函数图像及其变换(复合函数)——王彦文
函数图像的变换PPT
当函数图像在y轴方向上伸缩时，其形状和位置会发生变化，但对称性保持不变。
详细描述
沿y轴伸缩是指保持x轴不变，只改变y轴的长度。当y增大时，整个函数图像向上平移；当y减小时， 整个函数图像向下平移。这种变换不会改变函数的值，只是改变了图像在y轴上的位置。
同时沿x轴和y轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴和y轴方向上都发生 伸缩时，其形状和位置会发生变化， 但对称性保持不变。
03
伸缩变换
沿x轴伸缩
总结词
当函数图像在x轴方向上伸缩时，其 形状和位置会发生变化，但对称性保 持不变。
详细描述
沿x轴伸缩是指保持y轴不变，只改变x 轴的长度。当x增大时，整个函数图像 向右平移；当x减小时，整个函数图像 向左平移。这种变换不会改变函数的 值，只是改变了图像在x轴上的位置。
沿y轴伸缩
详细描述
旋转角度的大小对函数图像的形状和位置有 直接影响。例如，当一个正弦函数图像顺时 针旋转90度时，它将变成一个余弦函数图像 ；而当它逆时针旋转90度时，它将变成一个 正切函数图像。此外，旋转角度也会影响图 像的位置，例如，当图像逆时针旋转30度时 ，图像上的所有点都会沿着顺时针方向移动
30度。
旋转变换实例
总结词
旋转变换是指函数图像绕原点旋转的过程。
详细描述
旋转变换可以通过将直角坐标转换为极坐标 来实现。例如，函数$y = f(x)$的图像绕原 点逆时针旋转$theta$角度后，新的函数可 以表示为$y = f(rcostheta), x = rsintheta$。
复合变换实例
总结词
复合变换是指同时进行平移、伸缩和旋转变换的过程 。
与顺时针旋转相反，如果函数图像按照逆时针方向旋转 ，那么图像上的每一个点都会沿着顺时针方向移动。例 如，如果一个函数图像是关于x轴对称的，那么当它逆时 针旋转90度时，原来的对称轴将变成垂直轴，而原来的y 轴将变成水平轴。
北师大版高中数学一轮复习第二章2.8函数的图像及其变换word版下载
课时作业11 函数的图像及其变换一、选择题1．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝lg x ＋210的图像关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝f (x －2)的解析式为( )．A ．y ＝10x －2－2B ．y ＝10x －1－2C ．y ＝10x －2D ．y ＝10x －12．(2012安徽合肥六中模拟)若函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )．A ．f (x )＝x ＋ln |x |xB ．f (x )＝x －ln |x |xC ．f (x )＝x 2－ln |x |xD ．f (x )＝x 2＋ln |x |x3．下列函数图像中不正确的是( )．4．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a ＞0，且a ≠1)的图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有( )．A ．0＜a ＜1且b ＞0B ．0＜a ＜1且0＜b ＜1C ．a ＞1且b ＜0D ．a ＞1且b ＞05．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变化时，函数b ＝g (a )的图像可以是( )．6．函数y ＝f (x )(x ∈R )的图像如图所示，下列说法正确的是( )．①函数y ＝f (x )满足f (－x )＝－f (x )；②函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x )；③函数y ＝f (x )满足f (－x )＝f (x )；④函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )．A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④7．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝⎛⎭⎫0，22，B ⎝⎛⎭⎫22，0，顶点C ，D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数s ＝f (t )的图像大致是( )．二、填空题8．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有2个交点，则a 的取值范围是__________．9．把函数y ＝log 3(x －1)的图像向右平移12个单位，再把横坐标缩小为原来的12，所得图像的函数解析式是__________．10．(2012天津高考)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图像与函数y ＝kx 的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题11．已知函数y ＝f (x )同时满足以下五个条件：(1)f (x ＋1)的定义域是[－3,1]；(2)f (x )是奇函数；(3)在[－2,0)上，f ′(x )＞0；(4)f (－1)＝0；(5)f (x )既有最大值又有最小值．请画出函数y ＝f (x )的一个图像，并写出相应于这个图像的函数解析式．12．设函数f (x )＝x ＋1x的图像为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图像为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．参考答案一、选择题1．B 解析：∵y ＝lg x ＋210， ∴x ＋210＝10y . ∴x ＝10y ＋1－2，∴f (x )＝10x ＋1－2.∴f (x －2)＝10x －1－2.2．C 解析：由所给图像知，该函数不是奇函数，排除A ，B 项．对D 项，当x ＞0时，f (x )＝x 2＋ln x x，当x →0时，f (x )＜0，与所给图像不符，选C. 3．D 解析：逐一验证知：A ，B ，C 正确，对D ，y ＝－lo g 2|x |是偶函数，图像关于y 轴对称，显然不正确．4．B 解析：由题意知函数单调递减，所以0＜a ＜1.又f (x )过第一、二、四象限，不经过第三象限，所以－1＜b －1＜0，所以0＜b ＜1.故选B.5．B 解析：由图像知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－4≤a ≤0，故b ＝g (a )，即为b ＝4(－4≤a ≤0)，图像为B. 6．C 解析：由图像可知，函数f (x )为奇函数且关于直线x ＝1对称；对于②，因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f [1＋(x ＋1)]＝f [1－(x ＋1)]，即f (x ＋2)＝f (－x )．故①②正确，选C.7．C 解析：当直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)从左向右移动的过程中，直线l 左侧阴影部分的面积f (t )随l 的单位移动距离的改变量开始逐渐增大，当到达中点t ＝22时，面积f (t )随l 的单位移动距离的改变量最大，而后面积f (t )随l 的单位移动距离的改变量逐渐减小，故选C. 二、填空题8．a ＜1或a ＝54 解析：y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122＋a －14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x ＋122＋a －14，x <0. 当其图像如图所示时满足题意．由图知a ＜1或a －14＝1， 解得a ＜1或a ＝54. 9．y ＝log 3⎝⎛⎭⎫2x －32 解析：y ＝log 3(x －1)的图像向右平移12个单位得到y ＝log 3⎝⎛⎭⎫x －32，再把横坐标缩小为原来的12，得到y ＝log 3⎝⎛⎭⎫2x －32. 故应填y ＝log 3⎝⎛⎭⎫2x －32. 10．(0,1)∪(1,2) 解析：y ＝|x 2－1|x －1＝|x ＋1||x －1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－|x ＋1|，x <1，函数y ＝kx 过定点(0,0)．由数形结合可知：0＜k ＜1或1＜k ＜k OC ，∴0＜k ＜1或1＜k ＜2.三、解答题11．解：由(1)知，－3≤x ≤1，－2≤x ＋1≤2，故f (x )的定义域是[－2,2]．由(3)知，f (x )在[－2,0)上是增加的．综合(2)和(4)知，f (x )在(0,2]上也是增加的，且f (－1)＝f (1)＝0，f (0)＝0.故函数y ＝f (x )的一个图像如上图所示，与之相应的函数解析式是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－2≤x <0，0，x ＝0，x －1，0<x ≤2.12．解：(1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ， 可得2－y ＝4－x ＋14－x， 即y ＝x －2＋1x －4∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎨⎧ y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝[－(m ＋6)]2－4(4m ＋9)，∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．。
函数的图像及其变换(完整版)
函数的图像及其变换(完整版)
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晴。
二重积分变量替换定理的不同证法[1]
![二重积分变量替换定理的不同证法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/5ce7b9c35fbfc77da269b108.png)
两种相对简单且又严格的证明方法 . 它们分别是逐次换 元法和 Green 公式法 . 前一种 方法的主要 思想是化 一般正则变 换 为两个简单正则变换的复合 , 后一种方法巧妙 的利用了 Green 公式 . [ 关键词 ] 正则变换 ; 逐次换 元法 ; Gr een 公式法 [ 中图分类号 ] O172 [ 文献标识码 ] A [ 文章编号 ] 1671 5330( 2007) 02 0021 03
第2期
高志锋 , 王澜峰 : 二重积分变量替换定理的不同证法
23
滑可得 Lx y 逐段光滑, 故 L uv 也可用 Green 公式 , 但 由于 L xy 的方向可能和 L uv 相反, 故为保证 ! # xy 为 正, 前边需加上 0 号 , 但再在 L uv 上用 Green 公式 时, 需加绝对值 . 从而 ! # xy =
[ 1] 华 东 师 范 大 学 数 学 系 编 . 数 学 分 析 下 册 ( 第 二 版 ) [ M ] . 北京 : 高等教育出版社 , 1991 . [ 2] 朱时 . 数 学 分 析札 记 [ M ] . 贵州 : 贵 州 教 育出 版 社 , 1994. [ 3] 程其襄 , 张奠宙 , 等 . 实变 函数与 泛函分 析 [ M] . 北京 : 高等教育出版社 , 2003 .
