第六章单纯形法的灵敏度分析.
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4.5 单纯形法的灵敏度分析
二、资源指标项的灵敏度分析
资源指标的变化在实际问题中反 映为可用资源数量的变化，由于在单
纯形表中有：
X B B b,Z CB B b
* *
1
1
运
筹
学
29
所以，如果资源指标变化，而原问题中
的其它所有参数都不改变时，将会影响原问 题最优解的可行性和对应的目标函数值。反 映到最优单纯形表上将会引起会影响到对应 的常数列上的数据。具体的讲，有以下两种
T 从而，最 指标变为 b （350, 400, 250） ，
优单纯形表上常数列应该变为：
运
筹
学
39
1 0 1 350 100 1 b B b 2 1 1 400 50 0 0 1 250 250
方程的增广矩阵不变，但是基变量的目标函数的系 数 cB 变了，则 妨设
cB (cB1, cB 2 ,L , ck ,L cBm ), 当 cB 变成 (cB1, cB 2 ,L , ck Vck ,L cBm ), 则： cB
z j ( j 1, 2,L n)
一般也变了，不
运
筹
学
5
j ( j 1, 2,m) 变成
j c j zj
) c j ( z j ck akj (c j z j ) ck akj j ck akj
运 筹 学
8
要使最优解不变，只要
0 j ck akj j ck akj
运
筹
学
3
只是 ck 变成了 ck ck . 这时 k ck zk
就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k即可.
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取 z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
XB
bb12
5
5
,
X
B
5
5
b3 15
15
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而β21=β31=0，则
1
max
b1
11
5 1
5
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在[35,+∞) 内变化时对偶价格不变。
管理运筹学
18
§1 单纯形表的灵敏度分析
对于b2：比值的分母取B－1的第二列，β12＜0，β22＞0，则
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
xBi di1
|
d 'i1
0
50
而Min
xBi di1
|
d 'i1
0
25,故有当 50
b1
25,即250
b
b
325第一个
约束条件的对偶价格不变。
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤82．解：（1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.53．解：（1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤1504．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥45. 解：最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-14011B ； 最优解变为130321===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321===x x x ，，，最小值变为-96；6．解：（1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。
（2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
（3）0≤b 2≤45。
（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。
（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。
7. 解：(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件：解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
（3）B 食品的加工工序改良之后，仍不投产B ，最大利润不变；若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中667.31110,167.144321====x x x x ，，；（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中382.70,114321====x x x x ，，；所以建议生产乙产品。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
的产量就大于零，即需考虑生产丙产品了。
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶2008
第1节 单纯形表的灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里, xK 非基变量。 由于约束条件（方程）系数增广矩阵在迭代中只是其本身 的行的初等变换与CK 没有任何关系，所以当CK 变为CK +△CK 时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变， 又因为xK 是非基变量，所以基变量的目标函数的系数不 变，即CB 不变，可知ZK 也不变，只是CK 变为CK +△CK 。
j j max akj 0 ck min akj 0 akj akj
目标函数： max z=50x1+100x2 x1+ x2≤300 s.t.
max
z=50x1+100x2 x1+ x2+s1=300
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
x1 CB
X2
s1
s2
S3
比值
50 100 1 0 0 0 1
0
b 50 50 250
0
0
0
bi a iJ
x1 50 S2 0
Zj
j cj zj
1 -2 0
-50
0 1 0
0 0
-1 1 1
50 -50
2 x2 100 0
0
50 100 50
Z=27500
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 27500.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 50.000000 0.000000 X2 250.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
