2021解放军士兵考军校大专军考数学专项复习练习试题(含答案)

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2021年军考高中学历士兵考军校数学专项练习试卷及答案

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学专项测试卷双曲线、抛物线1．已知双曲线的焦点在y 轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为y =，则双曲线的标准方程是()A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=2．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为()A ．221204x y -=B ．221412x y -=C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=3．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为()A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=4．已知双曲线C 的一个焦点为(0,5)，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为()A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．221205x y -=D ．221520y x -=5．已知双曲线的实轴长为2，焦点为(4,0)-，(4,0)，则该双曲线的标准方程为()A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．22115y x -=D ．22115y x -=6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22128x y -=的渐近线方程为()A ．2y x =±B ．12y x=±C ．2y x =D ．y =7．抛物线22y x =的准线方程是()A ．12x =B ．12y =C ．12x =-D ．12y =-8．抛物线2y ax =的准线方程是2y =-，则a 的值为()A ．4B ．8C ．18D ．149．抛物线的准线为4x =-，则抛物线的方程为()A ．216x y=B ．28x y=C ．216y x =D ．28y x=10．抛物线212x y =的准线方程为()A ．3y =-B ．3x =-C ．6y =-D ．6x =-11．已知抛物线的焦点坐标是(0,3)-，则抛物线的标准方程是()A ．212x y=-B ．212x y=C ．212y x =-D ．212y x=12．已知抛物线的准线方程12x =，则抛物线的标准方程为()A ．22x y=B ．22x y=-C ．2y x =D ．22y x=-13．抛物线212x y =-的焦点坐标是()A ．1(0,)4-B ．1(0,)8-C ．1(0,)8D ．1(0,414．抛物线24y x =的准线方程是()A ．1y =B ．1y =-C ．116y =D ．116y =-15．抛物线218y x =-的准线方程是()A ．132x =B ．132y =C ．2y =D ．2y =-16．抛物线24x y =的准线方程是()A ．12y =B ．1y =-C ．116x =-D ．18x =17．以(0,1)F 为焦点的抛物线的标准方程是()A ．24x y=B ．22x y=C ．24y x=D ．22y x=18．焦点是(0,1)F 的抛物线的标准方程是()A ．24x y=B ．24y x=C ．24x y =-D ．24y x=-19，且与椭圆22184x y +=有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为．20．焦点在y 轴上，虚轴长为8，焦距为10的双曲线的标准方程是．参考答案与详解1．【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，由24c =，则2c =，渐近线方程为y =，即ab=由222c a b =+，解得：1b =，a =∴双曲线的标准方程为：2213y x -=．故选：B ．2．【解答】解：由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =，又双曲线的离心率为2c a=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选：B ．3．【解答】解：由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a=，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+，所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选：B ．4．【解答】解：双曲线2214x y -=的渐近线方程为：12y x =±，由题意设双曲线C 的方程为：22221y x a b-=，由焦点坐标(0,5)可得2225a b +=，①渐近线的方程为：ay xb =±再由C 与双曲线2214x y -=的渐近线相同，所以12a b =，②，由①②可得25a =，220b =，所以双曲线C 的方程为：221520y x -=，故选：D ．5．【解答】解：由题意可设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，且22a =，4c =，则1a =，22216115b c a =-=-=．∴双曲线的标准方程为22115y x -=．故选：C ．6．【解答】解：双曲线22128x y -=的渐近线方程：2y x =±．故选：A ．7．【解答】解：由抛物线22y x =，可得准线方程24x =-，即12x =-．故选：C ．8．【解答】解：由抛物线2y ax =，得21x y a=，由其准线方程为2y =-，可知抛物线开口向上，则0a >．12p a ∴=，则124p a=．∴124a -=-，得18a =．故选：C ．9．【解答】解：抛物线的准线为4x =-，∴可知抛物线是开口向右的抛物线，设方程为22(0)y px p =>．则42p=，8p =．抛物线方程为216y x =．故选：C ．10．【解答】解：抛物线212x y =的焦点在y 轴正半轴上，且212p =，则6p =，32p=．∴抛物线212x y =的准线方程为3y =-．故选：A ．11．【解答】解：依题意可知焦点在y 轴，设抛物线方程为22x py= 焦点坐标是(0,3)F -，∴132p =-，6p =-，故抛物线方程为212x y =-．故选：A ．12．【解答】解：抛物线的准线方程12x =，可知抛物线为焦点在x 轴上，且开口向左的抛物线，且122p =，则1p =．∴抛物线方程为22y x =-．故选：D ．13．【解答】解：由题意，抛物线的焦点在y 上，开口向下，且122p =，∴128p =．∴抛物线212x y =-的焦点坐标是1(0,8-．故选：B ．14．【解答】解：抛物线24y x =化成标准方程，可得214x y =，∴抛物线焦点在y 轴上且124p =，得1216p =，因此抛物线的焦点坐标为1(0,16，准线方程为116y =-．故选：D ．15．【解答】解：整理抛物线方程得28x y =-，4p ∴=，抛物线方程开口向下，∴准线方程是2y =，故选：C ．16．【解答】解：124p = ，18p ∴=，开口向右，∴准线方程是116x =-．故选：C ．17．【解答】解：因为抛物线的焦点坐标是(0,1)，所以抛物线开口向上，且2p =，则抛物线的标准方程24x y =，故选：A ．18．【解答】解：焦点是(0,1)F 的抛物线的标准方程是24x y =．故选：A ．19．【解答】解：椭圆22184x y +=的焦点为(2,0)-和(2,0)，可设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>，由题意可得2c =，即224a b +=，又ce a==，解得a =，b =，则双曲线的标准方程为22122x y -=．故答案是：22122x y -=．20．【解答】解：由题意，设方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，则虚轴长为8，焦距为104b ∴=，3a ==∴双曲线的标准方程是221916y x -=故答案为：221916y x -=。

军考数学高中士兵考军校综合测试卷及答案

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷一．选择题（共9小题）1．设集合2{|}M x x x ==，{|0}N x lgx =，则(M N =)A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(-∞，1]2．函数221(2x y -=的单调递减区间为()A ．(-∞，0]B．[0，)+∞C ．(-∞D ．，)+∞3．设02x π<<，则“2cos x x <”是“cos x x <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知1t >，2log x t =，3log y t =，5log z t =，则()A ．235x y z<<B ．523z x y<<C ．352y z x <<D ．325y x z<<5．若关于x 的不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，则实数a 的取值范围是()A ．[4-，3]-B ．{3}-C ．{3}D ．[3，4]6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，312S =，且1a ，2a ，6a 成等比数列，则10(a =)A ．33B ．28C ．4D ．4或287．一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是()A ．14B ．12C ．18D ．138．2251lim 25n n n n →∞--+的值为()A ．15-B ．52-C ．15D ．529．已知圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l ，2l 分别过圆心M ，N ，且1l 与圆M 相交于A ，B 两点，2l 与圆N 相交于C ，D 两点，点P 是椭圆22149x y +=上任意一点，则PA PB PC PD +的最小值为()A ．7B ．8C ．9D ．10二．填空题（共8小题）10．49log 43log 2547lg lg ++=．11．已知22sin 3α=，1cos()3αβ+=-，且α，(0,)2πβ∈，则sin β=．12．若函数3()2()f x x ax a R =--∈在(,0)-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1-，2]上的最小值为．13．从6个人挑选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．14．73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是．15．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，且11a =，则n a =．16．已知函数()f x 对任意的x R ∈，都有11()()22f x f x +=-，函数(1)f x +是奇函数，当1122x-时，()2f x x =，则方程1()2f x =-在区间[3-，5]内的所有零点之和为．17．已知点O 为坐标原点，圆22:(1)1M x y -+=，圆22:(2)4N x y ++=，A ，B 分别为圆M 和圆N 上的动点，OAB ∆面积的最大值为．参考答案与解析一．选择题（共9小题）1.【解答】解：由2{|}{0M x x x ===，1}，{|0}(0N x lgx ==，1]，得{0MN =，1}(0⋃，1][0=，1]．故选：A ．2.【解答】解：令22t x =-，则1()2t y =，即有y 在t R ∈上递减，由于t 在[0x ∈，)+∞上递增，则由复合函数的单调性，可知，函数y 的单调减区间为：[0，)+∞．故选：B ．3.【解答】解：由2x x =得0x =或1x =，作出函数cos y x =和2y x =和y x =的图象如图，则由图象可知当2cos x x <时，2B x x π<<，当cos x x <时，2A x x π<<，AB x x <，∴“2cos x x <”是“cos x x <”的充分不必要条件，故选：A ．4.【解答】解：1t >，0lgt ∴>．又0235lg lg lg <<<，2202lgt x lg ∴=>，3303lgt y lg =>，505lgtz lg =>，∴5321225z lg x lg =>，可得52z x >．29138x lg y lg =>．可得23x y >．综上可得：325y x z <<．故选：D ．5.【解答】解：令3()41f x x ax =+-，[1x ∈-，1]．不等式3410x ax +-对任意[1x ∈-，1]都成立，即()0f x 对任意[1x ∈-，1]都成立，取4a =-，则3()441f x x x =--，此时11()022f -=>，排除A ．取3a =，则3()431f x x x =+-，此时1()102f =>，排除CD ．故选：B ．6.【解答】解：设数列{}n a 为公差为d 的等差数列，当0d =时，312S =，即1312a =，即有1014a a ==；当0d ≠时，1a ，2a ，6a 成等比数列，可得2216a a a =，即2111()(5)a d a a d +=+，化为13d a =，311331212S a d a ∴=+==，11a ∴=，3d =，1019328a ∴=+⨯=．综上可得104a =或28．故选：D ．7.【解答】解：设三段长分别为x ，y ，1x y --，则总样本空间为010101x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩．其面积为12，能构成三角形的事件的空间为111x y x y x x y y y x y x +>--⎧⎪+-->⎨⎪+-->⎩，其面积为18，则这三段可以组成三角形的概率是118142p ==．故选：A．8.【解答】解：222215515limlim 152522n n n n n n n n→∞→∞--==-+-+．9.【解答】解：圆22:(1)1M x y -+=的圆心(1,0)M ，半径为1M r =；圆22:(1)1N x y ++=的圆心为(1,0)N -，半径为1N r =；所以22()()()1PA PB PM MA PM MB PM PM MA MB MA MB PM =++=+++=-，22()()()1PC PD PN NC PN ND PN PN NC ND NC ND PN =++=+++=-，P 为椭圆22149x y +=上的点，∴222221022()89y PA PB PC PD PM PN x y +=+-=+=+；由题意可知，33y -，21088189y ∴+，即PA PB PC PD +的最小值为8．故选：B ．二．填空题（共8小题）10.【解答】解：原式71243115310072244log log lg -=++=-++=．故答案为：154．11.【解答】解：22sin 3α=，(0,2πα∈，1cos 3α∴==，α∴，(0,2πβ∈，(0,)αβπ∴+∈，又1cos()3αβ+=-，sin()3αβ∴+=．则11sin sin[()]sin()cos cos()sin ()33βαβααβααβα=+-=+-+=--⨯．故答案为：429．12.【解答】解：3()2()f x x ax a R =--∈，2()3(0)f x x a x ∴'=-<，①当0a 时，2()30f x x a '=->，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，又(0)20f =-<，()f x ∴在(,0)-∞上没有零点；②当0a >时，由2()30f x x a '=->，解得33x <或33x >（舍)．()f x ∴在(,)3-∞上单调递增，在(3，0)上单调递减，而(0)20f =-<，要使()f x 在(,0)-∞内有且只有一个零点，3(()()20333f a ∴-=--⨯--=，解得3a =，3()32f x x x =--，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，[1x ∈-，2]，当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(1,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．又(1)0f -=，f （1）4=-，f （2）0=，()min f x f ∴=（1）4=-．故答案为：4-．13.【解答】解：根据题意，可得排法共有112654180C C C =种．故答案为：180．14.【解答】解：73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数可这样求得：第一个括号7(1)x -中提供x 时，第二个括号3(1)x +只能提供常数，此时展开式中x 的系数是：1637(1)17C -=；同理可求，第一个括号7(1)x -中提供常数时，第二个括号3(1)x +只能提供x ，此时展开式中x 的系数是7123(1)13C -=-，所以展开式中x 的系数是16371273(1)1(1)14C C -+-=．故答案为：4．15.【解答】解：数列{}n a 的前n 项和n S 满足11(*)n n n n S S S S n N ++-=∈，可得1111n n S S +-=，所以1{}n S 是等差数列，首项为1，公差为1，所以11(1)1nn n S =+-=，1n S n =，1111(1)n a n n n n -=-=--，2n ，(*)n N ∈，所以1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩，故答案为：1,11,2(1)n n n n =⎧⎪-⎨⎪-⎩．16.【解答】解：根据题意，因为函数(1)f x +是奇函数，所以函数(1)f x +的图象关于点(0,0)对称，把函数(1)f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点(1,0))对称，则(2)()f x f x -=-，又因为11()()22f x f x +=-，所以(1)()f x f x -=，从而(2)(1)f x f x -=--，再用x 替换1x -可得(1)()f x f x +=-，所以(2)(1)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称，如图所示，函数()f x 在区间[3-，5]内有8个零点，所有零点之和为12442⨯⨯=．故答案为：4．17.【解答】解：如图以OM 为直径画圆，延长BO 交新圆于E ，AO 交新圆于F 点，连接FE ，NF ，MF ，则MF 与OA 垂直，又MA MO =，F 为AO 的中点，由对称性可得OF OB =，由1sin 2ABO S OA OB AOB ∆=∠，1sin()2EAO S OE OB AOB π∆=-∠1sin 2OE OB AOB =∠，可得2ABO EAO EFO S S S ∆∆∆==，当EFO S ∆最大时，ABO S ∆最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF 的面积的最大值，由圆内接三角形A B C '''的面积1sin 2S a b C '''=，2sin a A ''=，2sin b B ''=，3sin sin sin 2sin sin sin 2()3A B C S A B C '+'+''''=，由()sin f x x =，[0x ∈，]π，为凸函数，可得sin sin sin 3sinsin 3332A B C A B C π'+'+''+'+'==，当且仅当3A B C π'''===时，取得等号，可得3sin sin sin 2()23A B C '+'+'=．即三角形OEF 的面积的最大值为．进而得到ABO S ∆最大值为3333242⨯=，故答案为：332。

