2015中考数学复习知识点：三角形垂心
三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD BC即可。
因为CF AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得 (2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
垂心的性质
垂心在三角形中的 特殊性质
垂心在三角形中的 证明方法ຫໍສະໝຸດ 垂心在几何证明中 的实际应用
垂心的扩展知识
三角形的其他心
内心：角平分 线的交点，也 是垂足三角形 的高线所在直 线与边的交点
外心：三条垂 直平分线的交 点，也是三角 形外接圆的圆
心
重心：三条中 线的交点，也 是三角形三条
高的交点
九点圆：三角 形三边的中点、 三高的垂足和 垂心本身都在
垂心定理：三角形垂心的性质在几何证明中有着广泛的应用，它可以证明许多与三角形相关的定理 和性质。
三角形面积：通过垂心性质，可以证明三角形面积的公式，以及三角形面积与其他几何量之间的关 系。
三角形不等式：垂心的性质还可以用于证明三角形不等式，例如三角形两边之和大于第三边的性质。
三角形内角和：利用垂心的性质，可以证明三角形内角和等于180度的定理。
垂心与三角形的其他心之间的关系
垂心与内心：内心是三角形三条内角平分线的交点，而垂心是三条高线的交点，两者没有直接关系。 垂心与外心：外心是三角形三条垂直平分线的交点，而垂心是三条高线的交点，两者没有直接关系。
垂心与重心：重心是三角形三条中线的交点，而垂心是三条高线的交点，两者没有直接关系。
垂心的性质在几何证明中的应用
垂心在三角形解法中的应用
垂心定理：三 角形垂心的性 质定理，用于 解决三角形问
题
垂心性质：三 角形垂心的性 质，包括面积、
高线等
垂心定理的应 用：利用垂心 定理解决三角 形问题的实例
垂心在三角形解 法中的重要性： 垂心在三角形解 法中的重要地位
和作用
垂心在几何证明中的应用
垂心与三角形面积 的关系
垂心的判定方法
三角形三边的中线交于一点，该点 即为三角形的垂心。
三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
三角形的外心内心垂心重心
三角形的“四心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心. 一、外心【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心.ABC ∆的重心一般用字母O 表示. 【性质】1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==.2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21.二、内心【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心.ABC ∆的内心一般用字母I 表示. 【性质】1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半.4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 .三、垂心【定义】三角形三条高的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母H 表示. 【性质】1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,.2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的 垂心为A ，△ACH 的垂心为B .四、重心【定义】三角形三条中线的交点叫重心.ABC ∆的重心一般用字母G 表示. 【性质】1.顶点与重心G 的连线必平分对边.2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍. 即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3CB AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31.三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅， 则点O 为ABC ∆的垂心.结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心.结论3：若点G 满足0=++GC GB GA ，则点G 为ABC ∆的重心.结论4：若点G 为ABC ∆所在的平面内一点，满足)(31OC OB OA OG ++=，则点G 为ABC ∆的重心.结论5：若点I 为ABC ∆所在的平面内一点，并且满足0=⋅+⋅+⋅IC c IB b IA a（其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心. 结论6：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心. 结论7：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心.向量和“心”一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC △的重心．如图⑴.A'A【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，(0)λ∈+∞，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心. 【解析】 由题意()AP AB AC λ=+，当(0)λ∈+∞，时，由于()AB AC λ+表示BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的重心，如图⑵.二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC △的垂心．【解析】 由PA PB PB PC ⋅=⋅，得()0PB PA PC ⋅-=，即0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC ⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶.