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6.4 线段的和差浙教版数学七年级上册同步练习(解析版)

第6章　图形的初步知识6.4　线段的和差基础过关全练知识点1　线段的和、差、倍、分1.如图,点A、B、C在同一直线上,下列关系式与图形不符合的是( )A.AB+BC=ACB.AC-AB=BCC.AC-BC=ABD.AB=AC+BC2.如图,点C,B在线段AD上,且AB=CD,则AC与BD的大小关系是( )A.AC>BDB.AC=BDC.AC<BDD.不能确定知识点2　画线段的和差3.如图,已知线段a、b,画一条线段c,使它的长度等于已知线段的长度的和.4.已知线段a、b(如图),画出线段AB,使AB=3a-b,并写出画法.知识点3　线段的中点5.点O为AB的中点,若OA=5 cm,则AB的长为( )A.2.5 cmB.5 cmC.10 cmD.20 cm6.如图,CB=4 cm,DB=7 cm,点D为AC的中点,则AB的长为( )A.7 cmB.8 cmC.9 cmD.10 cm7.如图,已知线段AB=10 cm,点N在AB上,NB=2 cm,M是AB的中点,求线段MN的长.能力提升全练8.如图,线段AB=DE,点C为线段AE的中点,下列式子中不正确的是( )A.BC=CDB.CD=AC-ABC.CD=AD-CED.CD=DE9.(2022浙江新昌期末)已知,点C是线段AB的中点,点D是线段BC 的中点,且AB=12,则线段AD的长为( )A.3B.6C.9D.1210.如图,点C、B是线段AD上的两点,若AB=CD,BC=2AC,则AC与CD 的关系是 .11.如图,点M、N都在线段AB上,且M分AB为2∶3的两部分,N分AB为3∶4的两部分,若MN=2 cm,求AB的长.12.(2020浙江杭州期末)如图,某建筑物的立柱AB=6 m,底座BD与中段CD的比为2∶3,中段CD是上沿AC的3倍.求AC,CD,BD的长.素养探究全练13.[数学运算]如图,已知点O在线段AB上,点C、D分别是AO、BO 的中点.(1)AO= CO,BO= DO;(2)若CO=3 cm,DO=2 cm,求线段AB的长度;(3)若线段AB=10 cm,小明很轻松地求得CD=5 cm.他在反思过程中突发奇想:若点O在线段AB的延长线上,原有的结论“CD=5 cm”是不是仍然成立呢?请帮小明画出图形分析,并说明理由.14.[数学建模]如图,O为原点,A是数轴上表示-30的点,B是数轴上表示10的点,C是数轴上表示18的点,点A、B、C在数轴上同时向数轴的正方向移动,点A移动的速度是6个单位长度/秒,点B和点C移动的速度都是3个单位长度/秒.设三个点移动的时间为t秒.(1)当t为何值时,AC=6?(2)当t≠5时,设线段OA的中点为P,线段OB的中点为M,线段OC的中点为N,求2PM-PN=2时,t的值.答案全解全析基础过关全练1.D　AB=AC-BC.2.B　∵AB=CD,∴AB-BC=CD-BC,∴AC=BD.3.解析　如图,线段AC=c.4.解析　①画射线AM,并在射线AM上顺次截取AC=CD=DE=a;②在线段EA上截取EB=b,则线段AB就是要画的线段(如图).5.C　∵点O为AB的中点,OA=5 cm,∴AB=2OA=10 cm.6.D　∵CB=4 cm,DB=7 cm,∴DC=BD-BC=3 cm.∵点D为AC的中点,∴AD=DC=3 cm,∴AB=AD+DB=10 cm.7.解析　∵M是AB的中点,AB=10 cm,AB=5 cm.∴AM=BM=12∵NB=2 cm,MN+BN=BM,∴MN=BM-BN=5-2=3(cm).能力提升全练8.D　∵点C为线段AE的中点,∴AC=CE,∵AB=DE,∴AC-AB=CE-DE, ∴BC=CD,∴A中的式子正确;∵CD=BC,BC=AC-AB,∴CD=AC-AB,∴B 中的式子正确;∵CD=AD-AC, AC=CE,∴CD=AD-CE,∴C 中的式子正确;由已知不能得出CD=DE,∴D 中的式子错误.故选D.9.C 根据题意画图如下:∵点C 是线段AB 的中点,AB=12,∴AC=CB=12AB=6.∵点D 是线段BC 的中点,∴CD=12BC=3.∴AD=AC+CD=6+3=9.10.CD=3AC解析　∵AB=CD,∴AC+BC=BC+BD,即AC=BD.又∵BC=2AC,∴BC=2BD,∴CD=3BD=3AC.11.解析　设AB=x cm,∴AM=25x cm,AN=37x cm,∴MN=AN-AM,∴37x-25x=2,解得x=70,∴AB=70 cm.12.解析　∵底座BD 与中段CD 的比为2∶3,中段CD 是上沿AC 的3倍,∴BD ∶CD ∶AC=2∶3∶1,∵AB=6 m,∴AC=6×12+3+1=1(m),CD=6×32+3+1=3(m),BD=6×22+3+1=2(m).素养探究全练13.解析　(1)∵点C 、D 分别是AO 、BO 的中点,∴AO=2CO,BO=2DO.故答案为2;2.(2)∵点C 、D 分别是AO 、BO 的中点,CO=3 cm,DO=2 cm,∴AO=2CO=6 cm,BO=2DO=4 cm,∴AB=AO+BO=6+4=10(cm).(3)仍然成立.理由如下:如图:∵点C 、D 分别是AO 、BO 的中点,∴CO=12AO,DO=12BO,∴CD=CO-DO=12AO-12BO=12(AO-BO)=12AB=12×10=5(cm).14.解析　(1)A 、B 、C 三点在数轴上同时向正方向移动.当点A 在点C 的左侧时,因为线段AC=6,所以6+6t=30+18+3t,解得t=14;当点A 在点C 的右侧时,因为AC=6,所以6t-6=30+18+3t,解得t=18.综上,当t=14或18时,AC=6.(2)当A 、B 、C 三个点在数轴上同时向数轴的正方向移动t 秒时,A 、B 、C 三个点在数轴上表示的数分别为6t-30、10+3t 、18+3t,所以OA=|6t-30|,OB=10+3t,OC=18+3t.因为P 、M 、N 分别是OA 、OB 、OC 的中点,所以OP=|6t -30|2,OM=10+3t 2,ON=18+3t 2,所以MN=ON-OM=4.当P 在点M 的左侧时,由2PM-PN=2,得PM=2+(PN-PM)=2+MN=6.①当t<5时,PM=OP+OM=|6t -30|2+10+3t 2=30-6t 2+10+3t 2=20-3t 2=6,解得t=283.因为283>5,所以当t<5时,不存在满足条件2PM-PN=2的t 值;②当t>5时,PM=OM-OP=10+3t 2-|6t -30|2=10+3t 2-6t -302=-3t +402=6,解得t=283.当P 在M 、N 之间时,2PM-PN=2(OP-OM)-(ON-OP)=3OP-2OM- ON=9t-45-10-3t-18+3t 2=9t 2-64=2,解得t=443.当P 在点N 的右侧时,由2PM-PN=2,得PM=2+(PN-PM)=2-(PM-PN)=2- MN=2-4=-2.因为线段PM 的长不能为负数,所以P 在点N 的右侧时,不存在满足条件2PM-PN=2的t 值.综上,当t=283或443时,2PM-PN=2.。