第6章 运筹学课件单纯形法的灵敏度分析
第六章 单纯形法的灵敏度 分析与对偶
管 理
运 筹
学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析 §2 线性规划的对偶问题 §3 对偶规划的基本性质 §4 对偶单纯形法
管 理
运 筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管 理
运 筹
学
3
一,目标函数中变量Ck系数灵敏度分析 目标函数中变量C
1.在最终的单纯形表里, 1.在最终的单纯形表里,Xk是非基变量 在最终的单纯形表里 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 没有任何关系, 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系,所以当 ck 变成 ck + ck 时,在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变,又因为X 是非基变量, 广矩阵不变,又因为Xk是非基变量,所以基变量的 目标函数的系数不变, 目标函数的系数不变,即CB不变,可知Zk也不变, 不变,可知Z 也不变,
管 理 运 筹 学
20X2 100 0 0 1 100 0
S1 0 1 -2 0 50 -50
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 27500 -50
CB
50 0
50 1 0
b
50 50 250
2
X2
100 0 ZJ 50 0
CJ -ZJ
管 理
学
5
2. 在最终的单纯形表中, k 是基变量 在最终的单纯形表中, x 当 ck 变成 ck + ck 时,最终单纯形表中约束
方程的增广矩阵不变,但是基变量的目标函数的系 方程的增广矩阵不变, 数 cB 变了,则 变了, 妨设
cB = (cB1 , cB 2 , L , ck , L cBm ), 当 cB 变成 cB = (cB1 , cB 2 ,L , ck +Vck , L cBm ), 则:
管 理
运 筹
学
1
§1 单纯形表的灵敏度分析 §2 线性规划的对偶问题 §3 对偶规划的基本性质 §4 对偶单纯形法
管 理
运 筹
学
2
第一节 单纯形表的灵敏度分析
管 理
运 筹
学
3
一,目标函数中变量Ck系数灵敏度分析 目标函数中变量C
1.在最终的单纯形表里, 1.在最终的单纯形表里,Xk是非基变量 在最终的单纯形表里 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其 没有任何关系, 本身的行的初等变换与ck 没有任何关系,所以当 ck 变成 ck + ck 时,在最终单纯形表中其系数的增 广矩阵不变,又因为X 是非基变量, 广矩阵不变,又因为Xk是非基变量,所以基变量的 目标函数的系数不变, 目标函数的系数不变,即CB不变,可知Zk也不变, 不变,可知Z 也不变,
管 理 运 筹 学
20X2 100 0 0 1 100 0
S1 0 1 -2 0 50 -50
S2 0 0 1 0 0 0
S3 0 -1 1 1 50 27500 -50
CB
50 0
50 1 0
b
50 50 250
2
X2
100 0 ZJ 50 0
CJ -ZJ
管 理
学
5
2. 在最终的单纯形表中, k 是基变量 在最终的单纯形表中, x 当 ck 变成 ck + ck 时,最终单纯形表中约束
方程的增广矩阵不变,但是基变量的目标函数的系 方程的增广矩阵不变, 数 cB 变了,则 变了, 妨设
cB = (cB1 , cB 2 , L , ck , L cBm ), 当 cB 变成 cB = (cB1 , cB 2 ,L , ck +Vck , L cBm ), 则:
单纯形法灵敏度分析线性规划对偶理论
单纯形法的灵敏度分析与 线性规划对偶理论
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
单纯形法解法的矩阵描述及灵敏度分析讲解
1.5 x1 7 / 2 1 0 0 1/ 4 1/ 2
2 x2 3 / 2 0 1 0 1/ 4 3 / 2
cj zj 0 0 0 1/8 9/ 4
对变化后的单纯形表继续迭代
c j 1.5 2 0 0
0
CB X B b x1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15 / 2 0 0 1 5 / 4 15 / 2
2
-2
-2
B的逆阵 B-1
知识点1
• 目标函数为max时，判断最优的准则为 б≤0；
• 目标函数为min时，迭代过程与max一样 ，判断最优的准则为σ≥0。
知识点2
• 性质6：线性规划的原问题与其对偶问题 之间存在一对互补的基解；其中原问题 的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶 问题的剩余变量对应原问题的变量；这 些互相对应的变量如果在一个问题的解 中是基变量，则在另一个问题的解中是 非基变量；将这对互补的基解分别代入 原问题和对偶问题的目标函数有z=ω。
单纯形法解法的矩阵描述及 灵敏度分析
张林刚 经济与管理学院
单纯形解法的矩阵描述
• 线性规划问题
max z CX
s.t.
AX b X 0
• 引入松弛变量Xs,化为标准型：
max z CX 0X s
s.t.
AX IX X 0, X
s s
b 0
单纯形解法的矩阵描述
2
x1 x1
x2 2x3 4x3 4
2
x1, x2, x3 0
加入松弛变量x4、x5，对上述模型进行标准化处理
max z 6x1 2x2 3x3 0x4 0x5
2
4.5 单纯形法的灵敏度分析解析
将其反映到最优单纯形表上可得下表
运
筹
学
40
迭 代 次 数
基 变 量
X1 S2
X1
X2 100 0 0
S1 0 1 -2
S2 0 0 1
S3 0 -1 1
CB
50 0
50 1 0
b
100 -50
2
X2
100 0
ZJ 50 0
1
100 0
0
50 -50
0
0 0
1
50 -50
250
CJ -ZJ
26000
的供应量没有变化，第二种资源的供
应量变为270个单位时，该工厂的最优
生产计划有什么变化；
运
筹
学
32
（2） 如果两种原料的供应量 没有变化，则设备的台时数在什么
范围变化时，该工厂的原来最优生
产计划中所生产的产品仍然投入生
产（最优基不变）；
运
筹
学
33
（3） 如果两种原料的供应量没有 变化，设备的台时数变为350个单位，
运
筹
学
3
只是 ck 变成了 ck ck . 这时 k ck zk
就变成了ck Vck zk k Vck . 要使原来 的最优解仍为最优解，只要 k Vck 0 即 可，也就是 ck 的增量 ck k即可.
