三、与冲激函数或阶跃函数的卷积.ppt
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阶跃函数和冲激函数
பைடு நூலகம்
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
控制系统的性能优化
阶跃函数用于测试控制系统的 性能，通过观察系统对阶跃输 入的响应速度和超调量，可以
评估系统的性能。
冲激函数可用于分析系统的 频率响应，了解系统在不同 频率下的性能表现，为系统
性能优化提供依据。
通过调整控制系统的参数，结 合阶跃函数和冲激函数的特性， 可以优化控制系统的性能指标。
控制系统的故障诊断与修复
在图形上，冲激函数看起来像一个非 常窄的矩形脉冲。
应用场景
在信号处理中，冲激函数常被 用作单位冲激信号，用于表示 某一事件的发生或开始。
在物理学中，冲激函数可以用 于描述瞬间作用或力的作用， 例如碰撞或冲击。
在电路分析中，冲激函数可以 用于描述电路中的瞬态响应或 冲激响应。
03
阶跃函数与冲激函数的 比较
05
阶跃函数和冲激函数在 控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
01
阶跃函数用于分析控制系统的稳定性，通过观察系统
对阶跃输入的响应，可以判断系统是否稳定。
02
冲激函数可用于分析系统的零点和极点，进一步确定
系统的稳定性。
03
通过计算系统的传递函数，结合阶跃函数和冲激函数
的性质，可以判断系统在不同频率下的稳定性。
阶跃函数和冲激函数可用于检测控制系统的故障，通过观察系统对输入信号的响应变化，可以判断系 统是否存在故障。
阶跃函数和冲激函数还可以用于定位故障，通过分析系统在不同输入下的响应特性，可以确定故障发生 的位置。
在故障诊断的基础上，可以利用阶跃函数和冲激函数的特性，制定相应的修复措施，恢复控制系统的正 常运行。
04
阶跃函数和冲激函数在 信号处理中的应用
信号的分离与提取
与冲激函数或阶跃函数的卷积
•两有限长序列的卷积和也是 有限长的序列
•序列长度---->序列值不为零的个数 •卷积和的序列长度＝两序列长度之和－1 L=L1+L2-1
三、列表法：卷积的数值计算
h(t)
f1(n) 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3
f2(n)
1 1 2 3
E(t)
1 1 2 3
四、解析法
证：
d d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 f 2 t d dt dt d d f1 ( ) f 2 (t )d f1 ( ) f 2 (t )d dt d (t ) d f1 (t ) * f 2 (t ) dt
r ( n)
k n
e(k )u(k )h(n k )u(n k )
k 0
e( k ) h ( n k )
(2)任意两个序列的卷积和
f (n) f1 (n) f 2 (n)
k
f (k ) f
1
2
(n k )
满足交换律、分配率、结合律
f1 (t ) * f 2 (t ) * (t t1 ) * (t t2 ) s(t ) * (t t1 t2 ) s(t t1 t2 )
（2）与冲激偶‘（t）的卷 积
卷积的微分性质
f (t ) * ' (t )
f ' (t ) * (t ) f ' (t )
*
＝
*
t0
＝
t0
*
t1 t2
＝
t1+ t2
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
第 10 页
对t>0时，有 时
h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
微分方程的特征根为– ， 微分方程的特征根为 2， – 3。故系统的冲激响应为 。 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0 代入初始条件 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 ， 求得C ， 求得 1=3，C2= – 6, 所以 h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得 结合式 得 h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)
lim
∆→0
∞
ˆ f (t) = f (t ) = ∫
∞ −∞
f (τ )δ (t −τ ) d τ
第 任意信号作用下的零状态响应
f (t) 根据h(t)的定义： 的定义： 根据 的定义 由时不变性： 由时不变性：
∞
LTI系统 LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
3 .卷积积分的定义 卷积积分的定义
已知定义在区间（ 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数 1(t) ， ）上的两个函数f 和f2(t)，则定义积分 ，
∞
f (t) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t −τ )dτ
−∞
