2018届五校联考-数学试卷
18届高三下学期五校联盟考试数学(理)试题(附答案)
五校联盟2017－2018学年度第二学期高三联考数 学 试 卷（理科）命题人：五校联盟数学学科命题组 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合}2{2x x y x A -==，}023{2<-+=x x x B .R 表示实数集，则下列结论正确的是（ ）A. B A ⊆B. A C B R ⊆C. B C A R ⊆D. A B C R ⊆2．复数z 满足(1)()i Z i i +=为虚数单位，则在复平面上，复数z 对应的点在（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知0152573=+-+a a a ，则9S =（ ）A. 35B. 36C. 45D. 544. 小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是 A ．34 B ．23 C ．12 D ．135. 设0.50.433434(),(),log (log 4),43a b c ===则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a << 6、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ） A. 90 B. 72 C. 68 D.607.执行如图所示的程序框图，若输入5,4,1n A x ===-，则输出的A 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 38. 把函数()2sin cos f x x x x =的图象向左平ϕ（0ϕ>）个单位，得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.3π B. 4π C. 6π D. 12π9.已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，定点A .若射线FA 与抛物线C 相交于点M（点M 在F 、A 中间），与抛物线C 的准线交于点N ，则FMMN=uuu ruuu r ( )A ．14 B ．13 C ．12 D ．2310. 已知ABC ∆中， 2A π∠=， 1AB AC ==，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，则BQ CP ⋅u u u v u u v的最小值为（ ） A. 4- B. 2- C. 1- D. 011. 函数()1log ,0,12xa f x x a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝⎭.若该函数的两个零点为12,x x ，则（ ）A. 121x x >B. 121x x =C. 121x x <D. 无法判定12. 已知正ABC V 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是（ ） A.74π B. 2π C. 94π D. 3π 第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上) 13.在代数式721()x x-的展开式中，一次项的系数是______（用数字作答） 14.设实数,x y 满足2020240x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =+的最小值为 .15.已知椭圆2222111x y a b += 11(0)a b >>与双曲线2222221x y a b -= 22(0,0)a b >> 有公共的左、右焦点12,F F ,它们在第一象限交于点P ,其离心率分别为12,e e ,以12,F F 为直径的圆恰好过点P ,则221211e e += . 16. 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：222213,3135,41357,=+=++=+++⋅⋅⋅； 333235,37911,413151719=+=++=+++L根据上述分解规律，若2313511,m p =+++⋅⋅⋅+的分解中最小的正整数是43，则m p +=________.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本题满分12分）已知函数()f x2)cos()cos ()2x x x πππ+⋅-++．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()f A =32，a=2，b+c=4， 求b ，c ． 18．（本题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，1===CB DC AD ，60ABC ∠=，四边形ACFE 是矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证:BC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）当二面角D BF C --的平面角的余弦值为36,求这个六面体ABCDEF 的体积.19.（本题满分12分）在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？（2）若从年龄在[55，65），[65，75）的别调查的人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． 参考数据：参考公式：K 2=()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-，其中n=a+b+c+d ．20．（本题满分12分）如图,椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、,椭圆C 上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为21.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点2F 的直线l 交椭圆C 于B A 、两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PA PB ⋅uu r uu r为定值？证明你的结论. 21．（本题满分12分） 已知函数()x ae x x f -+=ln 1（Ⅰ）若曲线()x f y =在1=x 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； （Ⅱ）若对任意()+∞∈,0x ，不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫⎝⎛-πθρ． （1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值． 23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）求不等式2)(≥x f 的解集;（Ⅱ）若对于任意R x ∈,不等式t t x f 211)(2->恒成立,求实数t 的取值范围.五校联盟2017－2018学年度第二学期高三联考数学参考答案（理科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）12、解：设正的中心为，连结是正的中心，A、B、C三点都在球面上，平面球的半径，球心O到平面ABC的距离为1，得，中，．又为AB的中点，是等边三角形，．过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径，可得截面面积为．故选C．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)13.答案：21.14. 答案：4.15. 答案：2.16.答案：13.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17、【解析】(1)∵()f x π+x)·cos(π−x)+cos 2(2π+x)，∴()f x −sin x)·(−cos x)+(−sin x)2=sin 2x+1cos 22x -=sin(2x −6π)+12．（3分）由2k π−2π≤2x −6π≤2k π+2π，k ∈Z ， 得k π−6π≤x ≤k π+3π，k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间是[k π−6π，k π+3π]，k ∈Z ．（6分）(2)由()f A =32得，sin(2A −6π)+12=32，∴sin(2A −6π)=1，∵0<A<π，∴0<2A<2π，−6π<2A −6π<116π，∴2A −6π=2π，∴A=3π，（8分）∵a=2，b+c=4 ①， 根据余弦定理得，4=2b +2c −2bccos A=2b +2c −bc=(b+c)2−3bc=16−3bc ， ∴bc=4 ②，联立①②得，b=c=2．（12分）18.【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中,∵CD AB //,CB AD =, ∴=∠BAD 60ABC ∠=,∴=∠ADC120=∠BCD ,∵1==DC AD .∴=∠CAD30=∠ACD ,∴90=∠ACB ,∴AC BC ⊥.（4分）∵平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面 ACFE 平面ABCD AC =,∴⊥BC 平面ACFE .（Ⅱ）在ADC ∆中,-+=222DC AD AC ADC DC AD ∠⋅cos 23=,∴3=AC .分别以CF CB CA ,,为x 轴,y 轴,z 轴建立平面直角坐标系, 设h CF =,则)0,0,0(C ,)0,0,3(A ,)0,1,0(B ,)0,0,21(D ,),0,0(h F ,则)0,1,21(-=,),1,0(h BF -=,易知平面BCF 的一个法向量为)0,0,1(=m ,设∵平面B D F 的法向量为),,(z y x =,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BF n BD n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,0,021hz y y x 令1=z ,则h x 2=,h y =,∴平面BDF 的法向量为)1,,2(h h =,∵二面角D BF C --的平面角的余弦值为66, ∴>=<n m ,cos 1522+h h 66=,解得1=h ,即1=CF .（10分） 所以六面体ABCDEF 的体积为：=ABCDEF V ACFE B V -ACFED V -+BC S ACFE ⨯=正方形31D ACFE y S ⨯+正方形3121211311131=⨯⨯+⨯⨯=.（12分） 19.【解析】（1）根据频数分布，填写2×2列联表如下；计算观测值K 2==≈14.512＞10.828，对照临界值表知，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”； （6分）（2）根据题意，X 所有可能取值有0，1，2，3，P （X=0）=•=，P （X=1）=•+•=，P （X=2）=•+•=，P （X=3）=•=，所以X 的分布列是 X 0123P所以X 的期望值是E （X ）=0×+1×+2×+3×=． （12分）20.【解析】（Ⅰ）由题设得622=+c a ,又21==a c e ,解得1,2==c a ,∴3=b . 故椭圆C 的方程为13422=+y x .（4分） （Ⅱ）)0,1(2F ,当直线l 的斜率存在时,设此时直线l 的方程为)1(-=x k y ,设),(11y x A ,),(22y x B ,把)1(-=x k y 代入椭圆C 的方程13422=+y x ,消去y 并整理得, 01248)43(2222=-+-+k x k x k ,则2221438k k x x +=+,222143124k k x x +-=, 可得)1)(1(21221--=x x k y y ]1)([21212++-=x x x x k 22439kk +-=.