【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点图⑴图⑵图⑶图⑷AOP 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，由于 0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C ⋅⋅+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷.三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC ++=，则I 是ABC △的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+，IC IA AC =+，则由题意得()0a b c IA bAB c AC ++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB AC ⎛⎫⎪+=⋅+⋅=⋅⋅+ ⎪⎝⎭， ∴bc AB AC AI a b c AB AC ⎛⎫ ⎪=+ ⎪++⎝⎭．∵AB AB 与AC AC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，∴AI 与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC ∠．图⑸ 图⑹B同理可证：BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠．从而I 是ABC △的内心，如图⑸. 【命题6】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．【解析】 由题意得AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭，∴当(0)λ∈+∞，时，AP 表示BAC ∠的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心．【解析】 若222OA OB OC ==，则222OA OB OC ==，∴OA OB OC ==，则O 是ABC △的外心，如图⑺.【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭，(0)λ∈+∞，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心. 【解析】 由于2OB OC+过BC 的中点，当(0)λ∈+∞，时，cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+⎪⎝⎭表示垂直于BC 的向量，所以P 在BC 垂直平分线上，图⑺图⑻动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻.练习：1.已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ） A ．2 B ．23C ．3D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．0B ．23C ．45D ．344．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6.ABC ∆的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,)(OC OB OA m OH ++=， 则实数m =7．（06陕西）已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 ,则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形8．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C 、D 、C 、D 、D 、1、D 、C。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理 （三角形的重心， 外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、 三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心 。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片， 其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2∶1。
2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（ (X1+X2+X3)/3 ，（ Y1+Y2+Y3)/3 。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若 O 是△ ABC 的外心，则∠ BOC=2 ∠A （∠ A 为锐角或直角）或∠ BOC=360° -2∠A （∠ A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时， 外心在三角形内部； 当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部； 当三角形为直角三角形时， 外心在斜边上， 与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量： d1 ，d2 ，d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3 ，c2=d1d3 ，c3=d1d2 ；c=c1+c2+c3 。
重心坐标： ( (c2+c3)/2c ，(c1+c3)/2c ， (c1+c2)/2c ) 。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。
三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE错误!于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
错误!因为CF⊥AB，BE错误!所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在错误!中，若点O满足错误!，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由错误!得错误!，所以错误!。