#
xy
c
dv
y ∀
x 1 (v )
d
u2(v) u (v)
1
c
x du) u du)
/xdy
L
xy
= 0
d
u 2(v) u (v)
1
/x ( u, v) ( y du + y dv )
u v
L
uv
北京市高三数学第二轮复习第4讲 函数图象与变换
第4讲 函数图象与变换一、高考要求①给出函数的解析式或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象； ②给出函数的图象求解析式；③给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或范围； ④考查函数图的平移、对称和翻折；⑤和数形结合有关问题等．函数的图象是函数的直观体现,运用函数的图象研究函数的性质非常方便．函数的图象正成为高考命题的热点之一． 二、两点解读 重点：①已知解析式判断函数图象或已知图象判断解析式中参数的范围；②函数图的平移、对称和翻折；③从基本函数的图象变换到复合函数的图象等．难点：①利用函数性质识图；②和数形结合有关问题． 三、课前训练1．函数)(x f y =的图象与函数2()log (0)g x x x =>的图象关于原点对称，则()f x 的表达式为 （ D ） （A ）21()(0)log f x x x => （B ）21()(0)log ()f x x x =<-（C ）2()log (0)f x x x =-> （D ）2()log ()(0)f x x x =--< 交于点2．函数)(x f y =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴(0,2)P （如图2所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x =（ C ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）13．若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象关于 x =1 对称． 4．若函数)10(1≠>-+=a a b a y x 且的图象经过第二、三、四象限，则一定有010<<<b a 且四、典型例题例1 函数)(x f 的图象无论经过平移还是沿直线翻折后仍不能与x y 21log =的图象重合，则)(x f 是 （ ）（A ）x -2（B ）x 4log 2 （C ）)1(log 2+x （D ）x 421⋅解：将xxy ⎪⎭⎫⎝⎛==-212的图象沿直线x y =翻折即可与x y 21log =的图象重合，排除A ；将x x y 214log log 2-==沿x 轴翻折即可与x y 21log =图象重合，排除B ；将)1(l o g )1(l o g 212+-=+=x x y 的图象向右平移1个单位，在沿x 轴翻折即可与x y 21log =的图象重合，排除C ，故选D例2 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：(A) (B) (C) (D)则a 的值为 （ ）（A ）1（B ）－1 （C ）251-- （D ）251+- 解：前两个函数图象关于y 轴对称，故0=b ，与条件不符，后两个函数图象都过定点（0，0），故012=-a ，即1±=a ，又由对称轴大于零，即02>-=abx ，由0>b 得0<a ，所以取1-=a ，故选B例3 设函数)(x f 的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数)(1x f -,0)4(=f ,则)4(1-f= ．解：由0)4(=f ，即)(x f 过点（4，0），又)(x f 的图象关于点(1,2)对称，可知：)(x f 过点（2-，4），∴4)2(=-f ，故)4(1-f =2-例4 在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y = 和)(x g y =的图像关于直线x y =对称．现将)(x g y =图像沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移１个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数)(x f 的表达式为 ．解：将原图象沿y 轴向下平移１个单位，再沿x 轴向右平移２个单位得)(x g 的图象（如右图），求得：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=32,4220,12)(x x x xx g ．又∵函数)(x f y =和)(x g y =的图像关于直线x y =对称，∴求)(x g 反函数得：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=-20,2201,22)(1x xx x x g ， 故⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x xx x x f例5 已知函数2))(()(---=b x a x x f ，m 、n 是方程0)(=x f 的两根，且b a <，n m <试判断实数a ，b ，m ，n 的大小关系．解：∵2))(()(---=b x a x x f ，∴2)(-=a f ，2)(-=b f ，∴a ，b 是方程2)(-=x f 的两根，即为函数)(x f y =的图象与直线2-=y 交点的 横坐标．而m ，n 是方程0)(=x f 的两根，∴m ，n 为函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．又b a <，n m <，故如图所示可得n b a m <<<．例6 已知函数)1,0)(1(log )(≠>-=a a a x f x a ， （1）证明：函数)(x f 的图象在y 轴一侧；（2）设),(11y x A ，))(,(2122x x y x B <是图象上的两点，证明直线AB 的斜率大于零； （3）求函数)2(x f y =与)(1x f y -=的图象交点坐标． 解：（1）由01>-x a 即1>x a ，①当1>a 时，0>x ，函数图象在y 轴右侧；②当10<<a 时，0<x ，函数图象在y 轴左侧，故函数图象总在y 轴一侧． （2）由于2121x x y y k AB --=，又由21x x <，故只需证012>-y y 即可． 因为11log )1(log )1(log 121212--=---=-x x ax a x a aa aa y y ，当1>a 时，由210x x <<得210x x aa<<，即11021-<-<x x a a ，故有11112>--x x a a ，011log 12>--x x aaa ，即012>-y y ；当10<<a 时，由210x x <<得121>>x x aa，即01121>->-x x aa，故有111012<--<x x aa ，011log 12>--x x aa a ，即012>-y y ．综上直线AB 的斜率总大于零.（3）=-)(1x f )1(log +x a a ，)1(log )2(2-=x a a x f ，当它们图象相交时： =+1x a 12-x a 可解得：2=x a ，所以2log a x =，3log a y =，即交点坐标为：2(log a ，)3log a。
简单复合函数的求导法则(最经典)——王彦文()
练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y sin 2x；
y sin u, u 2x
(2) y 3x2 x 1； (3) y cos(sin x)； (4) y (a bxn )m； (5) y sin(1 1 ).