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 卷积； 与 的卷积积分，简称卷积 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的 为积分变量 下进行的， 为积分变量， 注意：积分是在虚设的变量 下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为 的函数。 为参变量。 为参变量 结果仍为t 的函数。
对t>0时，有 时
h”(t) + 6h’(t) + 5h(t) = 0
微分方程的特征根为– ， 微分方程的特征根为 2， – 3。故系统的冲激响应为 。 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0 代入初始条件 h(0+) = – 3， h’(0+) =12 ， 求得C ， 求得 1=3，C2= – 6, 所以 h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得 结合式 得 h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t)ε(t)
lim
∆→0
∞
ˆ f (t) = f (t ) = ∫
∞ −∞
f (τ )δ (t −τ ) d τ
第 任意信号作用下的零状态响应
f (t) 根据h(t)的定义： 的定义： 根据 的定义 由时不变性： 由时不变性：
∞
LTI系统 LTI系统 零状态
yzs(t) h(t) h(t -τ) f (τ) h(t -τ)
3 .卷积积分的定义 卷积积分的定义
已知定义在区间（ 已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数 1(t) ， ）上的两个函数f 和f2(t)，则定义积分 ，
∞
f (t) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t −τ )dτ
−∞
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 卷积； 与 的卷积积分，简称卷积 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的 为积分变量 下进行的， 为积分变量， 注意：积分是在虚设的变量 下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为 的函数。 为参变量。 为参变量 结果仍为t 的函数。
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积.ppt
R1 i t
C
L
iL 0
et
vc 0
R2
第2章 连续系统的时域分析
(1)零输入响应:此时令e(t)=0,系统在 t 0 时刻的等效
电路如下图所示.电路将在 作.
vc
0
和iL
0
的作用下工
R1
C
L
iL 0
vc 0
R2
第2章 连续系统的时域分析
根据上图系统满足微分方程
d2 dt 2
izi
0
2 3 2 0
第2章 连续系统的时域分析 解得特征根为
1 1, 2 2
所以，齐次解为
yc (t) c1e-t c2e-2t
由于f(t)=t2，因此，设特解为
yp (t) p2t2 p1t p0
将上式和f(t)=t2代入原系统微分方程，有
2 p2t 2 (2 p1 6 p2 )t (2 p0 3 p1 2 p2 ) 2t 2 2t
dt
给定0-状态起始值为r 0- ，确定它的0+状态r 0+ 。
第2章 连续系统的时域分析
设： d r t a ' t b t cu t （#）
dt
积分一次 0 t 0 得
r t a t but （*）
将（#）式和（*）式代入原方程
a ' t b t cu t 3a t bu t 3 ' t
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变，
因而有：
i 0+
=
1 R1
e 0+
vc
0+
1 1
4
6 5
14 5
A
d dt
i
C
L
iL 0
et
vc 0
R2
第2章 连续系统的时域分析
(1)零输入响应:此时令e(t)=0,系统在 t 0 时刻的等效
电路如下图所示.电路将在 作.
vc
0
和iL
0
的作用下工
R1
C
L
iL 0
vc 0
R2
第2章 连续系统的时域分析
根据上图系统满足微分方程
d2 dt 2
izi
0
2 3 2 0
第2章 连续系统的时域分析 解得特征根为
1 1, 2 2
所以，齐次解为
yc (t) c1e-t c2e-2t
由于f(t)=t2，因此，设特解为
yp (t) p2t2 p1t p0
将上式和f(t)=t2代入原系统微分方程，有
2 p2t 2 (2 p1 6 p2 )t (2 p0 3 p1 2 p2 ) 2t 2 2t
dt
给定0-状态起始值为r 0- ，确定它的0+状态r 0+ 。
第2章 连续系统的时域分析
设： d r t a ' t b t cu t （#）
dt
积分一次 0 t 0 得
r t a t but （*）
将（#）式和（*）式代入原方程
a ' t b t cu t 3a t bu t 3 ' t
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变，
因而有：
i 0+
=
1 R1
e 0+
vc
