LT递归神经网络求解旅行商问题研究
关于旅行商问题的数学模型
关于旅行商问题的数学模型旅行商问题（TravelingSalesmanProblem，TSP）是著名的组合优化问题，它的目标是找到一条路径，使得一个旅行商可以经过所有给定的城市，路径总长度最短。
这个问题在实际生活中有着广泛的应用，例如物流配送、电路板布线、DNA序列比对等领域。
本文将介绍旅行商问题的数学模型和解法。
1. 问题描述假设有n个城市，它们的位置分别为(xi,yi)，i=1,2,...,n。
旅行商要从一个城市出发，经过所有城市恰好一次，最后回到出发城市。
城市之间的距离可以用欧几里得距离表示：d(i,j) = sqrt((xi-xj)^2 + (yi-yj)^2)旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
2. 数学模型2.1 定义变量我们定义变量xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择，如果被选择则xij=1，否则xij=0。
例如，x12表示从城市1到城市2的路径是否被选择。
2.2 目标函数旅行商问题的目标是找到一条路径，使得路径总长度最短。
因此，我们可以定义目标函数为：minimize ∑i∑j d(i,j)xij其中，i,j表示城市的编号，d(i,j)表示城市i和城市j之间的距离，xij表示从城市i到城市j的路径是否被选择。
2.3 约束条件旅行商需要经过所有城市恰好一次，因此我们需要添加以下约束条件：1. 每个城市只能被经过一次：∑j xij = 1, i=1,2,...,n2. 每个城市离开后只能到达一个城市：∑i xij = 1, j=1,2,...,n3. 不能出现子回路：∑i∈S ∑j∈S xij ≤ |S|-1, S{1,2,...,n}, |S|≥2其中，第一个约束条件表示每个城市只能被经过一次，第二个约束条件表示每个城市离开后只能到达一个城市，第三个约束条件表示不能出现子回路。
3. 解法旅行商问题是一个NP难问题，没有多项式时间算法可以求解。
因此，我们需要使用一些启发式算法来求解这个问题。
利用Hopfield神经网络求解旅行商问题研究
微 型 电脑 应 用
２０ ０ ６年 第 ２ ２卷 第 １ 期 １
利 用 Ｈｏ ｆｅｄ神 经 网络 求解 旅 行 商 问题 研 究 ｐ ｉｌ
杨 秀梅 ， 陈 洪 亮 ， 董 得 义
摘 要 ： 文主 要 研 究 利 用 连 续 的 Ｈ ｐｉｌ 络 求 解 Ｔ Ｐ 问题 ， 连 续 的 Ｈ ｐｉｄ神 经 网络 原 理 出发 ， 本 ｏ ｆ ｄ网 ｅ Ｓ 从 ｏ ｆｌ ｅ 结合 Ｔ Ｐ 问题 的要 Ｓ
于 优 化 问 题 的 高 速 计 算 特 别 有 效 。 本 文 针 对 将 Ｈｏ ｆ ｌ 论 。 ｐ ｉｄ理 ｅ 应 用于实践给出了研究性方法 。
在 实 践 中 ， ｐｉｌ 经 网络 理 论 可应 用 于很 多领 域 。 Ｈｏ ｆ ｄ神 ｅ 但 实 际 中 由 于将 理 论 转 化 为 实 践 存 在 一 些 技 术 难 点 需 要 解 决 ，
求解就要考虑的情况是 １ 数量级 ， Ｏ 计算量如此之 大是不 可想
象 的 。将 Ｈｏ ｆ ｌ ｐｉ ｄ网络 应 用 于求 解 ＴＳ ｅ Ｐ问题 ， 果 是 显 著 的 。 效
下 面 就 利 用 连 续 的 Ｈｏ ｆ ｌ 络 求 解 Ｔ Ｐ 问题 进 行 探 讨 。 ｐｉ ｄ网 ｅ Ｓ
３ Ｈｏ ｆ ｉ ｐｉ ｄ神经 网络 及求解 Ｔ Ｐ问题算 法 ｅ Ｓ
导 致 实 际 中很 少 用 。下 面 以 Ｔ Ｐ 问题 进 行 连 续 的 Ｈｏ ｆ ｌ Ｓ ｐｉｄ神 ｅ
经 网络 理 论 应 用 研 究 。 ２ 求 解 Ｔ Ｐ 问题 算 法 ） Ｓ
２ 问题 的提 出
ＴＳ Ｐ问 题 ， 即所 谓 的旅 行 商 问题 。问 题 的 提 法 ： Ｎ 个 城 在
中 图 分 类 号 ： Ｐ ０ Ｔ ３１
旅行商问题_TSP_算法的比较
旅 行 商 问 题 （ ＴＳ Ｐ ） 算 法 的 比 较
苗卉
杨韬
澳大利亚昆士兰大学信息技术与电气工程学院 西南交通大学 电气工程学院 成都 ６１００３１
摘要： 旅行商问题是一种典型的求解多局部最优的最优化问题： 有ｎ个城市， 一个旅行者从其中的一个城市出发， 经过所有的城市一次并返回出发的城市， 求最短的路线。本文 运用Ｍａｔｌａｂ７．０实现三种能解决ＴＳＰ问题的算法（ 贪心算法， 模拟退火算法和遗传算法） ， 并在ＴＳＰ测试文件 ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｒｏｂ１００．ｔｓｐ上运行三种算法。从而比较和归纳每个算法的优 缺点。
在ＴＳＰ测试文件ｂｅｒｌｉｎ５２．ｔｓｐ和ｋｒｏｂ１００．ｔｓｐ上运行三种算法。从而 内能， Ｅ为其改变量， ｋ为Ｂｏｌｔｚｍａｎ常数。
比较和归纳每个算法的优缺点。
用固体退火模拟组合优化问题， 将内能Ｅ模拟为目标函数
１． 旅行商问题简介
值ｆ， 温度Ｔ演 化 成 控 制 参 数ｔ， 即 得 到 解 组 合 优 化 问 题 的 模 拟 退
化问题中又有着广泛的应用，故长期以来一直吸引着国内外许
２） 对ｋ＝１至ｋ＝Ｌ做第（３）至第６步；
多研究人员进行研究，他 们 尝 试 着 用 各 种 算 法 来 求 解ＴＳＰ问 题，
３） 产生新解ｓ′（ 一般利用２－ ｏｐｔ算法来产生新的路径） ；
归纳起来有：近似解法、局部搜索法、神经网络、遗传算 法、克隆
平均路径长度为７９１７．９， 与最优值的平均差： ３７５．９， 与最优解的 平均方差：４７５．６。在遗传序列算法中， 平 均 路 径 长 度 为８５１５．６， 与最优值的平均差： ９７３．６， 与最优解的平均方差： １０４３．０。从以 上数据可以看出， 模拟退火算法的效率最高， 在有限的迭带次 数下求得的结果离最优解最近 （ 与最优解的平均方差为 ４７５．６） 。
徐郁蚁群算法求解旅行商问题
蚁群算法求解旅行商问题1.旅行商问题旅行商问题常被称为旅行推销员问题，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。
规则虽然简单，但在地点数目增多后求解却极为复杂。
假设平面上有n个点代表n个城市的位置, 寻找一条最短的闭合路径, 使得可以遍历每一个城市恰好一次。
这就是旅行商问题。
旅行商的路线可以看作是对n个城市所设计的一个环形, 或者是对一列n个城市的排列。
由于对n个城市所有可能的遍历数目可达)!1n个, 因此解决这个问题需要的(计算时间很长。
2.蚁群算法蚁群总是能够发现从蚁巢到食物源的最短路径。
经研究发现，蚂蚁在行走过的路上留下一种挥发性的激素，蚂蚁就是通过这种激素进行信息交流。
蚂蚁趋向于走激素积累较多的路径。
找到最短路径的蚂蚁总是最早返回巢穴，从而在路上留下了较多的激素。
由于最短路径上积累了较多的激素，选择这条路径的蚂蚁就会越来越多，到最后所有的蚂蚁都会趋向于选择这条最短路径。
基于蚂蚁这种行为，人们通过模拟蚂蚁的行为，而提出了一种全局搜索优化的算法，称之为蚁群算法。
3.求解方法假设有n个城市，它们的邻接矩阵为d，其中d代表城市iji到城市j之间的距离。
现也就是找到一个这n个城市的排列，使蚂蚁按这个顺序“旅行”这n个城市，而蚂蚁的行进路程最短。
使用蚁群算法是用一些虚拟的蚂蚁，让它们在这n个城市间“旅行”，如果蚂蚁行进一周后，走的路程较短，则留下较多的信息素，如果蚂蚁走的路程较长，则留下较少的信息素，而蚂蚁更偏向于走信息素多的路径，一段时间后即可找出一条路径。
假设有m只蚂蚁，用η表示边),(j i的能见度，它反映由城ij市i转移到城市j的期望程度，一般取其为d的倒数，即期望ij程度与两城市间的距离成反比；τ表示边),(j i的信息素轨迹强ij度；kτ∆表示蚂蚁k在边),(j i上留下的信息素；k ij p表示处于城ij市i的蚂蚁向城市j的转移概率，其中，城市j是蚂蚁k未访问的城市。
实验报告-旅行商问题
91、实验题目人工智能实验报告——旅行商问题旅行商问题：从某个城市出发，每个城市只允许访问一次，最后又回到原来的城市， 寻找一条最短距离的路径。
请定义两个h 函数（非零），讨论这两个函数是否都在h*的下界范围，是否满足单调限制？你认为哪个会产生比较有效的搜索？2、实验目的及要求旅行商问题是图论中的一个重要的经典问题，本次实验要求学生要求自行定义两个h 函数（非零），独立编写程序解决旅行者问题，语言不限，工具不限，独立完成实验报告。
通过本次实验，使学生加深对图搜索策略的理解和认识，对启发式搜索、估价函数有更深入的理解认识，并学会灵活掌握及解决实际问题。