x
y u, u 3x2 x 1
y cos u, u sin x
y x 1
y ax ln a
y ex
y 1 x ln a
y 1 x
y cosx
y sin x
y
1 c os2
x
2.导数的四则运算法则：
设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则
1) (u(x) v(x)) ' u '(x) v '(x)
2) (u(x) v(x)) ' u '(x)v(x) u(x)v '(x)
推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)
3)
u(x)
v(x)
u
'(x)v(x) u(x)v v2 ( x)
'(x)
17:47:20
课前练习：
1.y
x(x2
1 x
1 x2
),求y '；
2.y x sin x cos x ,求y '； 22
3.y x cos(x), 求y '；
4.y 1 ,求y '； sin x
例2 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利 用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.而
函数的周期性和对称性解析王彦文
专题二：函数的周期性和对称性【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。
在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
【方法点评】一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．51- 【答案】D考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2，则()=2016f （ ）A 、-12B 、-16C 、-20D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性．【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B【变式演练2】定义在R 上的函数()f x 满足()()[)20,0,2f x f x x ++=∈时，()31x f x =-，则()2015f 的值为（ ）【答案】A试题分析： 由已知可得⇒=+-=+)()2()4(x f x f x f ()f x 的周期⇒=4T ()2015f ==)3(f2)1(-=-f ，故选A.考点：函数的周期性.【变式演练3】定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[2,0]x ∈-上为增函数，3()2a f =，7()2b f =，12(log 8)c f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B试题分析：因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[2,0]x ∈-上为增函数，所以在[0,2]x ∈上单调递减，又(4)()f x f x +=，所以()()1271(),(log 8)3122b f f c f f f ⎛⎫====-= ⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a >>．考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性． 二、函数的对称性问题 使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论：第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称； 第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(,)22a b c+对称；第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称.例2 ．（从对称性思考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ) A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B【易错点晴】函数()f x 满足),(-)-(x f x f =则函数关于），（00中心对称，(3)()f x f x -=,则函数关于32=x 轴对称，常用结论：若在R 上的函数()f x 满足)()(),()(x b f x b f x a f x a f +-=+-=+，则函数)(x f 以||4b a -为周期.本题中，利用此结论可得周期为632-04=⨯，进而(2019)(3)f f =，)3(f 需要回到本题利用题干条件赋值即可. 例3 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x fx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）A ．669B ．670C ．2008D ．1 【答案】D试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-，(1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性． 例4 已知函数21()(,g x a x x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21[1,2]e + B ．2[1,2]e - C ．221[2,2]e e +-D ．2[2,)e -+∞ 【答案】B考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题.【变式演练4】定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 的取值范围是 . 【答案】1-<m 或30<<m试题分析：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线34x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3434T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即32m m-<，解得103x x <-<<或.考点：函数的奇偶性、周期性.【高考再现】1. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【答案】C试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.考点： 函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.2. 【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）?2 （B ）?1（C ）0（D ）2【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3. 【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-2考点：函数的奇偶性和周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．5. 【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 【反馈练习】1. 【2016届云南昆明一中高三仿真模拟七数学，理4】设函数()y f x =定义在实数集R 上，则函数()y f a x =-与()y f x a =-的图象（ ）A ．关于直线0y =对称B ．关于直线0x =对称C ．关于直线y a =对称D ．关于直线x a =对称 【答案】D2．【 2017届河南夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数()f x 是定义在R 内的奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()2015f =（ ）A ．-2B ．2C ．-98D ．98 【答案】A 试题分析：由()()4f x f x +=得()f x 的周期⇒=4T ()2015(3)(1)(1)2f f f f ==-=-=-，故选A.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性.3. 【2017届河南新乡一中高三9月月考数学，文8】定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f <<C ．(64)(49)(81)f f f <<D ．(64)(81)(49)f f f <<【答案】A 【解析】试题分析：因为(3)()f x f x -=-，所以()(6)(3)f x f x f x -=--=，及()f x 是周期为6的函数，结合()f x 是偶函数可得，()()()()()(49)1,(64)22,(81)33f f f f f f f f ==-==-=，再由12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-得()f x 在[0,3]上递增，因此(1)(2)(3)f f f <<，即(49)(64)(81)f f f <<，故选A ．考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．4. 【2017届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+，当[0,2)x ∈时，()1xf x e =-，则(2016)(2015)f f +-=（ ） A ．1e - B ．1e - C ．1e -- D ．1e + 【答案】A试题分析：(1)y f x =-的图象关于(1,0)点对称，则()f x 关于原点对称. 当0x ≥时恒有31()()22f x f x -=+即函数()f x 的周期为2.所以()()(2016)(2015)011f f f f e +-=-=-.考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数．5. 【2016-2017学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷，理11】已知函数2()(12)f x a x x =-≤≤与()2g x x =+的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．9[,)4-+∞ B ．9[,0]4- C ．[2,0]- D ．[2,4]【答案】C 【解析】考点：构造函数法求方程的解及参数范围.6. 【2017届河北武邑中学高三上周考数学试卷，理9】若对正常数m 和任意实数x ，等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为2mB ．函数()f x 是奇函数，但不是周期函数C ．函数()f x 是周期函数，最小正周期为4mD ．函数()f x 是偶函数，但不是周期函数 【答案】C考点：函数的周期性．7. 【2017届四川成都七中高三10月段测数学试卷，文10】 函数()f x 的定义域为R ，以下命题正确的是（ ） ①同一坐标系中，函数(1)y f x =-与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称；②函数()f x 的图象既关于点3(,0)4-成中心对称，对于任意x ，又有3()()2f x f x +=-，则()f x 的图象关于直线32x =对称；③函数()f x 对于任意x ，满足关系式(2)(4)f x f x +=--+，则函数(3)y f x =+是奇函数. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 【答案】D 【解析】 试题分析： ①正确，因为函数()x f y =与()x f y -=关于y 轴对称，而()1-=x f y 和()x f y -=1都是()x f y =与()x f y -=向右平移1个单位得到的，所以关于直线1=x 对称；②正确，因为函数关于点⎪⎭⎫⎝⎛043-，成中心对称，所以()x f x f -=⎪⎭⎫⎝⎛--23，而3()()2f x f x +=-，所以⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--x f x f 2323，即()()x f x f =-，又根据3()()2f x f x +=-，可得函数的周期3=T ,又有()()x f x f =-，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+232323x f x f x f ，所以函数关于直线23-=x 对称；③正确，因为()()3242=+-++x x ，所以函数()x f 关于点()0,3对称，而函数()3+=x f y 是函数()x f y =向左平移3个单位得到，所以函数()3+=x f y 是奇函数.故3个命题都正确，故选D.考点：抽象函数的性质8. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文12的图像上关于原点对称的点有（ ）对A. 0B. 2C. 3D. 无数个 【答案】B2241y x x =++关于原点对称的图象，记为曲线C .容易发现与曲线C 有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的,A B 就是符合题意的点，故选B.考点：函数的图象与性质及应用．9. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文7】定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=.现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数.其中正确的是（ ）A ．②③ B. ①② C ．①③ D. ①②③ 【答案】D考点：函数周期性、对称性和奇偶性．。
函数图像和变换解读
函数图像及其变换上海师范大学附属外国语中学 李庆兵函数是整个高中数学的重点和难点，高中阶段对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的，所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点。
历年高考考试大纲中都明确要求，学生要“会运用函数图像理解和研究函数的性质”，并且与前几年比较可以发现，近几年高考对于函数图像方面的考查已经不再局限于对几个常见函数本身的单一的考查，而是结合函数的运算，更为深刻地考查函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系。
这就要求我们不仅要熟练掌握一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法，而且要会灵活运用。
下面笔者就结合近几年的一些高考试题，谈一些函数图像及其变换和应用方面的问题，希望能引起正在忙于备考的高三教师和学子们的重视，并给他们带来一些启发。
（一）平移变换及其应用：函数00)(y x x f y +-=的图像可以看作是由函数)(x f y =的图像先向左0(x ＞0）或向右（0x ＜0）平移||0x 个单位，再向上0(y ＞0）或向下（0y ＜0）平移||0y 个单位得到。
如：例1、（2008上海理11）方程0122=-+x x 的解可视为函数2+=x y 的图象与函数xy 1=的图象交点的横坐标。
若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x ii =均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是 。
（图一） （图二）分析：由题意，方程044=-+ax x 的解可视为函数a x y +=3的图象与函数xy 4=的图象交点的横坐标。
这些交点可以看作是由函数3x y =的图象经过上下平移得到，由图（1）可知，函数3x y =与函数xy 4=的图象分别交于点P 、Q ，且点P 在直线上方，点Q 在直线x4=下方，要使得方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4,(k i x x ii =均在直线x y =的同侧，只须将函数3x y =图像上下平移，将点Q 移至函数x y 4=图像与直线x y =交点A )2,2(--左侧或将点P 移至函数xy 4=图像与直线x y =交点B )2,2(右侧即可。
第08讲 函数的图象变换及其应用
函数的图象变换及其应用主讲教师：丁益祥【知识概述】1.函数图象变换（1）平移变换 函数()f x 与()f x a b -+的图象间的关系 自变量加减函数图象左右移，函数加减图象上下移（2）对称变换 奇函数、偶函数 2.函数图象的应用（1）利用图象处理方程问题 （2）利用图象处理不等式问题【学前诊断】1. [难度]易函数2log y x =的图象大致是（ ）A B C D2. [难度]中为了得到函数3lg10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（ ）． A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度3. [难度]中画出函数|13|-=xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|31|x k-=无解？有一解？有两解？【经典例题】例1.已知函数()y f x=是偶函数，()y g x=是奇函数，它们的定义域均为[]π,π-，且它们在[]0,πx∈上的图象如图所示，则不等式()()f xg x<的解集是______.解：∵)(xfy=是偶函数，)(xgy=是奇函数，则由它们的奇偶性，补画出[]0,π-上图象．)()(<xgxf⇔)(xf0)(<⋅xg，通过观察图象知，解集为),3()0,3(πππ⋃-．例2．已知函数12213()2,2()3f x x t a a x=--=-+∈R设,则(1)(2.5)()f f f t，，的大小关系是_______________.解：画出12()2f x x=--的图象．由图象可知函数f（x）<0，f（x）的图象关于直线x=2对称，且在区间(),2-∞单调递增，在()2,+∞单调递减.因为221310102(1)333t a a a=-+=-+≥，xy-13π-3πππ-oyx故102212 2.523t -≥->->-， 所以()2.5(1)()f f f t >>．例3． 确定函数()2f x x x x =-的单调区间.解：222, 0,()||2||2, 0.x x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩画出函数()f x 的图象．由图象可知，函数()f x 的增区间是（-∞，0]，[1，+∞），减区间是[0，1]．例4. 汽车经过启动、加速行驶、均匀行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（ ）解：由题意知，汽车的行驶路程s 随时间t 的变化而变化的趋势是：在启动——加速行驶这一阶段路程s 随时间t 的增大而增大，变化的趋势是由慢逐渐加快；在匀速行驶阶段，路程s 也随时间t 的增大而增大，变化的趋势是匀速的，其图形是直线型；在减速行驶——停车这一阶段，尽管路程s 仍然随时间t 的增大而增大，但变化的趋势是由快逐渐减慢，直到停车．因此选A ．例5 {}min ,,,,a b c a b c 用表示三个数中的最小值，设{}()min 2,2,10(0)x f x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为（ ）. A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解：画出2xy =，2y x =+，10y x =-的图象，如右图，观察图象可知，当02x ≤≤时，()2xf x =，当24x ≤≤时，()2f x x =+，当4x >时，()10f x x =-．由图可以看出max ()(4)6f x f ==，故选C ．例6. 已知函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则（ ）.A ．(),0b ∈-∞B ．()0,1b ∈C ．()1,2b ∈D ．()2,b ∈+∞解法1：由于()f x 有0，1，2三个根，故易得(0)0d f ==， 并且()(0)(1)(2)f x a x x x =---，展开得32()32f x ax ax ax =-+． 与原式对照，得3b a =-． 取0x ，不妨使02x >，则0000()(0)(1)(2)0f x a x x x =--->．由于此时000x ->，010x ->，020x ->，故必有0a >，因此0b <，选A ． 解法2：注意到(1)0f a b c d -=-+-+<，(1)0f a b c d =+++=，两式相加，得220b d +<． 由于(0)0d f ==，故0b <．y 3=10-xy 2=x+2y 1=2x42oyx例7. 函数()y f x =的图象为C ，而C 关于直线1x =对称的图象为1C ,将1C 向左平移1个单位后得到的图象为2C ,则2C 对应的函数为（ ）. A ．()y f x =-B ．(1)y f x =-C ．(2)y f x =-D ．(3)y f x =-解：)2(:1x f y C -=,)1()]1(2([:2x f x f y C -=+-=，选B ．【本课总结】1. 函数图象平移变换（1） ()y f x =的图象向左平移a （a >0）个单位得到函数()y f x a =+的图象； （2） ()y f x =的图象向右平移a （a >0）个单位得到函数()y f x a =-的图象； （3） ()y f x =的图象向上平移a （a >0）个单位得到函数()y f x a =+的图象； （4） ()y f x =的图象向下平移a （a >0）个单位得到函数()y f x a =-的图象. 口诀：左加右减，上加下减. 2. 函数图象对称变换（1） ()y f x =-与()y f x =的图象关于y 轴对称； （2） ()y f x =-与()y f x =的图象关于x 轴对称； （3） ()y f x =--与()y f x =的图象关于原点对称.【活学活用】1. [难度]易客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（ ）．2. [难度]中直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有四个交点，则a 的取值范围是________.3. [难度]难如图() (1,2,3,4)i f x i =是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的1x 和2x ，任意[0, 1]λ∈，1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-恒成立”的是 （ ）．A ．)(),(31x f x fB ．)(2x fC ．)(),(32x f x fD ．)(4x f。
奇偶性(第一课时)——王彦文
o
x
图（1）
xf (x) o
x
f (x) x
图（2）
问题3:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表述？
自变量互为相反数时对应的函数值也互为相反数
问题4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函数， 那么怎样定义奇函数？
什么是奇函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇 函数.(代数定义）
令a = b = 1,得f (1) = 0；令a = b = 1,得f (1) = 1 f (1) = 0. 2
（2）判断f(x)的奇偶性.
