人教B版(2019)数学必修(第一册)：2.2.4 均值不等式及其应用 学案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
均值不等式及其应用
【学习目标】
掌握基本不等式ab ≤a ＋b
2（a ，b ≥0）．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
【学习重难点】
均值不等式的应用．
【学习过程】 【第1课时】
一、自主学习
知识点一：数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式 1．数轴上两点之间的距离公式
一般地，如果A （a ），B （b ），则线段AB 的长为AB ＝|a －b |． 2．中点坐标公式
如果线段AB 的中点M 的坐标为x ．若a
则M 为x ＝a ＋b 2． 知识点二：基本不等式
（1）重要不等式：对于任意实数a 、b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
（2）a >0，b >0），当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b
2和ab 分别叫做正数a ，b 的算术平均数和几何平均数．
2
a b
+≤
（a ，b ∈R ＋）的应用： （1）两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a >0，b >0，且a ＋b ＝M ，M 为定
值，则ab ≤M 24，当且仅当a ＝b 时等号成立．即：a ＋b ＝M ，M 为定值时，（ab ）max ＝M 2
4．
（2）两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a >0，b >0，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
基础自测：
1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是（）A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2ab
C．1
a＋
1
b>
2
ab
D．b
a＋
a
b≥2
解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说
明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以b
a>0，
a
b>0，所以
b
a
＋a
b≥2
b
a·
a
b，即
b
a＋
a
b≥2成立．
答案：D
2．若a>1，则a＋
1
a－1的最小值是（）
A．2
B．a
C．
2a
a－1
D．3
解析：a>1，所以a－1>0，
所以a＋
1
a－1＝a－1＋
1
a－1＋1＝3．当且仅当a－1＝
1
a－1即a＝2时取等号．
答案：D
3．下列不等式中，正确的是（）
A．a＋
4
a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C．ab≥
a＋b
2
D．x2＋
3
x2≥23
解析：a <0，则a ＋4
a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，
b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab 2，故C 错误；由基本不等式可知D 项正确． 答案：D 4．已知x ，y 都是正数． （1）如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________． （2）如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________． 解析：（1）x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值． （2）xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1522＝225 4， 即xy 的最大值是225 4． 当且仅当x ＝y ＝15 2时xy 取最大值． 答案：（1）215 （2）2254 二、素养提升 题型一：对基本不等式的理解 例1：（1）下列不等式中，不正确的是（ ） A ．a 2＋b 2≥2|a ||b | B ．a 2 b ≥2a －b （b ≠0） C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2≥2a b －1（b ≠0） D ．2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2 （2）给出下列命题： ①若x ∈R ，则x ＋1 x ≥2； ②若a <0，b <0，则ab ＋1 ab ≥2； ③不等式y x ＋x y ≥2成立的条件是x >0且y >0．其中正确命题的序号是________． 解析：（1）A 中，a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a ||b |，所以A 正确．由a 2＋b 2≥2ab ，得a 2≥2ab －b 2．B 中，当b <0时，a 2b ≤2a －b ，所以B 不正确．C 中，b ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2≥2a b －1，所以C 正确．D 中， 由a 2＋b 2≥2ab ，得2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2，所以D 正确． 1．举反例、基本不等式⇒逐个判断． 2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断． 答案：（1）B 解析：（2）只有当x >0时，才能由基本不等式得到x ＋1x ≥2x ·1 x ＝2，故①错误；当a <0， b <0时，ab >0，由基本不等式可得ab ＋1ab ≥2ab ·1 ab ＝2，故②正确；由基本不等式可知，当 y x >0，x y >0时，有y x ＋x y ≥2 y x ·x y ＝2成立，这时只需x 与y 同号即可，故③错误． 基本不等式的两个关注点 （1）正数：指式子中的a ，b 均为正数， （2）相等：即“＝”成立的条件． 答案：（2）② 跟踪训练1：设0 A ．a 2