运筹学第三章 整数规划PPT课件
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《运筹学整数规划》课件
应用案例
生产调度问题的整数规划 模型
交通流优化问题的整数规 划模型
使用整数规划解决生产调度问题， 提高生产效率和资源利用率。
应用整数规划优化交通流，实现 道路拥堵疏导和交通效率提升。
建模思路与求解过程的演示
分享一个实际问题的建模思路和 整数规划的求解过程。
总结
整数规划的意义和局限性
总结整数规划在实际问题中的意义和局限性，并思考其未来发展方向。
求解方法与难点
介绍整数规划的求解方法，以及其中的挑战和难点。
模型建立与求解
1
模型的建立
讲解整数规划模型的建立过程，包括约枚举法和割平面法 Nhomakorabea2
束条件和目标函数的设定。
简要介绍传统的枚举法和割平面法，并
讨论这些方法的优缺点。
3
分支定界法和分支限界法
详细解释分支定界法和分支限界法，并
分支定价法和混合整数线性规划
整数规划的发展趋势
展望整数规划领域未来的发展趋势和可能的研究方向。
《运筹学整数规划》PPT 课件
这是一份关于《运筹学整数规划》的PPT课件，旨在为大家介绍整数规划的定 义、背景和实际应用中的重要性。通过本课件，我们将深入探讨整数规划的 求解方法、工具以及一些实际应用案例。
引言
定义和背景
整数规划的概念和历史背景，为后续内容提供基础。
重要性
探讨整数规划在实际问题中的重要性和应用范围。
4
分享一些实际案例。
介绍分支定价法和混合整数线性规划方 法，以及它们的应用领域。
求解工具
Gurobi的介绍
详细介绍Gurobi求解器，包 括其功能、优势和适用范围。
Gurobi求解整数规划的 步骤
运筹学-第3章整数规划
2018/8/17
9
生产计划问题
某机器制造厂可生产四种产品，对于三种主要资源（钢， 人力，能源）的单位消耗及单位利润见表。问如何安排 生产，可使总利润最大？
消耗 产品1
1
产品2 产品3
10 6 0 7 3 4 2 8
产品4
0 1 5 4
资源量
5000 3000 3000
资源A（钢）
资源B（人力） 2 资源C（能源） 2 单位利润 1
这里取M=5000
2018/8/17
15
（2）批量生产
在前例中的基础上, 增加假设：产品4要求批量生 产，批量为不少于500件。 试建立最佳生产计划模型。
定义0-1变量y4
1 , x 4 500 y 4= 0 , x 4=0
500y4 x4 My4 y4 {0,1}
增加约束
2018/8/17 4
附加条件
项目1和项目3至少采纳一个; y1+y2 ≥1 项目2和项目5不能同时采纳; y2+y5 ≤1 项目1仅在项目2采纳后才可考虑是否采纳; y1≤ y2 项目1仅在项目2和3同时采纳后才可考虑是否采纳; 项目1，2，3不能同时采纳; y1+y2+y3 ≤2 或者选择项目1和2，或者选择项目3; y1= y2, y1+y3 =1; 或者 0.5(y1+y2) +y3 =1.
