圆轴扭转横截面上的应力
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圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
园轴扭转横截面上剪应力计算
2 扭矩旳正负要求
§4-3 薄壁圆筒扭转时旳应力 剪切虎克定律 1 应力计算措施和公式 2 剪切虎克定律公式 3 E G μ之间旳关系
§4-4 圆轴扭转时旳应力和强度条件
一、圆轴扭转时旳应力
• 受扭圆轴横截面上有何应力？ • 其应力公式怎样分析与推导？
应力分析措施
试验观察 几何关系 应变分布 物理关系 应力分布 平衡 方 程 应力表达式
例：三个正方形微元体受力后变形如图， 求：三者剪应变
（）
（0）
（2）
2、横截面上剪应力旳计算
nm
Me
ab
cd
nm Me
Me
nm Me
nm
用一平面从mm截面处假想旳把杆件提成两部分，留左 边部分为研究对象，因为筒壁旳厚度很小——可以为沿壁厚 剪应力不变 。
因为圆周方向各点情况相同——圆周各点旳应力相等。
于是单元体abcd旳ab边相对于cd也发生了微小旳相对错 动，引起单元体abcd旳剪切变形。
如图所示：ab边对cd 边相对错动旳距离是：
m
n aa' Rd
d c
a
a
b
eR e
d
b
m
n
dx
e
e
d
m
n
d c
a
a
b
eR e
d
b
m
n
dx
aa' R d 直角abc旳角度变化量： ad dx
e
1
MB
MC
2 T2 x
B1
C2
M x 0 M B MC T2 0 T2 M B MC＝477.5 2 955N m
3 MD
x
扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
02-圆轴扭转时横截面上的应力课件
圆轴扭转时的横截面上的应力
一 几何关系
m
m
1.实验：
2.变形规律
dx
圆周线：形状、大小、间距不变，各圆周 线只是绕轴线转动了一个不同的 角度。
圆轴扭转时的横截面上的应力
纵向线—倾斜了同一个角度，小方格变 了平行四边形。
3.平面假设：变形前的横截面，变形后仍为 平面，且形状、大小、间距不 变，半径仍为直线。
圆轴扭转时的横截面上的应力
m
dx dx
O1 O2 AD BC
m
dx
O1
O2
d
a
d
b
c d'
A
D
c'
D'
B
C
C'
圆轴扭转时的横截面上的应力
取楔形体O1O2ABCD 为研究对象
dx
A点处的切应变
O1
O2
tan
d
a
d
DD '
b
c d'
AD
A D
c'
Rd
D'
dx
B
C
C'
圆轴扭转时的横截面上的应力
t
G
d
dx
方向垂直于半径。
圆轴扭转时的横截面上的应力
横截面上任意点的切应力 t 与该点到圆心的距离
成正比。
t
t
圆轴扭转时的横截面上的应力
t
G
d
dx
d ? dx
三 静力学关系 dA t dA t dA
t
dA
O
T
T A t dA
A
G
2
d
dx
dA
圆轴扭转的受力特点和变形特点
圆轴扭转的受力特点和变形特点
圆轴在受到扭矩作用时，其受力特点和变形特点与直轴不同。
下面我们来详细探讨一下圆轴扭转的受力特点和变形特点。
一、受力特点
在圆轴扭转过程中，受到的力主要是扭矩。
扭矩是使物体产生转动的力，其大小可以用公式T=FT*d来计算，其中T是扭矩，F是力，T是距离，d是轴的直径。
在圆轴扭转时，扭矩会使圆轴上的横截面产生剪切应力，剪切应力的大小与扭矩成正比。
二、变形特点
圆轴在受到扭矩作用时，会产生扭转变形。
这种变形主要表现为圆轴的各个横截面发生相对转动。
在圆轴扭转时，横截面之间的距离保持不变，因此不会出现拉伸或压缩变形。
同时，由于圆轴的刚度较大，所以扭转变形量相对较小。
三、影响圆轴扭转的因素
圆轴的扭转性能受到多种因素的影响，包括材料性质、截面形状、尺寸和边界条件等。
例如，圆轴的材料强度越高，其抵抗扭矩的能力就越强；截面形状和尺寸也会影响圆轴的扭转性能；边界条件如支撑条件和固定方式也会对圆轴的扭转性能产生影响。
四、圆轴扭转的应用
圆轴的扭转性能在机械工程中有着广泛的应用。
例如，在汽车和自行车中，车轴就是一种圆轴，它们需要承受来自轮子和车轮的扭矩。
在设计这些车轴时，需要考虑其受力特点和变形特点，以确保其具有足够的强度和刚度。
此外，在建筑工程和桥梁工程中，钢结构和钢筋混凝土结构的连接节点也需要利用圆轴的扭转性能来传递力和转矩。
建筑力学-3 扭转应力及强度
Oρ
切应力的计算公式
τ
T =
ρ
IP
τmax
(b)
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
τ
T =
ρ
IP
IP —— 截面对圆心的极惯性矩，与圆截面的尺寸有 关，单位为 mm4。
Tτ R
Oρ
τmax
τmax
对于一个指定截面，扭矩T与极惯性矩 IP 是定
值，ρmax = R 时，切应力 τ 取得最大值，即
(2) 两相邻横截面之间的距离也保持不变。
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
为进一步弄清圆轴横截面上应力的分布情况，用相邻两截面截取受扭
圆轴一微段dx，如图a所示。
由于横截面的间距保持不变，未发生轴向变形， 故横截面上没有正应力；
圆轴横截面上的半径Oa ，受扭后其位置转至Ob ，
τmax
TR =
IP
令
WP =
