9年级培优专题04 根与系数关系

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九年级上册22.2.4一元二次方程的根与系数的关系

九年级上册22.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、学习目标1.给定一个一元二次方程，能计算出两根之和与两根之积。

2.灵活运用根与系数的关系解答有关计算。

二、课前预习：（A级）1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+ x2= ，x1x2= .2.以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。

3.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有根，设这两个实数根分别是x1，x2，由求根公式x= ,即x1= ，x2= ，所以有x1+ x2= ，x1x2= 。

4.已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两个实数根，求12xx+21xx。

三、学习过程：1.方程3x2-4x-2=0的两根分别是x1，x2,则x1x2= ，x1+x2= 。

2.方程x2+2x+2m=0的一个根为-3，则另一个根是________，m=__________。

3.若一元二次方程(m-1)x2+3m2x+( m2+3m-4)=0有一个根为0，则m=______。

4.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的积与和。

（1）x2-6x-15=0 （2）3x2+7x-9=0 （3）5x-1=4x2（4）x2-3x=15（5）5x2-1=4x2+x （6）x2-3x+2=10 （7）x2+x=5x+6 （8）7x2-5=x+8 四、巩固检测：（B级）1.设x1，x2是关于x的方程x2-(m-1)x-m=0（m≠0）的两根，且满足11x+21x=-23,求m的值。

2.已知两个数的和为-7，积为12，求这两个数。

五、拓展提升：（C级）1.若非零实数a,b（a≠b）满足a2+a-2010=0,b2+b-2010=0,求1a+1b的值。

2..已知一元二次方程x2+3x-1=0的两根是x1，x2，利用根与系数的关系求：（1）x12+x22(2)11x+21x。

九年级数学根与系数的关系

数学就是这样一种学问；她要求我们扎扎实实地学习，勤勤恳恳地探索。她提醒你有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智能；她给我们的内心思想添辉，她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知。
谨以此语献给广大的数学爱好者！
1.下列方程两根的和与两根
的积各是多少？（不解方程）
（1）x2-3x+1=0 （2）3x2-2x=2
∆=m²-8(m-1>0，即∆=m² -8m+8>0 m 1 m＜1 x x >0
1 2
2
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系； 2、灵活运用根与系数关系解决问题； 3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
达标检测题： 1、已知X1、X2是方程X2－2X=1的两个根， 2 -1 则X1+X2=________ X1X2=_______ 2、设X1、X2是方程X2－4X+3=0的两个根， 8 则( X1+1)(X2+1)= _____ 2 X +3X-28=0 3、以4和-7为根的一元一次方程是__________ 4、已知两个数的和为3，积是-10，则这两个数是_________ 5和-2
5 、已知：已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的 2倍，则m的值为 .
解：设方程的另一个根是x1那么
6 3 2x1=-— ∴ x =— 1 5 5. 3 k 又（-— ） +2=— 5 5
3 ∴ k=-5 （-— 5 ）+2 =-7 3 答：方程的另一个根是-—，k的 5
值是-7。
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1

《一元二次方程的根与系数的关系》解答题专题培优提升训练(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》解答题专题培优提升训练（附答案）1．已知关于x的方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．2．关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m﹣2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求出此时方程的根．3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根，求m的取值范围．4．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．5．已知y1＝x2﹣2x+3．y2＝x+m．（1）若m＝1，当x取何值时y1＝y2？（2）若y1＝2y2，当m为何范围时，存在两个不同的x值？6．已知关于x的一元二次方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）：（1）若k＝3，求方程的解；（2）若方程恰有两个不同解，求实数k的取值范围．7．已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．（ⅰ）求实数k的取值范围；（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．8．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；①求代数式﹣4x1x2的最大值；②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．10．关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值．11．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设两个实数根是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝2，则k的值为．12．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．13．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．14．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．（1）已知k＝2，求x1+x2+x1x2．（2）若x1＝3x2，试求k值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．16．已知m为实数，关于x的方程为mx2+（m﹣2）x﹣1＝0．（1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根．（2）若方程有两实根x1，x2，当x1x2﹣2x1﹣2x2＝3时，求m的值．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0（1）若该方程有两个实数根，求k的最大整数值．（2）若该方程的两个实数根为x1，x2，是否存在实数k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1、x2是方程的两根，且+＝1，求m的值．19．若x1，x2与是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，求x13﹣4x22+22的值．20．已知关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）若方程的两个根为x1，x2，且＝0，求k的值．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．参考答案1．解：（1）①当m＝0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；②关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．∵△＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，∴无论m为任何实数，方程总有实根．（2）由题意得，△＝（m﹣1）2＝1，解得m1＝0，m2＝2，而m≠0，∴m＝2．2．解：（1）∵方程有实数根，∴（﹣2）2﹣4×1×（3m﹣2）≥0，∴m≤1；（2）∵m为正整数，∴m＝1，∴方程为：x2﹣2x+1＝0，∴x1＝x2＝1．3．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，∴m≥2．4．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣1＝0有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4（a﹣1）＝﹣4a+13≥0，解得：a≤，即a的取值范围是a≤；（2）∵a的取值范围是a≤，∴整数a的最大值是3，把a＝3代入方程x2﹣3x+a﹣1＝0得：x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝2．5．解：（1）当m＝1时，根据题意，得x2﹣2x+3＝x+1，整理，得（x﹣1）（x﹣2）＝0．所以x﹣1＝0或x﹣2＝0．解得x1＝1，x2＝2；（2）根据题意，得x2﹣2x+3＝2x+2m，整理，得x2﹣4x+3﹣2m＝0，所以△＝（﹣4）2﹣4×1×（3﹣2m）＞0．解得m＞﹣．所以当m＞﹣时，存在两个不同的x值．6．解：（1）把k＝3代入|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）中，得|x2﹣1|＝（x﹣1）（3x﹣2），当x2＞1，即x＞1或x＜﹣1时，原方程可化为：x2﹣1＝（x﹣1）（3x﹣2），解得，x＝1（舍），或x＝；当x2≤1，即﹣1≤x≤1时，原方程可化为：1﹣x2＝（x﹣1）（3x﹣2），解得，x＝1，或x＝；综上，方程的解为x1＝，x2＝1，x3＝；（2）∵x＝1恒为方程|x2﹣1|＝（x﹣1）（kx﹣2）的解，∴当x≠1时，方程两边都同时除以x﹣1得，，要使此方程只有一个解，只需函数y＝与函数y＝kx﹣2的图象只有一个交点．∵函数：，作出函数图象，由图象可知，当k＜0时，直线y＝kx﹣2与函数y＝图象只有一个交点；当k＝0时，直线y＝kx﹣2＝﹣2与函数y＝图象只有一个交点；当k＝1时，y＝kx﹣2＝x﹣2与y＝x+1平行，则与函数y＝图象只有一个交点；∵当直线y＝kx﹣2过（1，2）点时，2＝k﹣2，则k＝4，∴函数图象可知，当k≥4时，直线y＝kx﹣2与函数y＝图象也只有一个交点，∴要使函数图象与y＝kx﹣2图象有且只有一个交点，则实数k的取值范围是k≤0或k＝1或k≥4．综上，实数k的取值范围：k≤0或k＝1或k≥4．7．解：（i）∵方程有实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣3）≥0，解得：k≤；（ii）当k＝2时，方程化为x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵x1，x2是方程的解，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴x12+3x1＝﹣1，x22+3x2＝﹣1，∴原式＝（﹣1﹣x1﹣1）（﹣1+x2+3）＝﹣（x1+2）（x2+2）＝﹣[x1x2+2（x1+x2）+4]＝﹣（1﹣6+4）＝1．8．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，故这个方程总有两个实数根；（2）由求根公式得x＝，∴x1＝2k﹣1，x2＝2．∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，此时三角形周长为4+4+2＝10；当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，故此种情况不存在．综上所述，△ABC周长为10．（3）∵方程的两个实数根之差等于3，∴，解得：k＝0或3．9．解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m，∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24．②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6，三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，三角形边长为2，2，6时不存在．当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，解得x＝6或x＝10．三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．∴等腰三角形周长为14或22或26．10．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，解得：k≤1．∴k的取值范围为：k≤1．（2）由根与系数关系得：x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，所以（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣1+2（k﹣1）+1＝6．解得k＝2（舍去）或k＝﹣4．故k的值是﹣4．11．解：（1）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜2，即k的取值范围是k＜2；（2）∵一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，∵x1+x2﹣2x1x2＝2，∴﹣2﹣2（k﹣1）＝2，∴k＝﹣1，故答案为：﹣1．12．解：（1）根据题意得：△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，解得：m＜0．∴m的取值范围是m＜0．（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝12，∴﹣2x1x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），∴m的值是﹣2．13．解：（1）由题意得：△≥0且m﹣2≠0，∴（2m+1）2﹣4m（m﹣2）≥0解得m≥﹣且m≠2（2）由题意得有两种情况：①当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，x1＝x2＝﹣×＝．②当x1＝﹣x2时，则x1+x2＝0．，所以m＝﹣，因为m≥﹣且m≠2，所以此时方程无解．综上所述，m＝﹣，x1＝x2＝．14．解：（1）∵方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2，∴x1+x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1，∴x1+x2+x1x2＝4﹣1＝3．（2）∵x1+x2＝4，x1＝3x2，∴x1＝3，x2＝1，∴k＝x1x2+3＝6．15．解：（1）证明：∵在方程x2﹣6x﹣k2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）＝36+4k2≥36，∴方程有两个不相等的实数根．（2）∵x1，x2为方程x2﹣6x﹣k2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝6，∵x1+2x2＝14，∴x2＝8，x1＝﹣2．将x＝8代入x2﹣6x﹣k2＝0中，得：64﹣48﹣k2＝0，解得：k＝±4．答：方程的两个实数根为﹣2和8，k的值为±4．16．（1）证明：当m＝0时，已经方程为﹣2x﹣1＝0，有实数根；当m≠0时，已经方程是一元二次方程，△＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣1）＝m2+4＞0，该方程有两个不等实根；综上，不论m为何实数，方程总有实数根；（2）由根与系数的关系可得，，，∵x1x2﹣2x1﹣2x2＝3，∴x1x2﹣2（x1+x2）＝3，∴，解得m＝﹣5，经检验，m＝﹣5是原分式方程的解，即m的值是﹣5．17．解：（1）由题意得：此方程的根的判别式△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，整理得：﹣4k+1≥0，解得，则k的最大整数值是0；（2）存在，由根与系数的关系得：x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵＝，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得：k2﹣2k﹣15＝0，解得k＝﹣3或k＝5，由（1）可知，，则k＝﹣3．18．解：（1）根据题意，知（2m﹣3）2﹣4m2＞0，解得m＜；（2）由题意知x1+x2＝﹣（2m﹣3）＝3﹣2m，x1•x2＝m2，由+＝1，即＝1可得＝1，解得：m＝1（舍去）或m＝﹣3，所以m的值是﹣3．19．解：∵x1是方程x2+x﹣3＝0的实数根，∴x12+x1﹣3＝0，∴x12＝﹣x1+3，x1＝﹣x12+3，∴x13＝﹣x12+3x1，∴x13﹣4x22+22＝﹣x12+3x1﹣4x22+22＝﹣4x12+9﹣4x22+22＝﹣4（x1+x2）2+8x1•x2+31，∵x1、x2是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，∴原式＝﹣4×（﹣1）2+8×（﹣3）+31＝3．20．（1）证明：①当k＝1时，该方程有一个实数根，符合题意．②当k≠1时，∵△＝（2k）2﹣4（k﹣1）×2＝4（k﹣1）2+4＞0，∴当k≠1时，方程总有实数根．综上所述，无论k取任何值，方程总有实数根．（2）∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∴＝+x1x2＝+＝0．解得k＝2或k＝﹣1．经检验，k＝2或k＝﹣1都符合题意．所以k＝2或k＝﹣1．21．解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k2+4k+1﹣2k2+8＝2k2+4k+9＝2（k+1）2+7＞0，∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，∴2（k+1）2+7＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，∵x1﹣x2＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，化简得k2+2k＝0，解得k＝0或k＝﹣2．。

