变力做功的几个典型例题
动能定理在变力做功情况下的应用
在匀加速运动过程中加速度为
a=
F m
mg
120
810
m/s2=5
m/s2，
m
8
末速度
vt
P m
1 200
m/s=10
m/s
F 120
m
上升的时间
t1=
v t
10
s=2
s，
a5
上升高度为
h1=
v t
2
102
m=10 m
2a 2 5
在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为
vm=
P m
P m
1 200
类型四: 动 能定理在变 力做功情况 下的应用
例1.如图所示，AB为1/4圆弧轨道，半 径为R=0.8m，BC是水平轨道，长x=3m， BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量 m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的 阻力对物体做的功。
例 2.如图所示，质量为 m 的物体被细绳经过光滑小孔而牵引，
m/s=15
m/s
F mg 810
外力对物体做的总功 W=Pmt2－mgh2， h1+h2=90 m
动能变化量为 ΔEk= 1 mvm2－ 1 mvt2
2
2
由动能定理得 Pmt2－mgh2= 1 mvm2－ 1 mvt2
2
2
代入数据后解得 t2=5.75 s，所以 t=t1+t2=7.75 s
所需时间至少为 7.75 s.
A R
D R
在光滑的水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值 F 时转动
半径为 R，当外力逐渐增大到 6F 时，物体仍做匀速圆周运动，
半径为 R/2.则外力对物体所做的功为（ ）
变力做功问题-高一物理举一反三系列(人教版2019必修第二册)(解析版)
变力做功问题【人教版】【题型1 微元法】 ....................................................................................................................................................... 【题型2 功能关系法】 ............................................................................................................................................... 【题型3 图像法】 ....................................................................................................................................................... 【题型4 等效替代法】 ............................................................................................................................................... 【题型5 P -t 法】 ......................................................................................................................................................... 【题型6 联系实际】 ................................................................................................................................................... 【题型7 变化的摩擦力做功问题】 ........................................................................................................................... 【题型8 涉及弹簧的变力做功问题】 .......................................................................................................................【题型1 微元法】【例1】在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R2和R 的两个半圆构成。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。
方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。
解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。
此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。
理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。
方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。
例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
专题变力做功问题
图象法
适用各种变力做功
假如我们已知F-S图象或根据题意能够作出F-S
图象（用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表
示物体在力的方向上的位移S ），我们就可以利用
“面积法”来求此变力做的功，因此F-S图象也叫示
功图
例４、静置于光滑水平面上坐标原点处的小物
块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动
（如图2甲所示），拉力F随物块所在位置坐
F 2R
平均力法
适用力的方向不变
如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律 变化时，即力满足Ｆ＝ｋｓ＋ｂ的形式时，我们可用 平均力替代这个变力而恒力做功的公式计算。
例３、一辆汽车质量为 1105 kg，从静止开始