IP R
τmax
=
T WP
式中WP与圆截面的尺寸有关，称为抗扭截面系数，是反映圆轴抗扭 的几何量，单位为 mm3。
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
实心圆、空心圆的极惯性矩和抗扭截面系数
截面形状
有关尺寸
极惯性矩
抗扭截面系数
实心圆形 空心圆形
d
πD4
如果将这部分材料移至截面外围，使其成 为空心轴，如图所示，这样便提高了材料的利用 率。因此，空心轴较实心轴合理。
τmax
τmax τmax
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
建筑力学
山西建筑职业技术学院 建筑工程系 建筑力学教研室
圆轴扭转时的应力
材料力学
材料力学 圆轴扭转时的应力
1.变形几何关系
Me
Me
pq
观察变形：
x
圆周线长度形状不变，各圆周线间 距离不变，只是绕轴线转了一个微小角 度；纵向平行线仍然保持为直线且相互 平行，只是倾斜了一个微小角度。
Me
pq
pq
Me
x
圆轴扭转的平面假设：
pq
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 且相邻两截面间的距离不变。
材料力学
材料力学 圆轴扭转时的应力
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_扭转角（rad）
d _ dx微段两截面的
x
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
材料力学
材料力学 圆轴扭转时的应力
p
q
例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求 它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。 并比较实心轴和空心轴的重量。
材料力学
解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为[]时，两轴的许可扭矩分别为
T1
Wt [
]
16
D13[
]
T2
16
D3 (1
4 )[
]
16
(90)3 (1
0.9444 )[ ]
若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有
2. 阶梯形圆轴：
材料力学
max
Tmax Wt
材料力学 圆轴扭转时的应力
1.变形几何关系
Me
Me
pq
观察变形：
x
圆周线长度形状不变，各圆周线间 距离不变，只是绕轴线转了一个微小角 度；纵向平行线仍然保持为直线且相互 平行，只是倾斜了一个微小角度。
Me
pq
pq
Me
x
圆轴扭转的平面假设：
pq
圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍 保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线； 且相邻两截面间的距离不变。
材料力学
材料力学 圆轴扭转时的应力
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_扭转角（rad）
d _ dx微段两截面的
x
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
材料力学
材料力学 圆轴扭转时的应力
p
q
例3.3 如把上例中的传动轴改为实心轴，要求 它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径。 并比较实心轴和空心轴的重量。
材料力学
解：当实心轴和空心轴的最大应力同 为[]时，两轴的许可扭矩分别为
T1
Wt [
]
16
D13[
]
T2
16
D3 (1
4 )[
]
16
(90)3 (1
0.9444 )[ ]
若两轴强度相等，则T1=T2 ，于是有
2. 阶梯形圆轴：
材料力学
max
Tmax Wt
第9章圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7kW
n1=n2= 120r/min
转速与齿数成反比，所以有
1
36
3 ＝1 × ＝ 120 ×
r/min＝360r/min
3
12
2. 根据 = 9549
N ⋅ m 计算各轴的扭矩
3
Mx1=T1=1114 N.m
Mx2=T2=557 N.m
Mx3=T3=185.7 N.m
大连大学
10
9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
A
B
D ▪ 不难看出，圆轴受扭后，将
产生扭转变形（twist
deformation），圆轴上的每
个微元的直角均发生变化，
这种直角的改变量即为切应
C'
变。这表明，圆轴横截面和
纵截面上都将出现切应力分
τ
别用 和 表示。
D'
A'
B'
大连大学
横截面上的切应力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的
应力变形分析以及强度设计和刚度设计。
▪ 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力和变形的方法基