3、实验设备装有Office 软件的微机一台，本次实验使用Visual studio 6.0开发环境4、实验内容本实验首先对旅行商问题进行了学习了解，之后结合人工智能课堂内容，设计了两个h 函数，使用C 语言编写实现。
具体说明及步骤如下。
4.1、旅行商问题旅行商问题是图论中的一个重要的经典问题: 任给一个城市与城市间的道路图, 求一个旅行商访问每个城市并回到出发点的最短路程。
如本实验中, 城市间均有道路的五个城市的地图可以表示成下面的图1:B7 A7 10 10 6 13 10 CE56D图1 城市间均有道路的五个城市的地图在旅行商的地图中, 五个城市用节点表示, 两城市间的距离用弧线上的数字表示。
设旅行商从A 城市出发, 到B、C、D、E 等城市去推销商品, 要寻找一条从A 出发, 包括B、C、D、E, 且仅包含一次, 最后回到A 的一条最短路径。
4.2、A*算法A* 算法是N.Nillson于1971年提出的一种有序搜索算法, 该算法被认为是求解人工智能问题的最成功的技术理论之一。
Nillson指出对于某一已到达的现行状态, 如已到达图中的n节点, 它是否可能成为最佳路径上的一点的估价, 应由估价函数f(n)值来决定。
假设g*(n)函数值表示从起始节点s 到任意一个节点n 的一条最佳路径上的实际耗散值。
基于蚁群算法的旅行商问题模型研究
基于蚁群算法的旅行商问题模型研究随着旅游业的发展，旅游成了人们生活中不可或缺的一部分。
为了提高旅游质量，降低旅游成本和难度，我们需要解决旅行商问题。
什么是旅行商问题？旅行商问题（TSP）是指一名旅行商人要拜访n个城市，每个城市只能拜访一次，然后回到起点。
每个城市之间的距离是已知或可以计算的。
旅行商人的目标是找到一条最短路径，使他能够顺序地拜访每个城市一次，最后回到出发点。
TSP是一个非常重要的组合优化问题，它在物流、工程、制造和导航中都有应用。
TSP的解决方案对TSP问题进行求解是一个NP难问题，即非确定性多项式完全问题。
但是，如今已发展出多种算法来解决TSP问题。
经典的解决TSP问题的方法有两种：全排列法和近似算法。
全排列法是将n个城市按照顺序排列，然后枚举这n个城市的所有排列，最终从中选择一条路径最短的路线作为最优解。
但是，这种方法的计算成本非常高，在大规模问题上不实用。
近似算法是对全排列方法的改进。
它采用启发式搜索，在计算复杂度可接受的情况下找到近似最优解。
近似算法包括分支限界法、模拟退火算法和遗传算法等。
蚁群算法：一种解决TSP问题的有效算法蚁群算法（ACO）是一种模拟蚂蚁探索食物的启发式优化算法，是解决TSP问题的一种有效方法。
它的基本思想是模拟蚂蚁在食物搜索中的行为，通过搜寻信息素来选择路径。
在ACO算法中，将每只蚂蚁看作一个搜索代理，通过释放信息素来传递经验。
该算法首先随机产生一群蚂蚁，它们在不同的城市中进行随机移动，每一只蚂蚁在选择下一个城市时根据当前所在城市和可选择城市的信息素含量作出选择。
蚂蚁根据选择的路径，释放信息素，并在路径上留下新的信息素。
当所有蚂蚁都完成了路径选择时，根据释放的信息素，更新信息素的含量。
ACO算法的核心是信息素的积累和传递过程，信息素的释放和更新过程，并且不断调整选择策略。
ACO算法的优点ACO算法的优点是可以有效地解决TSP问题，尤其是在大规模问题上。
hopfield网络求解TSP问题
Hopfield神经网络求解TSP问题1.什么是TSP问题旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem），也是最优化问题。
一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
用数学语言描述TSP如下 :设有限个城市集合 : C = { C1 , C 2 , … , Cn }，每两个城市间的距离为 d（Ci，Cj）∈Z, 其中 Ci，Cj∈C（ 1<=i , j <=n), 即求 minL=∑d（Ci，Cj）的值的问题。
有效路径的方案数目为Rn=（（n-1）！/2）,例如:R4=3,R5=12,R6=120,R10=181440可见路径总数，随n增大而急剧增长,当城市数目增加到一定的程度,计算量增加到无法进行的地步，所以要选择一种合理快速的算法，而不能对所有情况使用人工列举的方法。
2.Hopfield神经网络介绍人工神经网络（Artificial Neural Networks，简写为ANNs）也简称为神经网络（NNs）或称作连接模型（Connection Model），它是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。
这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的.最基础的为BP、Hopfield网络等。
Hopfield网络是一种互连型网络的一种，它引入类似于Lyapunov 函数的能量函数概念，把神经网络的拓扑结构(用连接权矩阵表示)与所求问题(用目标函数描述)相对应，并将其转换为神经网动力学系统的演化问题。
3.神经元的数学模型人的大脑是由大量神经细胞或神经元组成的。
每个神经元可以看作为一个小的处理单元，这些神经元按照某种方式相互连接起来，构成大脑内部的生理神经元网络系统，他们中各个神经元之间连接的强弱不是固定不变的，而是按照外部的信号激励程度做自适应的变化，而每个神经元又随着接收到的多个激励信号的综合大小呈现兴奋或抑制状态。
旅行商问题TSP的几种求解方法
计 算 机 仿 真
2006 年 08 月
旅行商问题 ( TSP) 的几种求解方法
田贵超 ,黎明 ,韦雪洁
(南昌航空工业学院测试技术与控制工程系 ,江西 南昌 330034)
摘要 : 旅行商问题 ( TSP) 是组合优化领域里的一个典型的 、 易于描述却难以处理的 N P 完全难题 ,其可能的路径数目与城市 数目是呈指数型增长的 ,求解非常困难 。 而快速 、 有效地解决 TSP有着重要的理论价值和极高的实际应用价值 。 该文首先介 绍了什么是 TSP,接着论述了六种目前针对 TSP比较有效的解决方法 (模拟退火算法 、 禁忌搜索算法 、 Hopfield神经网络优化 算法 、 蚁群算法 、 遗传算法和混合优化策略 ) 的基本思想 ,并且简单阐述了它们的求解过程 , 最后分别指出了各自的优缺点 并对解决 TSP的前景提出了展望 。 关键词 : 旅行商问题 ; 组合优化 ; 路径 ; 展望 中图分类号 : TP301. 6 文献标识码 : A— 153 —Fra bibliotek 主要求解方法
基于 TSP的问题特性 ,构造型算法成为最先开发的求解 算法 ,如最近邻点 、 最近合并 、 最近插入 、 最远插入 、 最近添 加、 贪婪插入等 。 但是 , 由于构造型算法优化质量较差 , 迄今 为止已开发了许多性能较好的改进型搜索算法 [ 3 ] ,主要有 : 1) 模拟退火算法 2) 禁忌搜索算法 3 ) Hopfield神经网络优化算法 4 ) 蚁群算法 5 ) 遗传算法 6 ) 混合优化策略 2. 1 模拟退火算法方法 2. 1. 1 基本思想 模拟退火算法 ( sim u la ted annea ling, SA ) 是基于 Monte Carlo 迭代求解策略的一种随机寻优算法 , 其出发点是基于 物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之间的相 似性 。 SA 算法由某一较高初温开始 ,结合具有概率突跳特性 的 M etropo lis抽样策略在解空间中随机寻找目标函数的全局 最优解 ,伴随温度参数的不断下降重复抽样过程 , 最终得到 问题的全局最优解 。 从算法结构知 ,新状态产生函数 、 新状态接受函数 、 退温 函数 、 抽样稳定准则和退火结束准则 (简称三函数两准则 ) 以及初始温度是直接影响算法优化结果的主要环节 [ 3 ] 。 2. 1. 2 求解 TSP 1 ) 编码选择 : 采用描述 TSP 解的最常用的 一 种 策略 — — —路径编码 。 2 ) SA状态产生函数的设计 : 对于基于路径编码的 SA状 态产生函数操作 ,可将其设计为 : ①互换操作 ( S WA P ) ; ②逆 序操作 ( I NV ) ; ③插入操作 ( I N S) 。 3) SA 状态接 受函 数 的设 计 : m in{1, exp ( - △ / t) } > random [ 0, 1 ] 准则是作为接受新状态的条件最常用的方案 , 其中 △为新旧状态的目标值差 , t为“ 温度 ” 。 4 ) 初温和初始状态 : 最常用且可理解的初温确定方案 是 ,首先随机产生一组状态 , 确定两两状态间的最大目标值 差 : | Δm ax | ,然后由式 t0 = - Δm ax / lnp r ,其中 p r 为初始接受概 率 (理论上应接近 1,实际设计时也可以取 0. 1 ) 。 初始状态可 采用启发式算法 (如 2op t方法 ) 快速得到一个解 , 并以此为 SA 的初始状态 。 5) 退温函数的设计 : 指数退温函数是最常用的退温策 ( 略 tk = λtk - 1 ,λ为退温速率 ) 。 6 ) 温度修改准则和算法终止准则的设计 : 可采用阈值 法设计的“ 温度修改 ” 和“ 算法终止 ” 两准则 。 2. 2 禁忌搜索算法 2. 2. 1 基本思想 禁忌搜索 ( Tabu Sea rch 或 Taboo Sea rch, 简称 TS) 是一 种亚启发式搜索技术 [ 4 ] ,由 Glover在 1986 年首次提出 ,进而
