解直角三角形常见题型教学提纲
解直角三角形讲义
解直角三角形初三下册第一章： 知识点总结：1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求位置元素的过程，就是解直角三角形。
（1） 三边关系：222c b a （2） 锐角关系：∠A+∠B=90°； ( 3 ) 边角关系：正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记sinA ,即sinA =c a余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记cosA ,即cosA=c b；正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记tanA ，即tanA=ba；特殊锐角的三角函数值① 同角三角函数的关系：平方关系：1cos sin 22 A A ; 商数关系：tanA=AAcos sin ②互余两角的三角函数关系：sinA=cosB; sinA=cos(90°-A) ; cosA=sin (90°-A ); tanA=cot(90°-A )2.实际问题仰角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角。
俯角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线下方时叫做俯角。
坡度（坡比）：坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作i=h:l。
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,即i=h:l=tana.方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角。
方向角：从正北方向或正南方向到目标方向形成的小雨90°的角叫做方向角。
典型例题：题型一：特殊三角函数值1、计算2sin30°-sin245°+cot60°的结果是（）A、B、C、D、2、已知a=3，且（4tan 45°-b）2+=0，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（）A、6B、7C、8D、93、已知a为锐角，且sin（a-10°）=，则a等于（）A、50°B、60°C、70°D、80°4、在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA等于（）A、B、C、D、5、如图，如果∠A是等边三角形的一个内角，那么cosA的值等于（）A、B、C、D、16、△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定7、计算：sin213°+cos213°+sin60°-tan30°．8、求下列各式的值：（1）a、b、c是△ABC的三边，且满足a2=（c+b）（c-b）和4c-5b=0，求cosA+cosB的值；（2）已知A为锐角，且tanA=，求sin2A+2sinAcosA+cos2A的值．题型二：解直角三角形1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（）A、2B、C、2D、42、等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为（）A、cmB、cmC、2cmD、cm3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠D=120°，AB=8cm，则DC的长为（）A、cmB、cmC、cmD、8cm4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB为90°，CD⊥AB，cos∠BCD=，BD=1，则边AB的长是（）A、B、C、2 D、5、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A、B、C、D、6、在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A、B、C、D、7、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（）A、5B、5C、5D、108、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（）A、B、2 C、D、9、如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB=1，AD=2，则S△BCE为（）A、1B、C、D、10、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（）A、16B、18C、6D、711、如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=，点E在AB上，∠AED=45°，DE=6，CE=7．求：AE的长及sin∠BCE的值．12、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC 于F，连接EF．（1）证明：EF=CF；（2）当tan∠ADE=时，求EF的长．题型三：解直角三角形的应用1、如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元2、如图，AB是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯脚B与墙脚的距离为1.6m（即BC的长），点D与墙的距离为1.4m（即DE的长），BD长为0.55m，则梯子的长为（）A、4.50mB、4.40mC、4.00mD、3.85m3、如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长BC为10m，则大树的长为（）m．A、5B、10C、15D、204、如图，小明同学在东西走向的文一路A处，测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上，在A 处往东90米的B处，又测得该服务点P在北偏东30°方向上，则该服务点P到文一路的距离PC为（）A、60米B、45米C、30米D、45米5、如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）6、如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）7、某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°（如图所示）．（1）求调整后楼梯AD的长；（2）求BD的长．（结果保留根号）8、某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝．其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i=1：3.7，桥下水深=5米．水面宽度CD=24米．设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上．求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．（参考数据：π≈3，≈1.7，tan15°=）题型四：坡度坡角问题及仰角俯角问题1、如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（）A、B、C、D、2、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A、5mB、6mC、7mD、8m3、周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A、36.21米B、37.71米C、40.98米D、42.48米4、一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的∠AOP=60°（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B，F，D在同一直线上），这时测角器中的∠EO′P′=45°，那么小山的高度CD约为（）（注：数据≈1.732，≈1.414供计算时选用）A、68米B、70米C、121米D、123米5、如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中，正确的是（）A、由楼顶望塔顶仰角为60°；B、由楼顶望塔基俯角为60°；C、由楼顶望塔顶仰角为30°；D、由楼顶望塔基俯角为30°6、已知小芳站在层高为2.5米的六层楼的屋顶上来估计旁边一支烟囱的高度，当小芳以俯角∠COB=45°向下看时，刚好可以看到烟囱的底部，当小芳以仰角∠AOB=30°向上看时，刚好可以看到烟囱的顶部，若小芳的身高为1.5米，请你估计烟囱的高度（=1.414，=1.732结果保留三个有效数字）（）A、22.1米B、26.0米C、27.9米D、32.8米7、如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于多少度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．8、如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为（即AB：BC=），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．题型五：方向角问题1、如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A、7海里B、14海里C、7海里D、14海里2、在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（）A、北偏东20°方向上B、北偏西20°方向上C、北偏西30°方向上D、北偏西40°方向上3、如图，小亮家到学校有两条路，一条沿北偏东45°方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走100米，到学校后门；若两条路程相等，学校南北走向，学校后门在小明家北偏东67.5°处，学校前门到后门的距离是（）A、100米B、米C、米D、米4、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）5、如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°=0.75）．6、如图所示，一艘轮船以30海里/小时的速度向正北方向航行，在A处得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处时测得灯塔C在北偏西45°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）．7如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里∕时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行，上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C 处在D处得北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里∕时，参考数据≈1.41，≈1.73）8、（2010•陕西）在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离．练习作业：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）A、7sin35°B、C、7cos35°D、7tan35°2、Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．那么c等于（）A、acos A+bsin BB、asin A+bsin BC、D、3、如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）A、B、C、D、4、如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（）A、15°B、20°C、30°D、45°5、如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值是（）A、B、C、D、6、如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55度．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（）A、500sin55°米B、500cos55°米C、500tan55°米D、500cot55°米7、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AD的长为（）A、3 B、C、D、8、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．（1）求sin∠DBC的值；（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．9、路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120°角，锥形灯罩的轴线AD 与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线（D在中心线上）．已知点C与点D之间的距离为12米，求灯柱BC的高．（结果保留根号）10、如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）．11、如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．。
28.2解直角三角形说课稿教学提纲
28.2解直角三角形说课稿解直角三角形说课稿各位老师上午好，下面我就九年级下册第二十八章第二节《解直角三角形》的一些内容向大家做一下汇报，下面我从教材的地位，教学目标，教学的重难点，教学方法及教学过程五方面一一来叙述。
1教材地位：本节是在学习了锐角三角函数的基础上进行学习的，它是对其内容的理解运用和深化，并为后面解斜三角形奠定基础。
所以本节课程有着承上启下的重要作用。
2教学目标：知识技能目标：能熟练的掌握并能运用直角三角形的一些重要关系。
情感目标：培养学生学习数学的兴趣，让学生感受数学来源于生活同时实践于生活。
3教学的重难点：重点是把实际问题转化为数学问题，并能用适当的方法使问题得以解决。
难点是如何把实际生活中的问题转化为数学问题。
4教学方法：教师通过情景引入法和启发发现法引导学生，学生通过小组讨论及与老师的互动还有作业巩固来学习知识。
5教学过程：六部分来完成（1）首先是举一个与本节课有关的趣味性的例子（如小鲁班造桥的故事）先问儿不答引出本节课的课题：解直角三角形（把黑板分为四版，把课题板书在第一版的居中位置），（2）带领同学们进行知识回顾（板书在第四版）引导同学们回忆与本节课相关的知识，如通过回忆以前学过的关于直角三角形中的边边关系，边角关系及角角关系为本节课的学习做铺垫。
（3）而后通过课本上关于梯子问题导入，教师在讲述时重点是把问题抽象成数学问题并用数学知识解答（在此过程重要的锻炼学生的思维能力），通过解答总结归纳（这要求老师通过言语着重引导学生思考培养学生的总结归纳能力）本节的解直角三角形的含义：在直角三角形中，有已知的元素求出未知的元素的过程就是解直角三角形。
（4）继而与同学们一起探究在直角三角形中给出几个元素能确定一个三角（其中老师要善于引导学生思考并与同学们一起讨论什么条件下可以确定，什么条件下不能确定三角形），讨论的结果是给出两边或一边一锐角可以确定三角形。
（5）然后根据这两种情况精心设计例题1（板书在第二版）和例题2（板书在第三板），图形设置在题目下方偏右位置，先于同学们一起分析解题思路，再与同学们一起完成步骤，让学生在脑海中无形深化本节课所学的知识，并让他们体会到学习带来的乐趣！（6）最后老师把情景问题稍作解析留给同学们自己独立完成并通过p91练习（1）（2）巩固本节课所学的知识。
九年级数学解直角三角形 如此简单 5种类型全包括 专题讲解
∴ = 即
∴∠A=600
∴∠B=300
根据勾股定理得：AC=
解直角三角形经典题型三：
已知直角三角形中两条边的比，和一条边的长度。求三角形的边。
已知在 中∠C=900，AB=2， ，求AC。
解：因为 所以可设BC=K,则AC=2K，有
即 5K2=4
解得：K1= K2=- (舍去)
已知直角三角形中一个角和一条边，解直角三角形
已知在 中∠C=900，∠A=450，BC=12,解直角三角形。
解：在RT 中∵∠A=450
∴∠B=900-450=450
∵BC=12
∴AC=BC=12
∴ = 即AB=
∴AB= =12
解直角三角形经典题型二：
已知直角三角形中两条边，解直角三角形
已知在 中∠C=900，AB=2，BC= ,解直角三角形。
所以：AC=2K=
解直角三角形变式训练一：（高频考题）
已知：如图RT ，∠B=300，∠ADC=600BD=24求AC
解：∵∠B=300，∠ADC=600
∴∠DAB=300即 是等腰三角形
∴AD=BD=24
在RT 中
∵∠ADC=600
∴ 即 =
∴AC= 24=12
解直角三角形变式训练二：（高频考题）
已知：如图RT ，∠B=300，∠ADC=450BD=24求AC
解：∵∠ADC=450
∴RT 是等腰直角三角形
设AC=x ,则CD=x
在RT 中∵∠B=300BD=24
∴ 即
∴
解得：x=
解直角三解形5种经典题型全概括
解直角三角形必备知识点一：
直角三角形的5个要素:三条边，两个角。
解直角三角形(考点清单,知识导图+3个考点清单+5种题型解读)(学生版)25学年九年级数学上学期期中