设点)0,(n P , 那么),(),(2211y n x y n x -⋅-=⋅2122121)(y y n x x n x x +++-=2223412)85(n k k n ++++-=,若x 轴上存在定点P ,使得PB PA ⋅为定值,则有312485=+n ,解得811=n , 此时,6413542-=+-=⋅n , 当直线l 的斜率不存在时,此时直线l 的方程为1=x ,把1=x 代入椭圆方程13422=+y x 解得23±=y ,此时,)23,1(A ,)23,1(-B , =⋅)23,83()23,83(--⋅-64135-=, 综上,在x 轴上存在定点)0,811(P ,使得PB PA ⋅为定值.（12分） 21.【解析】：Ⅰ，．由于曲线在处的切线与x 轴平行，，解得，（4分）Ⅱ由条件知对任意，不等式恒成立，此命题等价于对任意恒成立令．．令．则．函数在上单调递减．注意到，即是的零点， 而当时，；当时，． 又，所以当时，；当时，． 则当x 变化时，的变化情况如下表：因此，函数在，取得最大值，所以实数． （12分） 22.【解析】：（1）由曲线C 1：，得， ∴曲线C 1的普通方程为：， 由曲线C 2：，展开可得：， 即曲线C 2的直角坐标方程为：x -y +4=0．（4分）（2）由（1）知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点到直线x -y -4=0的距离为，∴当时，d 的最小值为．（10分）23.【解析】（Ⅰ）)由题意,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤---<--=,2,3,221,13,21,3)(x x x x x x x f 当21-<x 时,23≥--x ,解得5-≤x ,∴5-≤x ; 当221<≤-x 时,213≥-x ,解得1≥x ,∴21<≤x ;当2≥x 时, 23≥+x ,解得1-≥x ,∴2≥x ;综上,不等式2)(≥x f 的解集为{}1,5≥-≤x x x 或.（5分） （Ⅱ）当21-<x 时,3)(--=x x f , 25)(->x f ; 当221<≤-x 时,2513)(-≥-=x x f ; 当2≥x 时, 53)(≥+=x x f . 所以25)(min -=x f . 不等式t t x f 211)(2->恒成立等价于min 2)(211x f t t <-,即252112-<-t t , 解得521<<t .（10分）。
2018年浙江省五校联考高考数学模拟试卷(理科)
2018年浙江省五校联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)已知集合A={（x，y）|y=x-1}，B={（x，y）|y=-x+1}，则A∩B=（）A．∅B．{1}C．{0，1}D．{（1，0）}2．(★)已知复数z= （i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．(★)如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x、y的值分别为（）A．7、8B．5、7C．8、5D．7、74．(★)设向量，满足| |=2，| |=1，）=3，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．(★★)若函数f（x）= - x 2+x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（）A．（2，）B．[2，）C．（2，）D．[2，）6．(★★)执行如图所示的程序框图，若输出的S=57，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞4B．k＞5C．k＞6D．k＞77．(★★)已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）=（）A．B．C．D．8．(★★)已知函数f（x）= ，则f（2）+f（3-log 27）=（）A．B．C．D．9．(★★)我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）A．24B．36C．48D．9610．(★)已知抛物线C：y 2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（）A．B．C．D．11．(★★)中国古代数学专著《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào）．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥P-ADE为鳖臑，且PA⊥平面ABCE，AB=AD=2，ED=1，该鳖臑的外接球的表面积为9π，则阳马的外接球的体积为（）A．B．C．D．12．(★★★★)已知函数f（x）=m（x-1）-（x-2）e x-e，若关于x的不等式f（x）＞0有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．(★★)已知平面向量=（），=（- ），则在上的投影= ．14．(★★★)已知（x+2）6=a 0+a 1（x+1）+a 2（x+1）2+..+a 6（x+1）6，则a3= ．15．(★★)在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ．16．(★★★)对∀x 1∈R，∃x 2∈[3，4]，使得不等式x 12+x 1x 2+x 22≥2x 1+mx 2+3成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．(★★★)已知数列{a n}满足a 1=-2，a n+1=2a n+4．（I）证明数列{a n+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和S n．18．(★★★)如图，已知长方形ABCD中，，，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为19．(★★)四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：其中参加跑步类的人数所占频率为，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取13人进行分析．（Ⅰ）求条形图中m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（Ⅱ）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X，求离散型随机变量X的分布列与数学期望．20．(★★★★)已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF 1|=2，∠F 1AF 2=60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P，Q的中点为N，在线段OF 2上是否存在点M（m，0），使得MN⊥PQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，说明理由．21．(★★★★★)已知函数f（x）=xlnx- -x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围；（2）记两个极值点分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，已知λ＞0，若不等式e 1+λ＜x 1x 2λ恒成立，求λ的取值范围．请考生在第22，23，三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.作答时请写清题号22．(★★★)已知曲线C：ρ= ，直线l：（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点（A在第一象限），当+3 = 时，求α的值．23．(★★)已知函数f（x）=-x 2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1，1]，求a的取值范围．。
(完整版)安徽省中职五校联盟2018届高三第二次联考卷数学测试卷
第1页 共4页 第2页 共4页学校：_________________ 班级：__________ 姓名：_______________ 座位号：______装订线内不要答题 安徽省中职五校联盟2018届高三第二次联考卷数学测试卷一、单项选择题(每一小题仅有一个正确答案。
每小题6分，共计60分) 1. 设全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，则U A ð等于A.{O ，3，4} B ．{3，4} C ．{1，2} D ．{0，1}2. x ＜1是x ＜3的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 若f (x －1)－x ＋1，则f (3)等于A ．3B ．4C ．5D ．64. 下列函数中为偶函数的是A ．f (x )＝1－x 3B ．f (x )＝2x －lC ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝x 2＋25. 已知过点A (1，3)和B (m ，4)的直线与直线x ＋2y ＋l ＝O 垂直，则m 的值为A ．32B ．13C ．23D ．126. 设a 、b 、c 是三条直线，α、β、γ是三个平面，下列命题正确的是A ．若a ⊥γ，β⊥γ，则α∥βB ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥αC ．若a ⊥α，a ⊥β，则α∥βD ．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥c7. 两球的表面积之比为1:9，则两球的体积之比为A ．1:3B ．1:9C ．l:27D ．8. 已知向量a r ＝(3，－2)，b r ＝(－1，1)，则3a r ＋2b r等于A ．(－7，4)B ．(7，4)C ．(－7，－4)D ．(7，－4)9. 在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 3＋a 8等于A ．12B ．24C ．36D ．4810. 等比数列{a n }中，若口a 2＝10，a 3＝20，则S 5等于A ．155B ．150C ．160D ．165二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。
浙江省2018年高考五校联考数学试题最终稿
