三年级华罗庚数学思维训练之等差数列
思维训练1等差数列趣谈
思维训练一：等差数列趣谈姓名：得分：像1、2、3、4、5、----- ；2、4、6、8、10----- 两组数中每相邻的两个数的差都一样，这样排列的一组数就叫做“等差数列”。
等差数列的每一个数都叫做“项”，通常把第一个项叫做“首项”，最后一项叫做“末项”，等差数列中相邻两个数的差叫做“公差”。
一、说出下边数列中，哪些是等差数列，是的打“√”，不是打“×”（1）2、5、8、11、14 （）（2）99、89、79、69、59（）（3）1、2、4、7、11、16（）（4）11、19、27、35、43（）二、数列12、17、22、27、32 …，这个数列的第50项是多少？提示：要求的项=首项±（项数－1）×公差三、你能求出数列255、251、247 …的第30项是多少吗？四、从一个箩筐里拿鸡蛋，第一次拿1个，第二次拿3个，以后每次比前一次多拿2个，拿了16次刚好拿完。
这筐鸡蛋一共有多少个？提示：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2五、你能很快求出这些等差数列的和吗？1+2+3+4+5+…+99+100 1+3+5+…+31+33+35六、时钟在每个整点都要报时，每个半点也会报时。
整点敲钟次数与钟点数相同，半点敲钟次数都是1次。
那么时钟一天敲钟多少次？七、我会断。
对的打“√”，错的打“×”1、25×25÷25×25=1 （）2、比90少2的数的2倍是176 （）3、21、26、13的平均数是20 （）4、185乘97与53的差，积是多少？列式是：185×97－53 （）5、括号的作用是是运算简便（）八、快乐ABC1．要使450÷10＋20×3的运算顺序是加→乘→除，下面正确的算式是（）。
A. 450÷（10＋20）×3B. 450÷[（10＋20）×3]C. 450÷（10＋20×3）2、下面的算式中，除数能整除被除数的是（）A. 32÷9B. 32÷8C. 32÷7九、在○里填上>，=，< 符号25×4÷25×4○25×4－25×4 600÷20÷5○600÷（20×5）十、简算下面各题756－193－207 101×92 4800÷25÷4864－199 28×4×25 88×125。
(完整)三年级奥数简单的等差数列
1.3 简单的等差数列新知导航在加减法的混合计算中,存在一种情况:多个加数(或减数)按照固定的规律依次排列,并且这些数中任意两个相邻的数的差相同,这就是数学王国中最著名的故事“高斯求和”——等差数列求和。
一、等差数列的认识【基础过关】热身题:智慧老人觉得龟兔都是可造之才,所以邀请它们来到家里继续学习新的知识。
智慧老人给它们讲了数学王子高斯小时候的故事,随后在黑板上写下了这样的一个题:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的结果是多少?分析:观察发现:本题中的数按从小到大的顺序依次排列,可以使用首尾对应求和的方式变加法为乘法计算。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11+11+11+11+11=11×5=55老师点睛当一组数字按照从小到大(或者从大到小)顺次排列且任意两个相邻的数的差相同,这组数被称之为“等差数列”。
若求这组等差数列的和,可以按照首尾对应相加的方式使用乘法计算。
二、等差数列的求和计算【综合提升】例题1:10+11+12+13+…+19分析:通过观察可得这是一组等差数列的求和计算,可以采用前面的首尾对应求和的方法。
10+11+12+13+…+19=(10+19)+(11+18)+…+(14+15)=29+29+29+…+29=29×(10÷2)=29×10÷2=290÷2=145老师点睛在连续自然数组成的等差数列求和计算中,可以将加法改为乘法计算:和=(第一个数+最后一个数)×数的个数÷2。
但首先要找到这组等差数列中数的个数,才能完成计算。
【巩固训练】(1)1+2+3+…+20(2)3+4+5+…+12(3)1+2+3+…+40(4)5+6+7+…+24例题2:3+6+9+…+60分析:通过观察可得:这组等差数列的数都是第一个数的倍数,因此在找数的个数时,可以借用倍数的特殊性。
三年级奥数等差数列
三年级奥数等差数列小学三年级奥数专项练：等差数列知识要点】1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。
2.特点：①相邻两项差值相等；②要么递增，要么递减。
3.名词：公差，首项，末项，项数按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；最后一个数叫末项。
如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。
后项与前项的差就叫做这个数列的公差。
例如：1，2，3，4.是等差数列，公差是1；1，3，5，7.是等差数列，公差是2；5，10，15，20.是等差数列，公差是5.在等差数列中，有如下规律：通项公式：末项＝首项＋（项数－1）×公差第几项=首项+（项数-1）×公差；项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 =平均数×项数平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷21) 一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是______；2) 一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_______。
3) 一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差＝_____；第19项＝______，212是这个数列的第_____项。
计算下面的数列和：1) 1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＋25＝2) 1＋5＋9＋13＋…＋33＋37＋41＝3) 3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＝拓展练：1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。