新人教版九年级数学(上)——一元二次方程根与系数的关系

知识点一、根的判别式从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的,原因在于配方得到的右边的项为2244a ac b - ；而当04422<-a ac b ，是不能开方的，所以方程无实数解。

而2244aac b -与0的大小关系又取决于ac b 42-; 所以：当042>-ac b 时,方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时,方程有两个相等的实数根；当042<-ac b 时，方程没有实数根。

由此可知ac b 42-的取值决定了一元二次方程根的情况,我们把ac b 42-称作根的判别式，用符号“Δ”表示;即：ac b 42-=∆根的判别式的作用:①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

例题精讲【例1】不解方程,判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定一元二次方程根与系数的关系【例2】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根,那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（ )．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【例3】 k 的何值时？关于x 的一元二次方程2450x x k -+-=：⑴有两个不相等的实数根;⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根．【例4】 m 为给定的有理数，k 为何值时，方程()22413240x m x m m k +-+-+=的根为有理数?【例5】已知关于方程21(21)4()02x k x k -++-= ⑴求证:无论k 取何值，这个方程总有实数根；⑵若等腰ABC ∆的一边长为4，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长．★1、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ，所以方程的根的情况是 . ★2、一元二次方程x 2—4x+4=0的根的情况是( ） A 。

专题根与系数的关系含答案

专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-2m-1x+m-2=0．1当m取何值时,方程有两个不相等的实数根；2若x1、x2为方程的两个不等实数根,且满足x12+x22-x1x2=2,求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．1求证：此方程有两个不相等的实数根；2设此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1＜x2．若2x1=x2+1,求m的值．例3．已知关于x的方程mx2+4-3mx+2m-8=0m＞0．1求证：方程有两个不相等的实数根；m,且点B m,n在x轴上,求m 2设方程的两个根分别为x1、x2x1＜x2,若n=x2-x1-12的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2m+1x+m2+5=0有两个不相等的实数根．1求m的取值范围；2若原方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2,求m的值．例5.已知关于x的方程x2-2k+1x+4k-1=0．21求证：无论k取什么实数值,这个方程总有实数根；2能否找到一个实数k,使方程的两实数根互为相反数若能找到,求出k的值；若不能,请说明理由．3当等腰三角形ABC的边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时,求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-m+2x+2=0m≠0．1求证：方程总有两个实数根；2已知方程有两个不相等的实数根α,β,满足1α+1α=1,求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=01若方程有两个实数根,求m的范围；2若方程的两个实数根为x1和x2,且x1+3x2=3,求m的值．3若方程的两个实数根为x1和x2,且x12-x22=0,求m的值．3.已知关于x的方程x2+m-3x-m2m-3=01证明：无论m为何值方程都有两个实数根；2是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于26若存在,求出满足条件的正数m的值；若不存在,请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0k为常数．1求证：方程有两个不相等的实数根；2设x1、x2为方程的两个实数根,且2x1+x2=14,试求出方程的两个实数根和k 的值．5.已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．1求k的取值范围；2若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3,求k的值．m-3=06.已知关于x的一元二次方程x2-m-2x+121求证：无论m取什么实数时,这个方程总有两个不相等的实数根；2如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1+x2=m+1,求m的值．7.已知关于x的一元二次方程a-1x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．1求a的值及方程的另一个根；2如果一个等腰三角形底和腰不相等的三边长都是这个方程的根,求这个三角形的周长．8.设x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2+2ax +a 2+4a -2=0的两实根,当a 为何值时,x 12+x 22有最小值最小值是多少专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1. 解：1∵方程有两个不相等的实数根, 例2. ∴△=b 2-4ac =-2m -12-4mm -2=4m +1＞0, 例3. 解得：m ＞-14,∵二次项系数≠0,∴m ≠0, 例4. ∴当m ＞-14且m ≠0时,方程有两个不相等的实数根；例5. 2∵x 1、x 2为方程的两个不等实数根,例6. ∴x 1+x 2=2α−1α,x 1x 2=α−2α, 例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=x 1+x 22-3x 1x 2=2α−1α2-3(α−2)α=2, 例8.解得：m 1=√2+1,m 2=-√2+1舍去；∴m =√2+1．例9. 解：1∵△=-4m 2-44m 2-9=36＞0,例10. ∴此方程有两个不相等的实数根；例11. 2∵x =4α±√362=2m ±3,例12. ∴x 1=2m -3,x 2=2m +3,例13. ∵2x 1=x 2+1,∴22m -3=2m +3+1,例14.∴m =5．例15. 解：1∵△=4-3m 2-4m 2m -8, 例16. =m 2+8m +16=m +42例17. 又∵m ＞0∴m +42＞0即△＞0 例18. ∴方程有两个不相等的实数根；例19. 2∵方程的两个根分别为x 1、x 2x 1＜x 2,例20. ∴x 1+x 2=-4−3αα,x 1x 2=2α−8α, 例21. n =x 2-x 1-12m ,且点B m ,n 在x 轴上, 例22. ∴x 2-x 1-12m =√(α1+α2)2−4α2α1-12m =√(4−3αα)2−4×2α−8α-12m =0, 例23. 解得：m =-2,m =4,例24.∵m ＞0,∴m =4．例25. .解：1∵方程x 2-2m +1x +m 2+5=0有两个不相等的实数根, 例26. ∴△=-2m +12-4m 2+5=8m -16＞0,解得：m ＞2．例27. 2∵原方程的两个实数根为x 1、x 2, 例28. ∴x 1+x 2=2m +1,x 1x 2=m 2+5．例29. ∵m ＞2,例30. ∴x 1+x 2=2m +1＞0,x 1x 2=m 2+5＞0, 例31. ∴x 1＞0、x 2＞0．例32. ∵x 12+x 22=(α1+α2)2-2x 1x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1x 2, 例33. ∴4m +12-2m 2+5=2m +1+2m 2+5,即6m -18=0,例34.解得：m =3．例35. 证明：1∵△=2k +12-16k -12=2k -32≥0, 例36. ∴方程总有实根；例37. 解：2∵两实数根互为相反数, 例38. ∴x 1+x 2=2k +1=0,解得k =；例39. 3①当b =c 时,则△=0, 例40. 即2k -32=0,∴k =32, 例41. 方程可化为x 2-4x +4=0,∴x 1=x 2=2,而b =c =2,∴b +c =4=a 不适合题意舍去；例42. ②当b =a =4,则42-42k +1+4k -12=0, 例43. ∴k =52, 例44. 方程化为x 2-6x +8=0,解得x 1=4,x 2=2, 例45. ∴c =2, C △ABC =10,例46. 当c =a =4时,同理得b =2,∴C △ABC =10,例47.综上所述,△ABC 的周长为10．训练1.1证明：∵方程mx 2-m +2x +2=0m ≠0是一元二次方程, ∴△=m +22-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=m -22≥0, ∴方程总有两个实数根；2解：∵方程有两个不相等的实数根α,β,∴由根与系数的关系可得α+β=α+2α,αβ=2α, ∵1α+1α=1,∴α+2α2α=α+22=1,解得m =0,∵m ≠0,∴m 无解．2.解：1∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根,∴△=-22-4m ≥0,解得m ≤1；2由两根关系可知,x 1+x 2=2,x 1x 2=m ,解方程组{α1+α2=2α1+3α2=3, 解得{α1=32α2=12,∴m =x 1x 2=32×12=34； 3∵x 12-x 22=0,∴x 1+x 2x 1-x 2=0,∵x 1+x 2=2≠0,∴x 1-x 2=0,∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根,∴△=-22-4m =0,解得m =1．3. 1证明：∵关于x 的方程x 2+m -3x -m 2m -3=0的判别式△=m -32+4m 2m -3=9m -12≥0,∴无论m 为何值方程都有两个实数根；2解：设方程的两个实数根为x 1、x 2,则x 1+x 2=-m -3,x 1×x 2=-m 2m -3,令x 12+x 22=26,得：x 1+x 22-2x 1x 2=m -32+2m 2m -3=26,整理,得5m 2-12m -17=0,解这个方程得,m =175或m =-1, 所以存在正数m =175,使得方程的两个实数根的平方和等于26．4. 1证明：在方程x 2-6x -k 2=0中,△=-62-4×1×-k 2=4k 2+36≥36, ∴方程有两个不相等的实数根．2解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根,∴x 1+x 2=6①,x 1x 2=-k 2,∵2x 1+x 2=14②,联立①②成方程组{α1+α2=62α1+α2=14, 解之得：{α1=8α2=−2, ∴x 1x 2=-k 2=-16,∴k =±4．5. 解：1∵原方程有两个不相等的实数根,∴△=-2k -32-4k 2+1=4k 2-12k +9-4k 2-4=-12k +5＞0,解得：k ＜512；2∵k ＜512,∴x 1+x 2=2k -3＜0,又∵x 1x 2=k 2+1＞0,∴x 1＜0,x 2＜0,∴|x 1|+|x 2|=-x 1-x 2=-x 1+x 2=-2k +3,∵|x 1|+|x 2|=2|x 1x 2|-3,∴-2k +3=2k 2+2-3,即k 2+k -2=0,∴k 1=1,k 2=-2,又∵k ＜512, ∴k =-2．6. 解：1∵△=m -22-4×12m -3=m -32+3＞0, ∴无论m 取什么实数值,这个方程总有两个不相等的实数根；2解：x1+x2=m-2,2x1+x2=x1+x1+x2=m+1,∴x1=m+1+2-m=3,把x1代入方程有：9-3m-2+12m-3=0解得m=245．7. 解：1将x=3代入方程中,得：9a-1-15+4a-2=0, 解得：a=2,∴原方程为x2-5x+6=x-2x-3=0,解得：x1=2,x2=3．∴a的值为2,方程的另一个根为x=2．2结合1可知等腰三角形的腰可以为2或3,∴C=2+2+3=7或C=3+3+2=8．∴三角形的周长为8或7．8. .解：∵△=2a2-4a2+4a-2≥0,∴α≤12又∵x1+x2=-2a,x1x2=a2+4a-2．∴x12+x22=x1+x22-2x1x2=2a-22-4．设y=2a-22-4,根据二次函数的性质．∵α≤12∴当α=12时,x12+x22的值最小．此时α12+α22=2(12−2)2−4=12,即最小值为12．。

