北师大版八年级上册第二章实数小结与复习
北师大版 八年级上册初二数学第2章《实数》小结与复习ppt课件
二次根式相加时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将 被开方数相同的二次根式进行合并.
二次根式的减法
（化成最简二次根式）
（分配律）
分析上面计算 18 8 的过程，可以看到，把 18和 8 化 成最简二次根式 3 2 和 2 2 后，由于被开方数相同（都是2）， 可以利用分配律将 2 2 和 3 2 进行合并.7,,0,5 , 2
5,
2,
3 8,
0.3737737773
5 1 , , 4 2
4 , 9
（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）
3 8,
3
2,
7,
,
2,
20 , 3
0,
5,
0.3737737773
有理数集合
无理数集合
一、本章知识结构图
二次根式
二 次 根 式 的 化 简 与 运 算
B 分数
C 有理数
D 无理数
6、 (A)
的平方根是（D ） (B) (C) 5 (D)
7、下列运算正确的是( D
)
练习：
1.化简：
1
2 5 xy
2
3 12
3 2
2.化简:
（ 1） （ 3）
1 1 4 288 72 x
（ 2） （ 4）
49 121 4y
225 16ab c
3
2 = 2 ______ . 5 5
一般地，对二次根式的除法规定
二次根式的加法
（化成最简二次根式） （分配律）
分析上面计算 8＋ 18 的过程，可以看到，把 8 和 18 化成最简二次根式 2 2 和 3 2 后，由于被开方数相同（都是 2），可以利用分配律将 3 2和 2 2 进行合并.
北师大版八年级上第二章实数全章复习知识点总结与各考点习题
第二章：实数本章的知识网络结构：知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：4.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；4.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
4.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
201X秋八年级数学上册第二章实数单元小结与复习习题课件(新版)北师大版
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【精品】新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
b
（ 2）若 a＞ b，则 3 a 3 b或 a3 b3
（ 3）若 a、 b 都为正数，且 a＞ b 时，则 a2＞ b2
例：通过估算比较下列各组数的大小
比较两个数的大小：
方法一：估算法。如 3＜ 10 ＜ 4
3.14 C 、 27 9 3 D 、 5 3 2
（ 3） ( 3) 2 的算术平方根是
。（ 4）若 x
x 有意义，则 x 1 ___________。
（ 5）已知△ ABC的三边分别是 a, b,c, 且 a, b 满足 a 3 (b 4) 2 0 ，求 c 的取值范围。
（ 6）（提高题）如果 x、 y 分别是 4－ 3 的整数部分和小数部分。求 x － y 的值 .
（ 1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（ 2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为
1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（ 1）下列各数： ① 3.141 、② 0.33333 ,, 、③
5
7 、④π 、⑤
2.25 、⑥
2
、⑦ 0.3030003000003 ,,
平方根：
1. 定义：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2
a ，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根；，我们称 x 是 a 的平方 （也
叫二次方根） ，记做： x
a (a 0)
2. 性质：（ 1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；
（2） 0 只有一个平方根，它是 0 本身； （ 3）负数没有平方根
根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：
示为： a 。
例：（ 1）下列说法正确的是
（）
北师大版八年级数学上册第二章实数复习(1)
八年级数学 第二章复习（1） 【复习回顾】 知识点一：实数包括: 和 。
有理数： 和 统称有理数；无理数： 叫无理数。
三种形式： . 知识点二：1.二次根式：一般的，我们把形如 (a )的式子叫做二次根式。
2.( )2= (a≥0)； 2a a= 。
3.积的算术平方根的性质： ，公式 。
二次根式的乘法法则： ，公式 。
4.商的算术平方根的性质: ，公式 。
二次根式的除法法则: ，公式 。
课前练习：1.一个正数有 个平方根，他们互为 ；0 的平方根为 ；负数 。
一个数有 个立方根；正数的立方根是 ；负数的立方根是 。
0的立方根是 。
平方根等于它本身的数是 ；立方根等于它本身的数是 。
2.—27 的立方根为______；16 的平方根为______,3.求3π-= ，62-= 。
4.比较大小：【课堂学习内容】 例题1.把下列数分别填入相应的集合内：722，0，38-，2π，3.14，925-，•74.2，33， 372015.1，4.0，0-）（π，2-21）（。
有理数集合： 。
无理数集合： 。
负数集合： 。
非负整数集合： 。
分数集合： 。
练习：1.把下列各数分别填入相应的集合内：32-，41，7，π，25-，2，3205-，38-，94，0.3737737773 0无理数集合： 。
整数集合： 。
分数集合： 。