那么应插入哪些数？2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（）。
1) 2、4、6、8、……、28、30这个等差数列有()项。
2) 2、8、14、20、……62这个数列共有（）项。
三年级奥数等差数列
三年级奥数等差数列引言本文档旨在介绍三年级学生应了解的奥数等差数列的概念和基本计算方法。
什么是等差数列？等差数列是由一系列数按照相等的差值依次排列而成的数列。
每个数与它前一个数的差值都是相等的。
等差数列的特点1. 公差：等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
用字母"d"表示。
2. 首项：等差数列的第一项称为首项。
用字母"a"表示。
3. 通项公式：按照公差依次递增的等差数列的第n项可以表示为：an = a + (n-1)d。
等差数列的计算方法计算首项- 已知公差d和第n项an，首项可以通过公式a = an - (n-1)d来计算。
- 已知公差d和前一项an-1，首项可以通过公式a = an-1 + d来计算。
计算公差- 已知首项a和第n项an，公差可以通过公式d = (an - a) / (n-1)来计算。
- 已知前一项an-1和第n项an，公差可以通过公式d = an - an-1来计算。
计算第n项- 已知首项a和公差d，第n项可以通过公式an = a + (n-1)d来计算。
- 已知前一项an-1和公差d，第n项可以通过公式an = an-1 + d 来计算。
例子请考虑一个等差数列的实例：首项a=2，公差d=3。
我们来计算该等差数列的第5项。
根据通项公式：an = a + (n-1)d，我们计算得到：a5 = 2 + (5-1)*3 = 14。
结论通过本文档，我们了解了三年级奥数中关于等差数列的概念，以及计算等差数列中首项、公差和第n项的方法。
掌握了这些基础知识，学生可以更好地理解和解决与等差数列相关的问题。
三年级奥数第四讲等差数列
等差数列及其应用教学目标：⒈让学生理解等差数列的意义，知道等差数列中各部分的名称，掌握求尾项和项数的公式。
⒉培养良好的审题习惯和思维习惯。
教学重难点：理解并学会应用求和的公式及如何求项数，首项，末项及公差。
教学过程：第一课时一、理解等差数列的意义。
㈠⒈师：同学们，喜欢做游戏吗？生：喜欢。
师：（课件出示：找规律，猜猜下一个数是谁。
5，（），）生：6生：7生：10生：不确定，还要知道一个数才能发现规律呢。
（学生一齐鼓掌。
）【设计意图：通过学生喜欢的游戏形式，一开始就吸引学生的注意力，调动学生的学习积极性，让学生知道得出规律不能凭一种情况，至少要三个数，构成两种情况。
】㈡师：老师再给你一个数，现在猜猜看。
（课件出示：找规律，猜猜下一个数是谁。
5，（），9）生：7师：怎么想的？生：7比5多2，9比7多2，（电脑同时出示）师：下一个数是几？生：11师：对吗？生：9+2=11师：下一个？再一个？师：能说完吗？师：对，每加一个2，就会产生一个新数。
㈢师：如果老师在这儿填6可以吗？（课件出示：5，（6），9 ）生：可以师：什么规律呢？生：加1、加3师：哪下个数可能是多少？怎么想的？师：下个数呢？怎么想的？下个呢？能说完吗？师：人站队，我们叫队列，像这样把数排队我们把它叫数列。
（板书课题：数列）请同学们比较这两个数列有什么区别。
生：师：一个数列，从第个2数开始，依次与前一个数的差相同，这样的数列叫等差数列。
（板书完善课题：等差）师：谁来完整地说说什么叫等差数列。
【设计意图：通过同一道题目的两种填法，揭示不同的规律，培养学生创新思维的同时，让学生知道寻找规律的重要性，通过两种数列的比较养成遇到数列就先找规律的习惯。
】二、认识数列各部分的名称。
出示：一套书有5本，每隔5年出版一本，第三本是1998年出版的。
其他几本书分别是哪年出版的？师：关键词有哪些？师：你认为哪个关键词比较难理解？生：每隔5年。
师：谁来说说（板书:1998年）第二本是哪年出版？你是怎么想的？生：隔5年就是减5年，第二本出版是1993年。
三年级华罗庚数学思维训练之和差倍问题
三年级华罗庚数学思维训练之和差倍问题1、南京长江大桥共分两层，上层是公路桥，下层是铁路桥。
铁路桥和公路桥共长11270米，铁路桥比公路桥长2270米，问南京长江大桥的公路和铁路桥各长多少米？分析：和差基本问题，和1127米，差2270米，大数=（和+差）/2，小数=（和-差）/2。
解：铁路桥长=（11270+2270）/2=6770米，公路桥长=（11270-2270）/2=4500米。
2、三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数。
分析：先将一、二两个小组作为一个整体，这样就可以利用基本和差问题公式得出第一、二两个小组的人数和，然后对第一、二两个组再作一次和差基本问题计算，就可以得出第一小组的人数。
解：一、二两个小组人数之和=（180+20）/2=100人，第一小组的人数=（100-2）/2=49人。
3、甲、乙两筐苹果，甲筐比乙筐多19千克，从甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克？分析：从甲筐取出放入乙筐，总数不变。
甲筐原来比乙筐多19千克，后来比乙筐少3千克，也即对19千克进行重分配，甲筐得到的比乙筐少3千克。
于是，问题就变成最基本的和差问题：和19千克，差3千克。
解：（19+3）/2=11千克，从甲筐取出11千克放入乙筐，就可以使乙筐中的苹果比甲筐的多3千克。
4、在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而减数是差的3倍，那么差等于多少？分析：被减数=减数+差，所以，被减数和减数与差的和就各自等于被减数、减数与差的和的一半，即：被减数=减数+差=（被减数+减数+差）/2。
因此，减数与差的和= 120/2=60。
这样就是基本的和倍问题了。
小数=和/（倍数+1）解：减数与差的和=120/2=60，差=60/（3+1）=15。
5、已知两个数的商是4，而这两个数的差是39，那么这两个数中较小的一个是多少？分析：两个数的商是4，即大数是小数的4倍，因此，这是一个基本的差倍问题。
新概念思维训练-小学三年级第13讲等差数列-教师版
