分类讨论思想在等腰三角形中的应用

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分类讨论思想在确定等腰(直角)三角形顶点位置中的应用

未确定的问题，主要有以下两种类型：是由于两个顶一
徐
骏
点Ｅ，Ｅ（，），则，６０
Ｆｌ、、
、、
点形成的线段为腰或底不确定而进行的分类；二是三个顶点之中直角顶点不确定而进行的分类．在解决这类问题时，若不全面细致地分析，很容易出现漏解的情况．本
在三角板绕点Ｐ旋转的过程中，使
得ＡＰＥ成为等腰三角形．写出Ｏ请
图２
一
满足条件的点Ｆ的坐标
．
— — 一
（）舾为腰，尸点坐标为（，＋）（１若则０～１２或０
，
解析
若以ＯＰ为腰，以０为圆心，Ｐ为半径先Ｏ
当＜０时，一３ｚ由＋２
ｆ．）
画弧交轴于点Ｅ，如图３，Ｅ（３，）。Ｅ（）则。一０，
＝一，ｆ４不合题意，ｚ得＝（舍
Ｅ（４，）再以Ｐ为圆心，Ｐ为半径画弧交轴于：３Ｙ０．Ｏ
去）此时直线＝ｔ存在．，不
Ａ８．个Ｂ７个．
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＿一
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Ｄ４．个
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若以ＤＰ为底，Ｏ作尸的垂直平分线交轴于点Ｅ，４
～．
／Ｊ

《等腰三角形中分类思想》论文

《等腰三角形中的分类思想》一、教材分析:等腰三角形是九年制义务教育课程标准实验教科书（人教版）八年级上册第十二章“轴对称”第三节的内容。

它是一个特殊的三角形，两腰相等且两底角相等。

它的性质可以用来解决很多几何问题，但也正是因为它有这样的特性，与它相关的问题会因为条件的不确定而出现多解。

因此，在解等腰三角形边、角问题时，常常要运用分类思想。

在等腰三角形复习课中，将分类讨论作为一个专题复习很有必要。

二、学情分析：八年级的学生已经有了一些几何知识的积累，在本节课以前，学生已经学习了有关等腰三角形的一些知识，如等腰三角形的定义，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等。

对于等腰三角形中的分类讨论，有时学生感到似乎比较简单,但要真正完整解答,却并非容易。

学生遇到的最常见问题是漏解，有些同学甚至从初学阶段到最后的复习阶段都反复出现同样的错误。

要解决这一问题，除了认真仔细，更重要的是要学会运用分类思想解等腰三角形边、角问题。

三、教学目标：（一）知识与技能目标：1、培养分类讨论的思想；2、会运用分类讨论的思想来解决等腰三角形有关问题。

（二）过程与方法目标：1、让学生在知识点复习、归纳以及充分的变式训练过程中，体会分类思想；2、在上述过程中，发展学生归纳、概括和有条理表达活动的过程和结论的能力。

（三）情感态度与价值观：1、培养学生积极参与、合作交流的意识；2、在分类讨论的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气。

四、教学重点：1、了解等腰三角形边、角分类讨论的情况；2、会运用分类思想解等腰三角形边、角问题。

五、教学难点：会运用分类思想解等腰三角形综合题六、教学思路：首先，通过知识点流程图复习等腰三角形边、角有关知识点，让学生明白因为等腰三角形边、角的特殊性，所以在解与它相关问题时常常要分类讨论。

接着，通过变式训练让学生了解等腰三角形边、角分类讨论情况。

最后，让学生学会运用分类思想解等腰三角形边、角综合题。

七、教具准备：内角为110°、20°、50°的三角形纸板、三角板、ppt课件、电脑、投影仪等。

等腰三角形中的分类讨论思想

等腰三角形中的分类讨论思想作者：李贵生来源：《初中生之友·中旬刊》2012年第09期在解决等腰三角形问题时，由于等腰三角形的特殊性，为了解题方便，可以将问题分为不同种类，然后逐类解决，从而达到解决问题的目的，这一思想方法称为分类讨论的思想方法。

下面结合例题介绍分类讨论思想在等腰三角形中的应用，供同学们参考。

一、三角形的形状不确定等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°分析根据题意满足条件的三角形可能是锐角三角形，也有可能是钝角三角形。