2021年军考部队战士考军校数学综合复习测试练习试卷及答案

综合题1．在ABC ∆中，已知32sin4cos 2B B +=，且B 为锐角．（1）求sin B ；（2）若(4(sin sin )B AC A C +=+ ，且ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．2．已知集合{|||4}A x x a =-<，2{|3(1)2(31)0}B x x a x a =-+++<（其中)a R ∈．（1）若1a =，求A B ；（2）求使A B ⊆的a 的取值范围．3．数列{}n a 的前n 项和n S ，112a =，且120(2)n n n a S S n -+= ．（1）证明数列1{}nS 为等差数列；（2）数列{}n a 的通项公式；（3）若2(1)n n b n a =-，(2,*)n n N ∈，求证：2334451212n n b b b b b b b b +++++⋯+<．4．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．5．设()f x lnx =，()()()g x f x af x =+'．（1）求函数()f x 的图象在点(,1)e 处的切线方程；（2）求()g x 的单调区间；（3）当1a =时，求实数m 的取值范围，使得1()()g m g x m-<对任意0x >恒成立．6．已知(0,1)-是椭圆C 的一个顶点，焦点在x 轴上，其右焦点到直线y x =+3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点1(1,)2P 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若P 为MN 中点，求直线l 方程．7．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC AA ==，BC =，点D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求证：1//A B 平面1ADC ；（Ⅲ）求二面角1A A B D --的余弦值．参考答案与试题解析1.【详解】（1）ABC ∆中，232sin 4cos 24(12sin )B B B +==-．解得1sin 4B =或1sin 2B =-；又B 为锐角，∴1sin 4B =；（2）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(4(sin sin )B AC A C =+ ，∴(4()b b a c =+ ，∴4a c +=+又ABC ∆ 的面积为152，∴111sin 2242ac B ac =⨯=，∴ac =；B 为锐角，cos B =由余弦定理得22222cos ()221b a c ac B a c ac ac =+-=+--⨯，解得1b =，ABC ∴∆的周长为5+．2.【详解】（1）由于1a =，则集合{||1|4}{|414}{|35}A x x x x x x =-<=-<-<=-<<，2{|680}{|24}B x x x x x =-+<=<<，故{|24}A B x x =<< ；（2）由于集合{|||4}}{|44}{|44}A x x a x x a x a x a =-<==-<-<=-<<+，2{|3(1)2(31)0}{|[(31)](2)0}B x x a x a x x a x =-+++<=-+-<①当312a +>，即13a >时，(2,31)B a =+由于A B ⊆，则1342431a a a a ⎧>⎪⎪-⎨⎪++⎪⎩解得6a ；②当312a +<，即13a <时，(31,2)B a =+由于A B ⊆，则1343142a a a a ⎧<⎪⎪-+⎨⎪+⎪⎩解得52a -；③当312a +=，即13a =时，B =∅由于不满足A B ⊆，则13a ≠综上可知，使A B ⊆的a 的取值范围为5(,][62-∞- ，)+∞．3.【详解】（1）由120(2)n n n a S S n -+= ．得112n n n n S S S S ---=- ，(2)n ．∴1112n n S S --=，(2)n ，故数列1{}nS 为公差为2的等差数列．（2）由（1）知数列1{}n S 的首项为112a =，公差2d =，则数列122(1)2n n n S =+-=，即12n S n =，111122(1)2(1)n n n a S S n n n n -=-=-=---，2n ，则1,121,22(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-⎪-⎩．（3）若2(1)n n b n a =-，(2,*)n n N ∈，则112(1)2(1)[]2(1)n n b n a n n n n =-=--=- ，2n ，则1211111212n n b b n n n n ++==-++++ ，则23344512111111111233412222n n b b b b b b b b n n n +++++⋯+=-+-+⋯+-=-<+++成立．4.【详解】（1）从甲箱中任取2个产品的事件数为2887282C ⨯==，这2个产品都是次品的事件数为233C =．∴这2个产品都是次品的概率为328．（2）设事件A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件1B 为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件2B 为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件3B 为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件1B 、事件2B 、事件3B 彼此互斥．251285()14C P B C ==，115322815()28C C P B C ==，233283()28C P B C ==，12(|)3P A B =，25(|)9P A B =，34(|)9P A B =，P ∴（A ）112233()(|)()(|)()(|)P B P A B P B P A B P B P A B =++．5215534714328928912=⨯+⨯+⨯=．5.【详解】（1）()f x lnx =的导数为1()f x x '=，即有()f x 在点(,1)e 处的切线斜率为1k e=，则()f x 在点(,1)e 处的切线方程为11()y x e e-=-，即为0x ey -=；（2）()()()a g x f x af x lnx x=+'=+，221()(0)a x a g x x x x x -'=-=>，当0a 时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上递增；当0a >时，0x a <<时，()0g x '<，()g x 在(0,)a 上递减，x a >时，()0g x '>，()g x 在(,)a +∞上递增．综上可得，当0a 时，()g x 的增区间为(0,)+∞；当0a >时，()g x 的增区间为(,)a +∞，减区间为(0,)a ．（3）()f x lnx =，()()()g x f x af x =+'，即有()a g x lnx x=+，由1a =，1()g x lnx x =+，22111()x g x x x x-'=-=，令()0g x '=，解得1x =，当()0g x '>，即1x >时，函数()g x 单调递增，当()0g x '<，即01x <<时，函数()g x 单调递减，即有()min g x g =（1）1=，由于1()()g m g x m -<，对任意0x >恒成立，则11()lnm g x m m+-<，0m >，即有()lnm g x <恒成立，即1lnm <，解得0m e <<，则实数m 的取值范围是(0,)e ．6.【详解】（1）由题知1b =，3d ==则c +=，则c =⋯．（2分）则222213a b c =+=+=，则椭圆飞标准方程为2213x y +=⋯．（5分）（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则221122221313x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⋯（7分）两式作差得12121212()()()()03x x x x y y y y -++-+=所以1212203y y x x -+=-，即121223y y k x x -==--，⋯．（10分）则直线方程为12(1)23y x -=--，即4670x y +-=⋯．（12分）（其他方法可参考给分）7.【详解】()I 因AB AC =，D 为BC 中点，故AD BC ⊥（1分）．又因在直三棱柱111A B C ABC -中，1CC ⊥平面ABC ，故1AD CC ⊥（2分）．又1BC CC C = （3分），故AD ⊥平面11BCC B （4分）．用向量方法证明本题请对应给分．本题可分别以AB ，AC ，1AA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，也可分别以DC ，DA ，11(AD D 为棱11B C 中点）为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．()II 如图，连接11A C AC E = ，连接DE ．因D 、E 分别是BC 、1A C 的中点，故DE 是△1A BC 的中位线（5分），故1//A B DE （6分）．因1A B ⊂/平面1ADC （7分），故1//A B 平面1ADC （8分）．用向量方法证明本题请如下给分：求出平面1ADC 的法向量（2分），因1A B ⊂/平面1ADC （7分），故1//A B 平面1ADC （8分）．()III 解法一：连接11B A BA O = ，分别取OB 、AB 中点H 、1O ，连接DH 、1DO ．因为四边形11ABB A 是正方形且1O ，H 分别是BA ，BO 中点，故1HO AB ⊥．又因1O ，H 分别是BA ，BC 中点且AB AC ⊥，故1O D AB ⊥，故1O HD ∠就是二面角1A A B D --的平面角（10分）．设2AB =，则在Rt △1HO D 中，190HO D ∠=︒且111121,222O D AC O H OA ====，故62HD =，故113cos 3O H O HD DH ∠==（12分）．解法二：设2AB AC ==，则BC =222AB AC BC +=，故AB AC ⊥（9分），又因三棱柱111A B C ABC -为直三棱柱，故AB ，AC ，1AA 两两垂直，故可建系如图．则平面1AA B 的法向量为1(0,1,0)n = （10分）．又11(2,0,2),(1,1,2)A B A D =-=- ，设平面1A BD 的法向量2(,,)n x y z = ，则020x z x y z -=⎧⎨+-=⎩．令1z =可得2(1,1,1)n = （11分）．设所求二面角为θ，由图可知θ为锐角，故1212||cos ||||n n n n θ== （12分）．。

2021年军考复习解放军武警(高中)士兵考军校数学专项测试卷附答案解析

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1．已知圆的一条直径的端点分别是(0,0)A ，(2,4)B ，则此圆的方程是()A ．22(1)(2)5x y -+-=B ．22(1)(2)25x y -+-=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)25x y -+=2．已知圆C 的圆心在直线y x =-上，且过两点(2,0)A ，(0,4)B -，则圆C 的方程是()A ．22(3)(3)x y -++=B ．22(3)(3)x y ++-=C ．22(3)(3)10x y -++=D ．22(3)(3)10x y ++-=3．已知圆心为点(1,1)C -，并且在直线4320x y --=上截得的弦长为的圆的方程为()A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)4x y ++-=C ．22(1)(1)2x y -++=D ．22(1)(1)4x y -++=4．圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线80x y -+=对称的圆的方程为()A ．22(3)(2)4x y +++=B ．22(4)(6)4x y ++-=C ．22(4)(6)4x y -+-=D ．22(6)(4)4x y +++=5．已知直线0x y a ++=与圆22(2)(3)2x y -++=相切，那么a 的值为()A ．3或1-B ．1±C ．3-或7-D ．5-±6．已知圆22(1)(2)9x y -++=的一条直径通过直线240x y +-=被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为()A ．250x y +-=B ．250x y --=C ．250x y -+=D ．250x y ++=7．直线1y =+被圆224x y +=截得的弦长为()A B ．C D8．两圆222620x y x y +-++=，224240x y x y ++--=的公共弦所在的直线方程为()A ．3430x y --=B ．4350x y ++=C ．3490x y ++=D ．4350x y -+=9．已知圆2221:(3)(4)(0)O x y r r ++-=>与圆222:1O x y +=外切，则实数(r =)A ．2B ．4C ．6D ．810．已知圆22241:()C x y a a +-=的圆心到直线20x y --=的距离为，则圆1C 与圆222:2440C x y x y +--+=的位置关系是()A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离11．P 是圆22:(3)4M x y +-=上的动点，则P 到直线30l y --=的最短距离为()A ．5B ．3C ．2D ．112．已知点(,)P x y 是圆22(2)1x y -+=上任意一点，则yx的最大值是()A BC ．12D 13．圆22(1)(2)8x y -++=上到直线30x y ++=的点的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．414．已知点(,)P x y 是曲线2sin (cos x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为()A ．6B ．5C ．36D ．2515．P 是直线:40l x y +-=上的动点，Q 是曲线:(sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点，则||PQ 的最小值是()A ．522B ．22C D ．322参考答案与试题解析1.【详解】解：根据题意，圆的一条直径的端点分别是(0,0)A ，(2,4)B ，则圆的圆心为AB 的中点，即圆心的坐标为(1,2)；圆的半径11||22r AB ===则要求圆的标准方程为22(1)(2)5x y -+-=；故选：A ．2.【详解】解：由题意设圆的圆心坐标为(,)C a a -，可得||||AC BC =，即=，解得：3a =，即圆心坐标(3,3)-，半径r ==，所以圆的方程为：22(3)(3)10x y -++=．故选：C ．3.【详解】解：圆心C 到直线4320x y --=的距离1d =，又圆截直线4320x y --=所得的弦长为，∴圆的半径2r ==．则所求圆的方程为22(1)(1)4x y -++=．故选：D ．4.【详解】解：由圆22(2)(12)4x y ++-=可得圆心坐标(2,12)-，半径为2，由题意可得关于直线80x y -+=对称的圆的圆心与(2,12)-关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为(,)a b 则21280221212a b b a -+⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩解得：4a =，6b =，故圆的方程为：22(4)(6)4x y -+-=，故选：C ．5.【详解】解：圆22(2)(3)2x y -++=其圆心为(2,3)-，半径为因为直线与圆相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径，=解得3a =或1-．故选：A ．6.【详解】解：由圆22(1)(2)9x y -++=的方程可得圆心坐标为(1,2)-，联立直线240x y +-=与圆22(1)(2)9x y -++=可得：2224(1)(2)9y x x y =-+⎧⎨-++=⎩，整理可得：2526280x x -+=，所以12265x x +=，1212122()85y y x x +=-++=-，所以弦的中点坐标为：13(5，6)5-，由题意可得该直径所在的方程为：6252(1)1315y x -++=--，整理可得：250x y --=．故选：B ．7.【详解】解：根据题意，圆224x y +=的圆心为(0,0)，半径2r =，则圆心到直线1y =+10y -+=的距离12d ==，则直线1y =+被圆224x y +=截得的弦长为2=故选：D ．8.【详解】解：根据题意，两圆的方程为222620x y x y +-++=、224240x y x y ++--=，则有222226204240x y x y x y x y ⎧+-++=⎨++--=⎩，变形可得3430x y --=；即两个圆的公共弦所在的直线方程3430x y --=故选：A ．9.【详解】解：结合题意12||15O O r =+==，解得：4r =，故选：B ．10.【详解】解：圆22241:()C x y a a +-=的圆心为21(0,)C a ，半径21r a =，0a ≠，由圆22241:()C x y a a +-=的圆心到直线20x y --=的距离为，2=，解得a =可得圆1C 的圆心为(0,2)，半径为2，而圆222:2440C x y x y +--+=的圆心为(1,2)，半径为21r =，由1212||121C C r r ==-=-，可得两圆的位置关系为内切．故选：B ．11.【详解】解：如图，过M 作MA l ⊥于A ，当P 在线段MA 上时，||PA 为最短距离，由点到直线的距离公式，知||3MA =，||||21PA MA ∴=-=．故选：D ．12.【详解】解：如图，yx的几何意义为圆22(2)1x y -+=上的动点与原点连线的斜率，由图可知，当动点P 与A 重合时，OA 与圆相切，此时yx最大为OA 所在直线的斜率．由图可知，||3OA =，则1333OA k ==．故选：B ．13.【详解】解：由题意，圆心坐标为(1,2)-，半径为22，圆心到直线30x y ++=的距离|123|22d -+==，∴圆22(1)(2)8x y -++=上到直线30x y ++=的距离等于2的点共有3个．故选：C ．14.【详解】解：曲线2sin (cos x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），转换为普通方程为22(2)1x y -+=，该曲线是以(2,0)为圆心，1为半径的圆．所以圆心(2,0)到点(5,4)-的距离22(52)(4)5d =-+-=，所以点到圆上的最大距离为516+=，所以22(5)(4)x y -++的最大值为36．故选：C ．15.【详解】解：Q 是曲线3cos :(sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）上的动点，设,sin )Q θθ，所以点Q 到直线l 的距离|2sin()4|3d πθ+-==当sin()13πθ+=时，min d ==故选：C ．。