运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大 小与车前进的距离是线性关系且， 其中 是车所受阻力，当该车前进100m时， 求牵引力对汽车做了多少功？
由于力的大小不变而方向时刻改变，我们可以将
圆弧无限分割成n小段分别为 S1、S２、Sn，
在每一小段位移中力F可以看作恒力，而弧长也可以 看作直线长，因此，力F在整个过程中做的功等于力F 在各小段位移过程中做功的代数和，故有：
W F S1 F S2 F Sn F (S1 S2 Sn )
标x的变化关系（如图乙所示），图线为半
圆．则小物块运动到x0的过程中拉力F做的功
为（
）
例题分析
F
O
x0
x
F
图2－甲
Fm
O
A0
C 4 Fm x0
图2乙
x0
x
B
1 2
Fm
x0
D
4
x0 2
答案：C
例５、长度为 l ，质量为m的均匀绳，一段置于水
1-1变力做功
变力做功一、微元求和法变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和，化曲为直的思想在物理学研究中有很重要的应用，研究平抛运动和单摆的运动时，都用到了这种思想。
1. 如图所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。
答案：W=F2πR解析：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π2. 如图所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F ，与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r ，磨盘绕轴缓慢转动．则在转动一周的过程中推力F 做的功为( )A ．0B ．2πrFC ．2FrD ．－2πrF 答案：B解析：磨盘转动一周，力的作用点的位移为03. 【典型例题】将放在地上的木板绕其一端沿地面转动角α，求摩擦力所做的功.已知木板长度为L ，质量为M ，木板与地面间的摩擦因数为μ. 答案：αμMgL 214. 在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，由半径分别为和R 的两个半圆构成．如图所示，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点拉至B 点，若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )A ．零B ．FRC ．3πFR /2D ．2πFR 答案：C解析：本题中小球受的拉力F 在整个过程中大小不变、方向时刻变化，是变力．但是，如果把圆周分成无数微小的段，每一小段可近似看成直线，拉力F 在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后将各段累加起来．设每一小段的长度分别为l1、l2、l3…ln，拉力在每一段上做的功W1＝Fl1，W2＝Fl2…Wn＝Fln ，拉力在整个过程中所做的功W ＝W1＋W2＋…＋Wn ＝F(l1＋l2＋…＋ln)＝F(π•R2＋πR)＝32πFR.5. 如图所示，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O 点，另一端系一小球．给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上做圆周运动．在此过程中( ) A ．斜面对小球的支持力做功 B ．重力对小球不做功C ．绳的张力对小球不做功D ．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少量 答案：C解析：斜面的支持力、绳的张力总是与小球的运动方向垂直，故不做功，A 错，C 对；摩擦力总与速度方向相反，做负功；小球在重力方向上有位移，因而做功，B 错；小球动能的变化量等于合外力做的功，即重力与摩擦力做功的和，D 错6. [多选](2018·安庆模拟)如图所示，摆球质量为m ，悬线长度为L ，把悬线拉到水平位置后放手。
变力做功问题的求法集锦
变力的功求法集锦第一.平均力法1.基本依据：如果一个过程，若F 是位移l 的线性函数时，即F=k l +b 时，可以用F 的平均值 =F (F 1 +F 2)/2来代替F 的作用效果来计算。
2.基本方法：先判断変力F 与位移l 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F ，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由αcos l F W =求其功。
【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。
在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等） 解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。
， 可用平均阻力来代替。
如图所示，第一次击入深度为，平均阻力为， 做功为：第二次击入深度为到，平均阻力为：位移为做功为：两次做功相等：解后有：练习1：要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力 与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。
问此钉子全部进入木板需要打击几次？分析：钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F k l k l =+=022钉子克服阻力做的功为：W F l k l F ==122设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：E n E k l 总==0212所以n k l E =202【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上。
弹簧劲度系数为k ，开始时处于自然长度。
现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x ，求拉力对木块做了多少功？解析：可用平均力 kx F 1=求功，故21kx x F W =⋅=。
思考：1.若是恒力F 向右拉动木块，拉力的功是否仍为上述的解？2.若是物块轻轻放置于如右图所示的竖直轻弹簧上并最终静止在平衡位置。
弹簧压缩了x ，则重力做的功是否完全转化成了弹簧的弹性势能（mgx=1/2kx 2）？【例3】如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h ，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h ，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。