高三数学试卷说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，则= （ ▲ ）2{||1|1},{|log 2}A x x B x x =-≤=≤R B C A A.B.C.D.[2,4](2,4][0,4](2,4](,0)-∞ 2．若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为 （ ▲ ） z (1)1z i i i +=-+i z ABC D 3．已知随机变量，若，则 （ ▲ ）~(4,)X B p 83EX =(2)P X ==A.B.C.D.8382723494．设是两条直线，是两个平面，则“”的一个充分条件是 （ ▲ ）,a b ,αβa b ⊥A. B. ,,a b αβαβ⊥⊥∥,,a b αβαβ⊥⊥∥C. D.,,a b αβαβ⊂⊥∥,,a b αβαβ⊂⊥∥5．如图，设、是半径为2的圆上的两个动点，点为中A B O C AO 点，则的取值范围是 （ ▲ ）CO CB ⋅A ．B ．C ．D ．[1,3]-[1,3][3,1]--[3,1]-6．的展开式中的系数是 （ ▲ ）64(1(1+x A ．B.C. 或D.4-3-15347．点是的边的中点，，，若以、为焦点的D ABC∆AB 120ABC ∠= CD AB=A B 双曲线恰好经过点，则该双曲线的离心率为 （▲ ） C118. 若，则 （ ▲ ） cos sin tan 02παααα⎛⎫-=<< ⎪⎝⎭α∈ A ． B ． C ． D ． )6,0(π)4,6(ππ)3,4(ππ2,3(ππ9．已知的三边长分别为a 、b 、c ，有以下四个命题： ABC ∆（1）以为边长的三角形一定存在； （2）以为边长的三角形一定存在； 2,2,2abc（3）以为边长的三角形一定存在； 333,,a b c （4）以为边长的三角形一定存在．,,a b c b c a c a b -+-+-+其中正确命题的个数为（ ▲ ） A. 个 B. 个C. 个D. 个123410．已知函数的最小值为，则实数的取值范围2()1,0()21,0x a a x f x x a a x ⎧--+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩21a -a 是（ ▲ ） A.B.C. 或D. 或1a =01a <≤0a <1a =0a <1a ≥第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．A（第5题图）11．已知，则的值是 ▲ ． 21366log log x =-x 12．若实数，满足，则的最大值为 ▲ ，的取值范围x y 1|21|x y y x -+≤⎧⎨≥-⎩x y +22x y +为 ▲ ．13. 一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为 ▲ ， 其外接球的体积是 ▲ ．14．点是的重心，过作直线与、两边G ABC ∆G AB AC 分别交于、两点，且，. 若，M N AM xAB = AN y AC = 12x =则 ▲ ，若，则 ▲ ．y =23AMN ABC S S ∆∆=x y +=15．已知正项等比数列的前项和为，若成{}n a n n S 5101,,S S -等差数列，则 ▲ ，的最小值为 ▲ ．1052S S -=1510S S -16．将一个正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有两个44⨯红色方格，则有 ▲ 种不同的染色方法．17．棱长为的正四面体的内切球球面上有一动点，则的最小36A BCD -M 13MB MC +值为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在中，角、、的对边分别为、、， ABC ∆A B C a b c 且，． 22()(2b c a bc +-=+2sin sin cos 2CA B =（Ⅰ）求角和角的大小；A B （Ⅱ）已知当时，函数的最大值为，求的值． R x ∈)sin (cos sin )(x a x x x f +=32a（第13题图）俯视图19．（本题满分15分）如图，四棱锥的底面是梯形.ABCD P - //,1,BC AD AB BC CD ===，2AD=PB =PA PC ==（Ⅰ）证明；；AC BP ⊥（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. AD APC20.（本题满分15分）（Ⅰ）求证：；()ln 1x x <>（Ⅱ）设函数()()111ln 1f x x x x =->-(ⅰ)求证：是减函数；()f x (ⅱ)若不等式对任意恒成立（是自然对数的底数），11+n ae n +⎛⎫< ⎪⎝⎭n N *∈e 求实数的取值范围.a 21.（本题满分15分）如图，已知椭圆离心率为，焦距为.2222:1(0)x y C a b a b +=>>122（Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）直线与椭圆切于点，，垂足为l P OQ l ⊥，其中为坐标原点.求面积的最大值．Q OOPQ ∆22．（本题满分15分）已知正项数列满足，，{}n a 14a =211ln 3n n n a a a n+=-+n N *∈．（Ⅰ）求证：；4n a n ≥（Ⅱ）求证：．121111162224n a a a ≤+++≤+++L。
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浙江省2018学年五校联考高三数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．卷面共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}{}221,,10,A x x x R B x x x Z ==∈=-≤∈，则有（ ） （A ）A B = （B ）A B Ü （C ）A B Ý （D ）R A B =ð2、具有A 、B 、C 三种性质的总体，其容量为63，将A 、B 、C 三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A 、B 、C 三种元素分别抽取（ ） （A ）12、6、3 （B ）12、3、6 （C ）3、6、12 （D ）3、12、6 3、下列函数中最小正周期为π的是（ ）（A ）()sin f x x = （B ）()sin 2f x x = （C ）()sin 1f x x =+ （D ）()tan 2f x x =4、已知()3f x x =，则实数a b >是()()f a f b >的（ ）条件（A ）充分不必要 （B ）必要不充分 （C ）充要 （D ）既不充分也不必要 5、函数()cos (cos sin ),0,4f x x x x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域是（ ）（A ）11,22⎡+⎢⎣⎦ （B ）10,22⎡+⎢⎣⎦ （C ）122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 6、已知{}n a 是正项的等差数列，如果满足：225757264a a a a ++=，则数列{}n a 的前11项的和为（ ） （A ）8 （B ）44 （C ）56 （D ）647、函数()322f x x ax x =+++在R 上存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）( （B ）⎡⎣（C ）(),3,⎡-∞+∞⎣（D ）((),3,-∞+∞8、同时抛掷三枚骰子，出现正面朝上的点数之和不大于5的概率是（ ）（A ）3206 （B ）3106 （C ）396 （D ）376 9、已知平面向量,,a b c 满足1,2,3a b c ===，且向量,,a b c 两两所成的角相等，则a b c ++=（ ）（A （B ）6 （C ）6 （D ）610、设二次函数()()220f x ax x b a =++≠，若方程()f x x =无实数根，则方程()f f x x =⎡⎤⎣⎦的实数根的个数为（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）4个以上二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 11、()622xx -展开式中5x 的系数是 ▲ ．12、若关于x 的不等式220x x a -+≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13、用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数是 ▲ （用数字作答）． 14、在直角三角形ABC 中，,,c r S 分别表示它的斜边、内切圆半径和面积，则crS的最小值是 ▲ ．浙江省2018学年高三五校联考数学卷（文科）评分参考二．填空题：11．160-； 12．[)1,+∞ ；13．28； 14．2． 三．解答题：15．（1）∵()102x f x x x>⇒=+≥，∴[)2,A =+∞ 3分 ∵要使函数()g x 有意义，则202x x ->⇒>∴()2,B =+∞6分（2）∵{}()(){}222020C x x ax a x x a x a =--≥=-+≥ 9分∵01a << ∴2a a >-(][),2,C a a =-∞-+∞， 12分又∵()2,AB =+∞而22a < ∴满足AB C Ü 14分16．（1）∵a b ⊥，∴0a b =即10m a b x m x=--+= ()210x m x m -++=解得1x =或x m = 4分 （2）因不等式0a b ≥等价于10ma b x m x=--+≥ ()210x m x mx-++⇔≥()()10x m x x--⇔≥ 8分当01m <<时，0x m <≤或1x ≥； 10分 当1m =时，0x <； 12分 当1m >时，01x <≤或x m ≥． 14分 17．（1）∵sin cos 3x x +=-1)sin()4343x x ππ+=-⇒+=- 2分 ∵,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，∴,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 4分∴cos()4x π+==6分 （2）∵cos2cos21sin cos cos2sin 4sin cos tan cot 4cos sin x x x x x x x x x x x x===++又∵cos 2sin 22sin cos 444x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦27sin 2cos 212cos 449x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴cos 2117sin 4tan cot 429981x x x x ⎛⎛⎫==⨯-⨯-= ⎪ +⎝⎭⎝⎭ 14分 18．（1）设3球中颜色都相同的事件为A当3x =时，()333338128C C P A C +== 5分 （2）设取出3球中颜色都不相同的事件为B ，则有()1113235x xC C C P B C +=依题意有11132351235x xC C C C += 化简得321258600x x x +-+=即()()2214300x x x -+-=因x N ∈，所以2x = 14分 19．（1）∵()()''212f x x f =-⇒=-，∴过点()1,2的切线方程为：()221y x -=--，即240x y +-=． 4分（2）在坐标系中标出主要的关键点，图象要求光滑美观． 8分（3）方法1：把问题转化为不等式243ax a x +>-对一切[]2,2x ∈-恒成立∵40x +>∴234x a x ->+对一切[]2,2x ∈-恒成立∵2313134488444x x x x x x -=-+=++-≥+++，当且仅当[]42,2x =∈-时取到等号，∴当且仅当4x =时，234x x -+的最小值为80<∵当2x =-时，23142x x -=+，∴23084x x -≤≤-+∴8a >- 14分方法2：∵函数()4g x ax a =+的图象恒过点()4,0-的直线，∴在[]2,2-上，只要直线在函数()h x 的图象的上方即可．①如果直线与二次函数()23f x x =-相切，思路1：则由2234430x ax a x ax a -=+⇒++-=，()24430a a ∆=--=解得8a =±（验证得8a =- 此时，()(8(4)g x x =-+．思路2：()2'2,324a a f x x a x y =-=⇒=-=-+代入()4y a x =+ 得216120a a -+=，解得8a =±（验证得8a =- 此时，()(8(4)g x x =-+．②如果直线过()h x 的左端点()2,1-，则()1(4)2g x x =+．∵182->，∴满足条件的实数8a >- 14分 20．（1）∵()()21212218n n n a n a n --+=++∴()()21212182n n n a n a n ---+=- 即()1212121n n a an n n --=>+- ∵1121a =+，∴21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列 5分 （2）∵()1122121na n n n =+-⨯=-+ ∴241n a n =- 9分（3）∵()()211111141212122121n a n n n n n ⎛⎫===- ⎪--+-+⎝⎭ ∴()2311111111112235572121n n S n a a a n n ⎛⎫=+++=-+-+-≥ ⎪-+⎝⎭1112321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∵1112321n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭在[)2,+∞上单调递增， ∴当2n =时，即221115n S S a ≥==，另一方面111123216n S n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ 14分。