2021年军考数学复习综合测试卷及答案

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合测试卷1．已知函数()|2|||f x x x a =++-．（1）当1a =时，求不等式()5f x 的解集；（2）若不等式()21f x a -对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．2．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知2sin sin a C B =．（1）若b =120C =︒，求ABC ∆的面积S（2）若:2:3b c =，求3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14||(*)n n a a n N +=-∈．（Ⅰ）若10a >，且1a ，2a ，3a 成等比数列，求1a 和4S ；（Ⅱ）若数列{}n a 为等差数列，求1a 和n S ．4．从2018年起，某市中考考试科目将改为“3科必考3+科选考+体育”．其中3科必考科目为语文、数学和外语，3科选考科目应在物理和生化两科中选择1或2科，在历史、地理和思想品德三科中选择1或2科．已知甲、乙两名考生在选考科目中选择每一科的可能性都相同．()I 求甲考生在选考科目中选考历史的概率；()II 如果甲、乙两名考生都选考了物理，求他们选考科目完全相同的概率．5．有7名“厦门金砖会议”志愿者，其中志愿者1A ，2A ，3A 通晓英语，1B ，2B 通晓俄语，1C ，2C 通晓葡萄牙语，从这7名志愿者中任意选出通晓英语、俄语和葡萄牙语的志愿者各1名，组成一个小组（1）求1A 被选中的概率（2）求1B 和1C 不全被选中的概率．6．已知函数221()2f x x a lnx =-，a R ∈．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为6270x y +-=，求a 的值；（Ⅱ）若0a >，函数()y f x =与x 轴有两个交点，求a 的取值范围．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若点B 在椭圆上，且△12BF F 为等边三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若点2F 在以MN 为直径的圆外，求直线l 斜率k 的取值范围．8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1AB BB =，2AC =，AB =，求1A 到平面11BCC B 的距离．参考答案与详解1.【详解】（1）把1a =代入()|2|||f x x x a =++-，可得21,2()|2||1|3,2121,1x x f x x x x x x ---⎧⎪=++-=-<<⎨⎪+⎩．当2x -时，()5f x 等价于215x --，解得3x -，则32x --；当21x -<<时，()5f x 等价于35，此式恒成立，则21x -<<；当1x 时，()5f x 等价于215x +，解得2x ，则12x ．综上，不等式()5f x 的解集为[3-，2]；（2）()|2||||2||||2||2|f x x x a x a x x a x a =++-=++-++-=+，∴不等式()21f x a -对任意x R ∈恒成立转化为|2|21a a +-恒成立，若210a -<，即12a <，则不等式|2|21a a +-成立；若210a -，即12a ，则2244441a a a a ++-+，即23830a a --，解得133a -，则132a ．综上，实数a 的取值范围是(-∞，3]．2.【详解】（1）由正弦定理知，sin sin c B b C =；由2sin sin a C B =，得2sin sin a C C =，故2a =，b =6a ∴=；又120C =︒，ABC ∆的面积11sin 61822S ab C ==⨯⨯，故ABC ∆的面积S 为18．（2）由2a =，:2:3b c =，∴3232a c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴3sin 23sin sin 2A B C B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，cos sin 2sin cos sin 222cos 3sin sin 3sin 2B A B A B A A B AC C B ---===-；2222223())522cos 32622b b b c a A bc b b +-+-===；22cos 13A ∴-=．故3sin 2sin 1sin AB C-=．3.【详解】（Ⅰ）10a >，2114||4a a a ∴=-=-，1132111,044||4|4|8,4a a a a a a a <⎧=-=--=⎨->⎩．1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2132a a a =，①104a <时，有2211(4)a a =-，得12a =；②14a >时，有2111(8)(4)a a a -=-，得14a =-)或14a =+．综①②可知，12a =或14a =+．当12a =时，22a =，32a =，42a =，得48S =；当14a =+时，2140a a =-<，3180a a =->，4314||4a a a =-=-，得48S =．故48S =；（Ⅱ）214||a a =-，3214||4|4|||a a a =-=--，∴由等差数列的定义得：2132a a a =+，即1112(4||)4|4|||a a a -=+--，当14a >时，可得10a =，矛盾；当104a <时，可得12a =，符合条件；当10a 时，公差2140d a a =-=>，∴必存在2m ，使得14(1)4m a a m =+->，这与14||0m m m m d a a a a +=-=--<矛盾．综上可知，只有12a =时符合条件且此时公差210d a a =-=．2n a ∴=，则12a =，2n S n =．4.【详解】()I 甲若在历史、地理和思想品德三科中只选择1科历史，则他应在物理和生化两科中选择2科，概率为11133⨯=；甲若在历史、地理和思想品德三科中选择2科，其中一科为历史，则他应在物理和生化两科中选择1科，概率为111132212=，甲考生在选考科目中选考历史的概率为11531212+=．()II 如果甲、乙两名考生都选只选考了物理，则他们只需在生化、历史、地理和思想品德四科中同时选择相同的2科，概率为224411136C C =．5.【详解】（1）从这7名志愿者中任意选出通晓英语、俄语和葡萄牙语的志愿者各1名，组成一个小组，基本事件有12个，分别为：1(A ，1B ，1)C ，1(A ，1B ，2)C ，1(A ，2B ，1)C ，1(A ，2B ，2)C ，2(A ，1B ，1)C ，2(A ，1B ，2)C ，2(A ，2B ，1)C ，2(A ，2B ，2)C ，3(A ，1B ，1)C ，3(A ，1B ，2)C ，3(A ，2B ，1)C ，3(A ，2B ，2)C ，用事件M 表示“1A 被选中”，则事件M 包含的基本事件有4个，分别为：1(A ，1B ，1)C ，1(A ，1B ，2)C ，1(A ，2B ，1)C ，1(A ，2B ，2)C ，1A ∴被选中的概率41123p ==．（2）用N 表示事件“1B 和1C 不全被选中”，则N 表示事件“1B 和1C 全被选中”，则N 包含听基本事件有3个，分别为：1(A ，1B ，1)C ，2(A ，1B ，1)C ，3(A ，1B ，1)C ，∴由对立事件概率计算公式得1B 和1C 不全被选中的概率：33()1()1124P N P N =-=-=．6.【详解】由题意知函数的定义域为(0,)+∞，2()a f x x x'=-．（Ⅰ）因为函数在1x =处切线斜率为3-，所以当1x =时，f '（1）213a =-=-，解得2a =±．（Ⅱ）222()()()(0)a x a x a x a f x x x x x x-+-'=-==>，当0x a <<时，()0f x '<；当x a >时，()0f x '>，所以函数()y f x =在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，当x a =时，函数()f x 有最小值22211()()()22min f x f a a a lna a lna ==-=-，当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞，所以要使函数()f x 与x 轴有两个交点，只需()0min f x <，即21()02a lna -<，解得a >7.【详解】（1）由已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若点B在椭圆上，可得b =由△12BF F 为等边三角形可知2a =，则椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由已知可得直线l 的斜率存在为k ，直线l 的方程为(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222(34)84120k x k x k +++-=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，且△0>恒成立，由点2F 在以MN 为直径的圆外，则290MF N ∠<︒且22,F M F N 不同向220F M F N ⇒>，则1(1x -，12)(1y x -，2)0y >1212(1)(1)0x x y y ⇒--+>1212(1)(1)(1)(1)0x x k x k x ⇒--+++>，整理可得2221212(1)(1)()10k x x k x x k ++-+++>，则22222224128(1)(1)103434k k k k k k k -+--++>++，整理可得229377977k k k >=>⇒>或377k <-．8.【详解】（1）证明：连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD B C ，又OD ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ．（2）解：2AC =，AB =，60ACB ∠=︒，2222cos 3AB AC BC AC BC ACB ∴=+-∠=，即23422cos60BC BC =+-⨯⨯⨯︒，1BC ∴=，222AC AB BC =+，AB BC ∴⊥．又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B ⋂平面ABC AB =，BC ∴⊥平面11AA B B ，160A AB ∠=︒，1AB BB ==111BC B C ==，∴11111111sin 24A B B S A B BB A B B =∠=．∴11111133C A B B A B B V S BC -==⨯．设1A 到平面11BCC B 的距离为h ，1111122CBB SBC BB =⨯⨯=⨯⨯，11111333326A CBB CBB V S h -=⨯⨯=⨯=，1111A BCBC A B B V V --=，∴64h =，解得32h =，1A ∴到平面11BCC B 的距离为32．。

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学综合题专项测试卷

（Ⅱ）由
2n﹣1 可得 n＝1 时， 2﹣＝1，
即 b1＝a1＝1；
n≥2 时，
2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）＝2n﹣1，即 bn＝2n﹣1an＝（2n﹣1）•2n﹣1，
对 n＝1 也成立，则前 n 项和 Tn＝1•1+3•2+5•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n﹣1， 2Tn＝1•2+3•22+5•23+5•24+…+（2n﹣1）•2n，两式相减可得﹣Tn＝1+2（2+22+23+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n
递减，在（x0，+∞）上单调递增，
由 f（1）＝0，可得存在 x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．另解：若当 x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，
即为 a＜
，
由y
的导数为 y′
，
由 y＝x 2lnx 的导数为 y′＝1
＞0，
函数 y 在 x＞1 递增，可得
设 DE＝a，则 D（1，a，0），E（1，0，0），F（0，0，），（﹣1，﹣
a，），
∵直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为， Ṹ
∴直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正弦值为，平面 BCDE 的法向量（0，0，1），
∵直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为，
∴|cos＜，＞|
∴
，当且仅当 2a＝3b 时取等号，
故
的最小值为．
2．【详解】（1）因为 bsinB＝asinC，根据正弦定理可得 b2＝ac，