令a = 1,b = x,得f (x) = f (x) xf (1).
f (x) = f (x) f (x)是奇函数.
课外作业:课本P44 A组 第8、10题
偶函数的定义:
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函 数.（代数定义）
偶函数的探究（二）
考察下列两个函数和它们的图象：
(1) f (x) = x ;
(2) f (x) =
y
y
1 x
.
o
x
图（1）
奇函数的图象是关于原点对称的中心对 称图形.（几何特征）
合作探究（三）
问题1：根据前面所探讨的过程思考若要 使得函数本身具有奇偶性,一个首要的前 提是什么?
函数的定义域要关于原点对称
问题2:如何判断一个函数的奇偶性呢？
首先判断函数的定义域是否关于原点对 称,再根据图像或定义予以判断
典例巩固
例1、判断下列函数的奇偶性
-2 -1
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清泉州阳光实验学校高三数学一轮复习讲义 函数图象教案
清泉州阳光实验学校函数图象一、高考要求①给出函数的解析式或者者由条件求出函数的解析式，判断函数的图象；②给出函数的图象求解析式；③给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或者者范围；④考察函数图的平移、对称和翻折；⑤和数形结合有关问题等．函数的图象是函数的直观表达,运用函数的图象研究函数的性质非常方便．函数的图象正成为高考命题的热点之一．二、两点解读重点：①解析式判断函数图象或者者图象判断解析式中参数的范围；②函数图的平移、对称和翻折；③从根本函数的图象变换到复合函数的图象等．难点：①利用函数性质识图；②和数形结合有关问题．二根底知识〔一〕、函数图象的三大根本问题1．作图：函数图象是函数关系的直观表达形式，是研究函数的重要工具，是解决很多函数问题的有力武器．作函数图象有两种根本方法：①描点法：其步骤是：列表(尤其注意特殊点，零点，最大值最小值，与坐标轴的交点)、描点、连线．②图象变换法．作函数图象的根本方法是：①讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；②考虑是否可由根本初等函数的图象变换作出图象；③准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等).作函数图像的一般步骤是：〔1〕求出函数的定义域；〔2〕化简函数式；〔3〕讨论函数的性质〔如奇偶性、周期性、单调性〕以及图像上的特殊点、线〔如极值点、渐近线、对称轴等〕；〔4〕利用根本函数的图像画出所给函数的图像。
2．识图：对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．3．用图：函数的图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形〞的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．〔二〕、图象变换的四种形式1．平移变换有：①程度平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左或者者右平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上或者者下平移b个单位而得到2．对称变换主要有：①y＝f(－x)与y＝f(x)，y＝－f(x)与y＝f(x)，y＝－f(－x)与y＝f(x)，y＝f－1(x)与y＝f(x)，每组中两个函数图象分别关于y轴、x轴、原点、直线y=x对称；②假设对定义域内的一切x均有f(x＋m)＝f(m－x)，那么y＝f(x)的图象关于直线x=m对称；y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)关于点〔a,b〕成中心对称．3．伸缩变换主要有：①y＝af(x)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的纵坐标伸(a>1时)缩(a<1时)到原来的a倍；②y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1时)缩(a>1时)到原来的.4．翻折变换主要有：①y＝|f(x)|，作出y ＝f(x)的图象，将图象位于的部分以为对称轴翻折到；②y＝f(|x|)，作出y ＝f(x)在右边的部分图象,以为对称轴将其翻折到左边得y ＝f(|x|)在左边的部分的图象． 〔三〕、图象对称性的证明及常见结论 1．图象对称性的证明①证明函数图象的对称性，归结为任意点的对称性证明.即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或者者对称轴)的对称点仍在图象上．②证明曲线1C 与2C 的对称性，即要证明1C 上任一点关于对称中心(或者者对称轴)的对称点在2C 上，反之亦然．③．注意分清是一个函数自身是对称图形，还是两个不同的函数图象对称. 2．有关结论①假设f(a ＋x)＝f(b －x)，x∈R 恒成立，那么y ＝f(x)的图象关于x ＝a+2b成轴对称图形； ②函数y ＝f(a ＋x)与函数y ＝f(b －x)的图象关于直线x ＝12(b －a)对称；③假设函数f(x)关于x ＝m 及x ＝n 对称，那么f(x)是周期函数，且是它的一个周期；④假设f(x ＋a)＝()-1()+1f x f x 对x∈R 恒成立，那么f(x)是周期函数，且是它的一个周期．三易错知识〔一〕、函数的平移变换1．把y ＝f(3x)的图象向_____平移______个单位得到y ＝f(3x －1)图象． 答案：右13〔二〕、函数的伸缩变换2．将函数y＝log3(x－1)的图象上各点的横坐标缩小到原来的12，再向右平移半个单位，所得图象的解析式为________．答案：y＝－log3(2x－2)〔三〕、函数的对称变换对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区分开来，前者将y＝f(x)处于x轴下方的图象，翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象y轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图，后者是偶函数而前者y≥0.比方y＝|sinx|与y ＝sin|x|.〔四〕、函数的对称性与周期性易混假设函数y＝f(x)满足以下条件，那么函数具有的性质为：①f(x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)关于x＝a2对称；②f(x)＝f(a＋x)，那么y＝f(x)以为周期；③f(x)＝－f(a－x)，那么y＝f(x)关于点()对称；④f(x)＝－f(a＋x)，那么y＝f(x)以为周期．3．设函数y＝f(x)定义在实数集上，那么函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于 ()A．直线y＝0对称B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称D．直线x＝1对称解析：作为一选择题可采用如下两种解法：常规求解法和特殊函数法．常规求解法：因为y＝f(x)，x∈R，而f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f[－(x－1)]的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(－x)的图象是关于y轴(即直线x＝0)对称，因此，f(x－1)与f[－(x－1)]的图象关于直线x＝1对称，应选D.特殊函数法：令f(x)＝x，那么f(x－1)＝x－1，f(1－x)＝1－x，两者图象关于x＝1对称，故否认A、B、C，选D.错误警示：因为函数是定义在实数集上且f(x－1)＝f(1－x)，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，选B.