2018届浙江省高三第二次五校联考文科数学试题及答案
2018学年浙江省五校联考第二次考试数学（文科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()123V h S S =++ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2其中R 表示球的半径，h 表示台体的高球的体积公式V =43πR3其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 在C ∆AB 中，“C 0AB⋅A =”是“C ∆AB 为直角三角形”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2. 已知数列{}n a 满足：21n a n n =+，且910n S =，则n 的值为（ ▲ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ▲ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度4．若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ▲ ）①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． A ．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 5．已知菱形ABCD 的对角线AC 长为1，则ADAC =（ ▲ ）A ．4B ．2C ．1D ．216．设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+ 的上确界. 若,a b R +∈，且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ▲ ） A ．5-B ．4-C ．92D ．92-7．如图，已知椭圆C 1：112x +y 2=1，双曲线C 2：22a x —22by =1（a >0，b >0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ▲ ） A ．5 B ．5 C ．17 D ．71428. 如图，正ABC ∆的中心位于点G (0,1)，A (0,2)，动点P 从A 点出发沿ABC ∆的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度(02)AGP x x π∠=≤≤，向量OP 在(1,0)a =方向的投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图像是（ ▲ ）非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．设全集U R =，集合2{|340}A x x x =--<，2{|log (1)2}B x x =-<，则A B =▲ ，AB = ▲ ，RC A = ▲ .10．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 ▲ ，_____21的取值范围-+x y ▲ . 11. 已知命题p ：R x ∈∃，x-1>lnx ．命题q ：R x ∈∀，0>x ，则⌝p ： ▲ ，命题p∧（⌝q ）是 ▲ （填真命题或假命题）。
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浙江省2018年五校联考试题数学(文史类)答案11.()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-21121122x x x 12.(]4,∞- 13.1- 14.()2,0 三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．解：设()11,y x =，()22,y x =………………………………………………（2分） 则023211=+-=⋅y x c a ；423222-=+-=⋅y x c b ；………………………………………………（6分） 82121=+=y x ；42222=+=y x ．………………………………………………（10分）解得⎩⎨⎧==6211y x ，或⎩⎨⎧-=-=6211y x ，对应的b 分别为⎩⎨⎧-==2022y x ，或⎩⎨⎧==1322y x ，分别代入()2,32-=+=n m ，解得6,4±=-=m n ……………（14分）16．解：()()cos 1sin sin 4f x a x x b x a b π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭……………（2分）（Ⅰ）当1a =时，()14f x x b π⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭∴当()22242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈时，()f x 是增函数，∴函数()f x 的单调增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦……………（8分） （Ⅱ）由0x π≤≤得5444x πππ≤+≤∴sin 14x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭………………………………………………（10分）∵0a <∴当sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 取最小值33a b ++=……………（※）当sin 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时， ()f x 取最大值4，即4b =将4b =代入（※）式得1a =5a b +=（14分） 17．解：（Ⅰ）3P =31………………………………………………（4分） （Ⅱ）由于第n 次到顶点A 是从D C B ,,三个顶点爬行而来，从其中任何一个顶点到达A 的概率都是31，而第1-n 次在顶点A 与小虫在D C B ,,是对立事件． 因此，第n 次到顶点A 的概率为()1131--=n n P P ………………（8分）即⎪⎭⎫⎝⎛--=--4131411n n P P ………………………………………（11分） ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴=41,11n P P 是以43411=-P为首项，公比为31-的等比数列， ()N n n P n n ∈≥+⎪⎭⎫⎝⎛-=∴-,2 4131431………………………………（14分） 18．（Ⅰ）取1CC 的中点G ，则DG 为AE 在面1DC 内的射影，11D F DG AE D F ⊥∴⊥ 又1AD AE A D F ⋂=∴⊥面ADE ………………………………（5分） （Ⅱ）不成立………………………………（7分） 设1CC 、F D 1与平面ADE 的交点分别为G 、H, 在菱形11C CDD 中，可得DG DD ⊥1 又 平面⊥ABCD 平面11C CDD ，且平面⋂ABCD 平面11C CDD =CD ，CD AD ⊥1DD AD ⊥∴，因此AED DD 平面⊥1所以1DHD ∠为直线ADE F D 与平面1所成的角………………………………（10分） 在菱形11C CDD 内，因为CD C 1∠=060，所以01120=∠DE D可求得a F D 271=，所以1475arccos1=∠F D D ， 在H DD Rt 1∆中，211π=∠+∠HD D H DD ，∴1DHD ∠=1475arcsin所以直线ADE F D 与平面1所成的角为1475arcsin．………………………（14分） 19．解：（Ⅰ）88a b +=⇒设12(0,2),(0,2)F F -，则128MF MF +=因此，点M 的轨迹是以12F F 、为焦点，长轴长为8的椭圆，其方程为：2211216x y +=…………………………………………………（6分） （Ⅱ）假设存在这样的直线，使得OAPB 为矩形，并设:3l y kx =+与椭圆方程联立得：2(324)18210(*)k x kx ++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x 、是（*）的两根，且1212221821,3434k x x x x k k +=-=-++………………………………（8分） 因为OAPB 为矩形，故OB OA ⊥ 则02121=+y y x x ，()()0332121=+++kx kx x x()()093121212=++++x x k x x k……………………（11分）由此可得：()0943183431212222=++⨯-++-k k k k 解得：2516k k =∴=因此，当直线的斜率为时，可使OAPB 为矩形． ………………………………（14分）20．解：（Ⅰ）()x f 为非奇非偶函数．()()332x m x x f ++-=- ，而33)(2)(x m x x f -+=()()x f x f --∴()332x m x ++-=33)(2x m x ---=x m x 2362+-不恒为零，同样，()()x f x f +-也不恒为零．………………………………（6分）yxlBAOPⅡ） 33)(2)(x m x x f -+= ()22'363m mx x x f -+=∴又 )(x f 在),5[+∞上单调递增，()036322'≥-+=∴m mx x x f 在),5[+∞上恒成立．因此⎩⎨⎧≥-+≤-03307552m m m ，得255255+≤≤-m ，又因为0>m ， 所以2550+≤<m ．………………………………（14分）。
黑龙江齐齐哈尔市五校联谊2018届高三上学期期末联考数学(理)试题 (4)
【题文】 已知椭圆()012222>>=+b a b
y a x 的离心率36=e ，过点()b A -,0和()0,a B 的直线与原点的距离为.2
3
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点()0,1-E ，若直线()02≠+=k kx y 与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点，请说明理由.
【答案】
（1）直线AB 方程为：0bx ay ab --=，
依题意c a ⎧=⎪⎪⎨=
1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆方程为2
213
x y +=. （2）假若存在这样的值，由222330
y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，得()22131290k x kx +++= ()()2
21236130k k ∴∆=-+>① 设()()1122,,,C x y D x y ，则122
1221213913k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
② 而()()()2
121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++
要使以CD 为直径的圆过点E ()1,0-，当且仅当CE DE ⊥时，则1212111y y x x ⋅=-++，即()()1212110y y x x +++=
()()2121212150k x x k x x ++++=③ 将②带入③整理解得76k =，经检验，76k =使①成立 综上可知存在76
k =
，使得以CD 为直径的圆过点E.