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和差问题和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：方法一：(和+差)÷2=大数和-大数=小数方法二：(和-差)÷2=小数和-小数=大数【例1】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？1. 二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人．问一班、二班各有多少人？2.果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？3.有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？4.陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米？5.甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？6.两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少？7.丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁语文和数学各得了多少分？8.学校水果店运来苹果和梨共40千克，苹果比梨多2袋，苹果和梨每袋都重5千克，则水果店运来苹果和梨各多少袋？【例2】甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？1.图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等．求原来上、下层各存书多少本？2.小华和小敏共有铅笔25枝，如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，小华和小敏原来各有多少枝铅笔？3.小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多．小勇家养的白兔和黑兔各多少只？【例3】周明和王刚两人数学成绩的和是182分．周明如果多考5分，就比王刚多3分．周明和王刚的数学各考了多少分？1.有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克．问：原来大、小两个油桶各装油多少千克？2.兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？3.甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包？【例4】甲校原来比乙校多48人，为方便就近入学，甲校有若干人转入乙校，这时甲校反而比乙校少12人．甲校有多少人转入乙校？1.两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙两箱原有图书各多少本？2.方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本．问：方方和圆圆原来各有图书多少本？【例5】有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米．每块布料各长多少米？1.甲、乙、丙三个数的和是105，甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，求丙数．2.有3条绳子，共长95米，第一条比第二条长7米，第二条比第三条长8米，问3条绳子各长多少米？3.甲、乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？4.小猴和小熊到动物商店一共买了30块糖，小猴把买的糖给了小熊10块，还比小熊多2块．小熊比小猴少买几块糖？5.学而思学校新进99本书，分给三、四、五三个年级，三年级比四年级多分了2本，四年级比五年级多分了5本，三个年级各分得多少本书?6.甲的书比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有书47本．问：甲、乙、丙各有多少本书？．7，二年级原来女同学比男同学多25人，今年二年级又增加了80个男同学和65个女同学，请问：现在是男同学多还是女同学多？多几人？8.草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只．黑兔、白兔、灰兔各有多少只？【例6】大象、老虎、猴子三只动物的年龄中，大象和老虎共90岁，大象和猴子共70岁，老虎和猴子共40岁，请你算一算，三只动物各多少岁？．1.小强、中强、大强去称体重，大强和小强一起称是50千克，小强和中强一起称是49千克，三个人一起称是76千克．三人的体重各是多少千克？【例7】四年级有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人，问这四个班共多少人？1.甲乙共储蓄32元，乙丙共储蓄30元，甲丙共储蓄22元，三人各储蓄多少元?【例8】地震灾区希望小学正筹备建设图书馆，春蕾小学发动全校同学给山区的学生捐书，二（1）班、二（2）班、二（3）班三个班共捐书300本，二（1）班、二（2）班两个班捐书总数比二（3）班多60本，如果二（3）班拿出20本给二（2）班，则两个班捐书数目相等．求三个班各捐了多少本书？1.哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，俩人各应该是多少岁？2.兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？3.今年小玲6岁,她父亲34岁,当两人年龄和是58岁时,两人年龄各多少岁?4.今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？【例9】小琴、小静、小莲三人年龄和是20岁，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁．三人的年龄各是几岁？1.甲、乙两个笼子里共有小鸡20只,甲笼里新放4只,乙笼里取出1只,这时乙笼还比甲笼多1只, 求甲、乙两笼原来各有鸡多少只?2.四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲多8张。

专题16 和差问题(原卷)【网店：教师学科网资料】

2022-2023学年学校三班级思维拓展举一反三精编讲义专题16 和差问题专题简析：已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题。

把握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很便利了。

解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。

可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数削减到与小数同样多，先求小数，再求大数。

用数量关系表示：（和＋差）÷2=大数（和－差）÷2=小数【典例分析01】期中考试王平和李杨语文成果的总和是188分，李杨比王平少4分。

两人各考了多少分？【思路引导】依据题意画出线段图。

我们可以用假设法来分析。

假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加4分，变为188+4=192分，这就表示王平的2倍，所以王平考了：192÷2=96分，李杨考了96－4=92分。

【典例分析02】某机床厂第一、二两个车间共有车床96部，假如第一车间拨给其次车间8部，那么两个车间车床数相等。

两个车间各有车床多少部？【思路引导】用线段图表示题意。

188分分分李杨王平学问精讲典例分析已知第一、二两个车间共有车床96部，又依据“假如第一车间拨给其次车间8部，两个车间车床数相等”，从线段图上我们可以看出第一车间原来比其次车间多8×2=16部车床。

所以，第一车间原有：（96+8×2）÷2=56部，其次车间原有56－8×2=40部。

【典例分析03】哥弟俩共有邮票70张，假如哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。

哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？【思路引导】我们可以这样想，哥弟俩共有邮票70张，依据“假如哥哥给弟弟4张，还比弟弟多2张”，说明原来哥哥比弟弟多4×2＋2=10张邮票。

所以，弟弟有邮票：（70－10）÷2=30张，哥哥有邮票30+10=40张。

【典例分析04】把一条100米长的绳子剪成三段，要求其次段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。

人教版四年级上册数学应用题专项—和差、盈亏问题应用题(含答案)

人教版四年级数学应用题必刷题库必刷题14◄►和差、盈亏问题应用题班级姓名得分【知识储备】和差问题是已知两个数量的和以及它们的差，求这两个数量各是多少的应用题。

解答和差问题常用的方法是假设法，即在解题的过程中，可以将其中的小数增加到与大数相同的大小，则可以先求出大数，再求出小数；也可以将其中的大数减少到与小数相同的大小，则可以先求出小数，再求出大数；同时还可以结合线段图进行分析，和差问题的基本数量关系式为：(和+差)÷2=较大数(和-差)÷2=较小数把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，两次分配的结果有差异，每次结果出现了盈(多)或亏(少),这类问题我们习惯上称为盈亏问题。

解答这类问题的要点是首先找出两个相关的差数，即每份差(分配方案的差)和总量差(分配结果的差),用总量差去除以每份差即可知道份数，进而求得其他问题。

一般情况下，总量差不会直接给出，但可用盈与亏相加、盈与盈相减、亏与亏相减等方法求出，基本数量关系为：份数=(盈+亏)÷每份差份数=(大亏-小亏)÷每份差份数=(大盈-小盈)÷每份差例题精讲【例1】甲、乙两人共有存款1646元，甲的存款比乙的存款多106元，甲、乙两人各有存款多少元?【解析】用线段图表示题中的已知条件和问题：【解答一】从线段图上可知，假设甲的存款减少106元就和乙的一样多了，这时总数1646元也要减少106元，这样就是两个乙的存款，可知乙的存款。

(1)两个乙的存款是多少元? 1646-106=1540(元)(2)乙的存款多少元? 1540÷2=770(元)(3)甲的存款多少元?770+106=876(元)或1646-770=876(元)综合算式：乙：(1646-106)÷2=770(元)甲：(1646-106)÷2+106=876(元)或1646-(1646-106)÷2=876(元)【解答二】从线段图可以看出，如果乙的存款增加106元，就和甲的一样多了，这时总数1646元增加106元就是两个甲的存款，可知甲的存款。

三年级奥数和差倍分经典应用题题库

三年级奥数和差倍分经典应用题题库一、和差问题(20题)(1)乙两筐香蕉共64千克，从甲筐里取出5千克放到乙筐里去，结果甲筐的香蕉比乙筐的香蕉多2千克。

甲、乙两筐原有香蕉各有多少千克？(2)甲乙两船共载客623人,若甲船增加34人,乙船减少57人,这时两船乘客同样多,甲船原有乘客多少人？(3)今年小刚和小强两人的年龄的和是21岁，1年前，小刚比小强小3岁，问今年小刚和小强各多少岁？(4)小茜和小敏两人今年的年龄和是23岁，4年后，小茜将比小敏大3岁，问小茜和小敏今年各多少岁？(5)期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分，两人各考了多少分？(6)两年前，小明比小华大10岁。

