2017年四川南充 解析版()

2017年四川省南充市中考数学试卷满分：120分 版本：人教版一、选择题(本题共10个小题，每小题3分，共30分) 1．(2017年四川南充)如果a ＋3＝0，那么a 的值为( )A ．3B ．－3C ．13D ．－13答案：B 解析：根据等式的性质，将原式两边减去3，得a ＝－3．故选B ． 2．(2017年四川南充)图1是由7个小正方体组合而成的几何体，它的主视图是( )答案：A 解析：主视图是从前向后看立体图形所得到的平面图形．这里主视图共可看到四个正方形，其中左边从上到下共有3个正方形，右边只有1个正方形．故选A ．3．(2017年四川南充)据统计，参加南充市2016年高中阶段学校招生考试的人数为55354人．这个数用科学记数法表示为( )A ．0.55354×105人B ．5.5354×105人C ．5.5354×104人D ．55.354×103人答案：C 解析：科学记数法的表示形式为a ×10n ，其中1≤|a |＜10，n 为整数．显然选项A ，D 不符合这种形式，故选排除．55354＝5.5354×10000＝5.5354×104．故选C ．4．(2017年四川南充)如图2，直线a ∥b ，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为( )A ．30°B ．32°C ．42°D ．58°答案：B 解析：如图#，过直角顶点作c ∥a ．∵a ∥b ，∴c ∥b ．∴∠3＝∠2，∠4＝∠1． ∴∠2＋∠1＝∠3＋∠4＝90°．∵∠1＝58°，∴∠2＝90°－∠1＝32°．故选B ． 5．(2017年四川南充)下列计算正确的是( )ca b 12 4 3图#a b12 图2A ．B ．C ．D ．正面图1A ．a 8÷a 4＝a 2B ．(2a 2)3＝6a 6C ．3a 3－2a 2＝aD ．3a (1－a )＝3a －3a 2 答案：D 解析：(1)a 8÷a 4＝a 8－4＝a 4．可见选项A 错误． (2)(2a 2)3＝23(a 2)3＝8a 6．可见选项B 错误． (3)多项式3a 3－2a 2不能化简，可见选项C 错误． (4)由单项式乘多项式的法则可知选项D 正确． 故选D ．6．(2017年四川南充)某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校10名同学参加今年实践学业水平考试的体育成绩，得到结果如下表所示．下列说法正确的是( )A ．这10名同学体育成绩的中位数为38B ．这10名同学体育成绩的平均数为38C ．这10名同学体育成绩的众数为39D ．这10名同学体育成绩的方差为2答案：C 解析：(1)这里样本容量是10，因此排序后第5，6个数据的平均数是中位数．由表可知第5，6个数据都是39，所以中位数是39．可见选项A 错误． (2)平均数＝110×(36×1＋37×2＋38×1＋39×4＋40×2)＝38.4．可见选项B 错误． (3)数据39出现的次数最多，所以众数是39．可见选项C 正确． (4)方差s 2＝110[(36－38.4)2×1＋(37－38.4)2×2＋(38－38.4)2×1＋(39－38.4)2×4＋(40－38.4)2×2]＝1.64．可见选项D 错误．综上所述，选项C ．7．(2017年四川南充)如图4，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( )A ．(1，1)B ．1)C ．D ．(1)答案：D 解析：过点B 作BC ⊥OA 于点C ，则OC ＝1，BC B图5A图4图3的坐标为(1．故选D ．8．(2017年四川南充)如图5，在Rt △ABC 中，AC ＝5cm ，BC ＝12cm ，∠ACB ＝90°，把Rt △ABC 绕BC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( ) A ．60πcm 2 B ．65πcm 2 C ．120πcm 2 D ．130πcm 2答案：B 解析：AB ＝13．这个几何体是圆锥，圆锥的底面半径AC ＝5，母线AB ＝13，圆锥的侧面积＝πAC ·AB ＝π×5×13＝65π(cm 2)．故选B ．9．(2017年四川南充)已知菱形的周长为6，则菱形的面积为( )A ．2BC ．3D ．4答案：D 解析：∵菱形的四条边相等，周长为长分别为x ，y ，则x ＋y ＝6x 2＋y 2＝20②．①2－②，得2xy ＝16．∴xy＝8．∴S 菱形＝12xy ＝4．故选D ． 10．(2017年四川南充)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)的图象如图5所示，下列结论错误的是( )A ．4ac ＜b 2B ．abc ＜0C ．b ＋c ＞3aD ．a ＜b答案：D 解析：(1)∵抛物线与横轴有两个交点，∴△＞0，即b 2－4ac ＞0．∴4ac ＜b 2．可见选项A 中的结论正确．