运
筹
学
4
2. 在最终的单纯形表中， xk 是基变量 当 ck 变成 ck ck 时，最终单纯形表中约束
0 1 -2
x4
0 0 1
x5
0 -1 1
b
50 50
比值
-50
x1
单纯形法的灵敏度分析
bk bk
时，也就是原来的初始单
纯形表中的b向量变成了b’向量
0 0 ... 令 b bk ... 0 则有 b ' b b
9
这样在最终单纯形表中基变量XB的解就变成了
X 'B B .(b b ) B b B b 。
中从0变到Z3=50时，也就是只要当前余下一台时数设备从不能获利变成获利 50元时，譬如有人愿意出50元买一个设备时，我们就不必为生产Ι、П产品
而使用完所有的设备台时了，这说明了设备台时数的对偶价格就是Z3=50元。
对于含有大于等于号的约束条件，添加剩余变量化为标准型。这时 这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的 z j有关了。这将使得最优目
+ CK a’Kj 。要使最优解不变，只要当J
δj a' kj
δ j ΔC k a' kj 0, ΔC k a' kj δ j 当 a' kj 0时 , ΔC
k
, 这里
0;
当 a' kj 0时 , ΔC
k
, 这里
δj a' kj
0; Z k ΔC a' kk , 因为 X K 是基变量， δj a' kj
14
zj 标值 “变差”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取
值的相反数-j z
。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方程的 人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变量的 值z j 。
7
下表给出了一个由最终单纯形表对于不同约束类型的对偶价格的取值。
6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
以第二章例1在最终单纯形表上对进行b1灵敏度分析：
x1 x2 s1 s2 s3
50
1 0 0 50 0
100
0 0 1 100 0
0
1 -2 0 50 -50
0
0 1 0 0 0
0
-1 1 1 50 -50
b
50 50 250 27500
比值
bi/aij
x2 zj
σj=cj-zj
在第一个约束方程中含有松弛变量s1,其对应的列为(1,-2,0)T,
管理运筹学
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
§1
单纯形表的灵敏度分析
c c 一、目标函数中变量系数 ck 灵敏度分析 c k k k
1、在最终的单纯形表里，xk是非基变量
使得对应约束条件 的对偶价格不变
0
xBi xBi max dik 0 bk min dik 0 dik dik
§1
迭代 次数 基变 量
x1 s2
2
单纯形表的灵敏度分析
cB
50 0 100
b1 0 b 2 0 b b b b b k bk 0 b m 0
bk bk bk
原始的最终单纯形表中基变量xB变为x'B：
管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿
2. 初始单纯表中的基变量Xs=b，迭代后的单 纯形表中为XB= B-1b
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
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如，b2变为100，则最优矩阵可计算出：
1 0 -1 -2 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 100 0 1 0 0 1 250
1 0 1 0 -1 50 0 0 -2 1 1 -250 0 1 0 0 1 250
单纯形法的灵敏度分析基本思路：
1、将某个参数的变化反映在最终表中； 2、看最终表是否还满足最优表的要求：
比值 bi/ai2
c1 0 100
j
zj
1 0 1 0 0 -2 0 1 0 c1 100 c1
0 -1 1 1 0 1 0 -c1+100
0
0
- c1
0
c1-100
要使最优解不变，须- c1≤0且c1 -100 ≤0 求得0≤ c1 ≤100
二、目标函数系数ck的变化
迭代次 基变量 XB 数
基是否为单位排列阵，检验数是否都非 正，b列是否都为非负的数； 3、若满足上述要求则最优基没有改变， 若不满足则在新的最终表上继续进行迭 代，直到找到新的最优基为止。
二、目标函数系数ck的变化
1、在最终单纯形表中，xk是非基变量
除了xk的检验数外， ck的变化不会影响
到最终单纯形表中其它任何数值。 只要xk的检验数仍然非正，最优解和最 优值都会保持不变。
迭代 基变 次数 量XB x1 x4 2 x2
b
50 50 250 27500
比值 bi/ai2
一、问题的提出