【解析】 【标题】黑龙江齐齐哈尔市五校联谊2018届高三上学期期末联考数学（理）试题
【结束】。
浙江省2018年五校联考数学试题最终稿学参考答案
1 5
13． 26 2 34 ,
125 2 3
17． 4 33
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． （本题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由 (b c) a (2
2 2
2)bc得
b 2 c 2 a 2 2bc,
km 1 x ，解得 xQ 1 k2 k
…………………………9 分
由 PB : y kx m 联立 OQ : y
∴ PQ 1 k
2
km 4k 1 k2 m
∴ S OPQ
PQ OQ 2
m 1 km 4k 1 k2 …………………………12 分 2 2 1 k 1 k2 m
EG EF sin
o
…………………15 分
方法（体积法）作，则由面面可得面 2 PE BF PBF , 由解得点到面距离从而 VP ACD VD PAC , D PAC h
ABCD, 3 , 2
PE
ABCD
sin
h 3 AD 4
20． （本小题满分 15 分）
xx 1 ' g x x ln x , 可得： f x 0 x 1 解: （Ⅰ）设 x 2x x 所以是增函数，得即欲证成立 g x g x .g 1 0, （5分） L L
2
x 1 ln x x 1 x ' x （Ⅱ）① f x ln x 0 x 1 2 2 2 2 x x 1 ln x x 1 ln x
当 k 1 时取等号
2018届安徽省高三理科数学“五校”联考试题解析版
2018届安徽省高三理科数学“五校”联考试题解析版第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|1},{|20}A x x B x x x =>=--<，则A B = （ ） A ．{|12}x x -<< B ．{|1}x x >- C ．{|11}x x -<< D ．{|12}x x << 答案：D2. 函数()ln(1)f x x =-的大致图象是（ ）答案：A3. 已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若85S S =，则10a =（ ） A ．6- B ．3- C ．3 D ．0 答案：C4.已知函数()2sin cos sin ,0f x wx wx wx w =+⋅≠，则“1w =”是“函数()f x 的最小正周期为π”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充要不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：B5. 函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，若()11f =，则满足(2)1f x -≤的x 的取值范围是（ ）A ．[1,3]B ．[1,1]-C ．[2,2]-D ．[0,4] 答案：A6. 为了得到函数22cos ()4y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =-的图象上所有的点（ ）A ．向右平移移动4π个单位B ．向左平移移动4π个单位C ．向上平行移动1个单位D ．向下平行移动1个单位 答案：C7. 已知非零向量,,a b c 满足0a b c ++= ，向量,a b 的夹角为0150a 与b的夹角为（ ）A ．060B ．090C ．0120D ．0150 答案：B8. 若函数()2ln 2f x x x x =+--在其定义域的一个子区间(21,2)k k -+内不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．33(,)24-B ．1[,3)2C ．3(,3)2-D ．13[,)24答案：D9. 若函数()(),f x g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()(),f x g x 为区间[1,1]-上的一组正交函数，给出三组函数①()()11sin ,cos 44f x xg x x ==；②()()1,1f x x g x x =+=-；③()()22,0,,0x x f x g x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，其中为区间[1,1]-上的正交函数的组数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B10. 已知正项等比数列{}()n a n N +∈满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 14a =，则15m n+的最小值为（ ）A ．2B ．1+C ．74D ．114答案：C11. 已知()y f x =为(,0)-∞上的可导函数，()f x '为()y f x =的导函数且有()()f x f x x'>-，则对任意的,(,0)a b ∈-∞，当a b >时，有（ ）A ．()()af a bf b <B ．()()af a bf b >C ．()()af b bf a <D ．()()af b bf a > 答案：A12. 已知函数()221(),22(2),2416x x f x m mx x x -⎧<⎪⎪=≥⎨⎪≥⎪+⎩，若对任意1[2,)x ∈+∞，总存在2(,2)x ∈-∞使得12()()f x f x =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,4 B ．[3,4) C ．[3,4] D ．[2,4) 答案：D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知点(1,1),(1,2),(2,1),(3,4)A B C D ---，则向量AB 在CD方向上的投影为 ．答案：14.已知变量,x y 满足约束条件203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则64x y x +--的最大值是 ．答案：13715.若函数()ln f x x ax =+的图象上存在与直线310x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(,3)-∞16.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()5sin(),01421()1,14x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程()()25[](56)60()f x a f x a a R -++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是 ．答案：5(0,1){}4三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知是等比数列{}n a ，公比1q >，前n 项和为n S ，且3427,42S a a ==，数列{}n b 满足：1211log n b n a +=+ .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}1n n b b +的前n 项和为n T ，求证：1132n T ≤<.解：（1）331112341(1)771(1)222244S a q a a q q a q a a q ⎧-⎧⎧===⎪⎪⎪-⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪==⎩=⎩⎩，所以122212111122,2log log 221n n n n n n a b n a n n ---+=⨯====++-. （2）设11111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===--+-+，1211111111(1)(1)23352121221n n T c c c n n n =+++=-+-++-=--++ ， 因为1n n T T +<，所以11132n T T =≤<.18. 已知函数()2cos cos f x x x x a =++ . （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为1 ，求a 的值.解：（1）()1cos 212sin(2)262x f x x a x a π+=++=+++，所以最小正周期T π=， 由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故函数()f x 的单调递增区间是[,],36k k k Z ππππ-++∈. （2）因为63x ππ-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤， 所以1sin(2)126x π-≤+≤，因为函数()f x 在[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为111(1)()1222a a +++-++=，所以14a =-.19.已知,,,ABC a b c ∆分别为角,,A B C 的对边，它的外接圆的半径为(R R 为常数），并且满足等式222(sin sin ))sin R C A b B -=-成立. （1）求A ；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值.解：（1）由222(sin sin ))sin R C A b B -=-， 所以2224(sin sin )2)sin R C A R b B -=-，由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，代入222c a b -=-，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-==，所以4A π=. （2）由（1）知， 34B C π+=,所以22213sin sin sin sin sin()sin(2)2442R S bc A B C B B B ππ====-=-+,当且仅当38B C π==时，2max S R =.20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设(3)n n c n b =-，求数列的前n 项和为n T .解：（1）11()2n n a -=；（2）由111()2n n n b b -+-=，则101212131121111112()()()()()()31222212n n n n n n b b b b b b b b -----=+-+-++-=+++==-- ， 因为11b =成立，所以2132n n b -=-、（3）由已知21()2n n c n -=，则1021111()2()()222n n T n --=⨯+⨯++⨯ ，01111111()2()()2222n n T n -=⨯+⨯++⨯ ， 两式相减得1021211111111()()()()4()()2222222n n n n n T n n -----=+++-=-- ，所以3221288222n n n n n n T ---+=--=-.21.已知函数()()ln ,f x x a x a R =-∈ . （1）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（2）若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. 解：（1）定义域为(0,)+∞，当0a =时，()()ln ln 1f x x x f x x '=⇒=+，令()0f x '=，得1x e=，当1(0,)x e ∈时，()()0,f x f x '<为减函数；当1(,)x e∈+∞时，()()0,f x f x '>为增函数，所以函数()f x 的极小值是11()f e e =-.（2）由已知得()ln x af x x x-'=+，因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立， 设()ln g x x x x =+，要使得ln x x x a +≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，只要()min a g x ≤， 因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=，得21x e=， 当21(0,)x e ∈时，()()0,g x g x '<为减函数；当21(,)x e∈+∞时，()()0,g x g x '>为增函数， 所以()g x 的最小值为2211()g e e=-.故函数()f x 在(0,)+∞是增函数，实数a 的取值范围是21(,]e-∞-.22.已知函数()()ln ,(1)1x xf xg x a x x ==-+ .（1）若函数()y f x =与()y g x =的图象恰好相切与点(1,0)P ，求实数a 的值； （2）当[1,)x ∈+∞时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：214ln(21)()41ni in n N i +=+≤∈-∑. 解：（1）12a =； （2）令()()()ln (1)1x xF x f x g x a x x =-=--+， 则()21ln (1)x xF x a x ++'=-+，因为()0F x =，所以()0F x ≤在[1,)+∞恒成立的必要条件为()0F x '≤，即204a -≤，所以12a ≥， 又当12a ≥时，()()ln ln 1(1)(1)112x x x x F x a x x h x x x =--≤--=++，()22222ln (1)2(1)x x x h x x ++-+'=+，令()2222ln (1)x x x x ϕ=++-+， 则()22(1)0x x x ϕ-'=≤，即()()10x ϕϕ≤=，所以()h x 在[1,)+∞递减， 所以()()10h x h ≤=，即()()0F x h x ≤≤， 所以()0F x ≤在[1,)+∞恒成立的充分条件为12a ≥，综上可得12a ≥. （3）设ln(21)n S n =+为{}n a 的前n 项和，则21ln 21n n a n +=-， 要证不等式，只需证：2214ln 2141n nn n +≤--， 由（2）知，12a =时，()()f x g x ≤，即21ln (1)2x x x ≤-（当且仅当1x =时取等号）， 令21121n x n +=>-，则22121121ln [()1]2121221n n n n n n +++≤----，即2212118ln 21212(21)n n n n n n ++≤---，即2214ln 2141n nn n +≤--， 从而原不等式得证.。