例题23 1.5O 52133-O(1) 818-18+ (2) 361-24÷）（ (3)2716133⨯练习2：(1)2（232.校园里有旗杆高11米，如果想要在旗杆顶部点A 与地面一固定点B 之间拉一根直的铁丝，小强已测量固定点B 到旗杆底部C 的距离是8米，小军已准备好一根长12.3米，你认为这一次长度够用吗？课堂检测：1.81的算术平方根是（ ）A ．9 B.－9 C. ±9 D. 32. 下列说法正确的是（ ）A. 有理数只是有限小数B. 无理数是无限小数C. 无限小数是无理数D. 是分数3.-27 的立方根为______,16 的平方根为______,4.若一个正数的平方根是2a ＋1和3a ＋6，则a=____，这个正数是 ；5、（1）18212-2⨯）（ （2） 32712-327-12⨯A CB6.已知实数a 、b 在数轴上的位置如图．化简：．上交作业1. 下列说法正确的是（ ）A.064.0-的立方根是0.4B.9-的平方根是3±C.16的立方根是316D.0.01的立方根是0.0000012.10的小数部分可以表示为 .3.64______38______．4. ①1(6215)362 ②246+③6.观察下列各式及其验证过程：222233=+验证：()3322222222233213-+===+- ()3323333333388318-+===+-（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415（2）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并证明它成立．20162015767-6•=。
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点和习题
“ 64； ； 0.0004； (－25)2；11.北师大版八年级数学上册第二章实数知识点和习题北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题实数知识点知识点一、【平方根】如果一个数 x 的平方等于 a ，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；也即，当 x 2 = a(a ≥ 0) 时，我们称 x 是 a 的平方根，记做： x = ± a (a ≥ 0) 。
因此：1、当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是 0 本身；2、当 a ＞0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做： x = ± a 。
3、当 a ＜0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。
例 1.（1）的平方是 64，所以 64 的平方根是 ；（2）的平方根是它本身。
（3）若 x 的平方根是±2，则 x= ； 16 的平方根是（4）当 x时， 3－2 x 有意义。
（5）一个正数的平方根分别是 m 和 m-4，则 m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x 2 = a ，那么，这个正数x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“ a ”，读作， 根号 a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0 的算术平方根仍然为 0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即： a ≥ 0(a ≥ 0) 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：±a 。
例 2.（1）下列说法正确的是（ ）A ．1 的立方根是 ± 1 ；B ． 4 = ±2 ； （C ）、 81 的平方根是 ± 3 ；（ D ）、0 没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A 、 81 = ±9B 、 3.14 - π = π - 3.14C 、 - 27 = -9 3D 、 5 - 3 =（3） (-3) 2 的算术平方根是。
北师大版 八年级上册 第二章《实数复习》 说课稿
北师大版八年级上册第二章《实数复习》说课稿一. 教材分析北师大版八年级上册第二章《实数复习》是学生在学习了实数相关概念和性质后的一次复习。
本节课的主要内容是回顾和巩固有理数、无理数和实数的概念，以及它们的性质和运算。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握实数的运算规则，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在进入八年级之前，已经学习了有理数和无理数的基本概念和性质，对实数有一定的了解。
但在实际应用中，部分学生可能对实数的理解和运算还存在一定的困难。
因此，在复习实数时，需要帮助学生巩固基础知识，提高运算能力，并培养解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过复习，使学生掌握实数的概念和性质，能够熟练进行实数的运算。
2.过程与方法：通过自主学习和合作交流，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，提高学生的自我学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：实数的概念、性质和运算规则。
2.教学难点：实数运算的灵活应用，以及解决实际问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用自主学习、合作交流和教师引导相结合的教学方法。
利用多媒体课件和黑板，帮助学生直观地理解和掌握实数的运算规则。
同时，通过小组讨论和例题讲解，引导学生主动参与学习，提高解决问题的能力。
六. 说教学过程1.导入：通过复习有理数和无理数的概念，引出实数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：讲解实数的性质和运算规则，通过例题和练习题，让学生理解和掌握实数的运算方法。