解（1）当等腰三角形为锐角三角形时，一腰上的高在三角形内部，它与另一腰的夹角为30°，则顶角∠C为60°，如图1—1。

（2）当等腰三角形为钝角三角形时，一腰上的高在腰的延长线上，它与另一腰的夹角为30°，则顶角的补角是60°，顶角的度数为120°，如图1—2。

综上所述，顶角的度数为60°或120°。

故答案选D。

点评因为三角形的形状不确定，因此，所对应的三角形的顶角的度数也就不一样。

二、线段未确定在直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个分析线段OA可以是底边，也可以是腰。

解如图2所示，若OA为底，则P1（1，0）；点评以上解答是按OA为边时的情况讨论，当然也可以按A为顶角的顶点和O为顶角的顶点的情况讨论。

三、角未确定已知等腰三角形的一个角为80°，则它的另外两个角是_______。

分析题目中没有指出80°角是等腰三角形的底角还是顶角，因此，需要分两种情况求解。

四、边未确定已知AD为等腰△ABC的腰BC上的高，∠DAB=60°，求这个三角形内角的度数。

“分类讨论”在等腰三角形中的应用

“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）A. 12 B 17 C 19 D 17或19分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成立；（2）当3x－2＝6－2x时，即85x=，则三边长为141714555、、，由于141417555+>，所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有222b b aa+<<．二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差．解：不妨设腰长为x cm，底边长为y cm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有2220x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得221633x y==、；（2）当腰长小于底边时，有2220y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得68x y==、；因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为223cm或6cm．说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解．三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角．（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角．分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角．解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为180302︒-︒，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是1801002︒-︒，即为40°．说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角．四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12AD BC=，求∠BAC的度数．分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论．解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在△ABC内部时，1122AD BC AB==，∠B=30°，所以∠BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在△ABC的外部时，1122AD BC AB==，∠DBA=30°；所以∠BAC=15°．综上所述∠BAC的度数可以为15°、75°、90°．说明：由于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解．试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是＿＿＿＿＿Cm．2、在平面直角坐标系中，已知点为A（－2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标．3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)“分类讨论”在等腰三角形中的应用当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”——“分而治之，各个击破”．下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，①当顶角是锐角时，如图1，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°;②当顶角是钝角时，如图2，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC =120°．所以顶角度数为60°或120°，所以选D ．例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( ) A 、7 B 、3 C 、5或3 D 、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C ．说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰．例3 已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个分析:如图3，以线段AB 为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C ．说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形．例4 如图4，在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．分析：如图4，△ABC 三条边的垂直平分线的交点1p 满足条件，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画圆弧，交AC 的垂直平分线于2p 、3p 两点，则△、、、AC P BC P AB P 222∆∆、、、AC P BC P AB P 333∆∆也是等腰三角形，同样可以在AB 、BC 的垂直平分线上再找到4个点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图4．说明：此题乍一看只能确定在△ABC 内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！…图1B 图2 图3B。

分类思想在等腰三角形中的应用

六、问方法要科学提
考；问过少过疏，使整个课堂缺少师生间的交流和提则
互动，目不利于教师了解和调控学生的状态。以，并所课堂提问要适度适时，不要太多，不要太少，把握好既也要
法。要求学生能把某个较为复杂的问题经过严谨周密它
的思考，定一个分类标准，按同一个标准把它分别确并
为若干类较为简单的情况，然后逐一讨论研究解决，使研究的结果不重复，遗漏，等腰三角形中由于边。不而角
张，易造成学生的疲劳和不耐烦，利于学生深入思容不
位学生的微妙变化，过信息反馈，捉那些容易被通捕
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
忽视的思想浪花，过不同层次的问题，动起全体学通调生的学习兴趣，每个学生都能得到提高。使
等角对等边。“ 线合一 ” 。三等师：好。了进一步认识和研究它，想请一名同很为我学上黑板来画一个等腰三角形。
（中一名学生自告奋勇上黑板，画了一个顶角其他为锐角的等腰三角形）师：其他同学想一想，还有什么要补充的吗？请你生３他画的不全面，们所碰到的等腰三角形其实：我还应该有等腰直角三角形和顶角为钝角的等腰三角形。

分类讨论在等腰三角形的应用

分类讨论在等腰三角形的应用
等腰三角形在很多方面都有应用，下面是其中一些主要应用：
一、在建筑中：等腰三角形可以用于在建筑中制作梁弓楼梯，它能起到稳定结构，从而使结构更加坚固。