0+
1 1
4
6 5
14 5
A
d dt
i
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
第 4页
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
∫0
−
第 13 页
§2.6 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 信号的时域分解与 • 卷积的图解法
第 14 页
一、信号的时域分解与卷积积分
1．信号的时域分解 信号的时域分解
• 预备知识
f1(t)
问 f1(t) = ? p(t) 直观看出
p(t)
1 ∆
A
t
−
f1 (t) = A ∆ p(t)
−
∆ 2
δ (tห้องสมุดไป่ตู้)
h(t )
T {0}
第 2页
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程 阶微分方程表示 对于LTI系统,可以用一 阶微分方程表示 LTI系统
dn y(t) dt n bm + an−1 dn−1 y(t) d t n−1 +L+ a1 d y(t) + a0 y(t) = dt d f (t) + b0 f (t) dt
h′ (t) = C1e−t + C2e−3t δ (t) + − C1e−t − 3C2e−3t ε (t)
−t −3t 1 2 1 2
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
∫0
−
第 13 页
§2.6 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 信号的时域分解与 • 卷积的图解法
第 14 页
一、信号的时域分解与卷积积分
1．信号的时域分解 信号的时域分解
• 预备知识
f1(t)
问 f1(t) = ? p(t) 直观看出
p(t)
1 ∆
A
t
−
f1 (t) = A ∆ p(t)
−
∆ 2
δ (tห้องสมุดไป่ตู้)
h(t )
T {0}
第 2页
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程 阶微分方程表示 对于LTI系统,可以用一 阶微分方程表示 LTI系统
dn y(t) dt n bm + an−1 dn−1 y(t) d t n−1 +L+ a1 d y(t) + a0 y(t) = dt d f (t) + b0 f (t) dt
h′ (t) = C1e−t + C2e−3t δ (t) + − C1e−t − 3C2e−3t ε (t)
−t −3t 1 2 1 2
matlab中阶跃函数算卷积,与冲激函数、阶跃函数的卷积.ppt
matlab中阶跃函数算卷积,与冲激函数、阶跃函数的卷积.ppt 与冲激函数、阶跃函数的卷积信号与系统总 复 习 第⼀章 绪论 1、信号的概念 2、分类：典型的连续时间信号： 指数、正弦、复指数、抽样、钟形、δ(t), u(t), eat,sin(ω0t), Sa(kt) 3、信号的运算： 移位、反褶、尺度变换、微分运算、相加、相乘 4、奇异信号： 单位斜变、 阶跃、冲激(特性)、冲击偶 5、信号的分解： 脉冲分量、 6、系统模型及其分类 7、线性是不变系统的基本特性： 线性(叠加性、均匀性)、时不变特性、微分特性、因果特性 8、系统分析⽅法： 输⼊输出描述法、状态变量描述法 两对关系式 第⼀章 绪论 系统分析过程 (⼀)冲激响应 h (t) 1)定 义 系统在单位冲激信号δ(t) 的激励下产⽣的零状态响应。
2)求 解 形式与齐次解相同 第⼆章 第三章 傅⽴叶变换 周期信号的傅⽴叶级数 三⾓函数形式、指数形式 典型信号的频谱：Gτ(t),δ(t), u(t), Sa(t) 傅⽴叶变换 ⾮周期信号的傅⽴叶变换 傅⽴叶变换的性质 对称性，线性、尺度变换特性、时移性(符号相同)，频移性(符号相反) 奇偶虚实性、微分特性、积分特性 卷积定理 周期信号的傅⽴叶变换——与单脉冲 信号的傅⽴叶级数的系数的关系 抽样信号的傅⽴叶变换——与抽样脉冲序列的傅⽒变换及原连续信号的 傅⽴叶变换的关系 抽样定理 时域抽样定理、频域抽样定理——注意2倍关系！！ 第三章 傅⽴叶变换 周期信号的傅⽴叶级数 指数形式傅⽴叶级数的傅⾥叶系数 傅⽴叶变换特性主要内容 第三章 典型周期信号傅⽴叶变换 周期单位冲激序列的傅⾥叶变换 周期矩形脉冲序列的傅⽒变换 (⼆) 抽样信号的傅⽴叶变换 1、 矩形脉冲抽样 即 p(t) 为周期矩形脉冲 2、 单位冲激抽样 即 p(t) 为周期冲激脉冲 总结 周期信号的傅⽴叶变换 第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析 定义： 单边拉⽒变换、双边、收敛域、常⽤函数的拉⽒变换 拉⽒变换的性质 线性、原函数微分、原函数积分、时域平移、s域平移、尺度变换、初值、终值 卷积特性 拉⽒逆变换 部分分式展开法(求系数) 系统函数H(s) 定义(两种定义⽅式) 求解(依据两种定义⽅式) 第四章 拉普拉斯变换、 连续时间系统的s域分析 三．⼀些常⽤函数的拉⽒变换 4．tnu(t) 第四章 因果系统的s域判决条件： 稳定系统：H(s)的全部极点位于s平⾯左半平⾯(不包括虚轴)； 不稳定系统：H(s)的极点落于s平⾯的右半平⾯，或在虚轴上具有⼆阶以上的极点； 临界稳定系统： H(s)的极点落于s平⾯的虚轴上，且只有⼀阶极点。
