFE是黄金矩形C、EC与EF之比是黄金比D、EC与DF之比是黄金比7、下列说法中正确的是()A、如果一条线段是另两条线段的比例中项,那么这三条线段构成黄金比;B、一条线段上的黄金分割点只有一个;;C、黄金分割比是512D、黄金分割比就是我们看上去舒服的比。
8、科学研究表明:当人的下肢长度与身高的比约为0.618时,看起来最美。
若某成年女士身高为153cm,下肢长为92cm,则该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少cm?(精确到0.1cm)9、如图,电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB长为20米,试计算主持人应走到离A点至少多少米处是最自然得体的位置?(结果精确到0.1米)10、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,AC=BD=BC。
①求∠ABC的度数;②图中有多少个黄金三角形?把它们一一写出来。
11、如图,△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线交AC于D,交AB于E,且AE=BC。
黄金分割同步练习-2021-2022学年九年级数学沪教版(上海)上册(含答案)
24.2.2黄金分割一、单选题(共10小题).1.已知,P 是线段AB 上的点,且AP 2=BP•AB ,那么AP :AB 的值是( )A B 352 C D 2.已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC >BC ),则AC :AB=( )A .1):2B .1):2+C .(3:2D .(3:2 3.已知如图,点 C 是线段 AB 的黄金分割点(AC >BC ),则下列结论中正确的是( )A .AB 2=AC 2+BC 2B .BC 2=AC•BAC .BC AC =D .AC BC =4.点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP PB >,下列命题:()()()()2221AB AP PB 2AP PB AB 3BP AP AB 4AP :AB PB :AP =⋅=⋅=⋅=,中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个 5.如图,已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点,且 PA>PB ,若 S 1 表示以 PA 为边的正方形的面积,S 2表示长 为 AB 、宽为 PB 的矩形的面积,则( )A .S 1=S 2B .S 1>S 2C .S 1<S 2D .无法确定 S 1和 S 2的大小 6.已知点C 在线段AB 上,且点C 是线段AB 的黄金分割点(AC >BC ),则下列结论正确的是( )A .AB 2=AC•BC B .BC 2=AC•BC C ..BC= AB 7.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图,某女士身高165cm ,下半身长x 与身高l 的比值是0.60,为尽可能达到美的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A .4cmB .6cmC .8cmD .10cm8.有以下命题: ①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项,则有a c b d=. ②如果点C 是线段AB 的中点,那么AC 是AB 、BC 的比例中项.③如果点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC >BC ,那么AC 是AB 与BC 的比例中项. ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点,AC >BC ,且AB=2,则AC=﹣1.其中正确的判断有( )A .1个B .2个C .3个D .4个9.已知点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP PB >的是( )A .AP AB B .PB APC .PB ABD 10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点G 将一线段MN 分为两线段MG ,GN ,使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的段GN 的比例中项,即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割”数,把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点.如图,在ABC 中,已知3AB AC ==,4BC =,若D ,E 是边BC 的两个“黄金分割”点,则ADE 的面积为( )A .10-B .5-CD .20-二、填空题 11.已知线段AB =10cm ,点P 是线段AB 的黄金分割点,且AP >PB ,则AP≈_____cm .12.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,若AB=2,则AC=_________.13.一名主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台AB长为20m,这名主持人现在站在A处(如图所示),则它应至少再走_____m才最理想.(可保留根号). 14.已知点P是线段AB的黄金分割点,AB=4厘米,则较短线段AP的长是______厘米.15.五角星是我们生活中常见的一种图形,如图,C,D为线段AB的黄金分割点,AB=2,则五边形CDEFG的周长为____.三、解答题AB=,两个端点A、B固定在乐器板面上,支撑点C 16.