二、在机械工程中：等腰三角型可以用于机械设备，如拓扑分析机，它可以提高传动效率和节能效果。

三、在电子工程中：等腰三角形可以用于各种电路，其中一个常用的就是三角互补电路，可以很好地抑制外界电磁干扰。

四、在布局中应用：等腰三角形可以用于室内外布局，如装饰、安装设备等，它可以使空间变得更加实用和美观。

五、在数学上：等腰三角形可以用于求解平面几何相关问题，并且可以为绘制多边形提供一些参考。

怎样运用分类讨论思想解答几何中的动点问题

数学篇几何动点问题一直是初中几何中的一个难点，因为点运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种.同学们在求解此类问题时常常因为考虑不周导致漏解而出错.因此，解答动点问题尤其要注意分类讨论.下面就如何运用分类讨论思想解答两类几何图形中的动点问题进行分析，以供参考.一、运用分类讨论思想解答等腰三角形中的动点问题等腰三角形具有两条边相等、底角相等的特点，在求解涉及等腰三角形的动点问题时，由于边的不确定性或角的不确定，需要运用分类讨论思想，从动态的角度逐一讨论三角形的三边两两相等的三种情况，或三角形的三个角为其顶角的三种可能性，然后综合所有分类的结果确定最终答案.例1如图1，在直角坐标系中，已知点P (-2,-1)，点T （t ,0）是x 轴上的一个动点.（1）求点P 关于原点的对称点P ′的坐标；（2）当[t ]取何值时，△P ′TO是等腰三角形？图1图1-1分析：第（1）问求P 点的对称点P ′比较简单，利用对称性即可解答.第（2）问，T 是x 轴上的动点，它在运动的过程中△P ′TO 可能是等腰三角形但顶点未确定，需要分情况讨论.解：（1）∵P (-2,-1)，∴P 关于原点的对称点P ′坐标为（2，-1），（2）由（1）知P ′（2，-1），作图如图1-1所示，①当△P ′TO 中，点P ′为顶点时，T 点为图1-1中T 4点，此时P ′T =P ′O ，T 坐标为T 4(4,0)，②当△P ′TO 中，点T 为顶点时，T 点为图1-1中T 2点，此时TO =TP ′，又∵T （t ，0）且P ′（2，-1），∴(0-t )2+(0-0)2=(2-t )2+(-1-0)2解得，t =54，此时点T 坐标为T 2（54，0），③当△P ′TO 中，点O 为顶点时，T 点为图1-1中T 1和T 3点，此时TO =P ′O ，∵T （t ，0）且P ′（2，-1），∴(0-t )2+(0-0)2=(0-2)2+[0-(-1)]2，解得，t =±5，此时T 点坐标为T 1(-5，0)和T 3（5，0），综合①②③可知，当t 取-5、54、5、4时，△P ′TO 是等腰三角形.评注：本题看似简单，实则非常复杂.由于题目中没有明确等腰三角形的顶点，且T 为坐标轴上的一个动点，所以点T 、O 、P 均有可能为等腰三角形顶角的顶点，需要对此进怎样运用分类讨论思想解答几何中盐城市新洋初级中学吉华丽解法荟萃32数学篇行分类讨论.二、运用分类讨论思想解答圆中的动点问题圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性.圆的这些特性决定了与圆有关的动点问题可能存在多解.在解题时，我们可以根据题目要求初步绘制“圆”可能存在的位置，然后依据分类标准（比如x 轴、y 轴等）逐一分类讨论，做到不重不漏，最后综合所有情况得到完整答案.例2如图2，直线y =-43x +4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N .（1）求M ，N 两点的坐标；（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，125为半径的圆与直线y=-43x +4相切，求点P 的坐标.图2图2-1分析：这是一个直线与圆相结合的题目.第（1）问，我们借助直线方程y=-43x +4可以直接求出M 、N 的坐标.第（2）问P 点在坐标轴上，到底在x 轴还是y 轴不确定，所以以P 点为圆心，半径为125的圆也具有不确定性，需要借助分类讨论思想加以讨论.解：（1）∵直线y =-43x +4与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，∴令x =0，y =4，即N （0，4）.同理可得M （3，0）.（2）经过分析发现P 点可能在x 轴上或y 轴上，通过作图发现可能有4种情况，如图2-1所示.①当P 在x 轴上时，设P （x 0，0），则圆P可能是图2-1中的两个虚线圆.125=43x ，解得x 0=0或6，此情况下P 点坐标为P 1（0，0）P 2（6，0）；②当P 在y 轴上时，设P （0，y 0），则圆P可能是图2-1中的两个实线圆.125=|-43×0-y 0+4|4，解得y 0=0或8，此情况下P 坐标为P 3（0，0）和P 4（0，8），由此可见P 1和P 3重合，是同一个点.综合①②，符合条件的P 点一共有3个，分表为（0，0）、（6，0）、（0，8）.评注：审题时一定要充分挖掘隐含条件，“点P 在坐标轴上”就是一个不确定的表述，可能存在多种情况.另外作图要准确，可以通过作图的方式大致确定点的位置，预估答案.此外，该题还有一个关键之处，即“点到直线的距离公式”.考试中常用的有两种公式，分别为：①设直线方程为一般式Ax +By +C =0，点P 的坐标为（x 0，y 0），则点P 到直线L 的距离为：d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B2；②当P (x 0,y 0)，直线L 的方程为截距式y =kx +b ，则P 点到直线的距离为d =|kx 0-y 0+b |1+k2.总之，动点问题常常要借助分类讨论思想辅助解题.一般涉及到与“直角三角形”“等腰三角形”“相似三角形”“圆”等相关的动点问题，往往具有不确定性，存在多解的情况.解法荟萃。