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
§2.2++冲激响应和阶跃响应及卷积(1)
将边界条件代入h 式 将边界条件代入 1(t)式，解得 C1=1/2， C2=-1/2， ， - ，
1 −t −3t h1(t) = e − e ε (t) 2
(
)
则由系统的线性时不变特性
h(t ) = dh1(t) 1 + 2h1(t ) = e−t + e−3t ε (t) dt 2
(
)
第 8页
3535页页f1f2f2f2f2t1t1t12t1t12f1f2t1t1t1f1f2t1t1f1tf2t1r12阴影部分面积阴影部分面积3636页页3f1f23737页页4p85219b3838页页dtdf3939页页4040页页图示线性时不变系统是由三个子系统组成已知总系统的分别为所示求子系统的冲激响应4141页页也应为矩形波此题的关键是利用了两个不同宽度的矩形波的卷积结果是梯形波
第 4页
冲激响应求解举例1 冲激响应求解举例
d2 y(t)
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
+4
d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
冲激响应求解举例2 冲激响应求解举例
例2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)= f”(t) + 2f’(t) + 3f(t) 求其冲激响应h(t)。 求其冲激响应 。 根据h(t)的定义 有 解 根据 的定义 h”(t) + 5h’(t) + 6h(t) = δ”(t)+ 2δ’(t)+3δ(t) (1) h’(0-) = h(0-) = 0 先求h’(0+)和h(0+)。 先求 和 。 由方程可知， h(t) 中含δ(t) 由方程可知， 中含 故令 h”(t) = aδ”(t) + bδ’(t) + cδ(t)+ r1(t) h’(t) = aδ’(t) + bδ(t) + r2(t) h(t) = aδ(t) + r3(t) [ri(t) 为不含 为不含δ(t) 的某函数 的某函数] 代入式(1)， 代入式 ，有
卷积积分及其性质 ppt课件
d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)
t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t
f (t0)
'(t) f (t) d t f '(0)
PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t
f
(t0 )
16
第2-16页
■
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信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
课件：第09章阶跃响应冲激响应卷积积分
R + iL uL L -
iL (0
)
1 L
L
R
iL
1
e
t
L
uL
iLR
R L
t
e
冲激响应为
iL
1 e
L
t
(t)
uL
(t)
R L
e
t
(t)
1 iL L
0
uL δ(t )
t
0
R
t
L
例3 已知：uC (0 ) 0
求： uS 为单位冲激时电路响应 iC(t)和uC(t)。
解（1） t 在 0- ~ 0+间
)]
iC
CU(t)
iCdt q CU
0
t
特例
US
S
i
+
t = 0时合S
uC
–
C
则
i= CUS(t)
uC (0 ) 0
uC (0 ) uC (0 )
uC
(0
)
uC
(0
)
1 C
0
i( )d
0
= US
3. 延迟单位冲激函数 (t-t0)
(t t0 ) 0 (t t0 )
(t-t0)
iC1 e2t (t ) mA
10k
+ 10ε(t 0.5)
-
iC
10k
100F
uC(0-)=0 由线性、齐次和时不变性质，得 iC 2 e2(t 0.5) (t 0.5) mA
iC e2t (t ) e 2(t0.5) (t 0.5) mA
也可用时间分段形式表示
iC e2t (t ) e2(t 0.5) (t 0.5) mA iC e2t [ (t ) (t 0.5)] [e2t e2(t0.5) ] (t 0.5)
第10讲-阶跃响应与冲激响应PPT优秀课件
第2章 系统的时域分析---导读
本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。
然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。
仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。
n
设系统的特征方程共有 n 个不相等的特征根，则 h(t) [ Aieit](t) i1
利用微分方程两端 ( t ) 及其各阶导数对应平衡来求出系数 A i
冲激响应另一种求解方法
已知微分方程为 d2y(t)4dy(t)3y(t)df(t)2f(t)，求冲激响应 h ( t )
dt2
dt
dt
解：微分方程变为
h(t-) （时不变性）
f()h(t-) （齐次性）