3.课堂练习：设计一些有关实数运算的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4.小组讨论：引导学生分组讨论实际问题，培养学生解决问题的能力。
5.总结：对本节课的主要内容进行总结，强调实数运算的注意事项。
6.布置作业：布置一些有关实数运算的练习题，让学生课后巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计主要包括实数的概念、性质和运算规则。
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第二章：实数知识梳理【无理数】1.定义：无穷不循小数的小数叫做无理数；注：它必足“无穷”以及“不循” 两个条件。
2.常有无理数的几种种类：（ 1）特别意的数，如：周率以及含有的一些数，如：2-， 3等；（ 2）特别构的数（看似循而不循）：如： 2.010010 001 000 01⋯（两个 1 之挨次多 1 个0）等。
（3）无理数与有理数的和差果都是无理数。
如：2-是无理数（ 4）无理数乘或除以一个不0 的有理数果是无理数。
如 2 ,（ 5）开方开不尽的数，如:2,5,39等；当要注意的是：根号的数不必定是无理数，如：9 等；无理数也不必定根号，如：）3.有理数与无理数的差别：（1）有理数指的是有限小数和无穷循小数，而无理数是无穷不循小数；（ 2）全部的有理数都能写成分数的形式（整数能够当作是分母 1 的分数），而无理数不可以写成分数形式。
例：（ 1）以下各数：① 3.141 、② 0.33333 ⋯⋯、③57 、④π、⑤2.25、⑥2、⑦ 0.3030003000003 ⋯⋯3（相两个 3 之 0 的个数逐次增添 2）、此中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（ 2）有五个数 :0.125125⋯ ,0.1010010001 ⋯ ,-, 4, 32此中无理数有 ()个【算平方根】：1. 定义：假如一个正数x 的平方等于 a，即x2 a ，那么，个正数x 就叫做 a 的算平方根，：“ a ”，作，“根号a”，此中，a称被开方数。
比如32=9，那么9 的算平方根是3，即9 3。
特地， 0 的算平方根是0，即0 0 ，数没有算平方根2. 算术平方根拥有两重非负性：（1）若a存心，被开方数 a 是非数。
（ 2）算平方根自己是非数。
3.算术平方根与平方根的关系：算平方根是平方根中正的一个，它与它的相反数共同组成了平方根。
所以，算平方根只有一个，而且是非数，它只表示：a；而平方根拥有两个互相反数的，表示： a 。
2022年八年级数学上册 第二章 实数知识点归纳 (新版)北师大版
（4）某些三角函数值，如sin60o等；
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
示的数大。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 。
（5）平方法：
① 设 ，则
② 设 ，则 。
③ 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。
第二章 实数
1.无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
一、实数的概念及分类
1、实数的分类
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如 等根号a（a为非完全平方数或非立方数）。
（2）有特定意义的数，如圆周率π（π=3.14159265…)，或化简后含有π的数，如 +8等；
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
实数2 a a 知识点一、【平方根】假如一个数 x 的平方等于 a，那么，这个数 x 就叫做 a 的平方根；也即，当( 0)x 时，我们称 x 是 a 的平方根，记做：x a(a 0)。
所以：1、当 a=0 时，它的平方根只有一个，也就是 0 自己；2 、当 a＞0 时，也就是 a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，往常记做：x a 。
3 、当 a＜0 时，也即 a 为负数时，它不存在平方根。
例 1.〔1〕的平方是 64 ，所以 64 的平方根是；〔2 〕的平方根是它自己。
〔3 〕假定x 的平方根是± 2，那么 x= ；16 的平方根是〔4 〕当 x 时，3－2x 存心义。
〔5 〕一个正数的平方根分别是 m 和 m-4 ，那么 m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二、【算术平方根】：2 1、假如一个正数 x 的平方等于 a，即x a ，那么，这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为：“a 〞，读作，“根号 a〞，此中， a 称为被开方数。
特别规定： 0 的算术平方根仍旧为 0 。
2、算术平方根的性质：拥有两重非负性，即：a 0(a 0) 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同组成了平方根。
所以，算术平方根只有一个值，而且是非负数，它只表示为：a ；而平方根拥有两个互为相反数的值，表示为：a 。
例 2.〔1〕以下说法正确的选项是〔〕A ．1 的立方根是1；B．4 2 ；〔C〕、81 的平方根是3；〔 D〕、0 没有平方根；〔2〕以下各式正确的选项是〔〕A 、81 9 B、3.14 3. 14 C、27 9 3 D、5 3 2〔3〕 2( 3) 的算术平方根是。
〔4〕假定x x 存心义，那么x 1 ___________ 。
2〔5〕△ABC 的三边分别是a, b, c, 且a,b 知足a 3 (b 4) 0，求 c 的取值范围。
2019年北师大版八年级数学上册2019年北师大版八年级数学上册第二章小结与复习课件课件
12.实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图所示，则 它们从小到大的顺序是 c<d<b<a .