i 1 j 1 5 4
1, 采用Ai建厂 yi , i 3,4,5 0 ，不采用
s.t. x11 x12 x13 x14 400 x x x x 600 23 24 21 22 x31 x32 x33 x34 200y3 x41 x42 x43 x44 200y4 x x x x 200y 5 51 52 53 54 y3 y 4 y5 1 x11 x21 x31 x41 x51 300 x12 x22 x32 x42 x52 350 x13 x23 x33 x43 x53 400 x x x x x 150 24 34 44 54 14 xij 0, i 1,2,3,4,5, j 1,2,3,4 y3 , y4 , y5 {0,1}
《整数线性规划》PPT课件_OK
br br fr br br
整数可行解
xr arj x j br jN
最优基可行解
xr arj x j br jN
xr arj x j br 56 jN
minc x Ax b
s.t.x 0, x为整数
min c x
Ax b
s.t.xr
xij 1,0;i 1,2...1, 7, j 1,2,3 21
• 约束
包裹容量限制
必带物品限制 选带物品限制
17
ci xij rj ; j 1,2,3
i 1
3
xij 1;i 1,2...,7
j 1
3
xij 1;i 8,2...1, 7
j 1
22
• 目标函数—未带物品购买费用最小
3
1 xij ;i 8,2...1, 7 j 1
v1, v2 ,...,vn cij
vi vj
12
模型
• 变量—是否从i第个城市到第j个城市
x 1,0; • 约束 每个城市只能到达一次、离开一ij次
n
xij 1;i 1,2,...n
j0
n
xij 1; j 1,2,...n
13
i0
• 避免出现断裂 每个点给个位势 除了初始点外要求前点比后点大
支其中无最优解
41
初始分支为可行解 集，初始界为无穷大
判 定是否 分支集
空
是停止 当前最好解 为最优解
选一分支写出并求解 放松问题，同时从分 支集中删除该分支
否
判
是
定是否
为整数
42
解
判定最
优值是否
小于
否
当前界
是
《管理运筹学》03- 整数规划
ppt课件整数规划整数规划
3
3.1 整数规划问题及其建模
例3-1背包问题
max z= 17x1 +72x +35x
s.t.
10x1 2 +42x 3 +20x ≤50
x1, 2 x2,
3 x3
≥0
x1,
x2,
x3为整数
线性规划最优解为: x1=0，x2=0，x3=2.5
而整数规划的最优解是 x1=1，x2=0，x3=2
T
5
ppt课件整数规划整数规划
22
-2x2+3x1+5x3≥5 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（0 1 0） 3
F
（0 1 1） 8
0
2
1
5
T
8
-2x2+3x1+5x3≥8 ◎
点
条件
◎
①
②
③
④
满足条件？ 是（T）否（F）
Z
（1 0 0） -2
F
（1 0 1） 3
F
（1 1 0） 1
工件
A
B
C
D
工人
效
甲
14
9
4
15
率
乙
11
7
9
10
矩
丙
13
2
10
5
阵
丁
17
9
15
13
ppt课件整数规划整数规划
24
设xij=1表示第 i人送j货，否则xij=0
上述问题的模型为：
44
运筹与决策PPT：整数规划
案例2： California制造公司问题－ Excel求解
多个决策变量
0-1变量
相依决策
互斥方案
案例2： California制造公司问题－ 灵敏度分析
Capital Spent 100 <=
Capital Available
100
Total Profit ($millions)
10
取整约束
G 12 SUMPRODUCT(UnitProduced,UnitProfit)
6.2 整数规划问题的分类
▪ 纯整数规划问题：
– 所有决策变量均为整数
▪ 混合整数规划问题（MIP）：
B
C
3 NPV ($millions)
LA
4
Warehouse
6
5
6
Factory
8
7
8 Capital Required
9
($millions)
LA
10
Warehouse
5
11
12
Factory
6
13
14
15
Build?
LA
16
Warehouse
0
17
<=
18
Factory
1
19
20
Total NPV ($millions)
原因分析
▪线性规划的可分性假设
–线性规划的决策变量必须允许在满足一定函数 约束与非负约束下取任意实数。
TBA公司的问题由于决策变量只能取整 数，故不满足可分性假设。
整数规划的Excel求解模型－ 案例1
B
3
4
Unit Profit ($millions)
交通运筹学第3章 整数规划
X1 4
(2)
4 2.1
X2 2 (4) 4 2 340
349.0 X2 3 (5) 340 (6) 5.444 1
5 341.39 1.571
X2 1 340 X2 2 (7) 无解
20
1.428 327.12 3
307.76
第3节 割平面法