3年后，两人的年龄和将是42岁。

求小明和小华今年各多少岁？(7)赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动，共跑了1080米，问游泳池的长和宽各是多少米？(8)把长108厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多12厘米，长和宽各是多少厘米？(9)两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各重多少千克？(10)学校共有篮球、足球和排球共95个，其中足球比排球少5个，排球的个数是篮球个数的2倍。

篮球、足球、排球各有多少个？(11)把长84厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少6厘米。

长和宽各是多少厘米？(12)两筐苹果共重90千克,如果从第一筐中取出6千克放入第二筐后,两筐的重量相等,两筐苹果原来各多少千克?(13)甲班和乙班共有图书150本。

甲班的图书给乙班20本后，两班就一样多，甲班和乙班原来各有图书多少本？(14)小亮期中考试语文和数学的平均分时94分，数学没考好，语文比数学多8分。

问小亮的语文数学各得了多少分？(15)乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁。

问甲、乙各多少岁？(16)两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只，乙笼中取出两只，这时乙笼比甲笼鸡蛋还多1只。

求甲乙两笼原来各有鸡蛋多少只？(17)学校苗圃中有月季花和菊花共30棵，其中月季花的棵数比菊花多6棵。

两角和与差的三角函数同步习题高中数学新苏教版必修第二册(2022年)

10.1 两角和与差的三角函数一、单选题1．cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°的值为（）A．12B．－12C D【答案】C【分析】根据两角差的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由cos56cos26sin56sin64cos56cos26sin56sin26+=+3cos(5626)cos302=-==.故选：C.2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为（）A．3365B．－3365C．5465D．－5465【答案】A【分析】利用同角三角函数的平方关系以及两角差的余弦公式即可求解.【详解】∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝513⎛⎫-⎪⎝⎭×35＋1213×45＝3365.故选：A.3．已知点(P 是角α终边上一点，则cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．36+BC ．D ．36【答案】A【分析】由三角函数的定义可得sinα=3，cosα=3，再利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】解析：由题意可得，cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos 6πcos α+sin 6πsinα=2× 3+12×336+=.故选：A4． sin 75︒︒+=（）A ． 2B ．1C ． D【答案】C【分析】直接利用辅助角公式及特殊角的三角函数计算可得；【详解】sin 75cos15︒︒︒︒+=+()12sin15cos152sin 15302sin 452222︒︒︒︒︒⎛⎫=+=+==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C5．已知cos α＝－35，α∈(,)2ππ，sin β＝－1213，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是（）A ．－3365B ．3365 C ．－6365 D ．－1665 【答案】C【分析】先求出sin ,cos αβ，再利用差角的余弦公式求解.【详解】因为cos α＝－35，α∈(,)2ππ，所以4sin 5α==，因为sin β＝－1213，β是第四象限角，所以5cos 13β==. 则cos(β－α)＝cos βcos α＋sin αsin β＝513×(－35)＋(－1213)×45＝－6365. 故选：C【点睛】易错点睛：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=求正弦和余弦时，要注意角的象限，决定“±”的取舍. 6．已知α∈（2π，π），sinα+cosα15=-，那么tan （α4π+）的值为（） A ．17- B ．17C ．﹣7D ．7 【答案】B【分析】由sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-，联立这两个方程解出sin α和cos α，进而求出tan α，再利用两角和的正切公式可求出结果.【详解】∵（sinα+cosα）2＝（15-）2125= ∴sin2α+2sinαcosα+cos2α＝1+2sinαcosα125=∴2sinαcosα2425=-， ∴1﹣2sinαcosα4925=，即（cosα﹣sinα）24925=∵α∈（2π，π），∴cos sin αα<， ∴cosα﹣sinα75=-，联立1cos sin 57cos sin 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以3tan 4α=-， ∵tan （α4π+）3tan tan1tan 114431tan 71tan tan 144πααπαα+-++====--+. 故选：B.【点睛】关键点点睛：利用sinα+cosα15=-求出cosα﹣sinα75=-是解题关键. 7．要得到函数()sin 2cos 26f x x x π=-+()的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象（） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位【答案】D【分析】利用两角差的正弦、余弦公式化简()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象变换规律得出结论．【详解】函数()sin 2cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12cos2cos22x x x =-+1cos 22cos 2cos 2263x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故将函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位，可得()f x 的图象，故选：D ．8．已知实数a ，b 均不为零，sin cos tan cos sin a b a b ααβαα+=-，且6πβα-=，则b a等于（） AB．3 C． D．3-【答案】B【分析】根据题设用ba 、tan α表示tan β即可.【详解】tan tan()6πβα=+tan tan tan 61tan tan 63πααπα++==- 又tan sin cos tan cos sin 1tan ba b ab a b aαααβααα++==--∴b a =故选:B.二、多选题9． (多选题)若[]440,2,sin sin cos cos 0,3333αααααπ∈+=则α的值是（）A ．6πB ．4πC ．2πD ．32π【答案】CD【分析】根据两角差的余弦公式，化简整理，结合α的范围，即可求得答案.【详解】由已知得444cos cos sin sin cos cos 0333333ααααααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭又[]0,2απ∈，所以2πα=或32πα=.故选：CD10．在ABC 中，给出下列四个式子，其中为常数的是( )A ．sin()sin ABC ++B ．cos()cos A BC ++ C ．sin(22)sin 2A B C ++D ．cos(22)cos 2A B C ++【答案】BC【分析】由题意利用两角和差的三角公式，诱导公式，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：在ABC 中，对于选项:sin()sin 2sin A A B C C ++=；对于选项:cos()cos cos cos 0B A B C C C ++=-+=；对于选项:sin(22)sin 2sin[2()]sin 2sin[2()]sin 2C A B C A B C C C π++=++=-+ sin(22)sin 2sin 2sin 20C C C C π=-+=-+=；对于选项:cos(22)cos 2cos[2()]cos 2cos[2()]cos 2D A B C A B C C C π++=++=-+cos(22)cos 2cos 2cos 22cos 2C C C C C π=-+=+=，故选：BC ．【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，诱导公式，属于基础题.11．在ABC 中，120C ︒=，tan tan A B +=）A ． 2ABC +=B ． tan()A B +=C ． tan tan A B =D ． cos B A =【答案】CD【分析】根据三角形的内角和定理和正切的和角公式推导可得选项.【详解】 120C ︒=，60A B ︒∴+=，2()A B C ∴+=，tan()A B ∴+=A ，B 错误；tan tan tan tan )A B A B +=-⋅=， 1tan tan 3A B ∴⋅=①，又tan tan A B +=联立①②解得tan tan 3A B ==，cos B A ∴=，故选项C ，D 正确，故选：CD.【点睛】本题考查正切的和角公式，三角形中的角之间的关系，属于基础题.12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +512π）﹣cos （ωx +512π）（0＜ω＜6）的图象关于直线x ＝1对称，则满足条件的ω的值为（）A ．6πB ．3πC ．43πD ．73π 【答案】BC【分析】利用两角差的正弦公式得())6f x x πω=+，根据正弦函数的对称轴求出函数()f x 的对称轴x =k πω3πω+，k Z ∈，结合已知可得3k πωπ=+，k Z ∈，根据06ω<<可得ω=3π或43πω=.由此可得答案. 【详解】因为5()))1246f x x x πππωω=+-=+，由62x k ωππ+=π+，k Z ∈，因为06ω<<，所以x =k πω3πω+，k Z ∈，由题意可得13k ππωω+=，k Z ∈，得3k πωπ=+，k Z ∈，因为06ω<<，所以ω=3π或43πω=. 故选：BC.【点睛】本题考查了两角差的正弦公式，考查了正弦函数的对称轴，属于基础题.三、填空题13．求值：11tan12π=________.【答案】2-+【分析】利用诱导公式以及两角差的正切公式直接求解.【详解】111tan tan tan2121246ππππ⎛⎫=-=--==-+⎪⎝⎭故答案为：2-+14．已知α是锐角，sin α＝23，则cos(3π－α)＝________.【答案】6【分析】由正弦值根据角的范围求得余弦值，代入两角差余弦公式即可求得结果.【详解】因为α是锐角，2sin3α=，所以5cosα3，所以12cos cos cos sin sin33323πππααα⎛⎫-=+==⎪⎝⎭15．函数()()sinf x x x x R=∈的值域是________.【答案】[]22-,【分析】首先利用辅助角公式将函数化简为()siny A x bωϕ=++，再根据正弦函数的有界性计算可得；【详解】解：()1sin 2sin 2sin 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为[]sin 1,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭所以()[]2,2f x ∈-故答案为：[]22-,16．化简：sin 22cos 45sin 23cos 22sin 45sin 23︒︒︒︒︒︒+-＝________. 【答案】1【分析】化简得原式为sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+--，再进一步化简即得解. 【详解】原式＝sin(4523cos 45sin 23cos(4523sin 45sin 23))︒︒︒︒︒︒-+-- sin 45231cos 45cos 23cos ︒︒︒︒==. 故答案为：1【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.四、解答题17．计算：sin 57sin 27cos30cos 27︒-︒︒︒ 【答案】12【分析】直接利用两角和的正弦公式化简.【详解】由sin 57sin 27cos30sin(3027)sin 27cos30cos 27cos 27︒︒︒︒︒︒︒︒︒-+-= sin 30cos 27cos30sin 27sin 27cos30cos 27︒︒︒︒︒︒︒+-=． sin 30cos 271sin 30cos 272︒︒︒︒=== 18．证明：()sin cos a x b x x ϕ±=±，其中tan b a ϕ=. 【答案】证明见解析【分析】结合两角和的正弦以及三角函数的定义式直接证明.【详解】证明：（如图）sin cos a x b x x x ⎫±=⎪⎭)sin cos cos sin x x ϕϕ=±()x ϕ=±.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45.（1）求sin α的值；（2）求αβ+.【答案】（1）35；（2）2π. 【分析】（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出cos α、sin β、cos β的值，再计算()cos αβ+的值即可出αβ+的值.【详解】（1）因为点P 的为角α终边与单位圆的交点，且纵坐标为35，将35y =代入221x y +=，因为α是锐角，0x > ，所以45x =，43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角函数的定义可得：3sin 5α=，（2）由3sin 5α=，α是锐角，可得4cos 5α=，因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45，将45y =代入221x y +=，因为β是锐角，0x > ，可得35x =，34,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以4sin 5β=，3cos 5β=，所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，因为02πα<<，02πβ<<，所以0αβ<+<π，所以2παβ+=. 20．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求（1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．【答案】（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365 【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α===-.又由12cos 13，β是第三象限角，得5sin 13β===-. （2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎛ ⎝⎭. （1）求sin α，()cos πα-；（2）若角β满足()1tan 3αβ-=，求()tan 2αβ-的值.【答案】（1）sin 5α=，cos()5πα-=；（2）1-. 【分析】（1）利用三角函数的定义求sin α，cos α，对()cos πα-用诱导公式转化后求解；（2）由（1）先求出tan α，利用两角和的正切公式求出()tan 2αβ-.【详解】解：（1）∵P ⎛ ⎝⎭，∴||1OP ==∴sin α=，cos α=，∴cos()cos παα-=-=. （2）由（1）得：sin tan =2cos ααα∴[]tan(2)tan ()αβααβ-=+-()12tan tan()3111tan tan()123ααβααβ-++-===-----⨯. 即()tan 2=1αβ--【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2)利用三角公式求三角函数值的关键：根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 22．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．（附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y间的距离公式12PP=【答案】（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论. 【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-，即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立．故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立；（2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.。