专题05解直角三角形（考点清单，知识导图+3个考点清单+5种题型解读）【清单01】解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程.【清单02】直角三角形的边角关系ABC ∆中，90C ∠=︒222;90;tan ;cot ;sin .a b c A B aba bA A A A b a c c ⎧⎪+=⎪∠+∠=︒⎨⎪⎪====⎩①三边关系：②锐角关系：③边角关系：【清单03】解直角三角形的应用（1）仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；（2）坡度：坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度，记作i ，即h i l=；坡度表示形式：1:i m =.坡面与水平面的夹角叫坡角，记为α；坡度i 与坡角α的关系：tan h i l ==α.【考点题型一】解直角三角形（共7小题）【例5】（2023秋•宝山区期中）已知平面直角坐标系xOy 中，第一象限内射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，点P 在射线OA 上，如果4cos 5α=，且5OP =，那么点P 的坐标是()A ．(3,4)B ．(4,3)C ．(3,5)D ．(5,3)【变式1-1】（2023秋•松江区期中）在ABC ∆中，90C ∠=︒，AC m =，A α∠=，则AB 的长为()A ．sin m αB ．cos m a C ．sin mαD ．cos mα【变式1-2】（2022秋•青浦区校级期末）如图，ABC ∆在边长为1个单位的方格纸中，ABC ∆的顶点在小正方形顶点位置，那么ABC ∠的正切值为．【变式1-3】（2022秋•虹口区期中）已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3cos 5A =，6AC =，那么AB 的长是．【变式1-4】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，5BD =，3CD =，4tan 3BAC ∠=，则线段AD 的长．【变式1-5】（2023•徐汇区二模）如图，AD、AE分别是ABC∆边BC上的高和中线，已知18,tan3 BC B==，45C∠=︒．（1）求AD的长；（2）求sin BAE∠的值．【变式1-6】（2023秋•宝山区期中）如图，Rt ABC∆中，90C∠=︒，2cos3A=，D是边AC的中点，联结BD．（1）已知BC=，求AB的长；（2）求cot ABD∠的值．【考点题型二】解直角三角形的应用（共6小题）【例2】（2024•浦东新区三模）图1是第七届国际数学教育大会()ICME 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==，AOB α∠=，则2OC 的值为()A ．211cos α+B ．2cos 1α+C ．211sin α+D ．2sin 1α+【变式2-1】（2024•浦东新区三模）某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆OA 绕点O 匀速旋转，另一曲臂杆AB 始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O 、A 、B 在一条直线上．已知闸机高度CD 为1.2m ， 1.5OA AB m ==，0.2OD m =，入口宽度为3m ．（1）如图2，因机器故障，曲臂杆OA 最多可逆时针旋转72︒，求此时点A 到地面的距离；（2）在（1）的条件下，一辆宽为2.58m 、高为2.2m 的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据：sin 720.95︒≈，tan 723)︒≈【变式2-2】（2024•上海模拟）如图，某校有一块三角形空地ABC ，90ACB ∠=︒，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形ACD区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：30BC=米，130AB=米．AD=米，120CD=米，40（1）求ADC∠的度数；（2）求图中健身区（阴影部分）的面积．【变式2-3】（2023秋•虹口区期末）如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知8BCD∠=︒．当AE与BC形成的ABC∠为116︒时，=，63CD cmBC cm=，20求DE的长．（参考数据：sin630.90︒≈；sin530.80︒≈，︒≈，cos530.60︒≈，cot630.50︒≈，cos630.45︒≈cot530.75)（2024•杨浦区三模）如图1是光的反射规律示意图，MO是入射光线，ON是反射光线，法线XO⊥【变式2-4】平面镜L，入射角MOX∠．∠等于反射角XON如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板EF、挡板AB、平面镜I，在挡板AB的正上方有一可上下移动的挡板CD（挡板的厚度都忽略不计）．已知60==厘米，当从点A发出的光线经平面镜I反AB AE射后恰好经过点B时，测得入射角为37︒．（参考数据：sin370.6︒≈︒≈︒≈，cos370.8tan370.75)（1）点A到平面镜I的距离是厘米．（2）移动挡板CD，使空隙BC的长度是20厘米，当从点A发出的光线经平面镜I反射后恰好经过点C时，求入射角的度数．（3）在（2）的条件下，如果从点A发出的光线经平面镜I反射后通过空隙BC落到挡板EF上的最高点为P，最低点为Q，那么PQ的长度是厘米．【变式2-5】（2023•奉贤区三模）如图1，是一种购物小拉车，底部两侧装有轴承三角轮，可以在平路及楼梯上推拉物品．拉杆固定在轴上，可以绕连接点旋转，拉杆，置物板，脚架形状保持不变．图2，图3为购物车侧面示意图，拉杆OP DE ⊥，24DF cm =，FG =，A ，B ，C 的半径均为4cm ，O 为三角轮的中心，OA OB OC ==，AOB BOC AOC ∠=∠=∠．如图2，当轮子B ，C 及点G 都放置在水平地面HI 时，D 恰好与A 的最高点重合．此时，D 的高度为20cm ，则OA =cm ；如图3，拉动OP ，使轮子A ，B 在楼梯表面滚动，当//OA HI ，且B ，O ，D 三点共线时，点G 与B 的垂直高度差为cm ．【考点题型三】解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共7小题）【例3】（2024•徐汇区二模）小杰沿着坡比1:2.4i =的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是米．【变式3-1】（2023秋•杨浦区期末）小华沿着坡度1:3i=的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了米．【变式3-2】（2024•徐汇区三模）一斜坡的坡角为α，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为（用α的锐角三角比表示）．【变式3-3】（2022秋•崇明区期末）如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m，求AC的长度及此斜坡的倾斜角A∠的度数．【变式3-4】（2024•宝山区二模）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1)，图2是它的侧面示意图，遮阳篷长6AB=米，已知该地区冬至正午太阳光照入AC=米，与水平面的夹角为17.5︒，靠墙端A离地高度5射角36.9∠=︒，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳CDFCEF∠=︒，夏至正午太阳光照入射角82.4光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin17.50.3︒≈；︒≈，cos17.50.95︒≈，tan36.90.75︒≈，cos36.90.8︒≈，tan17.50.32︒≈；sin36.90.6︒≈，tan82.47.5︒≈．sin82.40.99︒≈，cos82.40.13【变式3-5】（2023•奉贤区二模）图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图．经过测量，支架的立柱AB与地面垂直(90)∠=︒， 2.7BACAB=米，点A、C、M 在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角33⊥，垂足为E，该支架的边BDACB∠=︒，支撑杆DE BC与BC 的夹角66DBE ∠=︒，又测得 2.2CE =米．（1）求该支架的边BD 的长；（2）求支架的边BD 的顶端D 到地面AM 的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin 330.54︒≈，sin 660.91︒≈，cos 330.84︒≈，cos 660.40︒≈，tan 330.65︒≈，tan 66 2.25)︒≈【变式3-6】（2022秋•静安区期末）有一把长为6米的梯子AB ，将它的上端A 靠着墙面，下端B 放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直（如图1所示）．一般满足5075α︒︒时，人才能安全地使用这架梯子．（1）当梯子底端B距离墙面2.5米时，求α的度数（结果取整数），此时人是否能安全地使用这架梯子？（2）当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离开地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处（如图2所示），此时人是否能安全使用这架梯子？请说明理由．(sin750.97)︒≈【考点题型四】解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）【例4】（2023秋•徐汇区期末）世博会期间，从一架离地200米的无人机A上，测得地面监测点B的俯角是60︒，那么此时无人机A与地面监测点B的距离是()A．20033米B．40033米C．200米D．2003米【变式4-1】（2024•浦东新区校级开学）某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为60︒，那么这个观察点到建筑物的距离为．【变式4-2】（2024•青浦区二模）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为α，看这栋楼底部C的俯角为β，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼BC的高度为米．（用含α、β、m的式子表示）【变式4-3】（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60︒，6BC m=，则旗杆AC的高度为m．【变式4-4】（2023秋•徐汇区期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60︒，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37︒，已知斜坡CD的坡比是1:6i=，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是203米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼AB的高度；（2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，3 1.73)=【变式4-5】（2023秋•普陀区期末）如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为37︒；第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为26.6︒；第三步：测得小河宽BC为33米．已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．（参考数据：sin22.60.45︒≈︒≈，tan370.75)︒≈，cos370.8︒≈，cos26.60.89︒≈，tan26.60.5︒≈，sin370.6【考点题型五】解直角三角形的应用-方向角问题（共6小题）【例5】（2023秋•金山区期末）如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东60︒的方向行驶8海里到B 处，再从B处向南偏东45︒方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处海里．【变式5-1】（2023秋•嘉定区期末）如图，在港口A的南偏西30︒方向有一座小岛B，一艘船以每小时12海里的速度从港口A出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在C处测得小岛B在船的正南方向，那么小岛B与C处的距离BC=海里（结果保留根号）．【变式5-2】（2023秋•徐汇区期末）如图，一段东西向的限速公路MN长500米，在此公路的南面有一监测点P，从监测点P观察，限速公路MN的端点M在监测点P的北偏西60︒方向，端点N在监测点P的东北方向，那么监测点P到限速公路MN的距离是米（结果保留根号）．【变式5-3】（2024•普陀区校级三模）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线BN（北偏东60︒方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东60︒方向移动3小时后，方向转为北偏东30︒方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间；如果不影响，请说明理由？（结≈3 1.73)【变式5-4】（2022秋•崇明区期末）如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东60︒方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37︒方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．参考数据：sin370.6︒≈，︒≈，cos370.80︒≈tan370.75（2024•嘉定区二模）某东西方向的海岸线上有A、B两个码头，这两个码头相距60千米(60)【变式5-5】AB=，有一艘船C在这两个码头附近航行．（1）当船C航行了某一刻时，由码头A测得船C在北偏东55︒，由码头B测得船C在北偏西35︒，如图1，求码头A与C船的距离(AC的长），其结果保留3位有效数字；（参考数据：sin350.5736︒≈︒≈，cos350.8192︒≈，cot35 1.428)︒≈，tan350.7002（2）当船C继续航行了一段时间时，由码头A测得船C在北偏东30︒，由码头B测得船C在北偏西15︒，船C到海岸线AB的距离是CH（即)⊥，如图2，求CH的长，其结果保留根号．CH AB。
解直角三角形教案
解直角三角形教案作为一名教学工作者，总不可避免地需要编写教案，教案是保证教学取得成功、提高教学质量的基本条件。
那么优秀的教案是什么样的呢？以下是小编整理的解直角三角形教案，欢迎阅读与收藏。
解直角三角形教案1一、教学目标(一)知识教学点巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题。
(二)能力目标逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;渗透数形结合的数学思想和方法。
(三)德育目标培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点。
二、教学重点、难点和疑点1.重点：解决有关坡度的实际问题。
2.难点：理解坡度的有关术语。
3.疑点：对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视。
三、教学过程1.创设情境，导入新课。
例同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i 1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)。
同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚。
这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨。
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决。
但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的`意义。
解直角三角形教案2教材与学情：解直角三角形的应用是在学生熟练掌握了直角三角形的解法的基础上进行教学，它是把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题，对分析问题能力要求较高，这会使学生学习感到困难，在教学中应引起足够的重视。
信息论原理：将直角三角形中边角关系作为已有信息，通过复习（输入），使学生更牢固地掌握（贮存）；再通过例题讲解，达到信息处理；通过总结归纳，使信息优化；通过变式练习，使信息强化并能灵活运用；通过布置作业，使信息得到反馈。
解直角三角形(5种题型)(解析版)
解直角三角形（5种题型）【知识梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A=∠A的对边斜边=ac，cos A=∠A的邻边斜边=bc，tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形1．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD ＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=√2AC，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣AE，计算即可得出答案；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=√EF2+CF2，在Rt△ECF中，由cos∠ECB=CFCE 计算即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=√2AC=6√2，∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°•AD=√22×4=2√2，∴BE＝AB﹣AE＝6√2−2√2=4√2；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°•BE=√22×4√2=4，∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=√EF2+CF2=√42+22=2√5，在Rt△ECF中，cos∠ECB=CFCE =2√5=√55．【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键．2．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=45．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC=BDBC =45，即可算出BC的长，根据勾股定理即可得出答案；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF=12CD，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠EAB=EFAF即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BDBC =45，∴4BC =45，∴BC＝5，∴CD=√BC2−BD2=√52−42=3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12CD=12×3=32，DF=12BD=12×4=2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EFAF =3210=15．【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．3．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD 的长； （2）求∠EBC 的正切值．【分析】（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图，利用等腰三角形的性质得到AH ＝DH ，再证明∠ACH ＝∠ABC ，则sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13，然后利用正弦的定义求出AH ，从而得到AD 的长；（2）在Rt △ABC 中先求出AB ＝9，则BD ＝7，再证明∠HCD ＝∠EBD ，则sin ∠EBD =DE BD =13，利用正弦的定义求出DE =73，接着利用勾股定理计算出BE ，然后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图， ∵CD ＝CA ， ∴AH ＝DH ，∵∠ABC+∠BCH ＝90°，∠ACH+∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠ABC ， ∴sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13， 在Rt △ACH 中，sin ∠ACH =AH AC =13，∴AD ＝2AH ＝2；（2）在Rt △ABC 中，sin ∠ABC =AC AB=13，∴AB ＝3AC ＝9，∴BD ＝AB ﹣AD ＝9﹣2＝7， ∵∠E ＝90°， 而∠EDB ＝∠HDC ， ∴∠HCD ＝∠EBD ， ∴sin ∠EBD =DE BD =13，∴DE =13BD =73，∴BE =√72−(73)2=14√23，在Rt △EBC 中，tan ∠EBC =EC EB=3+7314√23=4√27．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 二．解直角三角形的应用4．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【分析】（1）延长光线交CD 于点F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，根据题意可得∠AFG ＝29°，GF ＝BC ＝20米，GB ＝FC ，然后在Rt △AGF 中，利用锐角三角函数的定义求出AG ，从而求出GB 的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线BC 于点E ，根据题意可得∠AEB ＝29°，然后在Rt △ABE 中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=ABtan29°≈250.55≈45（米），∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．