根与系数的关系(压轴题专项讲练)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(人教版)

根与系数的关系分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。

分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。

一、一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么，.注意：它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【典例1】已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+1―2k=0有两个实数根x1，x2．（1）若|x1|+|x2|=k的值；（2）当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；（3）当k取哪些有理数时，x1，x2均为整数．（1）分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；（2）根据根与系数的关系可得若x1+x2=―2k为整数，可得整数k=±1,±2，然后结合两根之积、解方程分别验证即可；（3）显然，当k=―1时，符合题意；由两根之积可得k应该是整数的倒数，不妨设k=1m，则方程可变形21xx，abxx-=+21acxx=21为x 2+2mx +m ―2=0，即为(x +m )2=m 2―m +2，再结合整数的意义即可解答．解：（1）∵Δ=22―4k (1―2k )=4―4k +8k 2=8k 2―12k =8k+72>0，∴不论k 为何值，关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0都有两个实数根x 1，x 2，∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2kk，分两种情况：①若两根同号，由|x 1|+|x 2|=x 1+x 2=x 1+x 2=―当x 1+x 2=―2k =k =―当x 1+x 2=――2k =―k =②若两根异号，由|x 1|+|x 2|=(x 1―x 2)2=8，即(x 1+x 2)2―4x 1x 2=8，∴――4×1―2kk=8，解得：k =1，综上，k 的值为1或 ±（2）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2x +1―2k =0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=―2k ,x 1x 2=1―2k k，若x 1，x 2均为整数，则x 1+x 2=―2k 为整数，∴整数k =±1,±2，当k =±2时，x 1x 2=1―2kk不是整数，故应该舍去；当k =1时，此时方程为x 2+2x ―1=0，方程的两个根不是整数，故舍去；当k =―1时，此时方程为―x 2+2x +3=0，方程的两个根为x 1=―1,x 2=3，都是整数，符合题意；综上，当k 取―1时，x 1，x 2均为整数；（3）显然，当k =―1时，符合题意；当k 为有理数时，由于x 1x 2=1―2kk=1k ―2为整数，∴k应该是整数的倒数，不妨设k=1m(m≠0)，m为整数，则方程kx2+2x+1―2k=0即为x2+2mx+m―2=0，配方得：(x+m)2=m2―m+2，即x=―m±当m=2即k=12时，方程的两根为x1=0,x2=―4，都是整数，符合题意；当m≠2时，m2―m+2=(m―12)2+74不是完全平方数，故不存在其它整数m的值使上式成立；综上，k=―1或12．1．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）设方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，且1<x1<2< x2<4，那么方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为( )A．12<x3<1B．―4<x3<―2C．―12<x3<―14D．―1<x3<―12【思路点拨】由根与系数的关系得出x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca，再设方程cx2―bx+a=0的为m，n，根据根与系数的关系得出m+n=―(1x2+1x1)，mn=x1⋅x2，从而得出方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1，―1x2，然后由1<x1<2<x2<4，求出―1x1，―1x2的取值范围，从而得出结论．【解题过程】解：∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根x1和x2，∴x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca，设方程cx2―bx+a=0的两根为m，n，则m+n=bc ，mn=ac，∵m+n=bc =―ba⋅(―ac)，mn=1x1⋅x2，∴m+n=―(x1+x2)⋅1x1⋅x2=―x1+x2x1⋅x2=―(1x2+1x1)，∴方程cx2―bx+a=0的两根为―1x1，―1x2，∵1<x1<2，2<x2<4，∴12<1x1<1，14<1x2<12，∴―1<―1x1<―12，―12<―1x2<―14，∵―1x1<―1x2，∴方程cx2―bx+a=0的较小根x3的范围为―1<x3<―12．故选：D．2．（22-23九年级下·安徽安庆·阶段练习）若方程x2+2px―3p―2=0的两个不相等的实数根x1、x2满足x12+x13=4―(x22+x23)，则实数p的所有值之和为（）A．0B．―34C．―1D．―54【思路点拨】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到x12+2px1―3p―2=0，x1+x2=―2p，进而推出x13=3px1+2x1―2px12，则x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12，x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22，即可推出(3p+2)(x1+x2)+(1―2p)(x12+x22)=4，然后代入x1+x2=―2p，x12+x22=(x1+x2)2―4p 得到2p(4p+3)(p+1)=0，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解题过程】解：∵x1、x2是方程x2+2px―3p―2=0的两个相等的实数根，∴x12+2px1―3p―2=0，x1+x2=―2p，x1x2=―3p―2，∴x12+2px1=3p+2，∴x13+2px12=3px1+2x1，∴x13=3px1+2x1―2px12，∴x13+x12=3px1+2x1―2px12+x12，同理得x23+x22=3px2+2x2―2px22+x22，∵x12＋x13=4―(x22+x23)，∴x12+x13+(x22+x23)=4，∴3px1+2x1―2px12+x12+3px2+2x2―2px22+x22=4，∴(3p+2)(x+x)+(1―2p)(x2+x2)=4，∴(3p+2)(―2p)+(1―2p)(―2p)2―2(―3p―2)=4，∴―6p2―4p+(1―2p)4p2+6p+4=4，∴―6p2―4p+4p2+6p+4―2p4p2+6p+4=4，∴―2p2+2p―2p4p2+6p+4=0，∴―2p4p2+6p+4+p―1=0，∴2p4p2+7p+3=0，∴2p(4p+3)(p+1)=0，，解得p1=0，p2=―1，p3=―34∵Δ=(2p)2+4(3p+2)>0，∴p2+3p+2>0，∴(p+1)(p+3)>0，∴p=―1不符合题意，∴p1+p3=―34∴符合题意，故选B．3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程x2―2x+a2+b2+ab=0的两个根为x1=m，x2=n，且a+b=1．下列说法正确的个数为（）①m·n＞0；②m>0，n>0；③a2≥a；④关于x的一元二次方程(x+1)2+a2―a=0的两个根为x1=m―2，x2=n―2．A．1B．2C．3D．4【思路点拨】根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，利用a+b=1消去b得到mn=a2―a+1=a+34 >0，从而即可对①进行判断；由于x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ=4―4(a2+b2+ab)≥0，即4―4(a2―a+1)≥0，则可对③进行判断；利用a2+b2+ab=a2―a+1把方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0，由于方程(x―1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0，所以x+2=m或x+2=n，于是可对④进行判断．【解题过程】解：根据根与系数的关系得x1x2=mn=a2+b2+ab，∵a+b=1，∴b=1―a，>0，所以①正确；∴mn=a2+(1―a)2+a(1―a)=a2―a+1=a―+34∵x1+x2=m+n=2>0，x1x2=mn>0，∴m>0，n>0，所以②正确；∵Δ≥0，∴4―4(a2+b2+ab)≥0，即4―4(a2―a+1)≥0，∴a≥a2，所以③错误；∵a2+b2+ab=a2―a+1，∴方程x2―2x+a2+b2+ab=0化为(x―1)2+a2―a+1=0，即(x―1)2+a2―a=0，∵方程(x+1)2+a2―a=0可变形为[(x+2)―1]2+a2―a=0，∴x+2=m或x+2=n，解得x1=m―2，x2=n―2，所以④正确．故选：C．4．（22-23九年级上·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程x2―8cx―9d=0的解，c、d是方程x2―8ax―9b=0的解，则a+b+c+d的值为．【思路点拨】由根与系数的关系得a+b，c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得a2―8ac―9d=0，代入可得a2―72a+9c―8ac=0，同理可得c2―72c+9a―8ac=0，两式相减即可得a+c 的值，进而可得a+b+c+d的值．【解题过程】解：由根与系数的关系得a+b=8c，c+d=8a，两式相加得a+b+c+d=8(a+c)．因为a是方程x2―8cx―9d=0的根，所以a2―8ac―9d=0，又d=8a―c，所以a2―72a+9c―8ac=0①同理可得c2―72c+9a―8ac=0②①-②得(a―c)(a+c―81)=0．因为a≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8(a+c)=648．故答案为648．5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数a,b,c满足：a+b+c=2,abc=4．求|a|+|b|+|c|的最小值【思路点拨】用分类讨论的思想，解决问题即可．【解题过程】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即a≥b，a≥c，由题设知a>0，且b+c=2―a，bc=4，a=0的两实根，于是b，c是一元二次方程x2―(2―a)x+4a≥0，即(a2+4)(a―4)≥0，∴Δ=(2―a)2―4×4a所以a≥4．又当a=4，b=c=―1时，满足题意．故a，b，c中最大者的最小值为4．因为abc=4>0，所以a，b，c为全大于0或一正二负．①若a，b，c均大于0，a，b，c4，这与a+b+c=2矛盾．②若a，b，c为或一正二负，不妨设a>0，b<0，c<0，则|a|+|b|+|c|=a―b―c=a―(2―a)=2a―2，∵a≥4，故2a―2≥6，当a=4，b=c=―1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a|+|b|+|c|的最小值为6．故答案为：6．6．（22-23九年级上·四川成都·期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a(x+ℎ)2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b－2c＝，ax1+x1x2+ax2的最大值是．【思路点拨】利用ax2+bx+c=0（a≠0）与方程(x+1)2―2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a―2，即可求出b―2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=―2，x1x2=a―2，进而得出ax1+x1x2+ax2=―2a=t（t>0），得a2―t⋅a+1=0，根据方程a2―t⋅a+1=0有正数解可知Δ=t2a+1，设a+1a―4≥0，求出t的取值范围即可求出ax1+x1x2+ax2的最大值．【解题过程】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0）可变形为a(x+1)2―2=0，∴a(x+1)2―2=ax2+bx+c，展开，ax2+2ax+a―2=ax2+bx+c，可得b=2a，c=a―2，∴b―2c=2a―2(a―2)=4；∵x1+x2=―2，x1x2=a―2，a=―2a++1，∴ax1+x1x2+ax2=a(x1+x2)+x1x2=―2a+a―2a∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ=b2―4ac=(2a)2―4a(a―2)8a≥0，且a≠0，∴a>0，=t（t>0），得a2―t⋅a+1=0，设a+1a∵方程a2―t⋅a+1=0有正数解，∴Δ=t2―4≥0，≥2，解得t≥2，即a+1a∴ax1+x1x2+ax2=―2a+1≤―3．故答案为：4，-3．7．（23-24九年级上·山东济南·期末）已知xy+x+y=44，x2y+xy2=484，求x3+y3．【思路点拨】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学知识成为解题的关键．设xy=m，x+y=n，等量代换后可得44=m+n、484=mn，则m、n为t2―44t+484=0的根，可解得m=n=22，然后再对x3+y3变形后将m=n=22代入计算即可．【解题过程】解：设xy=m，x+y=n，∴44=xy+x+y=m+n，484=x2y+xy2=xy(x+y)=mn，∴m、n为t2―44t+484=0的根，∴m=n=22，∴x3+y3=(x+y)x2+y2―xy=(x+y)(x+y)2―3xy=n[n2―3m]=n3―3mn=9196．8．（2024九年级·全国·竞赛）记一元二次方程x2+3x―5=0的两根分别为x1、x2．（1）求1x1―1+1x2―1的值；（2）求3x21+6x1+x22的值．【思路点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解．在利用根与系数的关系x1⋅x2=ca，x1+x2=―ba时，需要弄清楚a、b、c的意义．