这里的错误主要是把两个不同的对称问题混为一谈，即对称问题中有一结论：设函数y＝f(x)定义在实数集上，且f(a＋x)＝f(a－x)，那么函数f(x)关于直线x＝a对称．这个结论只对于一个函数而言，而此题是关于两个不同函数的对称问题，假设套用这一结论，必然会得到一个错误之答案．答案：D四回归教材1．函数y＝1－1-1x的图象是()答案：B2．把函数y＝lnx的图象按向量a＝(－2,3)平移得到y＝f(x)的图象，那么f(x)＝() A．ln(x＋2)－3 B．ln(x－2)＋3 C．ln(x＋2)＋3 D．ln(x－2)－33．为了得到函数y＝lg+310x的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点()A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：由y＝lg+310x得y＝lg(x＋3)－1，由y＝lgx图象上所有的点向左平移3个单位，得y＝lg(x＋3)的图象，再向下平移1个单位得y＝lg(x＋3)－1的图象．应选C.答案：C4．函数f(x)＝1x－x的图象关于()A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称 解析：∵f(x)＝1x－x ，∴f(－x)＝－1x＋x ＝－(1x－x)＝－f(x)．∴f(x)是一个奇函数．∴f (x)的图象关于原点对称．答案：C5．()=x f x e ，那么函数-1()=|(1-)|g x f x 的大致图象是()五典例分析 题型1作图【例1】作出以下函数的大致图象：(1)y ＝3|x|x ；(2)y ＝+2-1x x ；(3)y ＝|log2x －1|；(4)y ＝2|x －1|.[思路点拨]首先将简单的复合函数化归为根本的初等函数，然后由根本初等函数图象变换得到．[解析](1)y ＝22(>0)-(<0)x x x x ⎧⎨⎩，利用二次函数的图象作出其图象，如图①. (2)因y ＝1＋3-1x ，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得y ＝+2-1x x 的图象，如图②.(3)先作出y ＝log2x 的图象，再将其图象向下平移一个单位，保存x 轴上及x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log2x －1|的图象，如图③.(4)先作出y ＝2x 的图象，再将其图象在y 轴左边的部分去掉，并作出y 轴右边的图象关于y 轴对称的图象，即得y ＝2|x|的图象，再将y ＝2|x|的图象向右平移一个单位，即得y ＝2|x －1|的图象，如图④.[方法技巧]函数解析式研究函数图象问题，主要是将解析式进展恰当的化简，然后与一些熟知函数的图象相联络，通过各种图象变换得到要求的函数图象，此过程中，要擅长发现函数的性质(奇偶性、单调性、周期性等)，并用于作图中．[温馨提示]此题(2)、(3)、(4)在作平移变换时易在平移的方向上出错． 变式探究①作出以下函数的大致图象：(1)y=2-2x；〔2〕13y=log [3(+2)]x 〔3〕12y=|log (-x)|解析：(1)作函数y=2x 的图象关于x 轴对称的图象得到y=-2x的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y=2-2x 的图象．如图1；(2)因为y ＝13log [3(x ＋2)]＝－log3[3(x ＋2)]＝－log3(x ＋2)－1.所以可以先将函数y ＝log3x 的图象向左平移2个单位，可得y ＝log3(x ＋2)的图象，再作图象关于x 轴的对称图象，得y ＝－log3(x ＋2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得y ＝－log3(x ＋2)－1的图象，即为y ＝13log [3(x ＋2)]的图象．如图2；(3)作y ＝12log x 的图象关于y 轴对称的图象，得y ＝的图象，再把x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，可得到y＝|l 12log (-)x |的图象，如图3.题型2识图【例2】函数y ＝f(x)与函数y ＝g(x)的图象如图． 那么函数y ＝f(x)g(x)的图象可能是()[解析]从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)g(x)是奇函数，排除B.又x ＜0时，g(x)为增函数且为正值，f(x)也是增函数，故f(x)g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负， 注意到x ＝－2π时，f(x)＝0，那么f(－2π)g(－2π)必等于0，排除C 、D.或者者注意到x→0－(从小于0趋向于0)，f(x)g(x)→＋∞，也可排除C 、D.[答案]A[反思归纳]要敏锐地从所给图象中找出诸如对称性、零点、升降趋势等决定函数走势的因素，进而结合选择填空题，作出合理取舍． 变式探究②〔1〕以下四个函数中，图象如以下列图所示的只能是()A ．y ＝x ＋lgxB ．y ＝x －lgxC ．y ＝－x ＋lgxD ．y ＝－x －lgx解析：特殊值法：当x ＝1时，由图象知y>0，而C 、D 中y<0，故排除C 、D ，又当x ＝110时，由图象知y>0，而A 中y ＝110＋lg 110＝－910<0，排除A ，应选B. 〔2〕设a<b ，函数y ＝(x －a)2(x －b)的图象可能是_____．解析：∵x>b 时，y>0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③ 〔3〕函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如右图所示,那么A (,0)b ∈-∞B (0,1)b ∈C (1,2)b ∈D (2,)b ∈+∞题型3函数的图像的对称变换 【例3】(1)函数+1=x y a 的图象与函数=log +1a y x （）(其中a>0且a≠1)的图象关于() A ．直线y ＝x 对称 B ．直线y ＝x －1对称C ．直线y ＝x ＋1对称D ．直线y ＝－x ＋1对称 [解析]∵y＝ax 与y ＝logax 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．又∵+1=x y a y 与=log +1a y x （）分别是由=x y a 与=log a y x 的图象向左平移1个单位而得到，∴+1=x y a 与y ＝loga(x ＋1)的图象关于直线y＝x ＋1对称．应选C.(2)假设函数f(x ＋1)是偶函数，那么函数y ＝f(2x)的图象的一条对称轴是直线 () A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－12D ．x ＝12[解析]y ＝f(x ＋1)右移一个单位得y ＝f(x)的图象．2 1 Oyx因此，y ＝f(x)关于x ＝1对称，y ＝f(x)图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得y ＝f(2x)的图象，因此对称轴为x ＝12，应选D.[答案]D 变式探究③将函数=2+1x y 的图象按向量a 平移得到函数+1=2x y 的图象，那么()A ．a ＝(－1，－1)B ．a ＝(1，－1)C ．a ＝(1,1)D ．a ＝(－1,1)解析：=2+1x y 向下平移1个单位，得=2x y ，由=2x y 向左平移1个单位得+1=2x y .故向量a ＝(－1，－1)．答案：A 变式探究④设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －a|的图象关于直线x ＝1对称，那么a 的值是 () A ．3B ．2C ．1D ．－1解析：方法1：由题意可得对于x∈R，f(x ＋1)＝f(1－x)恒成立，即|x ＋2|＋|x ＋1－a|＝|－x ＋2|＋|－x ＋1－a|，|x ＋2|＋|x ＋1－a|＝|x －2|＋|x －1＋a|， ∴1－a ＝－2，得a ＝3.