北师大版四年级数学下册小数中的和差问题

北师大版四年级数学下册小数中的和差问题全文共2篇示例，供读者参考北师大版四年级数学下册小数中的和差问题一一、“对号入座”我会填：1、按角的大小，三角形可以分为( )三角形、( )三角形、( )三角形。

2、三角形具有( )性。

平行的四边形具有( )性。

3、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是( )，这是一个( )三角形。

4、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内角和都是( )°，一个等腰三角形，它的一个底角是26°，它的顶角是( )。

5、如果三角形的两条边的长分别是3厘米和5厘米，那么第三条边的长可能是大于( )厘米小于( )厘米。

6、有( )组对边分别平行的四边形是平行四边形。

7、( )和( )是特殊的平行四边形。

8、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是( )°。

9、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是( )三角形，另一个角是( )度。

10、一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是( )厘米。

11、右图中有( )个角二、“明辨是非”我会判。

(对的打“√”，错的打“×” )。

1、等边三角形一定是等腰三角形。

( )2、有一组对边平行的四边形叫做梯形。

( )3、小强画了一个三个角分别是50°70°50°的等腰三角形( )4、两个大小一样的三角形，可以拼成一个平行四边形。

( )5、把一个三角形中一个20°的锐角截去，剩下图形的内角和是°。

( )三、“择优录取”我会选。

(将正确答案的序号填在括号里)。

1、所有的等边三角形都是( )三角形。

a、钝角b、锐角c、直角2、把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角分别是( )a、30°和60°b、45°和45°c、60°和60°3、一个三角形至少有( )个锐角。

小学数学30类典型应用题专题3：和差(暗差)问题专项练习题附答案

和差（暗差）问题专项练习和差问题（一）【定义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2小数＝（和－差）÷ 2【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

1、甲、乙两个书架共有图书450本，甲书架上的书比乙书架多60本。

甲、乙两个书架上各有图书多少本？解析：找准和与差，直接利用公式解题大数＝（和＋差）÷ 2小数＝（和－差）÷ 2甲：（450+60）÷2= 510÷2= 255（本）乙：（450-60）÷2=195（本）或255-60=195（本）答：甲书架有图书255本，乙书架有图书195本。

2、师傅和徒弟加工同一种机器零件，8小时内，师傅加工了13盒，徒弟加工了9盒。

徒弟共比师傅少加工48个。

每盒装多少个零件？解析：找准和与差，直接利用公式解题大数＝（和＋差）÷ 2小数＝（和－差）÷ 248÷（13-9）=48÷4=12（个）答：每盒装12个零件。

师傅：徒弟： 48个多60本乙书架：450本甲书架：3、小明和晓君共有72枚邮票，晓君比小明多12枚。

两人各有邮票多少枚？解析：找准和与差，直接利用公式解题大数＝（和＋差）÷ 2小数＝（和－差）÷ 2晓君：（72+12）÷2= 84÷2= 42（枚）小明： 42-12=30（枚）或（72-12）÷2=30（枚）答：小明有30枚邮票，晓君有42枚邮票。

4、懒羊羊比小灰灰多2块青草蛋糕，且两人一共有16块青草蛋糕．请问∶懒羊羊有多少块青草蛋糕?解析：找准和与差，直接利用公式解题大数＝（和＋差）÷ 2懒羊羊有∶（16＋2）÷2 = 9（块）答：懒羊羊有9块青草蛋糕。

5、农场鸡比鸭少100只，且一共有500只．请问∶鸡有多少只?解析：找准和与差，直接利用公式解题小数＝（和－差）÷ 2鸡：（500-100）÷2= 200（只）答：鸡有200只。