本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
▪ 9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
▪ 9.2 切应力互等定理
3. 设计螺栓等间距分布时的直径d
利用1中所得的结果，应用剪切假定计算的强度条件，有
2
=
=
≤
2
8××
4×
×
4
螺栓直径 ≥
大连大学
= 35.2mm
n1=n2= 120r/min
转速与齿数成反比，所以有
1
36
3 ＝1 × ＝ 120 ×
r/min＝360r/min
3
12
2. 根据 = 9549
N ⋅ m 计算各轴的扭矩
3
Mx1=T1=1114 N.m
Mx2=T2=557 N.m
Mx3=T3=185.7 N.m
大连大学
10
9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
A
B
D ▪ 不难看出，圆轴受扭后，将
产生扭转变形（twist
deformation），圆轴上的每
个微元的直角均发生变化，
这种直角的改变量即为切应
C'
变。这表明，圆轴横截面和
纵截面上都将出现切应力分
τ
别用 和 表示。
D'
A'
B'
大连大学
横截面上的切应力分布有着很大的差异。本章主要介绍圆轴扭转时的
应力变形分析以及强度设计和刚度设计。
▪ 分析圆轴扭转时的应力和变形的方法与分析梁的应力和变形的方法基
本相同。依然借助于平衡、变形协调与物性关系。
第9章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度设计
▪ 9.1 工程上传递功率的圆轴及其扭转变形
▪ 9.2 切应力互等定理
3. 设计螺栓等间距分布时的直径d
利用1中所得的结果，应用剪切假定计算的强度条件，有
2
=
=
≤
2
8××
4×
×
4
螺栓直径 ≥
大连大学
= 35.2mm
圆轴扭转横截面上的应力
140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 ()/m 。AC=? ，校核轴的刚度。
解：1. 变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
BC
T2l GIp
例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
16
T πd
3
[
]
16
d
3
16T
π[ ]
3
16(1.5103Nm) π(50106Pa)
3. 计算支座约束力偶矩
联立求解方程 (a) 与 (b)
MA
Mb ， ab
MB
Ma ab
总结
• 圆轴扭转强度计算 • 圆轴扭转刚度计算
本章结束！
0.0535
m
取： d 54 mm
2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
πdo3 16
14
16T [ ]
π 16
do3
(1
4)
do
3
16T
π(1 4)[
]
76.3
mm
di do 68.7mm
取：do 76 mm， di 68 mm 3. 重量比较
解：1. 变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
BC
T2l GIp
例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
16
T πd
3
[
]
16
d
3
16T
π[ ]
3
16(1.5103Nm) π(50106Pa)
3. 计算支座约束力偶矩
联立求解方程 (a) 与 (b)
MA
Mb ， ab
MB
Ma ab
总结
• 圆轴扭转强度计算 • 圆轴扭转刚度计算
本章结束！
0.0535
m
取： d 54 mm
2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
πdo3 16
14
16T [ ]
π 16
do3
(1
4)
do
3
16T
π(1 4)[
]
76.3
mm
di do 68.7mm
取：do 76 mm， di 68 mm 3. 重量比较
7-3圆轴扭转时的应力及强度条件
第三节
圆轴扭转时的应力及强 度条件
一、圆轴扭转时的应力
1、扭转变形 平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平 面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的 距离保持不变，横截面半径仍为直线。
推断结论：
横截面上各点无轴向变形，故 横截面上没有正应力。
横截面绕轴线发生了旋转式的 相对错动，故横截面上有剪应 力存在。 各横截面半径不变，所以剪应 力方向与截面径向垂直
解：传动轴的外力偶矩为：
P 80 M 9549 9549 1317.1N.m n 580
工作切应力的最大值：
3 T M 1317 . 1 10 3 39.58MPa [ ] 50MPa m ax 3 W p 0 . 2 d 0 . 2 55
强度足够！
带入数据后得：τ max＝50.33MPa<[τ ]＝60MPa;强度足够 2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工作切应力相等) 3、两轴重量比 T T 2 G A L D m ax ；即 实心轴 1 1 3 2 W 0 .2D P G空心轴 A2 L D d 2 6 T 1 . 5 10 D3 3 53 .03 mm 532 0 .2 m ax 0.250 .3 2 3.21 2 90 85