应选A.方法2：利用绝对值的几何意义，知f(x)是点x 到－1、a 的间隔之和，由于关于x ＝1对称，因此，－1与a 关于x ＝1对称，所以a ＝3.答案：A 变式探究⑤函数f(x)＝－(a>0且a≠1)．(1)证明：函数y ＝f(x)的图象关于点(，－)对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．解：(1)证明：函数f(x)的定义域为R ，任取一点(x ，y)，它关于点(，－)对称的点的坐标为 (1－x ，－1－y)．由，y ＝－，那么－1－y ＝－1＋＝－.,f(1－x)＝－＝－＝－＝－.∴－1－y ＝f(1－x)．即函数y ＝f(x)的图象关于点(，－)对称． (2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1. ∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1. 那么f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3. 题型4用图【例4】设定义域为R 的函数f(x)＝|lg|-1||,10,=1x x x ≠⎧⎨⎩，那么关于x 的方程2f (x)＋bf(x)＋c ＝0有7个不同实数解的充要条件是 ()A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c ＝0D ．b≥0且c ＝0[命题意图]此题主要考察利用图象判断解的个数问题，充要条件等知识． [分析]通过数形结合法、挑选法获得正确答案．[解析]f(x)＝|lg (-1)|(>1)0(=1)|lg(1-x),(x<1)x x x ⎧⎪⎨⎪⎩故函数f(x)的图象如图．注意f(0)＝0有三个根1x ＝0，2x ＝1，3x ＝2，且有f(x)≥0，令f(x)＝t≥0，那么方程为2t ＋bt ＋c ＝0有实数解(t≥0)需满足：12+t t ＝－b≥0，即b≤0，12t t ⋅＝c≥0，排除B 、D ，(因B 项：c<0，D 项b≥0)对于A 不妨令b ＝－3，c ＝2，那么方程为2t －3t ＋2＝0.解之1t ＝1，2t ＝2. 即f(x)＝1，或者者f(x)＝2，由图知有8个根，排除A.应选C.实际受骗b<0，且c ＝0时，2()f x ＋bf(x)＝0，f(x)＝0，或者者f(x)＝－b>0.由f(x)＝－b>0，结合图象，此时有4个根，f(x)＝0有根为0,1,2.一一共7个． 变式探究⑥〔1〕f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如以下列图所示．令g(x)＝af(x)＋b，那么以下关于函数g(x)的表达正确的选项是()A．假设a<0，那么函数g(x)的图象关于原点对称B．假设a＝1,0<b<2，那么方程g(x)＝0有大于2的实根C．假设a＝－2，b＝0，那么函数g(x)的图象关于y轴对称D．假设a≠0，b＝2，那么方程g(x)＝0有三个实根命题意图：此题主要考察函数图象、方程等综合知识的运用才能．分析：认真读图，从图中寻找打破口解析：解法一：用淘汰法，当a<0时，g(x)＝af(x)＋b是非奇非偶函数，不关于原点对称，淘汰A.当a＝－2，b＝0时，g(x)＝－2f(x)是奇函数，不关于y轴对称，淘汰C.当a≠0，b＝2时，因为g(x)＝af(x)＋b＝af(x)＋2，当g(x)＝0有af(x)＋2＝0，∴f(x)＝－2a，从图中可以看到，当－2<－2a<2时，f(x)＝－2a才有三个实根，所以g(x)＝0也不一定有三个实根，淘汰D.应选B.解法二：当a＝1,0<b<2时，g(x)＝f(x)＋b，由图可知，g(2)＝f(2)＋b＝0＋b>0，g(c)＝f(c)＋b<－2＋b<0，所以当x∈(2，c)，必有g(x)＝0，故B正确．点评：此题属于读图题型．解答读图题型的思维要点是：仔细观察图象所提供的一切信息，并和有关知识结合起来，全面判断与分析．上述解法一为淘汰法；解法二为直接法，两法均属于解选择题的通法．〔2〕当x≥0时，函数y＝x2与函数xy=2的图象如下列图，那么当x≤0时，不等式2x·x2≥1的解集是__________．解：在2x·x2≥1中，令x＝－t，由x≤0得t≥0，∴2－t·(－t)2≥1，即t2≥2t，由所给图象得2≤t≤4，∴2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2.答案：{x|－4≤x ≤－2}〔3〕.假设关于x 的方程|243x x -+|-a=x 至少有三个不相等的实数根,试务实数a 的取值范围.【解】原方程变形为|243x x -+|=x+a,于是,设y=|243x x -+|,y=x+a,在同一坐标系下分别作出它们的图象如图,那么当直线y=x+a 过点(1,0)时a=-1;当直线y=x+a 与抛物线243y x x =-+-相切时,由243y x a y x x =+⎧⎨=-+-⎩233x x a ⇒-++=0, 由94(3∆=-+a)=0,得34a=-, 由图象知3[1]4a ∈-,-时方程至少有三个根. 规律方法提炼1．作图要准确、要抓住关键点：最高、低点，与坐标轴的交点、极值点等．2．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数〞的准确，注意数形结合的数学思想方法的运用．。
函数线性复合的图像变换规律
函数线性复合的图像变换规律
张献伟
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2004(000)001
【摘要】有些高考问题运用函数图像来解决会更方便、快捷，特别是选择填空题，在图像的辅助下可以使解题过程变得简练、直观而且准确无误．为了更加熟练地掌握复合函数的图像变化，现将其简单的归纳如下．
【总页数】2页(P3-4)
【作者】张献伟
【作者单位】河南省濮阳市外国语高级中学,457000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.从代数角度研究函数图像变换问题 [J], 汪仁林;姚利娟
2.探求函数图像变换对函数定义域的影响——对一道课本习题的创新学习 [J], 林再生
3.数学模型搭舞台,数形共奏\"核心素养\"曲——三角函数y=Asin(ωx+φ)的图像
变换的教学尝试 [J], 张伟文
4.信息化环境下高中数学翻转课堂设计——以“三角函数图像变换”为例 [J], 李静
5.借助信息技术实施三角函数图像变换教学 [J], 李远飞
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复变函数与积分变换教案
3/11
3,4
2
4.1复级数的基本性质
18
5/11
5,6
2
4.1复级数的基本性质
十
11.9---11.15
19
10/11
3,4
2
4.2幂级数
20
12/11
5,6
2
4.2幂级数
十一
11.16---11.22
21
17/11
3,4
2
4.3解析函数的Taylor展式
22
19/11
5,6
2
4.4解析函数零点孤立性及唯一性
6
17/9
5,6
2
2.1解析函数的概念与cauchy方程
四
9.21---9.27
7
22/9
3,4
2
2.2初等解析函数
8
24/9
5,6
2
2.3初等多值函数
五
9.28---10.11
9
29/9
3,4
2
2.3初等多值函数
10
8/10
5,6
2
3.1复积分概念及性质
六
10.12---10.18
11
13/10
3,4
《复变函数与积分变换》华中科技大学数学系编高等教育出版社
《复变函数导教·导学·导考》李建林编著西北工业大学出版社
要求自
学内容
1.自学分析中平面点集的定义及相关性质
2.看一看与之相关的习题集
双语内容
教学后记
（经验教训、学生反映、改进意见）
教研室主任审查签字
黑河学院课程教案
课程
类型
必修
公共基础课（）；专业基础课（）；专业课（√）
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例4：求函数y = 2x22x的单调区间.