（1）利用根与系数的关系求得求1x1―1+1x2―1的值的值；（2）由一元二次方程的解可得x21+3x1―5=0,再利用根与系数的关系求解即可．【解题过程】（1）∵x1+x2=―3,x1x2=―5，∴1x1―1+1x2―1=x2―1+x1―1 (x1―1)(x2―1)=x1+x2―2x1x2―(x1+x2)+1=―3―2―5―(―3)+1=5；（2）∵x1是一元二次方程x2+3x―5=0的根，∴x21+3x1―5=0,∴x21+3x1=5，又∵x1+x2=―3,x1x2=―5，∴3x21+6x1+x22=2x21+3x1+(x1+x2)2―2x1x2=29．9．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值．【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根，若方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca．（1）根据方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根得出判别式Δ>0，列出不等式即可得答案；（2）根据（1）中结果得出n值，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出m的值即可．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程x2―2mx+m2―n=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(―2m)2―4(m2―n)>0，解得：n>0．（2）设方程的两个实数根为x1、x2，且x1>x2，∴x1+x2=2m，x1⋅x2=m2―n，由（1）可知：n>0，∵n为符合条件的最小整数，∴n=1，∵该方程的较大根是较小根的3倍，∴x1=3x2，∴4x2=2m，3x22=m2―1，∴3×m24=m2―1，解得：m1=―2，m2=2．当m=2时，x2=1，则x1=3x2=3，符合题意，当m=―2时，x2=―1，则x1=3x2=―3<x2，与x1>x2不符，舍去，∴m=2．10．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0．（1）若α和β分别是该方程的两个根，且αβ=―2，求m的值；（2）当m=1，2，3，⋅⋅⋅，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，⋅⋅⋅，α2024、β2024，求1α1+1β1+1α2+1β2+⋯+1α2024+1β2024的值．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=―ba ,x1⋅x2=ca可得：1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=2m2+m，进一步可寻找1α2024+1β2024的规律，即可求解．【解题过程】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x―m2―m=0，α和β分别是该方程的两个根，∴αβ=―m2―m∵αβ=―2，∴―2=―m2―m∴m=1或m=―2；（2）解：设方程x2+2x―m2―m=0的两个根为：x1,x2则x1+x2=―ba =―2,x1⋅x2=ca=―m2―m，∴1 x1+1x2=x1+x2x1·x2=2m2+m=2m(m+1)∴1α1+1β1=21×2，1α2+1β2=22×3，1α3+1β3=23×4…．．1α2024+1β2024=22024×2025∴1+1+1+1+⋯+1+1=2×+1+...+=2×1―12+12―13+...+12024=2×1―=4048202511．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）已知α、β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根（1）直接写出m 的取值范围（2）若满足1α+1β=―1，求m 的值．（3）若α>2，求证：β>2；【思路点拨】（1）根据一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根，得Δ>0，即可列式作答；（2）结合一元二次方程根与系数的关系，得α+β=―(2m +3)和αβ=m 2，因为1α+1β=―1，所以2m+3m 2=1，解得m 1=3，m 2=―1，结合m >―34，即可作答；（3）因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4，结合α+β=―(2m +3)和αβ=m 2，得m 2+2(2m +3)+4=(m +2)2+6，则(α―2)(β―2)≥6>0，又因为α>2，即可证明β>2．【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x 2+(3)x +m 2=0的两个不相等的实数根∴Δ=b 2―4ac =(2m +3)2―4×1×m 2=4m 2+12m +9―4m 2=12m +9>0，即m >―34；（2）解：∵1α+1β=βαβ+ααβ=α+βαβ=―1，且α+β=―b a =―(2m +3)，αβ=ca =m 2∴2m+3m 2=1整理得m 2―2m ―3=0，解得：m 1=3，m 2=―1∵由（1）知m >―34，∴m =3检验：当m =3时，m 2≠0，即m =3；（3）证明：因为(α―2)(β―2)=αβ―2(α+β)+4，把α+β=―(2m+3)和αβ=m2代入上式，得m2+2(2m+3)+4=m2+4m+10=(m+2)2+6，∵(m+2)2≥0，∴(m+2)2+6≥6∴(α―2)(β―2)≥6>0∵α>2，∴α―2>0，∴β―2>0，即β>2．12．（22-23九年级·浙江·自主招生）已知方程x2+4x+1=0的两根是α、β．（1）求|α―β|的值；（2（3）求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于α、β的倒数的立方．（参考公式：x3+y3=(x+y) x2+y2―xy．【思路点拨】（1α+β=―4,αβ=1，再求得(α―β)2的值，进而求得|α―β|的值．++α+β=―4,αβ=1代（2入计算即可；（3+的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【解题过程】（1）解：∵方程x2+4x+1=0的两根是α、β∴α+β=―4,αβ=1∴(α―β)2=(α+β)2―4αβ=12∴|α―β|=（2）解：由（1）可知：α<0，β<0，∵+=αβ+βα+2=α2+β2αβ+2=(α+β)2―2αβαβ+2=16，=4（负值舍去）；（3+=(1α+1β)+―=α+βαβ=α+βαβ=―411=―52==1所以新的一元二次方程x2+52x+1=0．13．（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有实数根．（1）若方程的两根之和为整数，求m的值；（2）若方程的根为有理根，求整数m的值．【思路点拨】（1）根据关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定m的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=m―1m，若方程的两根之和为整数，即m―1m为整数，即可确定m的值；（2）分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，求解可得x=―2，符合题意；当m≠0时，对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0可有x=m为整数，则Δ=m2―10m+1为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【解题过程】（1）解：∵关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0有两个根，且为实数根，∴m≠0，且Δ=[―(m―1)]2―4m×2=m2―10m+1≥0，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知x1+x2=――(m―1)m =m―1m，若方程的两根之和为整数，即m―1m为整数，∵m―1m =1―1m，∴1m是整数，∴m=±1，当m=1时，Δ=1―10+1=―8<0，不符合题意；当m=―1时，Δ=1+10+1=12>0，m―1m =―1―1―1=2，为整数，符合题意；∴m的值为―1；（2）当m=0时，此时关于x的方程为x+2=0，解得x=―2；当m≠0时，对于关于x的方程mx2―(m―1)x+2=0的根为：x=若方程的根为有理根，且m为整数，则Δ=m2―10m+1为完全平方数，设m2―10m+1=k2（k为正整数），则：m==5±∵m为整数，设24+k2=n2（n为正整数），∴(k+n)(n―k)=24，∴k+n=12n―k=2或k+n=6n―k=4或k+n=8n―k=3或k+n=24n―k=1，解得：k=5n=7或k=1n=5或k=52n=11（不合题意，舍去）或k=232n=25（不合题意，舍去）∴m 2―10m +1=12=1或m 2―10m +1=52=25；当m 2―10m +1=1时，解得m =10或m =0（舍去）；当m 2―10m +1=25时，解得m =―2或m =12，综上所述，若方程的根为有理根，则整数m 的值为0或10或―2或12．14．（22-23九年级下·浙江·自主招生）设m 为整数，关于x 的方程(m 2+m ―2)x 2―(7m +2)x +12=0有两个整数实根．（1）求m 的值．（2）设△ABC 的三边长a,b,c 满足c =2+a 2m ―12a =0,m 2+b 2m ―12b =0．求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）设原方程的两个解分别为x 1,x 2，根据两个整数实根，则x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数，进而分类讨论，即可求解；（2）由（1）得出的m 的值，然后代入将m 2+a 2m ―12a =0，m 2+b 2m ―12b =0进行化简，得出a ，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a ，b 的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积．【解题过程】（1）解：∵m 2+m ―2≠0，∴m ≠―2或m =1，∵方程有两个实数根，∴Δ=b 2―4ac =[―(7m +2)]2―4×12×(m 2+m ―12)=m 2―20m +580=(m ―10)2+480>0设原方程的两个解分别为x 1,x 2∴x 1+x 2=7m+2m 2+m―2,x 1x 2=12m 2+m―2都是整数，∴m 2+m ―2=1,2,3,4,6,12m 2+m ―2=1，解得：m =m 2+m ―2=2，解得：m =m 2+m ―2=3，解得：m =m 2+m ―2=4，解得：m =―3或m =2m 2+m ―2=6，解得：m =m2+m―2=12，解得：m=当m=―3时，7m+2m2+m―2=―21+24=―194不是整数，舍去当m=2时，7m+2m2+m―2=14+24=4符合题意，综上所述，m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2―6a+2=0，b2―6b+2=0，当a=b时，a=b=3当a≠b时，a、b是方程x2―6x+2=0的两根，而Δ>0，根据根与系数的关系可得，a+b=6>0，ab=2>0，则a>0、b>0，①a≠b，c=a2+b2=(a+b)2―2ab=36―4=32=c2，故△ABC为直角三角形，且∠C=90°，SΔABC=12ab=1；②a=b=3c=2(3―<故不能构成三角形，不合题意，舍去；；③a=b=3c=2(3+>SΔABC=12×=综上，△ABC的面积为1或15．（22-23九年级上·湖南常德·材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=―ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=―1，则m2n+mn2=mn(m+n)=―1×1=―1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程x2―3x―1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=___________，x1x2= ___________．（2）类比应用：已知一元二次方程x2―3x―1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足s2―3s―1=0，t2―3t―1=0，且s≠t，求1s ―1t的值．【思路点拨】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出m +n =―ba =3，mn =ca =―1，再根据nm +mn=m 2+n 2mn=(m+n )2―2mnmn，最后代入求值即可；（3）由题意可将s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根，即得出s +t =―b a =3，s ⋅t =ca =―1，从而可求出(t ―s )2=(t +s )2―4st =13，即t ―s =t ―s =―【解题过程】（1）解：∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=―ba =――31=3，x 1⋅x 2=c a =―11=―1．故答案为：3，―1；（2）∵一元二次方程x 2―3x ―1=0的两根分别为m 、n ，∴m +n =―ba =3，mn =ca =―1，∴nm +m n=m 2+n 2mn=(m +n )2―2mn mn =32―2×(―1)―1=―11；（3）∵实数s 、t 满足s 2―3s ―1=0，t 2―3t ―1=0，∴s 、t 可以看作方程x 2―3x ―1=0的两个根，∴s +t =―ba =3，st =ca =―1，∵(t ―s )2=(t +s )2―4st =32―4×(―1)=13∴t ―s =t ―s =―当t ―s =1s―1t =t―s st==―当t ―s =―1s―1t =t―s st==综上分析可知，1s ―1t 的值为16．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx +n =0或px +q =0时，多项式A =(mx +n )(px +q )=mpx 2+(mq +np )x +nq 的值为0，把此时x 的值称为多项式A 的零点．（1）已知多项式(3x +1)(x ―2)，则此多项式的零点为__________；（2）已知多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1，求多项式B 的另一个零点；（3）小聪继续研究(x ―3)(x ―1)，x (x ―4)及x ――x 轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x =2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式M =(2ax +b )(cx ―5c )=bx 2―4cx ―2a ―4是“2系多项式”，求a 与c 的值．