最新3对总体特征值的估计
张厚粲《现代心理与教育统计学》(第3版)笔记考点课后答案
张厚粲《现代心理与教育统计学》（第3版）笔记考点课后答案张厚粲著的《现代心理与教育统计学》（第4版）是我国高校采用较多的心理与教育统计学权威教材。
作为这本教材的学习辅导书，1．整理名校笔记，浓缩内容精华。
每章的复习笔记以经典教材为主并结合国内其他著名的心理与教育统计学著作对各章的重难点进行了整理，并参考了《心理统计》（第9版，理查·鲁尼恩等著，人民邮电出版社）等国外教材，因此，2．解析课后习题，提供详尽答案。
3．精选考研真题，补充难点习题。
为了强化对重要知识点的理解，第1章绪论1.1 复习笔记本章重点ü心理与教育统计的研究内容ü选择使用统计方法的基本步骤ü统计数据的基本类型ü心理与教育统计的基本概念一、统计方法在心理和教育科学研究中的作用（一）心理与教育统计的定义与性质1．心理与教育统计学是专门研究如何运用统计学原理和方法，搜集、整理、分析心理与教育科学研究中获得的随机性数据资料，并根据这些数据资料传递的信息，进行科学推论找出心理与教育活动规律的一门学科。
2．具体讲，就是在心理与教育研究中，通过调查、实验、测量等手段有意地获取一些数据，并将得到的数据按统计学原理和步骤加以整理、计算、绘制图表、分析、判断、推理，最后得出结论的一种研究方法。
3．统计学大致分为理论统计学（theoretical statistics）和应用统计学（applied statistics）两部分。
前者侧重统计理论与方法的数理证明，后者侧重统计理论与方法在各个实践领域中的应用。
心理与教育统计学属于应用统计学范畴，是应用统计学的一个分支。
类似的还有生物统计、社会统计、医学统计、人口统计、经济统计等。
（二）心理与教育科学研究数据的特点1．心理与教育科学研究数据与结果多用数字形式呈现2．心理与教育科学研究数据具有随机性和变异性3．心理与教育科学研究数据具有规律性4．心理与教育科学研究的目标是通过部分数据来推测总体特征（三）学习心理与教育统计应注意的事项1．学习心理与教育统计学要注意的几个问题（1）学习心理与教育统计学时，必须要克服畏难情绪。
必修3数学§80
练习3.特征值估计
1.聚中(稳定)性特征值估计 众数, 中位数, 平均数
2.离散(波动)性特征值估计 极差, 方差, 标准差
① 课本P：74 例
X甲 X 乙
② 课本P：77 例2
2 乙
注：我们一般碰到的习题大多数是：
S S
2 甲 2 甲
若是： X甲 X 乙 若是： X甲 X 乙
S S
2000
1500
（1）求该公司职员月工资的平均数，中位数，众数 （2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元， 董事长的工资从5500元提升到30000元，那么 新的平均数，中位数，众数又是什么
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？ 结合问题谈一谈你的看法
解:
(1)平均数为2091元，中位数为1500元，众数为1500元 (2)平均数为3288元，中位数为1500元，众数为1500元
已知某组数据Y1,Y2,Y3,„„的平均值为μ ,标准差为σ 则在正常状态下，可以认为： ①数值Yi分布在区间（μ-σ,μ+σ)内的概率为0.6826
②数值Yi分布在区间（μ-2σ,μ+2σ)内的概率为0.9544 ③数值Yi分布在区间（μ-3σ,μ+3σ)内的概率为0.9974
即在正常状态下，可以认为：
数据Yi的取值几乎全部集中在区间(μ -3σ ,μ +3σ )内 而落在该区间之外的可能性不到3‟ 这在统计学上称为3σ 准则(三倍标准差原则)， 也称3σ 原则，或3σ 规则，3σ 原理
练习3.特征值估计
1.聚中(稳定)性特征值估计 众数, 中位数, 平均数
2.离散(波动)性特征值估计 极差, 方差, 标准差 3.结构性特征值估计 频率, 3δ 原则
现代心理与教育统计学 (2)
心理统计学第一章概述描述统计定义：研究如何把心理与教育科学实验或调查得来的大量数据科学的科学的加以整理概括和表述作用：使杂乱无章的数字更好的显示出事物的某些特征，有助于说明问题的实质。
具体内容：1数据分组：采用图与表的形式。
2计算数据的特征值：集中量数（平均数中数）离散量数（方差）3计算量事物间的相关关系：积差相关（2列 3列多列）推断统计定义：主要研究如何利用局部数据（样本数据）所提供的信息，依据数理统计提供的理论和方法，推论总体情形。
作用：用样本推论总体。
具体内容：1如何对假设进行检验。
2如何对总体参数特征值进行估计。
3各种非参数的统计方法。
心理与教育统计基础概念数据类型一从数据来源来划分1计数数据：计算个数或次数而获得的数据。
（都是离散数据）2测量数据：借助一定测量工具或测量标准而获得的数据。