f ( )h(t - )d （可加性）
-
‖
f (t) h(t)
零状态响应 yzs (t)
任意信号的零状态响应
一线性非时变系统的冲激响应为h(t)=et(t)，激励为 f(t)= (t-1)，求系统的零状态响应。
解：
t (t)* h (t)
故系统的冲激响应为此方程的齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为:
h(t) = C1e-2t + C2e-3t，t >0
代入初始条件求得 C1=1, C2= -1
所以
h(t) = ( e-2t - e-3t)(t)
解法二：因为 n>m,特征根为-2，-3，所以冲激响应为：
h(t) = (C1e-2t + C2e-3t)(t) （1）
本章首先建立连续时间LTI系统的数学模型---常系数线性微分 方程。
然后，复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初 始条件求待定系数。
为了理解系统响应的物理特性，将系统的全响应分解为零输入 响应和零状态响应。
仅由起始状态引起的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得 到；零状态响应的求解则用卷积方法。
n
设系统的特征方程共有 n 个不相等的特征根，则 h(t) [ Aieit](t) i1
利用微分方程两端 ( t ) 及其各阶导数对应平衡来求出系数 A i
冲激响应另一种求解方法
已知微分方程为 d2y(t)4dy(t)3y(t)df(t)2f(t)，求冲激响应 h ( t )
dt2
dt
dt
解：微分方程变为
h(t-) （时不变性）
f()h(t-) （齐次性）
f ( )h(t - )d （可加性）
-
‖
f (t) h(t)
零状态响应 yzs (t)
任意信号的零状态响应
一线性非时变系统的冲激响应为h(t)=et(t)，激励为 f(t)= (t-1)，求系统的零状态响应。
解：
t (t)* h (t)
故系统的冲激响应为此方程的齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为:
h(t) = C1e-2t + C2e-3t，t >0
代入初始条件求得 C1=1, C2= -1
所以
h(t) = ( e-2t - e-3t)(t)
解法二：因为 n>m,特征根为-2，-3，所以冲激响应为：
h(t) = (C1e-2t + C2e-3t)(t) （1）
阶跃函数和冲激函数
§1.4 阶跃信号和冲激信号函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。
主要内容：• 单位斜变信号 • 单位阶跃信号 • 单位冲激信号 • 冲激偶信号一．单位斜变信号1． 定义2．有延迟的单位斜变信号由宗量t -t 0=0 可知起始点为3．三角形脉冲二．单位阶跃信号1. 定义⎩⎨⎧≥<=000)(t tt t R⎩⎨⎧≥-<=-0000)(t t t t t t t t R ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=它其 00)()(ττt t R Ktf 210 0100)(点无定义或⎩⎨⎧><=t t tu2. 有延迟的单位阶跃信号()时即时间为可知000,0t t t t t ==±，函数有断点，跳变点宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为03．用单位阶跃信号描述其他信号门函数：也称窗函数其他函数只要用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分。
符号函数：(Signum)三．单位冲激（难点）概念引出 定义1 定义2冲激函数的性质,10)(0000>⎩⎨⎧->-<=+t t t t t t tu 0 ,10)(000>⎩⎨⎧><=-t t t t t t t u ()⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22ττt u tu t f ⎩⎨⎧<->=0101)sgn(t t t 1)(2)()()sgn(-=+--=t u t u t u t ]1)[sgn(21)(+=t t u定义1：狄拉克(Dirac)函数函数值只在t = 0时不为零； 积分面积为1；t =0 时，，为无界函数。
定义2面积1；脉宽↓；脉冲高度↑；则窄脉冲集中于 t =0 处。
三个特点：★面积为1★宽度为0 ★描述()⎪⎩⎪⎨⎧≠==⎰+∞∞-0 0)(1d )(t t t t δδ⎰⎰+∞∞-+-=00d )(d )(tt t t δδ()∞→t δ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=221)(τττt u t u t p t→τ⎩⎨⎧≠=00t t 无穷幅度⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+==→→221lim )(lim )(00τττδττt u t u tp tt时移的冲激函数 若面积为k ，则强度为k 。
《信号与系统 》PPT课件
一、系统的定义 二、系统的分类及性质
1.6 系统的描述
一、连续系统 二、离散系统
1.7 LTI系统分析方法概
述
二、冲激函数