同理OB错误!，错误!，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数错误!的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为错误!的垂心，则上面的向量表示得错误!因为错误!的三个顶点都在函数错误!的图象上，所以设错误!，错误!因为错误!，所以错误!所以错误!所以错误! (1)同理：由错误!得错误! (2)三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
三角形重心，垂心，外心，内心性质（可编辑）
三角形重心，垂心，外心，内心性质重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心; 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心; 中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。
旁心三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。
旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
若设O为△ABC的旁心,用向量表示则有aOA=bOB+cOC 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
三角形“五心歌”三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清. 内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系――横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。
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三角形的垂心的性质：
1.锐角三角形的垂心在三角形内;
直角三角形的垂心在直角顶点上;
钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中
3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形。
5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则
AB/AP?tanB+AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC
8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，
∠BCO=∠HCA.
10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以 (1)同理：由得(2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
点评：此题恰当地应用了垂心的向量表示，把几何问题转化成了代数问题，完美体现了数形结合的数学思想。
三角形垂心的解析方程
三角形垂心的解析方程三角形的垂心是指三角形三条边和它的中线所交的点，通常用字母α或 d 表示。
在解析几何学中，对于任意三角形，其内部的垂心都存在唯一的一组解析方程，称之为三角形的“唯一”的外接圆定理。
这个公式可以表示为：其中 d、α和θ分别代表三角形三边中线长度， k 为参数。
作为对比，内心的概念要复杂得多：设△ABC 的内心为 P，那么 P 与边 BC、 CA、 AB 相交于点 O，由定义易见，它们是一个等腰三角形的顶点，而正好证明了三角形的三条中线交于同一点。
从而，在解析几何中，我们把它当成了特殊情况处理；事实上，它不仅符合特殊性，还具备必然性——如果三角形有内心和外心两种特征，则唯一的外接圆定理就会包含另外的充足条件。
换言之，内心与外心都属于内外关系。
内心和外心的位置相距越远，则在某些位置（三个顶点的连线所在）看来，他们之间的差异越大，因此，也就容易引起误解。
现实生活中，人们往往喜欢根据视觉效应选择第二类问题，而忽略了第一类情况，甚至产生错觉。
比如你到百货商店购物时，发现一件衬衣颜色与其余七件不一样，似乎更显眼，但这恰恰说明了第一个错觉。
又比如开车者认为马路是弯曲的，无法停车，却不能否认马路有其延伸的边缘，这使你进退维谷……不管怎么讲，经验告诉我们，视觉出现偏差，即所谓错觉，本质上与视觉欺骗密切相关，例如折射、反光及投影幻象、单双眼皮，其背后隐藏着重要的科学规律。
当然，目前尚未找到人类感官本身的弱点或致命缺陷。
实际上，错觉虽然偶尔会带来麻烦，但并非总是一团糟，很少需要凭借纯粹主观推断来解决，基本可以归纳为视错觉，例如红绿灯错觉，人脸识别（盲人也可靠触摸提高辨识力），通信系统失真等。
另一种错觉叫做视敏度错觉，最典型的莫过于针孔摄像机的错觉。
利用图片比较敏锐地检测到黑色斑点，是利用光敏材料制造微型相机时所遇到的挑战。
如今我们已研究出依赖于电场、磁场等外加干扰便能有效抑制的技术，未来将被广泛运用于各领域。
三角形垂心
三角形垂心三角形垂心的性质编辑本段定义垂心：三角形三边高的交点编辑本段三角形垂心的性质设⊿abc的三条高为ad、be、cf，其中d、e、f为垂足，垂心为h，角a、b、c的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心h关于三边的对称点，均在△abc的外接圆上。
4、△abc中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且ah·hd=bh·he=ch·hf。
5、h、a、b、c四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△abc，△abh，△bch，△ach的外接圆是等圆。
7、在非直角三角形中，过h的直线交ab、ac所在直线分别于p、q，则ab/ap·tanb+ac/aq·tanc=tana+tanb+tanc。
8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9、设o，h分别为△abc的外心和垂心，则∠bao=∠hac，∠abh=∠obc，∠bco=∠hca。
10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12、西姆松(simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13、设锐角⊿abc内有一点t，那么t是垂心的充分必要条件是pb*pc*bc+pb*pa*ab+pa*pc*ac=ab*bc*ca。
中考数学练习知识点：三角形垂心
中考数学练习知识点：三角形垂心三角形的垂心的性质：1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形。