（连续数据）二根据数据所反映的测量水平1称名数据（分类）定义：指用数字代表事物或数字对事物进行分类的数据。
特点：数字只是事物的符号，而没有任何数量意义。
统计方法：百分数次数众数列联相关卡方检验等。
（非参检验）2顺序数据（分类排序）定义：指代事物类别，能够表明不同食物的大小等级或事物具有的某种特征的程度的数据。
（年级）特点：没有相等单位没有绝对零点。
不表示事物特征的真正数量。
统计方法：中位数百分位数等级相关肯德尔和谐系数以及常规的非参数检验方法。
3等距数据（分类排序加减（相等单位））（真正应用最广泛的数据）定义：不仅能够指代物体的类别等级，而且具有相等的单位的数据。
（成绩温度）特点：真正的数量，能进行加减运算，没有绝对零点，不能进行乘除计算。
统计方法：平均数标准差积差相关 Z检验 t检验 F检验等。
4比率数据（分类排序加减法乘除法（绝对零点））定义：表明量的大小，也具有相等单位，同时具有绝对零点。
（身高反应时）特点：真正的数字，有绝对零点，可以进行加减乘除运算。
在统计中处理的数据大多是顺序数据和等距数据。
10.7总体特征值估计
频率！
1 6 5 10 1 另解： x 2200 250 220 200 100 23 23 23 23 23 300
加权平均数
例2 若取值为 某校学生日睡眠时间抽样频率分布表如下，试估算该校学生 x1 , x2 ,, xn的频率分别为 p1 , p2 , , pn，
试估算哪个班的技能成绩较好。
解：分别计算两班的平均成绩得
xA 1 (67 72 93 69 86 84 45 77 88 91) 10 77.2
xB
1 (78 96 56 83 86 48 98 67 62 70) 10 74.4
例：用求和符号表示：
① ap1 ap2 ap3 apn ② a1 p1 a2 p2 a3 p3 an pn
例1 从A、B两个班中各抽10名学生参加技能测试，成绩如表
A班 67 72 93 69 86 84 45 77 88 91
B班 78 96 56 83 86 48 98 67 62 70
的日平均睡眠时间. n 则其平均数为 x x1 p1 x2 p2 xn pn xi pi
睡眠时间
6～6.5 6.5～7 7～7.5
人数
5 17 33
频率
0.05 0.17 0.33
i 1
7.5～8
8～8.5
37
6
0.37
0.06
8.5～9
合计
2
100
0.02
1
解：采用中间值进行计算，日平均睡眠时间为：
二、样本方差 方差
若一组样本数据 x1，x2， ，xn的平均数为 x，
2 2 2 1 则s x1 x x2 x xn x n 2
总体特征值估计
一知识梳理，基本概念的理解1.平均数的计算方法（1）如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x =n1（x 1+x 2+…+x n ）叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”.（2）当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a ，那么，x =x '+a .（3）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（f 1+f 2+…+f k =n ），那么x =nf x f x f x kk +++ 2211.6.方差的计算方法（1）对于一组数据x 1，x 2，…，x n ，s 2=n1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差.（2）公式s 2=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］. （3）当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a .则s 2=n1［（x 1′2+x 2′2+…+x n ′2）－n 2x '］. 2总体平均值和方差的估计人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确. 范例解析例1、某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上，每隔１小时抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录．抽查数据如下：甲车间：102,101,99,98,103,98,99;乙车间：110,105,94,95,109,89,98． 问（１）根据抽样是何种抽样方法？（２）估计甲乙两车间包装重量的均值与方差，并说明哪个均值的代表好？哪个车间包装重量较稳定？ 