求解旅行商问题的几种解法
2010年第5期(总第77期)边疆经济与文化THE BORDER ECONOMY AND CULT URENo 1512010General 1No 17710 B I A N J I A N G J I N G J I Y U W EN HUA【旅游经济】求解旅行商问题的几种解法高春涛(哈尔滨商业大学基础科学学院,哈尔滨150028)摘 要:旅行商问题(TSP )是一个典型的NP 完全问题,现在还没有找到有效的解法。
目前比较热门的求解TSP 问题的方法主要有四种:神经网络算法;模拟退火算法;遗传算法;蚁群算法。
关键词:旅行商问题;组合优化;解法中图分类号:F 592 文献标志码:A 文章编号:167225409(2010)0520010202收稿日期:2010201222作者简介:高春涛(1973),女,黑龙江拜泉人,讲师,硕士,主要从事混沌神经网络研究。
一、引言旅行商问题(Traveling Sales man Pr oble m ),是指给定n 个城市,任何两城市之间皆有路连通,其距离为已知,某旅行商从其中某城市出发,要经过每城市一次,且只能一次,最后又必须返回出发城市,要求找出最短的巡回路径。
由于在很多实际问题中,如印刷电路板的铅孔路线方案、连锁店的货物配送路线等问题经过简化处理,均可建模为旅行商问题,因而对旅行商问题求解方法的研究具有重要的应用价值。
旅行商问题是运筹学中有代表性的组合优化问题,也是典型的NP 完全问题。
虽然它陈述起来很简单,但求解却很困难,对于具有n 个城市的TSP 问题,其可能的路径数目为(n -1)!/2,至今尚未找到有效的求解方法,在理论上枚举法可以解决这一问题,但是当n 较大时,解题的时间消耗会使枚举法显得没有任何实际价值。
因此寻求一种求解时间短,能满足实际问题精度要求的解,成为解决该问题的主要途径。
二、TSP 求解方法求解旅行商问题的方法可以分为两大类,一类是精确算法,目的是要找到理论最优解;另一类是近似算法,其算法简单,计算量小,大多数情况下求得的满意解能满足要求。
旅行商问题
旅行商问题
旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个有着悠久历史的经典优化问题，也是一个非常重要的研究领域。
贪婪法是常用的解决TSP问题的算法之一。
它的思想是每次都选择与当前位置最近的城市，最后回到出发城市，进而完成一个TSP问题的解决。
贪婪法的TSP问题可以通过求解最佳匹配（Minimazing Tour Cost）而简单地实现。
它要求先求出各城市带来的价值，然后将价值作为各城市之间的距离权重，计算出最佳匹配。
另外，贪婪算法解决TSP问题还可以使用基于穷举搜索的解法。
它对所有有可能存在的路线进行排查，从而最终求出最短路径长度。
但是，由于TSP问题的解空间很大，穷举搜索的解法无法保证能够求出最优解，运行时间也增加了很多，贪婪算法求解TSP问题速度较快。
总之，贪婪算法解决TSP问题能够在短时间内快速求出最短路径，但是求得的解不一定是最优解，而且TSP问题求解的解空间非常大，仍然有很多未知问题需要进一步研究。
HopField神经网络解决旅行商问题
HopField 神经网络解决旅行商问题实验名称：用Hopfield 神经网络解决旅行商(TSP)问题实验内容：旅行商问题（TravellingSalesman Problem, 简记TSP ，亦称货郎担问题)：设有n 个城市和距离矩阵D=[dij]，其中dij 表示城市i 到城市j 的距离，i ，j=1，2 …n ，则问题是要找出遍访每个城市恰好一次的一条回路并使其路径长度为最短。
TSP 的一个解可表述为一个循环排列，假如有５个城市ABCD Ｅ顺序为如有５个城市顺序为Ｃ→A →Ｅ→Ｂ→Ｄ→Ｃ。
那么路线总长度为：D C BD EB AE CA d d d d d d ++++=TSP 问题综合了一大类组合优化问题的典型特征，属于NP 完全问题，不能在多项式时间内进行检验。
若使用动态规划的方法时间复杂性和空间复杂性都保持为n 的指数函数。
HNN 方法是解TSP 问题的另一种有效的方法，在城市数目比较小的情况下可以在较短的时间得到满意的结果。
算法分析：所用到的基本理论与方法，具体算法。
1.根据文献（1），HNN 解TSP 问题的具体步骤为：0、置t=0,A=1.5,D=1;1、读入N 城市之间的距离),,2,1,(n y x d xy =文件；2、计算神经元之间的权重和输入偏置 权重：n j i y x Dd A A T i j xy ij xy YjXi ,2,1,,,,1,,=---=-其中δδδ输入偏置： I=2A;3、)(t U xi 的初值在0附近随机产生（x,i=1,2,……，N ）;4、计算))/)(tanh(1(21)(0U t U t V xi xi +=， 这里2.00=U 5、利用神经元动态方程，计算∑∑==+=∆n y nj yj yjxi xi I V Tt u 11,)(6利用一阶尤拉法计算 ,5.0)()1()1(=∆∆⨯∆++=+t t t u t U t U xi xi xi ，这里7、如果系统达到平衡状态，那么终止程序，否则返回第4步。
旅行商问题
旅行商问题本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March旅行商问题旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）又译为、，简称为，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。
最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出。
目录1简介“旅行商问题”常被称为“”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。
规则虽然简单，但在地点数目增多后求解却极为复杂。
以42个地点为例，如果要列举所有路径后再确定最佳行程，那么总路径数量之大，几乎难以计算出来。
多年来全球数学家绞尽脑汁，试图找到一个高效的TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。
如何确定最短路线。
TSP问题最简单的求解方法是。
它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）。
可以形象地把看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。
求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。
2研究历史旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。
3问题解法旅行推销员的问题，我们称之为巡行（Tour），此种问题属于的问题，1、途程建构法（Tour Construction Procedures）从中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：2、途程改善法（Tour Improvement Procedure）先给定一个可行途程，然后进行改善，一直到不能改善为止。
旅行商问题
旅行商问题旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）又译为、，简称为，是最基本的路线问题，该问题是在寻求单一旅行者由起点出发，通过所有给定的需求点之后，最后再回到原点的最小路径成本。
最早的旅行商问题的数学规划是由Dantzig（1959）等人提出。
目录1简介“旅行商问题”常被称为“”，是指一名推销员要拜访多个地点时，如何找到在拜访每个地点一次后再回到起点的最短路径。
规则虽然简单，但在地点数目增多后求解却极为复杂。
以42个地点为例，如果要列举所有路径后再确定最佳行程，那么总路径数量之大，几乎难以计算出来。