割平面法的基本思想： 在整数规划问题的松弛问题中依次引进线性 约束条件(称Gomory约束，高莫雷约束或割 平面)，使问题的可行域逐步缩小。但每次 切割时，只割去问题的部分非整数解，而不 切割任何整数的可行解，直到使问题的目标 函数值达到最优的整数点成为缩小后可行域 的一个顶点，这样就可以用求解线性规划问 题的方法找出这个最优解。
31
第四节 0-1整数规划
将0-1规划的变量改为并且为整数，就可以用分支定界 法或割平面法求解。由于0-1规划的特殊性，用隐枚举 法更为简便。其求解步骤如下： 寻找一个初始可行解，得到目标函数值的下界，（最 小值为题则为上界）。 列出2个变量取值的组合，当组合解对应的目标值小于 （max）时，认为不可行，当大于等于（max）时，再 检验是否满足约束条件，得到0-1规划的可行解。 依据的值确定最优解。 这里的下界可以动态移动，当某个大于时，则将作为 新的下届。
X为整数 (B)为(A)的松弛问题。
14
（2）替代问题的求解 max Z=CX
(B)
AX=b X 0
采用相应的方法（如图解法）求解出替代问题的 最优解，观察其是否满足整数解的要求。如其最 优解就为整数，则结束；如含有分数，则需要进 行分支定界操作。
15
（3）分支与定界—增加约束
•如替代问题的解不符合整数条件，则需要对原问题进行分支。
运筹学--整数规划 ppt课件
三、投资问题
某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末
回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为4万元，第 二、三、四年不限； 项目B：第三年初需要投资，到第五年未能回收本利128％， 但规定最低投资金额为3万元，最高金额为5万元； 项目 C：第二年初需要投资，到第五年未能回收本利140%， 但规定其投资额或为2万元或为4万元或为6万元或为8万元。 项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利 息6%，此项投资金额不限。
= 1.15x1A+ 1.06x2D； 第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是 x4A + x4D =
1.15x2A+ 1.06x3D； 第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是 x5D =
引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，以 保证当 yi = 0 时，xi = 0 。
这样我们可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 -
200y3
s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 ≤ 500 2x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 300 x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 100 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj ≥ 0 yj 为0--1变量，i = 1,2,3
一、投资场所的选择
京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售
门市部，拟议中有10个位置 Aj ( j＝1，2，3，…，10)可供 选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规
运筹学-第三章-整数规划
于是，对原问题增加两个新约束条件，将原问题分为两个 子问题，即有
max z 40x1 90x2
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
s.t
7 x1
20 x2
70
x1 4
x1, x2 0
（LP1）
9x1 7x2 56
和
s.t
7
x1
20
x2
70
（LP2）
x1 5
表 3.1
货物 体积（米 3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24 米 3
13 百公斤
解： 设x1，x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数，则数 学模型可以表示为：
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
其中，目标函数表示追求最大的卫星实验价值；第1,2个约
束条件表示体积和重量的限制；第3-5个约束条件表示特定的卫
星装载要求,该问题的决策变量是0-1整数变量。
3.2.3隐枚举法 从上面两个例子可以看出，此类型问题是整数规划中的特
殊情形，其中决策变量 xi 的取值只能为0或1，此时变量 xi 称 为0-1变量，这类问题被称为0-1整数规划。对于 xi 的取值的 0-1约束，可以转化成下述整数约束条件：xi 1, xi 0, xi Z
