复变函数留数及其应用

则f (z)可以展开为Laurent级数
f(z) cn(zz0)n, n
其中 c n 2 1 iC (z fz (0 z ) )n 1d z(n 0 , 1 , 2 , ),C是
z0为中心, 半径小于d 的圆周的正向.
根据Laurent级数展开式的系数cn的不同情况, 可以把 f (z)的孤立奇点进行分类.
所以容易看出, z i 是 f (z) 的1级极点, z 1 是
f (z)的3级极点. 1
定理4.3 设z0是f (z)的m级零点, 则z0是 f ( z ) 1
的m级极点; 设z0是f (z)的m级极点, 则z0是 f ( z ) 的 可去奇点. (零点与极点的关系)
证明 设z0是f (z)的m级零点, 记
这个幂级数的收敛半径至少为d , 和函数j (z)在z0
处解析.
定理4.1 设f (z)在 0zz0 d内解析, 则
z0 是 f (z) 的可去奇点的充分必要条件是存在极限 lzi m z0 f(z)c0, 其中c0是有限复常数.
这样我们有两种方法来判别函数f (z)的奇点
z0是否为可去奇点. 1.由定义判断: 如果f (z)在z0的Laurent 级数无负
第四章 留数及其应用
本章介绍孤立奇点、留数的概念； 孤立奇点处留数的计算；并将其应用于 实函数积分的计算.
§4.1 孤立奇点
1 可去奇点 2 极点 3 本性奇点
本章将利用函数的Laurent级数展开式研究
函数在孤立奇点处的性质.
如果函数 f (z)在z0点不解析, 则称z0 是f (z)的
一个奇点. 如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d >0,
并且存在 m 1, 使得 0 1 m 1 0 ,而
m 0. 于是 F (z) (z z0 )m G (z),其中 G(z) 在
zz0
d
内解析，G (z0)m0 .令
g(z)
1 G(z)
,
所以 f(z) (z z0 ) m g (z),其中g(z)在 zz0 d
内解析，g(z0)0, 那么 z0是f (z)的m级极点.
4.1.1 可去奇点
定义4.1 如果f (z)在 0zz0 d内的Laurent
级数中不含有 z z0 的负幂项, 即当 n 1 , 2 , 3 , 时, cn 0, 则称z0是 f (z)的可去奇点.
此时 f ( z ) c 0 c 1 ( z z 0 ) c n ( z z 0 ) n .
定理4.2 设 f (z)在0zz0 d内解析，则
z0是f (z)的极点的充分必要条件是 limf(z).
zz0
这样我们有三种方法来判别函数f (z)的奇点 z0是否为极点.
1. 由定义判别： f (z)的Laurent展开式中含有
z z0的有限负幂项.
2. 由等价形式判别：在点 z 0 的某去心邻域内有
j f(z) (z z0)m(z),
其中 j ( z ) 在点z0解析, 且j(z0)0, 则 j
使得f (z)在 0zz0 d内解析，则称z0 是f (z)的
孤立奇点. 1 sin z
例如z=0是函数 e z 和 z 的孤立奇点. 但z=0
z
不是函数 s in
1
的孤立奇点, 因为 k1(k1,2,
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都是奇点. z
若z0 是 f (z)的孤立奇点，此时f (z) 在圆环域
0zz0 d内解析, 根据Laurent级数展开定理，
zz0
zz0
不妨设在 0zz0 d内,
f(z)0. 令F (z)
1, f (z)
则F(z)在 0zz0 d内解析，并且
limF(z)0.
zz0
所以z0是F(z)的可去奇点, 于是在 0zz0 d内,
F(z)的Laurent级数展开式为
F ( z ) 0 1 ( z z 0 ) n ( z z 0 ) n ,
f ( z ) ( z z 0 ) m g ( z ) ( m 1 ) , 其中 g(z) 在 z 0 的邻域内解析, 且 g(z0)0.
3.
由极限判别：limf(z). zz0
例4.2
考虑函数
z2 f(z)(z21)(z1)3.
显然,
z i 和 z 1是 f (z)的孤立奇点. 因为
f ( z ) ( z 1 ) 3 ( z i ) 1 ( z i ) 1 ( z 2 ) ,
幂项, 则z0是f (z)的可去奇点. 2. 由极限判断：若极限 limf (z)存在且为有限值,
zz0
则z0是f (z)的可去奇点.
例4.1 因为 s i n z 在 0z 内的展开式为 z
sinz11z21z4 , z 3! 5!
无负幂项
或者 lim sin z 1, 所以z=0是 sin z 的可去奇点 .
当 z0是f (z)的m级极点时, Laurent级数展开式
f ( z ) c m ( z z 0 ) m c m 1 ( z z 0 ) m 1 + c 1 ( z z 0 ) 1 c 0 c 1 ( z z 0 ) c 2 ( z z 0 ) 2 ,
其中 c m 0(m 1 ).于是 f ( z ) ( z z 0 ) m c m c m 1 ( z z 0 ) c m 2 ( z z 0 ) 2 ,
令 g ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c n ( z z n ) n m ,
则 g(z)在 zz0 d 内解析，且 g(z0)cm0,即
1 f(z)(zz0)mg(z).
反之, 对 0zz0 d内的解析函数 f (z), 如果
limf(z), 即 limf(z),
z0 z
z
如果补充定义:
f
(z)
sin z z
,
z 0;
1, z 0,
则f (z)在全平面解析.
4.1.2 极点
定义4.2 如果f (z)在 0zz0 d的Laurent
级数展开式中只含有有限个 z z0 的负幂次项, 即 只有有限个(至少一个)整数 n 0, 使得 cn 0, 则称 z0是f (z)的极点. 如果存在正整数m , 使得 cm 0, 而对于整数 nm , 有 cn 0, 则称z0是f (z)的m级 极点.