(2)∵抛物线的开口向下，∴a ＜0；∵对称轴在y 轴左边，∴－2ba＜0．∴b ＜0；∵抛物线与y 轴的负半轴相交，∴c ＜0．∴abc ＜0．可见选项B 中的结论正确． (3)∵－2ba＞－1，a ＜0，∴b ＞2a ①．∵x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0②．①＋②，得c ＞a ③．①＋③，得b ＋c ＞3a ．可见选项C 中的结论正确． (4)∵－2ba＜－12，a ＜0，∴a ＞b ．可见选项D 中的结论错误．综上所述，选项D ．二、填空题(本题共6个小题，每小题3分，共18分) 11．(2017年四川南充)如果11m -＝1，那么m ＝______． 答案：2 解析：去分母，得m －1＝1．∴m ＝2．经检验，m ＝2是原方程的根，所以m ＝2．12．(2017年四川南充)计算：｜1(π0＝______．解析：∵10，π1＋113．(2017年四川南充)经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是______． 答案：19解析：依题意，画树状图如下：由树状图可知，两辆汽车经过十字路口共有9种结果，每种结果出现的可能性相等，其中两车都直行的结果只有1种，所以所求概率P ＝19． 14．(2017年四川南充)如图6，在□ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S □AEPH ＝______．答案：4 解析：由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出□AEPH 的面积等于□PGCF 的面积．∵CG ＝2BG ，∴BG ∶BC ＝1∶3，BG ∶PF ＝1∶2．∵△BPG ∽△BDC ，且相似比为1∶3，∴S △BDC ＝9S △BPG ＝9．∵△BPG ∽△PDF ，且相似比为1∶2，∴S △PDF ＝4S △BPG ＝4．∴S □AEPH ＝S □PGCF ＝9－1－4＝4．15．(2017年四川南充)小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y 与离家时间x 之间的对应关系如图7所示．如果小明在图书馆看报30min ，那么他离家50min 时离家的距离为______km ． 答案：0.3 解析：依题意可知小明返回时的速度＝0.9÷(55－40)＝0.06(km/min)． 50－40＝10，返回时走10min 的路程＝0.06×10＝0.6(km)． 0.9－0.6＝0.3(km)．所以他离家50分钟时离家的距离为0.3km ．方法二：经过点(40，0.9)和点(55，0)的线段的解析式为y ＝－0.06x ＋3.3． 当x ＝50时，y ＝－0.06×50＋3.3＝0.3． 所以他离家50分钟时离家的距离为0.3km ．16．(2017年四川南充)如图8，正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转．给出下列结论：①BE ＝DG ；②BE ⊥DG ；③DE 2＋BG 2＝2a 2＋2b 2．其中正确的结论是______(填写序号)．0.图7P C H F BD G AE 图6直左右 直 直左右 左 直左右 右 第一辆 第二辆答案：①②③ 解析：(1)∵正方形的各边相等，各角都是90°，∴CB ＝CD ，CE ＝CG ，∠BCD ＝∠ECG ＝90°．∴∠BCD ＋∠DCE ＝∠ECG ＋∠DCE ，即∠BCE ＝∠DCG ．∴△BCE ≌△DCG (SAS )．∴BE ＝DG ．可见结论①正确．(2)如图，设BE 交DC 于点M ，交DG 于点O ．由△BCE ≌△DCG 可知∠CBE ＝∠CDG ， 又∠BMC ＝∠DMO ，∴∠DOB ＝∠DCB ＝90°，即BE ⊥DG ．可见结论②正确．(3)连结BD ，EG ．∵BE ⊥DG ，∴DE 2＋BG 2＝(OD 2＋OE 2)＋(OB 2＋OG 2)＝(OD 2＋OB 2)＋(OE 2＋OG 2)＝BD 2＋EG 2．由勾股定理得BD 2＋EG 2＝2a 2＋2b 2．∴DE 2＋BG 2＝2a 2＋2b 2．可见结论③正确． 综上所述，正确的结论是①②③． 三、解答题(本题共9个小题，共72分) 17．(2017年四川南充)化简(1－2x x x+)÷11x x -+，再任取一个你喜欢的数代入求值．思路分析：这里括号内的分式可以约分，因此先约分，再算小括号，最后算除法，即颠倒相乘．通过以上步骤得到原式化简的结果．代入求值时，所代入的值不能使原式的分母以及除式为0，即x 2＋x ≠0，x ＋1≠0，x －1≠0，也就是代入的值不能是－1，0，1这三个数． 解：原式＝(1－11x +)÷11x x -+＝1x x +·11x x +-＝1xx -． (代值，x 不能取0，1，－1，其它数均可)18．