(完整)求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法.一. 动能定理法例1. 一质量为m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点,如图1所示，此时悬线与竖直方向夹角为θ,则拉力F 所做的功为：（ ）A ：θcos mgLB ：)cos 1(θ-mgL C.：θsi n FL D:θcos FL分析：在这一过程中,小球受到重力、拉力F 、和绳的弹力作用，只有重力和拉力做功,由于从平衡位置P 点很缓慢地移到Q 点.，小球的动能的增量为零。
那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。
解：由动能定理可知：0=-G F W W )cos 1(θ-==mgL W W G F故B 答案正确。
小结:如果所研究的物体同时受几个力的作用,而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时,利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。
二。
微元求和法例2. 如图2所示，某人用力F 转动半径为R 的转盘，力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致,则转动转盘一周该力做多少功。
解：在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向(切线方向)，即F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆∆∆s s s 123、、……∆s n 都与当时的F 方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：W F s F s F s F s F s s s s F Rn n =++++=++++=()()∆∆∆∆∆∆∆∆1231232……·π小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时,可化曲为直，把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W Fs =cos θ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
(完整版)五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
变力做功学案
变力做功学案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--变力做功的计算【例题1】如图所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为（ ）A 、 0JB 、20πJC 、10JD 、20J 【练习1】如图所示，半径为R ，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为f ，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。
【例题2】一辆汽车质量为105kg ，从静止开始运动，其阻力为车重的倍。
其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f 0，f 0是车所受的阻力。
当车前进100m 时，牵引力做的功是多少？【练习2】边长为a 的立方木块浮于水面，平衡时有一半露在水面。
现用力向下压木块使之缓慢地下降，直到立方块上表面与水面齐平，水的密度为ρ。
求：R OF 【方法归纳】 【方法归纳】（1）从开始压木块到木块刚好完全没入水中的过程中，压力F与下降的位移x 的关系式？（2）在这一过程中压力做的功（3）如果水深为H，则从开始压木块到刚好把木块压到池底的过程中，力F对木块做的功。
【例题3】（2015海南高考）如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高。
质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g，质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为多少？【练习3】如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置，用水平拉力F缓慢地将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。
在此过程中，拉力F做的功是多少？F Lmθ【方法归纳】【巩固练习】1、如图所示，一质量为2m kg =的物体从半径为5R m =的圆弧的A 端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B 端（圆弧AB 在竖直平面内）。
高三物理变力做功试题
高三物理变力做功试题1.如图所示，轻弹簧上端通过一轻绳固定，下端拴一小球，小球与光滑的三角形斜面接触，弹簧处于竖直状态。
现用力F竖直向上推斜面，使斜面缓慢向上运动直至弹簧与斜面平行，则在此过程中，以下说法正确的是A．小球对斜面的压力一直增大B．弹簧对小球不做功C．斜面对小球做正功D．推力F做的功等于斜面与小球机械能的增加【答案】AC【解析】在用力F推动斜面上升时，刚开始斜面对小球的作用力为零，弹簧变为水平后，小球对斜面有一定的压力，故小球对斜面的压力一直增大，A正确；在使小球上升时，小球会沿斜面向下滑动，同时弹簧的弹力减小，小球在弹簧的作用下又会略上升，故弹簧对小球会做功，B错误；小球在斜面作用力的作用下向上移动了一段距离，故斜面对小球做了功，C正确；在整个过程中，推力F与弹簧对小球做的功等于斜面与小球机械能的增加，故D错误。
【考点】受力分析，功的概念，能量守恒。
2.运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，在这两个过程中，下列分析正确的是A．阻力对运动员始终做负功B．阻力对运动员先做正功后做负功C．运动员受到的合外力始终做负功D．重力做功使运动员的重力势能增加【答案】A【解析】运动员跳伞下降，重力向下、阻力向上，不管运动员的运动状态如何，始终都是重力做正功而阻力做负功，所以A选项正确B选项错误；加速下降阶段合力向下，合力做正功，减速下降阶段合力向上，合力做负功，C选项错误；重力做正功，运动员的重力势能减少，D选项错误。
【考点】本题考查做功与功能关系。