第13讲等差数列内容概述掌握等差数列中的首项、末项、项数、公差等基本概念及其相互关系；理解等差数列中的各种计算公式，并能熟练运用公式解决与等差数列相关的各种问题。
典型问题兴趣篇1. (1) 2, 5, 8, 11, 14, …。
上面是按规律排列的一串数，其中第21项是多少？（2）把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？答案：（1）62 （2）141 解析：（1）首项是2，公差是3，所以21项是62；（2）首项是101.公差是2，第21项是141.2. 如图13-1，有一堆按规律摆放的砖。
从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖……按照这样的规律，第19层有多少块砖？答案：73块解析：首项是1，公差是4的等差数列，第19项即是答案。
3. 已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？答案：83 191 解析：由题意可知公差是6，由此求出首项是83,第19项即是63+18乘以6即是结果191.4. 冬冬先在黑板上写了一个等差数列，刚写完阿奇就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下第四个数31和第十个数73。
你能算出这个等差数列的公差和首项吗？答案：公差是7，首项10 解析：公差是73-31=42,42除以6=7；首项=10.5. 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
（1）如果冬冬报3，阿奇报25，每位同学报的数都比前一位多2，那么队伍里一共有多少人？（2）如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？答案：（1）12 （2）20解析：由题意可知，首项是3，末项是25，公差是2，由此可求项数是12.（2）同理6. 计算：（1）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12；答案：78（2）11+12+13+14+15+16+17+18+19。
三年级等差数列题型及解题方法
三年级等差数列题型及解题方法
一、等差数列的基本概念
1. 定义
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母公式表示。
例如数列公式就是一个等差数列，其中公差公式。
2. 通项公式
对于等差数列公式，其通项公式为公式，其中公式为首项（数列的第一项），公式为项数，公式为公差。
例如，在等差数列公式中，公式，公式，那么第公式项公式。
3. 求和公式
等差数列的前公式项和公式为公式或者公式。
例如，求等差数列公式的和。
这里公式，公式，公式。
先求项数公式，由公式可得公式，解方程公式，
即公式，解得公式。
再根据求和公式公式，可得公式。
二、三年级等差数列常见题型及解题方法
1. 求数列中的某一项
题目：在等差数列公式中，求第公式项是多少？
解析：
首先确定这个等差数列的首项公式，公差公式。
根据通项公式公式，当公式时，公式
先计算括号内公式，再计算公式，最后公式。
所以第公式项是公式。
2. 求数列的项数
题目：等差数列公式，这个数列有多少项？
解析：
已知公式，公式，公式。
根据通项公式公式，可得公式。
先展开括号得到公式，
移项可得公式，即公式，解得公式。
所以这个数列有公式项。
3. 求数列的和
题目：求等差数列公式的和。
解析：
这里公式，公式，公式。
方法一：根据求和公式公式，先求公式，公式
，则公式。
方法二：根据公式，公式。
华罗庚数学等差数列
华罗庚数学第四讲等差数列及其应用许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和.大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法.通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题.一、等差数列什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：①l，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13.③ 2，4，6，8，10，12，14…④ 3，6，9，12，15，18，21.⑤100，95，90，85，80，75，70.⑥20，18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列①中，d=2-1=3-2=4-3= (1)数列②中，d=3-1=5-3=…=13-11=2；数列⑤中，d=100-95=95-90=…=75-70=5；数列⑥中，d=20-18=18-16=…=10-8=2.例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.①6，10，14，18，22， (98)②1，2，1，2，3，4，5，6；③ 1，2，4，8，16，32，64；④ 9，8，7，6，5，4，3，2；⑤3，3，3，3，3，3，3，3；⑥1，0，1，0，l，0，1，0；解：①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.③不是，因为4-2≠2-1.④是，公差d=l.⑤是，公差d=0.⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第1项大于第2项，第2项却又小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，…，第n项记为an，an。
三年级华罗庚数学思维训练带答案分析报告
《华罗庚学校思维训练导引》三年级真题分析《华罗庚学校思维训练导引》三年级第一节三年级上学期第01讲计算问题第01讲加法与减法【内容概述】各种加法和减法的速算与巧算方法，如凑整，运算顺序的改变，数的组合与分解，利用基准数等。
【例题分析】1．计算：1966＋1976＋1986＋1996＋2006分析1：通过仔细观察发现前面一个数都比后面一个数大10，因此可以设一个基准数。
详解：我们不妨设1986为基准数。
