工程数学试题与答案
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仲恺农业工程学院
试题答案与评分标准《工程数学Ⅰ》2008至2009 学年度第 2 学期期末(A)卷
一、单项选择题(3* 8分)
二.填空题(３*7分)
1. 5 .
2.1
11
. 3. 0、7 .
4. 0、7 .
5. 1 .
6. 0、1915 .
7.
3
μ.
三.计算题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分)
1.设方阵A=
211
210
111
-
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
-
⎝⎭
,
113
432
B
-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
,解矩阵方程XA B
=、
解:
1
101 1
232 3
330
A-
⎛⎫
⎪
=--
⎪
⎪
-
⎝⎭
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3分1
221
82
5
33
X BA-
-
⎛⎫ ⎪
==
⎪
--
⎪
⎝⎭
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5分
2.某人对同一目标进行5次独立射击,若每次击中目标的概率就是2
3
,求
(1)至少一次击中目标的概率; (2)恰有3次击中目标的概率。
解:(1) 5
1242
13243⎛⎫-=
⎪⎝⎭
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 3分
(2) 3
2
35
218033243
C ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
5分
四.计算题(本大题共2小题,每小题6分,满分12分)
1.计算2
5123714
59274
612D ---=
--.
解:2
512152237140216
59270
1
134
6
120120
D -----=
=-
---、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、
、 、、、、3分
152215220113011390
2
160030
01
2
3
3
--===----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、6分
2.某工厂有三个车间生产同一产品,第一车间的次品率为0、05,第二车间的次品率为0、03,第三车间的次品率为0、01,各车间的产品数量分别为2500,2000,1500件,出厂时三个车间的产品完全混合,现从中任取一件产品,求该产品就是次品的概率。
解:设B ＝{取到次品},i A ＝{取到第i 个车间的产品},i ＝1,2,3,则123,,A A A 构成一完备事件组。……………… ……… …… …………… ………2分 利用全概率公式得,
∑=++==3
1
332211)()()()()()()()()(i i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P
%3.3%16000
1500%360002000%560002500=⋅+⋅+⋅=…………………… ……6分
五.设方阵001010100A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,求一个可逆矩阵P ,使1P AP -成为对角矩阵、 (9分)
解 由12301,1A E λλλλ-=⇒===- 3分 对应这三个特征值的特征向量分别为
1230111,0,0011-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
P P P 6分
令123(,,)P P P P =,则0P ≠,P 可逆,并且
1
111P AP -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
9分
六.设向量组121,2-a a a 线性无关,证明:向量组12,a a 也线性无关。(6分) 证明:设 k 1 a 1 + k 2a 2 = 0 ⇔( k 1+2 k 2)a 1 + k 2(a 2 -2a 1)= 0
∵121,,2-a a a 线性无关, ∴ k 1 +2k 2= 0, k 2= 0, ------4分 即 k 1 = k 2 = 0, ∴12,a a 线性无关。 ------6分-
七.求齐次线性方程组1234123412
34030230
x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪
-+-=⎨⎪--+=⎩的一个基础解系及通解。(8分)
解:齐次线性方程组的系数矩阵为
111111131123A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭～110100120000--⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、4
分
同解方程组为