6．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）点在最高位置与最低位置时的高度差．（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【分析】（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划x小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗﹣原计划每小时的能量消耗＝100，列出方程进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO•cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米；（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，由题意得：，解得：，经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼1小时完成．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）【分析】（1）根据每级台阶高度都是0.25米，然后计算出3个台阶的总高度，即可解答；（2）连接BC，根据题意可得：AB＝DC，AB∥DC，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题8．（2021秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC =12.4，即5AC=12.4，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√122+52=13（米），故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．10．（2022•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：2.4×10＝24，∴物体所经过的路程为：√102+242=26（米），故答案为：26．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．11．（2022•浦东新区二模）如图，一个高BE为√3米的长方体木箱沿坡比为1：√3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为米．【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：√3，∴tan∠DAF=√3=√33，∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BEDE，∴√3DE =√32，解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12AD＝1（米），∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题12．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotαB．20tanαC．1.5+20tanαD．1.5+20cotα【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．（2022•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为米．【分析】根据题意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE•tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2022•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为米．【分析】设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CDAD，∴AD=xtanα，在Rt△BCD中，tanβ=CDBD，∴BD=xtanβ，∵AD﹣BD＝100，∴xtanα−xtanβ=100，解得x=100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα，故答案为：100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五．解直角三角形的应用-方向角问题15．（2021秋•黄浦区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，AB＝．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由：延长AB交l于点D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16．（2021秋•嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴cos60°＝，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴， ∴， ∴，在Rt △BDN 中，，由题意，得∠DBN ＝53°∴， ∴DN ＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V 千米/小时，由题意，得，∴V ≈40.7（千米/小时 ），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题 九年级假期作业）已知在ABC 中，【答案】B 【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，根据60A ∠=︒，得出30ACD ∠=︒,进而求得CD ，由已知条件得出CD BD =，进而得出45BCD ∠=︒，即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt ADC 中，60A ∠=︒，∴30ACD ∠=︒, ∴sin ,cos CD AD A A AC AC ==sin 602CD =︒∴⨯=11BD AB AD ∴=−=∴CD BD =，在Rt BCD 中，CD BD =45BCD ∴∠=︒75ACB ACD BCD ∴∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．【答案】D【分析】在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点B ，则可求得α的正余弦、正余切值，从而可得答案．【详解】如图，在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P作x 轴的垂线，垂足为点B则OB=|a|，PB=2|a| 由勾股定理得：|OPa ==在直角△POB 中，sin 5PB OP α==，cos 5OB OP α===， 2tan =2a PB OB a α==，1cot =22a OB PB a α==故选项D 正确故选：D【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x 轴的垂线得到直角三角形．【答案】D【分析】先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×12=1，CD=ACsin60°=2×∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，∴tanB=CD BD=， 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，45ACB ∠=︒，125PRQ ∠=︒，ABC 底边BC 上的高为1h ，PQR 底边QR 上的高为2h ，则有（ ）A ．12h h =B ．12h h <C ．12h h >D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高12,h h∵45,5ACB AC ∠=︒=∴1sin 455sin 45h AC =⨯︒=︒ ∵125,5PRQ PR ∠=︒=∴()2sin 1801255sin55h PR =︒−︒=︒ ∵sin 55sin 45︒︒＞∴21h h ＞ 故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰【答案】C 【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ACE △中，已知了CE 的长，可利用俯角CAE ∠的正切函数求出AE 的值；进而在Rt ABE △中，利用仰角BAE ∠的正切函数求出BE 的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE AD h ==．∵在Rt ACE △中，CE h =，60CAE ∠=︒，∴tan 60CE AE ==︒，∵在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，∴1tan 303BE AE h =︒==，∴1433BC BE CE h h h =+=+=． 即旗杆的高度为43h ．故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）【答案】C【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，设BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝1sin sinAEαα=，∴BC＝AB＝1sinα，∴重叠部分的面积是：1sinα×1＝1sinα．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．二、填空题7．（2023·上海·九年级假期作业）小球沿着坡度为1:1.5i=的坡面滚动了13m，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m．【答案】【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =∴水平距离为1.5⨯=故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．【答案】13【分析】根据斜坡AB 的坡度1i =AB 的值先求出AH ，再根据斜坡AC 的坡度21:2.4i =，求得AC ，即可求解．【详解】解：∵1i =∴tan 3ABH ∠==， ∴30ABH ∠=︒，∴152AH AB ==, ∵21:2.4i =，∴1tan 2.4AH ACB CH ∠==，∵5AH =，∴12=CH ，在Rt ACH 中，13AC ==,故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【答案】10【分析】作BH AC ⊥于H ．由四边形ABCD 是矩形，推出OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，由余切函数，可得4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，求出a 即可解决问题．【详解】解：如图，作BH AC ⊥于H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，则10AC a =．∵根据题意得：3cot 4OH BOH BH ∠==， ∴4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，∴1a =，∴10AC =．故答案为10．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 10．（2023·上海·九年级假期作业）已知：在ABC 中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，8AB =．则ABC 的面积为____（结果可保留根号）．【答案】48−【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90CDA ∠=︒Q ，∴tan tan 60CD DAC AD =∠=︒=即AD 在Rt BDC 中，45B ∠=︒， 45BCD ∴∠=︒， CD BD ∴=．8AB DB DA CD =+==，12CD ∴=−．118(124822ABC S AB CD ∴=⨯=⨯⨯−=−故答案为：48−【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形的性质及三角形的面积公式，熟练掌握通过作三角形的高，构造直角三角形是解题的关键．分别在DEF 的边，ABE 沿直线 【答案】67【分析】根据题意和翻折的性质可得ABCABE 是等腰直角三角形，ABC 是等腰直角三角形，所以AC BE ∥，得23DA AC DE HE ==，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，所以7FE x =，6DE x =，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图所示：90DEF ∠=︒，45EBA ∠=︒，ABE ∴是等腰直角三角形，AE BE ∴=，ABE 沿直线AB 翻折，翻折后的点E 落在DEF 内部的点C ，ABC ∴是等腰直角三角形，∴∥AC BE ，∴23DA AC DE HE ==，FH AD =，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，7FE x ∴=，6DE x =， ∴67DE FE =，6cot 7DE D FE ∴==． 故答案为：67．【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 统考二模）在ABC 中，，那么ABC 的重心到【答案】4【详解】解：如下图所示，设点D 为BC 的中点，点E 为三角形的重心，∵AB AC =，∴AD BC ⊥，∵152BD BC ==，5cos 13B =，cos BD B AB = ∴13AB =，∴12AD ==，∵点E 为三角形的重心，∴21AE ED =， ∴4ED =，∵AD BC ⊥，∴ABC 的重心到底边的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考查解直角三角形、三角形重心的性质和勾股定理，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1． 13．（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点()1,2P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角为α，tan α=________．【答案】2【分析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，由P 点的坐标得PA 、OA 的长，根据正切函数的定义得结论．【详解】解：过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图：∵点PA x ⊥，∴2PA =，1OA =，∴2an 21t PA OA α===．故答案为：2．【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形． 一模）如图，已知在ABC 中， 【答案】95【分析】如图，设AP m =．证明AP MQ m ==，根据3cos cos 5A CMQ =∠=，构建方程求解．。
解直角三角形专题复习教案设计
专题复习解直角三角形回车一中教研组长牛晓丽一、复习目标1. 掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。
2. 熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。
3. 能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。
4. 会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。
二、复习重点：先构造直角三角形，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题。
三、复习难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。
四、中招分析:分析河南近几年中招试题,对于解直角三角形的实际应用,除了2010年外,这几年在解答题中都有考查,并且难度适中,基本上都是把实际问题转化为解直角三角形的问题,在进行求解,考查背景灵活多样,特别是2011、2012、2014年都考查了俯、仰角的问题,并且结果取整数,解决此类问题,要学会把实际问题抽象成数学问题进行处理,熟练掌握三角函数的表示方法也是解题的关键,预测2016年,解直角三角形的实际应用仍是中考解答题考查的重点.五、复习过程（一）知识回顾考点一解直角三角形1.解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)．2．直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)两个锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；3．解直角三角形的类型温馨提示： 解直角三角形的思路可概括为“有斜斜边用弦 正弦、余弦，无斜用切正切，宁乘勿除，取原避中”.考点二 解直角三角形的应用 1．仰角、俯角如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度(坡比)、坡角如图②，坡面的高度h 和水平距离l 的比叫做坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝h l，坡面与水平面的夹角α叫做坡角．3．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达为北(南)偏东(西)多少度．如图③，A点位于O点的北偏东60°方向．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．(二)典型例题例1.在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝( )A．3sin 40° B．3sin 50°C．3tan 40° D．3tan 50°例2.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝23，则AB的长为________．例3.如图，一堤坝的坡角∠ABC ＝62°，坡面长度AB ＝25米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB=500，则此时就将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米，参考数据：sin620 ≈ 0.88,cos620 ≈ 0.47,tan500 ≈ 1.20）(三).拓展运用1．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，cos B ＝23，则BC 的长为( A )A ．4B ．2 5 C. 181313 D. 1213132．如图，从热气球C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A ，D ，B 在同一直线上，则AB 两点间的距离是( )A ．200米B ．2003米C ．2203米D ．100(3＋1)米3．某人想沿着梯子爬上高4 m 的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为( ) A ．