【思路点拨】（1）根据多项式的零点的定义即可求解；（2）根据多项式的零点的定义将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0，求得a =2，再解一元二次方程即可求解；（3）令cx ―5c =0，求得M 的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程bx 2―4cx ―2a ―4=0的两个根为x 1=―1，x 2=5，再利用根与系数的关系即可求解．【解题过程】（1）解：令(3x +1)(x ―2)=0，∴3x +1=0或x ―2=0，∴x =―13或x =2，则此多项式的零点为―13或2；故答案为：―13或2；（2）解：∵多项式B =(x ―1)(bx +c )=ax 2―(a ―1)x ―a2有一个零点为1，∴将x =1代入ax 2―(a ―1)x ―a2=0，得a ―(a ―1)―a2=0，解得a =2，∴B=2x2―x―1=(x―1)(2x+1)，令2x+1=0，解得x=―12，∴多项式B的另一个零点为―12；（3）解：∵M=(2ax+b)(cx―5c)=bx2―4cx―2a―4是“2系多项式”，令cx―5c=0，解得x=5，即M的一个零点为5，∴设M的另一个零点为y，则y+52=2，解得y=―1，即2ax+b=0时，x=―1，则―2a+b=0①，令M=bx2―4cx―2a―4=0，根据题意，方程bx2―4cx―2a―4=0的两个根为x1=―1，x2=5，∴x1+x2=――4cb =5+(―1)=4，x1⋅x2=―2a―4b=5×(―1)=―5，∴c=b②，5b―2a―4=0③，解①②③得c=b=1，a=12，∴a=12，c=1．17．（22-23九年级上·湖北黄石·期末）（1）x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，且(x1+1)⋅(x2+1)=8，求k的值．（2）已知：α，β(α>β)x2―x―1=0的两个实数根，设s1=α+β，s2=α2+β2，…，s n=αn+βn．根据根的定义，有α2―α―1=0，β2―β―1=0，将两式相加，得α2+β2―(α+β)―2=0，于是，得s2―s1―2=0．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出s1，s2的值．②经计算可得：s3=4，s4=7，s5=11，当n≥3时，请猜想s n，s n―1，s n―2之间满足的数量关系，并给出证明．【思路点拨】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出x1+x2=2(k+1)，x1x2=k2+2．由(x1+1)(x2+1)=8，可得x1x2+(x1+x2)+1=8，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出α+β=―ba =1，αβ=ca=―1，进而可求出s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=3；②由一元二次方程的解的定义可得出α2―α―1=0，两边都乘以αn―2，得：αn―αn―1―αn―2=0①，同理可得：βn―βn―1―βn―2=0②，再由①+②，得：(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0．最后结合题意即可得出s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，即s n=s n―1+s n―2．【解题过程】解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2―2(k+1)x+k2+2=0的两实根，∴x1+x2=―ba =――2(k+1)1=2(k+1)，x1x2=ca=k2+21=k2+2，∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=k2+2+2(k+1)+1=8，整理，得：k2+2k―3=0，解得：k1=―3，k2=1．当k=―3时，Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2(―3+1)]2―4(―32)+2=―28<0，∴此时原方程没有实数根，∴k=―3不符合题意；当k=1时，Δ=b2―4ac=[―2(k+1)]2―4(k2+2)=[―2×(1+1)]2―4(12+2)=4>0，∴此时原方程有两个不相等的实数根，∴k=1符合题意，∴k的值为1；（2）①∵x2―x―1=0，∴a=1，b=―1，c=―1．∵α，β(α>β)是一元二次方程x2―x―1=0的两个实数根，∴α+β=―ba =1，αβ=ca=―1，∴s1=α+β=1，s2=α2+β2=(α+β)2―2αβ=12―2×(―1)=3；②猜想：s n=s n―1+s n―2．证明：根据一元二次方程根的定义可得出α2―α―1=0，两边都乘以αn―2，得：αn―αn―1―αn―2=0①，同理可得：βn―βn―1―βn―2=0②，由①+②，得：(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，∵s=α+β，s=α+β，s=α+β，∴s n―s n―1―s n―2=(αn+βn)―αn―1+βn―1―αn―2+βn―2=0，即s n=s n―1+s n―2．18．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程x2―(m+2)x+4m=0有两个实数根x1,x2，其中x1<x2．（1）若m=―1，求x12+x22的值；（2）一次函数y=3x+1的图像上有两点A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB=m的值；（3）边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为x1和x2，求该直角三角形的面积．【思路点拨】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“Δ=b2―4ac”，根与系数关系“x1+x2=―ba ，x1⋅x2=ca”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用；（1）将m=―1代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到x1+x2=―ba =1，x1⋅x2=ca=―4，将x12+x22转化即可求解；（2）根据点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数图像上，得出A x1，3x1+1，B x2，3x2+1，再根据根与系数关系得到x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m，根据AB=（3）根据直角三角形两直角边x1,x2为整数，得出Δ=b2―4ac=m2―12m+4，令m2―12m+4=k2(k为正整数)，得出(m+k―6)(m―k―6)=32，又m+k―6>m―k―6，然后分三种情况取值即可解答；【解题过程】（1）当m=―1时，方程为x2―x―4=0，Δ=b2―4ac=(―1)2―4×1×(―4)=17>0，∴x1+x2=―ba =1，x1⋅x2=ca=―4，即x21+x22=(x1+x2)2―2x1x2=12―2×(―4)=9；（2）将A(x1,y1),B(x2,y2)代入y=3x+1可得A x1，3x1+1，B x2，3x2+1，又Δ=(m+2)2―4×4m>0，故x1+x2=m+2,x1⋅x2=4m，AB2=(x1―x2)2+(y1―y2)2=10(x1―x2)2，即10(x1―x2)2=10，(x1―x2)2=1，(x1―x2)2=(x1+x2)2―4x1x2=1，(m+2)2―4×4m=1，(m―6)2=33，m1=6+2=6―（3）∵直角三角形两直角边x1,x2为整数，∴Δ=b2―4ac=(m+2)2―4×4m=m2―12m+4为平方数，不妨令m2―12m+4=k2(k为正整数)，(m―6)2―32=k2，(m+k―6)(m―k―6)=32，m+k―6>m―k―6，当①∴m+k―6=32,m―k―6=1，解得m=452（不合题意舍去）；当②m+k―6=16,m―k―6=2，解得m=15，∴方程x2―17x+60=0，x1=12,x2=5，则斜边为13，即S=x1⋅x22=30；当③m+k―6=8,m―k―6=4，解得m=12，∴方程x2―14x+48=0，x1=6,x2=8，则斜边为10，即S=x1⋅x22=24，综上所述：该直角三角形的面积为30或24．19．（22-23九年级上·全国·单元测试）如果方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=―p，x1x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知a，b是方程x2+15x+5=0的二根，则ab +ba=?（2）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知x =x 1y =y 1 和x =x 2y =y 2是关于x ，y 的方程组x 2―y +k =0x ―y =1的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k ，使得y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2？若存在，求出的k 值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据a ，b 是方程x 2+15x +5=0的二根，求出a +b ，ab 的值，即可求出ab +ba 的值；（2）根据a +b +c =0，abc =16，得出a +b =―c ，ab =16c，a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解，再根据c 2―4×16c≥0，即可求出c 的最小值；（3）运用根与系数的关系求出x 1+x 2=1，x 1x 2=k +1，再解y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2，即可求出k 的值．【解题过程】（1）解：∵a ，b 是方程x 2+15x +5=0的二根，∴a +b =―15，ab =5，∴ab +ba =(a+b )2―2abab=(―15)2―2×55=43，∴ab +b a =43；（2）∵a +b +c =0，abc =16，∴a +b =―c ，ab =16c ，∴a 、b 是方程x 2+cx +16c=0的解，∴c 2―4×16c≥0，∴c 2―43c≥0，∵c 是正数，∴c 3―43≥0，∴c 3≥43，∴c ≥4，∴正数c 的最小值是4；（3）存在，当k =―2时，y 1y 2―x 1x 2―x 2x 1=2．理由如下：∵x2―y+k=0①x―y=1②，由①得：y=x2+k，由②得：y=x―1，∴x2+k=x―1，即x2―x+k+1=0，由题意思可知，x1，x2是方程x2―x+k+1=0的两个不相等的实数根，∴(―1)2―4(k+1)>0x1+x2=1x1x2=k+1，则k<―34，∵x=x1y=y1和x=x2y=y2是关于x，y的方程组x2―y+k=0x―y=1的两个不相等的实数解，∴y1y2=(x1―1)(x2―1)，∴y1y2―x1x2―x2x1=(x1―1)(x2―1)―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2，∴x1x2―(x1+x2)+1―(x1+x2)2―2x1x2x1x2=2，∴k+1―1+1―1―2(k+1)k+1=2，整理得：k2+2k=0，解得：k1=―2，k2=0（舍去），∴k的值为―2．20．（22-23九年级上·四川资阳·期末）定义：已知x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程x2+13x+30=0的两根为x1=―10，x2=―3，因―10<―3<0，3<―10―3<4，所以一元二次方程x2+13x+30=0为“限根方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：（1）判断一元二次方程x2+9x+14=0是否为“限根方程”，并说明理由；（2）若关于x的一元二次方程2x2+(k+7)x+k2+3=0是“限根方程”，且两根x1、x2满足x1+x2+x1x2 =―1，求k的值；（3）若关于x的一元二次方程x2+(1―m)x―m=0是“限根方程”，求m的取值范围．【思路点拨】（1）解该一元二次方程，得出x 1=―7，x 2=―2，再根据“限根方程”的定义判断即可；（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出x 1+x 2=―k+72，x 1x 2=k 2+32，代入x 1+x 2+x 1x 2=―1，即可求出k 1=2，k 2=―1．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可；（3）解该一元二次方程，得出x 1=―1，x 2=m 或x 1=m ，x 2=―1．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出Δ>0，m <0且m ≠―1，可求出m 的取值范围．最后分类讨论即可求解．【解题过程】（1）解：x 2+9x +14=0，(x +2)(x +7)=0，∴x +2=0或x +7=0，∴x 1=―7，x 2=―2．∵―7<―2，3<―7―2=72<4，∴此方程为“限根方程”；（2）∵方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0的两个根分比为x 1、x 2，∴x 1+x 2=―k+72，x 1x 2=k 2+32．∵x 1+x 2+x 1x 2=―1，∴―k+72+k 2+32=―1，解得：k 1=2，k 2=―1．分类讨论：①当k =2时，原方程为2x 2+9x +7=0，∴x 1=―72，x 2=―1，∴x 1<x 2<0，3<x 1x 2=72<4，∴此时方程2x 2+(k +7)x +k 2+3=0是“限根方程”，∴k =2符合题意；②当k =―1时，原方程为2x 2+6x +4=0，∴x 1=―2，x 2=―1，∴x 1<x 2<0，x 1x 2=2<3，∴此时方程2x2+(k+7)x+k2+3=0不是“限根方程”，∴k=―1不符合题意．综上可知k的值为2；（3）x2+(1―m)x―m=0，(x+1)(x―m)=0，∴x+1=0或x―m=0，∴x1=―1，x2=m或x1=m，x2=―1．∵此方程为“限根方程”，∴此方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0，m<0且m≠―1，∴(1―m)2+4m>0，即(1+m)2>0，∴m<0且m≠―1．分类讨论：①当―1<m<0时，∴x1=―1，x2=m，∵3<x1x2<4，∴3<―1m<4，解得：―13<m<―14；②当m<―1时，∴x1=m，x2=―1，∵3<x1x2<4，∴3<m―1<4，解得：―4<m<―3．综上所述，m的取值范围为―13<m<―14或―4<m<―3．。