c
d 0 ba
其中：
a b a+b
cb b-c
d c -d-c
a d a-d
16 25 4 5 20
5. (5)2 的平方根是（ D ）
A. 5 B. -5
C. 5
D. 5
6.下列运算正确的是( D )
A. 3 1 3 1
B. 3 3 3 3
C. 3 1 3 1
D. 3 1 3 1
7.已知一个正方形的边长为 a 面积为 S,则( C )
4.绝对值（到原点的距离） a（a>0)
① |a|= 0（a=0） |a|为非负数，即|a|≥0 -a（a<0）
②非负数形式有：|a|； a2； a2 ； a
5.实数的大小比较 ①利用数轴（右边的数总比左边大） ②作差与0比 ③作商与1比
二 平方根与立方根
正数a的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根
平方根的性质 一个正数有两个平方 根；0只有一个平方 根，它是0本身； 负数没有平方根.
开立方的定义 求一个数a的立方根的 运算，叫做开立方，其 中a叫做被开方数 如：求8的立方根
立方根的性质
正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0.
三 二次根式
1、定义：形如 a(a≥0) 的式子叫做二次根式，
第二章 实数
小结与复习
知识构架
知识梳理
当堂练习
课后作业
知识构架
实数
平方根与 立方根
北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题
实数知识点知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； （C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
北师大版八年级上册数学北师大版八年级上册数学第二章小结与复习
②非负数形式有：|a|； a2； a2 ； a
5.实数的大小比较 ①利用数轴（右边的数总比左边大） ②作差与0比 ③作商与1比
二 平方根与立方根
正数a的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根
0的算术平方根是0 ，即 0 0
算术平方根的意义：
另解：直接由正负决定-2+ 5＞-2+ 3.
12.实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图所示，则 它们从小到大的顺序是 c<d<b<a .
c
d 0 ba
其中：
a b a+b
cb b-c
d c -d-c
a d a-d
13.2003年6月1日9时，举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水， 首批4台组率先发电，预计年内可发电55 000 000 000度， 这个数用科学记数法表示，记为 5.5×1010 .
一个正数有两个平方
根；0只有一个平方
根，它是0本身； 负数没有平方根.
1 开立方的定义 求一个数a的立方根的 运算，叫做开立方，其 中a叫做被开方数 如：求8的立方根
2 立方根的性质
正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0.
三 二次根式
1、定义：形如 a(a≥0) 的式子叫做二次根式，
A. S a
B. S的平方根是a
C. a是S的平方根 D. a S
8.9的算术平方根是 3 ; 9.(-5)3的立方根是 -5 ; 10.10-2的平方根是 ±0.1 ;
11.比较大小： 2 5 与 2 3
解：∵(-2+ 5)-(-2+ 3)=-2+ 5+2- 3= 5 - 3＞0, ∴ -2+ 5 ＞-2+ 3.
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知识模块二 典例引路 全面复习
自主探究
能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致 范围呢？a究竟是多少？
例：(1) 25的算术平方根是________； (2)若 x2＝3，则 x＝________； (3)若 a的平方根是±2，则 a＝________； (4) 82＝________， （－7）2＝________．
第二章 实数 本章复习小结
情景导入 生成问题
知识结构体系框图：
定义
平方根（算术平方根） 性质
定义
求法
立方根 性质
实
求法
整数
有理数
数 实数
分数
无理数
估算（用计算器开方）
二次根式
二次根式的概念及性质 二次根式的四则运算
自学互研 生成能力
知识模块一 知识清单 加深理解 1．平方根的求法
对于平方根的求法，一定要看清所给数的形式．
2 立方根的性质
正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0.
二次根式
1、定义：形如 a (a≥0) 的式子叫做二次根式，
其中a叫做被开方数. 2、性质： ⑴积的算术平方根：等于算术平方根的积；
ab a b a≥0,b≥0
⑵商的算术平方根：等于算术平方根的商；
a a a≥0,b＞0
当当a＝a＝3＋31＋1 2＝2＝3－3－2时2时，，原原式式＝＝2(2(3－3－2)2＝)＝2 23－3－2 22.2.