目前对于整数规划问题的求解主要有两种方法：分支 定解法和割平面法。本章仅介绍分枝定界法，该方法在上 世纪60年代由Land Doig和Dakin等人提出，其具有灵活 且便于计算机求解的优点，所以现在已成为解决整数规划 问题的重要方法。下面通过例子说明分支定界方法的算法 思想和步骤。
整数规划PPT课件
混合整数规划
总结词
混合整数规划是同时包含连续变量和整数变量的规划问题。
详细描述
混合整数规划问题在数学上表示为在一定的约束条件下，求一组连续变量和整数变量的函数的最优解 。这类问题在现实生活中应用广泛，如生产计划、物流优化、金融投资等。求解混合整数规划问题需 要同时考虑连续变量和整数变量的特性，通常需要使用特殊的算法进行求解。
通过不断分割解空间并确 定可行解的范围，逐步逼 近最优解。
割平面法
通过添加割平面方程来不 断缩小解空间，直到找到 最优解。
迭代优化法
通过迭代优化算法不断逼 近最优解，适用于大规模 整数规划问题。
02 整数规划问题建模
线性整数规划
总结词
线性整数规划是整数规划的一种，其目标函数和约束条件都是线性函数，且决 策变量都是整数。
装箱问题
总结词
装箱问题是一个经典的整数规划问题， 旨在确定如何将一组物品装入有限容 量的容器中，以最小化装载成本。
详细描述
装箱问题需要考虑物品的尺寸、重量、价值 等多个因素，通过整数规划的方法，可以确 定最佳的装箱方案，包括每个容器的装载物 品和数量等，从而实现装载成本最小化。
THANKS FOR WATCHING
遗传算法
要点一
总结词
一种基于生物进化原理的优化算法
要点二
详细描述
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过选择 、交叉和变异等操作来逼近最优解。在整数规划问题中， 遗传算法将决策变量编码为染色体，通过不断进化染色体 群体来寻找满足整数约束的解。遗传算法具有全局搜索能 力强、能够处理多约束和离散变量等优点，因此在整数规 划问题中得到了广泛应用。
整数规划ppt课件
contents
运筹学第三章 整数规划PPT课件
（一）
问题（1）
X1=2, x2=2.67
Z=83.3
x2≤2
x2≥3
问题（0） X1=2.5, x2=2.5
问题（0）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=87.5 下界为:Z=0
Z=87.5
x1≤2
x1≥3
（二）
问题（2）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=80 下界为:Z=75
问题（2）
X1=3, x2=1.75
20
1 11/14 4 2/7 0
检验数zj-cj
0
0
1 11/14 4 2/7 0
15
x1 2
1
0
0
20
x2 2 2/3 0
1
0
0
x5 2 1/3 0
0
1
zj
15
20
0
检验数zj-cj
0
0
0
27.11.2020
问题1求解的单纯形表
《整数规划》
0 1/3
-1 1/3 6 2/3
6 2/3
1 - 1/3 -4 2/3 8 1/3
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
27.11.2020
《整数规划》
10
CB 0 0
cj
问题（5）的原问题 的目标函数值 上界为:Z^=72.5 下界为:
问题（6） 无可行解
25
运筹学第三章整数规划
整数且此整数解的Z值大于所有分枝最优解的Z值，
则得最优解。否则取Z值最大的非整数解，继续分解，
转第 3步。
3.3 0-1型整数规划
一、0-1变量及其应用
若变量只能取0或1，称为0-1变量。通常用来表示决
策时是否采取了某个特定方案，例如
1 决策时取P方案
x
0 决策时不取P方案
0-1变量也可用于含有相互排斥约束条件的问题中，
4
5
3
x4 x5 5
x 3
5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0, 且均取整数值
例2：现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所
需投资额和预期收益分别为 aj和 cj（j=1,2,…,n）。由于某些原
因，有三个附加条件，第一，若选择项目1，就必须同时选择
解，A3,A4虽可行，但不是最优解。本例最优解为A*(x1=4,
x2=2),目标函数值z=12。
对松弛问题最优解简单取整不是求整数规划的有效方法！
3.2 分支定界法
分支定界法：一种部分枚举法，不是一种高效的算法。
分支：设整数规划的松弛问题的最优解xi=bi不符合整数
要求，若[bi]是不超过bi的最大整数，构造两个约束条件
项目2，反之则不一定；第二，项目3和项目4中至少选择一个；
第三，项目5，6，7中恰好选择2个。问应如何选择投资项目，
使得总预期收益最大？
解：每个投资项目都有被选择和不被选择的可能，因此令
1 对项目j投资
xj
0 对项目j不投资
j=1,…,n
该整数规划数学模型可表示为
n
max
z cjxj
的解不一定是整数规划的最优解，甚至也不一定