例5：求函数y = (1)x2 2x的单调区间. 2
关于x轴对称
于y轴对称
关于原点对称
四﹑翻折变换
4﹑试画出函数y=|x2-3x+2)|的图象,并指出它与函 数y= x2-3x+2的图象之间有怎样的变换关系?
若将函数y=| x2-3x+2 |该为函数y=x2-3|x| +2),会 有何变化?
函数图象的翻折变换规律：
上下翻折:
翻
只保留y=f(x) x轴上方图象来自折y=f(x)
y=|f(x)|
并将x轴下方图象沿x轴进行翻折
变
换
左右翻折: 只保留y=f(x) y轴右侧图象
y=f(x)
y=f(|x|)
并将y轴右侧图象沿y轴进行翻折
识图
1．f(x)＝|x－1|的图象为如下图所示中的 (B )
识图
4.函数y=
1
的图象大致是(B )
x 1
1 x 1
1
由函数y= x 的图象向左平 移一个单位长度可得.
(x≥0) (x<0)
.图象如下图(3)．
变式迁移 1 作出下列函数的图象： (1)y＝|x－2|·(x＋1)； (2)y＝(12)|x|； (3)y＝|log2(x＋1)|. 解：(1)先化简，再作图． y＝x－2－x2x＋－x2＋2(x≥(x2<)2) .(如下图(1))．
绘图
变式迁移 1 作出下列函数的图象： (1)y＝|x－2|·(x＋1)； (2)y＝(12)|x|； (3)y＝|log2(x＋1)|. 解：(2)此函数为偶函数， 利用 y＝(12)x(x≥0)的图象进行变换．(如下图(2))．
复合函数： y=f[g(x)]
令 u=g(x) 则 y=f(u)
内函数 外函数
y=f[g(x)] 原函数
以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量
复合函数单调性定理：
①当内外函数在各自定义域内同增同减时，原函数增 ②当内外函数在各自定义域内一增一减时，原函数减
复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x)的
3.函数图象变换的应用: ①作图﹑② 识图﹑ ③用图
一.函数单调性的定义：
一般地，设函数 f (x)的定义域为 A,区间I A.
1增函数：如果对于区间I内的任意两个值x1, x2,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ),那么就说y = f (x) 在区间I上是单调增函数。
y=ax y (0<a<1)
1
O
x
y y=ax
(a>1) 1
O
x
描绘函数图象的两种基本方法: ①描点法;(通过列表﹑描点﹑连线三个步骤完成) ②图象变换;(即一个图象经过变换得到另一个与 之相关的函数图象的方法)
函数图象的三大变换方法
平移
对称
翻折
一﹑平移变换
1.讨论函数 y = x 2 与 y = x 2 2 ,y = (x 1)2
单调性共同决定。它们之间有 法
如下关系：
则
同
f(u)
增
g(x)
异
减
f[g(x)]
三个函数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]中，若有两个函数 单调性相同，则原函数为增函数；若有两个函数单 调性相反，则原函数为减函数。
指数型复合函数单调性探究
定义域 值域 单调区间
y = 2x1 R y = 2x1 1 R
y = 2|x| R
y = ( 1 )|x| 2
R
(0,+∞)
R
(1,+∞) [1,+∞)
R (-∞,0] 减，[0,+∞)增
(0,1] [0,+∞减) ，(-∞,0] 增
总结 y = a f (x)的单调区间？
(1)当a 1时，y = at是单调增的， f (x)的增区间就是原函数的增区间； f (x)的减区间就是原函数的减区间。
函数图象是研究 函数的重要工具,它能 为所研究函数的数量 关系及其图象特征提 供一种”形”的直观 体现,是利用”数形结 合”解题的重要基础.
1．几种函数的图像 函数
图像
一次函数 y＝kx＋b
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
图像
2. 指数函数
解析式: y = ax (a>0, 且a≠1).
图象特点:
2减函数：如果对于区间I内某个的任意两个值x1, x2,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ),那么就说y = f (x) 在区间I上是单调减函数。
函数的单调性是函数的局部性质。
二.复合函数的定义
函数y=f[g(x)]称为函数y=f(u)及u=g(x)的 复合函数
复合函数的单调性
的图象之间的关系.
y
y = x2 2
归纳：
y = x2
左右平移:
左正右负
平 移
y=f(x) 平移|h|个单位 y=f(x+h)
2 1
y = (x 1)2
变
-1 0
1
x
换 上下平移:
上正下负
y=f(x)
y=f(x)+k
平移|k|个单位
三﹑对称变换
2﹑设f(x)= 1x_(x>0),说出函数y=-f(x)、 y=f(-x)、
绘图
【例1】 分别画出下列函数的图象： (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
解： (2)将 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位．图象如下图(2)．
绘图
【例1】 分别画出下列函数的图象： (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
解：(3)y＝xx22－ ＋22xx－ －11
y=-f(-x) 与y=f(x)的图象关系。
y
y
y
y=f(x)
y=f(-x) y=f(x)
y=f(x)
o1 x
y=-f(x)
横坐标不变 纵坐标取相反数
o1 x
o1 x 对
y=-f(-x)
称
变
横坐标取相反数
横坐标、纵坐标 换
纵坐标不变
同时取相反数
y=f(x)与y=-f(x)图象 y=f(x)与y=f(-x)图象关 y=f(x)与y=-f(-x)图象
绘图
小结
1. 画函数图象的简图时，往往要先找出该函数的基本初等函数， 再分析其通过怎样的变换(平移、对称等)而得到。有时要先对 解析式进行适当的变形。（分段函数）
2.当不能直接利用图象变换法画函数图象的简图时(即找不到该 函数的基本初等函数),可先分别确定函数的定义域、讨论函数的 性质（如单调性、奇偶性、特殊点、特征线等),再用描点法或图 象变换法得出图象。
识图
5．函数f(x)＝a x－b的图象如右图所示，其中
a、b为常数，则下列结论正确的是( D )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
【解析】 因图象是递减的，故0<a<1.又图 象是将y＝ a x的图象向左平移了，故b<0
识图
【例1】回答下述关于图象的问题： (1)向形状如右图，高为H的水瓶注水，注满为 止，若将注水量V看作水深h的函数，则函数V＝f(h) 的图象是下图中的( A )