深度归纳
实数
正整数（自然数）
1.实数的分类
整数 零 负整数
实 数
有理数（有限或无限循环小数） 分数
正分数 负分数
无理数（无限不循环小数）正无理数
负无理数
正实数 或 实数 零
负实数
(1)只有化简后被开方数相同，才能将它们进行合并． 如 2＋ 3≠ 5，因为它们本身就是最简二次根式， 并且被开方数也不相同，不能直接把被开方数相加．
(2)有一种形式的二次根式的除法运算不能运用分配律． 如： 6÷( 2＋ 3)≠ 6÷ 2＋ 6÷ 3； 而( 2＋ 3)÷ 6＝ 2÷ 6＋ 3÷ 6. 这两种形式要认真理解才能算准确．
如：求 81的平方根不能认为是±9.因为 81＝9，其 实就是求 9 的平方根，所以 81的平方根应该是±3.
2．实数的分类
(1)并不是所有的带根号的数都是无理数． 如： 4＝2，它是有理数．
(2)无限循环小数不能认为是无理数． 如：0.3＝13，它是分数，是有理数而不是无理数．
3．二次根式的运算
若 x2 a ，则x叫a的平方根,即 x a
类比
当 x3 a，则x叫做什么呢？
x叫a的立方根 即：
x3 a
1 开平方的定义
类比
求一个数a的平方根的运 算，叫做开平方，其中a
叫做被开方数
如：求9的平方根 2 平方根的性质
一个正数有两个平方
根；0只有一个平方
根，它是0本身； 负数没有平方根.
1 开立方的定义 求一个数a的立方根的 运算，叫做开立方，其 中a叫做被开方数 如：求8的立方根
分析：(1)先求 25＝？再求？的算术平方根； 25＝5，5 的 算术平方根是 5； (2)由 x2＝3，可得 3 是 x2 的算术平方根，所以 x2＝9，即可 求出 x＝±3；
(3)由 a的平方根是±2，可得 a＝4，即可求 a＝16；
(4)先算出 82，(－7)2 的值，再求它们的算术平方根，即 82 ＝8， （－7）2＝7.
bb
3、最简二次根式 ：
满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式 ：
⑴被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；例如：54
⑵被开方数不能含有分母； 例如：1 2
⑶分母不能含有根号. 例如：1 3
注意：二次根式的化简与运算，最后结果应 化成最简二次根式.
4、二次根式的运算 ：
⑴二次根式的加减：类似合并同类项 ；
变例：比较 138－3与18的大小．
分析：本题利用估算法，其基本思路是设a、b为任意两个正 实数，先估算出a、b两数或两数中某个数的取值范围，再进 行比较．
解：∵3＜ 13＜4，
∴0＜ 13－3＜1， ∴ 138－3＜18.
仿例：已知 a＝
1 3＋
，求 2
a－1a3＋4－
a＋1a2－4的值．
分析：先化简二次根式，要保证被开方数开出来结果的正确性，
例如：2 2 3 2= 2 3 2=5 2
⑵二次根式的乘法 ：
注意平方差公
a b ab a≥0,b≥0 式与完全平方
⑶二次根式的除法 ：
公式的运用！
a a a≥0,b＞0
bb
(4)二次根式的乘方 ： a 2 a(a≥0)
这与 a＋1a和 a－1a的结果有直接的关系．
解：∵a＝
1 3＋
＝ 2
பைடு நூலகம்
3－
2，1a＝
3＋
2，
∴a＋1a＞0，a－1a＝( 3－ 2)－( 3＋ 2)＝－2 2＜0.
原式＝ a2－2＋a12＋4－ a2＋2＋a12－4＝ a＋a12－ a－1a2＝a＋1a－1a－a
a2＋2＋a12－4＝ a＋a12－ a－1a2＝a＋1a－1a－a＝2a.
②非负数形式有：|a|； a2； a2 ； a
5.实数的大小比较 ①利用数轴（右边的数总比左边大） ②作差与0比 ③作商与1比
平方根与立方根
正数a的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根
0的算术平方根是0 ，即 0 0
算术平方根的意义：
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
平方根的定义：
注 0既不是正数，也 不是负数，但是整数
2.数轴 ①三要素: 原点、单位长度、正方向 ②与实数一一对应
3.相反数、倒数
a与-a b与 1
b
相反数的两数和为0（a与b互为相反数 a+b=0） 倒数的两数积为1（a与b互为倒数 ab=1）
4.绝对值（到原点的距离） a（a>0)
① |a|= 0（a=0） |a|为非负数，即|a|≥0 -a（a<0）