8 m B ．8 3 m C. 833 m D.433 m4．如图，两个建筑物AB 和CD 的水平距离为30 m ，张明同学住在建筑物AB 内10楼P 室，5．我国为了维护对钓鱼岛P (如图)的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同(AP ∥BD )，当轮船航行到距钓鱼岛20 km 的A 处时，飞机在B 处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C 处时，飞机在轮船正上方的E 处，此时EC ＝5 km.轮船到达钓鱼岛P 时，测得D 处飞机的仰角为30°.试求飞机的飞行距离BD (结果保留根号)．（五）通过本节课的复习你有什么收获呢？(六)考点热练一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，AC ＝3，那么AB 的长为( )A ．3sin αB ．3cos α C. 3sin α D. 3cos α2．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是( )A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m3．在Rt△ACB 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sin A ＝35，cos A ＝45，tan A ＝34，则BC 的长为( ) A ．6 B ．7.5C ．8D ．12.54．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )A ．c sin A ＝aB ．b cos B ＝cC ．a tan A ＝bD ．c tan B ＝b5．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰在半圆上，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，已知cos∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( )A ．1 B. 203 C ．3 D. 1636．(2014·随州)如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝100米，则B 点到河岸AD 的距离为( )A ．100米B ．50 3 米 C. 20033 米 D ．50米 7．如图，在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝1，则AB 的长为( )A ．2B ．2 3C. 33＋1 D. 3＋18．(2014·临沂)如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B ，C 之间的距离为( )A ．20海里B ．10 3 海里C ．20 2 海里D ．30海里9．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，cos A ＝45，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则DE的长为( )A. 32B. 103C. 256D ．2 10．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为( )A ．(6＋3)米B ．12米C ．(4－23)米D ．10米二、填空题(每小题5分，共25分)11．(2013·成都)如图，某山坡的坡面AB ＝200米，坡角∠BAC ＝30°，则该山坡的高BC 的长为米．12．如图，已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使CE ＝CD ＝1，连接DE ，则DE ＝ .13．(2014·宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD＝2，则AB的长是 .14.如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为米．15．(2014·武汉)如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 .三、解答题(共35分)16．(11分)(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一个平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．17.(12分)(2014·潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1 100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是45°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是60°，求两海岛间的距离AB.18．(12分)(2013·济宁)钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土(如图①)，A，B，C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点(如图②)，图①。
解直角三角形的知识和题型点整理
解直角三角形的知识点整理知识考点梳理考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：09090C A B ∠=⇒∠+∠=2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可表示如下：00901230C BC AB A ⎫∠=⇒=⎬∠=⎭3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可表示如下：09012D AB ACB CD AB BD AD ⎫∠=⇒===⎬⎭为的中点4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=.5、射影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项。
22290CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB⎧=⋅⎫∠=⎪⇒=⋅⎬⎨⊥⎭⎪=⋅⎩6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB CD AC BC ⋅=⋅考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ， 即sin A aA c∠==的对边斜边②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ， 即cos A bA c∠==的邻边斜边③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ， 即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ， 即cot A bA A a∠==∠的邻边的对边2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30°45°60°90° sinα122 231cos α12212tan α13 不存在cot α 不存在1 334、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系22sin cos 1A A +=（3）倒数关系0tan tan(90)1A A ⋅-=（4）弦切关系sin tan cos A A A =；cos cot sin AA A=5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
九年级数学下册《解直角三角形》知识点整理
九年级数学下册《解直角三角形》知识点整
理
第九章解直角三角形
★重点★解直角三角形
☆内容提要☆
一、三角函数
．定义：在Rt△ABc中，∠c=Rt∠，则sinA=;cosA=;tanA=;
．特殊角的三角函数值：
0°
°
0°
sinαcosαtanα3．互余两角的三角函数关系：sin=cos α;…
．三角函数值随角度变化的关系
．查三角函数表
二、解直角三角形
．定义：已知边和角→所有未知的边和角。
．依据：①边的关系：初中数学复习提纲
②角的关系：A+B=90°
③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理
．初中数学复习提纲俯、仰角：2．方位角、象限角：3．坡度：
．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
四、应用举例。
苏教版九年级下册数学[解直角三角形及其应用--知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b =【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan 60b a B ==⨯=° 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°．(2)由tan bB a==B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2c ==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用 395952 ：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=2．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用395952：例2】【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i =i ＝铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=55FB =+，解得5 3.66(m)FB ==． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.11.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52，CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°，∴ 551)22AB AE BE =+=+=≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
第一章解直角三角形复习提纲
第一章解直角三角形复习一、锐角三角函数：1、根据三角函数定义下列函数：正弦： 余弦：α 正切：2、各三角函数之间的关系：⑴sin α＝cos ⑵sin 2α＋cos 2α＝ ⑶tan α＝ 31、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。
（1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值；（3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。
2、（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。
（2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。
（3）在ABC Rt ∆中，C ∠＝90︒，c = 8 , sinA =41，则b = . 3、选择：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，31tan =A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6B 、5C 、4D 、2 （2）Rt ABC ∆中，C ∠＝90︒，43AC BC ==，,cos B 的值为 （ ）15A 、35B、 43C、 34D、 （3）ABC ∆中，C ∠＝90︒，tan 1A =，则sin B 的值是 （ ）A 、B、1C、 2D、4、计算：（1)sin 30º+cos 45º; (2) sin ²60º+cos ²60º-tan 45º.（3）︒∙︒-︒∙+︒60tan 60sin 45cos 230sin5、用计算器求下列余弦值，并用“<”连接：cos27.5°, cos85°, cos63°36’15”, cos54°23’, cos38°39’52” 你从这些能找到什么规律。
二、解直角三角形：1、三边之间的关系:2、锐角之间的关系:3、边角之间的关系: 如图，在Rt △ABC 中，∠ C ＝Rt ∠ 各边分别为a ，b ，c 。
解直角三角形(坡度和坡角)讲义
解直角三角形（坡度和坡角）一、知识点讲解1、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
2、坡度（或坡比）：坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即 lh i =，坡度通常写成1∶m 的形式。
3、坡度与坡角的关系： αtan ==lh i 坡度等于坡角的正切值二、典例分析题型一：利用解直角三角形解决坡度、坡角问题例1 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i =1∶3，斜坡CD 的坡度i =1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度（精确到0.1m ）；（2）斜坡CD 的坡角α（精确到 1°）。
变式练习：1、如图，一人滑雪沿坡度为1：2斜坡滑下，下滑了距离s =100米，则此人下降的高度为（ ）A 、50米B 、350米C 、520米D 、550米第1题 第2题 第3题2、如图是人民广场到重百地下通道的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示地下通道、人发广场电梯口处地面的水平线，已知∠ABC =135°，BC 的长约为25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是。
3、如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH ∥BC ，坡角∠ABC ＝74°，坝顶到坝脚的距离AB ＝6 m ．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A 需向右平移至点D ，请你计算AD 的长(精确到0.1 m )．题型二：利用解直角三角形解决其它例2 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．第1题第2题2、小强和小明去测得一座古塔的高度，如图，他们在离古塔60m处（A）用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔的高BE为。
解直角三角形教案精选5篇
解直角三角形教案精选5篇解直角三角形教案篇一一、教学目标〔一〕知识教学点使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．〔二〕能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的'两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．〔三〕德育渗透点渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学过程〔一〕明确目标1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？〔1〕边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成。
〔2〕三边之间关系a2+b2=c2〔勾股定理〕〔3〕锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．〔二〕整体感知教材在继锐角三角函数后安排解直角三角形，目的是运用锐角三角函数知识，对其加以复习稳固．同时，本课又为以后的应用举例打下根底，因此在把实际问题转化为数学问题之后，就是运用本课——解直角三角形的知识来解决的．综上所述，解直角三角形一课在本章中是起到承上启下作用的重要一课．〔三〕重点、难点的学习与目标完成过程1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素〔至少有一个是边〕后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个元素中至少有一条边？〞让全体学生的思维目标一致，在作出准确答复后，教师请学生概括什么是解直角三角形？〔由直角三角形中除直角外的两个元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形〕．3．例题例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比拟各种方法中哪些较好完成之后引导学生小结“一边一角，如何解直角三角形？〞答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比拟可靠，防止第一步错导致一错到底．例2在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．4．稳固练习解直角三角形是解实际应用题的根底，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．说明：解直角三角形计算上比拟繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．〔四〕总结与扩展1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素〔至少有一个是边〕，就可以求出另三个元素．2．出示图表，请学生完成abcAB1√√2√√3√b=acotA√4√b=atanB√5√√6a=btanA√√7a=bcotB√√8a=csinAb=ccosA√√9a=ccosBb=csinB√√10不可求不可求不可求√√注：上表中“√〞表示。
28.2解直角三角形(1)导学提纲
3.请认真学习，并弄懂课本第 86 页例 1； 请认真学习，并弄懂课本第 86 页例 2；
（二） 、反馈与检测
3 1. 在△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，则 cosA 的值是（ ） 5 3 4 9 16 D. A． B． C． 5 5 25 25 4 2. Rt△ABC 中，若 sinA= ，AB=10，那么 BC=_____，tanB=______． 5
tan A ， tan B . 2．填写下表： 已知条件 一条边和 斜边 c 和锐角∠ A 一个锐角 直角边 a 和锐角∠ A 两条直角边 a 和 b 两条边 直角边 a 和斜边 c
解法 ∠ B＝______，a＝______，b＝______ ∠ B＝______，b＝______，c＝______ c＝______， 由______求∠ A， ∠ B＝______ b＝______， 由______求∠ A， ∠ B＝______
28.2 解直角三角形（1）导学提纲
设计时间 12.21 设计人： 班级：九 姓名：
【学习目标】1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角 三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角 三角函数解直角三角形， 3. 渗透数形结合的数学思想，培养良好的学习习惯． (一)自主预习(自学课本第 85 至 86 页的内容，完成下面的问题) 1.请阅读课本第 85 页探究,并完成下列填空内容。
3．在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么 sinA=________． 4．在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6， BAC 的平分线 AD=4 3 ，则 BAC ＝ °, ∠B= ,AB= ,AC= .