1966＋1976＋1986＋1996＋2006=（1986-20）+（1986-10）+1986+（1986+10）+（1986+20）=1986*5=9930评注：通过仔细观察题目后，通常会发现一些规律。
找到规律，就能轻而一举的解决问题。
分析2：等差数列的个数是奇数个时，中间数是它们的平均数详解：1966＋1976＋1986＋1996＋2006＝1986×5＝99302．计算：123＋234＋345－456＋567－678＋789－890答案：34分析：这些数粗略一看好象是杂乱无章，其实不然。
通过对各位数的观察，详解：先看个位：3+4+5-6+7-8+9-0=14再看十位：2+3+4-5+6-7+8-9=2 但是注意个位的进位：2+1=3（1是个位进位来的）最后看百位：1+2+3-4+5-6+7-8=0这样：我们就得到了34这个数评注：做这种有技巧的计算时，要先通过观察，找到规律后再逐一化简。
把它变成一道很容易且学过的题。
就像这道题一样，本来是3位数加减法，而我们把它变成了一位数加减法。
但需要注意的是：千万不能忘了前一位的进位。
3．计算：6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847）答案：20000分析：这个题目一眼看去没有办法简单运算，但如果把括号内得数算出，便发现了一些规律。
详解：6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847）=6472-1996+5319-1996+9354-1996+6839-1996=6472+5319+9354+6839-1996*4=6472+5319+9354+6839-7984=（6472+5319+6839）+（9200+154）-（7900+84）=（6472+5319+6839）+（9200-7900）+（154-84）=（6472+5319+6839）+1300+70=18630+1370=20000评注：在一道简算的大题中，有可能有好几个地方可以简便运算，一些技巧性的题目，简算会在过程中体现出来，而不让你一眼看出，大家要在解题过程中找出简算步骤，这就需加强练习，方可得心应手。
三年级数学思维训练专题第十三讲 等差数列
三年级数学思维训练专题第十三讲等差数列内容概述掌握等差数列中的首项、末项、项数、公差等基本概念及其相互关系；理解等差数列中的各种计算公式,并能熟练运用公式解决与等差数列相关的各种问题兴趣篇．1.（1）2,5,8,11,14,···。
上面是按规律排列的一串数,其中第21项是多少?（2）把比100大的奇数从小到大排成一列,其中第21个是多少？分析：（1）62；（2）1412.如图13．1,有一堆按规律摆放的砖,从上往下数,第1层有1块砖,第2层有5块砖·,第3层有9块砖······按照这样的规律,第19层有多少块砖？分析：73块3.已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多少？分析：83；1914.冬冬先在黑板上写了一个等差数列,刚写完阿奇就冲上讲台,擦去了其中的大部分数,只留下第四个数31和第十个数73,你能算出这个等差数列的公差和首项吗？分析：公差7,首项105.体育课上老师指挥大家排成一排,冬冬站排头,阿奇站排尾,从排头到排尾依次报数。
（1）如果冬冬报3,阿奇报25,每位同学报的数都比前一位多2,那么队伍里一共有多少人？（2）如果冬冬报17,阿奇报150,每位同学报的数都比前一位多7,那么队伍里一共有多少人？分析：（1）12；（2）206.计算：（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12；（2）11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19。
分析：（1）78 （2）1357.计算：（1）100＋99＋98＋97＋96＋95＋94＋93＋92＋91＋90；（2）21＋19＋17＋···＋3＋1。
分析：（1）1045 （2）1218.计算：（1）2＋6＋10＋ (90)（2）41＋44＋47＋ (101)分析：（1）1058 （2）14919.已知一个等差数列第8项等于50,第15项等于71。
三年级下 数学思维训练 奥数 第8讲 等差数列
首项+公差×1（2-1） 首项+公差×2（3-1） 首项+公差×3（4-1） 首项+公差×4（5-1） 首项+公差×5（6-1）
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）
例3
有一数列：9，12，15，18，…，，求： （1）这个数列的第20项是多少？ （2）这个数列的第50项是多少？
等差数列某一项＝首项＋公差×（项数－1）
（公差=5）
555 5 5
从第二项开始，每一项与前面的差都相等，这样的数列 叫做等差数列。这个差叫公差。
3.等差数列求和 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18
分析： 首项=6 末项=18 公差=2 原数列的和：2 ＋ 4＋ 6＋ 8＋10＋12＋14＋16＋18 倒过来的和：18＋16＋14＋12＋10＋ 8＋ 6＋ 4＋ 2
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝ （1＋10）× 10 ÷ 2 ＝ 11 × 10 ÷ 2 ＝ 110 ÷ 2 ＝ 55（下）
答：这个挂钟从1点到10点一共敲了55下。
例2
一共有10人买包子，有胖有瘦，第一个人买了1各包子，第二个人买了3个包子，第三个人 买了5个包子……最后一个人要了19个包子，一个包子1元钱，那么这些人一共要付多少钱呢？
等差数列项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（404－4）÷5 ＋1 ＝ 400÷5＋1
＝ 80＋1
＝ 81
答： 404是第101项。
谢 谢！ 让我们共同进步
三年级下 数学思维训练 奥数
第8讲 等差数列的认识
1.什么是数列？
（1）1、2、3、4、5、6…… （2）1、2、4、8、16、32…… （3）30、25、20、15、10、5
(完整版)三年级等差数列
等差数列 ( 二)
【内容概要】
1、在一个加法算式中，随意两个相邻的加数的差都是一个同样的常数，这样的