【最新】2021年军考高中学历士兵考军校数学专项复习测试卷及答案

函数图像1．函数()||x x e e f x ln x --=的图象大致为()A ．B ．C ．D ．2．函数sin cos 1y x x x =+-在区间[π-，]π上的图象大致为()A ．B ．C ．D ．3．在同一平面直角坐标系中，函数(0,1)x y a a a =>≠与1y x a =+-的图象可能是()A ．B ．C ．D ．4．函数241xy x =+的图象大致为()A ．B ．C ．D ．5．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能为()A ．321()f x x x =-B ．221()f x x x =-C ．31()f x x x =-D ．31()f x x x =-6．函数2||x y x =的图象大致是()A ．B ．C ．D ．参考答案与试题解析1．【解答】解：根据题意，函数()||x x e e f x ln x --=，有||0ln x ≠，解可得1x ≠±，则其定义域为{|1}x x ≠±，()()()||||x x x x e e e e f x f x ln x ln x -----==-=--，函数()f x 为奇函数，排除CD ，在区间(0,1)上，0x x e e -->，||0ln x <，则()0f x <，排除A ，故选：B ．2．【解答】解：根据题意，sin cos 1y x x x =+-，[x π∈-，]π，有()()sin()cos()1sin cos 1()f x x x x x x x f x -=--+--=+-=，即函数()f x 为偶函数，排除AB ，又由()sin cos 120f ππππ=+-=-<，排除D ，故选：C ．3．【解答】解：若1a >，则10a ->，函数x y a =是R 上的增函数，函数1y x a =+-的图象与y 轴的交点在x 轴上方，C 符合，D 不符合；若01a <<，则10a -<，函数x y a =是R 上的减函数，函数1y x a =+-的图象与y 轴的交点在x 轴下方，A ，B 均不符合．故选：C ．4．【解答】解：函数241x y x =+的定义域为实数集R ，关于原点对称，函数24()1x y f x x ==+，则24()()1x f x f x x -=-=-+，则函数()y f x =为奇函数，故排除A ，C ，当0x >时，()0y f x =>，故排除D ，故选：B ．5．【解答】解：由图象可得函数的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，且在(,0)-∞或(0,)+∞为增函数，在(0,)+∞上，2y x =，3y x =为增函数，1y x =为减函数，21y x=为减函数，则321()y f x x x ==-，31()y f x x x ==-为增函数，221()y f x x x ==-，31()y f x x x==-为减函数，故排除BC ，在(,0)-∞上，3y x =为增函数，1y x =为减函数，21y x =为增函数，故321()y f x x x ==-的单调性不一致，故排除A ，故选：D ．6.【解答】解：2,0,0||x x x y x x x >⎧==⎨-<⎩，即当0x >，y x =，函数为增函数，当0x <，y x =-，函数为减函数，故选：A ．。

2021军考复习资料高中毕业生士兵考军校-数学专项测试卷及答案解析

高中学历士兵考军校-数学-等差数列测试卷关键词2021年军考，军考辅导，军考数学，高中学历士兵考军校，师之航军考，军考视频，军考资料，在部队考军校，军考辅导，军考辅导班，军考培训，军考培训班，军考资料，军考视频，大学生当兵考军校，部队考军校，当兵考军校，军考培训，军考真题，考军校辅导，义务兵考军校，武警士兵考军校，士兵考军校辅导师之航寄语：为了给2021年备战军考的解放军/武警战士们扫清学习障碍，现师之航军考特推出历年军考真题精讲系列视频课和备考指南视频课。

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一．选择题（共9小题）1．已知等差数列{}n a 中，468a a +=，则34567(a a a a a ++++=)A ．10B ．16C ．20D ．242．已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则28cos()(a a +=)A ．12-B ．32C ．12D ．323．已知数列{}n a 是首项14a =，公比1q ≠的等比数列，且14a ，5a ，32a -成等差数列，则公比q 等于()A ．12B ．1-C ．2-D ．24．等比数列{}n a 中，5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，则39a a 等于()A ．3-B ．3C ．4-D ．45．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a ≠，若533a a =，则95(S S =)A ．95B ．59C ．53D ．2756．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，26312a a +=-，1020S =，则n S 取最小值时，n 的值为()A ．2B ．3C ．4D ．57．在等差数列{}n a 中，已知35715a a a ++=，则该数列前9项和9(S =)A ．18B ．27C ．36D ．458．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于()A ．66B ．132C ．66-D ．132-9．在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是()A ．5B ．7C ．9D ．3二．详解题（共3小题）10.已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足*1121(2,)n n n S S S n n N +-+=+∈．（1）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设3n n n b a = ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =-，612S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n s ，并求当n 取何值时n S 有最小值．12．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，66a =，又1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n a n b n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．C【详解】解：等差数列{}n a 中，468a a +=，可得3746528a a a a a +=+==，可得54a =，则则3456788420a a a a a ++++=++=．故选：C ．2．A【详解】解：{}n a 为等差数列，192852a a a a a ∴+=+=，1598a a a π++= ，583a π∴=，28163a a π+=，28161cos()cos32a a π∴+==-．故选：A ．3．B【详解】解：数列{}n a 是首项14a =，公比1q ≠的等比数列，且14a ，5a ，32a -成等差数列，513242a a a ∴=-，422(4)442(4)q q ∴=⨯-，解得1q =（舍)或1q =-．故选：B ．4．B【详解】解：5a 、7a 是函数2()43f x x x =-+的两个零点，5a ∴、7a 是方程2430x x -+=的两个根，573a a ∴= ，由等比数列的性质可得：39573a a a a == ．故选：B ．5．D【详解】解：依题意，19951553992552a a S a a a S a +⨯==+⨯，又533a a =，∴95927355S S =⨯=，故选：D ．6．C【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由26312a a +=-，1020S =，得11481210910202a d da +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得172a d =-⎧⎨=⎩．72(1)29n a n n ∴=-+-=-．由290n a n =-，得92n．∴数列{}n a 自第5项起大于0，则n S 取最小值时，n 的值为4．故选：C ．7．D【详解】解：由等差数列的性质可得：3575153a a a a ++==，解得55a =．则该数列的前9项和1959()9452a a a +===．故选：D ．8．D【详解】解：在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，3924a a ∴+=-，∴数列{}n a 的前11项和为：1111139111111()()(24)132222S a a a a =+=+=⨯-=-．故选：D ．9．A【详解】解：等差数列{}n a 中，前n 项和n S ，满足9235S S -=，34567896735a a a a a a a a ∴++++++==，65a ∴=，故选：A ．三．详解题（共3小题）10.【解答】解：（1）由已知，11()()1(2n n n n S S S S n +----=，*)n N ∈，即*11(2,)n n a a n n N +-=∈，且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．1n a n ∴=+（2）由（Ⅰ）知3(1)3n n n n b a n ==+ ，它的前n 项和为22333(1)3n n T n =++⋯++ ，（1）23132333(1)3n n T n +=++⋯++ ，（2）12341(1)(2):2233333(1)3n n n T n +--=++++⋯+-+ 13(13)333(1)3(331322n n n n n +-=+-+=--+- ，∴333(3244n n T n =+- ．11．【详解】解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得115254a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，得17a =-，2d =．{}n a ∴的通项公式为29n a n =-．（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，∴当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．12．【详解】解：（1）各项都不相等的等差数列{}n a ，66a =，又1a ，2a ，4a 成等比数列．∴61211156()(3)0a a d a d a a d d =+=⎧⎪+=+⎨⎪≠⎩，解得11a =，1d =，∴数列{}n a 的通项公式1(1)1n a n n =+-⨯=．（2）2222n a n n b n n =+=+ ，∴数列{}n b 的前n 项和：23(2222)2(123)n n S n =+++⋯+++++⋯+2(12)(1)2122n n n -+=+⨯-1222n n n +=-++．。

2021年军考数学综合大题练习试卷及答案

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学专项测试卷压轴题1．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin (2cos)0C c A -+=．（1）求角A 的大小；（2）若a =，ABC ∆sin sin B C +的值．2．已知函数()|1|2|2|()f x x x x R =-+-∈，记()f x 的最小值m ．（1）解不等式()5f x ；（2）若23a b c m ++=，求222a b c ++的最小值．3．已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，数列{}n b 是等差数列，公差为d ，且满足：111a b ==，2324b b a +=，3235a b -=-．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．4．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生认为《少年的你》值得看的概率为34，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）．（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ξ的分布列与数学期望．5．已知函数()(1)2x f x e a lnx =-+-，e 为自然对数的底数．（1）若1x =是()f x 的极值点，求a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）当2a =时，证明：()433f x ln >-．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点1)2P ，两个焦点为1(F ，2F ．（1）求C 的方程；（2）设圆222:()D x y r b r a +=<<，若直线l 与椭圆C ，圆D 都相切，切点分别为A 和B ，求||AB 的最大值．7．如图，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，AB =13AA =，E 为棱1AA 上一点，1AE =，F 为棱11B C 上任意一点．（1）证明：BE EF ⊥；（2）求点1B 到平面1BEC 的距离．参考答案与解析1.【解答】解：（1sin sin (2cos )0A C C A -+=，因为sin 0C ≠cos 2A A -=，所以sin()16A π-=，解得62A ππ-=，故23A π=；（2）1sin 2ABC S bc A ∆==4bc =，由余弦定理，可得22222120cos 228b c a b c A bc +-+--===，故2216b c +=，则b c +====，所以()sin sin sin 2210b c b c A B C R R a ++=+===．2.【解答】解：（1）53(1)()|1|2|2|3(12)35(2)x x f x x x x x x x -<⎧⎪=-+-=-⎨⎪->⎩，()5f x ，∴5351x x -⎧⎨<⎩或3512x x -⎧⎨⎩或3552x x -⎧⎨>⎩，∴1003x，∴不等式的解集为10[0,]3．（2）由（1）知()f x 的最小值为1，1m ∴=．231a b c m ∴++==，∴2222222111()(149)(23)141414a b c a b c a b c ++=++++++=，当且仅当113,,14714a b c ===时，等号成立，222a b c ∴++的最小值为114．3.【解答】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列{}n b 的公差为d ，由题意知0q >，由已知，有2(1)(12)43(1)5d d q q d +++=⎧⎨-+=-⎩，即243232q d q d -+=-⎧⎨-=-⎩，解得2q d ==．{}n a ∴的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为21n b n =-；（2）由（1）知，1221n n n n c a b n -=+=+-，则121(1222)[135(21)]n n S n -=+++⋯+++++⋯+-21(12)(121)21122n n n n n ⨯-+-=+=+--．4.【解答】解：（1）设X 表示2名男生认为值得看的人数，Y 表示2名女生中认为值得看的人数，设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A ，又男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生值得看的概率为34，P ∴（A ）(1P X ==，2)(0Y P X =+=，1)(0Y P X =+=，2)Y =212122223411133187()()()(()((()45554445400C C =++=，∴这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率为87400．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，(0)(0P P X ξ===，0202221110)()()54400Y C C ===，(1)(1P P X ξ===，0)(0Y P X =+=，1020212222411131141)()()(()()()554544400Y C C C C ==+=，(2)(2P P X ξ===，0)(1Y P X =+=，1)(0Y P X =+=，2)Y =22021102222222224141131373()()()()()()(()54554454400C C C C C C =++=，(3)(1P P X ξ===，2)(2Y P X =+=，12222122224131311681)()(()()()()554544400Y C C C C ==+=，(4)(2P P X ξ===，222222431442)((54400Y C C ===，ξ∴的分布列为：ξ01234P 140014400734001684001444001147316814431()0123440040040040040010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．5.【解答】解：（1）()(1)2x f x e a lnx =-+-，1()x a f x e x+'∴=-，1x =是()f x 的极值点，f '∴（1）(1)0e a =-+=，解得1a e =-．此时，()x ef x e x'=-，令()0f x '=，则1x =，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．故()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞．（2）证明：当2a =时，()32x f x e lnx =--，3()x f x e x'=-，令3()()x g x f x e x '==-，则23()0x g x e x'=+>，即()g x 在(0,)+∞上单调递增，又g （1）30e =-<，g （2）2302e =->，∴存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，即003x e x =，也就是003lnx ln x =-，当0(0,)x x ∈时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(x x ∈，)+∞时，()0g x >，()0f x '>，()f x单调递增．000000033()()323(3)23332332433x min f x f x e lnx ln x x ln ln ln x x ∴==--=---=+-->-=-，故()433f x ln >-．6.【解答】解：解法1:（1）由题意c =，所以223a b =+，C 的方程可化为22221(0)3x y b b b +=>+．因为C的经过点1)2，所以2231134b b +=+，解得21b =，或234b =-（舍去）．于是C 的方程为2214x y +=．（2）设:l y kx m =+，代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=．由△2216(41)0k m =+-=，得2214m k =+①．设0(A x ，0)y ，则024441km k x k m =-=-+，001y kx m m=+=-．因为l 与圆D 相切，所以圆心D 到lr =，即222(1)m r k =+②．由①②得22234r m r =-，22214r k r -=-．所以圆D的切线长||AB ===．因为2244r r +=，当r =时取等号，因为(1,2)r =，所以||AB 的最大值为1．解法2:（1）由椭圆定义得122||||4a AF AF =+=+=．所以2a =，因为c =，所以2221b a c =-=，于是C 的方程为2214x y +=．（2）设:l y kx m =+，代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=．由△2216(41)0k m =+-=，得2214m k =+①．设1(A x ，1)y ，则124441km kx k m=-=-+．将y kx m =+代入222x y r +=得2222(1)20k x kmx m r +++-=．由△22224()0r k r m =+-=，得222(1)m r k =+②．由①②得22214r k r -=-．设2(B x ，2)y ，则22122.|||1km kr x AB x x k m=-=-=-=+．因为2244r r +=，当r =时取等号，因为(1,2)r =，所以||AB 的最大值为1．7.【解答】（1）证明：1AE =，12A E =，在长方体1111ABCD A B C D -中，1B E ==，BE ==∴22211B B B E BE =+，即1BE B E ⊥，在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11A ABB ，BE ⊂平面11A ABB ，11BE B C ∴⊥，又1111B E B C B =，BE ∴⊥平面11B C E ，无论点F 位置如何，EF ⊂平面11B C E ，BE EF ∴⊥．（2）解：设点1B 到平面1BEC 的距离为h ，由（1）知，BE ⊥平面11B C E ，1BE EC ∴⊥，又1BC =21EC ∴==∴111122BEC SEC BE ==⨯=，111111122B EC SB C B E ===，1111B BEC B B EC V V --=，即1111133BEC B EC Sh SBE =．1112B EC BEC SBEh S∴===，即点1B 到平面1BEC的距离为。