点击目录 ，进入相关章节
a
10
第1-10页
■
信号与系统 电子教案
第一章 信号与系统
1.1 绪言
思考问题：什么是信号？什么是系统？为什么把这两 个概念联系在一起？
一、信号的概念
1. 消息(message):
a
26
第1-26页
■
信号与系统 电子教案
1.2 信号的描述和分类
4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率 为| f (t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
（1）信号的能量E
def
E
f (t) 2 dt
（2）信号的功率P
def
Pl
i
m1
TT
29
第1-29页
■
信号与系统 电子教案
1.3 信号的基本运算
二、信号的时间变换运算
1. 反转
演示
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (·) 的反转或反折。从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴反 转180o。如
f (t) 1
反转 t → - t
1
f (- t )
看成系统。它们所传送的语音、音乐、图像、文字
等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常
紧密地联系在一起。 系统的基本作用是对输入 输入信号
信号进行加工和处理，将其转 换为所需要的输出信号。
激励
系统
演示
1.6 系统的描述
一、连续系统 二、离散系统
1.7 LTI系统分析方法概
述
二、冲激函数
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a
10
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信号与系统 电子教案
第一章 信号与系统
1.1 绪言
思考问题：什么是信号？什么是系统？为什么把这两 个概念联系在一起？
一、信号的概念
1. 消息(message):
a
26
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■
信号与系统 电子教案
1.2 信号的描述和分类
4．能量信号与功率信号
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率 为| f (t) |2，在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为
（1）信号的能量E
def
E
f (t) 2 dt
（2）信号的功率P
def
Pl
i
m1
TT
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信号与系统 电子教案
1.3 信号的基本运算
二、信号的时间变换运算
1. 反转
演示
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (·) 的反转或反折。从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴反 转180o。如
f (t) 1
反转 t → - t
1
f (- t )
看成系统。它们所传送的语音、音乐、图像、文字
等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常
紧密地联系在一起。 系统的基本作用是对输入 输入信号
信号进行加工和处理，将其转 换为所需要的输出信号。
激励
系统
演示
与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (n n1)* (n n2 ) (n n1)* f (n n2 ) f (n n1 n2 )
二、卷积和的图解说明
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k )
卷积和的图解步骤：
k
(1)变量置换： f1(k)--> f1(k), f2(k)--> f2(k) (2)反褶：将f2(k)以纵轴为对称轴反褶，得f2(n－k) (3)平移：将f2(－k)沿k轴自左向右平移n，得f2(n－k)，
h(n)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的
形式
（3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
（4）根据框图求h(t),h(n)
3 卷积定义 ( Convolution)
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积
3.1 卷积的性质 与图解 3.2 与冲激函数的卷积及其推广
n k
0 k n, h(n k) 0
0 k
n
r(n) e(k)u(k)h(n k)u(n k) k
n
e(k)h(n k) k 0
(2)任意两个序列的卷积和
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k ) k
Convl89.m
r(n) e(n)*h(n)
e(k)h(n k) k
表明：LTI系统对任意激励信号e(n)的零状态响 应r(n)等于e(n)与单位样值响应的卷积和。