(2017年四川南充)在“宏扬传统文化，打造书香校园”的活动中，学校计划开展四项活动：“A —国学诵读”，“B —演讲”，“C —课本剧”，“D －书法”，要求每位同学必须且只能参加其中一项活动．学校为了了解学生的意愿，随机调查了部分学生，结果统计如图6所示． 答案图：FBD CA E图8FB DCA E 图#O M 图611223项目调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图BDA15C20%11223项目图#(1)如图，希望参加活动C 占20%，希望参加活动B 占15%，则被调查的总人数为______人；扇形统计图中，希望参加活动D 所占圆心角为______度；根据题中信息补全条形统计图． (2)学校现有800名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动A 有多少人？思路分析：(1)由图中C 类人数和百分比，根据“总数＝部分百分比”求出被调查的总人数；根据“部分＝总数×百分比”求出B 类人数；用总人数减去A ，B ，C 三类人数的和，得D 类人数；根据“圆心角＝百分比×360°”求扇形统计图中D 类的圆心角．(2)用样本估计总体的思想，求出全校学生中A 类人数的百分比，再用“全校A 类人数＝全校人数×百分比”求解．(1)60；72．(补全图形如图所示)解析：由图中C 类人数和百分比可知，被调查的总人数＝12÷20%＝60(人)． B 类人数＝60×15%＝9(人)． D 类人数＝60－(27＋9＋12)＝12(人)． 扇形统计图中，D 所占的圆心角＝1260×360°＝72°． 在条形图中，B 类补画高为9的长方条，D 类补画高为12的长方条． (2)解：800×2760＝360(人)． 则全校学生中希望参加活动A 的约有360人．19．(2017年四川南充)如图7，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别是E ，F ，DE ＝CF ，AE ＝BF ．求证：AC ∥BD ．思路分析：欲证AC ∥BD ，需证∠A ＝∠B ，即需证△AFC ≌△BED ．这可利用“边角边”证得． 证明：∵AE ＝BF ，∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ， 即AF ＝BE ．∵DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，∴∠AFC ＝∠BED ＝90°． 在△AFC 和△BED 中，EDABCF图7,,,AF BE AFC BED CF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFC ≌△BED (SAS)． ∴∠A ＝∠B ．∴AC ∥BD ．20．(2017年四川南充)已知关于x 的一元二次方程x 2－(m －3)x －m ＝0． (1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实数根为x 1，x 2，且x 12＋x 22－x 1x 2＝7，求m 的值． 思路分析：(1)证一元二次方程根的判别式大于0即可．(2)将条件“x 12＋x 22－x 1x 2＝7”转化为关于两根的和、两根的积的等式，再利用根与系数的关系建立关于m 的方程求解．(1)证明：△＝[－(m －3)]2－4×1×(－m ) ＝m 2－2m ＋9＝(m －1)2＋8＞0． ∴原方程有两个不相等的实数根．(2)解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝m －3，x 1x 2＝－m ．∵x 12＋x 22－x 1x 2＝7，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝7． ∴(m －3)2－3×(－m )＝7． 解得m 1＝1，m 2＝2． ∴m 的值为1或2．21．(2017年四川南充)如图8，直线y ＝kx (k 为常数，k ≠0)与双曲线y ＝m x(m 为常数，m ＞0)的交点为A ，B ，AC ⊥x 轴于点C ，∠AOC ＝30°，OA ＝2． (1)求m 的值；(2)点P 在y 轴上，如果S △ABP ＝3k ，求P 点的坐标．答案图：思路分析：(1)在Rt △OAC 中，求出AC ，OC 的长，即得点A 的坐标．将点A 的坐标代入反比例函数图#图8的解析式求得m 的值；(2)将点A 的坐标代入正比例函数的解析式求出k 的值．由中心对称性可知OB ＝OA ＝2，根据“△ABP ＝S △APO ＋S △BPO ”建立关于点P 的纵坐标的方程求解． 解：(1)∵sin ∠AOC ＝AC OA ，cos ∠AOC ＝OC OA， 又∠AOC ＝30°，OA ＝2，∴AC ＝1，OC． ∴点A 的坐标为，1)． ∵点A，1)在双曲线y ＝m x 上，∴1，即m．(2)∵A ，B 两点关于原点对称， ∴B 点的坐标为(1)． ∵点A，1)在直线y ＝kx 上，∴1．∴k．