数列叫做等差数列。
2、等差数列中相邻两个加数同样的差叫公差，每个加数叫做项，第一个加数叫
首数（又叫首项），最后一个加数叫尾数（又叫尾项），共有加数的个数叫项数。
3、等差数列乞降公式：
总和 =（+ ）×÷2
项数=（—）÷+1
末项 =+（—1）×
4、等差数列乞降重点是找准公差，算准项数，正确运用公式。
5、等差数列乞降主假如运用了配对乞降思想。
【全能训练】
1、 4+8+12+16++100
2、 3+6+9+12++99
3、 50+49+48++28+27+26
4、 99+98+97+96++9
5、三个连续自然数的和是123，这三个数是多少？
6、影剧院共有 27 排座位，第一排有17 个座位，此后每一排比前一排多 3 个座位。
问，影剧院共有多少个座位？
7、一本故事书共 120 页，由于情节令人着迷，结果小宇每日都比前一天多看
了 10 页， 3 天看完了全书。
小宇这 3 天赋别看了多少页？
8、下边一列数是按必定规律摆列的：3、12、21、30、39、 48、57、66。
问：第 12 个数是多少？ 912 是第几个数？
9、小陈读一本长篇小说，第一天读了20 页。
从次日起，每日读的页数都比
前一天多 2 页。
最后一天读了60 页，恰好读完。
问这本小说共有多少页？。
三年级奥数-等差数列的计算(ABC级)
一、等差数列的定义（1） 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2） 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式（3） 三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，等差数列的基本概念及公式知识框架那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=（4） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．（1） 找出题目中首项、末项、公差、项数。
江苏省华罗庚中学等差数列练习题(有答案) 百度文库
一、等差数列选择题1．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ）A ．4B ．6C ．7D ．82．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4D ．-44．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117D ．495．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．356．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S7．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．858．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．79．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．13910．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．3011．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．613．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25 B ．11 C ．10 D ．9 14．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）A ．24B ．23C ．17D ．1615．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．516．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202117．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7218．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ）A ．3、8、13、18、23B ．4、8、12、16、20C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2219．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 20．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．43C ．4D ．4-二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=22．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n=B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 23．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >24．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列 25．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．226．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1227．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=28．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T >D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T < 29．