分类讨论思想在等腰三角形中的应用

分类讨论思想在等腰三角形中的应用
如图等腰三角形△ABC中边：腰和底边角：顶角和底角
方法与应用一遇角需考虑讨论顶角和底角
已知等腰三角形的一个底内角是 13000°° ，则它的顶角是 1210100或200°3000 .
方法与应用二遇边需考虑讨论腰和底边
1、已知等腰三角形的两边长分别是 31 和 2 ，则它的周长是 7或5 8
以10为底边
以10为腰
课堂小结 1、遇边需考虑分类讨论腰和底边 2、遇角需考虑分类讨论顶角和底角 3、遇高线需考虑分类讨论三角形的类别
作业布置
收集用分类讨论思想解决的，与等腰三角形有关的问题，并按一定的标准对收集的问题进行归类。
2、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和 12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
方法与应用三遇高线需考虑讨论三角形的类别
等腰三角形一腰上的高。
RJ DJ
综合应用
为了美化环境，计划在某小区内用草皮铺设一块面积为30，一边长为10的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

分类讨论思想在几何中的应用——以《等腰三角形中的分类讨论》教学为例

与两坐标
，
，
轴交于两点，这样做是以点Ａ为顶角的顶点那么ＡＰ＝，
ＡＯ最后做线段０Ａ的中垂线交坐标轴于另外两点
；
，
，
这是把
Ｐ
点作
为
顶
角
的顶
点
，
那
么
ＰＯ＝ＰＡＰ，
点应在
０Ａ
的中垂线上
思考．
（学生画图如下Ｊ
师：遇到这种类型的题．首先要对另一边进行理
解
这里的 “ 另
一边 ”说明
了
条件
不
确
定也．
就
是说有
可
能是底也有可能是腰
，
；
请师：
看下题一：
在直角坐标系中点Ａ的坐标为，
而这时又
，
分为腰上的高在三角形的内部和外部两种情况：
生还有一种情况
：：
．
一腰上的高与另一边的夹角
为２５＼另一边在这里还有可能是底边
师大家根据这两位同学的建议在草稿纸上画图：，
想在教学中的应用：
师等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为２５
：
，Байду номын сангаас
求三角形各内角的度数：

分类讨论思想在解题中的应用——以等腰三角形为例

分类讨论思想在解题中的应用——以等腰三角形为例
陈厚波
【期刊名称】《中学数学教学参考》
【年(卷),期】2024()6
【摘要】分类讨论思想是重要的数学思想方法,在数学解题中具有广泛的应用。

以等腰三角形问题为例,揭示分类讨论思想在静态问题和动态问题中的应用,提高学生的认知能力。

【总页数】2页(P55-56)
【作者】陈厚波
【作者单位】山东省济南市章丘区枣园中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
2.分类讨论思想在几何中的应用——以《等腰三角形中的分类讨论》教学为例
3.例谈分类讨论思想在等腰三角形问题中的应用
4.例谈分类讨论思想在解初中数学题中的应用
5.分类讨论思想在初中数学解题中的应用——以等腰三角形为例
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数学中的分类讨论思想——等腰三角形专题教学设计