5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，那么AB/AP?tanB+AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，那么∠BAO=∠HA C，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松(Simson)定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，那么△DEF≌△H1H2H3.家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。
中考数学重点 三角形垂心性质
中考数学重点三角形垂心性质三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说 ,三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中3.垂心O关于三边的对称点 ,均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中 ,有六组四点共圆 ,有三组(每组四个)相似的直角三角形 ,且AO?OD=BO?OE=CO?OF5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC ,△ABO ,△BCO ,△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中 ,过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q ,那么AB/AP?tanB+AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离 ,等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O ,H分别为△ABC的外心和垂心 ,那么∠BAO=∠HAC ,∠ABH=∠OBC ,∠BCO=∠HCA。
10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中 ,以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松(Simson)定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上13.设锐角△ABC内有一点P ,那么P是垂心的充分必要条件是PB?PC?BC+PB?PA?AB+PA?PC?AC=AB?BC?CA。
14.设H为非直角三角形的垂心 ,且D、E、F分别为H在BC ,CA ,AB上的射影 ,H1 ,H2 ,H3分别为△AEF ,△BDF ,△CDE的垂心 ,那么△DEF≌△H1H2H3。
15.三角形垂心H的垂足三角形的三边 ,分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
三角形垂心的性质总结
三角形垂心的性质总结山西省原平市第一中学任所怀三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE于点E，CF AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD BC即可。
因为CF AB，BE所以四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
三角形垂心的性质定理1：锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。
如上图，在三角形ABC中，AD、CF、BE分别为BC、AB、AC上的高，D、F、E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心。
求证：H为三角形DFE的内心。
证明：要证H为三角形DFE的内心，只需证明HF、HE、HD分别平分∠DFE、∠FED、∠EDF。
同样我们还是利用四点共圆的判定与性质来证明。
由BCEF四点共圆得∠EFC=∠EBC （都是弧CE所对的圆周角）由HFBD四点共圆得∠HFD=∠HBD=∠EBC （都是弧HD所对的圆周角）所以∠EFH=∠HFD 所以 HF平分∠EFD。
同理 HE平分∠FED；HD平分∠FDE所以H为三角形DFE的内心。
点评：以上两个问题都用到了四点共圆。
因为在这个图形中共可得到6个圆内接四边形，你不妨找一找。
三角形垂心的向量表示：在中，若点O满足，则点O为三角形ABC的垂心。
证明：由得，所以。
同理OB，，则点O为垂心。
三角形垂心性质定理2：若三角形的三个顶点都在函数的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。
证明：设点O(x,y)为的垂心，则上面的向量表示得因为的三个顶点都在函数的图象上，所以设，因为，所以所以所以(1)同理：由得 (2)联立（1）（2）两式，就可解出显然有垂心O在函数的图象上。
第四节三角形的垂心
§4 三角形的垂心基础知识性质1 直角三角形的垂心在直角顶点，锐角三角形的垂心在形内， 钝角三角形的垂心在形外.性质2 设H 为锐角ABC ∆的垂心，则A C B BHC ∠-︒=∠+∠=∠180,B AC CHA ∠-︒=∠+∠=∠180, C B A AHB ∠-︒=∠+∠=∠180.性质3 设H 为ABC ∆的垂心，则H 、A 、B 、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点组为一垂心组，且一垂心组的4个三角形外接圆的圆心组成另一垂心组，与原垂心组全等）. 性质4 在ABC ∆中，H 为垂心，a BC =，b CA =，c AB =，R 为ABC ∆外接圆半径，则222222c CH b BH a AH +=+=+.性质5 设H 为ABC ∆的垂心，ABC ∆的外接圆半径为R ，则A R AH cos 2⋅=，B R BH cos 2⋅=，C R CH cos 2⋅=.性质6 H 为锐角ABC ∆所在平面内一点，H 为ABC ∆的垂心的充要条件是下列条件之一成立：（1）H 关于三边的对称点均在ABC ∆的外接圆上；（2）H 关于三边中点的对称点均在ABC ∆的外接圆上； （3）ABC ∆，ABH ∆，BCH ∆，ACH ∆的外接圆是等圆； （4）HCB HAB ∠=∠，HAC HBC ∠=∠； （5）HAC BAO ∠=∠，HBC ABO ∠=∠,HCB ACO ∠=∠，其中O 为ABC ∆的外心.例题讲解例1 如图，H 是三个半径相同的圆的共同交点，A 、B 、C 三点是另外三个交点. 