例2有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：［12.5，15.5］，6；［15.5，18.5］，16；［18.5，21.5］，18；［21.5，24.5］，22； ［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8.（1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图； （3）估计数据小于30.5的概率例3、.某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：求全班的平均成绩和标准差.课堂练习1.在方差计算公式])20()20()20[(10121022212-++-+-=x x x s 中，数字10和20分别表示 （） A ．数据的个数和方差 B ．平均数和数据的个数C ．数据的个数和平均数D ．数据组的方差和平均数2.从鱼塘捕得同时放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.3，1.4，1.2，1.7，1.8(单位：千克)．依此估计这240尾鱼的总质量大约是______3.x 1是1x ，2x ，3x ，……，40x 的平均值，2x 为41x ，42x ，43x ，……，100x 的平均值，x 是1x ，2x ，3x ，……，100x ．则x ＝124060100x x +4.已知一组数据x ，－1，0，3，5的方差为S 2=6.8，则x=．5.已知一组数据x 1，x 2，…，x 10的方差是2，且(x 1-3)2+(x 2-3)2+…+(x 10-3)2=380，求x ． 基础练习1．已知数据12n x x x ，，，的平均数为5x =，则数据137x +，237x +，…，37n x +的平均数为. 2．若M 个数的平均数是X,N 个数的平均数是Y,则这M+N 个数的平均数是______3．数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2，则数据2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为.4，则下列说法正确的是.①甲的样本容量小 ②乙的样本容量小 ③甲的波动较小 ④乙的波动较小5．右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个4 最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为． 课堂小结1理解样本平均数的计算方法 2理解样本方差的计算方法 课后作业 1书上2练习册。
基于最大特征值估计的C3算法及应用
基于最大特征值估计的C3算法及应用隋京坤;郑晓东;李艳东【摘要】The third⁃generation coherence algorithm,C3,is robust to suppress noise and posseses high resolution.However,the process of computing eigenvalues of the covariance matrix in C3 istime⁃consuming.To avoid computing all eigenvalues,this paper proposes a fast convergence algorithm based an eigenvalue estimation of real symmetric matrices to calculate the dominant eigenvalue.To control the precision of the algorithm,this paper presents an error evaluation formula.By adding traces along the boundary of the seismic datavol⁃ume,we avoid judging whether the spatial window oversteps the boundary when recursion strategy is applied in a horizontal direction. The application to real data shows that the efficiency of C3 is improved by approxinately 3 times.%第三代相干体算法（ C3算法）具有分辨率高、压制噪声能力强的优点，但是该算法需要计算协方差矩阵的特征值，所以耗时较多。
总体特征值的估计
总体特征值的估计
总体特征值是统计中一个重要的概念，是应用统计学研究中常用的一类参数，它提供了关于总体本身的全面信息，包括总体位置参数和离散程度参数，例如均值、方差、百分位数、偏度和峰度等，因此总体特征值的估计变得尤为重要。