和差问题例题

和差问题例题和差问题例题 11.两堆800吨的石头。

第一堆比第二堆重200吨。

每堆有多少吨？2、用锡和铝混合制成600千克的合金，铝的重量比锡多400千克。

锡和铝各是多少千克？3、甲、乙两人年龄的和是35岁，甲比乙小5岁。

甲、乙两人各多少岁？4.红星小学三(1)班和三(2)班共108名学生。

如果你从3 (1)班换到3 (2)班，两个班的学生人数是一样的。

这两个班有多少学生？5.某汽车公司两个车队80辆车。

如果10辆车从第一车队调到第二车队，那么两个车队的车数相等。

两个车队有多少辆车？6.甲、乙各有60公斤水果，如果从A箱拿出5公斤放入B 箱，两箱水果重量相同。

这两个盒子里有多少公斤水果？7.小刚和萧蔷今年的年龄总和是21岁。

一年前，小刚比萧蔷小3岁。

小刚和萧蔷今年多大了？8、黄茜和胡敏两人今年的年龄和是23岁，4年后，黄茜将比胡敏大3岁。

黄茜和胡敏今年各多少岁？9、两年前，胡炜比陆飞大10岁；3年后，两人的年龄和将是42岁。

求胡炜和陆飞今年各多少岁。

10、甲、乙两箱洗衣粉共有90袋，如果从甲箱中取出4袋放到乙箱中，则甲箱比乙箱还多6袋。

两箱原来各有多少袋？和差问题例题 21、两个数的和为36，差为22，则较大的数为多少？2、A、B、C三个数，A加B等于252，B加C等于197，C 加A等于149，则C是多少？3、买一支自动铅笔与一支钢笔共用10元，已知铅笔比钢笔便宜6元，那么买铅笔花多少元？4.学校大扫除，张娟和陈芳擦了31块玻璃，据了解，张娟比陈芳少擦了9块。

陈芳擦了多少块玻璃？5、一个两位数是质数（除1与本身外，不能被其他数整除，这样的数叫质数）由两个数字组成，两个数字之和是8，两个数字之差是2，这个数是多少？6、某工厂去年与今年的平均值为92万元，今年比去年多10万元，今年的产值是多少万元？7.三块布有220米长。

第二块布是第一块的三倍长，第三块布是第二块的两倍长。

第一块布是多少米？8、甲筐里有苹果30公斤，乙筐里有橘子若干公斤，如从乙筐里取出12公斤橘子，苹果就比橘子多10公斤，乙筐原有橘子多少公斤？9.A船和B船都有623名乘客，如果A船乘客人数增加34人，B船乘客人数减少57人，那么两船乘客人数相同。

《2.4 线段的和与差》数学七年级上册冀教版课后练习

《2.4 线段的和与差》数学七年级上册冀教版课后练习1．已知线段AB＝3厘米，延长BA到C使BC＝5厘米，则AC的长是（）A．2厘米B．8厘米C．3厘米D．11厘米2．如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，AB＝10，AC＝6，则线段CD的长是（）A．4 B．3 C．2 D．13．如图，已知线段AB＝6，延长线段AB到C，使BC＝2AB，点D是AC的中点．则BD等于（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，已知线段AB＝10cm，点N在AB上，NB＝2cm，M是AB中点，那么线段MN的长为（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm5．如图所示，C是线段AB的中点，D是线段BC的中点，下列等式不正确的是（）A．CD＝AD﹣BC B．CD＝C．CD＝AB﹣BD D．CD＝AC﹣BD 6．如图，已知CB＝4，DB＝7，D是AC的中点，那么AC＝．7．如图，已知线段a、b、c（a＞c），用圆规和直尺作一条线段，使它等于a+2b﹣c．8．如图，已知点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，点E是线段BC 的中点．（1）若线段DE＝11cm，求线段AB的长．（2）若线段CE＝4cm，求线段DB的长．1.A2.C3.B4.C5.B6.67.略8.解：如图：（1）因为点D是线段AC的中点，点E是线段BC的中点，所以AC＝2CD，BC＝2CE，所以AB＝AC+BC＝2（DC+CE）＝2DE＝22cm；（2）因为点E是线段BC的中点，所以BC＝2CE＝8cm．因为点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，所以DC＝AC＝BC＝4cm，所以DB＝DC+CB＝4+8＝12cm．。

和差问题练习题及答案

和差问题练习题及答案1.两个数的和为6差为2。

则较大的数为多少？较小的数为多少？.大数：÷2＝292.在一个减法算式里被减数、减数与差三个数的和是88减数比差大 16则减数等于多少？减数+差＝388÷2＝1减数＝÷2＝1053.两筐水果共重 12千克第一筐比第二筐多千克两筐水果各重多少千克？第一筐：÷2＝66千克4.某工厂去年与今年的平均产值万元今年比去年多10 万元.今年的产值多少万元去年的产值多少万元？今年：÷2＝97万元有两层书架共有书 17本.从第一层拿走本书后第二层的书是第一层的倍还多本.则第二层有多少本书？第一层现在：÷＝43本第二层：43×2+6＝92本6.甲、乙两筐苹果共千克从甲筐取出千克苹果放入乙筐里甲筐苹果还比乙筐多千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克？甲：÷2＝46千克乙：7.张强用70 元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵 140 元，买外衣和鞋比帽子多花10 元.张强买这双鞋花多少钱？外衣和鞋总和：÷2＝240元鞋子：÷2＝50元8.把100米长的绳子剪成三段，第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米，三段绳子各长多少米？第一段：÷3＝34米9.哥哥今年18岁，妹妹今年15岁，当两人年龄和为67岁时，哥哥是多少岁？哥：÷2＝35岁10.李华和张敏共有铅笔25支，如果李华用去4支，张敏用去3支，那么李华还比张明多2支，李华和张敏原来各有多少支？李华现在：÷2＝10支 10+4＝14支11.兄弟俩共有邮票70张，哥哥给弟弟4张后，还比弟弟多2张，兄弟俩原来各有邮票多少张？哥÷2＝40张 12.一个长方形的操场长与宽相差80米，知道沿操场跑两周是800米，这个操场长宽各是多少？长：÷2＝140米13.小王、小张共买书20本，如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少2本，问：小王、小张各买了多少本书？小王比小张多：6+6-2＝10张小王：÷2＝15张。

专题17 和差问题(原卷)【网店：教师学科网资料】

2022-2023学年学校四班级思维拓展举一反三精编讲义专题17 和差问题学问精讲专题简析：已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。

解答和差应用题的基本数量关系是：（和－差）÷2=小数小数＋差=大数（和－小数=大数）或：（和＋差）÷2=大数大数－差=小数（和－大数=小数）解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些简单的应用题没有直接告知我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再依据和差问题的解法来解答。

典例分析【典例分析01】三、四班级同学共植树128棵，四班级比三班级多植树20棵，求三、四班级各植树多少棵？分析与解答：假如把三、四班级植的128棵加上20棵，得到的和就是四班级植树的2倍，所以，四班级植树的棵数是（128+20）÷2=74棵，三班级植树的棵数是74－20=54棵。

这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三班级植树棵数的2倍，由出，先求出三班级植树的棵数（128－20）÷2=54棵，再求出四班级植树的棵数：54＋20=74棵。

