4-3 角动量 角动量守恒定律【普通物理学】

v0
v
u
A
h
14
质量 m'在 A 点和 B 点只受有心力作用 ,
角动量守恒
mv0 (R h) mvBR
vB (R h)v0 R 1 727 m s1
飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的 过程中，机械能守恒
1 2
mvA2
G
mMm Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
15
1 2
mv
2 A
mi
ri
2，合 )外M力di i矩(n J0)
dt
dt dt
18
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从
t1到 t2内，角速度从ω1变为 ω2，积分可得：
t2
t1
Mdt
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量
矩等于角动量的增量 ——定轴转动的角动
量定理.
0
0
得 L mR 3 2 (2g sin )1 2
L mR2
( 2g sin )1 2
R
10
*例2 一质量为 m 的登月飞船，在离 月球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船 采用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它 向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球 相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船 所喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s1 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
1
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动
p
mv
刚体定轴转动
0, p 0
L J
0, p 0
pi
p j
2
1 质点的角动量
速度 时对
质Ov 的量在位为空矢间m为运的动r质 ，，点质某以
点对参考点O的角动量
7
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在 圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 水平面上)，然后从 A 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度．
8
P
B vB
R
O
vA
v0
v
u
A
h
gM
G
mM R2
v0
( R2gM Rh
)1
2
1 633
m s1
13
飞船在A点以相对
速度 u 向外喷气的短
时间里 , 飞船的质量
减 获 使少 得 飞了 速 船度的m的速而增度为量变m为',vv并A, ,
其值为
vA (v02 v2 )1 2
B vB
R
O
vA
L
r
p
r
mv
zL
v
rm
xo
y
L
v
r
3
大 小L rmvsin
L 的方向符合右手法则
zL
v
rm
角动量单位：kg·m2·s-1
※质点以 作半径为 r
xo
L
v
y
r
的圆周运动，相对圆心
L mr 2 J
L
o
p
m r
2 质dp点 的角F动，量定dL理 ？
Lrp
dt dL
d
(r
解 小球受力 、 作用, FN 的力矩为 FN
零，重力矩垂直纸面向里
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcos dt
9
考虑到 d dt, L mRv mR 2
得LdL m2 gR3 cosθ dθ
由题设条件积分上式
L LdL m2 gR3
cos d
19
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0，则 L J =常量
如果物体所受的合外力矩等于零， 或者不受外力矩的作用，物体的角动量 保持不变 ——角动量守恒定律.
20
讨论
➢ 守恒条件 M 0
若 J 不变，不变； 若 J 变， 也变，但 L J 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中M in M exL 常量
和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动
的角动量
L
mi ri 2
i
(
miri2 )
i
L J
z
O ri
vi
mi
17
2 刚体定轴转动的角动量定理
质点mi受合M力i 矩dMdLti(i 包 括d(MdJtiex)、Mdditin()miri2)
对定轴转动的刚体
M Miex
d( J )
dL
M
d( dt
m 的质量 是多少?
11
已知
m 1.20 104 kg h 100 km R 1740km u 1.00 104 m s1 gM 1.62 m s2
B vB
R
O
vA
v0
v
u
A
h
12
解 设飞船在点
A
的速度
v0
,
月球质
量 mM ,由万有引力和
牛顿定律
G
(
mM R
m h)
2
m v02 Rh
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
21
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
➢花样滑冰 ➢跳水运动员跳水
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22
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
23
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可 绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面 内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只
质点角动量的增量——质点的角动量定理.
6
3
质点的角动量守恒定律
当 M 0，L 恒矢量
M
dL
dt
当质点所受对参考点Ｏ的合力矩为零 时，质点对该参考点Ｏ的角动量为一常矢
量——质点的角动量守恒定律. 一种是注合：力合F力 矩0M，另一0， 种可是能合有力两F种虽情不况为：
零，但合力通过参考点O，致使合力矩为零.
小虫以速率 v0 垂直落在距点O为 l/4 处，并背
离点O 向细杆的端点A 爬行．设小虫与细杆 的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速 度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
O
l/4
24
dt p)
r
dp
dr
p
dt dr
dt v，v
p
0
dt
dt
dt dL
r
dp
r
F
dt
dt
5
M
dL
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，
等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.
t2
Mdt
t1
冲量矩
L2
t2
M
dt
L1
对同一参考点Ot1 ，质点所受的冲量矩等于
G
mMm Rh
1 2
mvB2
G
mM m
2G
mM R
取月球质量 mM 7.35 10 22 kg 得 vA 1 636 m s1
于是 v (vA2 v02 )1 2 100 m s1
而 (m)u mv m mv u 120 kg
16
二 刚体定轴转动的角动量定理