受迫振动现象的研究.

受迫振动的规律研究

姜付锦

摘 要 用Laplace 变换方法得出受迫振动（共振）规律的数学描述

关键词 Laplace 变换；受迫振动；共振

共振是力学、电磁学中的一种现象，对共振现象的研究有重要意义。产生共振的内因是两系统的固有振荡频率相同，外因是能量的传递。没有能量传递是不会产生共振的。本文探讨用数学形式描述受迫振动现象的规律，从而得到共振现象的规律。

双摆的受迫振动

取摆长为1l 、2l 的两摆组成双摆，为简便取两摆锤质量12m m m ==，且假定两摆在摆动过程中对外没有能量损失。为了两摆之间有能量传递，两摆很接近地悬于一横梁，且横梁会因力的作用而有微小弹性形变。正是这微小的弹性形变传递了能量，才产生共振现象。

首先将摆1m 拉开，使之与平衡位置水平距离为(0)A A >，此时1m 具有了有限起始机械能；摆2m 下垂。松开摆1m ，1m 开始摆动。在1m 的作用下，摆2m 开始摆动，振幅由小逐渐变大，且1m 与2m 摆动频率相同，由于1m 对2m 作功，消耗了能量，1m 的振幅由大变小。当1m 的振幅最小时，2m 的振幅达到最大值；此时1m 将有限起始机械能部分传递给了2m ，2m 具有了机械能.再往下是1m 在2m 的作用下开始摆动，振幅逐渐变大，2m 的振幅由大变小直至零，当2m 的振幅为零时，1m 的振幅又达到最大值A ，1m 又具有了机械能，回复到初始状态。以后，两摆不断重复上述过程。这种受迫振动主要特点是：

（1） 两摆的振幅呈周期性变化；且当一个为最小时，另一个为最大 （2） 两摆的振动频率相同，等于1m 的固有频率

（3） 当两摆摆长相等时，2m 会共振且会与1m 交换最大振幅

这三点都可以通过数学形式表达并给以解释。

1．当1212,m m l l =≠时 如图，当摆角很小时(小于05)，

tan sin θθ≈,可用重力1m g 的切向分力1sin m g θ近似代替重力的水平方向分力1tan m g θ进行研究。以平衡位置为原点O ，在水平方向建立一坐标轴，其正方向向右，按ox 轴方向，水平位移向右为正，向左为负；摆角向右为正，向左为负。当1m 的水平位移为1x 时，加速度为''1x 由牛顿第二定律F ma =有''111sin m g m x θ=.由于''1x 方向与1x 方向相

反，从而''1x 方向与θ方向相反，故上式可化为''

1sin x g θ-=.同理''2

sin x g ϕ-= 在两摆的作用下，悬点处横梁有微小弹性形变，水平方向位移d (由于d 很小，在研究力时有重要作用，而d 对位移x 的影响一般忽略不计)。由胡克定律

''''''''''1212112212111()()()()m d F F F F m x m x x x k k k k

=+=--=--=-+ ,

''''

11211

1

()

sin m x x x x d

k l l θ+

+-== ,于是''''1121()0mg mg l x x gx k k +++=,同理对2m 有''''

2212()0mg mg l x x gx k k

+

++= 初始条件：''

1212(0),(0)0,(0)(0)0x A x x x ====,于是有初值问题

''''1121''''221

212''12

()0()0

(0),(0)0(0)(0)0mg mg l x x gx k k mg mg l x x gx k k x A x x x ⎧

+++=⎪⎪

⎪+++=⎨⎪

==⎪⎪==⎩ (1) x

取Laplace 变换，令1122[],[]L x X L x X ==,则

2'2'

111122212'2'11122222

()[(0)(0)][(0)(0)]0[(0)(0)]()[(0)(0)]0

mg mg l s X sx x s X sx x gX k k

mg mg s X sx x l s X sx x gX k

k ⎧+--+--+=⎪⎪⎨

⎪--++--+=⎪⎩ 22112122122[()]()[()]mg mg mg l s g X s X A l s k k k

mg mg mg s X l s g X A s k

k k ⎧

+++=+⎪⎪⎨

⎪+++=⎪⎩ (2) 解关于12,X X 的线性方程组(2)可得

2

1212114221212122

24

22121212

[{()}()]2[()][()]2[()][()]mg mg l l l l s g l k k

X As mg mg l l l l s g l l s g k k

mg k X As mg mg l l l l s g l l s g k k ⎧++++⎪=⎪⎪++++++⎪⎨⎪

⎪=⎪++++++⎪⎩

(3) 为取Laplace 逆变换，化2X 为

212121212X =

取Laplace 逆变换，有

2()]

x t =-

令12

1

21

2

ωω==21221()sin ,()x t t t ωωωω=

共振两摆有相同的两个角频率12,ωω

12112121

21212()[()X k l l k l l =

-+-

作Laplace 逆变换得 11212()[cos cos sin ]x t A t t t t ωωωω=

于是双摆的水平位移变化规律为