则得最优解。否则取Z值最大的非整数解，继续分解，
转第 3步。
3.3 0-1型整数规划
一、0-1变量及其应用
若变量只能取0或1，称为0-1变量。通常用来表示决
策时是否采取了某个特定方案，例如
1 决策时取P方案
x
0 决策时不取P方案
0-1变量也可用于含有相互排斥约束条件的问题中，
4
5
3
x4 x5 5
x 3
5
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0, 且均取整数值
例2：现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所
需投资额和预期收益分别为 aj和 cj（j=1,2,…,n）。由于某些原
因，有三个附加条件，第一，若选择项目1，就必须同时选择
解，A3,A4虽可行，但不是最优解。本例最优解为A*(x1=4,
x2=2),目标函数值z=12。
对松弛问题最优解简单取整不是求整数规划的有效方法！
3.2 分支定界法
分支定界法：一种部分枚举法，不是一种高效的算法。
分支：设整数规划的松弛问题的最优解xi=bi不符合整数
要求，若[bi]是不超过bi的最大整数，构造两个约束条件
项目2，反之则不一定；第二，项目3和项目4中至少选择一个；
第三，项目5，6，7中恰好选择2个。问应如何选择投资项目，
使得总预期收益最大？
解：每个投资项目都有被选择和不被选择的可能，因此令
1 对项目j投资
xj
0 对项目j不投资
j=1,…,n
该整数规划数学模型可表示为
n
max
z cjxj
的解不一定是整数规划的最优解，甚至也不一定
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该模型为纯整数规划模型，又系数全为整数，故也称全整数规划。
27.11.2020
《整数规划》
5
二、投资项目选择问题
例2 某单位5个拟选择的投资项目，其所需投资额和期望收益如下表所示：
项目 A B C D E
所需投资额（万元） 6 4 2 4 5
期望收益（万元） 10 8 7 6 9
1、A、C、E之间必须选择一项，却仅需选择一项； 2、B和D之间须选择，也仅需选择一项； 3、C与D密切相关，C的实施必须以D的实施为前提条件。 该单位有资金15万元，应选择哪些项目投资，使期望收益最大？
XB
b
x3 25
x4 10
zj
检验数zj-cj
15 x1
6 1 0
-15
20 x2
4 3 0
-20
0 x3
1 0 0
0
0 x4
0 1 0
0
0
x3 11 2/3 4 2/3 0
20
x2 3 1/3
1/3 1
zj
6 2/3 20
检验数zj-cj
-8 1/3 0
1
-1 1/3
0
1/3
0
6 2/3
0
6 2/3
15
x1 2 1/2 1
0
20
x2 2 1/2 0
1
zj
15
20
检验数zj-cj
0
0
原问题的松弛问题求解的单纯形表
（二）
《运筹学》
• 第三章 整数规划模型
第一节 引言 第二节 整数规划问题及其数学模型 第三节 分枝定界法 第四节 0—1规划的解法 第五节 指派问题及其解法
27.11.2020
《整数规划》
1
第一节 引言
1、在线性规划问题的讨论中，（LP）模型的解仅限定非负，可以为分数或 小数，而在许多经济管理的实际问题中，决策变量的取值只有取非负的整 数才有实际意义。例如：调度的车辆数、销售网点的设置数、指派工作的 人数等等。
2、BD之间必须选择一项且仅选择一项， 故x2 x4 1
3、选中C之前必须先 选中D,，即： 若x3 1必须x4 1，若x3 0而x4 1或0均可 故x3 x4 (相关条件）
投资额约束为
6 x1 4 x2 2 x3 4 x4 5 x5 15
最大期望收益
27.11.2020
maxZ 10 x1 8 x2 7 x3 6 x4 9 x5
n
min(max) Z c j x j j 1
n
a ij x j
bi
(i 1,2,3, m )
j 1
xj
0
( j 1,2,3, n )
x
皆为整数或部分为整数
j
5、称决策变量均为0—1变量的整数规划为0—1规划。
6、“用舍入取整”的方法得到整数规划的解是不可取的，这样得到的解行可 能远远偏离最优解，甚至是非可行解。
27.11.2020
《整数规划》
8
第三节 分枝定界法
分枝定界法的基本思想： 1、先不考虑原整数规划中的整数约束性，解其相应的松弛问题。对于最大化问题，松弛问题的
最优解是原问题最优值的上界Z^； 2、若松弛问题的最优解满足整数性约束，则它就是原问题的最优解； 3、若松弛问题的最优解不满足整数性约束，任选一个非整数变量xi=bi,将：
xi≤[bi] 和 xi≥[bi]+1 （例如x2=2.5 则 x2≤2 和 x2≥3） 加入原问题，把原问题分枝为两个子问题。且写出两个子问题的松弛问题。 4、分别求解子问题的松弛问题，若子问题的松弛问题的解满足整数性约束，则不再分枝，其相 应的目标函数值是原问题目标函数值的一个下界Z；若子问题的松弛问题的解不满足整数性 约束，如果需要继续分枝…… 5、过程中利用逐步减小上界Z^或增大下界Z的技巧，直至所有的子问题不再分枝，从而取得原 问题的最优解为止。
25
B2
利润（百元）
