答案-控制系统的状态空间描述-习题解答
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第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答
系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量,推导其状态空间表达式。其中,u 、y 分别为系统的输入、输出,1α、2α、3α均为标量。
图系统结构图
解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图,且图中每个积分器
的输出即为状态变量,这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系,又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。
着眼于求和点①、②、③,则有
①:2111x x x
+=α ②: 3222x x x +=α ③:u x x +=333α 输出y 为1y x du =+,得
{
11
12223331000100
1x a x x a x u x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
[]123100x y x du x ⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++
;(2) u u y y -=+ 32;
(3) u u
y y y y 75532+=+++ 。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =,2y x =,3y x =,则有:
12
23
31231
543x x x x x x x x u y x =⎧⎪=⎪⎨
=---+⎪⎪=⎩ 状态空间表达式为:[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件
下取拉氏变换得:
《
3222332()3()()()
11()1223()232
s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s
+=---==
++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为
1122330100001031002x x x x u x x ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-
⎢⎥⎣⎦
123110
2
2x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=-
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
(3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件下取拉氏变换得:
323()2()3()5()5()7()s Y s s Y s sY s Y s s U s U s +++=+
332()57
()235
Y s s U s s s s +=+++ 在用传递函数求系统的状态空间表达式时,一定要注意传递函数是否为严格真有理分式,即m 是否小于n ,若m n =需作如下处理
"
323232()57101518
5()235235
Y s s s s U s s s s s s s +---==+++++++
再由公式、可直接求得系统状态空间表达式为
112233010000105321x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []1231005x y x u x ⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
已知下列传递函数,试用直接分解法建立其状态空间表达式,并画出状态变量图。
(1)3321()6116s s g s s s s ++=+++ (2)232
23
()231
s s g s s s s ++=+++ (1) 解
首先将传函(1)化为严格真有理式即:
^
232()6105()11()()6116
Y s s s g s g s U s s s s ---'==+=++++
令()
()()
Y s g s U s ''=
',则有
123
123
6105()()16116s s s Y s U s s s s ---------''=+++,
123
1
()()
16116E s U s s s s
---''=+++, 即:
1231
2
3
()()6()11()6()()6()10()5()
E s U s s E s s E s s E s Y s s E s s E s s E s ------'=---'=---
由上式可得状态变量图如下:
$
由状态变量图或公式、直接求得能控标准型状态空间表达式
1122330
100001061161x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
[]123x y x u x ⎡⎤
⎢⎥+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
=-6-11-6
(2) 解 由已知得:
123
123
23()()123s s s Y s U s s s s
------++=+++, 令: 123
1
()()
123E s U s s s s ---=+++,