三角比与解直角三角形教案+经典例题+习题详解
考点三解直角三角形1．解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有．．未知元素的过程，叫做解直角三角形．(2009·绍兴如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆动，量得滑杆下端B距，当端点B向右移动0.5 m，则BC的长为( )【课堂练习】．(2010·湛江)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A．1,2,3 B．2,3,4 C．3,4,5 D．4,5,6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.已知BC＝8，AC＝6，则线段CD的长为2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，的垂直平分线A.3B. D题4题5 题6 题7其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、3，则最大正方形的面积是( )26 C．47 D．948．(2010·河南)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含角边重合，则∠1的度数为．．一架长25 dm的梯子，斜立在竖直角墙上，这时梯足距墙底端1(2012·山西中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的A．扩大2 C．扩大5中，∠A＝30°，tanB＝的长是( )题10 题12 题13．16.如图，在△ABC中∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线．已知17．(2012·襄樊)在△ABC，∠ABC＝30°，AC＝5，则．（1）求证：△运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素c，21【解析】如图，过B 点作BD ⊥AC 于D∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB ＝90°－45°＝45°设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝x ⋅tan30°在Rt △BDC 中，BD ＝DC ＝x BC又AC ＝5×2＝10 10+=x ， 得1)x =，∴1)BC ==（海里）答：灯塔B 距C 处海里22【解析】（1）在矩形ABCD 中，90BC AD AD BC B =∠=，∥，° DAF AEB ∴∠=∠DF AE AE BC ⊥= ，90AFD B ∴∠=∠°= A E A D = ABE DFA ∴△≌△．（2）由（1）知ABE DFA △≌△ 6AB DF ∴==在直角ADF △中，8AF === 2E F A E A F A D A F ∴=-=-=在直角DFE △中， 0D E =sin10EF EDF DE ∴∠=== 分析 此题可作CD ⊥AP 构造直角三角形求AC ，而CD ，AD 的长可转移到其他三角形中解决，可作BE ⊥AD ，CF ⊥BE ，CF ，BF 在Rt △BCF 中可求，进而求解．23 解：如图28－130所示，过点B 作BE ⊥AP ，垂足为点E ，过点C 分别作CD ⊥AP ，CF ⊥BE ，垂足分别为点D ，F ，则四边形CDEF 为矩形， ∴CD ＝EF ，DE ＝CF ．∵∠QBC ＝30°，∴∠CBF ＝60°． ∵AB ＝20，∠BAD ＝40°，∴AE ＝AB ·cos 40°≈20×0.7660≈15.3，BE ＝AB ·sin 40°≈20×0.6428＝12.856≈12.9．又∵BC ＝10，∠CBF ＝60°， ∴CF ＝BC ·sin 60°≈10＝8.7， BF ＝BC ·cos 60°＝10×0.5＝5， ∴CD ＝EF ＝BE －BF ≈12.9－5＝7.9．∵DE ＝CF ≈8.7，∴AD ＝DE ＋AE ≈8.7＋15.3＝24.0，由勾股定理得AC 25，即此时小船距港口A 约25海里．24. （1）证明略 （2）解：连结EO 并延长EO 交BC 于点F ，连结AD ．由（1），知AC ＝BD ．•∵∠ABC ＝∠DCB ＝90°，∴∠ABC ＋∠DCB ＝180°，AB ∥DC ，AB =CD ， ∴四边形ABCD•为平行四边形且为矩形．∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，又∵BE ＝CE ，∴OE 所在直线垂直平分线段BC ，∴BF ＝FC ，∠EFB ＝90°，∴OF ＝12AB ＝12×2＝1，∵△BEC 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°， 在Rt △AEB 中，•∠AEB ＝90°，∠ABE ＝∠ABC －∠EBC ＝90°－60°＝30°，∴BE ＝AB ·cos30°＝2， 在Rt•△BFE 中，∠BFE ＝90°，∠EBF ＝60°，∴BF ＝BE ·cos6012，EF ＝BE ·sin60＝32，∴OE ＝EF －OF ＝32－1＝12， ∵AE ＝ED ，OE ＝OE ，AO ＝DO ，∴△AOE ≌△DOE ，∴S△AOE＝S△DOE，∴S 阴影＝2S△AOE ＝2×12·EO ·BF ＝2×12×12（2cm ） 25、解：(1)测量示意图如图28—128所示．(2)测量步骤．第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时小树顶端A 的仰角∠AHE ＝α.第二步：沿CB 方向前进到点D ，用皮尺量出C ，D 之间的距离 CD ＝m ．第三步：在点D 安装测角仪，测得此时小树顶端A 的仰角∠AFE ＝β.第四步：用皮尺测出测角仪的高h ．(3)令AE ＝x ，则tan α＝x HE ，得HE ＝tan x α. 又tan β＝x EF，得EF ＝tan x β， ∵HE －FE ＝HF ＝CD ＝m ， ∴tan tan x x αβ-＝m ，解得x ＝tan tan tan tan m αββα-g g ． ∴AB ＝tan tan tan tan m αββα-g g ＋h ． 26．(1) sin sin a b A B = ∠A ＋∠B ＋∠C ＝180° a ，∠A ，∠C sin sin a c A C = (2)解：依题意可知∠ABC ＝180°－45°－70°＝65°，∴∠A ＝180°－(30°＋45°＋65°)＝40°，BC ＝28．4×12＝14．2．∵sin 75sin 40AB BC =︒︒，∴AB ＝14.2sin 75sin 40⨯︒︒≈14.20.9660.643⨯≈21．3（海里）.即此时货轮与灯塔A 的距离AB 约为21.3海里．。
解直角三角形及应用(教案)
5.学生在小组讨论中提出了很多有趣的观点和想法，这让我意识到他们对解直角三角形的应用有着广泛的兴趣。在今后的教学中，我可以更多地引入类似的实际案例，激发学生的学习兴趣。
6.总结回顾环节，我发现部分学生对正弦、余弦、正切的记忆仍然不够牢固。在接下来的教学中，我需要加强对这些知识点的复习和巩固，确保学生能够熟练掌握。
1.注重理论与实践相结合，让学生在实际问题中感受数学的魅力。
2.加强对重点、难点的讲解和练习，帮助学生扎实掌握知识点。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，培养他们的团队协作和沟通能力。
2.在案例分析环节，我尝试让学生通过实际测量和计算，体验到解直角三角形的实际应用。这让他们对知识点的印象更加深刻，也提高了他们解决实际问题的能力。
3.教学难点方面，正弦、余弦、正切在不同象限的正负问题对学生来说是一个挑战。我通过举例和对比，帮助学生理解和记忆这个难点。但从课堂反应来看，这部分内容还需要在后续的练习中进一步巩固。
3.培养学生的数据运算能力，通过计算特殊角的正弦、余弦、正切值，提高学生的计算准确性和速度。
4.培养学生的数学建模素养，使学生能够将实际问题转化为数学模型，运用数学知识解决现实问题，增强学生的应用意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握正弦、余弦、正切的定义及其在直角三角形中的应用。
-学会使用计算器计算特殊角的正弦、余弦、正切值。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于解直角三角形这一章节的内容充满了好奇心。通过引入日常生活中的实际问题，他们能够更直观地感受到数学知识的实用性和趣味性。在讲授新课的过程中，我注意到以下几点：
28.2解直角三角形导学提纲
4．在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=30°,斜边上的高h=1,则三边的长分别是______.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，COSB=___________.
6． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD=2，
2、Rt△ABC中，若sinA= ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
3、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
4、在△ABC中，∠C=90°，sinA=则cosA的值是
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，a= ，b=3，解这个三角形．
6、在△ABC中，∠C为直角，AC=6， 的平分线AD=4 ，解此直角三角形。
则sinA=____；tanB=____．
4、如图在△ABC中，∠C=900，∠A=300.D为AC上一点，AD=10,∠BDC=600,求AB的长
【范例精析】在△ABC中，∠C=900点D在C上，BD=4，AD=BC,cos∠ADC= ,求（1）DC的长；
（2）sinB的值；
【达标测评】
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．
1.解直角三角形的定义是什么？
2.说一说P72的探究结果。
3.例1中知道什么，求什么？用到了哪些关系式解决的？运用到什么数学思想方法？
4.例2中除了3的问题外，你还有其他方法求c吗？
当堂训练
1.在△ABC中，∠C=90°，若b= ，c=2，则 tanB=__________
2．在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA= ，AB=10，则BC=______．
解直角三角形知识点章末重难点题型(举一反三)
专题1.4解直角三角形章末重难点题型【考点1 锐角三角函数的定义】【方法点拨】锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.【例1】（2020•平房区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（）A．mcosαB．m•cosαC．m•sinαD．m•tanα【分析】根据解直角三角形的三角函数解答即可．【解答】解：如图所示：∵cosα=BC AB，∴AB=m cosα，故选：A ．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，关键是根据学生的理解能力和计算能力解答． 【变式1-1】（2019秋•沈河区校级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，下列各组线段的比不能表示sin ∠BCD 的（ ）A ．BD BCB ．BCABC ．CD BCD ．CD AC【分析】根据三角形内角和定理求出∠BCD ＝∠A ，再解直角三角形得出即可． 【解答】解：∵CD ⊥AB ， ∴∠CDA ＝∠CDB ＝90°， ∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD +∠ACD ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A ，∴sin ∠BCD ＝sin A =BCAB =CDAC =BDBC ， 即只有选项C 错误，选项A 、B 、D 都正确， 故选：C ．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，则sin A =BC AB ，cos A =AC AB ，tan A =BC AC ，cot A =AC BC． 【变式1-2】（2019秋•包河区期末）如图，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 与CE 相交于O ，则图中线段的比不能表示sin A 的式子为（ ）A ．BD ABB ．CD OCC ．AEADD ．BEOB【分析】根据BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，利用锐角三角函数的定义进行求解即可． 【解答】解：A 、∵BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴sin A=BDAB=EC AC，故A不合题意；B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，∴∠A＝∠COD，∴sin A＝sin∠COD=CDOC，故B不合题意；C、无法得出sin A=AEAD，符合题意；D、∵∠BOE＝∠COD，∴∠A＝∠BOE，∴sin A＝sin∠BOE=BEBO，故D不合题意；故选：C．【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义的有关知识，正确掌握边角关系是解题关键．【变式1-3】（2020•下城区模拟）如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（）A．a•（cosα﹣cosβ）B．atanβ−tanαC．a cosα−a⋅sinαtanβD．a•cosα﹣a sinα•a•tanβ【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出BC，DC的长进而得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，∴cos B＝cosα=BCAB=BC a，则BC＝a•cosα，sin B＝sinα=ACAB=AC a，故AC＝a•sinα，则tanβ=AC DC，故DC=ACtanβ=a⋅sinαtanβ，则BD ＝BC ﹣DC ＝a •cos α−a⋅sinαtanβ． 故选：C ．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出DC 的长是解题关键． 【考点2网格中的锐角三角函数值计算】【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.【例2】（2020•岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，则tan ∠BAC 的值是（ ）A ．45B ．43C ．34D ．35【分析】过点B 作BD ⊥AC ，交AC 延长线于点D ，利用正切函数的定义求解可得． 【解答】解：如图，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 延长线于点D ，则tan ∠BAC =BDAD =34， 故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切．【变式2-1】（2020•南海区一模）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则∠OAB 的正弦值是 ．【分析】过点O 作OC ⊥AB 的延长线于点C ，构建直角三角形ACO ，利用勾股定理求出斜边OA 的长，即可解答．【解答】解：如图，过点O 作OC ⊥AB 的延长线于点C ，则AC ＝4，OC ＝2，在Rt △ACO 中，AO =√AC 2+OC 2=√42+22=√20=2√5， ∴sin ∠OAB =OCOA =22√5=√55． 故答案为：√55． 【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键．【变式2-2】（2020•铁东区三模）如图，将∠BAC 放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A 、B 、C 均在格点上，那么∠BAC 的正切值为 ．【分析】连接BC ，先利用勾股定理逆定理证△ABC 是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得． 【解答】解：如图所示，连接BC ，则AB ＝BC =√12+32=√10，AC =√22+42=2√5， ∴AB 2+BC 2＝10+10＝20＝AC 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，且∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝45°，则tan ∠BAC ＝1， 故答案为：1．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和三角函数的定义． 【变式2-3】（2020•泰兴市一模）如图，△ABC 的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin ∠ACB 的值为 ．【分析】根据勾股定理，可得BC 、AC 的长，求出△ABC 的面积，求出高AN ，解直角三角形求出即可．【解答】解：设小正方形的边长为1，则由勾股定理得：BC =√32+42=5，AC =√12+22=√5， ∵S △ABC ＝S △BDC ﹣S 正方形EAFD ﹣S △AFC ﹣S △BEA =12×4×3−1×1−12×1×2−12×3×1=52， ∴12×BC ×AN =52，∴AN ＝1，∴sin ∠ACB =ANAC =1√5=√55，故答案为：√55． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 【考点3锐角三角函数的增减性】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）【例3】（2019秋•新乐市期中）sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°【分析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．【解答】解：sin58°＝cos32°．∵58°＞32°＞28°，∴cos58°＜cos32°＜cos28°，∴cos58°＜sin58°＜cos28°．故选：C．【点评】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．【变式3-1】（2020春•兴庆区校级月考）比较大小：（1）cos35°cos45°，tan50°tan60°；（2）若sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则αβ．【分析】（1）根据余弦值随角度的增大余弦值越小，正切值随角度的增增大而增大，进而得出答案；（2）利用正弦值随角度的增大而增大，进而得出答案．【解答】解：（1）cos35°＞cos45°，tan50°＜tan60°；故答案为：＞，＜；（2）∵sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则α＞β．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，熟练记忆锐角三角函数增减性是解题关键．【变式3-2】（2020•高邮市一模）比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．【分析】根据sin81°＜1，tan47°＞1即可求解．【解答】解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin81°＜1＜tan47°，∴sin81°＜tan47°．故答案为＜．【点评】本题考查了锐角三角函数值的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了不等式的传递性．【变式3-3】（2019•丰台区模拟）如图所示的网格是正方形网格，∠AOB∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）【分析】连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，在Rt△OBE与Rt△OCD中，分别求∠AOB、∠COD的正切，根据锐角的正切值随着角度的增大而增大作判断即可．【解答】解：连接CD，则CD⊥OD，过B作BE⊥OA于E，在Rt△OBE中，tan∠AOB=BEOE=2，在Rt△OCD中，tan∠COD=CDOD=33=1，∵锐角的正切值随着角度的增大而增大，∴∠AOB＞∠COD，故答案为：＞．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．【考点4同角三角函数的关系】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA =sinAcosA 或sinA ＝tanA •cosA ．【例4】（2019•东明县一模）如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的横坐标为3，sin α=45，则tan α＝（ ）A ．35B ．34C ．43D ．45【分析】先由sin α=PQOP =45求得PQ ＝4，OP ＝5，再根据正切函数的定义求解可得． 【解答】解：如图，由sin α=PQ OP =45可设PQ ＝4a ，OP ＝5a ， ∵OQ ＝3，∴由OQ 2+PQ 2＝OP 2可得32+（4a ）2＝（5a ）2， 解得：a ＝1（负值舍去）， ∴PQ ＝4，OP ＝5， 则tan α=PQOQ =43， 故选：C ．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，能求出PQ 、OP 的长是解此题的关键． 【变式4-1】（2020春•西湖区校级月考）若∠a 为锐角，且tan a 是方程x 2﹣2x ﹣3＝0的一个根，则sin α等于（ ） A ．1B ．√22C ．√1010D ．3√1010【分析】运用因式分解法解方程，根据锐角三角函数值都大于0，确定tan α的值，再根据锐角三角函数的定义求解．【解答】解：解方程x 2﹣2x ﹣3＝0，得 x ＝﹣1或x ＝3． ∵tan a ＞0， ∴tan a ＝3．设α所在的直角三角形的对边是3，则邻边是1． 根据勾股定理，得斜边是√10． 所以sin α=3√1010． 故选：D ．【点评】此题综合考查了一元二次方程的解法和锐角三角函数的知识．【变式4-2】（2020秋•丰泽区校级月考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子正确的是（ ） A ．sin A +cos A ＜1 B ．sin A +cos A ＝1C ．sin A +cos A ＞1D ．sin A +cos A ≥1【分析】根据三角函数的定义得到sin A =a c，cos A =b c，则sin A +cos A =a+bc，然后根据三角形三边的关系可判断sin A +cos A ＞1．【解答】解：∵sin A =a c，cos A =b c， ∴sin A +cos A =a+bc， ∵a +b ＞c ， ∴sin A +cos A ＞1． 故选：C ．【点评】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin 2A +cos 2A ＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tan A =sinAcosA 或sin A ＝tan A •cos A ． 【变式4-3】（2019秋•肥西县期末）已知sin αcos α=18，且0°＜α＜45°，则sin α﹣cos α的值为（ ） A ．√32B ．−√32C ．34D ．±√32【分析】把已知条件两边都乘以2，再根据sin 2α+cos 2α＝1，进行配方，然后根据锐角三角函数值求出cos α与sin α的取值范围，从而得到sin α﹣cos α＜0，最后开方即可得解．【解答】解：∵sin αcos α=18，∴2sin α•cos α=14，∴sin 2α+cos 2α﹣2sin α•cos α＝1−14，即（sin α﹣cos α）2=34，∵0°＜α＜45°，∴√22＜cos α＜1，0＜sin α＜√22， ∴sin α﹣cos α＜0，∴sin α﹣cos α=−√32．故选：B ．【点评】本题考查了同角的三角函数的关系，利用好sin 2α+cos 2α＝1，并求出sin α﹣cos α＜0是解题的关键．【考点5互余两角三角函数的关系】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin (90°-α)=cos α, cos(90°-α)=sinα,【例5】如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ．给出下列四个结论：①sin α＝sin B ；②sin β＝sin C ；③sin B ＝cos C ；④sin α＝cos β．其中正确的结论有 ．【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据∠A ＝90°，AD ⊥BC ，可得∠α＝∠B ，∠β＝∠C ，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．【解答】解：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴∠α+∠β＝90°，∠B +∠β＝90°，∠B +∠C ＝90°，∴∠α＝∠B ，∠β＝∠C ，∴sin α＝sin B ，故①正确；sin β＝sin C ，故②正确；∵在Rt △ABC 中sin B =AC BC ，cos C =AC BC， ∴sin B ＝cos C ，故③正确；∵sin α＝sin B ，cos ∠β＝cos C ，∴sin α＝cos ∠β，故④正确；故答案为①②③④．【点评】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．【变式5-1】已知α为锐角，sin α+cos （90°﹣α）=√3，则α＝ ．【分析】求出sin α的值即可解决问题；【解答】解：∵sin α+cos （90°﹣α）=√3，∴2sin α=√3，∴sin α=√32，∴α＝60°，故答案为60°．【点评】本题考查互余两角三角函数的关系，特殊角的三角函数值等知识，记住sin A ＝cos （90°﹣∠A ），cos A ＝sin （90°﹣∠A ）是解题的关键；【变式5-2】若a ＜60°，且sin （60°﹣a ）=1215，则cos （30°+a ）＝ ．【分析】由于60°﹣α+30°+α＝90°，且α＜60°，即60°﹣α和30°+α互余，根据互余两角的三角函数的关系即可得到cos （30°+α）＝sin （60°﹣a ）=45．【解答】解：∵60°﹣α+30°+α＝90°，且α＜60°，∴cos （30°+α）＝sin （60°﹣a ）=45．故答案为45． 【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系：若∠A +∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．【变式5-3】化简：√(1−sin57°37′)2−|cos32°23′−1|= ．【分析】先化简二次根式和去绝对值符号，再根据互余两角三角函数的关系计算即可求解．【解答】解：√(1−sin57°37′)2−|cos32°23′−1|＝1﹣sin57°37′+cos32°23′﹣1＝1﹣sin57°37′+sin57°37′﹣1＝0．