6 T 5 10 AB 48 . 83 MPa AB max 3 W . 2 80 AB 0
6 T 1 . 8 10 BC 72 MPa BC max 3 W . 2 50 BC 0
二、圆轴扭转的强度条件
1、圆轴扭转的强度条件
纯扭圆轴横截面切应力分布
d1
A
解： 1.外力
C
M e2
d2
圆轴扭转时的应力及强 度条件
一、圆轴扭转时的应力
1、扭转变形 平面假设：圆周扭转变形后各个横截面仍为平 面，而且其大小、形状以及相邻两截面之间的 距离保持不变，横截面半径仍为直线。
推断结论：
横截面上各点无轴向变形，故 横截面上没有正应力。
横截面绕轴线发生了旋转式的 相对错动，故横截面上有剪应 力存在。 各横截面半径不变，所以剪应 力方向与截面径向垂直
解：传动轴的外力偶矩为：
P 80 M 9549 9549 1317.1N.m n 580
工作切应力的最大值：
3 T M 1317 . 1 10 3 39.58MPa [ ] 50MPa m ax 3 W p 0 . 2 d 0 . 2 55
强度足够！
带入数据后得：τ max＝50.33MPa<[τ ]＝60MPa;强度足够 2、设计实心轴直径D1（两轴的最大工作切应力相等) 3、两轴重量比 T T 2 G A L D m ax ；即 实心轴 1 1 3 2 W 0 .2D P G空心轴 A2 L D d 2 6 T 1 . 5 10 D3 3 53 .03 mm 532 0 .2 m ax 0.250 .3 2 3.21 2 90 85
6 T 5 10 AB 48 . 83 MPa AB max 3 W . 2 80 AB 0
6 T 1 . 8 10 BC 72 MPa BC max 3 W . 2 50 BC 0
二、圆轴扭转的强度条件
1、圆轴扭转的强度条件
纯扭圆轴横截面切应力分布
d1
A
解： 1.外力
C
M e2
d2
工程力学-圆轴扭转变形分析
P=7.5kW,轴的转速n=80r/min。试选择实心圆轴的直径d和空心圆轴的外
径d 2。己知空心圆轴的内外径之比=d 1/d 2=0.8,许用扭转切应力 [τ]=40MPa。
解：（1）外力偶矩为
M e 9550 7.5 N m 895 .3 N m 80
（2）扭矩为 T = Me = 895.3N· m （3）实心圆轴直径 根据强度条件
各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布 规律如图
圆轴扭转时，最大切应力 max 发生在圆轴表面。当ρ=R 时，其值为：
TR T max Ip IP / R
令 Wp
Ip R
max
T Wp
Wp称为扭转截面系数，它表示截面抵抗扭转破坏的能 力，单位是（mm）3。
工程中承受扭转的圆轴通常采用实心圆轴和空心圆轴两种形
max
T 16T 3 Wp πd
16 T 3 16 895.3 d 3 m 0.048m 48mm 6 [ ] 3.14 40 10
（4）空心圆轴外径
根据强度条件
max
T 16T 3 4 Wp πd 2 (1 )
16 T 16 895.3 3 d2 m 4 6 4 [ ](1 ) 3.14 40 10 (1 0.8 )
3
0.058m 58m m
内径d 1=α×d 2= 0.8×58 mm = 46.4mm
（5）比较重量
在长度相等、材料相同的情况下，空心圆轴与实心圆 轴重量之比等于横截面面积之比，即
四、圆轴扭转时的强度 计算
圆轴的扭转的强度条件
max
Tmax Wp
名师讲义【赵堔】工程力学第9章扭转强度与刚度
d MTn x dx
GI p
AB 截面相对扭转角为：
l
d
l
MTn x dx
GI p
# 图示为变截面圆杆，A、B 两端直径分别为 d1、d2 。
从中取 dx 段，该段相邻两截 面的扭转角为：
d T dx
GI P (x)
AB 截面相对扭转角为：
d
T dx
L
L GI P ( x)
三、 扭转杆的刚度计算
圆管强度。
解：1. 计算扭矩作扭矩图
2. 强度校核
危险截面：截面 A 与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2π 2
27.9
MPa [
]
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m，
d
5、切应力的计算公式：
dA 对圆心的矩 → dAr0
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
T
2r0 2t
薄壁圆筒扭转时 横截面上的切应力计算式
二、关于切应力的若干重要性质
1、剪切虎克定律
为扭转角 r0 l
l
r0 即
l
做薄壁圆筒的扭转试验可得 T
纵轴 T——
T
2r02t
核轴的刚度 解：1. 内力、变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
讨论圆轴扭转时的应力状态
130一、讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。