2021年军考解放军武警(高中学历)士兵考军校数学仿真试卷及答案

故答案为：2+2 ．
16．【详解】令 t＝f（a），则 f（t）≤0，当 t≤1 时，有 2t2﹣2≤0，解得﹣1≤t≤1；当 t＞1 时，lgt≤0，解得 0＜t≤1，不成立．即有﹣1≤f（a）≤1，当 a≤1 时，﹣1≤2a2﹣2≤1，
解得 a 或
a
，
则有 a≤1 或
a
；
当 a＞1 时，有﹣1≤lga≤1，
∵NC1＝2NB1，∴CP⊥BN，
又 DC⊥平面 BCC1B1，∴DC⊥BN，则 BN⊥平面 DCP，则 M 点的轨迹为平面 DCP 与球 O 的截面圆周．建立如图所示的坐标系，则 D（0，0，0），C（0，6，0），P（6，6，2），O（3，3， 3），设平面 DOP 的法向量为（x，y，z），
7．已知 6 个高尔夫球中有 2 个不合格，每次任取 1 个，不放回地取两次，在第一次取
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到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（）
A．
B．
C．
D． t
8．在△AnBn∁n 中，记角 An、Bn、∁n 所对的边分别为 an、bn、cn，且这三角形的三边长
是公差为 1 的等差数列，若最小边 an＝n+1，则
（）
A．
B．
C．
D．
9．点 M 是棱长为 6 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的内切球 O 球面上的动点，点 N 为 B1C1
上一点，2NB1＝NC1，DM⊥BN，则动点 M 运动路线的长度为（）
A．
B．
t
C．
D．
二．填空题（共 8 小题）
10．lg 2lg2﹣（）﹣1＝
．
11．已知 sin（α ），α∈（0，π），则 cos（2α ）＝

2021军考大专毕业生士兵部队专升本考军校高等数学专项练习试卷及答案--函数极限

大专学历士兵考军校高等数学专项测试卷函数与极限-极限-函数极限关键词2021年军考，军考辅导，军考数学，大专学历士兵考军校，师之航军考，军考视频，军考资料，在部队考军校，军考辅导，军考辅导班，军考培训，军考培训班，军考资料，军考视频，大学生当兵考军校，部队考军校，当兵考军校，军考培训，军考真题，考军校辅导，义务兵考军校，武警士兵考军校，士兵考军校辅导师之航寄语：为了给2021年备战军考的解放军/武警战士们扫清学习障碍，现师之航军考特推出历年军考真题精讲系列视频课和备考指南视频课。

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1、求极限：201lim sinx x x→.解答：当0x →时，20x →为无穷小，而1sin x 是有界函数，201lim sin 0x x x→=.2、求极限：201lim 1x x x→--.解答：20001limlim(1)1lim 11x x x x x x x →→→-=+=+=-，或分子分母极限分别为1，或无穷小定义.3、求极限：221lim 1x x x →+-.解答：22222lim(1)15lim51lim(1)1x x x x x x x →→→++===--.4、求极限：225710lim 25x x x x →-+-.解答：先约分，252555lim(2)71023lim lim 255lim(5)10x x x x x x x x x x x →→→→--+-===-++.5、求极限：220()lim h x h x h→+-.解答：先化简，22200()2lim lim 2h h x h x xh h x h h→→+-+==.6、求极限：011limx x→-.解答：分子有理化，0011limlim 2x x x →→-==.7、求极限：2131lim1x x →-.解答：分子有理化，再约分，211312lim lim 14x x x →→=--.8、求极限：4x →.解答：分子分母有理化，再约分，4lim x x →→=223x →==.9、求极限：20(1)(1)lim n mx mx nx x →+-+（n ，m 为正整数）.解答：分子两项分别按二项式展开，则分子的最低次幂为二次，系数为1()2mn n m -，余为高阶无穷小，故20(1)(1)limn m x mx nx x →+-+=1()2mn n m -.10、求极限：2232lim 14x x x →∞+-.解答：分子分母同除以2x ，222223323lim lim 11444x x x x x x→∞→∞++==---.11、求极限：203050(23)(32)lim (51)x x x x →∞-++.解答：分子分母同除以50x ，20302030203050505032(2)(3)(23)(32)23limlim 1(51)5(5)x x x x x x x x→∞→∞-+-+⋅==++.12、求极限：322lim()2121x x x x x →∞---.解答：通分，3232122211lim()lim lim 2121(21)(21)(2)(2)x x x x x x x x x x x x x x ---→∞→∞→∞-+-+-==------14=-.13、求极限：0tan 2lim x xx→.解答：00000tan 2sin 2sin 22sin 22limlim lim lim lim 122cos 22cos 22cos 2x x x x x x x x x x x x x x x x→→→→→==⋅=⋅=⨯=.14、求极限：0sin 3limsin 2x xx →.解答：00sin 3sin 3233limlim()sin 23sin 222x x x x x x x x →→=⋅⋅=.15、求极限：sin lim x xx→-ππ.解答：0sin sin()limlim 1)x x x x x x πππππ→-→-==--(.16、求极限：sin sin limx a x ax a→--.解答：令x a t -=，则00sin sin sin()sin sin cos cos sin sin limlim limx a t t x a t a a t a t a a x a t t→→→-+-+-==-202sin sin 2lim(cos sin )cos t t t a a a t t→=⋅-⋅=.17、求极限：2cos lim 2x xx →-ππ.解答：令2x t π-=，则02cos sin lim lim 12t x x tt x →→-==--ππ.18、求极限：420lim (1cos )x x x →-.解答：44442000224()22lim lim lim 4(1cos )(2sin )4(sin )22x x x x x xx xx →→→⋅===-.19、求极限：0x →.解答：分母有理化，00arcsin (11)lim 2x x x x →→⋅==.20、求极限：0cos lim1cos x x x→-.解答：分子有理化，002sin sin (1)cos limlim 21cos 2sin cos )2x x xx x xxx x x →→+==-+.21、求极限：1lim(1)x x x →∞-.解答：1111lim(1lim11(1)lim(1)x x x x x x x ex x→∞→∞--→∞-===--.22、求极限：32lim(1)x x x+→∞+.解答：332222221lim(1)lim(1)lim(1)[lim(1)]12x x x x x x x e x x x x+→∞→∞→∞→∞+=+⋅+=+⋅=.23、求极限：10lim(13)xx x →-.解答：11303311lim(13)lim[(13)]xx x x x ex →→--==-.24、求极限：cot 0lim(1tan )x x x →+.解答：1cot tan 0lim(1tan )lim(1tan )xxx x x x e →→+=+=.25、求极限：21lim()21xx x x →∞-+.解答：2121221212lim()lim(1)2121x x x x x x x e x x +-⋅--+→∞→∞--=+=++.26、当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪一个是高阶无穷小？解答：因为232200lim lim 022x x x x x x x x x→→--==--，所以当23202x x x x x →--时，比高阶无穷小.27、当1x →时，1x -与（1）1-；（2）21(1)2x -是同阶无穷小还是等价无穷小？解答：（1）当1x →时，1111lim lim 12x x x →→-==-，故11x --为同阶非等价无穷小；（2）当1x →时，21111(1)(1)(1)22lim lim 111x x x x x x x→→--+==--，故21(1)12x x --与为等价无穷小.28、求极限：0tan 3lim2x xx→.解答：当0x →时，tan 3~3x x ，故00tan 333limlim 222x x x x x x →→==.29、求极限：20sin()lim sin x x x x→.解答：当0x →时，22sin ~,sin ~x x x x ，故2200sin()lim lim 1sin x x x x x x x x→→==⋅.30、求极限：20sin 2lim tan 3x x x x→+.解答：当0x →时，tan 3~3x x ，故2220000sin 2sin 2sin 22lim lim lim lim tan 33333x x x x x x x x x x x x x x →→→→++==+=.31、求极限：011lim 1cos x x→-.解答：当0x →22111~,1cos ~22x x x -，故20021112lim lim 111cos 2x x x x x →→==-.32、求极限：0tan sin lim(1cos )x x x x x →--.解答：当0x →时，tan ~x x ，故00tan sin tan (1cos )limlim 1(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x →→--==--.33、求极限：20ln(13)limtan()x x x x →+.解答：当0x →时，22tan()~,ln(13)~3x x x x +，故2200ln(13)3limlim 3tan()x x x x x xx x→→+⋅==.34、求极限：0x →.解答：由于函数()f x =在0x =处连续，故0(0)2x f →==.35、求极限：34lim(sin 2)x x →π.解答：由于函数3()(sin 2)f x x =在4x π=处连续，故34lim(sin 2)()14x x f π→==π.36、求极限：0e 1lim 2x x x→-.解答：可令1xe t -=，则ln(1)x t =+，00e 11lim lim 22ln(1)2x x t t x t →→-==+.37、求极限：0sin 2lim lnx xx→.解答：由于0sin 2lim2x xx→=，而函数ln y u =在2x =处连续，故00sin 2sin 2limln ln lim ln 2x x x x x x→→==.38、求极限：1limln x x→.解答：可令1x t =+，则22100lim lim lim 2ln ln(1)x t t x t →→→==+.39、求极限：lim x →+∞.解答：lim lim1x x →+∞→+∞=.40、求极限：lim m m n nx a x a x a →--.解答：11lim lim m m m n n n x a x a x a mx x a nx --→→-==-m nm a n-.41、求极限：0e e lim sin x xx x-→-.解答：00lim lim 2sin cos x x x xx x e e e e x x--→→-+==.42、求极限：3arctan limx x xx →-.解答：232200011arctan 111limlim lim 33(1)3x x x x xx x x x →→→--+===+.43、求极限：0tan limsin x x x x x→--.解答：22000tan sec 1tan lim lim lim 2sin 1cos 1cos x x x x x x xx x x x→→→--===---.44、求极限：22ln sin lim(2)x xx →-ππ.解答：22222ln sin cot csc 1lim lim lim (2)4(2)88x x x x x x x x πππππ→→→-===----.45、求极限：30e 1sin3limx x x x→-+π.解答：32001sin3limlim(3sin )13x x x x e x e x xππ→→-+=+=.46、求极限：220ln(1)ln(1)lim sec cos x x x x x x x→+++-+-.解答：2222200ln(1)ln(1)cos [ln(1)ln(1)]lim limsec cos 1cos x x x x x x x x x x x x x x→→+++-++++-+=--2220ln(1)ln(1)2limx x x x x x →+++-+=⋅2201212112lim 12x x xx x x x x→+-++++-+=⋅=.47、求极限：e e lim e e x xx x x --→+∞+-.解答：221lim lim 11x x xx x xx x e e e e e e ----→+∞→+∞++==--.48、求极限：0ln tan 7lim ln tan 2x xx+→.解答：2200ln tan 7cot 7sec 77lim lim 1ln tan 2cot 2sec 22x x x x x x x x ++→→⋅⋅==⋅⋅.49、求极限：2ln lim ln x x xx x→+∞+.解答：因为221ln ln 1limlim lim 011ln 22x x x x x x xx x x x x→+∞→+∞→+∞+===++-，且函数非负，所以2ln lim ln x x xx x→+∞+=+∞。

2021军考复习高中毕业生士兵考军校数学专项测试卷及答案

高中数学-直线方程测试卷关键词2021年军考，军考辅导，军考数学，高中学历士兵考军校，师之航军考，军考视频，军考资料，在部队考军校，军考辅导，军考辅导班，军考培训，军考培训班，军考资料，军考视频，大学生当兵考军校，部队考军校，当兵考军校，军考培训，军考真题，考军校辅导，义务兵考军校，武警士兵考军校，士兵考军校辅导师之航寄语：为了给2021年备战军考的解放军/武警战士们扫清学习障碍，现师之航军考特推出历年军考真题精讲系列视频课和备考指南视频课。