多年来全球数学家绞尽脑汁，试图找到一个高效的TSP问题在物流中的描述是对应一个物流配送公司，欲将n个客户的订货沿最短路线全部送到。
如何确定最短路线。
TSP问题最简单的求解方法是。
它的解是多维的、多局部极值的、趋于无穷大的复杂解的空间，搜索空间是n个点的所有排列的集合，大小为（n-1）。
可以形象地把看成是一个无穷大的丘陵地带，各山峰或山谷的高度即是问题的极值。
求解TSP，则是在此不能穷尽的丘陵地带中攀登以达到山顶或谷底的过程。
2研究历史旅行商问题字面上的理解是：有一个推销员，要到n个城市推销商品，他要找出一个包含所有n个城市的具有最短路程的环路。
TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点。
TSP由RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题。
3问题解法旅行推销员的问题，我们称之为巡行（Tour），此种问题属于的问题，1、途程建构法（Tour Construction Procedures）从中产生一个近似最佳解的途径，有以下几种解法：2、途程改善法（Tour Improvement Procedure）先给定一个可行途程，然后进行改善，一直到不能改善为止。
基于深度强化学习的旅行商问题及其变体研究
基于深度强化学习的旅行商问题及其变体研究1. 内容简述本研究基于深度强化学习(Deep Reinforcement Learning,DRL)方法，对旅行商问题(Traveling Salesman Problem,TSP)及其变体进行了深入研究。
旅行商问题是组合优化领域中最经典的问题之一，其目标是在给定一组城市和它们之间的距离后，找到一条最短的路径，使得旅行商能够依次访问所有城市并返回原点，同时尽量减少总的行驶距离。
随着深度强化学习的发展，越来越多的研究者开始尝试将DRL应用于解决TSP问题及其变体。
我们在多个公开数据集上对所提出的算法进行了实验验证，相较于传统的TSP求解方法，基于深度强化学习的算法在解决TSP问题及其变体时具有更好的性能和泛化能力。
1.1 研究背景随着人工智能技术的不断发展，深度强化学习(Deep Reinforcement Learning,DRL)已经成为解决复杂问题的强大工具。
旅行商问题(Traveling Salesman Problem,TSP)是组合优化领域中最著名的问题之一，其目标是在给定一组城市和它们之间的距离后，找到一条最短的路径，使得旅行商从起点出发，经过所有城市恰好一次并回到起点。
TSP问题在实际生活中具有广泛的应用价值，例如物流配送、供应链管理等。
由于TSP问题的复杂性，目前尚未有一种通用的高效算法能够同时满足最优性和实用性的要求。
基于深度强化学习的方法在研究TSP问题及其变体方面具有重要的理论意义和实际应用价值。
1.2 研究目的本研究旨在探索基于深度强化学习的旅行商问题及其变体，以提高旅行商问题的求解效率和鲁棒性。
通过对现有深度强化学习算法的研究和分析，总结其在解决旅行商问题方面的优势和不足。
针对旅行商问题的特点和难点，设计并实现一种基于深度强化学习的解决方案，以提高求解效果。
通过对比实验验证所提出方法的有效性和优越性，为实际应用提供参考。
1.3 研究意义旅行商问题(TSP,Traveling Salesman Problem)是组合优化领域中一个经典的问题，其目标是在给定一组城市和它们之间的距离后，找到一条最短的路径，使得旅行商从一个城市出发，经过所有其他城市恰好一次，然后回到出发城市。
求解TSP问题算法综述
求解TSP问题算法综述一、本文概述本文旨在全面综述求解旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）的各种算法。
TSP问题是一个经典的组合优化问题，自提出以来就引起了广泛的关注和研究。
该问题可以描述为：给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解一条最短的可能路线，使得一个旅行商从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，最后返回出发城市。
本文将首先介绍TSP问题的基本定义、性质及其在实际应用中的重要性。
接着，我们将综述传统的精确算法，如动态规划、分支定界法等，以及它们在求解TSP问题中的优缺点。
然后，我们将重点介绍启发式算法和元启发式算法，包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法等，这些算法在求解大规模TSP问题时表现出良好的性能和效率。
本文还将探讨近年来新兴的机器学习算法在TSP问题求解中的应用，如深度学习、强化学习等。
我们将对各类算法进行总结和评价，分析它们在不同场景下的适用性和性能表现。
我们也将展望TSP问题求解算法的未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供有益的参考和指导。
二、经典算法求解旅行商问题（TSP）的经典算法多种多样，每种算法都有其独特的优缺点和适用场景。
本节将对一些代表性的经典算法进行综述。
暴力穷举法（Brute-Force）：暴力穷举法是最简单直观的TSP求解算法。
其基本思想是生成所有可能的旅行路径，计算每条路径的总距离，然后选择最短的那条。
虽然这种方法在理论上可以找到最优解，但由于其时间复杂度为O(n!)，对于大规模问题来说计算量极大，因此并不实用。
动态规划（Dynamic Programming, DP）：动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题来求解的优化方法。
对于TSP问题，DP算法可以将一个大循环中的多个子问题合并成一个子问题，从而减少重复计算。
然而，TSP的DP算法仍面临“维度灾难”的问题，即当城市数量增多时，所需存储空间和计算时间呈指数级增长。
旅行商问题_TSP_的几种求解方法
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2 主要求解方法
基于 TSP 的问题特性, 构造型算法成为最先开 发的求解 算法, 如最 近邻 点、最 近合并、最近 插入、最 远插 入、最 近添 加、贪婪插入等。但 是, 由于构 造型算 法优化 质量较 差, 迄今 为止已开发了许多性 能较好的改进型搜索算法 [ 3] , 主要有:
1) 模拟退火算法 2) 禁忌搜索算法 3)H opfie ld神经网络优化算法 4) 蚁群算法 5) 遗传算法 6) 混合优化策略 2. 1 模拟退火算法方法 2. 1. 1 基本思想 模拟退 火算法 ( sim ula ted annea ling, SA ) 是 基于 M onte Car lo 迭代求解 策略的 一种随 机寻优 算法, 其 出发点是 基于 物理中固体物质的 退火过 程与 一般组 合优 化问 题之间 的相
1) 编码 选 择: 采 用 描 述 T SP 解的 最 常 用 的一 种 策 略 路径编码。 2) SA 状态产生函数的设计: 对 于基于路径编码的 SA状 态产生函数 操作, 可将其设计为: ① 互换操作 ( SWA P ); ② 逆 序操作 ( INV ); ③ 插入操作 ( IN S)。 3) SA 状 态 接 受 函数 的 设 计: m in{ 1, ex p( - / t) } > random [ 0, 1] 准则是作为接受新 状态的 条件最常 用的方 案, 其中 为新旧状态的目标值差, t为 温度 。 4) 初温和初始状态: 最常 用且 可理 解的 初温 确定 方案 是, 首先随机产生一组 状态, 确 定两两 状态 间的 最大目 标值 差: | m ax |, 然后由式 t0 = - m ax / lnpr, 其中 pr 为初始接受概 率 ( 理论上应接近 1, 实际设计时也可以取 0. 1)。初 始状态可 采用启发式算法 (如 2opt方 法 ) 快速得 到一个 解, 并以 此为 SA 的初始状态。 5) 退温函数的设计: 指数 退温 函数 是最 常用 的退 温策 略 ( tk = tk- 1, 为退温速率 ) 。 6) 温度修改准则和 算法 终止 准则 的设 计: 可 采用 阈值 法设计的 温度修改 和 算法终止 两准则 。 2. 2 禁忌搜索算法 2. 2. 1 基本思想 禁忌搜索 ( T abu Search或 T aboo Sea rch, 简称 T S) 是一 种亚启发式搜索技术 [ 4], 由 G lover在 1986年首次提出, 进而
简述旅行商问题
旅行商问题：是一个经典的组合优化问题。