如图,乐器上的一根弦80cm是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,求C、D之间的距离.17.已知:如图,线段AB=2,BD⊥AB于点B,且BD=1AB,在DA上截取DE=DB.在2AB上截取AC=AE.求证:点C是线段AB的黄金分割点.18,则称这个矩形为黄金矩形,如图,将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后,剩余的矩形BCFE(BC>BE)是黄金矩形,则原矩形ABCD是否为黄金矩形?请说明理由.参考答案1.A2.A3.C4.B5.A6.D7.C8.B9.C10.A11.6.1812113.(30﹣)14.15.16.(160)cm.17.证明:∵AB=2,BD=1AB,2∴BD=1.∵BD⊥AB于点B,∴AD=,∴AE=AD﹣DE1,∴AC=AE1,∴AC AB,∴点C就是线段AB的黄金分割点.18.解:原矩形ABCD是为黄金矩形.理由如下:设矩形BCFE的长BC为x,∵四边形BCFE为黄金矩形,∴宽FC x,∵四边形AEFD是正方形,∴x,则BCAB==∴原矩形ABCD是为黄金矩形.。
黄金分割同步练习及答案 (7)
黄金分割同步练习(典型题汇总)1.知道并理解黄金分割的定义,熟记黄金比;2.能对黄金分割进行简单运用.(重点、难点)一、情景导入生活中我们见到过许许多多的图形,形态各异,美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗?比如,下图是一个五角星图案,如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ,使得画出的图形匀称美观呢?二、合作探究探究点一:黄金分割的有关概念已知M 是线段AB 的黄金分割点,MA 是被分线段AB 中较长的线段,且MA =5-1,求原线段AB 的长.解析:由于M 是黄金分割点,根据黄金比=较长线段原线段=5-12,可求出原线段长.解:因为M 是线段AB 的黄金分割点,且MA >MB , 所以MAAB =5-12,所以AB =25-1·MA =25-1×(5-1)=2. 方法总结:把一条线段黄金分割后,原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比值关系,只要知道其中一条线段的长度,就可以求出另外两条线段的长度.已知线段AB =6,点C 为线段AB 的黄金分割点,求下列各式的值: (1)AC -BC ;(2)AC ·BC .解析:黄金分割点是线段上一个点,这个点把线段分成一长一短两部分,由题意可知较长的线段是原线段的5-12,并且在一条线段上有两个黄金分割点. 解:若AC >BC ,如图,则AC =5-12AB =5-12×6=35-3,所以BC =AB -AC =6-(35-3)=9-3 5.(1)AC -BC =35-3-(9-35)=35-3-9+35=65-12;CBA(2)AC·BC =(35-3)×(9-35)=275-45-27+95=365-72. 若AC <BC ,如图.(1)AC -BC =12-65; (2)AC ·BC =365-72. 易错提醒:注意一条线段有两个黄金分割点,因此题中未指出黄金分割点离哪个端点较近时,要分情况讨论.探究点二:黄金分割的应用在人体躯干与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60m ,她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美?解析:想要看起来更美,则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比,此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离,再求高跟鞋的高度.解:设肚脐到脚底的距离为x m ,根据题意,得x1.60=0.60,解得x =0.96.设穿上y m 高的高跟鞋看起来会更美,则y +0.961.60+y=0.618.解得y ≈0.075,而0.075m =7.5cm.故她应该穿约为7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美.易错提醒:要准确理解黄金分割的概念,较长线段的长是全段长的0.618.注意此题中全段长是身高与高跟鞋鞋高之和.三、板书设计黄金分割⎩⎪⎨⎪⎧定义:一般地,点C 把线段AB 分成两条线段AC和BC ,如果AC AB =BC AC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割黄金分割点:一条线段有两个黄金分割点黄金比:较长线段:原线段=5-12:1经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程,通过问题情境的创设和解决过程,体会黄金分割的文化价值,在应用中进一步理解相关内容,在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心.感受数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的兴趣.黄金分割同步练习(典型题汇总)一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C BA CB A C.AB 与AC 的比叫做黄金比; D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( ) A.12 B.12 C.12D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.12,12B.12,12; C.12,12; D.12,126.