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一．选择题（共11小题）1．直线x +y﹣2＝0的倾斜角为（）A．30°B．150°C．120°D．60°2．已知直线l过点（﹣2，1），且倾斜角是，则直线l的方程是（）A．x+y+1＝0B．y＝﹣x C．x+2＝0D ．y﹣1＝0 3．直线l经过点A （2，1），B（3，t2），，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．B．[0，π）C．D．4．若直线mx+2y﹣2＝0与直线x+（m﹣1）y+2＝0平行，则m的值为（）A．﹣1B．1C．2或﹣1D．25．已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2＝0，则实数m的值是（）A．﹣2B．﹣7C．3D．16．直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直7．已知△ABC的顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4），则BC边上的中线AM的长为（）A．8B．13C．2D．8．已知点A（1，1）和点B（4，4），P是直线x﹣y+1＝0上的一点，则|PA|+|PB|的最小值是（）A．3B．C．D．29．已知点P是x轴上的点，P到直线3x﹣4y+6＝0距离为6，则P点坐标为（）A．（﹣6，0）B．（﹣12，0）C．（﹣12，0）或（8，0）D．（﹣6，0）或（6，0）10．已知抛物线C：y2＝x，点P为抛物线C上任意一点，则点P到直线x﹣y+2＝0的最小距离为（）A．B．C．D．11．点A（cosθ，sinθ）到直线3x+4y﹣4＝0距离的最大值为（）A．B．C．1D．二．填空题（共5小题）12．若直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a的值为．13．直线l1：x﹣y﹣m＝0与直线l2：mx﹣y+3＝0平行，则m＝；l1与l2之间的距离为．14．已知直线l1：ax﹣y﹣1＝0，直线l2：x+y﹣3＝0．若直线l1的倾斜角为，则a＝；若l1∥l2，则l1，l2之间的距离为．15．过点A（﹣2，）与直线x﹣y+5＝0成的直线方程．16．我们称两条相交直线所成的角中不大于90°的角为这两条直线的夹角．设直线l1：y＝x，与直线l2：y＝﹣2x+4的夹角为θ，则cosθ的值为．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1.【详解】设倾斜角为α，直线x+y﹣2＝0的斜率为﹣，则tanα＝﹣，∵0＜α＜180°∴α＝120°，故选：C．2．【详解】直线l过点（﹣2，1），且倾斜角是，故直线l的斜率不存在，则直线l的方程是x＝﹣2，故选：C．3．【详解】∵直线l经过点A（2，1），B（3，t2），∴，∵，∴0≤t2≤2，则t2﹣1∈[﹣1，1]，设直线l的倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ∈[﹣1，1]，得θ∈．故选：A．4．【详解】由直线mx+2y﹣2＝0与直线x+（m﹣1）y+2＝0平行，得，解得m＝2．故选：D．5．【详解】∵A（1，﹣2）和B（m，2）的中点在直线x+2y﹣2＝0上，∴．∴m＝3，故选：C．6．【详解】设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1、l2的斜率是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，∴k1k2＝﹣1．∴l1⊥l2．故选：D．7．【详解】由B（10，4），C（2，﹣4），得x M＝＝6，y M＝，即M坐标为（6，0）．又A（7，8），∴|AM|＝．故选：D．8．【详解】点A（1，1）和点B（4，4），P是直线x﹣y+1＝0上的一点，过A作直线y＝x+1的对称点A'，设A'（m，n），可得＝﹣1，＝+1，解得m＝0，n＝2，即A'（0，2），连接A'B，可得|P A|+|PB|＝|P A'|+|PB|≥|A'B|＝＝2，当且仅当A'，P，B三点共线时，取得最小值2．故选：D．9．【详解】由P是x轴上的点，设P（x，0）；由P到直线3x﹣4y+6＝0距离为6，所以＝6，即|3x+6|＝30，所以3x+6＝±30，解得x＝8或x＝﹣12；所以P点坐标为（8，0）或（﹣12，0）．故选：C．10．【详解】设点P（m2，m），则点P到直线x﹣y+2＝0的距离为：＝≥＝．∴点P到直线x﹣y+2＝0的最小距离为．故选：B．11．【详解】点A（cosθ，sinθ）到直线3x+4y﹣4＝0距离为＝≤＝，即点A（cosθ，sinθ）到直线3x+4y﹣4＝0距离的最大值为，其中，tanα＝，α为锐角，故选：D．二．填空题（共5小题）12．【详解】∵直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，∴a+6＝0，解得a＝﹣6．故答案为：﹣6．13．【详解】∵直线l1：x﹣y﹣m＝0与直线l2：mx﹣y+3＝0平行，∴m≠0，＝≠，则m＝1．且它们之间的距离为＝2，故答案为：1；2．14．【详解】根据题意，直线l1：ax﹣y﹣1＝0，即y＝ax﹣1，其斜率k＝a，若直线l1的倾斜角为，则其斜率k＝tan＝1，则有a＝1，若l1∥l2，则有a×1＝（﹣1）×1，解可得a＝﹣1，此时l1的方程为﹣x﹣y﹣1＝0，即x+y+1＝0，则l1，l2之间的距离d＝＝2；故答案为：1，2．15．【详解】直线x﹣y+5＝0的斜率为，倾斜角为，因为所求直线与该直线的夹角为，所以所求直线的倾斜角为或，对应的斜率为﹣或不存在，当斜率为﹣时，直线方程为y﹣＝﹣（x+2），即x+y﹣1＝0；当斜率不存在时，直线方程为x＝﹣2．所以所求直线的方程为x+2＝0或x+y﹣1＝0．故答案为：x+2＝0或x+y﹣1＝0．16．【详解】由题意可得：tanθ＝＝3，∴cosθ＝＝．故答案为：．。

2021年(高中士兵)军考数学专项练习测试卷及答案

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学专项测试卷基础练习（二项式与概率）1．在62()x x-的二项式展开式中，常数项为()A ．160B ．160-C ．60D ．60-2．在6(2)x -展开式中，2x 的系数为()A ．240B ．240-C ．160-D ．1603．82(x x+的展开式中4x 的系数是()A ．28B ．56C ．112D ．2564．在61(2)x x+的展开式中常数项是()A ．60B ．120C ．160D ．9605．若26246810120123456(2)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则05(a a +=)A ．88B ．86C ．76D ．666．某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是()A ．35B ．40C ．45D ．607．某单位共有职工300名，其中高级职称90人，中级职称180人，初级职称30人．现采用分层抽样方法从中抽取一个容量为60的样本，则从高级职称中抽取的人数为()A ．6B ．9C ．18D ．368．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为()A．15B．25C．35D．459．现从甲、乙等6人中随机抽取2人到幸福社区参加义务劳动，则甲、乙仅有1人被抽到的概率为()A．25B．715C．815D．3510．从A，B，C三个同学中选2名代表学校到省里参加全国高中数学联赛，A 被选中的概率是()A．1B．23C．12D．1311．某生物实验室有20颗开紫花的豌豆种和25颗开白花的豌豆种，若从这些豌豆种中随机选取1颗，则这颗种子是开紫花的豌豆种的概率为()A．49B．59C．13D．2312．盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是()A．13B．12C．23D．113．将甲、乙等4名交警随机分配到两个不同路口疏导交通，每个路口两人，则甲和乙不在同一路口的概率为()A．12B．13C．23D．1414．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为()A．18B．38C．78D．8915．甲乙俩人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲乙俩人各投篮一次，至少有一人命中的概率为()A．0.7B．0.58C．0.12D．0.4616．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次．若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为()A．0.24B．0.36C．0.6D．0.84 17．2019年10月1日，在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为13，14，16，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为()A．13B．512C．712D．23参考答案与详解1．【解答】解：展开式的常数项为333333662(()2(1)208(1)160C x C x-=⨯⨯-=⨯⨯-=-，故选：B ．2．【解答】解：展开式的通项公式为661662()(1)2r r r r r r r r T C x C x --+=-=-，令2r =，则展开式中含2x 项的系数为2246(1)21516240C -=⨯=，故选：A ．3．【解答】解：82(x x +的展开式的通项公式为8821882(2r r r r r r r T C x C x x--+==，令824r -=，解得2r =，所以82(x x+的展开式中4x 的系数是2282112C =．故选：C ．4．【解答】解：在61(2)x x+的展开式的通项公式为26162r r r r T C x -+=⋅⋅，令260r -=，求得3r =，可得展开式的常数项是3362160C ⋅=，故选：C ．5．【解答】解：令0x =得60264a ==，5a 为10x 的系数，即556212a C =⋅=，则05641276a a +=+=，故选：C ．6．【解答】解：某校有学生800人，其中女生有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是8003508045800-⨯=，故选：C ．7．【解答】解：共有教师300人，其中高级职称90人，中级职称180人，初级职称30人，现用分层抽样方法抽取一个容量为60的样本，则高级职称中抽取的人数为：9060189018030⨯=++．故选：C ．8．【解答】解：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，基本事件总数5420n =⨯=，摸出的两个球颜色相同包含的基本事件个数32218m =⨯+⨯=，则摸出的两个球颜色相同的概率为：82205m P n ===．故选：B ．9．【解答】解：现从甲、乙等6人中随机抽取2人到幸福社区参加义务劳动，基本事件总数2615n C ==，甲、乙仅有1人被抽到包含的基本事件个数11248m C C ==，则甲、乙仅有1人被抽到的概率为815m P n ==．故选：C ．10．【解答】解：从A ，B ，C ，三个同学中选2名代表学校到省里参加全国高中数学联赛，共有AB ，AC ，BC ，3个基本事件，A 被选中共有2个基本事件，分别为：AB ，AC ，A ∴被选中的概率是23P =，故选：B ．11．【解答】解：由古典概型可知，这颗豌豆种是开紫花的豌豆种的概率为：20420259P ==+．故选：A ．12．【解答】解：盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，基本事件总数3n =，取到白球包含的基本事件个数1m =，∴取到白球的概率是13P =．故选：A ．13．【解答】解：将甲、乙等4名交警随机分配到两个不同路口疏导交通，每个路口两人，基本事件总数22426n C C ==,甲和乙不在同一路口包含的基本事件个数11224m C C ==,则甲和乙不在同一路口的概率为4263m P n ===．故选：C ．14．【解答】解：某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为：2223344444222228()(1)()(1)(333339P C C C =-+-+=．故选：D ．15．【解答】解：甲乙俩人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0.4和0.3，则甲乙俩人各投篮一次，至少有一人命中的概率为：1(10.4)(10.3)0.58P =---=．故选：B ．16．【解答】解：某班级举办投篮比赛，每人投篮两次，小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为：1(10.6)(10.6)0.84P =---=．故选：D ．17．【解答】解：军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为13，14，16，∴这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为：11171(1)(1)P=----=．34612故选：C．。

