计算方法第一章绪论

科学计算的意义


2.Newton（1642-1725）开创了微积分，提出了力 学的三大定律，特别是万有引力定律，是科学发展 进入理论思维的标志。 Einstein（1878-1955）提出的相对论是这种理论思 维的顶峰，在几个世纪中，实验方法和理论分析一 直强有力地推动着科技的发展，科学家们也没有停 止过使用科学计算来进行研究，但由于以前没有计 算机，计算只能是小规模的。
科学计算的意义

V.Neumann(1903-1957)1945年研制的第一 台计算机带来了科学研究的新的革命，将科 学家从繁重的劳动中解放出来，目前，科学 计算已发展成为一种研究方法，“科学计算 与实验、理论三足鼎立，相辅相成，成为当 今科学活动的三大方法。
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三 十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三 十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二 十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉 四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。 -------《九章算术》

牛顿迭代、曲线拟合
科学计算的意义

科学计算与科学实验、科学理论并列为科学方法论 的三大组成部分。 关键时期和代表性的人物
1.Galileo(1564-1642)是实验物理的开创者，倡导科学的
数学化，为近代科学制订了具体而有效的程序，通过关 键实验，演绎基本原理，达到认识世界的目的，霍金称 他为近代科学奠基人。 Kepler（1571-1630）对行星数据的计算和分析，提出 行星运动三大定律，是按此程序研究的一个成功典范。
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸 为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的 长度L.
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的 曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L

48
0
1 ( f ( x)) dx
Axb
线性方程组的数值方法！
x sin x t 0, 0 1
x是行星运动的轨道，它是时间t 的函数
非线性方程的数值解法
3、全球定位系统（Global Positioning System, GPS)
8 S6 6
Height
S5
( x, y, z, t ) 表示地球上
输入多项式的次数n和系数（ an,an-1,…,a1 ,a0）及x s= an
做循环 i=n-1，……，0 s=s*x+ai
输出s

此算法要求上机完成
秦九韶简介

秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九 韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季 栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。 秦九韶聪敏勤 学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县 尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、 安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今 广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行 虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等 资料，进行分析、研究。 宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时， 把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名 的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这 不仅 在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设 计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他 所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在， 世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到 他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成 果，比英国数学家取得的成果要早500多年。

二、实验一表占40（二表占20）分

以最后的实验上机考试分数为准，成绩以百分制给出， 最后折合。上机考试使用机试系统。程序填空和程序改 错各1题。

三、期末笔试一表占50分（二表占70分）

笔试试卷以百分制给出，最后折合。第8周课内时间考。
上机要求
按学号坐(见上机安排) 课前把程序写在纸上或者把空填好 教材和实验讲义都带着 保存自己调好的程序 交2次实验报告
S3
4
2
S4 S1
0 10 S2 5
R
一个接收点R的当前位 置，卫星Si的位置为 ( xi , yi , zi , ti ) ，则得 到下列非线性方程组
6
4 2 N-S positions 0 0 图 7.8

8
( x x1 )2 ( y y1 )2 ( z z1 )2 (t1 -t) c 0 ( x x2 )2 ( y y2 )2 ( z z2 )2 (t 2 -t) c 0 ( x x3 )2 ( y y3 )2 ( z z3 )2 (t 3 -t) c 0 ( x x4 )2 ( y y4 )2 ( z z4 )2 (t 4 -t) c 0 ( x x5 )2 ( y y5 )2 ( z z5 )2 (t 5 -t) c 0 ( x x6 )2 ( y y6 )2 ( z z6 )2 (t 6 -t) c 0

算法研究的意义
算法研究的意义
引例1 计算n次多项式的值
Pn ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
1. 如果不设计算法需进行的运算次数为：
n(n+1)/2次乘法和n次加法。
2. 若简单设计一下算法
pn ( x) (an x an1 ) x n1 an2 x n2 a1 x a0 pn ( x) ((an x an 1 ) x an 2 ) x n 2 a1 x a0
2、秦九韶的“大衍求一术”，领先高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”
秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界 数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同 余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无尚荣誉，也 为世界数学作出了杰出贡献。 3、秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳572年 秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次 方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年 英国人霍纳（W· Horner，1786—1837年）的同样解法早572年。秦九韶的正负方术， G· 列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法， 给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。 此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完 全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧 洲最早是1559年布丢（Buteo，约1490—1570年，法国）给出的，他开始用不很完整的 加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。 秦九韶还创用了“三斜求积术”等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与海伦 （Heron，公元50年前后）公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中 的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在 十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算 方法，至今仍有意义。
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考核方式

一、平时占10分
1．平时表现占10分，扣分标准如下（扣到0为止）： (1)旷课1次扣2分; (2) 迟到、早退1次扣1分; (3)违反课堂纪律扣1~3分; (4)替答到扣3分，被替扣2分; (5)上机聊天、玩游戏、带耳机等发现一次扣1分。 (6) 作业不及格或没交一次扣1分。

计算方法研究的内容
研究用计算机解决数学问题的数值方法和理论。 计算机解决实际问题的步骤 实际问题 建立数学模型 选择数值算法 编程计算结果 主要任务 算法设计及其理论分析和编程实现
算法设计：计算速度、存贮量等 算法分析：收敛性、稳定性及误差分析等
讲授内容 非线性方程求根、线性方程组求解、插值与拟合、数值积分、常 微分方程初值问题的数值解法
秦九韶的数学成就及对世界数学的贡献主要表现在：
1、秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著
秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学 名著《数学九章》，《癸辛杂识续集》称作《数学大略》，《永乐 大典》称作《数学九章》。全书九章十八卷，九章九类：“大衍 类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱 谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问） 共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、 测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、 赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现 在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书著 述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分 组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案； “术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。 此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表 着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的最高水平。 我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年） 是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术 （不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界 数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人 的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。”