点的个数的过
知延
识伸
程，培养学生
绘图能力和知识的应变能
力。
y
知识延伸到二次函数中：抛物线与X轴交于点B与xy轴交于点C请在对称轴上确定点P使三角形BCP为等腰三角形，这样的点P有几个？
通过问题的延伸，让学生在解决此类问题时，能够形成一种以不变应万变的解题方法，提高学生的解题能力。
学生在这个问
21O
B
教学目的
分类讨论
分类讨论
角色
之争
以实际生活为背景：小明的等腰三角形的玻璃板碎了只剩下一个完整的30°的角，来确定三角形的顶角大小。即：等腰三角形的顶角与底角之争改变已知角为110°时答案唯一
学生分析问题，计算解决，分析得到双解的原因，和分类讨论的理论依据是三角形的内角和。
使学生明确等腰三角形的角有顶角和底角之分，边有底和腰之分，在满足三角形内角和和三边关系的基础上要合理适当的进行分类讨论。
解决和掌握等腰三角形的分类讨论问题。
教学环境
资源准备
教学环境：多媒体
资源准备：课件、实物投影
教学过程
情境导入——分类讨论（——角色之争——位置迁移——尝试归纳——知识延伸）—
—谈收获
教学
环节
媒体整合
教师活动
学生活动
设计意图
情境导入
等腰三角形专题
直接揭示本节课的主题
是等腰三角形
引发学生的思
考
明确本节课的
◆情感态度与价值观
1、鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．
2、体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．
教学重点难点
◆重点
1、等腰三角形在计算中的分类讨论问题
2、等腰三角形在动态中的分类讨论问题

等腰三角形中的数学思想

等腰三角形中的数学思想数学思想是数学知识的精髓，在学习等腰三角形时如能合理地运用数学思想解题，则会给解题带来极大的方便，现举例说明，供同学们学习时参考。

一、整体思想例1 在△ABC 中，已知AB=AC ，则∠B+21∠A= 。

分析：画出草图如图1，由AB=AC ，可得∠B=∠C ，可考虑将∠B+21∠A 同时扩大2倍，得2∠B+∠A ，问题便可解决。

解：由AB=AC 得∠B=∠C因为∠A+∠B+∠C=180°所以2∠B+∠A=180°所以∠B+21∠A=90° 点评：本题中，将（∠B+21∠A ）视为整体，是解决题的关键。

二．分类讨论思想例2 （重庆市）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A 、20°B 、120°C 、20°或120°D 、36°分析：应分类讨论等腰三角形顶角与底角的比为1：4和等腰三角形底角与顶角的比为1：4。

解：设等腰三角形的顶角为α（1）若等腰三角形顶角与底角的比为1：4，则α+4α+4α=180° α=20°（2）若等腰三角形底角与顶角的比为1：4，则α+41α+41α=180° α=120° A BC 图1故应选C 。

例3 已知等腰三角形的两边长为7、4，则它的周长等于。

分析：应分类讨论7是腰长还是底边长。

解：①若等腰三角形的腰长为7，则它的周长为7+7+4=18②若等腰三角形的底边长为7，则它的周长为7+4+4=15。

故应填18或15。

点评：解与等腰三角形有关的问题，一定要考虑周到，要正确运用分类讨论思想，对所有可能的情况进行分析。

三、方程思想例4 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm 和15cm 的两部分，求三角形的各边长。

分析：画草图如图2，腰AC 上的中线BD 把△ABC 的周长分成为12cm 和15cm 两部分列方程可解决问题解：设AB=xcm ，则AD=DC=21xcm ，以下分两种情况讨论 ①若AB+AD=12cm ，则x+21x=12，x+8，AB=AC=8cm ，DC=4cm ，BC=15-4=11cm ，此时AB+AC ＞BC 符合题意。

典中点全等三角形专训5 分类讨论思想在等腰三角形中的应用

典中点全等三角形专训5 分类讨论思想在等腰三角形中的应用◐名师点金◑分类讨论思想是解题的一种常用方法,在等腰三角形中,往往会遇到条件或结论不唯一的情况,此时就需要分类讨论,通过正确地分类讨论,可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.其解题策略为先分类,再画图,后计算。