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列30．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．A 【分析】由525S =求出1a ，从而可求出数列的通项公式，进而可求出m 的值 【详解】 解：由题意得15452252a ⨯+⨯=，解得11a =， 所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-， 因为215m a =，所以22115m ⋅-=，解得4m =， 故选：A 2．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 3．A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.4．C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C 5．D 【分析】设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ,由他们年龄依次相差一岁得出(1)(2)(28)1520n n n n m ++++++++=，结合等差数列的求和公式得出111429m n =-，再由[]90,100m ∈求出n 的值.【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，[]90,100m ∈，则有(1)(2)(28)294061520n n n n m n m ++++++++=++=则有291114n m +=，则111429m n =-，所以90111429100m ≤-≤ 解得34.96635.31n ≤≤，因为年龄为整数，所以35n =. 故选：D 6．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 7．C 【分析】可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且3221n n S n T n +=+，所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴1215(6121)71(4151)59a kb k ⨯-==⨯-， 故选：C ． 8．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 9．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 10．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=， 所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 11．D【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 13．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 14．A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 15．A 【分析】由2219a a =，可得14a d =-，从而得2922n d dS n n =-，然后利用二次函数的性质求其最值即可 【详解】解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），因为2219a a =，所以2211(8)a a d =+，化简得14a d =-，所以221(1)9422222n n n d d d dS na d dn n n n n -=+=-+-=-， 对称轴为92n =， 因为n ∈+N ，02d<， 所以当4n =或5n =时，n S 取最大值， 故选：A 16．B 【分析】根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解.【详解】 由121()2n n a a n N *++=∈，则11()2n n a a n N *+=+∈， 即112n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公差的等差数列， 所以()()11111122n n a a n d n +=+-=+-⨯=， 所以2021a =2021110112+=. 故选：B 17．B 【分析】根据等差数列的性质求出103a =，再由求和公式得出答案. 【详解】317102a a a += 1039a ∴=，即103a =()1191019191921935722a a a S +⨯∴===⨯= 故选：B 18．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列， 则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 19．C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d =则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+ 故选：C 20．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ．二、多选题21．ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.22．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 23．ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确， 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可. 24．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 25．ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n <+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立，由12n -第增，且31222n ≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 26．ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d dS n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误； 对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 27．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 28．AC 【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112xf x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112xf x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 29．AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 30．ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．。
三年级数学思维专项训练5--等差数列(原卷+解析版)
三年级思维训练5--等差数列1、一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位，第三站上三位，依此下去，站以后，车上坐满乘客。
2、一个剧场设置了30排座位，第一排有28个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，这个剧场一共有多少个座位？3、在6和26之间插入三个数，使它们每相邻两个数的差相同，这三个数的和是。
4、九个连续偶数，最大的一个是998，这九个连续偶数的平均数是。
5、下面这列数中，最大的三位数是。
1，8，15，22，29，36…6、计算： 2005+2004-2003-2002+2001+2000-1999-1998+1997+1996-…-7-6+5+4-3-2+1= 。
7、思思每年的母亲节都会给妈妈折纸鹤，祝福妈妈健康快乐。
从第二年开始，每年都会比前一年多折七只，八年一共折了212只，那么，思思第一年折了只。
8、王芳大学毕业找工作，她找了两家公司，都要求签工作五年的合同，年薪开始都是一万元，但两个公司加薪的方式不同。
甲公司承诺每年加薪1000元，乙公司答应每半年加薪300元。
以五年计算，王芳应聘公司工作收入更高。
9、小青蛙沿着台阶往上跳，每跳一次都比上一次升高4厘米。
它从离地面10厘米处开始跳，这一处称为小青蛙的第一次的落脚点，那么它的第100个落脚点正好在台阶尽头的亭子内，这亭子高出地面厘米。
10、某校师生共为地震灾区捐款46200元，经统计发现，他们各自所捐的钱数，共有10种不同档次。
最低档次共有10人，而每上升一个档次，捐款人数就减少1人；且从第二档次开始，以后各档次的每人捐款钱数，分别为最低档次的2倍、3倍、4倍……10倍，那么捐款最多的人捐款元。
11、有37个人排成一行依次报数，第一个人报1，以后每人报的数都是把前一人报的数加3。
报数过程中有一个人报错了，把前一个人报的数减3报了出来，最后这37个人报的数加起来恰好等于2011。
那么是第个报数的人报错了。
12、小明家住在一条弄堂里，这条弄堂各家的门牌号码从1号、2号、……连续下去。
小学三年级上学期思维逻辑训练第12讲--等差数列(一)【学生版答案】
例 3、一个等差数列共有 10 项，每一项都比它的前一项小 2，末项为 75，那么 首项是多少？ 【答案】57 【解析】 75－（10－1）×2＝57
练 3、某露天剧场有 30 排座位，最后一排座位有 86 个，后面每排比前排多 2 个 座位，第一排有多少个座位？ 【答案】28 个 【解析】 86－（30－1）×2＝28（个）
第 12 讲——等差数列
【精讲精练】 例 1、有一个等差数列：4，7，10，13……，这个等差数列的第 28 项是多少？ 【答案】85 【解析】 4＋（28－1）×3＝85
练 1、有一个等差数列：10、16、22、28……，这个等差数列的第 42 项是多少？ 【答案】256 【解析】 10＋（42－1）×6＝256
例 4、（1）一个等差数列首项为 13，第 9 项为 29，这个等差数列的公差是多少？ 【答案】2 【解析】 （29－13）÷（9－1）＝2
（2）一个等差数列第 5 项是 16，第 11 项是 70，那么这个等差数列的公差是多 少？ 【答案】9 【解析】 （70－16）÷（11－5）＝9
2
练 4、一个等差数列第 4 项是 19，第 14 项是 79，那么这个等差数列的公差是多 少？ 【答案】6 【解析】 （79－19）÷（14－4）＝6
【课后作业】 1、等差数列：1,6,11,16……，那么第 11 项是多少？ 【答案】3 【解析】 1＋（11－1）×5＝51
2、一个等差数列共有 12 项，每一项都比它的前一项大 2，并且首项为 20，那么 末项是多少？ 【答案】42 【解析】 20＋（12－1）×2＝42
3、已知等差数列第 3 项等于 31，第 9 项等于 79，那么首项是多少？ 【答案】15 【解析】 公差：（79－31）÷（9－3）＝8 31－8×2＝15
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三年级华罗庚数学思维训练之等差数列
1、下面是按规律排列的一串数，问其中的第1995项是多少？
解答：2、5、8、11、14、。
从规律看出：这是一个等差数列，且首项是2，公差是3，这样第1995项=2＋3 （1995－1）=5984
2、在从1开始的自然数中，第100个不能被3除尽的数是多少？
解答：我们发现：1、2、3、4、5、6、7、中，从1开始每三个数一组，每组前2个不能被3除尽，2个一组，100个就有100 2=50组，每组3个数，共有50 3=150，那么第100个不能被3除尽的数就是150－1=149.
3、把1988表示成28个连续偶数的和，那么其中最大的那个偶数是多少？.