∴S △ABP ＝3k设点P 的坐标为(0，a )， ∴S △ABP ＝S △APO ＋S △BPO ＝12｜a12｜a． ∴｜a ｜＝1．∴a ＝±1．∴点P 的坐标为(0，1)或(0，－1)．22．(2017年四川南充)如图9，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线点F ． (1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CF ＝2，DF ＝4，求⊙O 直径的长．答案图：思路分析：(1)连结OD ，欲证DE 是⊙O 的切线，需证OD ⊥DE ，即需证∠ODE ＝90°，而∠ACB ＝90°，连结CD ，根据“等边对等角”可知∠ODE ＝∠OCE ＝90°，从而得证． (2)在Rt △ODF 中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解．A 图9图#(1)证明：连接OD ，CD ．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°． ∴∠BDC ＝90°． 又E 为BC 的中点， ∴DE ＝12BC ＝CE ．∴∠EDC ＝∠ECD ． ∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠OCD ．∴∠EDC ＋∠ODC ＝∠ECD ＋∠OCD ＝∠ACB ＝90°． ∴∠ODE ＝90°．∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：设⊙O 的半径为x ．在Rt △ODF 中，OD 2＋DF 2＝OF 2， 即x 2＋42＝(x ＋2)2． 解得x ＝3． ∴⊙O 的直径为6．23．(2017年四川南充)学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．(1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330各师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？ 思路分析：(1)列二元一次方程组求解；(2)建立租金关于甲种客车数量的一次函数，根据两种客车的载客人数不少于330人列不等式求出自变量的取值范围，再一次函数的性质求出租金的最小值．解：(1)设1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是a 元和b 元，根据题意，得31240,321760.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得400,280.a b =⎧⎨=⎩答：1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是400元和280元． (2)设租用甲种客车x 辆，则租用乙种客车(8－x )辆，再设租车费用为y 元， 则y ＝400x ＋280(8－x )＝120x ＋2240． 又∵45x ＋30(8－x )≥330，解得x ≥6． ∴x 的取值范围是6≤x ≤8的整数． 在函数y ＝120x ＋2240中，k ＝120＞0，∴y 随x 的增大而增大．∴当x ＝6时，y 有最小值120×6＋2240＝2960(元)．24．(2017年四川南充)如图10，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝14AB ．(1)求证：EF ⊥AG ；(2)若点F ，G 分别在射线AB ，BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立(只写结果，不需要说明理由)？(3)正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB 时，求△PAB 周长的最小值． 答案图：思路分析：(1)根据“两边成比例并且夹角相等的两个三角形相似”证明△EAF ∽△ABG ，从而得∠AEF ＝∠BAG ．再借助∠EAF ＝90°推出∠AOE ＝90°，从而证得EF ⊥AG ． (2)类似第(1)问的思路可知EF ⊥AG 仍然成立．(3)在Rt △AEF 中，由勾股定理求得EF 的长，由三角形的面积公式求得OA 的长．利用三角函数或相似三角形求出点O 到AB 的距离．∵△PAB 和△OAB 共底等积，∴它们等高．∴OP ∥AB ．∵点A ，B 在直线OP 的同侧，∴利用轴对称性求PA ＋PB 的最小值，从而得到△PAB 周长的最小值． (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝AD ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°． ∵点E ，G 分别是AD ，BC 的中点，AF ＝14AB ， ∴AE AB ＝AFBG＝12． 