经典的TSP可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。
应如何选择行进路线，以使总的行程最短。
从图论的角度来看，该问题实质是在一个带权完全无向图中，找一个权值最小的Hamilton回路。
由于该问题的可行解是所有顶点的全排列，随着顶点数的增加，会产生组合爆炸，它是一个NP完全问题。
由于其在交通运输、电路板线路设计以及物流配送等领域内有着广泛的应用，国内外学者对其进行了大量的研究。
早期的研究者使用精确算法求解该问题，常用的方法包括：分枝定界法、线性规划法、动态规划法等。
但是，随着问题规模的增大，精确算法将变得无能为力，因此，在后来的研究中，国内外学者重点使用近似算法或启发式算法，主要有遗传算法、模拟退火法、蚁群算法、禁忌搜索算法、贪婪算法和神经网络等。
旅行商问题的几种求解算法比较
旅行商问题的几种求解算法比较作者:(xxx学校)摘要:TSP问题是组合优化领域的经典问题之一,吸引了许多不同领域的研究工作者,包括数学,运筹学,物理,生物和人工智能等领域,他是目前优化领域里的热点.本文从动态规划法,分支界限法,回溯法分别来实现这个题目,并比较哪种更优越,来探索这个经典的NP(Nondeterministic Polynomial)难题.关键词:旅行商问题求解算法比较一.引言旅行商问题(Travelling Salesman Problem),是计算机算法中的一个经典的难解问题,已归为NP 一完备问题类.围绕着这个问题有各种不同的求解方法,已有的算法如动态规划法,分支限界法,回溯法等,这些精确式方法都是指数级(2n)[2,3]的,根本无法解决目前的实际问题,贪心法是近似方法,而启发式算法不能保证得到的解是最优解,甚至是较好的解释.所以我认为很多问题有快速的算法(多项式算法),但是,也有很多问题是无法用算法解决的.事实上,已经证明很多问题不可能在多项式时间内解决出来.但是,有很多很重要的问题他们的解虽然很难求解出来,但是他们的值却是很容易求可以算出来的.这种事实导致了NP完全问题.NP表示非确定的多项式,意思是这个问题的解可以用非确定性的算法"猜"出来.如果我们有一个可以猜想的机器,我们就可以在合理的时间内找到一个比较好的解.NP-完全问题学习的简单与否,取决于问题的难易程度.因为有很多问题,它们的输出极其复杂,比如说人们早就提出的一类被称作NP-难题的问题.这类问题不像NP-完全问题那样时间有限的.因为NP-问题由上述那些特征,所以很容易想到一些简单的算法――把全部的可行解算一遍.但是这种算法太慢了(通常时间复杂度为O(2^n))在很多情况下是不可行的.现在,没有知道有没有那种精确的算法存在.证明存在或者不存在那种精确的算法这个沉重的担子就留给了新的研究者了,或许你就是成功者.本篇论文就是想用几种方法来就一个销售商从几个城市中的某一城市出发,不重复地走完其余N—1个城市,并回到原出发点,在所有可能的路径中求出路径长度最短的一条,比较是否是最优化,哪种结果好.二.求解策略及优化算法动态规划法解TSP问题我们将具有明显的阶段划分和状态转移方程的规划称为动态规划,这种动态规划是在研究多阶段决策问题时推导出来的,具有严格的数学形式,适合用于理论上的分析.在实际应用中,许多问题的阶段划分并不明显,这时如果刻意地划分阶段法反而麻烦.一般来说,只要该问题可以划分成规模更小的子问题,并且原问题的最优解中包含了子问题的最优解(即满足最优子化原理),则可以考虑用动态规划解决.所以动态规划的实质是分治思想和解决冗余,因此,动态规划是一种将问题实例分解为更小的,相似的子问题,并存储子问题的解而避免计算重复的子问题,以解决最优化问题的算法策略.旅行商问题(TSP问题)其实就是一个最优化问题,这类问题会有多种可能的解,每个解都有一个值,而动态规划找出其中最优(最大或最小)值的解.若存在若干个取最优值的解的话,它只取其中的一个.在求解过程中,该方法也是通过求解局部子问题的解达到全局最优解,但与分治法和贪心法不同的是,动态规划允许这些子问题不独立,(亦即各子问题可包含公共的子子问题)也允许其通过自身子问题的解作出选择,该方法对每一个子问题只解一次,并将结果保存起来,避免每次碰到时都要重复计算.关于旅行商的问题,状态变量是gk(i,S),表示从0出发经过k个城市到达i的最短距离,S为包含k个城市的可能集合,动态规划的递推关系为:gk(i,S)=min[gk-1(j,S\{j})+dji] j属于S,dji表示j-i的距离.或者我们可以用:f(S,v)表示从v出发,经过S中每个城市一次且一次,最短的路径.f(S,v)=min { f(S-{u},u)+dist(v,u) }u in Sf(V,1)即为所求2.分支限界法解TSP问题旅行商问题的解空间是一个排列树,与在子集树中进行最大收益和最小耗费分枝定界搜索类似,使用一个优先队列,队列中的每个元素中都包含到达根的路径.假设我们要寻找的是最小耗费的旅行路径,那可以使用最小耗费分枝定界法.在实现过程中,使用一个最小优先队列来记录活节点,队列中每个节点的类型为M i n H e ap N o d e.每个节点包括如下区域: x(从1到n的整数排列,其中x [ 0 ] = 1 ),s(一个整数,使得从排列树的根节点到当前节点的路径定义了旅行路径的前缀x[0:s], 而剩余待访问的节点是x [ s + 1 : n - 1 ]),c c(旅行路径前缀,即解空间树中从根节点到当前节点的耗费),l c o s t(该节点子树中任意叶节点中的最小耗费), rc o s t(从顶点x [ s : n - 1 ]出发的所有边的最小耗费之和).当类型为M i n He a p N o d e ( T )的数据被转换成为类型T时,其结果即为l c o s t的值.分枝定界算法的代码见程序.程序首先生成一个容量为1 0 0 0的最小堆,用来表示活节点的最小优先队列.活节点按其l c o s t值从最小堆中取出.接下来,计算有向图中从每个顶点出发的边中耗费最小的边所具有的耗费M i n O u t.如果某些顶点没有出边,则有向图中没有旅行路径,搜索终止.如果所有的顶点都有出边,则可以启动最小耗费分枝定界搜索.根的孩子(图1 6 - 5的节点B)作为第一个E-节点,在此节点上,所生成的旅行路径前缀只有一个顶点1,因此s=0, x[0]=1, x[1:n-1]是剩余的顶点(即顶点2 , 3 ,., n ).旅行路径前缀1 的开销为0 ,即c c = 0 ,并且,r c o st=n i=1M i n O u t .在程序中,bestc 给出了当前能找到的最少的耗费值.初始时,由于没有找到任何旅行路径,因此b e s t c的值被设为N o E d g e.程序旅行商问题的最小耗费分枝定界算法templateT AdjacencyWDigraph::BBTSP(int v[]){// 旅行商问题的最小耗费分枝定界算法// 定义一个最多可容纳1 0 0 0个活节点的最小堆MinHeap > H(1000);T *MinOut = new T [n+1];// 计算MinOut = 离开顶点i的最小耗费边的耗费T MinSum = 0; // 离开顶点i的最小耗费边的数目for (int i = 1; i <= n; i++) {T Min = NoEdge;for (int j = 1; j <= n; j++)if (a[j] != NoEdge &&(a[j] < Min || Min == NoEdge))Min = a[j];if (Min == NoEdge) return NoEdge; // 此路不通MinOut = Min;MinSum += Min;}// 把E-节点初始化为树根MinHeapNode E;E.x = new int [n];for (i = 0; i < n; i++)E.x = i + 1;E.s = 0; // 局部旅行路径为x [ 1 : 0 ] = 0; // 其耗费为0E.rcost = MinSum;T bestc = NoEdge; // 目前没有找到旅行路径// 搜索排列树while (E.s < n - 1) {// 不是叶子if (E.s == n - 2) {// 叶子的父节点// 通过添加两条边来完成旅行// 检查新的旅行路径是不是更好if (a[E.x[n-2]][E.x[n-1]] != NoEdge && a[E.x[n-1]][1] != NoEdge && ( + a[E.x[n-2]][E.x[n-1]] + a[E.x[n-1]][1] < bestc || bestc == NoEdge)) {// 找到更优的旅行路径bestc = + a[E.x[n-2]][E.x[n-1]] + a[E.x[n-1]][1]; = bestc;E.lcost = bestc;E . s + + ;H . I n s e r t ( E ) ; }else delete [] E.x;}else {// 产生孩子for (int i = E.s + 1; i < n; i++)if (a[E.x[E.s]][E.x] != NoEdge) {// 可行的孩子, 限定了路径的耗费T cc = + a[E.x[E.s]][E.x];T rcost = E.rcost - MinOut[E.x[E.s]];T b = cc + rcost; //下限if (b < bestc || bestc == NoEdge) {// 子树可能有更好的叶子// 把根保存到最大堆中MinHeapNode N;N.x = new int [n];for (int j = 0; j < n; j++)N.x[j] = E.x[j];N.x[E.s+1] = E.x;N.x = E.x[E.s+1]; = cc;N.s = E.s + 1;N.lcost = b;N.rcost = rcost;H . I n s e r t ( N ) ; }} // 结束可行的孩子delete [] E.x;} // 对本节点的处理结束try {H.DeleteMin(E);} // 取下一个E-节点catch (OutOfBounds) {break;} // 没有未处理的节点}if (bestc == NoEdge) return NoEdge; // 没有旅行路径// 将最优路径复制到v[1:n] 中for (i = 0; i < n; i++)v[i+1] = E.x;while (true) {//释放最小堆中的所有节点delete [] E.x;try {H.DeleteMin(E);}catch (OutOfBounds) {break;}}return bestc;}while 循环不断地展开E-节点,直到找到一个叶节点.当s = n - 1时即可说明找到了一个叶节点.旅行路径前缀是x [ 0 : n - 1 ],这个前缀中包含了有向图中所有的n个顶点.因此s = n - 1的活节点即为一个叶节点.由于算法本身的性质,在叶节点上lco st 和cc 恰好等于叶节点对应的旅行路径的耗费.由于所有剩余的活节点的lcost 值都大于等于从最小堆中取出的第一个叶节点的lcost 值,所以它们并不能帮助我们找到更好的叶节点,因此,当某个叶节点成为E-节点后,搜索过程即终止.while 循环体被分别按两种情况处理,一种是处理s = n - 2的E-节点,这时,E-节点是某个单独叶节点的父节点.如果这个叶节点对应的是一个可行的旅行路径,并且此旅行路径的耗费小于当前所能找到的最小耗费,则此叶节点被插入最小堆中,否则叶节点被删除,并开始处理下一个E-节点.其余的E-节点都放在while 循环的第二种情况中处理.首先,为每个E-节点生成它的两个子节点,由于每个E-节点代表着一条可行的路径x [ 0 : s ],因此当且仅当是有向图的边且x [ i ]是路径x [ s + 1 : n - 1 ]上的顶点时,它的子节点可行.对于每个可行的孩子节点,将边的耗费加上 即可得到此孩子节点的路径前缀( x [ 0 : s ],x) 的耗费c c.由于每个包含此前缀的旅行路径都必须包含离开每个剩余顶点的出边,因此任何叶节点对应的耗费都不可能小于cc 加上离开各剩余顶点的出边耗费的最小值之和,因而可以把这个下限值作为E-节点所生成孩子的lcost 值.如果新生成孩子的lcost 值小于目前找到的最优旅行路径的耗费b e s t c,则把新生成的孩子加入活节点队列(即最小堆)中.如果有向图没有旅行路径,程序返回N o E d g e;否则,返回最优旅行路径的耗费,而最优旅行路径的顶点序列存储在数组v 中.3.回朔法解TSP问题回朔法有"通用解题法"之称,它采用深度优先方式系统地搜索问题的所有解,基本思路是:确定解空间的组织结构之后,从根结点出发,即第一个活结点和第一个扩展结点向纵深方向转移至一个新结点,这个结点成为新的活结点,并成为当前扩展结点.如果在当前扩展结点处不能再向纵深方向转移,则当前扩展结点成为死结点.此时,回溯到最近的活结点处,并使其成为当前扩展结点,回溯到以这种工作方式递归地在解空间中搜索,直到找到所求解空间中已经无活结点为止.旅行商问题的解空间是一棵排列树.对于排列树的回溯搜索与生成1,2,……, n的所有排列的递归算法Perm类似.设开始时x=[ 1,2,… n ],则相应的排列树由x[ 1:n ]的所有排列构成.旅行商问题的回溯算法找旅行商回路的回溯算法Backtrack是类Treveling的私有成员函数,TSP是Treveling的友员.TSP(v)返回旅行售货员回路最小费用.整型数组v返回相应的回路.如果所给的图G不含旅行售货员回路,则返回NoEdge.函数TSP所作的工作主要是为调用Backtrack所需要变量初始化.由TSP调用Backtrack(2)搜索整个解空间.在递归函数Backtrack中,当i = n时,当前扩展结点是排列树的叶结点的父结点.此时,算法检测图G是否存在一条从顶点x[ n-1 ]到顶点x[ n ]的边和一条从顶点x[ n ]到顶点1的边.如果这两条边都存在,则找一条旅行售货员回路.此时,算法还需判断这条回路的费用是否优于已找到的当前最优回路的费用best.如果是,则必须更新当前最优值bestc和当前最优解bestx.当i < n时,当前扩展结点位于排列树的第i–1 层.图G中存在从顶点x[ i-1 ]到顶点x[ i ]的边时,x[ 1:i ]构成图G的一条路径,且当x[ 1:i ]的费用小于当前最优值时,算法进入排列树的第I 层.否则将剪去相应的子树.算法中用变量cc记录当前路径x[ 1:i ]的费用.解旅行商售货员问题的回溯法可描述如下:templateclass Traveling {friend Type TSP(int * *,int [],Type);private:void Backtrack(int i);int n, //图G的顶点数* x, //当前解*bestx; //当前最优解Type * *a, //图G的邻接矩阵cc, //当前费用bestc, //当前最优值NoEdge; //无边际记};templatevode Traveling::Backtrack(int i){if(I==n){if(a[x[n-1]][x[n]]! = NoEdge &&a[x[n]][1]!= NoEdge &&(cc + a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][1]bestc== NoEdge) ){for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=x[j];bestc =cc + a[x[n-1]][x[n]]+ a[x[n]][1];}}else {for(int j=I; j<=n;j++)//是否可进入x[j]子树if(a[x[i-1]][x[j]]! = NoEdge &&(cc + a[x[i-1]][x[i]]< bestc||bestc == NoEdge//搜索子数Swap(x[i],x[j]);cc += a[x[i-1]][x[i]];Backtrack(I+1);cc -= a[x[i-1]][x[i]];Swap(x[i],x[j]);}}}templateType TSP(Type * *a,int v[],int n,Type NoEdge){Traveling Y;//初始化YY.x = new int[n+1];// 置x为单位排列for(int i=1;i<=n;i++)Y.x[i] = I;Y.a=a;Y.n=n;Y.bestc = NoEdge;Y.bestc = v; = 0;Y. NoEdge = NoEdge;//搜索x[2:n]的全排列Y.Backtrack(2);Delete[] Y.x;三.三种方法的比较1.动态规划法和回朔法的比较:这本来就是两个完全不同的领域,一个是算法领域,一个是数据结构问题.但两者又交叉,又有区别.从本质上讲就是算法与数据结构的本质区别,回朔是一个具体的算法,动态规划是数据结构中的一个概念.动态规划讲究的是状态的转化,以状态为基准,确定算法,动态规划法所针对的问题有一个显著的特征,即它所对应的子问题树中的子问题呈现大量的重复.动态规划法的关键就在于,对于重复出现的子问题,只在第一次遇到时加以求解,并把答案保存起来,让以后再遇到时直接引用,不必重新求解.简单的说就是:动态规划法是从小单元开始积累计算结果.回朔讲究过程的推进与反还,随数据的搜索,标记,确定下一步的行进方向,回朔是去搜索. 