解答：28个偶数成14组，对称的2个数是一组，即最小数和最大数是一组，每组和为：1988 14=142，最小数与最大数相差28-1=27个公差，即相差2 27=54，这样转化为和差问题，最大数为（142＋54）2=98。
4、在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是多少？
解答：因为34 28＋28=35 28=980＜1000，所以只有以下几个数：
34 29＋29=35 29
34 30＋30=35 30
34 31＋31=35 31
34 32＋32=35 32
34 33＋33=35 33
以上数的和为35 （29＋30＋31＋32＋33）=5425
5、盒子里装着分别写有1、2、3、134、135的红色卡片各一张，从盒中任意摸出若干张卡片，并算出这若干张卡片上各数的和除以17的余数，再把这个余数写在另一张黄色的卡片上放回盒内，经过若干次这样的操作后，盒内还剩下两张红色卡片和一张黄色卡片，已知这两张红色的卡片上写的数分别是19和97，求那张黄色卡片上所写的数。
解答：因为每次若干个数，进行了若干次，所以比较难把握，不妨从整体考虑，之前先退到简单的情况分析：假设有2个数20和30，它们的和除以17得到黄卡片数为16，如果分开算分别为3和
13，再把3和13求和除以17仍得黄卡片数16，也就是说不管几个数相加，总和除以17的余数不变，回到题目1＋2＋3＋＋134＋135=136 135 2=9180，9180 17=540，135个数的和除以17的余数为0，而19+97=116，116 17=6 14，所以黄卡片的数是17-14=3。
6、下面的各算式是按规律排列的：
1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，，那么其中第多少个算式的结果是1992？
解答：先找出规律：每个式子由2个数相加，第一个数是1、2、3、4的循环，第二个数是从1开始的连续奇数。
因为1992是偶数，2个加数中第二个一定是奇数，所以第一个必为奇数，所以是1或3，如果是1：那么第二个数为1992－1=1991，1991是第（1991+1）2=996项，而数字1始终是奇数项，两者不符，所以这个算式是3+1989=1992，是（1989＋1）2=995个算式。
7、如图，数表中的上、下两行都是等差数列，那么同一列中两个数的差（大数减小数）最小是多少？
解答：从左向右算它们的差分别为：999、992、985、、12、5。
从右向左算它们的差分别为：1332、1325、1318、、9、2，所以最小差为2。
8、有19个算式：
那么第19个等式左、右两边的结果是多少？
解答：因为左、右两边是相等，不妨只考虑左边的情况，解决2
个问题：前18个式子用去了多少个数？各式用数分别为5、7、9、、第18个用了5＋2 17=39个，5＋7＋9＋＋39=396，所以第19个式子从397开始计算；第19个式子有几个数相加？各式左边用数分别为3、4、5、、第19个应该是3＋1 18=21个，所以第19个式子结果是397＋398＋399＋＋417=8547。
9、已知两列数：2、5、8、11、、2＋（200－1）3；5、9、13、17、、5＋（200－1）4。
它们都是200项，问这两列数中相同的项数共有多少对？
解答：易知第一个这样的数为5，注意在第一个数列中，公差为3，第二个数列中公差为4，也就是说，第二对数减5即是3的倍数又是4的倍数，这样所求转换为求以5为首项，公差为12的等差数的项数，5、17、29、，由于第一个数列最大为2＋（200－1）3=599；第二数列最大为5＋（200－1）4=801。
新数列最大不能超过599，又因为5＋12 49=593，5＋12 50=605，所以共有50对。
10、如图，有一个边长为1米的下三角形，在每条边上从顶点开始，每隔2厘米取一个点，然后以这些点为端点，作平行线将大正
三角形分割成许多边长为2厘米的小正三角形。
求⑴边长为2厘米的小正三角形的个数，⑵所作平行线段的总长度。
解答：⑴从上数到下，共有100 2=50行，第一行1个，第二行3个，第三行5个，，最后一行99个，所以共有（1+99）50 2=2500个；⑵所作平行线段有3个方向，而且相同，水平方向共作了49条，第一条2厘米，第二条4厘米，第三条6厘米，，最后一条98厘米，所以共长（2+98）49 2 3=7350厘米。
11、某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人。
如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（一人工作一天为1个工作日），且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人？
解答：11月份有30天。
由题意可知，总厂人数每天在减少，
最后为240人，且每天人数构成等差数列，由等差数列的性质可知，第一天和最后一天人数的总和相当于8070 15=538 也就是说第一天有工人538-240=298人，每天派出（298-240）（30-1）=2人，所以全月共派出2*30=60人。
12、小明读一本英语书，第一次读时，第一天读35页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只读了35页便读完了；第二次读时，第一天读45页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只需读40页就可以读完，问这本书有多少页？
解答：第一方案：35、40、45、50、55、35 第二方案：45、50、55、60、65、40 二次方案调整如下：第一方案：40、45、50、55、35+35（第一天放到最后惶熘腥ィ?/P 第二方案：40、45、50、55、（最后一天放到第一天）这样第二方案一定是40、45、50、55、60、65、70，共385页。
13、7个小队共种树100棵，各小队种的查数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵，种树最少的小队最少种了多少棵？
解答：由已知得，其它6个小队共种了100-18=82棵，为了使钌俚男《又值氖髟缴僭胶茫?敲戳?个应该越多越好，有：17+16+15+14+13=75棵，所以最少的小队最少要种82-75=7棵。
14、将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知它们的总和是170，如果去掉最大数和最小数，那么剩下的总和是150，在原来排成的次序中，第二个数是多少？
解答：最大与最小数的和为170－150=20，所以最大数最大为20－1=19，当最大为19时，有19＋18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋1=170，当最大为18时，有18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋2=158，所以最大数为19时，有第2个数为7。