应用1：当顶角或底角不确定时,分类讨论1.若等腰三角形中有一个角等于40°,则这个等腰三角形的顶角度数为（）A.40°B.100°C.40°或70°D.40°或100°2.已知等腰三角形ABC 中,AD ⊥BC 交线段BC 于点D,且BC=2AD,则等腰三角形ABC 的底角的度数为( )A.45°B.75°C.45°或75°D.60°3.若等腰三角形的一个外角为64°,则底角的度数为___________.应用2：当底和腰不确定时,分类讨论4.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为( )A.8或10B.8C.10D.6或125.等腰三角形的两边长分别为7和9,则其周长为____________.6.若实数x,y 满足0105=-+-y x ,则以x,y 的值为边长的等腰三角形的周长为_________. 应用3:当高的位置关系不确定时,分类讨论7.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个内角的度数.应用4：由腰的垂直平分线引起的分类讨论8.在三角形ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,求底角B的度数。

应用5：由腰上的中线引起的分类讨论9.等腰三角形ABC的底边BC长为5cm,一腰上的中线BD把其分为周长差为3cm的两部分，求腰长。

应用6：由点的位置不确定引起的分类讨论10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有( )A.7B.6个C.5个D.4个11.如图,已知△ABC中,BC>AB>AC,∠ACB=40°,如果D,E是直线AB上的两点,且AD=AC,BE=BC，求∠DCE的度数。

等腰三角形分类讨论的一点思考与实践

等腰三角形分类讨论的一点思考与实践摘要：数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想。

分类讨论不仅是一种非常重要的数学思想，而且它还是一种非常有效的解题策略，其主要体现在“集零为整，化整为零”的思想和归类整理思想这两个部分。

在初中数学教学中，如果教师对分类讨论思想加以运用，可以使学生对数学知识有更加深入的认识和理解，同时它能够进一步培养学生的思维能力及数学素养。

就此笔者在本文中对分类讨论在等腰三角形中的运用作了一些思考和实践。

关键词：数学思想分类讨论等腰三角形在数学课堂中进行数学思想方法的教学，不仅能够提高课堂教学效益，有利于学生素质的提高，也是数学核心素养的一个重要内容。

而分类讨论思想是在中学阶段需要掌握的重要思想方法。

在初中几何题目中出现分类讨论比较多的是与等腰三角形有关的知识。

浙教版数学八上第二章学习等腰三角形，而等腰三角形是一种既特殊又重要的三角形，就因为这种特殊性，处理问题时很容易出现错误。

即使到了初三也会出现很多有关等腰三角形分类讨论的问题。

虽然平时的教学中也经常渗透数学思想，但等腰三角形分类的标准比较多，而且经常同一题中出现多次分类，这使很多学生遇到此类题就很茫然，经常出现漏解等。

就此笔者认为在等腰三角形这章的教学中很有必要让学生理解等腰三角形的各种分类及为什么要分、怎么分等。

这不仅有助于等腰三角形各个知识点的理解，更为以后知识的迁移及再创造打下坚实的基础。

一、分类讨论的重要性1.分类讨论在初中数学解题中的重要作用。

分类讨论本质上就是一种逻辑上划分的思维方式。

其在教学中具体表现为对题目“化整为零”，一个一个地进行击破，这样就实现了积零为整的教学方式。

它不仅是一种独特的数学逻辑方法，而且在进行数学知识教学时更是一种有效的解题策略。

在解答数学题时，如果因为题目的题意中存在着一些不确定因素，进而导致无法解答的情况，就可以将题目分为若干个小问题，对其进行分类讨论，使相对复杂的问题变得简单化。

分类讨论思想在等腰三角形中的运用

２１年第６００期
金色年华
数学教学
分类讨论思想在等腰三角形中的运用
谭利民
ｆ南江县长赤中学，四川南江６５０）３６３
［摘要１在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
一
需要分类讨论。三角形的三边长必须满足：任意两边之和大于第三边；意两边之差小于第三边。任
三、当高的位置关系不确定时。必须分类讨论
例４等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角是４。求顶：Ｊ，Ｄ角的度数。分析：目中没指明是什么三角形，题应分类讨论。解：１如图１（）所示，ＡＡＣ若Ｂ是锐角三角形，Ａ＝Ｃ，Ｄ上且ＢＡＢ
个内角的度数；
Ｂ
Ｂ
图ｌ
ｃ
分析：目没有指明“ 题顶角是底角的４ ” 还是 “ 倍，底角是顶角的４ ” 倍因此必须进行分类讨论。
解：１当底角是顶角的４（）倍时，顶角为ｘ则底角为４，设，ｘ
・
．．
综上所述，角是１０或５０顶３。０。
数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对数学学习的兴趣，培
养学生思维的条理性、缜密性、学性，科下面就以等腰三角形为例谈谈分类讨论思想的运用。等腰三角形是一种特殊的三角形，就边而言，有两种边，即腰和底边；角而言，两种角，就有即顶角和底角。因此，在研究等腰三角形的问题时，比较常用的思想当属于分类讨论思想。