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一．选择题（共9小题）1．设集合{|415}A x x =-<-<，2{|4}B x x =>，则(A B = )A ．{|26}x x <<B ．{|36}x x -<<C ．{|22}x x -<<D ．{|32x x -<<-或26}x <<2．函数221(2xxy -+=的单调递增区间是()A ．[1-，)+∞B ．(-∞，1]-C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]3．在ABC ∆中，能使3sin 2A >成立的充分不必要条件是()A ．(0,)3A π∈B ．(3A π∈，23πC ．(3A π∈，2πD ．(2A π∈，5)6π4．已知数列{}n a 的前n 项和为*22()n n S n N =-∈，则下列结论正确的是()A ．11056a a a a =B ．对任意2n ，且*n N ∈，都有211n n na a a +-=C ．5S ，105S S -，1510S S -成等比数列D ．对任意*n N ∈，都有1n na a+>5．若正数a ，b满足13a b+=，则ab 的最小值为()A ．B ．C ．D ．26．已知直线过抛物线24y x =的焦点F ，并与抛物线交于点A ，(B A 在第一象限），若A 的纵坐标为6，则线段AB 的长为()A ．496B ．1009C ．436D ．9197．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是()A ．35B ．25C ．59D ．238．直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到l 的距离相等，则直线l 的方程是()A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．2370x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=9．已知(1a = ，1，1)，(0b = ，y ，1)(01)y ，则cos a < ，b > 最大值为()A ．33B ．23C ．32D ．63二．填空题（共8小题）10．已知正实数a 满足9(8)a a a a =，log (2)a a 的值为．11．已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最大值是．12．已知复数1(z i i =-是虚数单位），则2iz z+=．13．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2a =，3b =，2C A =，则cos 2C =．14．已知直线1y x =-与双曲线221(0,0)ax by a b +=><的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为，则b a =15．621(1)x x++展开式中2x 的系数为．16．已知正数x ，y 满足22241x xy y ++=，则x y +的取值范围是．17．在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，DM PA ⊥，4PA PD AB ===，M 为BC 中点．则点M 到平面PBD 的距离是．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1.【详解】{|36}A x x =-<< ，{|2B x x =<-或2}x >，{|32A B x x ∴=-<<- 或26}x <<．故选：D ．2.【详解】令22t x x =-+，则1(2ty =，由22t x x =-+的对称轴为1x =，可得函数t 在(,1)-∞递增，[1，)+∞递减，而1(2ty =在R 上递减，由复合函数的单调性：同增异减，可得函数221(2x xy -+=的单调递增区间是[1，)+∞，故选：C ．3.【详解】在ABC ∆中，(0,)A π∈，∴由sin A >233A ππ<<，对于A ，(0,3A π∈时，sin A <，故A 错误；对于B ，(3A π∈，3)sin 22A π⇔>，(3A π∴∈，)2π是能使3sin 2A >成立的充要条件，故B 错误；对于C ，(3A π∈，3)sin 22A π⇒>，(3A π∴∈，)2π是能使3sin 2A >成立的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，当2(3A π∈，5)6π时，sin 2A <，故D 错误．故选：C ．4.【详解】22n n S =- ．当1n =时110a s ==．当2n 时112n n n n a s s --=-=．∴10,12,2n n n a n -=⎧=⎨⎩∴数列{}n a 不是等比数列．对于A 选项，9110560,2a a a a ==，所以11056a a a a ≠，A 不正确对于B 选项，当2n =时110n n a a +-=，24n a =显然21n n n a a a +≠，B 不正确对于C 选项，5S ，105S S -，1510S S -不是等比数列，C 不正确对于D 选项，对任意*n N ∈，都有1n n a a +>，D 正确，故选：D ．5.【详解】0a>，0b>，∴13a b=+∴∴ab，当且仅当13a b=时取等号，∴ab的最小值为．故选：B．6.【详解】如图：过B作BN OF⊥，交x轴于N，直线过抛物线24y x=的焦点F，并与抛物线交于点A，(B A在第一象限），若A的纵坐标为6，可得(9,6)A所以63tan84AFx∠==，4cos5AFx∠=，设BF m=，可得24cos5NF mAFxBF m-=∠==，解得109m=，线段AB的长为：101001099+=．故选：B．7.【详解】设事件A表示“第一次摸出次品”，事件B表示“第二摸出正品”，则P（A）42105==，264()5915P AB=⨯=，所以在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到正品的概率：4()215(|)2()35P ABP B AP A===．故选：D．8.【详解】设所求直线为l，由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，（1）AB的斜率为35424+=--，当直线//l AB时，直线l的方程是24(1)y x-=--，即460x y+-=，（2）当直线l经过线段AB的中点(3,1)-时，l的斜率为213132+=--，直线l的方程是32(1)2y x-=--，即3270x y+-=，故所求直线的方程为3270x y+-=，或460x y+-=．故选：D．9.【详解】【解法一】利用作图法，构造正方体，设正方体的边长为1，如图所示；则(1a OB ='= ，1，1)，(0b OE == ，y ，1)，且E 在线段D C ''上移动，当E 在D '位置时，cos a <，||||a b b a b >==⨯ 当E 在C '位置时，cos a <，||||a b b a b >===⨯ 【解法二】 (1a = ，1，1)，(0b = ，y ，1)(01)y ，∴1a b y =+，||a =，||b = cos a ∴<，||||a b b a b >==⨯ ；设t ，则221t y -=，y t∴=，1())f t t ∴==；设1sin tα=，则21sin 2α，即42ππα，()sin )g αα∴=sin )αα=+)4πα=+，∴当4πα=时，()g α=．故选：D ．二．填空题（共8小题）10.【详解】正实数a 满足9(8)a a a a =，9log 8a a a a ∴=，由1log 89a a =，得8log 89a =-，8log 227a ∴=-，819log (2)log 2112727a a a ∴=+=-+=．故答案为：1927．11.【详解】函数()2cos sin 2f x x x =+，则2()2sin 2cos224sin 2sin 2(2sin 1)(sin 1)f x x x x x x x '=-+=--=--+，由()0f x '=可得1sin 2x =或sin 1x =-，当1sin (1,2x ∈-时，()0f x '>，当1sin (2x ∈，1)时，()0f x '<，所以1sin 2x =时，()f x 取得极大值此时3cos 2x =-或3cos 2x =，经验证可知，cos 2x =时，函数取得最大值，又()2cos (sin 1)f x x x =+，()f x ∴的最大值是：12(1)2+=．12.【详解】根据题意，复数1z i =-，则222(1)(1)(1)212i i i i z i i i z i ++=++=++=-，故答案为：2i ．13.【详解】因为2C A =，所以3B A C A ππ=--=-，由正弦定理可得sin sin sin sin sin(3)sin 3aAAAb B A A π===-，因为sin 3sin(2)sin cos 2cos sin 2A A A A A A A=+=+22sin (12sin )2cos sin A A A A =-+22sin (12sin )2(1sin )sin A A A A=-+-33sin 4sin A A =-，则32sin 123sin 4343aA b A sin A sin A ===--，因为2(0,)C A π=∈，所以(0,2A π∈解得sin A =，故221cos 212sin 124A A =-=-⨯=，则217cos 2cos 42cos 2121168C A A ==-=⨯-=-，故答案为：78-．14.【详解】双曲线221(0,0)ax by a b +=><0±=，直线1y x =-0=联立，可得A，B ，，则AB 的中点为(b a b +，)aa b+，由过原点和线段AB中点的直线的斜率为，可得32aaa b b b a b+==-+，则3ba=-，故答案为：3-．15.【详解】当21(1)x +选择1时，6(1)x +展开式选择2x 的项为226C x ；当21(1x+选择21x时，6(1)x +展开式选择为446C x ，所以621(1)x x++展开式246630C C +=；故答案为：30．16.【详解】正数x ，y 满足22241x xy y ++=，可得241y <，即有102y <<，2222131x xy y y ∴++=-<，即2()1x y +<，解得112x y <+<，故x y +的取值范围为1(2，1)，故答案为：1(2，1)17.【详解】四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，BCD ∴∆是等边三角形，又M 是BC 的中点，DM BC ∴⊥，又//BC AD ，DM AD ∴⊥，又DM PA ⊥，PA AD A = ，DM ∴⊥平面PAD ，又DM ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ．取AD 的中点H ，连接PH ，BH ，4PA PD AB === ，4AB BD AD ===，PH AD ∴⊥，且PH BH ==由平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH ∴⊥平面ABCD ，故PH BH ⊥，∴PB =4PD BD ==，∴12BDP S ∆=⨯=，设M 到平面PBD 的距离为h，则13M PBD V h -=⨯=．又112432M PBD P BDM V V --==⨯⨯⨯=，∴4=，解得h =．∴点M 到平面PBD 的距离为2155．故答案为：2155．。

2021年军考复习数学专项测试卷及答案

2021年军考-高中学历士兵考军校-数学专项测试卷复数一．选择题（共10小题）1．复数2(1)(1i i-=+)A ．1i-B ．1i +C ．1i--D ．1i-+2．已知i 是虚数单位，若复数543z i=+，则z 的共轭复数(z =)A ．4355i +B ．4355i -C ．4355i-+D ．4355i--3．设i 是虚数单位，若复数z满足(2)z i i -=，则(z =)A ．1-B ．1C ．13i -D ．13i+4．5(2i i+=-)A ．2i -+B．22i +C ．2i --D ．22i-5．已知复数22z =-，i 为虚数单位，则2(z =)A ．522i -B ．522i +C ．322i-D ．322i +6．若复数11iz i+=-，则||(z =)A ．1B ．0C ．12D 7．复数2151i i i +++⋯+等于()A ．0B ．iC ．i-D ．18．i 是虚数单位，复数z 满足)10z i i -=，则(z =)A ．3i +B ．3i -C ．13i-+D ．13i--9．若复数(32a ii i++为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为()A ．32-B ．23-C ．23D ．3210．已知复数z 满足(1)2()i z ai a R -=+∈，且z 是纯虚数，则(a =)A ．2B ．2-C ．1D ．1-二．填空题（共5小题）11．已知i 是虚数单位，则531ii+=-．12．已知复数552iz i i=+-，则||z =．13．已知13z i =-，则||z i -=．14．复数241ii++的虚部是．15．若复数2(12iz i i+=-为虚数单位），则z 的模||z =．参考答案与详解一．选择题（共10小题）1．【详解】复数22(1)1222(1)111(1)(1)i i i i i i i i i i i --+---===++++-222211i i i i -+==---．故选：C ．2．【详解】复数55(43)4343(43)(43)55i z i i i i -===-++-，z ∴的共轭复数4355z i =+，故选：A ．3．【详解】由(2)z i i -=，得321iz i--==-，所以1z =．故选：A ．4．【详解】55(2)5(2)222(2)(2)41i i i i i i i i i +++=+=+=+--++．故选：B ．5．【详解】复数2z =，所以222132)22222z i i =-+=--=-．故选：C ．6．【详解】1(1)(1)21(1)(1)2i i i iz i i i i +++====--+，则||1z =，故选：A ．7．【详解】1642151(1)111011i i i i i i⨯--+++⋯+===--．故选：A ．8．【详解】因为(3)10z i i -=，所以1010(3)3010313(3)(3)10i i i i z i i i i +-====---+，故13z i =--．故选：D ．9．【详解】因为()(32)32(32)32(32)(32)13a i a i i a a ii i i ++-++-==++-为纯虚数，所以320a +=，即23a =-．故选：B ．10．【详解】由(1)2i z ai -=+，得22(2)(1)(2)(2)112ai ai i a a iz i i +++-++===--，由z 是纯虚数，则202202aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得2a =．故选：A ．二．填空题（共5小题）11．【详解】53(53)(1)5533141(1)(1)2i i i i i i i i i +++++-===+--+．故答案为：14i +．12．【详解】复数552iz i i=+-5(2)5(2)(2)i i ii i +=+-+210555i i i+=+17i =-+，||z ==．故答案为：．13．【详解】13z i =-，∴1312z i i i i -=+-=+，则|||12|z i i -=+==．．14．【详解】复数24(24)(1)31(1)(1)i i i i i i i ++-==+++-，∴复数241ii++的虚部是1，故答案为：1．15．【详解】复数2(2)(12)512(12)(12)5i i i iz i i i i +++=====--+，所以||1z =．故答案为：1．。

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一．选择题（共14小题）1．太阳活动强弱的主要标志是（）A ．黑子的多少和大小B ．耀斑爆发C ．磁暴现象D ．电离层扰动2．太阳大气结构由里到外的正确顺序是（）A ．光球、日冕、色球B ．色球、光球、日冕C ．日冕、色球、光球D ．光球、色球、日冕3．太阳光球层上出现的暗黑色斑点称为（）A ．太阳风B ．日珥C ．耀斑D ．黑子4．太阳耀斑（）A ．随黑子的变化同步起落B ．因温度比其他地方低而显得暗一些C ．是太阳活动的唯一标志D ．出现在光球层中5．我们肉眼看到的太阳是（）A ．太阳的整体B ．太阳的光球层C ．太阳的色球层D ．太阳的日冕层6．太阳光球层上出现的太阳活动标志是（）A ．黑子B ．日珥C ．耀斑D ．太阳风7．通常情况下我们肉眼所看到的太阳是（）A ．太阳外部的整个大气层B ．太阳内部C ．太阳大气的色球层D ．太阳大气的光球层8．关于太阳活动的叙述正确是（）A ．主要类型是太阳黑子和太阳风B ．耀斑爆发是太阳活动最激烈的显示C ．太阳黑子出现在色球层D ．太阳黑子的变化具有明显的周期性，耀斑没有周期性9．日全食时可以看见呈现一片银白色的光辉，这是（）A ．光球B ．色球C ．日冕D ．日珥10．下列现象与太阳辐射有关的是（）A ．海陆分布B ．地形起伏C ．刮风下雨D ．地球形状11．关于太阳辐射对地球的影响，叙述正确的是（）①维持地表温度的主要热源②太阳辐射能是促进地球上的水、大气、地壳、生物活动的主要动力③太阳辐射能是目前人类日常生活和生产所用的能源之一④煤、石油等能源在形成过程中固定了大量的太阳辐射能A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④12．下列自然现象，与太阳辐射无关的是（）A ．植物的生长B ．大气和水体的运动C ．煤、石油的形成D ．火山的喷发13．下列能源的形成与太阳辐射有关的是（）A ．地热B ．核能C ．煤、石油D ．潮汐能14．导致全球气温从低纬向两极递减的最根本因素是（）A ．太阳辐射B ．地形C ．大气环流D ．海陆分布二．填空题（共2小题）15．太阳大气经常发生大规模的运动，称为太阳活动，周期约为年。