事实上，系数的改变并未改变LP问题的解。
思考： 1、如果C2变为45，最优解会变吗？为保证最 优解不变， C2的取值范围？ 2、参数变化时，可否利用原问题的最优表求 解，而不必从头进行单纯形迭代，以简化计 算？
x4 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
x5 0
b
0
x3 x4 x5
j
1
zj
x3 x4 x2
x1 x4 x2
0 0 100
j
2 50 0 100
zj
j
zj
0 300 0 400 1 250 0 0 0 -1 50 -1 150 1 250 -100 25000 -100 -1 50 1 50 1 250 50 27500 -50
初始 矩阵
行变换 最优 矩阵
1 0 1 0 -1 50 0 0 -2 1 1 50 0 1 0 0 1 250
初始矩阵变最优矩阵的过程可以表示为：
1 0 -1 -2 1 1 0 0 1
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
1 0 1 0 -1 50 0 0 -2 1 1 50 0 1 0 0 1 250
一、问题的提出
解：经过单纯形迭代得到最优表
CB
50 0 75 zj j=cj－zj x1 50 1 0 0 50 0 x2 75 0 0 1 75 0 x3 0 1 -2 0 50 -50 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 -1 1 1 25 -25
迭代 基变 次数 量XB x1 x4 2 x2
第六章 单纯形法 的灵敏度分析
一、问题的提出 二、目标函数系数的变化 三、右端项的变化 四、技术系数的变化 五、增加约束条件
一、问题的提出
假设范例 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：1· x1+1· x2≤300 2· x1+1 · x2≤400 0· x1+1 · x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0 中x2的目标函数系数由100变为75，求新问题 的解。
如范例，使最优解不变的cj值变化范围？
迭代 基变 次数 量XB
CB 50
x1
x2
x3
x4 x5
50
-1
b 50
比值 bi/ai2
x1
x4
2
0 100
0 0
50 0
0 1
100 0
-2 0
50 -50
1 0
0
1 1
50 250
x2
zj
50 27500
j
0 -50
二、目标函数系数ck的变化
b
50 50 250 21250
比值 bi/ai2
一、问题的提出
比较范例的最优表：
CB
50 0 100 zj j=cj－zj x1 50 1 0 0 50 0 x2 100 0 0 1 100 0 x3 0 1 -2 0 50 -50 x4 0 0 1 0 0 0 x5 0 -1 1 1 50 -50
迭代 基变 次数 量XB
CB 50 0 100
2
x1 x4 x2 zj
x1 50 1 0 0 50
0
x2 100 0 0 1 100
0
x3
c3
1 -2 0 50
c3-50
x4 0 0 1 0 0
0
x5 比值 b bi/ai2 0 -1 50 1 50 1 250 50 27500
-50
j
要使最优解不变，须c3-50 ≤0求得c3 ≤ 50
比值 bi/ai2 300/1 400/1 250/1
50/1 150/2 _
一、问题的提出
事实上，在单纯形表的迭代过程中，最
核心的变化是系数矩阵的行变换，其它 值如cj在每次迭代中不变，zj和检验数则 是根据其它元素计算得出。
一、问题的提出
初始基
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
二、目标函数系数ck的变化
2、在最终单纯形表中，
xk是基变量
此时各非基变量的检验数均有可能受到
影响，同时还会影响到最优值。 要最优解不变，必须保证所有的检验数 非正。
二、目标函数系数ck的变化
迭代 基变 CB 次数 量XB x1 x4 2 x2
x1
x2
x3
0
x4
0
x5
0
c1 100
b 50 50 250
一、问题的提出
要解决以上问题，需要探讨初始单纯形
表与最优单纯形表的关系。
观察范例的单纯形求解过程：
迭代次 基变量 XB 数
CB
0 0 0
x1 50
1 2 0 0 50 ① 2 0 0 50 1 0 0 50 0
x2 x3 100 0
1 1 ① 0 100 0 0 1 100 0 0 0 1 100 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -2 0 50 -50
CB 50 0 c2
2
x1 x4 x2
j
zj
x1 50 1 0 0 50
0
x2 c2 0 0 1 c2
0
x3 0 1 -2 0 50
-50
x4 x5 b 0 0 0 -1 50 1 1 50 0 1 250 0 c2 - 50