典中点《提分练习17 分类讨论思想的四种常见题型》

《提分练习17 分类讨论思想的四种常见题型》典例剖析例已知AD为等腰三角形ABC的腰BC上的高，∠DAB=60°，求△ABC中各内角的度数.解题秘方：应用分类讨论思想解题时，关键要确定分类标准，做到“不重复、不遗漏”.本题中，由于条件中只给出BC为腰，因此顶角可能为∠B，也可能为∠C，所以解答时，需按顶角的不同情况分类进行解答.提示：分类有图①、图②、图③三种情况，解答过程略.答案：△ABC三个内角的度数分别为30°，75°，75°或150°，15°，15°或120°，30°，30°.分类训练题型1 分类讨论思想在求等腰三角形边长中的应用1.已知等腰三角形的周长是24 cm.（1）腰长是底边长的2倍，求腰长；（2）已知其中一边长为6 cm，求其他两边长.题型2 分类讨论思想在求三角形角的度数中的应用2.已知BD，CE是△ABC的高，且直线BD，CE相交所成的角中有一个角为45°，求∠BAC的度数.题型3 分类讨论思想在求完全平方式的字母系数中的应用3.二次三项式29x kx-+是一个完全平方式，求k的值.题型4 分类讨论思想在求分式方程的字母系数中的应用4.若关于x的方程12212(1)(2)m mx x x x++=----无解，求m的值.参考答案1.解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm.根据题意，得x+2x+2x=24，解得x=4.8.故腰长=2×4.8=9.6（cm）.（2）因为长为6 cm的边可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况计算.当长为6 cm的边为腰时，底边长为24-6×2=12（cm）.因为6+6=12（cm），所以长为6 cm的边为腰时不能组成三角形，舍去.当长为6 cm的边为底边时，腰长为（24-6）÷2=9（cm）.因为6 cm，9 cm，9 cm可以组成三角形，所以三角形其他两边长均为9 cm.点拨：（1）可以通过设未知数来进行计算，列出方程，通过求方程的解从而求出答案，其中体现了方程思想.（2）要注意分两种情况考虑，因为题目中没有说明6 cm长的这条边究竟是腰还是底边，所以应该分成两种情况考虑：一种是6 cm长的边为腰，另一种是6 cm长的边为底，体现了数学中的分类讨论思想.并且计算结果还要注意检查是否符合三角形的三边关系.2.解：本题中没有图形，△ABC的形状不确定，应分两种情况如图①，△ABC 是锐角三角形.∵BD，CE是△ABC的高，∴△BOE，△BAD都是直角三角形.∴∠A+∠2=90°，∠1+∠2=90°.∴∠A=∠1=45°，即∠BAC=45°.如图②，△ABC是钝角三角形.∵BD，CE是△ABC的高，∴△ABD，△OBE都是直角三角形.∴∠1+∠2=90°，∠O+∠2=90°.∴∠1=∠O=45°.∴∠BAC=180°-∠1=180°-45°=135°.综上所述，∠BAC为45°或135°.点拨：在解几何题目时，若题目中没有图，一般需要在草稿纸上画出示意图.本题没有图形，因此不能确定△ABC是锐角三角形还是钝角三角形，所以需要进行分类讨论，否则容易漏解.3.解：因为二次三项式29x kx-+是一个完全平方式，所以-kx=2x×3或-kx=-2x×3，解得k=-6或6.点拨：本题运用了分类讨论思想求解.这是由完全平方公式出现两数和或差的平方所决定的，因此要分两种情况讨论，否则容易出现漏解现象.4.解：将原分式方程去分母，得x-2+m（x-1）=2m+2，则（m+1）x=3m+4.（1）当m≠-1时，x=341 mm++.∵原方程无解，∴x=1或x=2.∴341mm++=1或341mm++=2.∴m=32-或m=-2.∴当m=32-或-2时，原方程无解.（2）当m+1=0，即m=-1时，3m+4≠0，所化的整式方程无解，则原方程也无解.综上所述，m的值为32-或-2或-1.点拨：考虑问题要全面，不仅要考虑化成的整式方程的解使最简公分母的值为0时原分式方程无解，而且要考虑到化成的整式方程无解时原分式方程也无解.。