1
15
3
20
10
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《整数规划》
4
例1建模
产品
部件
B1
A1
6
A2
4
部件的最大产量
25
B2
利润（百元）
1
15
3
20
10
设x1、x2分别为A1、A1的生产量，根据资料建立模型如下：
maxZ 15x1 20x2 6x1 4x2 25 x1 3x2 10 x1, x2 0, 且皆为整数
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《整数规划》
3
第二节 整数规划问题及其数学模型
一、生产计划问题
例1 某厂生产A1、A2两种产品，产品分别由B1、B2两种部件组装而成，每件 产品所用的部件数量和部件的产量限额以及产品的利润等资料由下表给出， 应如何安排生产使之获取最大利润？
产品
部件
B1Leabharlann A16A2
4
部件的最大产量
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《整数规划》
6
例2 建模型 设置决策变量x1、x2、x3、x4、x5分别表示A、B、C、D、E项目，且定义：
0 x j 1
表 示 项 目 j不 被 选 中 表示项目j被选中
( j 1，2，3，4，5)
1、AcE之 间必 须选择一 项且仅选 择一项，故x1 x3 x5 1
2、称变量限制为非负正数的数学规划为整数规划问题。若全部变量限制为非 负正数的数学规划为纯整数规划；若部分变量限制为非负正数的数学规划 为混合整数规划。
3、本章讨论的是约束条件和目标函数均为线性的整数规划问题，即线性整数 规划问题（简称整数规划）
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《整数规划》
2
4、整数规划的数学模型的一般形式：
《整数规划》
7
• 例2 由以上分析建立0—1规划模型如下：
maxZ 10 x1 8x2 7 x3 6 x4 9 x5
x1
x3
x5
1
x x
2 3
x4 x4
1
6 x1 4 x2 2 x3 4 x4 5x5 15
x j 0或1， ( j 1，2，3，4，5)
• 关于0—1规划模型建模说明：
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
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《整数规划》
10
CB 0 0
cj
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《整数规划》
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• 例1（以本例的求解说明分枝定界法的具体方法及步骤）
原整数规划问题（简称原问题）
maxZ 15x1 20x2
6x1 4x2 25 x1 3x2 10 x1 0, x2 0, 且皆为整数
• 第一步：求解原始问题的松弛问题：x1=2.5 ，x2=2.5 ，Z=87.5（非整需分枝）
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《整数规划》
5
二、投资项目选择问题
例2 某单位5个拟选择的投资项目，其所需投资额和期望收益如下表所示：
项目 A B C D E
所需投资额（万元） 6 4 2 4 5
期望收益（万元） 10 8 7 6 9
1、A、C、E之间必须选择一项，却仅需选择一项； 2、B和D之间须选择，也仅需选择一项； 3、C与D密切相关，C的实施必须以D的实施为前提条件。 该单位有资金15万元，应选择哪些项目投资，使期望收益最大？
XB
b
x3 25
x4 10
zj
检验数zj-cj
15 x1
6 1 0
-15
20 x2
4 3 0
-20
0 x3
1 0 0
0
0 x4
0 1 0
0
0
x3 11 2/3 4 2/3 0
20
x2 3 1/3
1/3 1
zj
6 2/3 20
检验数zj-cj
-8 1/3 0
1
-1 1/3
0
1/3
0
6 2/3
0
6 2/3
15
x1 2 1/2 1
0
20
x2 2 1/2 0
1
zj
15
20
检验数zj-cj
0
0
原问题的松弛问题求解的单纯形表
（二）
《运筹学》
• 第三章 整数规划模型
第一节 引言 第二节 整数规划问题及其数学模型 第三节 分枝定界法 第四节 0—1规划的解法 第五节 指派问题及其解法
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《整数规划》
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第一节 引言
1、在线性规划问题的讨论中，（LP）模型的解仅限定非负，可以为分数或 小数，而在许多经济管理的实际问题中，决策变量的取值只有取非负的整 数才有实际意义。例如：调度的车辆数、销售网点的设置数、指派工作的 人数等等。
2、BD之间必须选择一项且仅选择一项， 故x2 x4 1