故答案为：0．【点评】考查了互余两角三角函数的关系，若∠A+∠B＝90°，那么sin A＝cos B或sin B＝cos A．【考点6特殊角的三角函数值的计算】【方法点拨】解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值：【例6】（2020•灌云县模拟）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）cos230°1+sin30°+tan260°【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【解答】解：（1）原式=2×12+3×12−4×1=1+32−4=−32；（2）原式=(√32)1+122+(√3)2=3432+3=72．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【变式6-1】（2020•青浦区一模）计算：3tan30°−1cos60°+√8cos45°+√(1−tan60°)2【分析】代入特殊角的三角函数值即可．【解答】解：原式＝3×√33−112+√8×√22+√(1−√3)2=√3−2+2+√3−1＝2√3−1．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于只记内容，熟练掌握特殊角的三角函数值，代入求值即可．【变式6-2】（2020•涡阳县模拟）计算：2sin260°−cos60°tan60°+4cos45°【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【解答】解：原式=2×(√32)2−12(3)2+4×√22=3+22=√2(3+2√2)(3−2√2)＝3﹣2√2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【变式6-3】（2019秋•碑林区校级期中）计算（1）3tan60°﹣tan245°﹣2cos30°．（2）√1−2tan30°+tan230°+2sin230°−sin45°cos45°．【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值分别代入化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝3√3−1﹣2×√3 2＝3√3−1−√3＝2√3−1；（2）原式=(1−√33)2+2×（12）2√2222＝1−√33+12−1=−√33+12．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．【考点7特殊角的三角函数值中的新定义问题】【例7】（2020•丛台区校级一模）嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin 229°+sin 261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin 237°+sin 253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin 245°+sin 245°＝（√22）2+（√22）2＝1．据此，嘉琪猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，有sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1．（1）当α＝30°时，验证sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1是否成立．（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；（2）设∠A ＝α，则∠B ＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．【解答】解：（1）当α＝30°时，sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝sin 230°+sin 260°＝（12）2+（√32）2=14+34＝1；（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，则∠B ＝90°﹣α，∴sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝（BC AB ）2+（AC AB ）2=BC 2+AC 2AB 2=AB 2AB 2＝1．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．【变式7-1】阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sin α=BC AC cos α=AB AC tan α=BC AB一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin βsin （α﹣β）＝sin αcos β﹣cos αsin β例如sin15°＝sin （45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°＝ √2+√64 ；（2）在Rt △ABC 中，∠A ＝75°，∠C ＝90°，AB ＝4，请你求出AC 和BC 的长．【分析】（1）根据公式可求．（2）根据锐角的三角函数值，求AC 和BC 的值．【解答】解：（1）sin75°＝sin （30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°=12×√22+√32×√22=√2+√64，故答案为：√2+√64．（2）Rt △ABC 中，∵sin ∠A ＝sin75°=BC AB =√2+√64∴BC ＝AB ×√2+√64=4×√2+√64=√2+√6∵∠B＝90﹣∠A ∴∠B＝15°∵sin∠B＝sin15°=ACAB=√6−√24∴AC＝AB×√6−√24=√6−√2【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．【变式7-2】规定：sin（﹣x）＝﹣sin x，cos（﹣x）＝cos x，sin（x+y）＝sin x•cos y+cos x•sin y．据此（1）判断下列等式成立的是（填序号）．①cos（﹣60°）=−12；②sin2x＝2sin x•cos x；③sin（x﹣y）＝sin x•cos y﹣cos x•sin y．（2）利用上面的规定求①sin75°②sin15°．【分析】（1）根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断；（2）利用已知进而将原式变形求出答案．【解答】解：（1）①cos（﹣60°）＝cos60°=12，命题错误；②sin2x＝sin x•cos x+cos x•sin x＝2sin x•cos x，命题正确；③sin（x﹣y）＝sin x•cos（﹣y）+cos x•sin（﹣y）＝sin x•cos y﹣cos x•sin y，命题正确．故答案为：②③；（2）①sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°=12×√22+√32×√22=√24+√64=√6+√24；②sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°•cos30°﹣cos45°•sin30°=√22×√32−√22×12=√6−√24．【点评】本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的定义是关键．【变式7-3】对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．【分析】（1）按照题目所给的信息求解即可；（2）分三种情况进行分析：①当∠A ＝30°，∠B ＝120°时；②当∠A ＝120°，∠B ＝30°时；③当∠A ＝30°，∠B ＝30°时，根据题意分别求出m 的值即可．【解答】解：（1）由题意得，sin120°＝sin （180°﹣120°）＝sin60°=√32，cos120°＝﹣cos （180°﹣120°）＝﹣cos60°=−12，sin150°＝sin （180°﹣150°）＝sin30°=12；（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°，30°，120°，①当∠A ＝30°，∠B ＝120°时，方程的两根为12，−12， 将12代入方程得：4×（12）2﹣m ×12−1＝0， 解得：m ＝0，经检验−12是方程4x 2﹣1＝0的根，∴m ＝0符合题意；②当∠A ＝120°，∠B ＝30°时，两根为√32，√32，不符合题意； ③当∠A ＝30°，∠B ＝30°时，两根为12，√32， 将12代入方程得：4×（12）2﹣m ×12−1＝0，解得：m ＝0，经检验√32不是方程4x 2﹣1＝0的根． 综上所述：m ＝0，∠A ＝30°，∠B ＝120°．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．【考点8解直角三角形】【方法点拨】解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）①三边之间的关系：a 2+b 2=c 2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin ）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．【例8】（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B=4 5．（1）求线段CD的长度；（2）求cos∠C的值．【分析】根据sin B=45，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，从而计算出CD，再利用三角函数，求出cos∠C的值即可．【解答】解：（1）∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵sin B=45，AD＝12，∴AB＝15，∴BD=√AB2−AD2=√152−122=9，∵BC＝14，∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，∴AC=√AD2+CD2=√122+52=13，cos C=CDAC=513．【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握好三角形边角之间的关系是解题的关键．【变式8-1】（2020•浦城县一模）如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD=163√3，求∠B，a，c的值．【分析】根据锐角三角函数，可以求得∠CAD的度数，从而可以得到∠CAB的度数，然后即可得到∠B 的度数，再根据锐角三角函数即可得到a、c的值．【解答】解：∵∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD=163√3，∴cos∠CAD=ACAD=81633=√32，∴∠CAD＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∴c＝2b＝16，a=btan30°=33=8√3，即∠B＝30°，a＝8√3，c＝16．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．【变式8-2】（2020秋•东明县期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cos B=35，BC＝10．（1）求AB的长；（2）求AE的长；（3）求sin∠ADB的值．【分析】（1）在Rt△ABC中，通过解直角三角形可求出AB的长；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，再利用面积法可求出AE的长；（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AD的长，在Rt△AED中，利用正弦的定义可求出sin∠ADB的值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，cos B=ABBC，BC＝10，∴AB＝BC•cos B＝10×35=6．（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，∴AC =√BC 2−AB 2=√102−62=8．∵AE 是BC 边的高，∴12AC •AB =12BC •AE ，即12×8×6=12×10AE ， ∴AE =245． （3）Rt △ABC 中，AD 是BC 边的中线，BC ＝10，∴AD =12BC ＝5．在Rt △AED 中，∠AED ＝90°，AD ＝5，AE =245， ∴sin ∠ADB =AE AD =2455=2425．【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用余弦的定义，找出AB ＝BC •cos B ；（2）利用面积法，求出AE 的长；（3）利用正弦的定义，求出sin ∠ADB 的值．【变式8-3】（2019秋•解放区校级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，cos A =35，BC ＝12，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E ．求：（1）线段CD 的长；（2）cos ∠ABE 的值．【分析】（1）在△ABC 中根据正弦的定义得到cos A =AC AB =35，则可计算出AB ＝15，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD =12AB =152．（2）在Rt △ABC 中先利用勾股定理计算出AC ＝6，在根据三角形面积公式得到S △BDC ＝S △ADC ，则S △BDC =12S △ABC ，即12CD •BE =12•12AC •BC ，于是可计算出BE =365，然后在Rt △BDE 中利用余弦的定义求解． 【解答】解：（1）在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴cos A =AC AB =35，∴可以假设AC ＝3k ，AB ＝5k ，则BC ＝4k ，而BC ＝12，∴k ＝3，∴AB ＝15∵D 是AB 中点，∴CD =12AB =152．（2）在Rt △ABC 中，∵AB ＝15，BC ＝12，AC ＝9，∵D 是AB 中点，∴BD =152，S △BDC ＝S △ADC ， ∴S △BDC =12S △ABC ，即12CD •BE =12•12AC •BC ，∴BE =9×122×152=365， 在Rt △BDE 中，cos ∠ABE =BE BD =365152=2425， 即cos ∠ABE 的值为2425．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．【考点9解斜三角形】【方法点拨】解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.【例9】（2020春•牡丹江期末）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AC ＝6，AB ＝4，则BC 的长是（ ）A ．6√2B ．2√19C ．2√13D ．9【分析】作CD⊥AB，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出CD，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD=12AC＝3，∴BD＝AB+AD＝7，由勾股定理得，CD=√AC2−AD2=3√3，在Rt△BCD中，BC=√BD2+CD2=2√19，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握含30°的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．【变式9-1】（2020春•东城区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B=34，AC＝6√3，求AB的长．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据∠A＝30°，tan B=34，AC＝6√3可求出AD与BD的长度．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在Rt△CDA中，∠A＝30°，∴CD＝AC•sin30°＝3√3，AD＝AC×cos30°＝9，在Rt△CDB中，∵tan B=3 4∴CDBD =34∴BD＝4√3，∴AB＝AD+DB＝9+4√3．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．【变式9-2】已知．在△ABC中，BC=√2AC，∠BCA＝135°，求tan A的值．【分析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，根据等腰直角三角形的性质得到BD＝CD=√22BC，根据正切的定义计算即可．【解答】解：过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，则∠BCD＝45，∴BD＝CD=√22BC，设AC＝k，则BD＝CD＝k，AD＝2k，tan A=BDAD=12．【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质、正切的定义是解题的关键．【变式9-3】（2019秋•抚州期末）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6．求△ABC的面积．【分析】如图，作CD⊥AB于点D．解直角三角形求出CD，AB即可解决问题．【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D．∵∠B＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∵BC＝6，∴CD=3√2，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣45°＝30°，∴tan30°=AD3√2，∴AD=3√2×√33=√6，∴S=12×(3√2+√6)×3√2=9+3√3，∴△ABC的面积是9+3√3．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．【考点10解直角三角形（作垂线）】【例10】（2019•包头模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°．（1）求△BCD的面积；（2）求cos∠ADB．