数值计算复习资料

第一章 绪论

§1 绪论：数值分析的研究内容 §2 误差的来源和分类 §3 误差的表示 §4 误差的传播

§5 算法设计的若干原则

一、误差的分类（绝对误差，相对误差）

例1-1 设 x *=2.18是由精确值x 经过四舍五入得到的近似值。问 x 的绝对误差限ε和相对误差限η各是多少？

解：因为 x =x * ±0.005 ，所以绝对误差限为ε=0.005 相对误差限为

二、有效数字

定义 设数 x 的近似值可以表示为

其中 m 是整数,αi (i=1,2, …, n ) 是0到9 中的一个数字，而α1 ≠ 0. 如果其绝对误差限为 则称近似数 x* 具有 n 位有效数字。

结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。

例1-2 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试判定它们各有几位有效数字： x 1* =87540，x 2*=8754×10, x 3*=0.00345, x 4*= 0.3450 ×10-2

已知 有5位有效数字。同理可以写出 可以得出 x 2 , x 3 , x 4 各具有4、3、4 位有效数字。

例1-3 已知 e =2.718281828……, 试判断下面两个近似数各有几位有效数字？ 解：由于

%23.018

.2005

.0*

≈=

=

x ε

η

m n x 10.021*

⨯±=ααα *1

102

m n

x x --≤⨯1112x x *-≤510.8754010x *=⨯而5

511102

1-*

⨯≤-x x 所以1221102x x *-≤⨯520.875410x *=⨯54221102x x *--≤⨯5331102x x *--≤⨯230.34510x *-=⨯-23331102x x *--≤⨯6441102x x *--≤⨯240.345010x *-=⨯24441102

x x *---≤⨯718281.2,718282.221==e e

而

e 1有7位有效数字。同理：

e 2 只有6位有效数字。 三、算法设计的若干原则

• 1：两个很接近的数字不做减法:

• 2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)

练习： 求方程 x 2-56x +1=0 的两个根，使它们至少具有四位有效数字

•

第二章 插值与拟合

1、Lagrange 插值多项式,Newton 插值多项式的构造与插值余项估计，及证明过程。

2、 Hermite 插值多项式的构造与插值余项估计，

带导数条件的插值多项式的构造方法，基于承袭性的算法，基函数法， 重节点差商表的构造；

3、分段插值及三次样条插值的构造

4、最小二乘拟合

• 掌握Lagrange 插值多项式的构造方法及具体结构 • 掌握Lagrange 插值多项式误差分析方法和证明方法 • 掌握Newton 插值多项式的形式及误差 • 掌握差商表的构造过程 关于离散数据：

Newton 插值多项式：

而

所以 7

161102

110210000005.00000001.0--⨯=⨯=≤=- e e

i x i

y 0x 1x 0y 1y n

x n

y ：

)

,(),

()!

1()

()(1)1(b a x n f x R n n n ∈+=++ξωξ∑∏

=≠=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=n j j i

j i

n j

i i n y x x x x x L 0

0)(6

11021

0000005.00000001.0-⨯=

≤=- e e 1

110

2718282.0718282.2⨯==e 61521021

1021000005.00000008.0--⨯=⨯=<=- e e ]

,[)()()(1000n x x f x x x f x N -+=

例1-3 已知f (x ) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求 N 4 (x )。如果再增加一个节点(6,282),求出N 5(x )，并计算 N 4(1.5)、N 5(1.5). 解：先由前五组数据列差商表 1 0 2 2 2

3 12 10

4 4 42 30 10 2

5 11

6 74 22 4 0.5

6 282 166 46 8 1 0.1如果，再增加一点(6, 282), 就在上表中增加一行计算差商 由Newton 公式的递推式得到：

得到： 1. 高次插值的Runge 现象，应如何避免？

2.分段性插值有何优缺点？误差估计？（插值节点的选择）

3. Hermite 插值的构造, 误差估计

4.三次样条函数的定义、构造过程

5.数据拟合的最小二乘法（可化为直线拟合的非线性 拟合的处理方法）

二、典型例题分析

例 1. 令x 0＝0， x 1＝1，写出y (x )＝e-x 的一次插值多项式L 1(x ) ,并估计插值误差．（P55,t14题）

)4)(3)(2)(1(5.0)3)(2)(1(2)2)(1(4)1(20)(4

----+---+--+-+=x x x x x x x x x x x N )5)(4)(3)(2)(1(1.0)()(45

-----+=x x x x x x N x N )

5.1()5.1(5N f ≈)55.1)(45.1)(35.1)(25.1)(15.1(1.0)5.1(4-----+=N 328125.028125.0+=609375

.0=