解 根据第十九章讨论，圆轴扭转时，在横截面的边缘处剪应力最大，其数值为:n n W M=τ (e )在圆轴的最外层，按图22-5(a )，所示方式取出单元体ABCD ，单元体各面上的应力如图22-5(b )所示。
在这种情况下，ττσσ===xy y x ，0 （f ）单元体侧面上只有剪应力作用，而无正应力作用的这种应力状态称为纯剪切应力状态。
把(f )式代入公式(22-6)得:min maxσσ ττσσσσ±=+-±+=22)2(2xy y x y x 由公式（22-5）：yx xytg σστα--=220 →∞-所以 2709020--=或α450-=α 或 1350-=α以上结果表明，从x 轴量起，由 450-=α(顺时针方向)所确定的主平面上的主应力为max σ；而由 1350-=α所确定的主平面上的主应力为min σ。
按照主应力的记号规定：τσσστσσ-=====min 32max 10所以，纯剪切是二向应力状态，两个主应力的绝对值相等，都等于剪应力τ，但一个为拉应力，一个为压应力。
圆截面铸铁试件扭转时，表面各点max σ所在的主平面联成倾角为︒45的螺旋面[图22-5（a ）]。
由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏，如(a )(c ) 图22-5131图22-5（c ）所示。
二、 图22-6（a ）所示为一横力弯曲下的梁，求得截面m －n 上的弯矩M 及剪力Q 后，算出截面上一点A 处弯曲正应力和剪应力分别为：MPa MPa 50,70=-=τσ[图22-6（b ）]试确定A 点处的主应力及主平面的方位，并讨论同一横截面上其它点处的应力状态。
解 把从A 点处截取的单元体放大如图22-6（c ）所示。
选定x 轴的方向垂直向上，则0=x σ MPa y 70-=σ MPa xy 50-=τ由公式（22-5）得： 429.1)70(0)50(2220=----=--=yx xytg σστα︒=5520α或︒235 ︒=5.270α或︒5.117从x 轴量起，按逆时针方向量取的角度︒5.27，确定max σ所在主平面，以同一方向量取的角度,5.117︒确定min σ所在的另一主平面。
圆轴扭转应力计算公式
圆轴扭转应力计算公式在我们的力学世界里，圆轴扭转应力计算公式可是个相当重要的家伙！这就好比是打开机械工程大门的一把神秘钥匙。
想象一下，你手里拿着一根长长的圆轴，就像那种汽车传动轴，当它开始扭转转动的时候，内部就会产生应力。
而我们要搞清楚这应力到底有多大，就得依靠圆轴扭转应力计算公式。
这个公式是：τ = Tρ / Ip 。
其中，τ 表示的是扭转切应力，T 是扭矩，ρ 是所求应力的点到圆心的距离，Ip 则是极惯性矩。
先来说说扭矩 T 。
假设你正在拧一个巨大的螺丝，你使的那个劲儿就是扭矩。
扭矩越大，圆轴扭转时产生的应力也就越大。
比如说，在工厂里的大型机器中，那些传递巨大动力的轴，就得承受巨大的扭矩，所以对它们的材料和设计要求就特别高。
再看ρ ，也就是点到圆心的距离。
这就像是在圆轴这个大舞台上，离圆心越远的地方，应力就越大。
就好比在旋转木马的外圈，你感受到的离心力是不是比在内圈大多了？极惯性矩 Ip 呢，它反映了圆轴横截面抵抗扭转的能力。
横截面形状和尺寸不同，极惯性矩也就不同。
比如说，一根实心的圆轴和一根空心的圆轴，在相同的扭矩作用下，空心的可能因为极惯性矩小，而更容易产生较大的应力。
我记得有一次去工厂参观，看到工人们在检修一台大型的旋转设备。
工程师拿着图纸，嘴里不停地念叨着圆轴扭转应力的计算数值，然后指挥着工人更换某个部件。
我凑过去一看，原来那个部件所在的圆轴位置，由于长期承受较大的扭矩和应力，已经出现了细微的裂纹。
如果不及时更换，可能会导致整个设备出现故障，影响生产进度。
在实际的工程应用中，圆轴扭转应力计算公式可帮了大忙。
从汽车的传动轴，到飞机发动机的轴，再到大型船舶的螺旋桨轴，都得依靠这个公式来确保它们在工作时能够安全可靠地运转。
所以啊，别小看这个公式，它虽然看起来有点复杂，但却是机械工程领域中不可或缺的重要工具。
我们通过它，能够更好地设计和制造各种机械部件，让我们的生活变得更加便捷和高效。
总之，圆轴扭转应力计算公式就像是一位默默守护着机械世界的卫士，时刻保障着各种旋转设备的正常运行。
圆轴扭转时的应力与变形
τp = M n ρ/I P
(6-2)
τ 式中， p 为横截面上距圆心 ρ 处的切应力(MPa);Mn为横截面上
的扭矩(N·m); ρ 为横截面上任一点距圆心的距离(mm); IP为横
τ max
Mn o
ρ
Mn o
τ max 截面的极惯性矩，它表
示截面的几何性质，它 的大小与截面形状和尺
a) b)
图6-6 若令Wn=IP/R,则
φ = M n l /( GI P )
(6-9)
GI 式中， P 越大，在相同的扭矩作用下扭转角φ 越小，因此，
它表示圆轴抵抗扭转变形的能力，故 GI P称为抗扭刚度。
为消除轴长度的影响，工程上常采用单位长度上的扭角
θ
来表示，即
θ = φ / l = M n /(GI P )
(6-10)
式(6-10)中θ 的单位为弧度/米(rad/m)，工程实际中常用度/ 米(°/m)来表示，故此式可改为
≈ 0.2 D 3 (1 − a 4 )
(6-7)
例6-3 已知空心轴的外径D =32mm，内径d =24mm，两端受 力偶矩M =156N·m作用，试计算轴横截面上的最大切应力τ max 。 解 (1)计算扭矩 用截面法可求得轴横截面上的扭矩为