【典例分析02】两筐梨子共有120个，假如从第一筐中拿10个放到其次筐中，那么两筐的梨子个数相等。

两筐原来各有多少个梨？分析与解答：依据题意，第一筐削减10个，其次筐增加10个后，则两筐梨子个数相等，可知原来第一筐比其次筐多10×2=20个。

假如从120个中减去20个，那么得到的差就是其次筐梨子个数的2倍，所以，其次筐原来有（120－20）÷2=50个，第一筐原来有50＋20=70个。

【典例分析03】今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。

今年妈妈和小勇各多少岁？分析与解答：3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁。

明显，这属于和差问题。

所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）÷2=6岁。

七年级数学上册《第二章角的和与差》同步练习题含答案(冀教版)

七年级数学上册《第二章角的和与差》同步练习题含答案(冀教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知∠AOB=60°，∠BOC=45°，则∠AOC 为( )A.105°B.15°C.105°或15°D.75° 2.把一个圆形蛋糕按如图所示的方式分成n 份，如果每份中的角是15°，那么n 的值是()A.22B.24C.26D.283.如图，已知点M 是直线AB 上一点，∠AMC=52°48′，∠BMD=72°19°，则∠CMD 等于()A.49°07′B.54°53′C.55°53′D.53°7′4.如果一个角a 度数为13°14′，那么关于x 的方程2a-x=180°-3x 的解为( )A.76°46′B.76°86′C.86°56′ D .166°46′5.把一副三角板按如图所示那样拼在一起，那么∠ABC 的度数是( )A.150°B.135°C.120°D.105°6.一个角的余角比它的补角的27多5°，则这个角是( )A.35°B.47°C.74°D.76.5°7.如图，∠AOB 为平角，且∠AOC ＝27∠BOC ，则∠BOC 的度数是( )A.140°B.135°C.120°D.40°8.如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③180°﹣∠α；④12(∠α﹣∠β)．正确的是：( ) A ．①②③④ B ．①②④ C ．①②③ D ．①②二、填空题9.如图，过直线AB 上一点O 作射线OC ，∠BOC ＝29°18′，则∠AOC 的度数为 ..10.一个角的余角比这个角的补角的一半小40°，则这个角为度.11.如图，两块三角板的直角顶点O 重叠在一起，且OB 恰好平分∠COD ，则∠AOD 的度数是 .12.如图，A ，O ，B 是同一直线上的三点，OC ，OD ，OE 是从O 点引出的三条射线，且∠1：∠2：∠3：∠4＝1：2：3：4，则∠5＝度.13.一副三角板如图所示放置，则∠AOB=_______.14.根据图填空：(1)∠AOC=∠AOB ＋∠____________；(2)∠BOD=∠COD ＋∠____________；(3)∠AOC=∠AOD －∠____________；(4)∠BOC=∠____________－∠____________－∠DOC ；(5)∠BOC=∠AOC＋∠BOD－∠____________.三、解答题15.一个角的补角比它的余角的4倍还多15°，求这个角的度数.16.如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC=70°，∠AOC=50°.(1)求出∠AOB及其补角的度数；(2)请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由.17.如图所示，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数.18.如图，∠AOC 与∠BOC 的度数比为5：2，OD 平分∠AOB ，若∠COD ＝15°，求∠AOB 的度数.19.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠BOM ＝90°，∠DON ＝90°.(1)若∠COM ＝∠AOC ，求∠AOD 的度数；(2)若∠COM ＝14∠BOC ，求∠AOC 和∠MOD.20.如图(甲)，∠AOC和∠DOB都是直角.(1)如果∠DOC=28°，那么∠AOB的度数是多少？(2)找出图(甲)中相等的角.如果∠DOC≠28°，他们还会相等吗？(3)若∠DOC越来越小，则∠AOB如何变化？若∠DOC越来越大，则∠AOB又如何变化？(4)在图(乙)中利用能够画直角的工具再画一个与∠FOE相等的角.答案1.C2.B3.B4.A5.C6.B7.A8.B9.答案为：150°42′.10.答案为：80.11.答案为：135°.12.答案为：60.13.答案为：105°.14.答案为：(1)BOC (2)COB (3)DOC (4)AOD AOB (5)AOD15.解：设这个角为x则它的补角为(180°﹣x)，余角为(90°﹣x)由题意得：180°﹣x=4(90°﹣x)+15°解得：x=65°即这个角的度数为65°.16.解：(1)∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°其补角为180°﹣∠AOB=180°﹣120°=60°；(2)∠DOC=12×∠BOC=12×70°=35° ∠AOE=12×∠AOC=12×50°=25°.∠DOE 与∠AOB 互补理由：∵∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°故∠DOE 与∠AOB 互补.17.解：因为OM 、ON 平分∠AOC 和∠AOB所以∠AOM=12∠AOC ，∠AON=12∠AOB所以∠MON=∠AOM －∠AON=12∠AOC －12∠AOB=40° 又因为∠AOC 与∠AOB 互补所以∠AOC+∠AOB=180°∠AOC=130°，∠AOB=50°18.解：设∠AOC ＝5x ，则∠BOC ＝2x ，∠AOB ＝7x∵OD 平分∠AOB∴∠BOD ＝12∠AOB ＝72x∵∠COD ＝∠BOD ﹣∠BOC∴15°＝72x ﹣2x解得x ＝10°∴∠AOB ＝7×10°＝70°.19.解：(1)∵∠COM ＝∠AOC∴∠AOC ＝12∠AOM∵∠BOM ＝90°∴∠AOM ＝90°∴∠AOC ＝45°∴∠AOD ＝180°﹣45°＝135°；(2)设∠COM ＝x °，则∠BOC ＝4x °∴∠BOM ＝3x °∵∠BOM ＝90°∴3x ＝90x ＝30∴∠AOC ＝60°，∠MOD ＝90°＋60°＝150°.20.解：(1)因为∠AOC=∠DOB=90°，∠DOC=28°所以∠COB=90°﹣28°=62°所以∠AOB=90°+62°=152°(2)相等的角有：∠AOC=∠DOB ，∠AOD=∠COB 如果∠DOC ≠28°，他们还会相等(3)若∠DOC 越来越小，则∠AOB 越来越大；若∠DOC 越来越大，则∠AOB 越来越小(4)如图画∠GOE=∠HOF=90°，则∠HOG=∠FOE即，∠HOG为所画的角。

小学奥数21类难题之“和差问题”应用题(专项训练30题)

小学奥数21类难题之“和差问题”应用题（专项训练30题）【和差问题含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少。

【数量关系】大数=(和+差)÷2小数=(和-差)÷2【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。

例：甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人?解:直接套用公式甲班人数=(98+6)÷2=52(人)乙班人数=(98-6)÷2=46(人)30道和差问题练习题1.两个足球队进行友谊赛，红队和蓝队的球员总数是45人，红队比蓝队多3人，问两队各有多少人？-解：红队人数=(45+3)÷2=24人，蓝队人数=(45-3)÷2=21人。

2.学校图书馆买了一些故事书和科普书，总共有90本，故事书比科普书多8本，问两种书各有多少本？-解：故事书本数=(90+8)÷2=49本，科普书本数=(90-8)÷2=41本。

3.两个果园一共收获了120千克苹果，如果从第一个果园拿走20千克苹果到第二个果园，两个果园的苹果就一样多，问两个果园原来各有多少千克苹果？-解：原来第一个果园苹果=(120+20)÷2=70千克，第二个果园苹果=(120-20)÷2=50千克。

4.甲乙两个工厂合作生产了一批玩具，总共生产了200个，甲工厂比乙工厂多生产10个，问两个工厂各生产了多少个？-解：甲工厂生产数=(200+10)÷2=105个，乙工厂生产数=(200-10)÷2=95个。

5.两个班级进行植树活动，一共植了72棵树，如果从第一班拿走6棵树给第二班，两班植的树就一样多，问两个班级各植了多少棵树？-解：第一班植树数=(72+6)÷2=39棵树，第二班植树数=(72-6)÷2=33棵树。

