导数与零点专题

专题：导数与零点

一．导言

导数与零点专题是高考考察的重点内容，下表列举了从16年起全国卷对这个点的考察：如表所示，导数与零点是高考导数大题部分的重要命题方向之一.

二．题型1：判断或证明零点个数

1．已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()'

f x 为()f x 的导数．证明：

（1）()'

f x 在区间(1,

)2

π

-存在唯一极大值点；

（2）()f x 有且仅有2个零点．

2．已知函数()1

1

ln x f x x x -=-

+.

（1）讨论)(x f 的单调性，并证明)(x f 有且仅有两个零点；

（2）设0x 是)(x f 的一个零点，证明：曲线x y ln =在点)ln ,(00x x A 处的切线也是曲线

x e y =的切线.

3.已知函数()ln f x m x =，()()1

0x g x x x

-=

>. （1）讨论函数()()()F x f x g x =-在()0,∞+上的单调性；

（2）判断当m e =时，()y f x =与()y g x =的图象公切线的条数，并说明理由.

4．已知函数()ln 2sin f x x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数. (1)求证:()f x '在()0π，上存在唯一零点; (2)求证:()f x 有且仅有两个不同的零点.

题型2：已知零点个数求参数范围

5．已知函数()2

x

e x

f x a =-．

（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在只有一个零点，求a 的值.

6．已知函数2()(2)x

x f x ae

a e x =+--．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．

:

7．已知函数2

1()sin cos 2

f x x x x ax =++

，[,]x ππ∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >，讨论()f x 的零点个数.

8．已知函数()()1x

f x x e =-，()ln

g x x =，其中e 是自然对数的底数.

（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；

（2）设函数()()()h x bf x g x =-，若函数()h x 恰好有2个零点，求实数b 的取值范围.(取

ln3.5 1.25=，ln 4 1.40=)

题型3：零点的分布特征

9．设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (1

2

))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．

（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．

10．已知函数()()2

112

x

f x e x kx k R =-

--∈.

（1）当1k >时，讨论()f x 极值点的个数； （2）若分别为()f x 的最大零点和最小零点，当8a b -≥时，证明：2k >.

11.已知函数x

e x

f =)(.

（1）若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线为b kx y +=，求b k -的最小值； （2）当常数),2(+∞∈m 时，若函数2)()1()(2

+--=mx x f x x g 在),0[+∞上有两个零点

2121,,x x x x <，证明：m x e

x <<+214

ln

.

12．已知函数(1)(2)1,2

()(0)(2)1,2x x x x f x a a x x --+≤⎧=>⎨

-+>⎩

和函数()(1)1g x k x =-+.

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）若2a k =，1()0,k ∈，且函数()()y f x g x =-有三个零点1x 、2x 、3x ，求

123()()()f x f x f x ++的取值范围.

题型4：零点（极值点）偏移，双零点（极值点）问题

13.已知函数R a ax x x f ∈-=,ln )(，若0)()(21==x f x f ，证明：2

21e x x >.

14．设函数2

2

()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；

（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，212()x x x <，证明122x x a +>.

15.已知R a ax x ax x x f ∈++-=

,2ln 2

1)(2

有两个不同的极值点21x x <. （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：2

21a x x <.

16.已知函数2

)1()2()(-+-=x a e x x f x

有两个零点. （1）求a 的取值范围；

（2）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x .

练习题

1．已知函数1

,0()ln ,0x x

f x x x x

⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的

取值范围为（ ） A ．1

(0,)e

B ．1(0,

)2e

C ．1(,

)2e

-∞ D ．11(

,)2e e

2．已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1ln 2,

84⎛⎫

⎪⎝⎭

B ．1ln 2,164⎡⎫

⎪⎢

⎣⎭

C ．3ln 22,4e ⎡⎫

⎪⎢

⎣

⎭ D ．122,4n e ⎡⎫

⎪⎢

⎣

⎭ 3. 已知函数()ln x

f x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范

围是（ ） A ．1(0,)e

B ．(0,)e

C ．1(,)e

-∞

D ．1(,)e e

4．若二次函数2

()1f x x =+的图象与曲线:()1(0)x

C g x ae a =+>存在公共切线，则实数

a 的取值范围为

A ．(0，

24]e

B ．(0，

28]e

C ．24

[

e

，)+∞ D ．28

[

e

，)+∞