Mn = M =156N·m
(2)计算抗扭截面系数Mn
I P = πD 4 / 32 − πd 4 / 32
= πD 4 [1 − (d / D ) 4 ] / 32
或
I P = πD 4 (1 − a 4 ) / 32 ≈ 0.1D 4 (1 − a 4 )
(6-6)
抗扭截面系数 Wn = 2 I P / D = πD 3 (1 − a 4 ) / 16
工程力学基础课件：第7章 圆轴扭转时的应力变形分析及强度和刚度设计
实心圆截面
空心圆截面
薄壁圆环截面
t/R0<1/10
I p
d 2 23d D4
0
32
I
p
D4
32
(1
4)
I p R02 dA 2R03t
WT
D4
D
/ 32 2
D3
16
WT
I p D3 (1 4 )
D 2 16
WT
Ip R0
2R02t
例：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模
3. 静力学关系
G
G
d
dx
静力等效原理（合力矩定理）
分力系：分布于横截面上的剪应力
合力系：扭矩MT
A ( dA) MT
G
G
d
dx
MT
A ( dA)
(G d dA) G d
A dx
dx
2dA
A
引入记号
Ip
2dA
A
WT
Ip R
G
d
dx
G
MT GI p
max
MT R Ip
MT Ip /R
dx
扭转圆轴时横截面上距离圆心 处的剪应变
2. 物理关系
对线性弹性材料，根据剪切胡克定律，在弹性范围内有
G
G
d
dx
tan 1 G
O
推论一：圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的剪应力， 而无正应力。
推论二：横截面上各点剪应变与该点到轴心的距离成正比。
推论三：横截面上各点剪应力与该点到轴心的距离成正比。
d MT
dx GI p
MT
Ip
max
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扭转变形一般公式
d
dx
T GIp
d T dx
GIp
T dx l GIp GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度
常扭矩等截面圆轴
Tl
GIp
圆轴扭转刚度条件
d
dx
T GIp
T GI p
max
[
]
圆轴扭转刚度条件
[ ]－单位长度的许用扭转角
max
T Wp
Wp
Ip R
－抗扭截面系数
公式的适用范围：圆截面轴；max≤p
圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面 d
D
Ip
πD4 32
1 4
Wp
Ip D
πD3 16
1 4
2
圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数
实心圆截面 0
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1 ()/m
注意单位换算:
1
rad
/
m
180 π
(
)/m
圆轴扭转刚度条件 利用刚度条件可以进行三类计算：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸：
max [ ]
T
Ip
max
G[ ]
③ 计算许可载荷： T max GI p[ ]
例题
提问
• 切应力互等定理 • 薄壁圆筒横截面上切应力公式 • 剪切胡克定律
§4 圆轴扭转横截面上的应力
扭转试验与假设 扭转应力分析 极惯性矩与抗扭截面系数 例题
扭转试验与假设
从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面 试验现象一
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动 当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变
I
p
πd 4 32
Wp
πd 3 16
例题
例 4-1 已知MC= 2MA= 2MB=200N·m；AB段，d=20mm； BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。
解：
T1 M A
Wp
πd 3 16
1,max
T1 Wp
1,max
16M A πd 3
63.7MPa
T2 MC
2,max
T2 Wp
di do
Wp
πdo3 16
1 4
2,max
16 M C
πd03 (1
4
)
74.9MPa
§5 圆轴扭转强度与合理设计
扭转失效与扭转极限应力 圆轴扭转强度条件 圆轴合理强度设计 例题
扭转失效与极限应力
扭转失效形式
解：1. 扭矩分析
2. 强度校核 危险截面：截面 A与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2πR02d
2
2
2πR02d 2
27.9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MPa [
]
§6 圆轴扭转变形与刚度计算
圆轴扭转变形 圆轴扭转刚度条件 例题
圆轴扭转变形
塑性材料
屈服
断裂
脆性材料
断裂
扭转极限应力
圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力－扭转屈服应力 圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力－扭转强度极限
扭转屈服应力s ，扭转强度极限b －扭转极限应力u
圆轴扭转强度条件
为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的 最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力
max [ ]
π(1 4)[
]
76.3
mm
di do 68.7mm
取：do 76 mm， di 68 mm 3. 重量比较
π 4
(do2
di2
)
πd2
39.5%
4
空心轴远比 实心轴轻
例 5-2 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别
为 d1 5 mm，d2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， [] 50 MPa，试校核圆管强度。
d
dx
2
T2 GIp
因 T1 T2
故
d
dx
max
d
dx
1
T1 GIp
d
dx
max
(80109
180 Nm Pa)(3.0105
10-12m4
180 )π
例 6-1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC =
140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 ()/m 。AC=? ，校核轴的刚度。
解：1. 变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
max
T Wp
T πd 3
16
T πd
3
[
]
16
d
3
16T
π[ ]
3
16(1.5103Nm) π(50106Pa)
0.0535
m
取： d 54 mm
2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
πdo3 16
14
16T [ ]
π 16
do3
(1
4)
do
3
16T
试验现象二
扭转平面假设 各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动
dx
d
ab
a'
c
c'
b'
d
d'
d
dx
G
d
dx
A dA T
dx
d
ab
a'
c
c'
b'
d
d'
T
Ip
Ip
2dA
A
－极惯性矩
T
Ip
max
TR T Ip Ip R
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
BC
T2l GIp
1.1710-2
rad
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
2. 刚度校核
d T1
dx 1 GIp
变截面或变扭矩圆轴:
max
T
Wp
max
等截面圆轴:
max
Tmax Wp
[ ] u
n
u－材料的扭转极限应力
n - 安全因数
危险点处于纯剪切状态，又有
塑性材料：[] =（0.5~0.577）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
圆轴合理截面
1. 合理截面形状
空心截面比 实心截面好
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
若 Ro/d 过大
将产生皱褶
注意减缓 应力集中
例题
例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
d
dx
T GIp
d T dx
GIp
T dx l GIp GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度
常扭矩等截面圆轴
Tl
GIp
圆轴扭转刚度条件
d
dx
T GIp
T GI p
max
[
]
圆轴扭转刚度条件
[ ]－单位长度的许用扭转角
max
T Wp
Wp
Ip R
－抗扭截面系数
公式的适用范围：圆截面轴；max≤p
圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面 d
D
Ip
πD4 32
1 4
Wp
Ip D
πD3 16
1 4
2
圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数
实心圆截面 0
一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1 ()/m
注意单位换算:
1
rad
/
m
180 π
(
)/m
圆轴扭转刚度条件 利用刚度条件可以进行三类计算：
① 校核刚度： ② 设计截面尺寸：
max [ ]
T
Ip
max
G[ ]
③ 计算许可载荷： T max GI p[ ]
例题
提问
• 切应力互等定理 • 薄壁圆筒横截面上切应力公式 • 剪切胡克定律
§4 圆轴扭转横截面上的应力
扭转试验与假设 扭转应力分析 极惯性矩与抗扭截面系数 例题
扭转试验与假设