一、总体特征值估计的重要性
总体特征值估计可以帮助了解一个总体的某些特性，如均值、方差、偏度和峰度，这些特征值的参数可以帮助研究人员了解样本数据的结构和变化特征，以及和其他总体的比较。
此外，均值、方差等特征值可以用来估计总体参数，从而为研究开展提供线索和启示。
二、均值的估计
均值是总体特征值之一，它表示样本数据的中心位置，是衡量一组数据的整体水平的重要参数。
常用的均值估计方法有：最大似然法、最小二乘法、贝叶斯估计法和蒙特卡洛估计法等。
三、方差的估计
方差也是总体特征值之一，它表示样本数据的离散程度，是衡量一组数据波动程度的重要参数。
常用的方差估计方法有：无偏样本方差估计、偏权无偏方差估计、最大似然估计和蒙特卡洛估计法等。
四、偏度和峰度的估计
偏度和峰度是总体中的重要特征值，它们分别描述了样本数据的分布偏移程度和波动程度。
常用的偏度和峰度估计方法有：最大似然估计、最小二乘估计、贝叶斯估计、正态分布模型估计等。
五、小结
总体特征值估计是统计学研究中重要的一环，是评价样本数据分布状况和总体特征值的重要参考，通常利用最大似然法、最小二乘法、贝叶斯估计法和蒙特卡洛估计法等方法估计总体的均值、方差、偏度和峰度等参数。
能够有效、准确的估计总体参数，是做出正确统计研究判断和决策的关键所在，也是实现成功研究的一大条件。
张厚粲《现代心理与教育统计学》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
张厚粲《现代心理与教育统计学》（第3版）笔记和课后习题详解第1章绪论一、统计方法在心理和教育科学研究中的作用（一）心理与教育统计的定义与性质1．心理与教育统计学是专门研究如何运用统计学原理和方法，搜集、整理、分析心理与教育科学研究中获得的随机性数据资料，并根据这些数据资料传递的信息，进行科学推论找出心理与教育活动规律的一门学科。
2．具体讲，就是在心理与教育研究中，通过调查、实验、测量等手段有意地获取一些数据，并将得到的数据按统计学原理和步骤加以整理、计算、绘制图表、分析、判断、推理，最后得出结论的一种研究方法。
3．统计学大致分为理论统计学（theoretical statistics）和应用统计学（applied statistics）两部分。
前者侧重统计理论与方法的数理证明，后者侧重统计理论与方法在各个实践领域中的应用。
心理与教育统计学属于应用统计学范畴，是应用统计学的一个分支。
类似的还有生物统计、社会统计、医学统计、人口统计、经济统计等。
（二）心理与教育科学研究数据的特点1．心理与教育科学研究数据与结果多用数字形式呈现2．心理与教育科学研究数据具有随机性和变异性3．心理与教育科学研究数据具有规律性4．心理与教育科学研究的目标是通过部分数据来推测总体特征（三）学习心理与教育统计应注意的事项1．学习心理与教育统计学要注意的几个问题（1）学习心理与教育统计学时，必须要克服畏难情绪。
心理与教育统计学偏重于应用，只要有中学数学知识就具备了学好心理与教育统计学的前提。
（2）在学习时要注意重点掌握各种统计方法使用的条件。
（3）要做一定的练习。
2．应用心理与教育统计方法时要做到：（1）克服“统计无用”与“统计万能”的思想，注意科研道德。
（2）正确选用统计方法，防止误用和乱用统计。
二、心理与教育统计学的内容心理与教育统计学的研究内容，可依不同的分类标志划分为不同的类别。
（一）依据统计方法的功能进行分类，统计学可分为下述三种类别，这是由于数理统计的发展历史所决定的，也是最常见的分类方法。
特征值估计和表示
则称A按列(弱)对角占优。
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二、特征值旳包括区域
1. 定义5.3 设A=(aij)Cn×n，称区域 Gi: |z-aii|Ri 为 矩阵A旳第i个盖尔圆，其中 Ri=ji|aij| 称为盖尔 圆Gi旳半径(i=l，…，n)。
向量系x1，…，xn称为按B原则正交化向量系。 2. 按B原则正交化向量系旳性质： • 性质1 xj0 (j=1, 2, …, n) (j=1，…，n)； • 性质2 x1，…， xn线性无关。
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§5.3 对称矩阵特征值旳极性
一、实对称矩阵旳Rayleigh商旳极性
Ax
|
x
Vk
,
||
x
||2
1}
k
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二、广义特征值旳极小极大原理
1. 定义 ：设A，B为n阶实对称矩阵，且B正定， xRn．称R(x)=(xTAx)/(xTBx)， x0为矩阵A相对 于矩阵B旳广义Rayleigh商． ．
