人教备战中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇及答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

解得

∴抛物线解析式为：y= x2−x−1

∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1

（2）解：存在

使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小

∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．

设过点C′、O直线解析式为：y=kx

∴k=-

∴y=- x

则P点坐标为（1，- ）

（3）解：当△AOC∽△MNC时，

如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°

∴∠CDN=∠CAO

由相似，∠CAO=∠CMN

∴∠CDN=∠CMN

∵MN⊥AC

∴M、D关于AN对称，则N为DM中点

设点N坐标为（a，- a-1）

由△EDN∽△OAC

∴ED=2a

∴点D坐标为（0，- a−1）

∵N为DM中点

∴点M坐标为（2a，a−1）

把M代入y= x2−x−1，解得

a=4

则N点坐标为（4，-3）

当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N

由（2）N（2，-1）

∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）

【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。

（2）使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线C′O的解析式，再求出点P的坐标。

（3）分情况讨论：当△AOC∽△MNC时，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E，由∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°得出∠CDN=∠CAO，再证明∠CDN=∠CMN，根

据MN⊥AC，可得出M、D关于AN对称，则N为DM中点，设点N坐标为（a，- a-1），根据△EDN∽△OAC，得出点D、M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求出a的值，即可得出点N的坐标；当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM，得出CM∥AB 则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N，就可求出点N的坐标。

2．如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．

（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，求，请证明你的结论；

（2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则 =________；

（3）如图3，若 =k，BC=m，AC=n，请直接写出的值．（用k，m，n表示）

【答案】（1）解：如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点，

∴CD平分∠ACB，

∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∴PG=PH，

∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，

∴∠GPH=∠MPN=90°，

∴∠MPH=∠NPG，

∵∠PHM=∠PGN=90°，

∴△PHM∽△PGN，

∴ =1

（2）

（3）解：如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，

易证△PMH∽△PGN，

∴，

∵，

∴，

∵DT∥PG，DK∥PH，

∴，

∴，

∴

【解析】【解答】解：（2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，

∴∠GPH=∠MPN=90°，

∴∠MPH=∠NPG，

∵∠PHM=∠PGN=90°，

∴△PHM∽△PGN，

∴，

∵△PHC∽△ACB，PG=HC，

∴，

故答案为：；

【分析】（1）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，根据已知条件可证△PHM和△PGN的两角对应相等，进而可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例即可求出。（2）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，由两角对应相等，可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应

边成比例可得 = ，由两角对应相等，可得△PHC∽△ACB，又PG=HC，相似三角形的对应边成比例及等量代换即可求出。（3）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，由两角对应相等，△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例可得

= ，由△ A C D 和△ B C D的面积比及已知条件可得,再由垂直于同一条直线的两

条直线平行可得DT∥PG，DK∥PH，根据平行线分线段成比例定理可得= = ，再根据比例的基本性质即可求出的值。

3．如图，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，8），点C是线段OB上一动点，点E在x轴正半轴上，四边形OEDC是矩形，且OE=2OC．设OE=t（t＞0），矩形OEDC与△AOB 重合部分的面积为S．

根据上述条件，回答下列问题：

（1）当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时，求t的值；

（2）当t=4时，求S的值；

（3）直接写出S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；

（4）若S=12，则t=________．