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( ) A.12 B.1211 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB ,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.CBA四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.D CBA七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比3.12黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP=,××2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB,因为AB=1,所以所以AC-BC=12-32-六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB =12,BD AB=12因为AB=1,所以AC=12,BD=12,所以因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。
苏科版九年级下6.2黄金分割同步练习及答案
第2课时黄金分割1.(1)如图,若点C是AB的黄金分割点,AB=1,则AC≈_______,BC≈_______.(2)-条线段的黄金分割点有_______个.2.据有关实验测定,当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时,人体感到最舒适.这个气温约为_______℃(精确到1℃).3.我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的正面是一个黄金矩形.若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽约等于_______.(精确到0.1)4.已知P为线段AB的黄金分割点,且AP<PB,则( )A.AP2=AB·PB B.AB2=AP·PBC.PB2=AP·AB D.AP2+BP2=AB25.在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20 cm,则它的宽约为( )A.12.36 cm B.13.6 cm C.32.36 cm D.7.64 cm6.如图,为什么翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚尖?为什么身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋?为什么她们会给人和谐、平衡、舒适和美的感觉?请利用“黄金分割”的知识加以解释.7.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),那么AC是线段_______与_______的比例中项,若AC=10 cm,则BC约为_______cm.8.如图,电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台AB 的长为20 m,则主持人应走到离A点至少_______m处最合适.(结果精确到0.1 m)9.美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0. 618时,越给人一种美感.如图,某女士身高165 cm,下半身长x与身高l的比值是0. 60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A .4 cmB .6 cmC .8 cmD .10 cm10.已知线段AB ,点P 是它的黄金分割点,AP>BP ,设以AP 为边的正方形的面积为S 1,以PB 、AB 为边的矩形的面积为S 2,则S 1与S 2的关系是 ( )A .S 1>S 2B .S 1<S 2C .S 1=S 2D .S 1≥S 211.(2019 昆明)如图,将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠,使点D 落在AB 边的中点E 处,折痕为FH ,点C 落在Q 处,EQ 与BC 交于点G ,则△EBG 的周长是 cm12.(2019怀化)如图,D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的中点,则S △ADE :S △ABC = .13.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD =DC ,AC =BD =BC ,试问:图中有多少个黄金三角形?为什么?14.如图,在△ABC 中,AB =AC ,AC 的垂直平分线交AC 于点D ,交AB 于点E ,若AE=BC ,则点E 是线段AB 的黄金分割点吗?说明你的理由.15.市政府圈出一块地作为市民广场,广场形状为黄金矩形,现小红在比例尺为1:38 000的地图上量得该矩形的宽为1.236 cm ,请你帮小红算一算,若用50 cm ×50 cm 的地砖铺广场,大约需多少块?第14题图Q H G F E D C BA参考答案1.(1)0.618 0.382 (2)2 2.23 3.3.7 4.C 5.A 6.略7.AB BC 6.18 8.7.6 9.C 10.C11.1212.1:413.4个14.点E是线段AB的黄金分割点15.约142.8万块。
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黄金分割同步练习
(典型题汇总)
1.知道并理解黄金分割的定义,熟记黄金比;
2.能对黄金分割进行简单运用.(重点、难点)
一、情景导入
生活中我们见到过许许多多的图形,形态各异,美观大方.那么这些漂亮的图形你能画出来吗?比如,下图是一个五角星图案,如何找点C 把AB 分成两段AC 和BC ,使得画出的图形匀称美观呢?
二、合作探究
探究点一:黄金分割的有关概念
已知M 是线段AB 的黄金分割点,MA 是被分线段AB 中较长的线段,且MA =5
-1,求原线段AB 的长.
解析:由于M 是黄金分割点,根据黄金比=较长线段原线段=5-1
2,可求出原线段长.
