中南大学数值分析试题7

1.0 1.0
0 1 3
0.5 0.25
0.25 .
0.5
2.0
5. 设x = (1, 1, 1, 1)T , 用下列两种方法分别求正交矩阵P , 使得P x = ± (a) P 为平面旋转矩阵的乘积. (b) P 为镜面反射矩阵.
x
2
e1 .
1
6. (a) 设矩阵A ∈ Rn×n 为对称矩阵, λ 和x( x
0 (1) A = −1


2 2 −1Βιβλιοθήκη Baidu
0
3 1 −2 , (2) A = 1 4 2 .
−2
1
2 1
10. 设矩阵A ∈ Rn×n 为Hessenberg形, 对QR变换 A = QR, B = QT AQ = RQ 证明矩阵Q 和B 都是Hessenberg形矩阵. 2
3
3
1
3. 用反幂法求矩阵


6 2 1 A= 2 3 1 .
1 1 1
的最接近6的特征值和特征向量. 4. 用Jacobi方法计算下列矩阵的全部特征值和特征向量:
4 0 0 1.0 A1 = 0 3 1 ; A2 = 1.0


1 3 4 A= 3 1 2 .
4 2 1
8. 用镜面反射变换求下列矩阵的QR变换:

.
1 1 1 A= 2 −1 −1 2 −4

5
9. 用平面旋转变换对下列Hessenberg形矩阵作一步QR变换:

2=
1) 是A 的一个特征值及对应的特征
.
向量. 试证: 若有正交矩阵P 使得P x = e1 , 则有 P AP T = (b) 已知矩阵
λ
0
0 B
2 A= 10

10 5 −8
2
−8 .
2
11
的 一 个 特 征 值λ = 9和 对 应 的 特 征 向 量x = (2/3, 1/3, 2/3)T . 试 求 镜 面 反 射 矩 阵P 使得P x = e1 , 并计算P AP T . 7. 用正交相似变换将下列矩阵化为对称三对角矩阵:
习题七
1. 用幂法求下列矩阵的主特征值和主特征向量:
3 −2 −4 A= −2 6 −2 .
−4 −2
3
当特征值有3位小数稳定时迭代终止, 再对计算结果用Aitken外推加速. 2. 用反幂法求下列矩阵模最小的特征值和对应的特征向量:
3 −4 3 A= −4 6 3 .