反证法教案

§29.2反证法

教学目标：

1、知识与能力:(１)、通过实例,体会反证法的含义

(２）、培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.

2、过程与方法:(１）、了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.

(2）、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.

3、情感、态度、价值观:在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性.

教学重点:

体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证题的步骤。

教学难点：

理解反证法的推理依据及方法，用反证法证明简单的命题是教学难点.

教学方法:

讲练结合教学.

教学过程：

提问：

师:通过预习我们知道反证法,什么叫做反证法?

生：从命题结论的反面出发，引出矛盾,从而证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.

师:本节将进一步研究反证法证题的方法,反证法证题的步骤是什么?

生：共分三步：

(1）假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；

(2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；

(３）由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确．

师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时,如果运用直接证明法比较困难或难以证明时,可运用反证法进行证明。

例如:在△ABC中，AB=c,BC=a,AC＝b,如果∠C=90°,a、b、c三边有何关系？为什么?

解析:由∠Ｃ=9０°可知是直角三角形,根据勾股定理可知 a2 +b2 =c2

二、探究

问题:

若将上面的条件改为“在△ABC中,AB=c，ＢC＝a，ＡC=b,∠C≠90°”,请问结论a2 +ｂ2 ≠ c２成立吗?请说明理由。

探究：

假设a2 +b2 ＝c２，由勾股定理可知三角形ＡBC是直角三角形,且∠C=90°,这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立,从而说明原结论a２ +ｂ２≠ c2 成立。

这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的;逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。

三、应用新知

例1:在△AＢC中,AB≠AC，求证:∠B ≠∠ C

证明:假设，∠Ｂ＝∠C

则ＡＢ＝AC

这与已知AB≠AC矛盾．

假设不成立.

∴∠B ≠∠ C

小结:

反证法的步骤:假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确

例2、已知：如图有ａ、b、c三条直线，且a//c,b／/ｃ. 求证:a/／b

证明：假设a与ｂ不平行，则可设它们相交于点A。

那么过点A 就有两条直线ａ、b与直线c平行,这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，假设不成立。

∴a//b.

小结:根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾

例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

已知：△ABC , 求证：△ABＣ中至少有一个内角小于或等于60°

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°

则∠A>60°,∠B>６０°,∠C＞60°

∴∠Ａ+∠Ｂ+∠C＞60°+６0°+60°＝１8０°

即∠A+∠B+∠C>180°

这与三角形的内角和为1８0度矛盾.假设不成立.

∴△AＢC中至少有一个内角小于或等于60°

例4．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.(学生完成，教师引导)

已知: ；

求证：；

证明:假设 ,则可设它们相交于点Ａ。那么过点Ａ就有条直线与直线c平行,这与“过直线外一点”。矛盾,则假设不成立。

∴。

三、课堂练习:

1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°

2、求证两条直线相交只有一个交点.

３、试证明:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行.

４、求证:在一个三角形中,如果两个角不等，那么他们所对的边也不等.

5、求证:一个五边形不可能有4个内角为锐角.

６、“a＜b”的反面应是（ )

A．ａ≠b B．ａ>b C.a=b Ｄ.ａ=ｂ或a>ｂ

7、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c,则a∥b”时,应假设（）

A．a不垂直于ｃ B.a,b都不垂直于c

C．ａ⊥b D.a与b相交

8、用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等”时,应假设

__________＿．

9、用反证法证明“若│a│＜2，则a＜4”时，应假设＿＿_＿＿＿＿___．

10、请说出下列结论的反面:(1)d是正数; (２)a≥0; (3)a<5.

11、如下左图,直线AB,CＤ相交，求证:AＢ,CＤ只有一个交点．

证明:假设AB，CD相交于两个交点Ｏ与O′，那么过Ｏ，O′两点就有＿____条直线,这与“过两点_＿__＿__”矛盾,所以假设不成立，则＿______＿.

12、完成下列证明．

如上右图，在△AＢC中,若∠Ｃ是直角，那么∠B一定是锐角.

证明：假设结论不成立，则∠B是_＿____或______．

当∠B是___＿时,则_＿＿______,这与_____＿_＿矛盾;

当∠B是＿＿__时,则＿____＿__＿，这与＿__＿____矛盾．

综上所述，假设不成立．

∴∠B一定是锐角.

１３、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于６0°”,•应先假设这个三角形中（ ) A．有一个内角小于6０° B．每一个内角都小于６0°

C.有一个内角大于60°Ｄ．每一个内角都大于６０°

14、若用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45•°”时,应假设__＿＿_＿___＿____＿．

1５、已知：如图，设点Ａ、Ｂ、C在同一条直线l上.

求证:经过Ａ、B、Ｃ三点不能作一个圆．

1６、三角形内角中至多有一个内角是钝角.

1７、求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分．

1８、求证：一个三角形中不能有两个直角．

四、课时小结

本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入,逐步加强和提高。

五、课后作业：课本

六、板书设计

§29.2 反证法

１.反证法证明命题的步骤。

2.反证法应用:例题。

小结：

七、教学反思：