（1）对因果序列 r(n) e(n)* h(n) e(k)h(n k) k
二、卷积和的图解说明
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k )
卷积和的图解步骤：
k
(1)变量置换： f1(k)--> f1(k), f2(k)--> f2(k) (2)反褶：将f2(k)以纵轴为对称轴反褶，得f2(n－k) (3)平移：将f2(－k)沿k轴自左向右平移n，得f2(n－k)，
h(n)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的
形式
（3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
（4）根据框图求h(t),h(n)
3 卷积定义 ( Convolution)
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
系统的零状态响应＝激励与系统冲激响应的卷积
3.1 卷积的性质 与图解 3.2 与冲激函数的卷积及其推广
n k
0 k n, h(n k) 0
0 k
n
r(n) e(k)u(k)h(n k)u(n k) k
n
e(k)h(n k) k 0
(2)任意两个序列的卷积和
f (n) f1(n) f2 (n) f1(k ) f2 (n k ) k
Convl89.m
r(n) e(n)*h(n)
e(k)h(n k) k
表明：LTI系统对任意激励信号e(n)的零状态响 应r(n)等于e(n)与单位样值响应的卷积和。
（1）对因果序列 r(n) e(n)* h(n) e(k)h(n k) k
与冲激函数或阶跃函数的卷积
???dtff21卷积图解实例243卷积的性质一卷积的代数性质二卷积的积分和微分三与冲激函数或阶跃函数的卷积一卷积的代数性质二卷积的积分和微分三与冲激函数或阶跃函数的卷积一卷积的代数性质卷积运算是一种代数运算与乘法运算的某些性质相同卷积运算是一种代数运算与乘法运算的某些性质相同1交换律1221tftftftf??2分配律3121321tftftftftftftf???htf2tf3tf1ty1th2tf2ty1tf1th3tf3t系统并联3结合律321321tftftftftftf????h2tf2tf1ty1th3tf3tf1tf2thtf1ty1t2t2t3t3ttf2tf3t系统级联或串联二卷积的微分和积分11微分
§2.5卷积积分与卷积和( Convolution) 2.5.1借助于信号分解求系统零状态响应 信号分解为冲激信号之和： 求和变积分
e(t )
e(t1 )
t1
e(t ) lim
t1 0
t1
e(t )t (t t )
1 1 1
e( ) (t )d
it c e r f (t ) i
i 1 n
离散系统解的形式： r (t )
ci i
i 1
n
n
r f (t )
2 系统的单位冲激响应与单位样值响应
单位冲激响应h(t)：
定义: （t）
单位样值响应h(n)： （n）
h(t)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的 形式 （3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
*
＝
*
t0
＝
t0
*
t1 t2
＝
t1+ t2
推广：任意两函数卷积
§2.5卷积积分与卷积和( Convolution) 2.5.1借助于信号分解求系统零状态响应 信号分解为冲激信号之和： 求和变积分
e(t )
e(t1 )
t1
e(t ) lim
t1 0
t1
e(t )t (t t )
1 1 1
e( ) (t )d
it c e r f (t ) i
i 1 n
离散系统解的形式： r (t )
ci i
i 1
n
n
r f (t )
2 系统的单位冲激响应与单位样值响应
单位冲激响应h(t)：
定义: （t）
单位样值响应h(n)： （n）
h(t)
（1）零状态响应响应 （2）具有零输入响应的 形式 （3）反映系统本身特性 因果性 稳定性
*
＝
*
t0
＝
t0
*
t1 t2
＝
t1+ t2
推广：任意两函数卷积
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间，并称此时刻为“起始时刻”；而用0+表示激励接入之
后的瞬间，并称此时刻为“初始时刻”。
第2章 连续系统的时域分析
系统的起始条件就是系统响应及其各阶导函数在0-时刻的 函数值，可用{y(i)(0-), i=0,1,…,n-1} 表示；而系统的初始条件就 是 系 统 响 应 及 其 各 阶 导 函 数 在 0+ 时 刻 的 函 数 值 ， 用 {y(i)(0+),i=0,1,:,n-1}表示。一般情况下，我们求的系统响应是指 系统接入激励以后的响应，即0+≤t<+∞。所以，应当利用系统 的初始条件求齐次解中的各个系数。
c1c1
c2 c2
2
2
1
1
c1=1, c2=-2 所以，全响应y(t)为
y(t) e-t 2e-2t t 2 2t 2
(t≥0)
第2章 连续系统的时域分析
2.2起始点的跳变——从0-到0+状态的转换
例:建立电流 i t 的微分方程并求解 i t 在 t 0
时的变化。
2 S R1 1
第2章 连续系统的时域分析
【例】描述某线性时不变系统的方程为
d2
d
d