3.电动机带动滚轮匀速转动,在滚轮的作用下,将金属杆从最底端A送往倾角θ=30°的足够长斜面上部．滚轮中心B与斜面底部A的距离为L=6.5m，当金属杆的下端运动到B处时，滚轮提起，与杆脱离接触．杆由于自身重力作用最终会返回斜面底部，与挡板相撞后，立即静止不动．此时滚轮再次压紧杆，又将金属杆从最底端送往斜面上部，如此周而复始．已知滚轮边缘线速度恒为v=4m/s，滚轮对杆的正压力FN=2×104N，滚轮与杆间的动摩擦因数为μ=0.35，杆的质量为m=1×103Kg，不计杆与斜面间的摩擦，取g=10m/s2。
变力做功问题汇总
变力做功问题汇总
一、平均值法
1、用铁锤将一枚铁钉钉入木块中，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，在铁锤钉第一次时，能把铁钉钉入木块内的深度为1cm，问钉第二次时，能钉入的深度为多少？（设铁锤每次做功相等）
二、图象法
2、如图所示，一个劲度系数为的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x1过程中拉力所做的功。
如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x1增大到x2的过程中，拉力又做了多少功？
三、微元法
3、如图所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。
假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？
四、对象转换法
4、如图3所示，某人用跨过定滑轮的绳子以大小不变的力F拉着放在水平面的滑块，沿水平地面由A点前进距离l至B点，滑块在初、未位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β，已知小定滑轮至滑块的高度为H。
求滑块由A点运动到B点过程中，绳子的拉力对滑块所做
的功。
五、运用求解
5、质量为m=4.0×103kg的汽车，以恒定的功率从静止开始起动，经过4min速度达到最大值20m/s，假设汽车在这一过程中受到的阻力恒定，且f=2.0×103N，试求这一过程中汽车所做的功。
六、动能定理法
6、如图3所示，质量为的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的倍，它与转轴相距R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块开始在转台上滑动，在物块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为多少？。
求变力做功的十种方法
变力做功的十种方法河南省信阳高级中学 陈庆威功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式θcos FS W =直接求解，但变力做功就不能直接用公式了，这里总结了一些求变力做功的方法，希望能对读者有帮助。
一. 动能定理法例1. 如图所示，质量为m 的物体从A 点沿半径为R 的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B 点时的速度变为，求物体从A 运动到B 的过程中，摩擦力所做的功是多少？【解析】物体由A 滑到B 的过程中，受重力G 、弹力和摩擦力三个力的作用，因而有，即，式中为动摩擦因数，v 为物体在某点的速度，为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。
分析上式可知，物体由A 运动到B 的过程中，摩擦力是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A 运动到B 的过程中，弹力不做功；重力在物体由A 运动到C 的过程中对物体所做的正功与物体从C 运动到B 的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。
因此，物体所受的三个力中摩擦力在物体由A 运动到B 的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：即 可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。
【点评】利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。
这也是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。
二. 微元法对于变力做功，不能直接用θcos FS W =进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用θcos FS W =求出每一小段内力F 所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，具有普遍的适用性。
例2. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
最新变力做功的几种解(用)
F 5 14 0 (1 0 13 0 0 5 14)0 N 1 15N 0 2
二. 转变研究对象法
▪ 例2. 如图所示，质量为m的滑块可以在光 滑水平面上滑动，滑块与一不可伸长的轻 绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大 小不计），另一端被人拉着，人的拉力大 小、方向均不变，大小为，已知滑轮到水 平面的高度为，AB的长度，求滑块从A被 拉到B的过程中，外力对它所做的功。
练习：人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量 m=50 kg的物体，如图。开始绳与水平方向夹 角为60°,当人匀速提起重物由A点沿水平方 向运动l=2 m而到达B点时，绳与水平方向成 30°角，g取10 m/s2。求人对绳的拉力做了 多少功？
∴W＝ S＝1×105×100J＝1×107J。
应用此法,要求变力与位移间须呈一次函数关系.
四. 图象法
▪ 例4. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对 铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正
比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木 ห้องสมุดไป่ตู้内1cm，问击第二次时，能击入多深？ （设铁锤每次做功都相等）
▪ 练习:如图所示,图线表示作用在做直线运动 的物体上的合外力与物体运动位移的对应 关系,物体开始时处于静止状态,则当物体在 外力的作用下,运动30m的过程中,合外力对 物体做的功为 200 J.