从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面 试验现象一
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动 当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变
I
p
πd 4 32
Wp
πd 3 16
例题
例 4-1 已知MC= 2MA= 2MB=200N·m；AB段，d=20mm； BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。
解：
T1 M A
Wp
πd 3 16
1,max
T1 Wp
1,max
16M A πd 3
63.7MPa
T2 MC
2,max
T2 Wp
di do
Wp
πdo3 16
1 4
2,max
16 M C
πd03 (1
4
)
74.9MPa
§5 圆轴扭转强度与合理设计
扭转失效与扭转极限应力 圆轴扭转强度条件 圆轴合理强度设计 例题
扭转失效与极限应力
扭转失效形式
解：1. 扭矩分析
2. 强度校核 危险截面：截面 A与 B
A
TA
2πR02d1
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2πR02d
2
2
2πR02d 2
27.9
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
MPa [
]
§6 圆轴扭转变形与刚度计算
圆轴扭转变形 圆轴扭转刚度条件 例题
圆轴扭转变形
塑性材料
屈服
断裂
脆性材料
断裂
扭转极限应力
圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力－扭转屈服应力 圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力－扭转强度极限
扭转屈服应力s ，扭转强度极限b －扭转极限应力u
圆轴扭转强度条件
为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的 最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力
max [ ]
π(1 4)[
]
76.3
mm
di do 68.7mm
取：do 76 mm， di 68 mm 3. 重量比较
π 4
(do2
di2
)
πd2
39.5%
4
空心轴远比 实心轴轻
例 5-2 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别
为 d1 5 mm，d2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， [] 50 MPa，试校核圆管强度。
d
dx
2
T2 GIp
因 T1 T2
故
d
dx
max
d
dx
1
T1 GIp
d
dx
max
(80109
180 Nm Pa)(3.0105
10-12m4
180 )π
例 6-1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC =
140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 ()/m 。AC=? ，校核轴的刚度。
解：1. 变形分析
T1 MA 180 N m
AB
T1l GIp
max
T Wp
T πd 3
16
T πd
3
[
]
16
d
3
16T
π[ ]
3
16(1.5103Nm) π(50106Pa)
0.0535
m
取： d 54 mm
2. 确定空心圆轴内、外径
Wp
πdo3 16
14
16T [ ]
π 16
do3
(1
4)
do
3
16T
试验现象二
扭转平面假设 各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动
dx
d
ab
a'
c
c'
b'
d
d'
d
dx
G
d
dx
A dA T
dx
d
ab
a'
c
c'
b'
d
d'
T
Ip
Ip
2dA
A
－极惯性矩
T
Ip
max
TR T Ip Ip R
1.5010-2
rad
T2 MC 140 N m
BC
T2l GIp
1.1710-2
rad
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
2. 刚度校核
d T1
dx 1 GIp
变截面或变扭矩圆轴:
max
T
Wp
max
等截面圆轴:
max
Tmax Wp
[ ] u
n
u－材料的扭转极限应力
n - 安全因数
危险点处于纯剪切状态，又有
塑性材料：[] =（0.5~0.577）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
圆轴合理截面
1. 合理截面形状
空心截面比 实心截面好
2. 采用变截面轴与阶梯形轴
若 Ro/d 过大
将产生皱褶
注意减缓 应力集中
例题
例 5-1 已知 T=1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。
解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]