浙江省“五校联考”2018届高三4月第二次考试数学试题+Word版缺答案
2017学年浙江省高三“五校联考”第二次考试数学试题卷 命题学校：宁波效实说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{||1|1},{|log 2}A x x B x x =-≤=≤，则R B C A = （ ▲ ） A. [2,4] B. (2,4] C. [0,4] D. (2,4](,0)-∞ 2．若复数z 满足(1)1z i ii +=-+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为 （ ▲ ） A ．12-B ．12C ．12i D ．12i 3．已知随机变量~(4,)X B p ，若83EX =，则(2)P X == （ ▲ ） A.83 B. 827 C. 23 D. 494．设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则“a b ⊥”的一个充分条件是 （ ▲ ）A. ,,a b αβαβ⊥⊥∥B. ,,a b αβαβ⊥⊥∥C. ,,a b αβαβ⊂⊥∥D. ,,a b αβαβ⊂⊥∥ 5．如图，设A 、B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO CB ⋅的取值范围是 （ ▲ ）A ．[1,3]-B ．[1,3]C ．[3,1]--D ．[3,1]- 6．64(1(1的展开式中x 的系数是 （ ▲ ） A ．4- B. 3- C. 15或3 D. 4 7．点D 是ABC ∆的边AB 的中点，120ABC ∠=，2CD AB=A 、B 为焦点的双曲线恰好经过点C ，则该双曲线的离心率为 （ ▲ ）A.13B. 1211 8. 若cos sin tan 02παααα⎛⎫-=<< ⎪⎝⎭，则α∈ （ ▲ ） A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ9．已知ABC ∆的三边长分别为a 、b 、c ，有以下四个命题： （1为边长的三角形一定存在； （2）以2,2,2abc为边长的三角形一定存在； （3）以333,,a b c 为边长的三角形一定存在； （4）以,,a b c b c a c a b -+-+-+为边长的三角形一定存在．其中正确命题的个数为（ ▲ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．已知函数2()1,0()21,0x a a x f x x a a x ⎧--+≥⎪=⎨-+-<⎪⎩的最小值为21a -，则实数a 的取值范围是（ ▲ ）A（第5题图）A. 1a =B. 01a ≤≤C. 0a ≤或1a =D. 0a ≤或1a ≥第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分． 11．已知21366log log x =-，则x 的值是 ▲ ． 12．若实数x ，y 满足1|21|x y y x -+≤⎧⎨≥-⎩，则x y +的最大值为 ▲ ，22x y +的取值范围为▲ ．13. 一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为 ▲ ， 其外接球的体积是 ▲ ．14．点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM xAB = ，AN yAC = . 若12x =，则y = ▲ ，若23AMN ABC S S ∆∆=，则x y += ▲ ．15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5101,,S S -成等差数列，则1052S S -= ▲ ，1510S S -的最小值为 ▲ ．16．将一个44⨯正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有两个红色方格，则有▲ 种不同的染色方法．17．棱长为36的正四面体A BCD -的内切球上有一动点M，则13MB MC +的最小值为▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且22()(2b c a bc +-=，2sin sin cos2C A B =． （Ⅰ）求角A 和角B 的大小；（Ⅱ）已知当R x ∈时，函数)sin (cos sin )(x a x x x f +=的最大值为32，求a 的值．B（第14题图）（第13题图）俯视图19．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是梯形. //,1,BC AD AB BC CD ===2AD =，PB =PA PC == （Ⅰ）证明；AC BP ⊥；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值.20.（本题满分15分）（Ⅰ）求证：()ln 1x x <>；（Ⅱ）设函数()()111ln 1f x x x x =->-(ⅰ)求证：()f x 是减函数；(ⅱ)若不等式11+n ae n +⎛⎫< ⎪⎝⎭对任意n N *∈恒成立（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.21.（本题满分15分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>离心率为12，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆切于点P ，OQ l ⊥，垂足为Q ，其中O 为坐标原点.求OPQ ∆面积的最大值．（第21题图）22．（本题满分15分）已知正项数列{}n a 满足14a =，211ln 3n n n a a a n+=-+，n N *∈． （Ⅰ）求证：4n a n ≥； （Ⅱ）求证：。
2018年浙江省五校联考数学试题
秘密★启用前2018年浙江省五校联考数学试题（总分：150分 时间：120分钟）注意事项：1．答题前，考生在答题卷上务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码；请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合(){},|1A x y y x ==-，(){},|1B x y y x ==-+，则A B =I( )A.∅B.{}1C.{}0,1D.(){}1,02.已知复数z= 201821i i++（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数．．．．在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩 （单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x 、y 的 值分别为（ ）A. 7、8B. 5、7C. 8、5D. 7、7 4. 设向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()3-=g a a b ，则a 与b 的夹角为 A.6π B.3π C.32π D.65π 5若123)(23++-=x x a x x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛3,21上有极值点,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.6. 执行如图所示的程序框图，若输出的57S =，则判断框内应填入的条件是（ ） A ．4k > B ．5k > C.6k > D ．7k >7. 已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛 掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边 形EFGH 外，则(|)P B A =（ ） A ．14π-B ．4π C ．21π-D ．2π8. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=1,4sin 10,2)(x x x x f x π，则=-+)7log 3()2(2f fA ．87 B ． 227 C ．158 D ． 1579.我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼— 15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（ ） A. 24 B. 36 C.48 D. 9610．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=( )A ．45B ．35C ．35-D ．45-11. 中国古代数学专著《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖b i e．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知三棱锥P ADE -为鳖臑,且PA ⊥平面ABCE ，2AB AD ==，1ED =，该鳖臑．．的外接球的表面积为9π，则阳马．．的外接球的体积为A ．B ．C ．D ．12．已知函数()(1)(2)e e xf x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为A ．3e e2+B ．2e e 2+C ．3e e 2-D ．2e e 2-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用2B 铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，在试题卷上作答无效． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13. 已知平面向量(==m ,n ，则m 在n 上的投影=_______.14. 已知6260126(2)(1)(1)...(1)x a a x a x a x +=+++++++，则3a = ．（结果用数值表示）． 15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．对1x R ∀∈，[]23,4x ∃∈，使得不等式2211221223x x x x x mx ++≥++成立，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 17. （本小题满分12分）已知数列{a n }满足a l =﹣2，a n+1=2a n +4． （I ）证明数列{a n +4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|a n |}的前n 项和S n ．18. （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点.将∆ADM沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM.（1）求证：AD BM ⊥；（2）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D -- 19. （本小题满分12分）四川省阆中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高．学校要求每位学生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目人数统计如下条形图：其中参加跑步类的人数所占频率为713，为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系，用分层抽样的方法从这780名学生中抽取．．13．．人进行分析．．．．．．．（Ⅰ）求条形图中m 和n 的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数；（Ⅱ）现从抽取的参加400米和跳绳两个项目中随机抽取4人，记其中参加400米跑的学生人数为X ，求离散型随机变量X 的分布列与数学期望．20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点A 在椭圆C 上，1||2AF =，1260F AF ∠=︒，过2F 与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P ，Q 的中点为N ，在线段2OF 上是否存在点(,0)M m ，使得MN PQ ⊥？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，说明理由． 21.（本小题满分12分）已知函数()()R a a x x a x x x f ∈+--=22ln 在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a 的取值范围；（2）记两极值点分别为.,,2121x x x x <且已知0>λ，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，求λ的范围.请考生在第22,23,三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分.作答时请写清题号22. （本小题满分10分）已知曲线C ： 21sin ρθ=-，直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线 与曲线C 交于A 、B 两点（A 在第一象限），当30OA OB +=u u u r u u u r r时，求α的值.23. （本小题满分10分）已知函数f （x ）=﹣x 2+ax+4，g （x ）=|x+1|+|x ﹣1|． （1）当a=1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围．