▪ 最大值和最小值。
▪ （2）此过程中力F所做的功。
练习：两个底面积都是S的圆筒,放在同 一水平面上,桶内装水,水面高度分别为 h1和h2,如图所示,已知水的密度为ρ.现把 连接两桶的阀门打开,最后两桶水面高度 相等,则这过程中重力所做的功等于 .
变力做功专题 (2)
例1：如图所示为，质量为m 的小球用细线经过光滑小孔牵引，在光滑的水平面做匀速圆周运动，当拉力为F 时转动半径为R ，当拉力逐渐增大到6F 时，物体仍做匀速圆周运动，此时对应的半径为R/2，则此过程中拉力对物体所做的功是多少？1.用动能定理求：若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
即22211122k W E m m υυ=∆=-习题：（1） 如图所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 0沿水平射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v 运动.已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L ，子弹进入木块的深度为s .若木块对子弹的阻力F f 视为恒定，则下列关系式中正确的是（ ）A ．F f L=M v 2/2B ．F f s=m v 2/2C ．F f s=m v 02/2－（M ＋m ）v 2/2D ．F f （L ＋s ）=m v 02/2－m v 2/2例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min 在水平路面上行使了s=2.25km ，速度达到最大值v=54km/h 。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
（阻力f=25000N 。
） 2.用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt 来求解变力的功。
练习2：质量为5t 的汽车以恒定的输出功率75kW 在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s 内速度达到10m/s ，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。
练习2：质量为5000Kg 的汽车，在平直公路上以60kW 的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m/s 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间。
例题3：轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m 的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k ，开始时弹簧处于自然状态。
初中物理变力做功问题
初中物理变力做功问题
功的计算公式：W=F ，其中W是功，单位是焦耳;F是作用在物体上的力，单位是牛顿;是物体在力的方向上移动的距离，单位是米。
力对物体做功的两个因素：一是有力作用在物体上，二是物体在力的方向上移动了距离。
例题：为了将放置在水平地面上、重G=100 N的重物提升到高处。
小明同学设计了图2甲所示的滑轮组装置。
当小明用图2乙所示随时间变化的竖直向下拉力F拉绳时，重物的速度v和上升的高度h随时间t变化的关系图像分别如图2丙和丁所示。
不计摩擦，绳对滑轮的拉力方向均可看成在竖直方向。
求：
1在1～2内，拉力F做的功W。
2在2～3内，滑轮组的机械效率η。
解析：本题是变力做功的问题，应注意各时间段力与功的对应。
1由图2乙可知1～2内，拉力F2=50N;由图2丁可知1～2内，重物上升的高度h2=；由图2甲可知，有3股绳子承担动滑轮，所以滑轮组绳子自由端移动的距离是重物上升高度的3倍。
1～2内，拉力做的功W=F2×3h2=50N×3×= 。
2由图乙可知2～3内拉力F3=40N;由图2丁可知2～3内，重物上升的高度h3==;2～3内，拉力做的有用功w有=Gh3=100N ×=250J，总功w有=F3×3h3=40N×3×=300J。
在2～3内，滑轮组的机械效率η= ×100%= 833%。
变力做功专题 (2)
例1：如图所示为，质量为m 的小球用细线经过光滑小孔牵引，在光滑的水平面做匀速圆周运动，当拉力为F 时转动半径为R ，当拉力逐渐增大到6F 时，物体仍做匀速圆周运动，此时对应的半径为R/2，则此过程中拉力对物体所做的功是多少？1.用动能定理求：若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