又∠DAB ＝∠ABC ，∴△EAF ∽△ABG ． ∴∠AEF ＝∠BAG ．∵∠BAG ＋∠EAO ＝90°， ∴∠AEF ＋∠EAO ＝90°．∴∠AOE ＝90°． ∴EF ⊥AG ． (2)成立．提示：∵F ，G 两点同时出发，且点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，∴BG ＝2AF ，即AFBG＝12．∵G FBD C A O E图# PM B ′H GF BD C AO E图10点E 是AD 的中点，且AD ＝AB ，∴AE AB ＝12．∴AE AB ＝AF BG ＝12．以下同第(1)问． (3)解：作OH ⊥AB 于H ． ∵正方形ABCD 的边长为4，∴AF ＝1，AE ＝2．∴EF∵OA ·EF ＝AE ·AF ，∴OA． ∵sin ∠AEF ＝sin ∠OAH ＝OH OA．∴OH ＝25． ∵S △PAB ＝S △OAB ，且点P 在正方形ABCD 内，∴点P 在过点O 且平行于AB 的直线上．过O 作直线OM ∥AB 交BC 于M ，则BM ＝OH ＝25．作B 点关于直线OM 的对称点B ′．连接AB ′交OM 于点P ，则PB ＝PB ′，∴PA ＋PB 的最小值是AB ′的长．在Rt △ABB ′中，BB ′＝25×2＝45，AB ′． ∴△PAB＋4． 25．(2017四川南充)如图(1)，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)的图象过点O (0，0)和点A (4，0)，函数图象最低点M 的纵坐标为－83，直线l 的解析式为y ＝x ． (1)求二次函数的解析式；(2)直线l 沿x 轴向右平移，得直线l ′，l ′与线段OA 相交于点B ，与x 轴下方的抛物线相交于点C ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，把△BCE 沿直线l ′折叠，当点E 恰好落在抛物线上点E ′时，如图(2)，求直线l ′的解析式；(3)在(2)的条件下，l ′与y 轴交于点N ，把△BON 绕点O 逆时针旋转135°得到△B ′ON ′．P 为l ′上的动点，当△PB ′N ′为等腰三角形时，求符合条件的点P 的坐标．【思路分析】(1)根据点O ，A 的坐标以及顶点M 的纵坐标，建立三元一次方程组求解．图#备用题′ 图(1)图(2)(2)直线l 是一、三象限的角平分线，因此可知四边形BECE ′是正方形．设点E 的横坐标为m ，根据对称性用m 表示点B 的横坐标，根据点C 在抛物线上，用m 表示点C 的纵坐标．根据EC ＝EB 建立关于m 的方程并求解，由此可知直线l 平移的距离．再利用平移的规律(或待定系数法)求出l ′的解析式．(3)易知△OB ′N ′是等腰直角三角形．分以下三种情形①PN ′＝PB ′；②N ′P ＝N ′B ′；③B ′P ＝N ′B ′讨论点P 的存在性．其中情形①直接用对称性求解；第②种情形通过比较N ′B ′与点N ′到直线l ′的大小，推断出此种情形不存在，第③种情形根据两腰相等建立方程求解．解：(1)∵抛物线过点(0，0)，(4，0)，顶点纵坐标为－83，得 20,0164,84.34c a b c ac b a ⎧=⎪⎪=++⎨⎪-⎪-=⎩解得2,38,30.a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴所求二次函数表达式为y ＝23x 2－83x ． (2)∵直线l 的解析式为y ＝x ，∴直线l 与x 轴成45°的角．∵l ∥l ′，∴∠CBE ＝45°．又CE ⊥x 轴，∴△BCE 是等腰直角三角形．∵△BCE ′是由△BCE 沿直线l ′折叠得到，∴四边形BECE ′是正方形．∵点C 在y ＝23x 2－83x 的图象上， ∴设C (m ，23m 2－83m )．则E (m ，0)． ∵点E 与点B 关于对称轴x ＝2对称，∴点B 的坐标为(4－m ，0)．∵EC ＝EB ，∴－(23m 2－83m )＝4－m －m ， 即m 2－7m ＋6＝0．解得m 1＝1，m 2＝6．∵点C 在x 轴下方的抛物线上，∴m ＝1(舍去m ＝6)，因此点B 的坐标为(3，0)．∴将直线y ＝x 向右平移3个单位得直线l ′．∴l ′的解析式为y ＝x －3．(3)∵△BON 是等腰直角三角形，∴旋转后△B ′ON ′顶点的坐标为O(0，0)，B′(，N′．①当PB′＝PN′时，由对称性可知，当P(0，－3)时，△PB′N′是等腰三角形．②当B′P＝B′N′时，延长B′O交BN于点F，得B′F⊥BN，B′F＝3又B′N′＝BN＝B′F＞B′N′．∵B′P≥B′F，∴这种情况不存在．③当PN′＝B′N′时，因点P在l′上，所以设P(m，m－3)，则(m2＋(m－3)2＝18．解得m1，m2．∴当P或)时，△PB′N′为等腰三角形．综上所述，符合条件的点P的坐标为P1(0，－3)，P2，P3，)．图#。