理科数学答案一、选择题（每小题5分，共计60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D A D B C A C D C D D A二．填空题（每小题5分，共计20分）13．-1 14．20 15．3816．(],3-∞三、解答题17.（I）证明：∵数列{a n}满足a l=﹣2，a n+1=2a n+4，∴a n+1+4=2（a n+4）..................3分∴数列{a n+4}是等比数列，公比与首项为2．...............................................................6分（II）解：由（I）可得：a n+4=2n，∴a n=2n﹣4，...............................................8分∴当n=1时，a1=﹣2；n≥2时，a n≥0，..........................................................................9分∴n≥2时，S n=﹣a1+a2+a3+…+a n=2+（22﹣4）+（23﹣4）+…+（2n﹣4）= ﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．............................................11分∴S n=2n+1﹣4n+2．n∈N*．.............................................................................................12分18.【答案】（1）解：证明：∵长方形ABCD中，AB= ，AD= ，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM.....................................3分∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM.......................................................5分（2）解：建立如图所示的直角坐标系设，则平面AMD的一个法向量，...................................7分，设平面AME的一个法向量则取y=1，得所以，............................................10分因为，求得，所以E为BD的中点.......................11分19..（Ⅱ）由题意，得抽取的13人中参加400米的学生人数有240134780⨯=，参加跳绳的学生人数有3人，所以X 的所有可能取值为1、2、3、4，………………6分()134347C C 41C 35P X ===，()224347C C 182C 35P X ===，()314347C C 123C 35P X ===，()4447C 14C 35P X ===，………………9分所以离散型随机变量X 的分布列为：所以41812116()1234353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………12分 20．解：（Ⅰ）由12e =得2a c =，1||2AF =，2||22AF a =-， 由余弦定理得，222121212||||2||||cos ||AF AF AF AF A F F +-⋅=，解得1c =，2a =，2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． …………….5分（Ⅱ）存在这样的点M 符合题意. 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)N x y ， 由2(1,0)F ，设直线PQ 的方程为(1)y k x =-，由221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=，…………………7分 由韦达定理得2122843k xx k +=+，故212024243x x k x k +==+， 又点N 在直线PQ 上，02343k y k -=+，所以22243(,)4343k kN k k -++. …………………9分因为MN PQ ⊥，所以22230143443MN k k k k km k --+==--+，整理得22211(0,)34344k m k k ==∈++， 所以存在实数m ，且m 的取值范围为1(0,)4．...12分21.I 依题意得函数)(x f 得定义域为(0,+∞)，所以方程0)('=x f 在(0,+∞)有两个不同的根， 即方程0ln =-ax x 在(0,+∞)有两个不同的根. 问题转化为函数xxx g ln )(=与a y =的图象(0,+∞)有两个不同的交点. 又,ln 1)('2xxx g -=即当e x <<0时，0)('>x g ；当e x >时，0)('<x g ， 所以)(x g 在),0(e 上单调递增，在),(+∞e 上单调递减.从而ee g x g 1)()(==极大值 ………………3分又)(x g 有且只有一个零点是1，且当0→x 时，-∞→)(x g ；当+∞→x 时，0)(→x g . 所以，要想函数x x x g ln )(=与函数a y =的图象(0,+∞)有两个不同的交点， 只需ea 10<<.…6分 (II )因为λλ+⋅<211x x e 等价于21ln ln 1x x λ+<λ+，由(I )知21,x x 是方程0ln =-ax x 的两个根，即2211ln ,ln ax x ax x ==，所以原式等价于)(ln ln 12121x x a x x λ+=λ+<λ+，因为2100x x <<>λ，，所以原式等价于211x x a λ+λ+>. …………8分又由2211ln ,ln ax x ax x ==作差得)(ln 2121x x a x x -=，即2121ln x x x x a -=.所以原式等价于2121211lnx x x x x x λ+λ+>-，因为210x x <<时，原式恒成立，即212121)()1(ln x x x x x x λλ+-+〈恒成立. 令)1,0(,21∈=t x x t ，则不等式)1()1(ln -++<t t t λλ在)1,0(∈t 上恒成立. 令λλ+-+-=t t t t h )1()(1ln )(，又2222)()()1()()(11)('λ+λ--=λ+λ+-=t t t t t t t h ， 当12≥λ时，可见)(0,1∈t 时，0)('>t h ，所以)(0,1)(∈t t h 在上单调递增, 又)(0,10)(,0)(1∈<=t t h h 在上恒成立，符合题意. …………10分当12<λ时，可见当)(0,2λ∈t 时，0)('>t h ，当)1(2，λ∈t 时，0)('<t h 所以)(0,)(2λ∈t t h 在上单调递增, 在),1(2λ∈t 上单调递减，又)(0,10)(,0)(1∈<=t t h h 在上不恒成立，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式λλ+⋅<211x x e 恒成立，只需12≥λ，又0>λ，所以1≥λ…………12分22解：（Ⅰ）由 ，得 ，................................................................2分 所以曲线C 的直角坐标方程为................................................................................5分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入 ，得 ，.......7分 设A ，B 两点对应的参数分别为，由韦达定理及得，故 .....10分23.（1）解：（1）当a=1时，f （x ）=﹣x 2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，g （x ）=|x+1|+|x ﹣1|= ，................................................................................2分当x ∈（1，+∞）时，令﹣x 2+x+4=2x ，解得x= ，g （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f （x ）≥g （x ）的解集为（1，]；............................................3分当x ∈[﹣1，1]时，g （x ）=2，f （x ）≥f （﹣1）=2．当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g （x ）单调递减，f （x ）单调递增，且g （﹣1）=f （﹣1）=2． 综上所述，f （x ）≥g （x ）的解集为[﹣1，]；...........................................................5分（2）依题意得：﹣x 2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x 2﹣ax ﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需 ，解得﹣1≤a≤1，故a 的取值范围是[﹣1，1]． ...............................................................................................10分。
2018~2019学年浙江省5月高三模拟考五校联考数学试卷 word版 含参考答案
2018学年浙江省高三“五校联考”考试数学试题卷命题学校：绍兴一中说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{1,5}A =，{}7,5,1-=B ，则()U C A B =（ ▲ ）A.{}3,9B.{}1,5,7C.{}9,3,1,1-D.{}1,1,3,7,9-2. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ▲ ） A. 624+ B. 64+C. 224+D. 24+3. 已知数列}{n a ,满足n n a a 31=+,且9642=a a a ，则 =++937353log log log a a a （ ▲ ） A.5 B. 6 C. 8 D. 114. 已知0>+y x ，则“0>x ”是“2||2||22y x y x +>+”的 （ ▲ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（第2题图）5. 函数1e 1xx y x--=+的大致图象为（ ▲ ）6. 已知实数y x ,满足1,210,0,y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩如果目标函数y x z -=的最小值为－1，则实数m 等于（ ▲ ）A ．7B ．5C ．4D ．3 7. 已知αααcos sin 2tan+=M ，)28(tan8tan+=ππN ，则M 和N 的关系是（ ▲ ）A.N M >B.N M <C.N M =D. M 和N 无关 8. 已知函数2|log |,0,()1,0.x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数1|)(2|)(--=m x f x g ，且Z m ∈，若函数)(x g 存在5个零点，则m 的值为（ ▲ ）A. 5B. 3C. 2D. 19. 设,,为平面向量，2||||==，若0)()2(=-⋅-，则⋅的最大值为（ ▲ ） A. 2 B.49C. 174D. 5 10. 如图，在三棱锥ABC S -中，AC SC =,θ=∠SCB ,θπ-=∠ACB ,二面角A BC S --的平面角为α，则 （ ▲ ）A.θα≥B.α≥∠SCAC.α≤∠SBAD.SBA α∠≥非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11．已知复数z 满足()1+22i z i =+，则z = ▲ ，|z |= ▲ .12． 251()(1)(2)f x x x x x=++-的展开式中各项系数的和为 ▲ ，该展开式中的常数项为 ▲ .B （第 10题图）SACB13．已知函数()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><图象中两相邻的最高点和最低点分别为(,1),12π7(,1)12π-，则函数()f x 的单调递增区间为 ▲ ，将函数()f x 的图象至少平移 ▲ 个单位长度后关于直线4x π=-对称.14．一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为 ▲ ，这两个数字和的数学期望为 ▲ .15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ .16．从0,1,2,…,8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二 位……），有 ▲ 个不同的数.（用数字作答） 17．已知实数,[1,1]x y ∈-，,,max{,},.a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩则22max{1,|2|}x y x y -+-的最小值为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本题满分14分） 已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且cos sin 22A A -= (Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)当)14a A C =+=，求c 的值.19．（本题满分15分）如图，已知ABC ∆中，AB BC AC ===，点A ∈平面α，点,B C 在平面α的同侧，且,B C 在平面α上的射影分别为,E D ，22BE CD ==. (Ⅰ)求证：平面ABE ⊥平面BCDE ；(Ⅱ)若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值.AE.BCDMα（第19题图）20．