即22211122k W E m m υυ=∆=-习题：（1） 如图所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 0沿水平射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v 运动.已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L ，子弹进入木块的深度为s .若木块对子弹的阻力F f 视为恒定，则下列关系式中正确的是（ ）A ．F f L=M v 2/2B ．F f s=m v 2/2C ．F f s=m v 02/2－（M ＋m ）v 2/2D ．F f （L ＋s ）=m v 02/2－m v 2/2例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min 在水平路面上行使了s=2.25km ，速度达到最大值v=54km/h 。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
（阻力f=25000N 。
） 2.用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt 来求解变力的功。
练习2：质量为5t 的汽车以恒定的输出功率75kW 在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s 内速度达到10m/s ，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。
练习2：质量为5000Kg 的汽车，在平直公路上以60kW 的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m/s 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间。
例题3：轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m 的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k ，开始时弹簧处于自然状态。
求变力做功的方法总结
考点、求变力做功的几种方法1、将变力转化为恒力做功在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用求解。
例1、如图1所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。
开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。
已知图中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力F T对物体所做的功。
分析：拉力F T在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。
由题意可知，人对绳做的功等于拉力F T对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。
由可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移为：所以绳对物体做功：[变式训练]1、如图7所示，质量为m的滑块可以在光滑水平面上滑动，滑块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大小不计），另一端被人拉着，人的拉力大小、方向均不变，大小为，已知滑轮到水平面的高度为，AB的长度，求滑块从A被拉到B的过程中，外力对它所做的功。
分析与解：在本题中，只有绳子拉力对滑块做功，该拉力大小虽然不变，但方向时刻改变（与水平方向的夹角逐渐增大），故属于变力做功，不能直接求解。
但如果将研究对象由滑块转变为绳的另一端，因为人的拉力为恒力，所以是恒力做功，显然这个恒力做功与绳子对滑块拉力做功是相等的，故可以用人对绳子做的功代换绳子拉力对滑块的功。
则有。
由几何关系可求得s，联立即得。
小结：把变力做功巧妙转化为恒力做功也是一种很有效的求解方法。
2、微元求和法例2、如图所示，某人用力F转动半径为R的转盘，力F的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。
分析与解：在转动转盘一周过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F在每瞬时与转盘转过的极小位移……都与当时的F方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和，化曲为直的思想在物理学研究中有很重要的应用，研究平抛运动和单摆的运动时，都用到了这种思想。