2021年解放军武警士兵考军校-军考数学压轴题专项复习测试卷及答案

综合压轴题测试1．在ABC ∆中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，sin sin sin()B C A C -=-．（1）求角A ；（2）若a =，且ABC ∆的面积是，求b c +的值．2．已知函数()f x =的定义域为R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数a ，b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．3．设{}n a 是一个公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，已知990S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．4．甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为12、23；（1）求第3次由乙投篮的概率；（2）求前4次投篮中各投篮两次的概率．5．已知函数()log a f x x =，22()21g x m x mx =-+，若1b a >>，且f （b ）15()2f b +=，b a a b =．（1）求a 与b 的值；（2）当[0x ∈，1]时，函数()g x 的图象与()(1)h x f x m =++的图象仅有一个交点，求正实数m 的取值范围．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，A ，B 分别是椭圆的右顶点和下顶点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知P 是椭圆C 内一点，直线AP 与BP 的斜率之积为12-，直线AP 、BP 分别交椭圆于M ，N 两点，记PAB ∆，PMN ∆的面积分别为PAB S ∆，PMN S ∆．①若M ，N 两点关于y 轴对称，求直线PA 的斜率；②证明：PAB PMN S S ∆∆=．7．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，且1AB =，2BC =，60ABC ∠=︒，E 为BC 的中点，1AA ⊥平面ABCD ，1A D 与1AD 交于O ．（Ⅰ）证明：//OE 平面11CDD C ；（Ⅱ）证明：平面1A AE ⊥平面1A DE ；（Ⅲ）若1DE A E =，试求异面直线AE 与1A D所成角的余弦值．参考答案与解析1.【详解】（1）在ABC ∆中，sin sin()B A C =+，sin()sin sin()A C C A C ∴+-=-，即sin cos cos sin sin sin cos cos sin A C A C C A C A C +-=-2cos sin sin 0A C C ∴=≠，∴1cos 2A =，∴3A π=．（2）1sin 2ABC S bc A ∆==，12bc ∴=，由余弦定理得2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，22()348b c a bc ∴+=+=，∴b c +=．2.【详解】（1）因为函数的定义域为R ，所以|1||3|0x x m ++--恒成立，设函数()|1||3|g x x x =++-，则m 不大于函数()g x 的最小值，又|1||3||(1)(3)|4x x x x ++-+--=，即()g x 的最小值为4，所以4m ．（2）由（1）知4n =，所以21(622)()1213274()(74)4324a b a b a b a ba b a b a b a b +++++++=++=++5132519()24223424a b a b a b a b ++=+++⨯=++，当且仅当23a b a b +=+，即3210b a ==时，等号成立．所以74a b +的最小值为94．3.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则21a a d =+，413a a d =+，由1a ，2a ，4a 成等比数列，可得2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+，整理，可得1a d =．由91989902S a d ⨯=+=，可得12a d ==，1(1)2n a a n d n ∴=+-=．（2）由于2n a n =，所以1111()4(1)41n b n n n n ==-++，从而1111111111[()()()(412233414144n n n T n n n n =-+-+-+⋯+-=⨯=+++，即数列{}n b 的前n 项和为44n n T n =+．4.【详解】（1）由题意得第三次有乙投篮包含两种情况：①第一次甲中第二次甲不中；②第一次甲不中，第二次乙中．∴第3次由乙投篮的概率：111127(1)(1)222312p =-+-⨯=．（2）前4次投篮中各投篮两次包含三种情况：①第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙中；②第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲不中；③第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中．∴前4次投篮中各投篮两次的概率：211212112213(1)(1)(1)(1)(1(1)22323223336p =⨯-⨯+-⨯-⨯-+-⨯⨯-=．5.【详解】（1）()log a f x x =，(1)a >，若b a >，且15()()2f b f b +=，可得1,22a logb =或，因为1b a >>，所以log 1a b >，所以log 2a b =，即2a b =，因为b aa b =所以22()a a a a =，所以22a a =，解之得2a =，4b =．（2）因为m 为正数，222()21(1)g x m x mx mx =-+=-为二次函数，在区间1(0,)m 为减函数，在区间1(,)m +∞为增函数，函数2log (1)y x m =++为增函数，分两种情况讨论：①当01m <时，11m，在区间[0，1]上，2(1)y mx =-为减函数，值域为2[(1)m -，1]，函数2log (1)y x m =++为增函数，值域为[m ，1]m +，此时两个函数图象有一个交点，符合题意；②当1m >，得11m <，在区间1(0,)m 上，2(1)y mx =-为减函数，在区间1(,1)m 为增函数，函数2log (1)y x m =++为增函数，值域为[m ，1]m +，若两个函数图象有一个交点，则有2(1)1m m -+，解之得0m 或3m ，因为m 为正数，则3m ；综上m 的取值范围为(0，1][3 ，)+∞．6.【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，22b ∴=，即1b =，22c e a ==，可得22a =，∴椭圆的方程为2212x y +=，（2）①解：设直线PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程为(y k x =-，联立22(22y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得，2222(12)420k x x k +-+-=，解得1x =，22222212x k =+22222(12M k ∴+，222)12k -+．直线PA ，PB 的斜率乘积为12-，∴直线PB 的方程112y x k=--，联立2211222y x k x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩，消去y 并整理得22(12)40k x kx ++=，解得10x =，22412k x k -=+，24(12k N k -∴+，221212k k -+．M ，N 关于y 轴对称，∴222222401212k k k --+=++，即2210k --=，解得222k =．当22k +=时，由12(2y y x ⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，解得(2P，1)2+-，在椭圆C 外，不满足题意．∴直线PA 的斜率为222-，（3）由（2）可知22222(12M k -+，222)12k -+，24(12k N k -+，2212)12k k -+，A ，0)，(0,1)B -，∴直线MB的方程为21y =-，2t =，由(112y k x y x k ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，解得2222212P k x k -=+，222212p k y k =-+，22222222222222(1)(1)(()1212(12)k k k k k k PA k k k -+++=-+=+++2222222222222(1)(14)()(1)1212(12)k k k PB k k k -++=+-=+++2222242(12)(1)(14)()(12)k k k PA PB k -+++222222222222222(2)2(1)(1)(12)(12)(12)k k k PM k k k --++-+-=+=+++2222222222222224)(122)(1)(14)(12)(12)(12)k k k k k PN k k k -+-+++=+=+++2222242(12)(1)(14)()(12)k k k PM PN k -++∴=+ PA PB PM PN ∴= ，又APB MPN ∠=∠11sin sin 22PAB PMN S PA PB APB S PM PN MPN ∆∆∴=∠==∠ 7.【详解】（Ⅰ）取AD 的中点H ，连接OE ，EH ，则OH 是△1AD D 的中位线，则1//OH D D ，则正方形ABCD 中，//EH CD ，则平面//OHE 平面11C D DC ，OE ⊂ 平面OEH ，//OE ∴平面11CDD C ；（Ⅱ）依题意，12BE EC BC AB CD ====，ABE ∴∆是正三角形，60AEB ∠=︒，又CDE ∆ 中，1(180)302CED CDE ECD ∠=∠=︒-∠=︒，18090AED CED AEB ∴∠=︒-∠-∠=︒，即DE AE ⊥，1AA ⊥ 平面ABCD ，DE ⊆平面ABCD ，1DE AA ∴⊥．1AA AE A = ，DE ∴⊥平面1A AE ，DE ⊆ 平面1A DE ，∴平面1A AE ⊥平面1A DE ．（Ⅲ）取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ，连接1B C ， △1BB C 中，EF 是中位线，1//EF B C ∴11////A B AB CD ，11A B AB CD ==，∴四边形ABCD 是平行四边形，可得11//B C A D 1//EF A D ∴，可得AEF ∠（或其补角）是异面直线AE 与1A D 所成的角．CDE ∆ 中，DE =，CD =，1A E =，1AE AB ==1A A ∴=，由此可得22BF =，AF EF ===，2226cos 26AE EF AF AEF AE EF +-∴∠== ，即异面直线AE 与1A D 所成角的余弦值为6．。

2021军考士兵考军校数学复习题及答案-数列

数列一．选择题（共6小题）1．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m ab++恒成立时实数m的取值范围是()A ．[4-，3]B ．[2-，6]C ．[6-，2]D ．[3-，4]2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，972S =，则6(S =)A ．27B ．33C ．36D ．453．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20202019120202019S S -=，则数列{}n a 的公差为()A ．1B ．2C ．2019D ．20204．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若20121nnS n T n -=-，则33(a b =)A ．595B ．11C ．12D ．135．已知数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，若562b b =，则11(a =)A ．16B ．21C ．31D ．326．已知正项等比数列{}n a 中，432a a a =，若1237a a a ++=，则数列的前十项和10(S =)A ．511B ．512C ．1023D ．10247.等比数列{}n a 中，n a R +∈，5632a a = ，则2122210log log log a a a ++⋯+的值为()A ．10B ．20C ．25D ．160二．解答题（共3小题）8．已知数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，(2)n n b n S n =++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9．已知{}n a 是等差数列，且1212a a +=，411a =．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．10.已知在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=．（Ⅰ）设2na nb =，求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n n a b +的前n 项和．参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1.C【详解】解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，13a b ∴=+，1∴，112ab∴，∴112ab．∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a bm m ab++恒成立，即214m m ab+恒成立．2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ．2.B【详解】解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，972S =，3S ∴，63S S -，96S S -成等差数列，故633962()S S S S S -=+-，即662(9)972S S -=+-，求得633S =，故选：B ．3.B【详解】解：等差数列{}n a 的前n项和为nS ，且202020191202012019202020191202020192222S S a a a a a a d++--==-==，则数列{}n a 的公差2d =，故选：B ．4.B【详解】解：n S ，n T 分别为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，且20121nnS n T n -=-，∴15331551533155522051211225152a a a a a a Sb b b b b b T ++⨯-======++⨯-，故选：B ．5.D【详解】解：数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，32411111231011123101a a a a ab b b b a a a a a a ∴⋯=== ．562b b = ，551231056[]2b b b b a a ∴⋯== ，511232a ∴==，故选：D ．6.C【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，由234a a a = 得221a q q =，所以11a =，又因为1237a a a ++=，得217q q ++=，所以2q =，10101(12)102312S ⨯-==-，故选：C ．7.C【详解】解：由于数列{}n a 是等比数列，所以51102956322a a a a a a ==⋯=== ，所以2122210212910log log log log ()a a a a a a a ++⋯+=⋯ 5552525622log [()]log [(2)]log 225a a ==== ．故选：C ．二．解答题（共3小题）8.【详解】（1）数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以11222n n n a -+=⨯=，整理得21n n a =-．（2）由（1）得12312(21)(2222)(111)2221n nn n S n n +⨯-=+++⋯+-++⋯+=-=---．故1(2)2n n n b n S n n +=++= ，所以23112222n n T n +=⨯+⨯+⋯+ ①，342212222n n T n +=⨯+⨯+⋯+ ②，①-②得2312(222)2n n n T n ++-=++⋯+- ，整理得24(21)221n n n T n +--=-- ，解得2(1)24n n T n +=-+ ．9.【详解】（1）数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，且1212a a +=，411a =．则：11112311a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得152a d =⎧⎨=⎩，所以12(1)23n a a n n =+-=+．（2）由（1）得111111((23)(25)22325n n n b a a n n n n +===-++++，所以1111111111()()25779232525255(25)n nS n n n n =-+-+⋯+-=-=++++．10.【详解】（Ⅰ）设公差为d 的等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=．整理得1122610a a d =⎧⎨+=⎩，解得121a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)1n a a n n =+-=+．由于2na nb =，所以12n n b +=，12n n b -=，整理得12nn b b -=（常数），所以数列{}n b 是以2124b ==为首项，2为公比的等比数列．（Ⅱ）由于数列{}n b 是以2124b ==为首项，2为公比的等比数列，所以11422n n n b -+=⨯=．所以121n n n a b n ++=++，故：24(21)(21)(3)242122n n n n n n n S +-+++=+=+--．。

军校单招数学试题及答案

军校单招数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是不等式3x + 2 > 5的解集？A. x > 1B. x > -1C. x < 1D. x < -12. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(2)的值。

A. 5B. 3C. 1D. -13. 圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 85. 一个数列的前三项为2, 4, 6，这是一个等差数列。

求第10项的值。

A. 18C. 22D. 246. 已知一个等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值。

A. 486B. 162C. 81D. 2437. 一个正方体的体积为27立方厘米，求其边长。

A. 3厘米B. 6厘米C. 9厘米D. 12厘米8. 已知一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求根的和。

A. 2B. 3C. 5D. 69. 一个直角三角形的斜边长为10厘米，其中一个锐角为30度，求另一个锐角的度数。

A. 30度B. 45度C. 60度D. 75度10. 已知一个函数y = 3x + 5，当x = 2时，求y的值。

A. 11C. 15D. 17答案：1. A2. A3. B4. A5. C6. C7. A8. C9. C10. B二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方根是5，这个数是________。

12. 一个数的立方根是3，这个数是________。

13. 一个数的绝对值是7，这个数可以是________或________。

14. 一个数的倒数是2，这个数是________。

15. 如果一个三角形的内角和为180度，那么一个直角三角形的两个锐角的和是________。

16. 一个圆的周长为44厘米，其半径是________厘米。