2. 广义Rayleigh商能够只在椭球面SB={x|xRn, xTBx =1}上讨论。
j 1
|2
2
|
j
|
max
1i, jn
|
aij
|
n
2
n
|| B ||m
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4. 定理5.2：设ACn×n，则A旳任一特征值 满足 (1) ||||A||m (2) |Re()|0.5||A+AH||m (3) |Im()| 0.5||A－AH||m。
2020年心理统计与测量题库考题
1.离散数据，是指其数值只能用自然数或整数单位计算的数据。
例如：企业个数、职工人数、设备台数等，只能按计量单位数计数。
这种数据的数值一般用计数方法取得。
在统计学中，数据按变量值是否连续可分为连续数据与离散数据两种。
2.连续数据，统计学概念，又称连续变量。
指在一定区间内可以任意取值、数值是连续不断的、相邻两个数值可作无限分割（即可取无限个数值）的数据。
在统计学中,变量按变量值是否连续可分为连续变量与离散变量两种。
例如：生产零件的规格尺寸、人体测量的身高、体重、胸围等为连续数据，其数值只能用测量或计量的方法取得。
3. 推论统计，根据样本所提供的信息，运用概率的理论进行分析和论证，在一定可靠程度上，对总体分布特征进行估计和推测4. 全距是用来表示统计资料中的变异量数(measures of variation)，其最大值与最小值之间的差距；即最大值减最小值后所得之数据。
其适用于等距变量、比率变量，不适用于名义变量或次序变量。
全距也称为极差，是指总体各单位的两个极端标志值之差，即：R=最大标志值－最小标志值因此，全距（R）可反映总体标志值的差异范围。
举例例：有两个学习小组的统计学开始成绩分别为：第一组：60，70，80，90，100第二组：78，79，80，81，82很明显，两个小组的考试成绩平均分都是80分，但是哪一组的分数比较集中呢？如果用全距指标来衡量，则有：R甲=100－60=40（分）R乙=82－78=4（分）这说明第一组资料的标志变动度或离中趋势远大于第二组资料的标志变动度。
根据组距计算极差，是测定标志变动度的一种简单方法，但受极端值的影响，因而它往往不能充分反映社会经济现象的离散程度。
5. 组中值是上下限之间的中点数值，以代表各组标志值的一般水平。
组中值仅存在于组距数列分组数列中，单项式分组中不存在组中值。
例如，可以根据人口成长的生理和心理特点将人群分为婴幼儿组（0-6岁）、少年组(7-17岁)、中青年组（18-59）岁、老年组（60岁以上）等。
总体特征值的估计
总体特征值的估计总体特征值是指总体中的一些特征的数值。
例如，人口年龄分布中的平均年龄、产品的平均销售量等。
由于我们无法对整个总体进行测量，我们通常通过从总体中抽取样本来进行估计。
总体特征值的估计就是通过样本数据来推断总体特征值的方法。
最简单的总体特征值估计方法是使用样本均值进行估计。
样本均值是样本观察值的算术平均数。
我们可以假设样本均值近似于总体均值，并用样本均值来估计总体均值。
这是因为中心极限定理告诉我们，当样本大小足够大时，样本均值的抽样分布将接近正态分布，且以总体均值为中心。
这就允许我们使用样本均值来估计总体均值。
除了使用样本均值进行估计外，我们还可以使用样本中位数来估计总体中位数。
样本中位数是样本数据按照大小排列后处于中间位置的数值。
在总体分布不满足正态分布的情况下，样本中位数可能更适合作为估计总体中位数的方法。
此外，我们还可以使用样本百分位数来进行总体特征值的估计。
百分位数是指在有序的观察值中，一些特定百分比的观察值所对应的数值。
例如，第25百分位数是指将观察值按照大小排序后，处于第25%位置的数值。
通过计算样本的百分位数，我们可以对总体的分布进行描述，并推断总体特征值。
除了以上提到的方法，还存在其他一些方法可以用于总体特征值的估计。
例如，最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）和贝叶斯估计（Bayesian Estimation）等。
总体特征值的估计是统计学中一项重要的任务，它可以帮助我们对未知总体的一些特征进行推断。
然而，需要注意的是，估计的准确性取决于样本的大小和抽样方法的合理性。
当样本足够大且抽样方法得当时，我们可以更有效地估计总体特征值。
所以，在进行总体特征值的估计时，我们应该在理论和实践上都要进行合理的选择与判断。
总体特征数的估计
核密度估计基于核函数，通过加权平均的方式对数据进行平滑处理，以获得未知 密度函数的估计。常用的核函数包括高斯核、多项式核等。核密度估计具有稳健 性和适应性，能够处理复杂的数据分布。
最近邻估计
总结词
最近邻估计是一种非参数回归估计方法，通过找到与观测点 最近的训练点来估计未知的函数值。
详细描述
依据。
THANKS
感谢观看