2024八年级数学上册提练第11招分类讨论思想在等腰三角形中的六种常见应用习题课件新版冀教版

【答案】C
返回
1
2
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4
5
6
7
2. 已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少20°，
求顶角的度数.
【解】设另一个角的度数是 x ，则原来那个角是2 x －20°.
分三种情况讨论：
(1)当顶角是 x ，底角是2 x －20°时， x ＋2(2 x －20°)＝
180°，解得 x ＝44°，所以顶角是44°；
当 C△ CBD － C△ ABD ＝3 cm时，即 y － x ＝3，
= ，
＋ = ，
∴ቊ
解得ቊ
= ，
− = ，
即 AB ＝ AC ＝8 cm， BC ＝11 cm.
综上，△ ABC 各边的长为10 cm，10 cm，7 cm或8 cm，8 cm，11 cm.
返回
∵ AB ＋ AC ＋ BC ＝27 cm，∴2 x ＋ y ＝27.
∵ BD 是 AC 边上的中线，∴ AD ＝ CD .
当 C△ ABD － C△ CBD ＝3 cm时，即 x － y ＝3，
= ，
＋ = ，
∴ቊ
解得ቊ
= ，
− = ，
即 AB ＝ AC ＝10 cm， BC ＝7 cm.

且 AD ＝ BC ，则等腰三角形 ABC 的底角的度数为(
A. 45°
B. 75°
C. 45°或75°
D. 60°
1
2
3
4
5
6
7
)
【点拨】
根据题意画出图形，注意分别从∠ BAC 是顶角与∠ BAC
是底角进行分类讨论.
如图①，当∠ BAC 是顶角时，易求出∠ B ＝45°；

等腰三角形在分类讨论中的应用举例唐妥

期末复习专题：等腰三角形在分类讨论中的应用举例人大附中唐妥分类讨论是历年中考的必考内容，也是这次期末考试的重点考查知识点之一．等腰三角形是图形分类中的一个常见类型．下面举例说明．例1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++经过A （3，0）、B （5，0）、C （0，5）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若在抛物线的对称轴上有一个动点P ，当△OCP 是腰长为5的等腰三角形时，求点P 的坐标．答案：（1）218533y x x =-+ (2)103(3)①当CO CP =时，(4,2),(4,8)P P②当OC OP =时，(4,2),(4,8)P P ③当CO CP =时，P 在OC 中垂线上，5(4,)2P ∴，但此时不符合题意．综上，点P 坐标为(4,2),(4,8)P P ，(4,2),(4,8)P P例2．已知：ABCD 中，对角线,15,20AC AB AB AC ⊥==，点P 为射线BC 上一动点，AP PM ⊥，（点M 与点B 分别在直线AP 的两侧），且PAM CAD ∠=∠，连结MD ．（1）当点M 在ABCD 内时，如图1，设,BP x AP y ==，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请在图2中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与△AMD 相似的三角形？若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由．（3）当△AMD 为等腰三角形时，求BP 的长．答案(1) 25)y x =<<(2) △APC ∽△AMD(3) 由（2）知，当△AMD 等腰时，△APC 也等腰BB①当20CP CA ==时，45BP =或5②当PA PC =时，252BP =③当AP AC =时，P 在CB 的延长线上，不符合题意．综上，45BP =或5或252 例3．如图，已知直线1l 的解析式为63+-=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于,A B 两点，直线2l 经过,B C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动．点,P Q 同时出发，且移动的速度都为每秒2个单位长度，设移动时间为t 秒（31<<t ）．试探究：当t 为何值时，△PCQ 为等腰三角形？答案：（用三角函数）①若CQ CP =，则622t t -=，32t =；②若PQ PC =，则4625t t =-，2413t = ③若QP QC =，则624225tt -=，1513t = 综上，32t =或2413或1513．通过上面三个例题，我们可以看到等腰三角形分类讨论的几种典型方法：①直接算出或者表达出各边长，然后分类讨论；②通过相似转化为另一个三角形的等腰讨论问题；③只有两边长比较好表示的时候，且夹角三角函数值是容易求出的时候，我们可以考虑用这个角的三角函数来构造直角三角形分类讨论．。

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