如果想要搜索时,发现有很多重复计算,就应该想到用动态规划了.动态规划和搜索都可以解决具有最优子结构的问题,然而动态规划在解决子问题的时候不重复计算已经计算过的子问题,对每个子问题只计算一次;而简单的搜索则递归地计算所有遇到的的子问题.比如一个问题的搜索树具有如下形式:........A......./.......B...C...../.\./.....D...E...F如果使用一般深度优先的搜索,依次搜索的顺序是A-B-D-E-C-E-F,注意其中节点E被重复搜索了两次;如果每个节点看作是一个子问题的话,节点E所代表的子问题就被重复计算了两次; 但是如果是用动态规划,按照树的层次划分阶段,按照自底向上的顺序,则在第一阶段计算D,E,F;第二阶段计算B,C;第三阶段计算A;这样就没有重复计算子问题E.搜索法的优点是实现方便,缺点是在子问题有大量的重复的时候要重复计算子问题,效率较低;动态规划虽然效率高,但是阶段的划分和状态的表示比较复杂,另外,搜索的时候只要保存单前的结点;而动态规划则至少要保存上一个阶段的所有节点,比如在动态规划进行到第2阶段的时候,必须把第三阶段的D,E,F三个节点全部保存起来,所以动态规划是用空间换时间.另外,有一种折衷的办法,就是备忘录法,这是动态规划的一种变形.该方法的思想是:按照一般的搜索算法解决子问题,但是用一个表将所有解决过的子问题保存起来,遇到一个子问题的时候,先查表看是否是已经解决过的,如果已解决过了就不用重复计算.比如搜索上面那棵树,在A-B-D-E的时候,已经将E记录在表里了,等到了A-B-D-E-C的时候,发现E已经被搜索过,就不再搜索E,而直接搜索F,因此备忘录法的搜索顺序是A-B-D-E-C-(跳过E)-F自底向上的动态规划还有一个缺点,比如对于下面的树:........A......./.......B...C......G...../.\./.\..../.....D...E...F..H (I)如用自底向上的动态规划,各个阶段搜索的节点依次是:D,E,F,H,IB,C,GAA才是我们最终要解决的问题,可以看到,G,H,I根本与问题A无关,但是动态规划还是将它们也解决了一遍,这就造成了效率降低.而备忘录法则可以避免这种问题,按照备忘录法,搜索的次序仍然是:A-B-D-E-C-(跳过E)-F.备忘录法的优点是实现简单,且在子问题空间中存在大量冗余子问题的时候效率较高;但是要占用较大的内存空间(需要开一个很大的表来记录已经解决的子问题),而且如果用递归实现的话递归压栈出栈也会影响效率;而自底向上的动态规划一般用for循环就可以了.值得一提的是,用动态规划法来计算旅行商的时间复杂度是指数型的.2. 分支限界法和回朔法的比较:分支限界法类似于回溯法,也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法.但在一般情况下,分支限界与回溯法的求解目标不同.回溯法的求解目标是找出T中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解,即在某种意义下的最优解.我们先看一个列子:设G=(V,E)是一个带权图.图1中各边的费用(权)为一正数.图中的一条周游线是包括V中的每个顶点在内的一条回路.一条周游路线的费用是这条路线上所有边的费用之和.所谓旅行售货员问题就是要在图G中找出一条有最小费用的周游路线.给定一个有n个顶点的带权图G,旅行售货员问题要找出图G的费用(权)最小的周游路线.图1是一个4顶点无向带权图.顶点序列1,2,4,3,1;1,3,2,4,1和1,4,3,2,1是该图中3条不同的周游路线.1 256 1043 20 4图1 4顶点带权图该问题的解空间可以组织成一棵树,从树的根结点到任一叶结点的路径定义了图G的一条周游路线.图1是当n=4时这种树结构的示例.其中从根结点A到叶结点L的路径上边的标号组成一条周游路线1,2,3,4,1.而从根结点到叶结点O的路径则表示周游路线1,3,4,2,1.图G的每一条周游路线都恰好对应解空间树中一条从根结点到叶结点的路径.因此,解空间树中叶结点个数为(n-1)!.A1B2 3 4C D E3 24 2 3F G H I J K4 3 4 2 3 2L M N O P Q图2 旅行售货员问题的解空间树对于图1中的图G,用回溯法找最小费用周游路线时,从解空间树的根结点A出发,搜索至B,C,F,L.在叶结点L处记录找到的周游路线1,2,3,4,1,该周游路线的费用为59.从叶结点L返回至最近活动结点F处.由于F处已没有可扩展结点,算法又返回到结点C处.结点C成为新扩展结点,由新扩展结点,算法再移至结点G 后又移至结点M,得到周游路线1,2,4,3,1,其费用为66.这个费用不比已有周游路线1,2,3,4,1的费用小.因此,舍弃该结点.算法有依次返回至结点G,C,B.从结点B,算法继续搜索至结点D,H,N.在叶结点N算法返回至结点H,D,然后再从结点D开始继续向纵深搜索至结点O.依次方式算法继续搜索遍整个解空间,最终得到1,3,2,4,1是一条最小费用周游路线.以上便是回溯法找最小费用周游路线的实列,但如果我们用分支限界法来解的话,会更适合.由于求解目标不同,导致分支限界法与回溯法在解空间树T上的搜索方式也不相同.回溯法以深度优先的方式搜索解空间树T,而分支限界法则以广度优先或以最小消耗优先的方式搜索解空间树T.分支限界法的搜索策略是,在扩展结点处,先生成所有的儿子结点(分支),然后再从当前的活动点表中选择下一个扩展结点.为了有效地选择下一扩展结点,以加速搜索的进程,在每一活结点处,计算一个函数值(限界),并根据这些已计算出的函数值,从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点,使搜索朝着解空间树上的最优解的分支推进,以便尽快的找出一个最优解.四.结论:参考文献:动态规划dynamic programming图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：图片：dongtai guihua动态规划(卷名：自动控制与系统工程)dynamic programming研究多段（多步）决策过程最优化问题的一种数学方法，英文缩写DP，是最优控制和运筹学的重要数学工具。
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Ｊｕｌ．２０１ １
ＬＴ递归神经网络求解旅行商问题研究
周
伟１，蒲晓蓉２，屈
鸿２
“西南民族大学计算机科学与技术学院成都６１００４１ ｌ ２．电子科技大学计ｌｇＳｔ科学与工程学院成都６１００ｓ４）
【摘要】提出了一种基于Ｌ１－递归神经网络的旅行商问题求解方法．采用离散型神经网络模型，先给出模型有界性和完全 收敛性的证明・再给出保证网络的稳定输出解为旅行商问题有效路径的条件．在此基础上结合局部最小值迟选方法获得较优 的路径．在与基于Ｌｖ递归神经网络的算法比较实验证明。谊算法在总体上能获得更好的有效路径． 关键词智能计算；递归神经网络；系统稳定性；旅行商问题
优路径。
∑口（％．，（Ｉ））卜∑略口（＿．．（ｔ））一∑吒盯（也．，（々”｝
／；ｌ
ｐｌ
Ｉ－Ｉ
（Ｉ）
式中，”为城市数量；ｆ，，＝１，２。…．月为列号；Ｊ，Ｙ＝ １，２，…。＾为行号；ｖ。对应第ｉ次访问城市Ｊ的神经 元；ｄ。为城市Ｊ和Ｙ间的距离且满足ｄ。＝０和
如＝‰：呜＝‰＞０当且仅当ｉ＝Ｊ和，＝Ｙ；口（－）
定义网络平衡点为ｔ。，Ｄ＝｛厶）。．为”×ｎ维的
距离矩阵，＾一（Ｄ）为Ｄ的最大特征值。 定理１对于式（１）网络。若满足Ａ，Ｐ＞０且 ２ＡｌＰ＜ｌ，则网络输出有界（ｂｏｕｄｅｄｎｅｓｓ）。进一步，
题３）和４讲没有很好解决。 ３基于ＬＴ神经网络的ＴＳＰ求解方法
本文提出一种基于ＬＴ（１ｉｎｅａｒ ｔｈｒｃｓｈｏｌｄ）的离散型 万方数据
市，从一个城市出发，尝试找一条最短的路径访问 所有城市，且每个城市只访问一次，并最后回到起 点城市。从排列组合的角度来看，一个城市可选路 径为”！条。当城市数量增加，如果单用穷举的方法 来查找，其计算量和耗时都非常巨大。 最早Ｈｏｐｆｉｅｌｄ利用递归神经网络（ｒｅｃｕｒｒｅｎｔ
ｎｅｕｒａｌ
ｎｅｔｗｏｒｋｓ，删成功解决ＴＳＰ，引起了科学界
２基于ＬＶ神经网络的ＴＳＰ求解方法
文献【１３】提出了一种同步更新方式的基于 ＬＶ（Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ）的连续型（ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ・ｔｉｍｅ）ＲＮＮ方 法㈣，简称Ｌ，ｖ算法。其模型为：
屯ｏ）＝％（，）【一（Ｉ一∑如（，））＋烈Ｉ一
口＝ｌ
∑‰（，））＋∑ｗｏ‰（ｆ）＋∑～％（，）】