通过估计总体特征数，可以预测未来的趋势。例如，通过分析过去几年的销售数据，可 以估计未来几年的销售趋势。
总体特征数估计的常见方法
点估计
用样本统计量直接作为总体特征 数的估计值，如用样本均值估计 总体均值。
区间估计
用样本统计量来估计一个区间， 该区间包含了真实的总体特征数。 例如，通过样本方差来估计总体 方差的一个置信区间。
详细描述
分位数估计基于分位数概念，通过找到与观测点相同分位数的训练点来估计未知的函数值。这种方法 能够处理各种分位数回归问题，尤其适用于数据分布不均匀的情况。分位数估计具有稳健性和适应性 ，能够处理异常值和离群点。
04
估计方法的比较与选择
估计方法的比较
样本大小
不同的估计方法对样本大小的要求不同，有些方法需要大样本才能获 得准确估计，而有些方法在小样本下也能有较好的表现。
机器学习模型评估
总结词
机器学习模型评估中，总体特征数的估计用于衡量模型的性能和预测能力。
详细描述
在机器学习中，模型的性能通常通过一些指标来评估，如准确率、召回率、F1分数等。 这些指标的计算需要基于总体特征数的估计。通过估计训练集和测试集中的正负样本数 量、混淆矩阵等数据，可以全面了解模型的性能和预测能力，为模型的优化和改进提供
特点
特征值的估计
返回
Bx x
n t 1
n n
t 1
bit xt xi
n
( i 1,2,, n)
b it x t x i
( i 1,2,, n)
n
s ,t 1 i 1
( bit b is ) x s x t xi x i
i 1
2 i xi i 1
则A相似于对角阵.
推论 4 设n阶实阵A的n个盖尔圆盘两两互不相交，
则A特征值全为实数.
返回
D diag( p1 , p2 , , pn ) pi 0
a11 p1 p a21 1 D AD 2 p1 a n1 pn p2 a12 p1 a22 pn a1n p1 pn a2 n p2 ann
j i
定理 1 (圆盘定理1) 设A C nn ,则A的任一特征值
i S S j ( i 1, 2, , n)
j 1
返回
n
T 证： Ax x ( x ( x1 , x2 , , xn ) 0)
n
| x | max(| x |, ,| x |) 0 a x x ( i 1, 2, , n ) k 1 n ij j i
n
1 H 1 H 令 B ( A A), C ( A A) 2 2 A, B, C的特征值分别为 {1 , 2 ,, n },
{1 , 2 ,, n }, {i 1 , i 2 ,, i n }, 且满足
返回
| 1 || 2 | | n |,
Ax i x (|| x ||2 1)
( x , Ax ) ( x , i x ) i ( x, x ) i
第五章 特征值估计及对称矩阵的极性-1
三,广义特征值分解算法
3. GEVD的总体最小二乘算法: 步一,对阵A进行SVD: A=U∑VH≈U1∑1V1H , 其中∑1是的主奇异值阵; 步 二 , 把 A-λB 左 乘 U1H 并 右 乘 V1 , 得 ∑ 1λU1HBV1 , 从 而 转 化 成 新 的 矩 阵 束 (∑1 , λU1HBV1)的GEVD问题. 该方法适合于有噪情况下的主特征对的计算. 参见张贤达的《矩阵分析与应用》的第8 参见张贤达的《矩阵分析与应用》的第8.8节.
Api=λipiR(pi)=λi.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
推论1:在S上p1和pn分别是R(x)的一个极小点和极 大点,即R(p1)=λ1,R(pn)=λn 推论2 若λ1=…=λk (1≤k≤n).则在||x||2=l上R(x)的所 有极小点为[p1,…,pk]β,||β||2=1. 定理:设x∈L(pr,…,ps) , 1≤r≤s≤n ,则有 ∈ ≤≤≤ minxR(x)=λr,maxxR(x)=λs Courant-Fischer定理:设实对称矩阵A的特征值按升 序排列,则A的第k个特征值λk=minVkmax{xTAx |x∈Vk, || x||2=1},其中Vk是Rn的任意—个k维子空间 ,1<k<n.
2.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
性 质 3 x∈L(x0)( x0≠0) 时 , R(x) 是 一 常 数. 性质4 R(x)的最大值和最小值存在,且能 够在单位球面S={x|x∈Rn,||x||2=1}上达到. 证: S 是闭集,在 S 上 R(x)=xTAx 连续,所 以必有 x1 , x2∈S ,使得 minx∈SR(x)=R(x1) , n maxx∈SR(x)=R(x2) ; 任 取 0≠y∈R , 令 y0=Ν(y) , 则 y0∈S , 根 据 性 质 3 , 有 R(y)=R(y0),从而R(x1)≤R(y)≤R(x2).