dt 2
y(t) 3 dt
y(t) 2 y(t)
dt
f (t) 2 f (t)
若系统激励f(t)=t2，系统初始条件为y(0+)=1, y′(0+)=1。试求系统 全解。
【解】
特征方程为
d2
d
dt 2
y(t) 3 dt
y(t) 2 y(t)
第2章 连续系统的时域分析
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网 络拓扑约束列写系统的微分方程。
元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如 二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流 的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电 流的关系等等。
网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约 束关系,KCL，KVL。
第2章 连续系统的时域分析
第2章 连续系统的时域分析
2.1 微分方程的建立与求解 2.2 起始点的跳变 2.3 零输入响应和零状态响应 2.4冲激响应与阶跃响应 2.5卷积 2.6卷积的性质
第2章 连续系统的时域分析
2.1 微分方程的建立与求解
一．微分方程的列写
•许多实际系统可以用线性系统来模拟。 •若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。
Ci ei t
Ci,0 Ci,1t
C t e r1 it i,r 1
et Acos t Bsin t Cet cost
et C0 cost 0 C1t cost 1 Cr1tr1 cos t r1
第2章 连续系统的时域分析
表2－2 几种典型的自由项对应的特解形式
第2章 连续系统的时域分析
得：
B8 5
要求系统的完全响应为：
i
t
A1e2t
A2 e5t
8 5
t 0
第2章 连续系统的时域分析
（3）确定换路后的
i
关于实际系统中的初始条件问题
• 在应用经典方法求解系统微分方程时，要使用t 0时刻
的初始条件来确定完全解中的待定系数。
• 在实际系统中一般选择 t 0 为初始观测时刻，而系统的
激励是在 t 0时刻加入的，因此，由于输入信号的作用，
响应及其各阶导数在
t 处可0 能发生跳变或出现冲激。
为区分跳变前后的数值，我们用0-表示激励接入之前的瞬
it
1
L 1H 4
et 4V
C 1F
R2
3 2
第2章 连续系统的时域分析
解：（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
R1i t vc t et
vc
t
L
d dt
iL
t
iL
t
R2
列结点方程
(1) (2)
i
t
C
d dt
vC
t
iL
t
(3)
第2章 连续系统的时域分析
将电路参数代入,并整理方程得:
0
2 3 2 0
第2章 连续系统的时域分析 解得特征根为
1 1, 2 2
所以，齐次解为
yc (t) c1e-t c2e-2t
由于f(t)=t2，因此，设特解为
yp (t) p2t2 p1t p0
将上式和f(t)=t2代入原系统微分方程，有
2 p2t 2 (2 p1 6 p2 )t (2 p0 3 p1 2 p2 ) 2t 2 2t
第2章 连续系统的时域分析
解得
2 p2 2 2 p1 6 p2 2 2 p0 3 p1 2 p2 0
p2 1, p1 2, p0 2
这样，特解为
2t t 2 2t 2
第2章 连续系统的时域分析
将初始条件y(0+)=1, y′(0+)=1代入上式，得
k 1
特 解： 根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。 全 解： 齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
第2章 连续系统的时域分析
表2-1几种特征根情况下齐次解的形式
特征根
实单根 i r重实根 i
共轭复根
1,2 j
r重共轭复根
齐次解 yn t
第2章 连续系统的时域分析
严格地讲，初始条件和初始状态或起始条件和起始状态是 有区别的。系统状态是指系统储能的情况或数据。而我们知道 电系统的储能元件是电感和电容，也就是说，起始状态是指系 统中电感的电流和电容的电压在起始时刻的值iL(0-)和uC(0-)。 类似地，初始状态是指系统中电感的电流和电容的电压在初始 时刻的值iL(0+)和uC(0+)。
第2章 连续系统的时域分析
二．求解系统微分方程的经典法
经典法
解方程 零输入零响输应入和: 可 零利 状用 态经 响典 应法求解
零状态 : 利用卷积积分法求解
变换域法
第2章 连续系统的时域分析
时域经典法就是：完全解=齐次解+特解。
齐次解： 由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
n
Ak ekt 注意重根情况处理方法。
d2 dt 2
it
7
d dt
it
10i t
d2 dt 2
et
6
d dt
et
4e t
（2）求系统的完全响应
齐次解：
系统的特征方程：
2 7 10 0
特征根： 1 2,2 5
齐次解： ih t A1e2t A2e5t
t 0
第2章 连续系统的时域分析
特解：根据自由项令 ip t B ，将其代入原方程