求证：H 是ABC ∆的垂心.例2 设ABC ∆是锐角三角形，且AC BC >，OF 作OF 的垂线交边CA 于P . 求证：BAC FHP ∠=∠.例3 ⊙O 的内接四边形ABCD 的两组对边的延长线分别交于P 、Q ，两对角线相交于M . 求证：圆心O 恰为PQM ∆的垂心.※例4 已知O 和H 分别是ABC ∆的外心和垂心，D 、E 分别是B 、C 在AC 、AB 上的垂足，过A 作OH 的垂线，分别交DE 、BC 于X 和Y ， 求证：XY AX =.BB例1 如图，H 是三个半径相同的圆的共同交点，A 、B 、C 三点是另外三个交点. 求证：H 是ABC ∆的垂心.证明：如图，Q P O ,,为圆心，连接相应线段； 因为⊙O ，⊙P ，⊙Q 半径相同， 所以PH PA OH OA ===，HQ BQ OB OH ===， HQ CQ PC PH ===，所以四边形OAPH 、OHQB 、PHQC 均为菱形，所以AP ∥OH ∥BQ ，OB ∥HQ ∥PC ，OA ∥HP ∥CQ ， 且HA OP ⊥，BH OQ ⊥，HC PQ ⊥； 结合BQ AP =，PC OB =，CQ OA =，所以四边形APQB 、OBCP 、OACQ 为平行四边形， 所以AB ∥PQ ，BC ∥OP ，AC ∥OQ ； 所以HC AB ⊥，AH BC ⊥，BH AC ⊥； 所以H 是ABC ∆的垂心.例2 设ABC ∆是锐角三角形，且AC BC >，O 是它的外心，H 是它的垂心，F 是高CH 的垂足，过F 作OF 的垂线交边CA 于P . 求证：BAC FHP ∠=∠.证明：如图，作ABC ∆的外接圆O ， 延长CF 交圆于D ，连接BD ，延长PF 交BD 于Q ，连接OF OQ OP ,,； 取BD 中点M ，AC 中点N ， 连接NF MF ON OM ,,,；由垂径定理可知BD OM ⊥，AC ON ⊥， 结合PQ OF ⊥，可得F Q M O ,,,四点共圆，N P F O ,,,四点共圆，所以QOF QMF =∠，FOP FNP ∠=∠；在圆O 中，BAC D ∠=∠，AFC DFB ∠=∠， 所以DBF ∆∽ACF ∆，所以AFACDF DB =， 所以AFAN AF AC DF DB DF DM =⋅=⋅=2121， 所以DMF ∆∽ANF ∆， 所以ANF DMF ∠=∠，所以POF PNF QMF QOF ∠=∠=∠=∠， 所以QFO Rt ∆≌PFO Rt ∆， 所以PF QF =；在BHD ∆中，D BAC ABC ACB HCB HBC BHF ∠=∠=∠-︒+∠-︒=∠+∠=∠9090， 所以BFD Rt ∆≌BFH Rt ∆， 所以FH DF =；结合HFP DFQ ∠=∠，可得DFQ ∆≌HFP ∆， 所以FHP D ∠=∠， 所以BAC FHP ∠=∠.。
三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB
证明：
连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB。
初中数学 什么是垂心
初中数学什么是垂心、外心和内心垂心、外心和内心是三角形的重要概念，在几何学中经常被讨论和应用。
它们是与三角形的三条边和三个角有关的特殊点。
了解垂心、外心和内心的概念对于理解三角形的性质和解决相关问题非常重要。
在本篇文章中，我们将详细介绍垂心、外心和内心的定义、性质和应用。
一、垂心垂心是指三角形内部的一个点，它与三条边的垂足连线相交于一点。
这个点称为垂心，通常用字母H表示。
具体来说，对于任意给定的三角形ABC，垂心H满足以下条件：AH ⊥ BC，BH ⊥ AC，CH ⊥ AB。
垂心的存在性是由于三角形的三条高线（即从顶点到对边的垂线）交于一点。
垂心有许多有趣的性质。
首先，垂心到三角形三个顶点的距离相等，即AH = BH = CH。
其次，垂心到三角形三条边的距离乘积等于三角形三条边的长度乘积的两倍，即AH·BH·CH = 2·AB·BC·CA。
这个性质被称为垂心定理，它在解决几何问题时经常被应用。
二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，它是三角形外接圆的圆心。
外接圆是与三角形的三条边上的点都相切的圆。
具体来说，对于任意给定的三角形ABC，外心O满足以下条件：OA = OB = OC，即外心到三个顶点的距离相等。
外心有一些重要的性质。
首先，三角形的三条边的中垂线（即从边的中点到外心的垂线）交于一点，这个点就是外心。
其次，外心到三角形三个顶点的连线组成的角度等于这个角的对边，即∠AOB = 2∠C，∠BOC = 2∠A，∠COA = 2∠B。
这个性质被称为外心角定理，它在解决三角形角度相关问题时非常有用。
三、内心内心是指三角形内切圆的圆心，它是三角形内切圆的圆心。
内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。
具体来说，对于任意给定的三角形ABC，内心I满足以下条件：IA = IB = IC，即内心到三个顶点的距离相等。
内心也有一些重要的性质。
首先，三角形的三条角平分线（即从角的顶点到对边的平分线）交于一点，这个点就是内心。
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2015年中考数学复习知识点：三角形垂心三角形的垂心的性质：
1.锐角三角形的垂心在三角形内;
直角三角形的垂心在直角顶点上;
钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△ABC中
3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形。
5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP?tanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC
8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.
10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三
角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12.西姆松(Simson)定理(西姆松线)：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.
14.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
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