总体特征数的估计
总体特征数的估计
一般来说，总体特征数的估计可以分为两种情况：离散型总体和连续型总体。
对于离散型总体，可以采用频数估计法进行估计。
这种方法是通过从总体中随机抽取一个样本，统计样本中特征的个数，然后将这个统计结果与总体中的样本容量相乘，得到总体特征数的估计值。
例如，如果从总体中抽取了100个样本，且样本中特征的个数的平均值为5个，那么总体特征数的估计值就是100*5=500个。
对于连续型总体，可以采用面积估计法进行估计。
这种方法是通过从总体中随机抽取一个样本，统计样本中特征的平均值和标准差，然后根据正态分布的性质，将样本平均值加减几个标准差得到置信区间，将置信区间的面积与总体样本容量相乘，得到总体特征数的估计值。
例如，如果从总体中抽取了100个样本，样本中特征的平均值为50，标准差为10，选择95%的置信度，那么置信区间的宽度为2*1.96*10=39.2，总体特征数的估计值就是100*50±39.2=5060。
需要注意的是，总体特征数的估计只是一个预估值，其准确度受到样本容量和抽样方法的影响。
当样本容量越大、抽样方法越随机时，估计值越接近真实值。
另外，不同的估计方法也会有不同的精度和置信度，需要根据实际情况选择适合的方法。
求解特征值矩阵的技巧
求解特征值矩阵的技巧特征值矩阵是线性代数中重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用，如物理、工程、计算机科学等。
解特征值矩阵的问题是线性代数中一个经典且基础的问题，下面将介绍几种常用的求解特征值矩阵的技巧。
1. 特征值与特征向量的定义特征值矩阵是指满足 Ax = λx 的特征向量x和特征值λ的矩阵A。
其中，A是一个n×n的矩阵，x是一个n维非零向量，λ是一个标量。
2. 计算特征值的方法求解特征值的方法有很多种，常见的方法包括特征值分解法、幂法和QR分解法。
2.1 特征值分解法特征值分解是一种常用的求解特征值的方法。
对于一个n×n的矩阵A，可以将其分解为 A = PDP^(-1) 的形式，其中P是一个由特征向量组成的矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。
2.2 幂法幂法是一种迭代方法，用于求解特征值问题。
它通过不断迭代矩阵A乘以一个向量，并取结果向量的模长作为特征值的估计值。
具体步骤如下：- 选择一个n维随机向量x(0)。
- 标准化向量x(0)，即令x(0) = x(0)/||x(0)||，其中||x(0)||表示x(0)的模长。
- 迭代计算，直到收敛：1. 计算向量y(k) = Ax(k)。
2. 计算特征值的估计值λ(k) = (y(k))^T x(k)。
3. 标准化向量x(k+1) = y(k)/||y(k)||。
2.3 QR分解法QR分解是一种将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的方法。
它可以用于求解特征值问题。
具体步骤如下：- 对矩阵A进行QR分解，得到A = QR。
- 迭代计算：1. 计算矩阵A(k) = R(k)Q(k)，其中A(k)是矩阵A的第k次迭代结果。
2. 将矩阵A(k)分解为QR，得到A(k) = Q(k+1)R(k+1)。
3. 重复步骤1和2，直到满足收敛条件。
3. 求解特征向量的方法对于已知的特征值，可以通过一些方法求解对应的特征向量，如幂法、反幂法和QR分解法。
特征值的估计
⎫⎛⎪⎪⎭⎝=∑∑==ni in i ii r 1212λ)/2, λ1, λ2, , λn 为;,n ;,n前节是对特征值的模长实部和虚部进行估计本第二节圆盘定理前一节是对特征值的模长、实部和虚部进行估计，本节则是对特征值的位置分布进行估计定义：设A =(a ij )∈C n ⨯n , R i =|a i 1|+ +|a i ,i -1|+|a i ,i -1|+ +|a in | , (i =1,2, ,n ), 称复平面上的圆域G i ={z ∈C| |z -a ii |≤R i |} (i =1,2, ,n )为矩阵A 的第i 个Gerschgorin 圆盘，简称盖尔圆。