3、选中C之前必须先 选中D,，即： 若x3 1必须x4 1，若x3 0而x4 1或0均可 故x3 x4 (相关条件）
投资额约束为
6 x1 4 x2 2 x3 4 x4 5 x5 15
最大期望收益
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maxZ 10 x1 8 x2 7 x3 6 x4 9 x5
n
min(max) Z c j x j j 1
n
a ij x j
bi
(i 1,2,3, m )
j 1
xj
0
( j 1,2,3, n )
x
皆为整数或部分为整数
j
5、称决策变量均为0—1变量的整数规划为0—1规划。
6、“用舍入取整”的方法得到整数规划的解是不可取的，这样得到的解行可 能远远偏离最优解，甚至是非可行解。
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第三节 分枝定界法
分枝定界法的基本思想： 1、先不考虑原整数规划中的整数约束性，解其相应的松弛问题。对于最大化问题，松弛问题的
最优解是原问题最优值的上界Z^； 2、若松弛问题的最优解满足整数性约束，则它就是原问题的最优解； 3、若松弛问题的最优解不满足整数性约束，任选一个非整数变量xi=bi,将：
xi≤[bi] 和 xi≥[bi]+1 （例如x2=2.5 则 x2≤2 和 x2≥3） 加入原问题，把原问题分枝为两个子问题。且写出两个子问题的松弛问题。 4、分别求解子问题的松弛问题，若子问题的松弛问题的解满足整数性约束，则不再分枝，其相 应的目标函数值是原问题目标函数值的一个下界Z；若子问题的松弛问题的解不满足整数性 约束，如果需要继续分枝…… 5、过程中利用逐步减小上界Z^或增大下界Z的技巧，直至所有的子问题不再分枝，从而取得原 问题的最优解为止。
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B2
利润（百元）
1
15
3
20
10
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4
例1建模
产品
部件
B1
A1
6
A2
4
部件的最大产量
25
B2
利润（百元）
1
15
3
20
10
设x1、x2分别为A1、A1的生产量，根据资料建立模型如下：
maxZ 15x1 20x2 6x1 4x2 25 x1 3x2 10 x1, x2 0, 且皆为整数
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第二节 整数规划问题及其数学模型
一、生产计划问题
例1 某厂生产A1、A2两种产品，产品分别由B1、B2两种部件组装而成，每件 产品所用的部件数量和部件的产量限额以及产品的利润等资料由下表给出， 应如何安排生产使之获取最大利润？
产品
部件
B1Leabharlann A16A2
4
部件的最大产量
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6
例2 建模型 设置决策变量x1、x2、x3、x4、x5分别表示A、B、C、D、E项目，且定义：
0 x j 1
表 示 项 目 j不 被 选 中 表示项目j被选中
( j 1，2，3，4，5)
1、AcE之 间必 须选择一 项且仅选 择一项，故x1 x3 x5 1
2、称变量限制为非负正数的数学规划为整数规划问题。若全部变量限制为非 负正数的数学规划为纯整数规划；若部分变量限制为非负正数的数学规划 为混合整数规划。
3、本章讨论的是约束条件和目标函数均为线性的整数规划问题，即线性整数 规划问题（简称整数规划）
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4、整数规划的数学模型的一般形式：
《整数规划》
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• 例2 由以上分析建立0—1规划模型如下：
maxZ 10 x1 8x2 7 x3 6 x4 9 x5
x1
x3
x5
1
x x
2 3
x4 x4
1
6 x1 4 x2 2 x3 4 x4 5x5 15
x j 0或1， ( j 1，2，3，4，5)
• 关于0—1规划模型建模说明：
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
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CB 0 0
cj
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《整数规划》
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• 例1（以本例的求解说明分枝定界法的具体方法及步骤）
原整数规划问题（简称原问题）
maxZ 15x1 20x2
6x1 4x2 25 x1 3x2 10 x1 0, x2 0, 且皆为整数
• 第一步：求解原始问题的松弛问题：x1=2.5 ，x2=2.5 ，Z=87.5（非整需分枝）