《根与系数关系》PPT

a
随堂练习
• 1、求下列方程两根x1、x2的和与积。 (1)、x2-3x=15 (2)、5x2-1=4x2+x
• 2、补充练习：判断下列各个方程后面两个数是不是它的两个根。 (1)、x2-6x-7=0(-1,7); (2)、２x2+x-３=0（ 3 ，１）
2
（３）x2-８x+１１=0（4 5 ，4 5 ）
x1+x2=
-
b a
x1x2=
c
a
例题分析
例：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1、x2的和与积。
• （1）、x2-6x-15=0 • :(1)要先把一元二次方程化成标准形式;(2)不要漏除以二次项系数;(3) 要注意- b 的符号.
用适当的方法解方程: （1）、x2-6x+8=0 （2）、2x2-3x+1=0
观察方程（1）中两根和、两根积与系数的关系？
方程（2）中的呢？
b b2 4ac b b2 4ac
x1+x2=
2a
+
2a
=?
x1x2=
b b2 4ac * b b2 4ac =?
2a
2a
结论:方程的两个根x1、x2和系数a，b，c有如下关系：
一元二次方程的根与系数的关系
• 因式分解法 • 直接开平方法 • 配方法 • 公式法
你能说一下那种方法可以解决任意的一元二次方程吗?
复习配方法得出一元二次方程的求根公式
• ax2+bx+c=0(a≠0)
• • •
方程两边都除以a，得：x2+
移项，得：
x2+
b a
x
=-