6.两个游泳池，一个游泳池的水量是另一个的2倍，如果从这个游泳池中取出30吨水放到另一个游泳池，两个游泳池的水量就相等了，问两个游泳池原来各有多少吨水？-解：大游泳池水量=(30×2+30)÷2=45吨，小游泳池水量=(30×2-30)÷2=15吨。

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知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析，方法如下：方法一： (和+差)÷2=大数和-大数=小数方法二： (和-差)÷2=小数和-小数=大数例题精讲板块一、基本的和差问题【例1】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？【解析】本题也是和差问题的基本题型，借助线段图来分析如下：方法一：把第二筐多的10千克减掉，看成两个第一筐的重量来计算．列式：第一筐：15010270-÷=（）（千克），第二筐：701080+=（千克）．方法二：把第一筐少的10千克补上，看成两个第二筐的重量来计算．列式：第二筐：15010280+÷=（）（千克），第一筐：801070-=（千克）【巩固】甲、乙两人同时以相同的速度打字，2分钟共打了240个字，已知甲每分钟比乙多打10个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？【解析】首先要理解2分钟共打了240个字，那么甲、乙两人一分钟就打了2402120÷=（个）．这样就转换成典型和差问题了．方法一：甲：240210265÷+÷=（）(个) 乙：651055-=(个)方法二：乙：240210255÷-÷=（）(个) 甲：551065+=（个）在研究完这两种方法以后，老师要注意引导学生来总结和差问题的解决方法．解答和差问题的应用题，可以先画出线段图，从线段图上找到大数和小数，并找到解决方法．(两数的和－两数的差)÷2=较小的数较小的数+两数的差=较大的数(两数的和+两数的差)÷2=较大的数较大的数－两数的差=较小的数【巩固】果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？【解析】方法一：桃树：260202140+÷=（）（棵）梨树：14020120-=（棵）方法二：梨树：260202120-÷=（）（棵）桃树：12020140+=（棵）答：桃树有140棵，梨树有120棵．【巩固】有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？【解析】第一段：12225-÷=（） (米) 第二段：1257-= (米)答：第一段长5米，第二段长7米．【巩固】陈红和李玲平均身高为130厘米，陈红比李玲高8厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米？【解析】陈红和李玲平均身高为130厘米，她们身高的和为：1302260⨯= (厘米)方法一：陈红：2608 2 134+÷=（） (厘米) 李玲：1348126-= (厘米)方法二：李玲：2608 2 126-÷=（） (厘米) 陈红：1268134+=（厘米）【例2】文具王国的尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一会儿高兴地把自己绑在一起，一会儿又闹起小别扭，竖起小脑袋比比谁长的高，每天他们总是有使不完的劲儿．同学们！你能根据下面的图，算出点点和跳跳各有多长吗？【解析】解决和差问题的应用题，首先学会画线段图是关键，在这里借助两把尺子来进行比较分析，比较直观和形象，然后再从直观的实物图过渡到抽象的线段图学生比较容易理解．此处是本节课的难点突破所在，对于方法的研究老师要引导学生来思考．方法一：假设跳跳多4厘米，那么就和点点一样长，这时总长增长到了16420+=（厘米），2个点点的长是20厘米，那么点点的长就是20210÷=（厘米），跳跳就是1046-=（厘米）．列式：点点（大数）：164210+÷=（）（厘米）；跳跳（小数）：1046-=（厘米）．方法二：假设点点少4厘米，那么就和跳跳一样长，这时总长就减少到了16412-=（厘米），2个跳跳的长是12厘米，那么跳跳的长就是1226+=（厘米）．÷=（厘米），点点就是6410列式：跳跳（小数）：16426（）（厘米）；点点（大数）：6410-÷=+=（厘米）【巩固】二年级一班和二班共有85人，一班比二班多3人．问一班、二班各有多少人？【解析】本题是和差问题的基本题型，已知两个数的和与两个数的差，然后求大小两个数各是多少．和差问题一般可以借助线段图来进行分析．方法一：一班人数：853244-=（人）+÷=（） (人) ，二班人数：44341方法二：二班人数：853241-÷=+=（人）（） (人) ，一班人数：41344【巩固】两个连续奇数的和是36，这两个数分别是多少？【解析】两个连续奇数的差是2,利用和差公式解答如下．较小数：36-2217÷=-=（）较大数：361719【巩固】一辆公交车里有30位乘客，到大桥站有17人下车，又上来19人，现在车上和原来比，人多了还是少了，多（或少）几个人？【解析】这道题有两种不同的思维方法．方法一：先求出现在车上有多少人，再和原来车上30人进行比较，就知道人多了还是人少了，再用减法计算，就能求出多或少了几个人．列式：现在车上人数：30171932-+=（人）现在车上比原来多几人？32302-=（人）方法二：聪明的学生会想到只要把下车和上车的人数进行比较，就知道答案了，因为下车17人，上车19人，上车的人比下车的多2人．这样原来车上的“30人”就是多余条件了．列式：19172-=（人）答：现在车上人多了，多2人．【例3】长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？【解析】长方形一周的长是指两条长和两条宽的和，由条件可知一条长与一条宽的和为4002200÷= (米)，由此我们就知道了长和宽之和是200米，又知道长和宽之差是80米，根据和差问题来解答：方法一：长：200802140（） (米) 宽：1408060-=（米）+÷=方法二：宽：20080260+=（米）-÷=（） (米) 长：6080140【巩固】丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁语文和数学各得了多少分？【解析】在这道题中，我们已知丁丁数学成绩比语文成绩多2分，也就是知道了数学成绩和语文成绩之差，如果找到数学成绩和语文成绩之和，就转换成和差问题来解答了．又因为知道了语文和数学的平均分是91分，那么两科成绩之和就是912182⨯=（分）．方法一：数学：1822292-=（分）+÷=（）（分）语文：92290方法二：语文：1822290+=（分）-÷=（）（分）语文：90292【例4】学校水果店运来苹果和梨共40千克，苹果比梨多2袋，苹果和梨每袋都重5千克，则水果店运来苹果和梨各多少袋？【解析】方法一：题目中知道了苹果比梨多2袋，如果能求出苹果和梨一共的袋数，就可以用和差问题来解决了．而题目中只告诉我们苹果和梨共40千克，不过还告诉我们苹果和梨每袋都重5千克，那么就可以求出苹果和梨一共有4058（）（袋），苹果÷=（袋），现在就可以求出梨有8223-÷=有8225（）（袋）．+÷=方法二：部分学生可能根据题目中告诉的苹果和梨的总千克数，然后求出苹果比梨多2510⨯=（千克），算出苹果和梨各多少千克，最后再算出各多少袋．解答如下：苹果比梨多：2510⨯=（千克）苹果的重量：4010225（）（千克）+÷=梨的重量：251015-=（千克）苹果的袋数：2555÷=（袋）梨的袋数：1553÷=（袋）两种方法相比较，第一种方法更简便、直观．【巩固】有一种小虫，每隔2秒钟分裂一次．分裂后的2只新的小虫经过2秒钟后又会分裂．如果最初瓶中只有1只小虫，那么2秒后变2只，再过2秒后就变4只……2分钟后，正好满满一瓶小虫．现在这个瓶内最初放入2只这样的小虫．经过多长时间，正巧也是满满一瓶小虫?【解析】如果刚开始瓶里有1只小虫，每隔2秒钟分裂一次，第一次就分裂成2个，第二次就分裂成4个……这样2分钟就正好有了满满一瓶小虫．如果瓶里开始就放有2只小虫，那么第一次就分裂成4个，和原来比少了1个分裂成两个的2秒，直接已经有了2个．这样如果瓶里有2只小虫，就会原来的时间少2秒，需要1分钟58秒就分裂成了满满一瓶小虫．【例5】小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多．小勇家养的白兔和黑兔各多少只？