变力做功
功和能
1、某质点受到F=6x2的力的作用，从x=0处移到x=2.0 m处，试求力F做了多少功？
2、半径等于r的半球形水池，其中充满了水，把池内的水完全吸尽，至少要做多少功？
3、如图所示,一质量分布均匀的粗绳长2a，质量为2m，两端悬于水平天花板上相距为a的两点而悬垂静止，其重心位于天花板下方距天花板距离为b的B处.现施一力于绳之最低点C并将绳拉直至D点，
求拉力所做的功．4、一质点在光滑的固定半球面上距球心高度为H的任意点P，在重力作用下由静止开始往下滑，从Q点离开球面，求PQ两点的高度差h．
5、一个质量为m的机动小车，以恒定速度V在半径为R的竖直圆轨道绕“死圈”运动。
已知摩擦因数为µ，问在小车从最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做了多少功？
答案：1、W=16J 2、W=1
4
ρgπr33、∆E p=2mg b−3
4
a4、h=H
3
5、W=µπmV2。
几种典型变力做功的计算
几种典型变力做功的计算孙百强我们在很多情况下会碰到变力做功的问题，此类问题无法直接用功的计算式αcos FL W =进行计算，对于一些特殊的变力问题，虽然无法直接利用该计算式进行计算，但从该计算式出发，我们可以间接应用，也可以起到很好的解题效果。
一．当力的大小不变，而力的方向始终与运动方向相同或相反时，这类变力的功等于力和路程的乘积，如：滑动摩擦力、空气阻力做功等等。
例题1、如图1所示，某个力F 作用在半径为R 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向保持任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周，这个力F 做的功为（ ） （A ）0 （B ）2πRF （C ）2RF （D ）无法确定解析：对于这个题目，如果不仔细分析，容易得出错误的答案A 选项，以为物体转动一周，位移为零，所以F 做功为零。
其实F 的方向不断变化，为变力。
所以本题属于变力做功问题，正确答案应为B 选项。
二．当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算，如：弹簧弹力做功。
例题2、用锤击钉，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板深度成正比，每次击锤时，锤子对钉子做的功相同，已知第一次时，钉子进入板内的深度为d ，则第二次又将进入木板多少深度？解析：如图2所示，这是一个变力做功问题，由于该变力随进入深度增加而增加，且成正比关系，可用一段过程中的平均作用力乘以进入的深度来求功。
设木板对钉子的阻力kx F f =，其中x 为进入深度，k 为比例常数，并设第一次进入到深度1x 处，而第二次进入到深度2x 处。
则 第一次木板对钉子的平均阻力为220111kx kx F f =+=，第一次锤子对钉子做的功为2111121kx x F W f ==； 第二次木板对钉子的平均阻力为2212kx kx F f +=，第二次锤子对钉子做的功为)(2)(12211222x x kx kx x x F W f -+=-=， 根据两次锤子对钉子做的功相同，可得21W W =（图中面积相等），由此可得122x x =，所以，击打第二次时，钉子又进入木板的深度为d x x x )12(12-=-=∆图1F F 图2例题3、如图3所示，面积很大的水池，水深为H 水面浮着一正方体木块，木块边长为a ，密度为水的21，质量为m ，开始时，木块静止，现用力F 将木块缓慢往下压，求从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F 所做的功。
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变力做功的几个典型例题
河南省信阳高级中学陈庆威2016.11.04
变力做功的问题，一直是高中物理中学生最头痛的问题之一，它有没有规律可循呢？相信，通过以下几个例题的学习，你一定能打开思维，豁然开朗。
一、力随位移均匀变化的情况
典例1．如图所示，质量分布均匀的长方体木板放置在水平面上，M、N 分别是木板的左、右两个端点，水平面的A、C 之间粗糙，与木板的动摩擦因数处处相等，水平面其余部分光滑，AC 的距离等于木板的长度，B 为AC 的中点．某时刻开始木板具有水平向右的初速度v 0，当M 端运动到C 点时速度刚好为0，则（）
A．木板N 端运动到B 点时速度为
B．木板N 端运动到C 点时速度为v 0