中考数学根与系数关系培优练习含答案

中考数学根与系数关系培优练习阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值；（2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <，且2350a b c ++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于35而小于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ． 2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（）A ．12m n >⎧⎨>⎩B ．12m n >⎧⎨<⎩C ．12m n <⎧⎨>⎩D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=．（1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（）A ．2B ．4C ．3D ．56．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++；（2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ① 85174A B -=- ② 解由① ②联立的方程组得 1(4038517)8A =-例 4. 0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20 (2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥ 解得23,a ≥故正实数a 的最小值为23(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由2350b b c ++=，得2+350b ca a ⨯+⨯=，即()12122350x x x x -++=，解得1213253x x x -=-，假设235x ≤，则11323553x x --≤，由10x ＜推得103--≥不成立，故235x ＞；假设21x ≥，则1132153x x --≥，由10x ＜推得132053x --≥＞，矛盾．故21x ＜，综上所述2315x ＜＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得()1253b ac =-+，得()3333131025555555f a b c a a c c a ⎛⎫-=++=-++=⎪ ⎪⎝⎭， ()()()1132533f a b c a a c ⎡⎤=++=----⎣⎦．若a ＞0，0c ＜，则305f ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则305f ⎛⎫⎪⎪⎝⎭＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()3105f f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.＜，故原方程必有一根介于35与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016- 提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞（2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫----⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d +++-+++++-+++=-++++++…+ 77777.b c db c d M c d a d a b a b c+-+-+-=-++++++（2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）5172m -=．（2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

初中数学九年级专题复习专题04 根与系数关系

专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值；（2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=2，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数；当时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当时，关于m的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则（） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=．（1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b +的值为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++；（2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．专题 04 根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -<例 3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的方程组得1(4038A =-例 4.0,s ≠故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s ≠∴是一元二次方程299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s+=-=即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==-例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a ≥故正实数a(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=．例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12c x x a =，由0c =，得0b ca a =，即)12120x x x x +=，解得2x =，假设2x，则，由10x ＜推得3-不成立，故2x 21x ≥1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c =+=++=， ()1f a b c a a c ⎤=++=-⎦．若a ＞0，0c ＜，则0f ＜，()10f ＞；若a ＜0，0c ＞，则0f ＞，()10f ＜．∴0ac ＜时，总有()10f f .＜与1之间．A 级 1．3 2．2 3．-2 m ＞2 0＜m ≤183提示：12x -＞，22x -＞与124x x +-＞，124x x ⋅＞不等价．4．100134016-提示：由条件得2n n a b n +=+，22n n a b n ⋅=-，则()()()2221n n a b n n --=-+，则()()211112221n a b n n ⎛⎫=-- ⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m ∆-+＞（2）2124m x x =-≤0，m =4或m =0． 10．（1）43k -＞且0k ≠ （2）存在k =4 11．由题意得2m n =，224840n m n --+＜．当n =1时，m =2；当n =2时，m =4． 12．设方程两根为1x ，2x ，则1212,.x x mn x x m n +=⎧⎨=+⎩∵m ，n ，1x ，2x 均为正整数，设121x x ≥≥，1m n ≥≥，则()1212x x x x mn m n +-=-+，即有()()()()1211112x x m n --+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x x m n ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.x x m n =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m m n n n ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ B 级 1．0 提示：由条件得21130x x +-=，22230x x +-=，∴2113x x =-，2223x x =-，∴()3211111111333343x x x x x x x x =-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x ---+=--++=++．又∵121x x +=-,∴原式=0． 2．853．5 4．638- 提示：()2=240a ∆-+＞，原式=2963632488a ⎛⎫---- ⎪⎝⎭≤． 5．D 6．C 7．B 8．B9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab +-=，即()21a b -=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-． 11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =．（2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

华师版九年级数学根与系数的关系

华师版九年级数学根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2.会用一元二次方程的根与系数的关系解决问题。

1.探究题：
（1）已知关于x 的方程x2 ＋px＋q＝0 的两个根是，请完成下列问题：
（2）你能发现关于x 的方程
x2 ＋px＋q＝0
的“两根之和”与“两根之积”的规律吗？
关于x 的方程x2+p x+q=0 （p、q 为已知常数，
P2-4q≥0），
则x1+x2=-p，x1 x2=q
2.若一个关于的一元二次方程
的两个根是，请完成下列问题：
教师点评
若一个关于的一元二次方程
的两个根是，则有：
当堂训练（一）——自学检测
1.求下列方程的“两根之和”与“两根之积”
（1）.x2－6x－7＝0
（3）.3x2＋2x－3＝0.。

2017年人教版九年级数学上册：一元二次方程的根与系数关系

2017年人教版九年级数学上册：一元二次方程的根与系数关系知识点梳理：1、一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 _.（1）ac b 42->0⇔一元二次方程有实数根；（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有相等的实数根；（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程实数根；（4）≥-ac b 420⇔一元二次方程实数根；例1：（1）试证明：不论m 为何值，方程0)14(222=----m m x m x 总有两个不相等的实数根。

（2）已知方程2x 2+（k-9）x+(k 2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k 的值,并求出方程的根。

2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .例2：（1）如果方程20542=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += ；21x x =（2）若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是 .（3）已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2221x x += .（4）已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值：①2221x x + + 21x x ②1221x x x x +（5）已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．①求证方程有两个不相等的实数根．②当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解。

练习：一、选择题。

（每题3分）1.一元二次方程2450x x -+=的根的情况是（）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数2．一元二次方程()224260m x mx m --+-=有两个相等的实数根，则m 等于（）A. -6B. 1C. 2D. -6或1 3．如果关于x 的方程ax 2+x –1= 0有实数根，则a 的取值范围是（） A ．a ＞–14 B ．a ≥–14 C ．a ≥–14且a ≠0 D ．a ＞–14且a ≠04．若一元二次方程022=++a x x 有实数根，则a 的取值范围是（）A ．1≤aB ．4≤aC ．1<aD ．1≥a5.已知m 方程210x x --=的一个根，则代数式2m m -的值等于（）A.-1B.0C.1D.26．关于x 的方程ax 2﹣3x+2=x 2是一元二次方程，则a 的取值范围为（）A ．a ≠0B ．a ＞0C ．a ≠1D ．a ＞17．若关于x 的方程01)2(2=-+-mx x m 是一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．m ≠2B ．m=2C ．m ≥2D ．m ≠08．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有两个相等的实根，则k 的值为（）A ．k=﹣4B ．k=4C ．k ≥﹣4D ．k ≥49．若3k+7＜0，则关于x 的一元二次方程x 2+3x-2k=0的根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断10.等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2-12x+k=0的两个根，则k 的值是（）A ．27B ．36C ．27或36D ．1811．三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x 2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）12.关于x 的方程0122=---m mx x 的根的情况（）A.没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 不能确定二、填空题。

初三数学培优——判别式根与系数关系

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1，对于方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，代数式b ２－4ac 叫做根的判别式，用“△＝b ２－4ac ”表示．写出一个一元二次方程的根的判别式，首先要将一元二次方程化为一般形式，凡不是一般形式的一元二次方程，都理应通过去括号、移项、合并等步骤化为一般形式.任何一个一元二次方程用配方法将其变形为，所以对于被开方数来说，只需研究为如下几种情况的方程的根。