产１
芦＝Ｊ ｉ＝ｔ
和工业界广泛的兴趣Ｉｌ】。延续Ｈｏｐｆｉｅｌｄ网络解决ＴＳＰ
标记方式，本文记甩为城市的数量，屯为城市Ｊ和
Ｙ之间的距离，其中Ｊ，Ｙ∈｛ｌ，２，…，疗）。此外，用一 个ｎｘｒｌ的置换矩阵来表示ＴＳＰ问题的解决方案，该 矩阵的行和列分别对应一个城市和一次访问。令 Ｈ＝∥∈ｆ０＇ｌ】”＞为足“上的单位超立方体上所有 点的集合，Ｚ‘＝｛ｙ∈【｛Ｏ，１）”“）为立方体顶点集合。
ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｓａｌｅｓｍａｎ ｐｒｏｂｌｅｍ
ａ
ｆｒＳＰ）．Ｉｔ
ｆｉｒｓｔ ａｄｄｒｅｓｓｅｓ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｌｅｔｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ，
ｔｈｅｎ ｇｉｖｅｓ
ｔｈｅｏｒｅｍ
ｏｎ
ｔｏ ｅｎｓｕｒｅ
ａｌｌ ｔｈｅ ｎｅｔｗｏｒｋｓ’ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｂｅ ｖａｌｉｄ
式中，ｔ为时间标识；”为城市数量；ｉ，ｆ＝ｋ２，…，ｎ 为访问的顺序，即列号；ａ，卢＝ｌ，２，…，Ｈ为城市标号， 即行号；％对应第ｆ次访问城市口的神经元；¨。为
城市口和∥之间的距离且满足‰＝０和嵋。＝
‰’０；～＝％当且仅当ｉ＝口和Ｊ＝声；Ａ和置为
网络参数，本文实验中取Ａ＝口１１３Ｉ。 ＬＶ算法能保证生成路径都是有效路径，但对问
＿●＿－＿Ｉ－－＿－－－＿＿＿－＿＿＿●＿－＿＿●一ｉｉ
第４０卷第４期 ２０１１年７月
电子科技大学学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆＣｈｉｎａ
Ｖ０１．４０
Ｎｏ．４
ＩＩ－－＿＿＿Ｉ＿＿●＿●－Ｉ＿Ｉ＿＿●ｌ＿●ｌ●＿－●－－Ｉ—
中图分类号ＴＰ３９１ 文献标识码Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１－０５４８．２０１１．０３．０２４
Ｄｉｓｃｒｅｔｅ—Ｔｉｍｅ Ｒｅｃｕｒｒｅｎｔ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｗｉｔｈ Ｌｉｎｅａｒ Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ Ｎｅｕｒｏｎｓ ｆｏｒ Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｔｒａｖｅｌｉｎｇ Ｓａｌｅｓｍａｎ Ｐｒｏｂｌｅｍ
＝；：｛
‰＋爿）‘一∑屯盯（心）一∑嘞盯眩瑚，Ｐ ｌ机．，
ｚｚ●
Ｉ诎 』曩ｌ
４实验验证
实验包括两部分：１）先对经典的ｌＯ城市问题【１Ｊ 求解，已知的最短路径（最优路径）为２．６９０ ７。网络 参 ＝Ｂ－－０．０４８ ８，Ｐ＝－９．３６１ ０。实验次数为１００次， 图１和图２分别是ＬＴ和ＬＶ算法所获得的最短路径， 对应的结果是２．６９０ ７羊１１２．７６９ ３。表１是对应的平 均、最长和最短路径长度。从实验结果可见新算 法不仅能够获得最优路径，而且在整体性能上也 优于ＬＶ算法。
４１随机选一列ｉ，计算列上每个神经元对应的
∑ｄ０（ｏ。＋ｖｙＭ）・若有输出。的神经元（设为％）
Ｊ。１．，●，
对应该列最小值，则找：行』列上输出ｌ的Ｅ，，与。
行ｉ列上输出ｌ的神经元～交换：屹＝ｌ，ｔ．，＝０，
ｖ：．＝０，ｖ：．＝ｌ。计算新网络Ｋ’的路径长度为：
ｄ（ＺＯ＝｛∑∑∑如屹¨。＋％．．） Ｉｌｌ产Ｉ．ｐｊ
ＺＨＯＵ Ｗｅｉｌ，ＰＵ Ｘｉａｏ－ｒｏｎ９２，ａｎｄ
２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｑｕ
Ｈｏｎ９２
Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００４１；
（１．Ｃｏｌｌａｇｅ ｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
呜＝略＋（川２一∑州，）一∑仃（ｖ；．，）】一２＿略一
若Ｐ＞ｈＡ＋２厶。（功，则式（１）网络完全稳定。
电子科技大学学报
第４０卷
证明据已有方法【１５Ｉ，可证明网络的有界性和 完全稳定性。本文忽略具体证明过程。 证毕 定理２若式（１）网络满足定理ｌ，且Ａ＜ ｍｉｎ｛ｄ。），Ｃｙ≠Ｊ），则网络的稳定输出解为满足ＴｓＰ 问题的一个有效路径。 证明要证明其为有效路径，对应本文的模型， 只要每行每列只有一个神经元输出大于零即可，则 要证明网络的稳定输出解满足３个条件： １）每列至多有一个神经元的输出大于零。假定 网络最后一列上有２个神经元稳定输出大于零，即
万方数据
第４期
周伟．等：ＬＴ递归神经网络求解旅行商问题研究
篙。… 和。那么。ＴＳＰ问题的一个有效路径为置换矩阵中
为第ｊ行的值的和，而掣；ｙｖ，，为第ｆ列的值的
（ｄｉｓｅｒｅｔｅ－ｔｉｍｅ）ＲＮＮ方法．其模型为：
１．ｋ
匕Ｊ（Ｉ＋１）２以屹Ｊ（ｔ））＋÷｛爿ｆ２一艺Ｆ（～・（Ｉ））一
‘
ｐＩ
每行每列都只有唯一一个元素（对应神经网络，则可 称为神经元）等于１，其数学表达式为： 月；＝｛矿∈．日ｃ ｆ《＝１，ｓ？＝ｌ，Ｖｘ，ｉ∈｛１，２，…，一” 置换矩阵中不符合有效路径的情况称为无效路 径。～直以来，很多学者参与研究和改进Ｈｏｐｆｉｅｌｄ 模型［Ｚ－４１．目前仍存在以下问题【“】：１）如何避免得 到无效路径：２）网络参数设置难度大，通常只有试 取，不同网络参数对路径解好坏有较大影响：３）计 算能力较差，当城市数量增多，求解速度缓慢，甚 至无法解决：４）如何避免陷入局部最小，以获得拟
ｒｅｃｕｒｒｅｎｔ
ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｍｅ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｍｅｔｈｏｄ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｐｒｏｂｌｅｍ
ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ；
ｎｅｕｒａｌ
ｎｅｔｗｏｒｋｓ；
ｓｙｓｔｅｍ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ；ｔｒａｖｅｌｉｎｇ ｓａｌｅｓｍａｎ
旅行商问题（ＴＳＰ）作为ＮＰ完全问题，属于经典的 组合优化问题，一直是数学、物理、机器智能等众 多领域研究的热点之一。ＴＳＰ研究在工程应用方面， 也具有十分重要的价值，如计算机网络路由选择、 集成电路布线设计、导航系统区域路径规划等。 本文提出一种新颖的基于ＬＴ递归神经网络的 ＴＳＰ求解方法。不仅给出理论证明，也给出具体实 施算法。和传统的Ｈｏｐｆｉｅｌｄｌ网络方法相比，该算法依 赖网络参数的程度小，且能保证所得解都属于有效 路径。与现有大部分基于连续方式的求解方法相 比，该算法采取离散迭代方式，同步更新，更利 于计算机计算和数字电路硬件实施，从而具有～ 定应用价值。 １
为ＩＴ函数，即口０）＝ｍａ）【（ｃ，０｝，ｃ为网络输入：Ａ、 Ｐ为网络参数：ｋ＝０，１，…为迭代次数。彳在具体实 验中取和ＬＶ算法参数Ａ一样的数值。 传统Ｈｏｐｆｉｅｌｄ网络采取连续类型的激励函数，使 得整体能量在能量函数上光滑过度。相比离散类型 在求解上能获得更好的精度ｌ‘－Ｓｌ。和之前连续类型求 解ＴＳＰ的网络不同，本文虽然采取离散迭代方式， 但由于其ＬＴ激励函数属于连续类型，因此也能保证 获得较好的精度。此外，相比连续系统，离散系统 在计算机计算实现方面具有优势，也更便于在数字 硬件上得以实现。 文献【１４１中的另一种基于ＩｆＴ的异步更新方式的 ＴＳＰ算法（简称异步ＬＴ算法）．不仅存在无效路径解的 情况，而且在满足算法收敛性要求和具体实验效果 方面，都强烈依赖于网络参数的选择。在使用上存 在一定的局限性，相比较本文没有ＩⅣ算法灵活。关于 异步ＬＴ算法和Ｌｖ算法的具体比较，则可参见文献【１３】。 和异步ＬＴ算法一样，ＬＴ模型也属于同步更新类 型，其网络模型和对应算法依赖网络参数的程度小， 同ＬＶ算法一样能保证生成的路径都是有效路径。通 过将文献【１２】中局部逃逸思路和ＬＴ模型结合，新ｕ’ 算法能较好地克服系统陷入局部最小的情况，获得 较原先ＬＶ算法更好的实验结果。 此外，异步ＬＴ算法和Ｌ、，算法都只是给出了１０城 市或者１２城市的求解结果，并没有给出城市规模更 大时的求解结果，本文则用新算法对３０城市问题求 解，并获得较满意的实验结果。 ３．１理论证明