运筹学第三章 整数规划PPT课件

27.11.2020
《整数规划》
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第二节 整数规划问题及其数学模型
一、生产计划问题
例1 某厂生产A1、A2两种产品，产品分别由B1、B2两种部件组装而成，每件 产品所用的部件数量和部件的产量限额以及产品的利润等资料由下表给出， 应如何安排生产使之获取最大利润？
产品
部件
B1
A1
6
A2
4
部件的最大产量
15
x1 2 1/2 1
0
20
x2 2 1/2 0
1
zj
15
20
检验数zj-cj
0
0
原问题的松弛问题求解的单纯形表
25
B2
利润（百元）
1
15
3
20
10
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例1建模
产品
部件
B1
A1
6
A2
4
部件的最大产量
25
B2
利润（百元）
1
15
3
20
10
设x1、x2分别为A1、A1的生产量，根据资料建立模型如下：
maxZ 15x1 20x2 6x1 4x2 25 x1 3x2 10 x1, x2 0, 且皆为整数
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例2 建模型 设置决策变量x1、x2、x3、x4、x5分别表示A、B、C、D、E项目，且定义：
0 x j 1
表 示 项 目 j不 被 选 中 表示项目j被选中
( j 1，2，3，4，5)
1、AcE之 间必 须选择一 项且仅选 择一项，故x1 x3 x5 1
（二）
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• 第三章 整数规划模型
第一节 引言 第二节 整数规划问题及其数学模型 第三节 分枝定界法 第四节 0—1规划的解法 第五节 指派问题及其解法
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第一节 引言
1、在线性规划问题的讨论中，（LP）模型的解仅限定非负，可以为分数或 小数，而在许多经济管理的实际问题中，决策变量的取值只有取非负的整 数才有实际意义。例如：调度的车辆数、销售网点的设置数、指派工作的 人数等等。
n
min(max) Z c j x j j 1
n
a ij x j
bi
(i 1,2,3, m )
j 1
xj
0
( j 1,2,3, n )
x
皆为整数或部分为整数
j
5、称决策变量均为0—1变量的整数规划为0—1规划。
6、“用舍入取整”的方法得到整数规划的解是不可取的，这样得到的解行可 能远远偏离最优解，甚至是非可行解。
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• 例2 由以上分析建立0—1规划模型如下：
maxZ 10 x1 8x2 7 x3 6 x4 9 x5
x1
x3
x5
1
x x
2 3
x4 x4
1
6 x1 4 x2 2 x3 4 x4 5x5 15
x j 0或1， ( j 1，2，3，4，5)
• 关于0—1规划模型建模说明：
该模型为纯整数规划模型，又系数全为整数，故也称全整数规划。
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二、投资项目选择问题
例2 某单位5个拟选择的投资项目，其所需投资额和期望收益如下表所示：
项目 A B C D E
所需投资额（万元） 6 4 2 4 5
期望收益（万元） 10 8 7 6 9
1、A、C、E之间必须选择一项，却仅需选择一项； 2、B和D之间须选择，也仅需选择一项； 3、C与D密切相关，C的实施必须以D的实施为前提条件。 该单位有资金15万元，应选择哪些项目投资，使期望收益最大？
xi≤[bi] 和 xi≥[bi]+1 （例如x2=2.5 则 x2≤2 和 x2≥3） 加入原问题，把原问题分枝为两个子问题。且写出两个子问题的松弛问题。 4、分别求解子问题的松弛问题，若子问题的松弛问题的解满足整数性约束，则不再分枝，其相 应的目标函数值是原问题目标函数值的一个下界Z；若子问题的松弛问题的解不满足整数性 约束，如果需要继续分枝…… 5、过程中利用逐步减小上界Z^或增大下界Z的技巧，直至所有的子问题不再分枝，从而取得原 问题的最优解为止。
2、BD之间必须选择一项且仅选择一项， 故x2 x4 1
3、选中C之前必须先 选中D,，即： 若x3 1必须x4 1，若x3 0而x4 1或0均可 故x3 x4 (相关条件）
投资额约束为
6 x1 4 x2 2 x3 4 x4 5 x5 15
最大期望收益
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maxZ 10 x1 8 x2 7 x3 6 x4 9 x5
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• 例1（以本例的求解说明分枝定界法的具体方法及步骤）
原整数规划问题（简称原问题）
maxZ 15x1 20x2
6x1 4x2 25 x1 3x2 10 x1 0, x2 0, 且皆为整数
• 第一步：求解原始问题的松弛问题：x1=2.5 ，x2=2.5 ，Z=87.5（非整需分枝）
2、称变量限制为非负正数的数学规划为整数规划问题。若全部变量限制为非 负正数的数学规划为纯整数规划；若部分变量限制为非负正数的数学规划 为混合整数规划。
3、本章讨论的是约束条件和目标函数均为线性的整数规划问题，即线性整数 规划问题（简称整数规划）
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4、整数规划的数学模型的一般形式：
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
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CB 0 0
cj
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第三节 分枝定界法
分枝定界法的基本思想： 1、先不考虑原整数规划中的整数约束性，解其相应的松弛问题。对于最大化问题，松弛问题的
最优解是原问题最优值的上界Z^； 2、若松弛问题的最优解满足整数性约束，则它就是原问题的最优解； 3、若松弛问题的最优解不满足整数性约束，任选一个非整数变量xi=bi,将：
XB
b
x3 25
x4 10
zj
检验数zj-cj
15 x1
6 1 0
-15
20 x2
4 3 0
-20
0 x3
1 0 0
0
0 x4
0 1 0
0
0
x3 11 2/3 4 2/3 0
20
x2 3 1/3
1/3 1
zj
6 2/3 20
检验数zj-cj
-8 1/3 0
1
-1 1/3
0
1/3
0
6 2/3
0
6 2/3