① 当时，方程有两个不相等的实数根。

即② 当时，方程有两个相等的实数根，即。

③ 当时，方程没有实数根。

判别式的作用是能够由其值的情况确定一元二次方程根的情况，当判别式的值分别取正数、零和负数时，一元二次方程分别有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.必须指出的是：不难得到 x 1＋x 2＝－a b , x 1·x 2＝ac. 这就是一元二次方程的根与系数关系(韦达定理). 在学习和应用上述定理时要注意以下几点：1.一元二次方程根与系数的关系揭示了一元二次方程的实根与系数之间的内在联系，在使用时需先将一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0);2.使用韦达定理的前提是方程有实数根；3.韦达定理不但可求出方程两实根的和与积,而且可判断两实数根的符号(如两正根;两负根;一正根一负根等);4.要防止出现x 1＋x 2＝ab这样的错误. 典型例题例1 m 取什么值时，方程3x ２－2(3m －1)x ＋3m ２－1＝0 (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?例2已知方程x２－(3－a)x－(3a＋b２)＝0有两个相等的实数根，求实数a与b的值．例3当a、b为何值时，方程x2＋(1＋a)x＋(3a２＋4ab＋4b２＋2)＝0有实数根?例4判别下列关于x的二次方程2(m＋1)x２＋4mx＋(2m－1)＝0的根的情况．例5当m为何值时，关于x的二次三项式x２＋2(m－4)x＋m２＋6m＋2是完全平方式?例6已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x２－1)－2ax＋c(x２＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．分析这是一道代数、几何知识的综合题，解题前理应明确：(1)从条件知，问题与判别式相关，又因原方程不是标准形式，所以必须先将方程化为标准形式；(2)判断△ABC 的形状常从边，或角的方面去考虑，从题设条件可知，本题应从边的关系去判断．例7 已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)中，b ＞0,c ＜0,则( ).(A)方程有两个正根 (B)方程有两个负根(C)方程的两根异号,且正根的绝对值较大 (D)方程的两根异号,且负根的绝对值较大例8 如果2＋3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根,不解方程,求方程的另一个根及c 的值.例9 设x 1、x 2是方程2x 2＋3x －1＝0的两根,不解方程,求112112+++x x x x 的值.这类题是常见题,解题的规律是通过恒等变形把原代数式化为用二次方程两根和与积表示的代数式.如： x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2;21212111x x x x x x +=+; 212122121212221122)(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+; (x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2;(x 1＋m )(x 2＋m )＝ x 1x 2＋m ·(x 1＋x 2)＋m 2……等等.但不是任何一个代数式都能用两个根的和与积表示的,如x 13＋x 22.例10 k 为何值时,方程x 2－(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根,且两根互为倒数.例11 已知a 、b 是方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个实数根,且a 2＋b 2＝1,求m 的值.例12 已知a 2＋a －1＝0,b 2＋b －1＝0(a ≠b ). 求a 2b ＋ab 2的值.巩固练习一、选择题1．若关于x 的一元二次方程2x (mx －4)－x ２＋6＝0没有实数根，则m 的最小整数值是（）(A)－1 (B)2 (C)3 (D)4 2．已知方程x ２－p x ＋m ＝0(m ≠0)有两个相等的实数根，则方程x ２＋p x －m ＝0的根的情况是（） (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根 (C)没有实数根 (D)不能确定有无实数根 3．在下面方程中： ①2x ２－mx －1＝0；②21x ２－2mx ＋2m ２＝0;③4x ２＋(m －1)x －m ＝0．无论m 取任何实数根都永远有两个实数根的方程的个数是 ( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4．如果方程2x 2＋kx －6＝0一个根是－3，另一根是x ,则（）(A)x 1＝1,k ＝4 (B)x 1＝－1,k ＝8 (C)x 2＝2,k ＝1 (D)x 2＝－2,k ＝5 5.以53 和－35为根的一元二次方程是（）(A)15x 2＋16x －1＝0 (B) 15x 2－16x ＋15＝0 (C)15x 2＋16x －15＝0 (D) 15x 2－16x －15＝06.已知一元二次方程的两根之和是25，两根的倒数和是－35，这个一元二次方程是(A ）x 2－25x －23＝0 (B) x 2－25x －35＝0 (C) x 2＋25x ＋23＝0 (D) x 2＋25x －35＝07.不解方程，判断43x 2＋3x ＋1＝0根的情况是（）（A ）有一正根一负根（B ）有两个正根（C ）有两个负根（D ）没有实数根 8．一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根的情况是（） (A)两实数根的和等于两实数根的积 (B)两实数根的和与两实数根的积互为相反数 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根9．若方程x 2－(k 2－7)x ＝1的两根之和是2，则实数k 的值是（）（A ）±5 (B)±6 (C) ±3 (D) ±2二、填空题1．不解方程,判断4x ２－43＋3＝0的根的情况是______________________.2．不解方程,判断y ２－（6＋2 ）y ＋2＋3＝0的根的情况是___________________.3.不解方程,判断3x 2－6x －2x ＋2＝0的根的情况是.4.当m ______时,方程3ｘ２－2（3m ＋１）x ＋３m ２＋1＝０没有实数根． 5.当m _____ 时，方程(m －1)x 2＋2(m －7)x ＋2m ＋2＝0有两个相等的实数根.6.若关于x 的一元二次方程2k x 2＋(8k ＋1)x ＝－8k 有两个实数根，则k 的取值范围是_____7.已知一元二次方程x 2－3x ＋1＝0的两根为x 1、x 2,则11x ＋21x ＝， x 12＋ x 22＝ ,(x 1－5)·(x 2－5)＝ .8.以2＋3、2－3为两根的一元二次方程是 . 9.已知关于x 的方程6x 2＋2x ＋a ＝0的一根比另一根大2,则a ＝ . 10.已知关于x 的方程4x 2－9x ＋3(k －1)＝0,当k 时,方程有一根为零, 当k 时,方程的两实数根互为倒数.三、解答题1．m 为何值时，方程mx 2－3x ＋2＝0没有实数根．2．试判别一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0的根的情况．3．求证：对于任何实数m ，关于x 的二次方程x 2－(m ＋1)x ＋(m －1)＝0总有两个不相等的实数根．4．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且一元二次方程(c －b )x 2＋2(b －a )x ＋(a －b )＝0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．5．已知方程2x 2＋kx －2k ＋1＝0的两实数根的平方和为429，求k 的值.6．已知直角三角形ABC 中，斜边上的中线长为23，两条直角边的长分别是方程 2x 2－2mx ＋m ＋3＝0的两根，求m 的值和直角三角形ABC 的面积.。

九年级上根与系数的关系及其应用

根与系数的关系及其应用(1)(1)如果一元二次方程如果一元二次方程如果一元二次方程ax ax 2＋bx bx＋＋c=0(a c=0(a≠≠0)0)的两根为的两根为的两根为x x 1，x 2，那么，那么反过来，如果反过来，如果x x 1，x 2满足满足x x 1+x 2=p =p，，x 1x 2=q =q，则，则，则x x 1，x 2是一元是一元二次方程二次方程x x 2-px+q=0-px+q=0的两个根．的两个根．的两个根．一元二次方程的韦达定理，一元二次方程的韦达定理，一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．个有用的工具．（2）构造新方程）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

一、例题1、不解方程说出下列方程的两根和与两根差：不解方程说出下列方程的两根和与两根差：（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422=--x x2 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．3 3 设方程设方程设方程4x 4x 2-2x-3=0-2x-3=0的两个根是的两个根是α和β，求，求44α2＋2β的值．的值．4：已知已知α，β分别是方程分别是方程x x 2＋x-1=0x-1=0的两个根，求的两个根，求的两个根，求22α5+5β3的值．的值．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x 6x＋＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为的值为_________ _________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x 7x＋＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝，，x 1·x 2＝，，（x 1－x 2）2＝3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x 2)x－－3=0的两根是1和－和－33，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m +2(m－－1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;二、例题5、已知关于、已知关于x x 的二次方程的二次方程x x 2－2(a 2(a－－2)x+a 2－5=05=0有实数根，且两根之积等于两根之和的有实数根，且两根之积等于两根之和的有实数根，且两根之积等于两根之和的22倍，求倍，求a a 的值。

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【最新整理，下载后即可编辑】韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=说明：（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别根系关系的几大用处① 验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；例如：已知方程x 2-5x+6＝0，下列是它两根的是（） A ． 3，-2 B. -2, 3 C. -2，-3 D. 3, 2 ② 求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x 1和x 2的代数式的值，如； ③ 求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. ④ 求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数. （后三种为主）（1）计算代数式的值例若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +； (2)1211x x +； (3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4)22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。

初中数学九年级专项训练一元二次方程专题根与系数关系

一元二次方程专题复习（二）根与系数的关系及其应用如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，那么反过来，如果x 1，x 2满足x 1+x 2=p ，x 1x 2=q ，则x 1，x 2是一元二次方程x 2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具．【典型例题】应用一：已知一个根，求另一个根；例1 ：方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a ，方程x 2＋1998x-1999=0的小根为b ，求a-b 的值．解 : 先求出a ，b ．由观察知，1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根，于是由韦达定理知，另一根为219981-，于是可得a=1.又从观察知，1也是方程x 2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999．所以a-b=1-(-1999)=2000．应用二：求根的代数式的值不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为含，的形式，然后把，的值代入，即可求出所求代数式的值．常见的代数式变形有：① ②③ ④⑤例2：已知二次方程x 2-3x ＋1=0的两根为α，β，求：（1）βα11+ （2）22βα+ (3)α3＋β3解：由韦达定理知： α+β=3， α·β=1．（1）31311==+=+αββαβα（2）()72912322222=-=⨯-=-+=+αββαβα (3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=3(9-3)=18；例3：设方程4x 2-2x -3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．解：因为α是方程4x 2-2x -3=0的根，所以4α2-2α-3＝0，即 4α2=2α＋3．由韦达定理可知，21=+βα.所以4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．例4：已知α，β分别是方程x 2＋x -1=0的两个根，求2α5+5β3的值．解：由于α，β分别是方程x 2＋x -1=0的根，所以α2+α-1=0，β2+β-1=0，即 α2=1-α，β2=1-β．α5=(α2)2·α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α= -3α2+2α = -3(1-α)+2α=5α-3，β3=β2·β=(1-β)β=β-β2=β-(1-β)=2β-1．所以 2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．说明：此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要．应用三：与两根之比有关的问题；例5：已知x 1，x 2是一元二次方程 4x 2-(3m -5)x -6m 2＝0的两实数根，且23x x 21=，求m 的值.解：首先，△=(3m -5)2＋96m 2＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知从上面两式中消去k ，便得即 m 2-6m+5=0，所以m 1=1，m 2=5．应用四：求作新的二次方程例6：求一个一元二次方程，使它的两根分别是212313，。