定理(圆盘定理1)：矩阵A ∈C n ⨯n 的n 个特征值λi (i =1,2, ,n )个盖尔圆的并集中即12n都在它的n 个盖尔圆的并集中，即λi ∈(i =1,2, ,n )。
证明：设λ为A 的任一特征值，0 ≠x =(x 1, , x j , , x n )∈C nkk G 1= 为A 的属于特征值λ的特征向量, 即Ax =λx .设0n≠0. 由于, 所以||max ||j j k x x =i j j ij x x a λ=∑=1=⇒=n nx x a x x a )/(λλ∑∑==j k j kj k j j kj 11从而knkj nk j kj kk R a x x a a =≤≤-∑∑|||/|||||λ即：λ∈G k ，从而，λ∈在n 个盖尔圆的并集之中。
kj j kj j ≠=≠=,1,1∙当a kk ：是实数时，G k ，关于实轴对称。
当A 为实矩阵时，A 的盖尔圆为圆心都在实轴上的圆的并集。
定义：设矩阵A 的盖尔圆中，相交在一起的盖尔圆构成的最大连通区域称为一个连通部分；规定孤立的盖尔圆也是个连通部分一个连通部分。
G 1G 2G G 34λ1G1 G2510λ2能否做到每个盖尔圆内只有一个特征值？设D =diag(d 1,d 2, , d n ), 其中d 1,d 2, , d n 皆为正数。
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）、
活动设计：
进入青春期，中学生的生理、心理都产生很大的变化，性意识也随之觉醒。
他们乐意与异性同学交往。
热心与异性同学一起参与学习、讨论、班级活动等。
男生在女生面前，往往表现出健壮、刚强、宽容大度；女生在男生面前，则表现出温柔、亲切、热情，这是正常的性心理的表现。
但我们有些同学不能正确认识性心理、性意识的产生，不能正确处理与异性同学之间的关系。
有的同学在异性同学面前过分夸张地说话、做事，以引起异性同学对自己的注意；有的同学不能很好地控制自己对异性同学的好感，陷入感情的旋涡；有的同学为自己性意识的产生感到困惑，甚至以为自己变坏了，因而忧心忡忡。
……
这些，严重影响了同学的身心健康，影响同学之间的交往，影响学习和工作。
而过去，学校对学生这方面的帮助教育远远不够，学生
只能从书本或其他渠道偷偷了解有关的知识。
因此，有必要让学生从公开的渠道了解有关性意识、性道德的知识，了解青春期的性意识的特点，学会与异性同学正常交往。
教学内容：一是让学生了解青春期性意识的特点；二是懂得如何与异性同学正常交往。
教学目标：
让学生了解性意识的产生是青少年成长过程中出现的正常现象，正确对待性意识，培养正确的性道德，与异性同学正常交往。
教学难点与重点：
因青春期学生特有的羞涩，学生大多不敢公开议论这个话题，所以要事先做好部分学生的工作，让学生有思想准备，并收集资料准备上课。
1、青春期性意识产生的特点。
2、与异性同学正常交往。
教学形式：老师讲课与学生讨论发言结合
教学准备：
1、学生：请三、四个同学事先找有关男女同学交往的典型事例，有关的语录、格言，并且每人准备2分钟的说话，或谈典型事例，或谈自己的体会。
2、老师：准备有关男女同学交往的正反两方面的典型事例，有关的语录三、四条。
教学过程：
(一)故事引入(2分钟)
有一位男生，上高中以后，感到自己产生了一些奇怪的变化。
他特别喜欢坐在他后面的一个女生，每天都忍不住想回头看她几眼，听到这位女生大声的说笑声，他心里就发颤；有一种异样的感觉。
他为自己产生这种念头感到羞耻，以为自己变坏了；又怕其他同学知道后取笑自己，于是就拼命压制自己的想法，不让自己回头。
实在忍不住，就用小刀在自己手腕上划。
可是手腕上虽伤痕累累，但仍然忍不住要回头。
为此他变得精神恍惚，最后不得不请教心理医生。
心理医生会告诉这位男生什么呢?这就是我们这节课要讲的主要
内容，与异性同学正常的交往。
板书：男女同学正常交往。
在讲这个问题之前，让我们先了解青春期意识，性心理产生的特点。
(二)老师讲述青春期性意识的几个特点(5分钟)
(板书)1、好奇性。