C．木板N 端从A 到B 摩擦力做的功等于木板N 端从B 到C 摩擦力做的功
D．木板N 端从A 到C 摩擦力做的功等于木板M 端从A 到C 摩擦力做的功
【考点】动能定理的应用；功的计算．
【分析】将木板分为n 等分（n 足够大），故从开始到M 端运动到C 点过程，每个部分克服摩擦力做功均为，然后对全程和各个分过程运用动能定理列式分析即可．
【解析】：将木板分为n 等分（n 足够大），每个部分的质量为
n m ；从开始到M 端运动到C 点过程，每个部分克服摩擦力做功均为
，
根据动能定理，有：
n（﹣）=0﹣①A、从开始到木板N 端运动到B 点过程，有：
（﹣）×=﹣②
联立①②解得：
v 1=v
故A错误；
B、从开始到木板N端运动到C点过程，有：
n（﹣）×=0﹣③
联立①③解得：
v
2
=
故B正确；
C、木板N端从A到B过程摩擦力做功：W
1
=（﹣）×=﹣
木板N端从B到C过程摩擦力做功：W
2
=n（﹣）×﹣（﹣）=﹣
故C错误；
D、木板N端从A到C摩擦力做的功：W
3
=n（﹣）×=﹣
木板M端从A到C摩擦力做的功：W
4
=n（﹣）×=﹣
故D正确；
故选：BD．
【点评】本题关键是采用微元法并结合动能定理列式分析，较难．
因为摩擦力是随位移均匀增加的，所以该题还可以用平均值法和F-x图像来解。
典例2．如图所示，倾角为θ的斜面与足够大的光滑水平面在D处平滑连接，斜面上有A、B、C三点，AB间距为2L，BC、CD间距为4L，斜面上BC部分粗糙，其余部分光滑，4块完全相同、质量均匀分布的长方形薄片，紧挨在一起排在斜面上，从下往上编号依次为1、2、3、4，第1块的下边缘恰好在A处．现将4块薄片一起由静止释放，薄片经过D处时无能量损失且相互之间无碰撞．已知每块薄片的质量为m、长为L，薄片与斜面BC间的动摩擦因数为tanθ，重力加速度为g．求：
（1）第1块薄片下边缘刚运动到B时的速度大小v
1
；
（2）第1块薄片刚好完全滑上粗糙面时的加速度大小a和此时第3、4块间的作用力大小F；（3）4块薄片全部滑上水平面后，相邻滑片间的距离d．
【解析】：（1）研究4块薄片整体，根据机械能守恒定律有
21)4(21sin 24v m L mg =
⋅θ（3分）解得θ
sin 21gL v =（2分）（2）根据牛顿第二定律有ma mg mg 4cos sin 4=-θμθ（2分）解得θsin 43g a =（1分）
研究第4块薄片，根据牛顿第二定律有
ma
F mg =-θsin （1分）解得θsin 4
1mg F =（1分）（3）设4块滑片刚好全部滑上粗糙面时的速度为v 2，研究整体下端由A 到C 的过程，根据动能定理有
22)4(2142cos 4sin 64v m L mg L mg =⋅-⋅θμθ（2分）
设每块滑片滑到水平面时的速度为v 3，对每块滑片运用动能定理有
22
329sin cos 112222
L mg mg L mv mv θμθ⋅-=-（1分）相邻滑片到达水平面的时间差2v L
t =（1分）
由于3d v t
=（1分）
解得L d 2=（1分）
二、力随速度变化的情况
典例3．如图，在竖直平面内，滑道ABC 关于B 点对称，且A、B、C 三点在同一水平线上。
若小滑块第一次由A 滑到C，所用的时间为t 1，第二次由C 滑到A，所用时间为t 2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则
()
A．t 1＜t 2B．t 1=t 2C．t 1＞t 2D．无法比较t 1、t 2的大小
【解析】：在AB 段，根据牛顿第二定律r
v m F mg N 2
=-，速度越大，滑块受支持力越小，摩擦力就越小，在BC 段，根据牛顿第二定律r
v m F mg N 2
=-，速度越大，滑块受支持力越大，摩擦力就越大，由题意知从A 运动到C 相比从C 到A ，在AB 段速度较大，在BC 段速度较小，所以从A 到C 运动过程受摩擦力较小，用时短，故A 选项正确。
典例4．如图所示，一个小球（视为质点）从H=12m 高处由静止开始通过光滑弧形轨道ab 进入半径R=4m 的竖直圆环，圆环轨道部分的动摩擦因数处处相等，当小球到达顶c 时对轨道的压力刚好为零；沿ab 滑下后进入光滑弧形轨道bd，且到达高度为h 的d 点时速度为零，则h 值可能为（g 取10m/s 2）（
）A．9m B．8m C．10m D．7m ，解得：，所以有：
开始小球从H="12m"高处，由静止开始通过光滑弧形轨道ab，因此在小球上升到顶点时，
根据动能定理得：，之后小球沿轨道下滑，由于机械能有损失，所以下滑速度比上升速度小，因此对轨道压力变小，所受摩擦力变小，所以下滑时，摩
擦力做功大小小于W
f ，所以全过程摩擦力做功大于W
f
，小于2W
f
，对全过程，用动能定理：
所以高度范围为8m＜h＜10m，故选A。