【分析】（1）在Rt△DEC中，∠E=90°，sin∠DCE=DECD，求出DE的长度，即可求解；（2）在Rt△DEB中，由勾股定理知：DE2+BE2＝BD2，求出BD的长度；同理在Rt△DFB中，求出DF 的长度，即可求解．【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E，∵∠BCD＝120°，∴∠DCE＝60°，在Rt△DEC中，∠E=90°，sin∠DCE=DECD，cos∠DCE=CECD，CD=5，∴DE=CD⋅sin∠DCE=5×sin60°=5√32，CE=CD⋅cos∠DCE=5×cos60°=52，∵BC＝3，∴S△BCD=12BC⋅DE=12×3×5√32=15√34；（2）过点B作BF⊥AD于F，∵∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠A＝60°，∵在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，sin∠A=BFAB，AB=8，∴BF=AB⋅sin∠A=8×sin60°=4√3，∵BE=BC+CE=3+52=112；∵在Rt△DEB中，∠E＝90°，由勾股定理知：DE2+BE2＝BD2，∴BD=√DE2+BE2=(532)2+(112)2=7，∵在Rt△DFB中，∠DFB＝90°，由勾股定理知：DF2+BF2＝BD2，∴DF=√BD2−BF2=√72−(4√3)2=1，∴在Rt△DFB中，∠DFB＝90°，cos∠ADB=DFAB=17．【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查勾股定理的运用、三角形面积计算、解直角三角形等知识点，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．【变式10-1】（2019秋•锦江区校级期中）已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB ＝1，BC＝3+√3，CD＝2√3（1）求∠ABD的值；（2）求AD的长．【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E，根据∠C＝60°求出CE、DE，再求出BE，从而得到DE＝BE，然后求出∠EDB＝∠EBD＝45°，再求出∠ABD＝45°，然后根据特殊角的三角函数值解答；（2）过点A作AF⊥BD于点F，求出BF＝AF=√22，再求出BD，然后求出DF，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC于点E，∵在Rt△CDE中，∠C＝60°，CD＝2√3，∴CE=√3，DE＝3，∵BC＝3+√3，∴BE＝BC﹣CE＝3+√3−√3=3，∴DE＝BE＝3，∴在Rt△BDE中，∠EDB＝∠EBD＝45°，∵AB⊥BC，∠ABC＝90°，∴∠ABD ＝∠ABC ﹣∠EBD ＝45°；（2）过点A 作AF ⊥BD 于点F ．在Rt △ABF 中，∠ABF ＝45°，AB ＝1，∴BF ＝AF =√22，∵在Rt △BDE 中，DE ＝BE ＝3，∴BD ＝3√2，∴DF ＝BD ﹣BF ＝3√2−√22=5√22，∴在Rt △AFD 中，AD =√DF 2+AF 2=(522)2+(22)2=√13．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，根据边的长度得到等腰直角三角形是解题的关键，难点在于作辅助线构造成直角三角形．【变式10-2】（2020•福建模拟）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，DE ⊥BC 于E ，连接BD ，设AD ＝m ，DC ＝n ，BE ＝p ，DE ＝q ．（1）若tan C ＝2，BE ＝3，CE ＝2，求点B 到CD 的距离；（2）若m ＝n ，BD =3√2，求四边形ABCD 的面积．【分析】（1）要求点B 到CD 的距离，于是作垂线构造直角三角形，又知tan C ＝2，BE ＝3，CE ＝2，可以得到BF ＝2FC ，设未知数根据勾股定理列方程可以求解．（2）m ＝n ，即AD ＝DC ，通过作垂线，构造全等三角形将问题转化为求正方形BEDG 的面积即可．【解答】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，则∠BFC ＝90°∵DE ⊥BC ，∴∠DEC ＝∠DEB ＝90°，在Rt △DEC 中，∵tan C ＝2，EC ＝2，∴DE ＝4，在Rt △BFC 中，∵tan C ＝2，∴BF ＝2FC ，设BF ＝x ，则FC =12x ，∵BF 2+FC 2＝BC 2，∴x 2+（12x ）2＝（3+2）2， 解得：x =2√5，即：BF =2√5，答：点B 到CD 的距离是2√5．（2）过点D 作DG ⊥AB ，交BA 的延长线相交于点G ，∵四边形ABCD 的内角和是360°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠C +∠BAD ＝180°，又∵∠BAD +∠GAD ＝180°，∴∠C ＝∠GAD ，∵∠DEC ＝∠G ＝90°，AD ＝CD∴△DEC ≌△DGA ，（AAS ）∴DE ＝DG ，∴四边形BEDG 是正方形，∴S 四边形ABCD ＝S 正方形BEDG =12BD 2＝9．答：四边形ABCD 的面积是9．【点评】考查解直角三角形，勾股定理、和全等三角形等知识，作垂线构造直角三角形是常用的辅助线作法，通过作辅助线将问题转化求正方形的面积．【变式10-3】如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AD ：AB ＝2：3，BD =√7，AB ⊥BC ．（1）求sin ∠ABD 的值．（2）若∠BCD ＝120°，求CD 的长．【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F．设AE＝a．在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出a，即可解决问题；（2）作CF⊥DE于F．首先证明四边形CFEB是矩形，解直角三角形△CFB即可解决问题；【解答】解：（1）作DE⊥AB于E，设AE＝a．在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，AE＝a，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2a，DE=√3a，∵AD：AB＝2：3，∴AB＝3a，EB＝2a，在Rt△DEB中，（√3a）2+（2a）2＝（√7）2，解得a＝1，∴DE=√3，BE＝2，∴sin∠ABD=DEBD=√37=√217．（2）CF⊥DE于F．∵CB⊥AB，CF⊥DE，∴∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，∴四边形CFEB是矩形，∴CF＝EB＝2，BC＝EF，∵∠DCB＝120°，∠FCB＝90°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CF•tan30°=2√3 3，∴CD＝2DF=4√3 3．【点评】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【考点11解直角三角形的应用（实物建模问题）】【例11】（2020•芝罘区一模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45．【分析】（1）过F作FH⊥DE于H，解直角三角形即可得到结论；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．∵∠FDC＝30°，DF＝30，∴FH=12DF=15，DH=√32DF=15√3，∵∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝15，∴CD=CH+DH=15+15√3，∵CE：CD＝1：3，∴DE=43CD=20+20√3，∵AB＝BC＝DE，∴AC=(40+40√3)cm；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，∵∠ACG＝45°，∴AG=√22AC=20√2+20√6，＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．【变式11-1】（2020•柯桥区模拟）目前，各大城市都在积极推进公共自行车建设，努力为人们绿色出行带来方便．图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是自行车的车架示意图．CE＝30cm，DE＝20cm，AD＝25cm，DE⊥AC于点E，座杆CF的长为15cm，点A，E，C，F在同一直线上，且∠CAB＝75°，公共自行车车轮的半径约为30cm，且AB与地面平行．（1）求车架中AE的长；（2）求车座点F到地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【分析】（1）由DE⊥AC及DE，AD的长，利用勾股定理即可求出AE的长；（2）作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q，由AE，CE，CF的长可得出F A的长，通过解直角三角形可求出FG的长，再结合FQ＝FG+GQ即可求出结论．【解答】解：（1）∵DE⊥AC，DE＝20，AD＝25，∴AE=√AD2−DE2=√252−202=15（cm）；（2）在图（2）中，作FG⊥AB于G，延长FG交地平线于点Q．∵AE＝15，CE＝30，CF＝15，∴F A＝FC+CE+EA＝15+30+15＝60．∵sin∠CAB=FG FA，∴FG＝F A•sin∠CAB≈60×0.97＝58.2（cm），∴FQ＝FG+GQ＝58.2+30＝88.2≈88（cm）．答：车座点F到地面的距离约为88cm．【点评】本题考查了勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出AE的长；（2）通过解直角三角形求出FG的长．【变式11-2】（2020•东胜区二模）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）当E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为45cm﹣46cm时，视线最佳，通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，√3=1.73．）【分析】（1）过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，得到四边形DNMF是矩形，进而得出∠EDF的值；（2）利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，故四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；（2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，∴AC=12AB＝8cm，∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，则FM＝41.76cm，∵灯管DE长为15cm，∴sin15°=EFDE=EF15=0.26，。
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解直角三角形常见题
型
解直角三角形常见题型
题型一、关于仰角与俯角的题型
1、为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显
示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别
是60°和45°．求路况显示牌BC的高度．
2、摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C
处测得摩天轮的最高点A的仰角为45︒，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角
为60︒．
3、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，
在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋
楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为多少米。
4、中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到
达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是45°，底部C的俯角是60°.
为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？
中考链接
5．（8分）（2018•泸州）如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的
仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB
间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
6．（10分）（2008•巴中）又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博
物馆”．
下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60o；乙：我站在此处看塔顶仰角为
30o；甲：我们的身高都是1.5m；乙：我们相距20m；请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度
（精确到1米）．
7、（2017•广元）如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得
∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字，≈1.732）．
8．（8分）（2015•巴中）如图，某校数学兴趣小组为测得大厦AB的高度，在大厦前的平地上选择一点C，测得
大厦顶端A的仰角为30°，再向大厦方向前进80米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），又测得大厦顶
端A的仰角为45°，请你计算该大厦的高度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
题型三、关于方位角的题型
1.如图1，一架飞机在空中P处探测到某高山山顶D处的俯角为60°，此后飞机以300米/秒的速度沿
平行于地面AB的方向匀速飞行，飞行10秒到山顶D的正上方C处，此时测得飞机距地平面的垂直
高度为12千米，求这座山的高（精确到0.1千米）
2．在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处
有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的
北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又
83km的C
测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距
处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
N
M
东
北
B
C
A
l
4、如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？（假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）
5、如图，某测量船位于海岛P的北偏西60º方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)．
6、如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救
援，此时距货轮200
海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处．
（1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离．
（2）若货轮以45海里/时的速度向A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？（结果保留根号）7、如图，A，B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段
AB）。
经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上。
已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？
8、如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民，此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（≈1.41，≈1.73，
=2.45）．
9、如图，海中有一小岛B，它的周围15海里内有暗礁．有一货轮以30海里/时的速度向正北航行半小时后到达C 处，发现B岛在它的东北方向．问货轮继续向北航行有无触礁的危险？（参考数据：≈1.7，≈1.4）
9、如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°．求C处到树干DO的距离CO．（结果精确到1米）（参考数据：）
10、如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安
装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长. 11、如图，在气象站台A的正西方向240km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心130km内的地方都要受到其影响．
（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？
（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？
12、如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为2千米，且位于临海市（记作点B）正西方向3千米处，台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．
（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭请说明理由；
（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？。