解:因为M 是线段AB 的黄金分割点,且MA >MB , 所以MA
AB =5-12,
所以AB =
25-1·MA =2
5-1
×(5-1)=2. 方法总结:把一条线段黄金分割后,原线段、较长线段、较短线段之间有固定的比
值关系,只要知道其中一条线段的长度,就可以求出另外两条线段的长度.
已知线段AB =6,点C 为线段AB 的黄金分割点,求下列各式的值: (1)AC -BC ;(2)AC ·BC .
解析:黄金分割点是线段上一个点,这个点把线段分成一长一短两部分,由题意可知较长的线段是原线段的
5-1
2
,并且在一条线段上有两个黄金分割点. 解:若AC >BC ,如图,则AC =5-12AB =5-1
2
×6=35-3,所以BC =AB -AC =6-(35-3)=9-3 5.
(1)AC -BC =35-3-(9-35)=35-3-9+35=65-12;
C
B
A
(2)AC
·BC =(35-3)×(9-35)=275-45-27+95=365-72. 若AC <BC ,如图.
(1)AC -BC =12-65; (2)AC ·BC =365-72. 易错提醒:注意一条线段有两个黄金分割点,因此题中未指出黄金分割点离哪个端点较近时,要分情况讨论.
探究点二:黄金分割的应用
在人体躯干与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比值越接近0.618越
给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的
身高为1.60m ,她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美?
解析:想要看起来更美,则鞋底到肚脐的长度与身高之比应为黄金比,此题应根据已知条件求出肚脐到脚底的距离,再求高跟鞋的高度.
解:设肚脐到脚底的距离为x m ,根据题意,得x
1.60=0.60,解得x =0.96.
设穿上y m 高的高跟鞋看起来会更美,则y +0.96
1.60+y
=0.618.
解得y ≈0.075,而0.075m =7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm 高的高跟鞋看起来会更美.
易错提醒:要准确理解黄金分割的概念,较长线段的长是全段长的0.618.注意此题中全段长是身高与高跟鞋鞋高之和.
三、板书设计
黄金分割
⎩⎪⎨⎪
⎧定义:一般地,点C 把线段AB 分成两条线段AC
和BC ,如果AC AB =BC AC ,那么称线段AB 被点
C 黄金分割
黄金分割点:一条线段有两个黄金分割点黄金比:较长线段:原线段=5-12
:1
经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程,通过问题情境的创设和解决过程,体会黄
金分割的文化价值,在应用中进一步理解相关内容,在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心.感受数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的兴趣.
黄金分割同步练习
(典型题汇总)
一、选择题:
1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果
AC BC
AB AC
=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点
C B
A C
B A C.AB 与A
C 的比叫做黄金比; D.AC 与AB 的比叫做黄金比
2.如图的五角星中,
AC AB 与BC
AC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BC
AC
; D.不能确定
3.一条线段的黄金分割点有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
4.黄金分割比是( ) A.
12 B.
12 C.1
2
D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么
AC AB 与AC
BC
的值分别是( ) A.
1
2,1
2
B.
1
2
,1
2
; C.
1
2
,1
2
; D.
12,1
2
6.如图,若点C 是AB 的黄金分割点
,AB=2,则AC= ( ) A.
12 B.
1
2
11 二、填空题:
1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.
2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.
3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即
AC AB ,那么AC
CB
=________.
4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2
=________.
5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.
6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:
1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.
2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.
3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.
C
B
A
四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.
五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.
六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.
D C
B
A
七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?
答案:
一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C
二、1.
AC BC
AB AC
=
;黄金分割点;黄金比
3.
1
2
黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,
所以
AP PB AB AP
=
,
××
2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=
1
2
AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E
(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料
四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形
五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得
AC AB
,
因为AB=1,所以
所以AC-BC=
12-32
-
六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得
AC
AB =12,BD AB
=12
因为AB=1,所以AC=
12,BD=1
2,
所以
因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。