2020年高考数学经典题题精选三角函数解答题.docx

2020 年高考数学经典题题精选

三角函数解答题

求函数 y=sinx+cosx+1

的最 及取得最 相

x 的 .

解：由 y=sinx +cosx +1

得 y=

2 sin(x+

4 )+1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2 分 ∴ y max =

2 +1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分

y min =－ 2 +1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6 分

由 x+

4=2k π+

2

得 x=2k π+

(k ∈ Z)

即 x=2k π+

4

(k ∈ Z) ， y

取最大 2 +1⋯⋯⋯⋯⋯ 9

4

分

由 x+

=2k π－

2

即 x=2k π－ 3

y 取最小 1－

2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分

4

4

1.

已知函数 f ( x)

2a cos 2 x b sin x cos x, 且 f (0) 2, f (

3 ) 1 3 .

2

2

（ 1）求 f ( x ) 的最大 与最小 ；

（ 2）若 f ( ) 0, a (0,2 ), 求 的 .

解：（1）由 f (0)=2 a =2,

得 a =1 , f ( )

1 a

3 , 2 ⋯⋯⋯⋯（ 3 分）

24

3

∴ f ( x )=2cos 2x +2sin x cos x =sin2 x +cos2 x +1=

2 sin(2x

) 1 ⋯⋯⋯⋯（ 5 分）

4

∴ f ( x ) 的最大 是

2 1，最小 是 1

2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）

（ 2）∵ f (

) 0, 得 2 sin( 2

) 1 0

sin( 2

) 2

, . ⋯⋯（ 8 分）

4

4

2

2

4 2k

或 2 4 2k

5 , k Z

4

4

k

或

k

, k

Z

(10分 )

4

2

( 0,2 ),

2 或

3 或 3 或 7 (12分 ).

2 4

4

2.

已知函数 f ( x)

a sin x cos x

3acos 2 x

3 a b.(a

0)

2

（ 1） x R ，写出函数的 减区 ；

（ 2）

x [0, ], f x

3

，求 数 a, b

的 .

( ) 的最小 是－ 2，是大 是

2

解：（ 1） f ( x)

a(sin x cos x

3 cos 2 x

3 ) b

2

a (1

sin 2x

3 1 cos2 x

3 ) b = a sin( 2x ) b ⋯⋯⋯⋯

4 分

2

2 2

3

a

0, x R, f ( x) 的 减区 是 [ k

5 , k

11

]( k

Z ) ⋯⋯⋯⋯ 6 分

12 12

（ 2）

x [ 0, ] 2x

[ 0, ] 2x

3

[ , 2

] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7 分

2

3 3

sin( 2x

) [ 3 ,1]

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

9 分

3

2

∴函数 f ( x) 的最小 是

3 a b

2

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

10 分

2

最大 a b 3 ⋯⋯⋯ 11 分

解得 a 2,b 3

2 ⋯⋯ 12 分

3.

求函数 y

sin 2 x sin xcos(

6 x)

的周期和 增区 ．

解

y

sin 2 x sin x(cos

cos x sin sin x)

6

6

3

sin 2

x

3

sin x cos x

3

(1 cos2x) 3

sin 2 x

2

2

4 4

3 (

3

sin 2x 3 3 3

) ． ⋯⋯ 6 分

4

4 cos2x)

sin(2 x

2 4

4

2

3

∴

函数的周期

T

．

⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分

2

5

当

2k ≤ 2x

≤

2k

，即 k

( k ∈ Z) 函数

≤ x ≤ k

2

3

5 2

12

12

增加，即函数的增区 是

[ k

] (

k ∈Z) ．⋯⋯ 12

分

， k

12

12

4.

已知函数 f ( x)

5sin x cos x 5 3 cos 2 x 5 3

2

（Ⅰ）求 f(x) 的最小正周期；

（Ⅱ）求 f(x) 的 增区 .

解：（Ⅰ）

f (x) 5sin x cos x

5 3 cos 2 x

5 3

2