【解析】解决这道题的关键就是理解“如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多”，这句话的意思也就是白兔的只数比黑兔的只数少4只，或黑兔的只数比白兔多4只．只要理解了这个已知条件，我们就可以把这个题转换成典型和差问题来解决了．方法一：把黑兔多的4只减掉，看成两个白兔的数量来计算．列式：白兔：22429+= (只)-= (只) 或9413-÷=（）（只），黑兔：22913方法二：把白兔少的4只加上，看成两个黑兔的数量来计算．列式：黑兔：224213-= (只) 或1349-=(只)+÷=（） (只) ，白兔：22139【巩固】图书馆的书架上、下两层共存书220本，如果从上层拿出10本放入下层，则两层书架上书数相等．求原来上、下层各存书多少本？【解析】根据从上层拿出10本放入下层后两层书架上的书同样多，可以知道上层书架上的书比下层书架上的书多2个10本，如果从上层书架中减去10220⨯=（本)，就和下层书架上的书同样多，那么上、下两层书架上书的总数减少了20本，这时上、下两层书架上的书的总数就相当于下层书架上书的2倍．方法一：下层：220202100-= (本)-÷=（） (本) 上层：220100120方法二：上层：220202120（）（本）下层：220120100-=（本）+÷=【例6】小华每天写8个大字，比小军每天多写2个．小华和小军一星期一共写多少个大字？【解析】方法一：要知道小华和小军一星期一共写多少个大字，就要先求出小华和小军每天共写几个大字．小华每天写8个大字，比小军每天多写2个，可以算出小军每天写6个大字，他俩每天共写14个大字．“一星期有7天”这是个隐藏条件，这个条件也是解决问题的关键，因此要认真读题才能找到这个已知条件．最后我们就可以用乘法计算出小华和小军一星期一共写多少个大字．列式：小华和小军每天共写多少个大字？ 82814-+=（个）小华和小军一星期一共写多少个大字？14798⨯=（个）方法二：可以先分别求出小华一个星期写了多少个大字和小军一个星期写了多少个大字，然后把他们一共写的个数加起来．列式：小华一星期写了多少个大字？8756⨯=（个）小军一星期一共写多少个大字？82742（）（个）-⨯=小华和小军一星期一共写多少个大字？ 564298+=（个）答：小华和小军一星期一共写98个大字．【巩固】商店里每天卖出电脑10台，卖出的彩电比电脑多5台，一个星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？【解析】方法一：每天卖出电脑和彩电多少台？1051025++=（台）一个星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？257175⨯=（台）方法二：电脑一个星期共卖出多少台？10770⨯=（台）彩电一个星期共卖出多少台？1057105（）（台）+⨯=一个星期商店卖出电脑和彩电一共多少台？70105175+=（台）答：一个星期商店卖出电脑和彩电一共175台．【例7】甲、乙两校共有学生1050人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，求两校原来有学生多少人？【解析】这道题虽然只告诉了我们两个数的和，但是两数的差属于隐藏条件．由甲校转入乙校20人，这样甲校比乙校还多10人，实际上甲校比乙校多2021050⨯+= (人)，找到了隐藏的差，就转变成了典型的和差问题．列式：乙：1050502500-= (人)（） (人) 甲：1050500550-÷=【巩固】小华和小敏共有铅笔25枝，如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，小华和小敏原来各有多少枝铅笔？【解析】如果小华用去4枝，小敏用去3枝，那么小华还比小敏多2枝，这就说明原来小华的铅笔比小敏的铅笔多3枝．找到了这个暗差，这道题就简单了．方法一：小华：253214+÷=（）（枝）小敏：14311-=（枝）方法二：小敏：253211-÷=（）（枝）小华：11314+=（枝）【例8】周明和王刚两人数学成绩的和是182分．周明如果多考5分，就比王刚多3分．周明和王刚的数学各考了多少分？【解析】已知周明和王刚两人数学成绩的和是182分，根据条件“周明如果多考5分，就比王刚多3分“可知，王刚的数学成绩比周明多532-=（分）．转换成和差问题解答如下：方法一：王刚：1822292+÷=（）（分）周明：92290-=（分）方法二：周明：1822290-÷=（）（分）王刚：90292+=（分）【巩固】有大、小两个油桶，一共装油24千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克．问：原来大、小两个油桶各装油多少千克？【解析】两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩9千克和5千克，那么也就是说大桶比小桶多4千克的油，知道这两桶油的和，又找到了这两桶油的差，这道题就变成了典型的和差问题的应用题了．方法一：大桶：244214+÷=（）（千克）小桶：14410-=（千克）方法二：小桶：244210-÷=（）（千克）大桶：10414+=（千克）【例9】兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？【解析】这道题关键也是要找到暗差，小白兔给了小黑兔5个后，小黑兔又比小白兔多出1个萝卜，画图来分析，可以得出原来小白兔比小黑兔多5219⨯-=个萝卜．这时就可以根据和差问题问题来解决了．方法一：小白兔：299219+÷=（）（个），小黑兔：291910-=（个）方法二：小黑兔：299210-÷=（）（个），小白兔：291019-=（个）．【巩固】甲乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、乙两个仓库原有大米各多少包？【解析】乙比甲多8216⨯=（包）甲：5616220-÷=（）（包）乙：562036-=（包）答：甲仓库有大米20包，乙仓库有大米36包．【例10】甲校原来比乙校多人，为方便就近入学，甲校有若干人转入乙校，这时甲校反而比乙校少人．甲校有多少人转入乙校？【解析】利用移多补少思想思考，48224÷=（人），当甲校转入乙校24人时，那么甲乙两校的人数就一样多，当甲校继续有同学转入到乙校时，每转入一个同学，甲校就比乙校少2人，1226÷=，当再从甲校转入6人到乙校时，甲校就比乙校少12人，所以甲校一共转入乙校24630+=（人）时，甲校就比乙校少12人．【巩固】两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙两箱原有图书各多少本？【解析】已知甲箱借出10本图书后，比乙箱少4本，可知甲箱原来比乙箱多1046-=（本）图书．方法一：甲箱：666236+÷=（）（本）乙箱：36630+=（本）方法二：乙箱：666230-÷=（）（本）甲箱：30636+=（本）【巩固】方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本．问：方方和圆圆原来各有图书多少本？【解析】方方给圆圆5本后，圆圆比方方多4本．，那么芳芳比圆圆多5246⨯-=（本）图书．原来圆圆有：706238+÷=（）（本），圆圆有：38632-=（本）．【例11】有三块布料一共190米，第二块比第一块长20米，第三块比第二块长30米．每块布料各长多少米？【解析】先画线段图，从线段图可以看出，以第一块为标准，第二块减少20米，第三块减少203050+=(米)，总和减少205070+= (米)，即19070120-=(米)．120米相当于第一块布料长的3倍，求出第一块布料的长度，第二块、第三块就可以求出．⑴ 第一块布料长度的3倍是：190202030120-++=（） (米)⑵ 第一块布料的长度是： 120340÷=(米)⑶ 第二块布料的长度是： 402060+=(米)⑷ 第三块布料的长度是： 603090+=(米)【巩固】甲、乙、丙三个数的和是105，甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，求丙数．【解析】已知甲数比乙数多4，乙数比丙数多4，可求出甲数比丙数多448+=．如果甲数少8，乙数少4，则甲、乙、丙三数相等，10584-+（），差正好是丙的3倍，除以3便可求出丙数． ’1058493（）-+=÷=……丙数93331答：丙数是31。

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