（本题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2212(N )n n n S a a n *+=+∈.(Ⅰ)（i ）求数列{}n a 的通项公式； （ii ）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； (Ⅱ) 数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足2142(N )n a n T n λ-*=-∈，是否存在非零实数λ，使得数列{}n b为等比数列？ 并说明理由. 21．（本题满分15分）已知椭圆2214x y +=，抛物线22x y =的准线与椭圆交于,A B 两点，过线段AB 上的动点P 作斜率 为正的直线l 与抛物线相切，且交椭圆于,M N 两点. (Ⅰ)求线段AB 的长及直线l 斜率的取值范围； (Ⅱ)若104Q （，），求MNQ ∆面积的最大值.22．（本题满分15分）已知函数()e xf x ax b =--.(其中e 为自然对数的底数)(Ⅰ)若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；(Ⅱ)设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（m a b 恒成立，求实数m的取值集合.2019 五校联考参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题11．4355i-，1； 12． 3，-40 ； 13．5[,]()1212k k k Zππππ-+∈，6π； 14．12,5；15e<<； 16．1680； 17．32．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 解：(Ⅰ)由得21)2sin2(cos2=-AA,即212cos2sin21=-AA21sin=A，-------------------3分又π<<A0，02sin2cos>-AA,2sin)22sin(2cosAAA>-=π,2,222ππ<>-AAA所以6π=A-------------------7分(Ⅱ)由1421)sin(=+AC,得1421sin=B由正弦定理：BbAasinsin=,得3=b-------------------10分由余弦定理：Abccba cos2222-+=，得cc3372-+=，4=c或1-=c（舍去）所以4=c-------------------14分19. (Ⅰ)证明：由条件，ADEBE平面⊥,AEBE⊥∴,由计算得3,6,3===ADEDAE,222ADEDAE=+∴,AEED⊥又EBEED=⋂,BCDEAE平面⊥∴,而ABEAE平面⊂∴BCDEABE平面平面⊥------------------6分(Ⅱ)以E为坐标原点，直线EA,ED,EB为x,y,z轴建立空间直角坐标系，)1,6,0(),0,6,0(),2,0,0(),,0,3(CDBA,则)0,26,23(M,3(,2)22BM=-, 1)BC=-,平面α的法向量为(0,0,1)m=-------------------8分设平面MBC的法向量),,(zyxn=，由{n BCn BM⋅=⋅=20zz-=-=⇒取1,(32,1,y n==------------------11分设平面BMC 与平面α所成锐二面角为θ，则6cos ||5||||m n m n θ⋅==⋅所以平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值为5. -------------------15分20. 解：(Ⅰ) （i ）1，所以0又,212,时111211=>+=+=a a a a a n n ，…………………….1分 当,时2≥n )(2122∙∈+=+N n a a S n n n )(2121-21-1-∙∈+=+N n a a S n n n作差整理得： ,因为 ,所以，故数列{}n a 为等差数列，. ……………………………………………………..4分 （ii ）由（i ）知，4)3(+=n n S n ，所以)311(34)3(41+-=+=n n n n S n，从而=++++nS S S S 1111321)311()2111()1121()6131()5121()411((34+-++--++--++-+-+-n n n n n n )31211131211(34+-+-+-+++=n n n 922)312111611(34<+-+-+-+=n n n ， 所以922≥M ，故实数的最小值为922…………………………………….8分 (Ⅱ)由)(2412∙-∈-=N n T n a n λ知λλλ241,24+=-=n n n n T T …………………………..9分当λ6,时11==b n ，……………………………………………………10分当λλλλ241241,时211--+=-=≥--n n n n n T T b n143-=n λ所以)2(4431≥==+n b b n n n λ，…………………………………………………….12分若数列{}n b 是等比数列，则有124b b =而λ122=b ，所以212=b b 与b 2=4b 1矛盾。
2018年浙江省“五校联考”高考数学二模试卷(解析版)
2018年浙江省“五校联考”高考数学二模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）设集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|log2x≤2}，则B∩∁R A＝（）A．[2，4]B．（2，4]C．[0，4]D．（2，4]∪（﹣∞，0）2．（4分）若复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A．B．C．D．3．（4分）已知随机变量X～B（4，p），若，则P（X＝2）＝（）A．B．C．D．4．（4分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β5．（4分）如图，设A、B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，3]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣3，1]6．（4分）（1﹣）6（1+）4的展开式中x的系数是（）A．﹣4B．﹣3C．3D．47．（4分）点D是△ABC的边AB的中点，∠ABC＝120°，，若以A、B为焦点的双曲线恰好经过点C，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（4分）若，则α∈（）A．B．C．D．9．（4分）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，有以下四个命题：（1）以，，为边长的三角形一定存在；（2）以2a，2b，2c为边长的三角形一定存在；（3）以a3，b3，c3为边长的三角形一定存在；（4）以|a﹣b|+c，|b﹣c|+a，|c﹣a|+b为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（4分）已知函数的最小值为2a﹣1，则实数a的取值范围是（）A．a＝±1B．0≤a≤1C．a≤0或a＝1D．a≤0或a≥1二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（4分）已知2log6x＝1﹣log63，则x的值是．12．（6分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为，x2+y2的取值范围为．13．（6分）一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为，其外接球的体积是．14．（6分）点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，．若，则y＝，若，则x+y＝．15．（6分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若﹣1，S5，S10成等差数列，则S10﹣2S5＝，S15﹣S10的最小值为．16．（4分）将一个4×4正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有两个红色方格，则有种不同的染色方法．17．（4分）棱长为36的正四面体A﹣BCD的内切球球面上有一动点M，则的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）已知当x∈R时，函数f（x）＝sin x（cos x+a sin x）的最大值为，求a的值．19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，（Ⅰ）证明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．20．（15分）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设函数（ⅰ）求证：f（x）是减函数；（ⅱ）若不等式对任意n∈N*恒成立（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．21．（15分）如图，已知椭圆离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆切于点P，OQ⊥l，垂足为Q，其中O为坐标原点．求△OPQ面积的最大值．22．（15分）已知正项数列{a n}满足a1＝4，，n∈N*．（Ⅰ）求证：a n≥4n；（Ⅱ）求证：2018年浙江省“五校联考”高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）设集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|log2x≤2}，则B∩∁R A＝（）A．[2，4]B．（2，4]C．[0，4]D．（2，4]∪（﹣∞，0）【解答】解：集合A＝{x||x﹣1|≤1}＝{x|﹣1≤x﹣1≤1}＝{x|0≤x≤2}＝[0，2]，B＝{x|log2x≤2}＝{x|0＜x≤4}＝（0，4]，∴∁R A＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴B∩∁R A＝（2，4]．故选：B．2．（4分）若复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z（1+i）＝|1﹣i|+i（其中i为虚数单位），∴（a+bi）（1+i）＝+i，∴a+bi+ai+bi2＝a﹣b+（b+a）i＝+i，∴，解得a＝，b＝．∴z的虚部为．故选：A．3．（4分）已知随机变量X～B（4，p），若，则P（X＝2）＝（）A．B．C．D．【解答】解：由随机变量X～B（4，p），且，即np＝4p＝，解得p＝；∴P（X＝2）＝••＝．故选：B．4．（4分）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【解答】解：A、B、D的反例如图．故选：C．5．（4分）如图，设A、B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，3]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣3，1]【解答】解：如图所示，可得O（0，0），A（﹣2，0），C（﹣1，0），设B（2cosθ，2sinθ）．θ∈[0，2π）．＝（1，0）•（2cosθ+1，2sinθ）＝2cosθ+1∈[﹣1，3]．故选：A．6．（4分）（1﹣）6（1+）4的展开式中x的系数是（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【解答】解：的展开式的通项为∴展开式中常数项为C60，含x的项的系数为C62，含的项的系数为﹣C61的展开式的通项为∴的展开式中的x的系数为C42，常数项为C40，含的项的系数为C41故的展开式中x的系数是C60C42+C62C40﹣C61C41＝6+15﹣24＝﹣3故选：B．7．（4分）点D是△ABC的边AB的中点，∠ABC＝120°，，若以A、B为焦点的双曲线恰好经过点C，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：不妨设AB＝2，则CD＝，BD＝AB＝1，在△BCD中，由余弦定理可得：cos∠ABC＝＝﹣，解得BC＝1，在△ABC中，由余弦定理得AC＝＝，不妨设以AB为焦点的双曲线方程为＝1，则2a＝AC﹣BC＝﹣1，2c＝AB＝2，∴离心率e＝＝＝．故选：A．8．（4分）若，则α∈（）A．B．C．D．【解答】解：cosα+sinα＝，当0＜α＜时，＜＜，则∈（1，]⊂（1，），∴tanα∈（1，）．得α∈（）．故选：C．9．（4分）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，有以下四个命题：（1）以，，为边长的三角形一定存在；（2）以2a，2b，2c为边长的三角形一定存在；（3）以a3，b3，c3为边长的三角形一定存在；（4）以|a﹣b|+c，|b﹣c|+a，|c﹣a|+b为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：三角形ABC的三边长分别为a，b，c，不妨设a≥b≥c，则b+c＞a．（1）∵（）2﹣（）2＝b+c﹣a+2＞0，∴+＞，∴以，，为边长的三角形一定存在；（2）当b＝3，c＝2，a＝4时，22+23＞24不成立，因此以2a，2b，2c为边长的三角形不一定存在；（3）当b＝3，c＝2，a＝4时，a3＞b3+c3不成立，因此以a3，b3，c3为边长的三角形不一定存在；（4）∵|a﹣b|+c+|b﹣c|+a≥|a﹣c|+c+a＞|c﹣a|+b，∴以|a﹣b|+c，|b﹣c|+a，|c﹣a|+b为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为2个．故选：B．10．（4分）已知函数的最小值为2a﹣1，则实数a的取值范围是（）A．a＝±1B．0≤a≤1C．a≤0或a＝1D．a≤0或a≥1【解答】解：若a＝0，则f（x）＝，可得x＜0时，f（x）＞﹣1；x≥0时，f（x）≥0，可得f（x）的值域为（﹣1，+∞），无最小值；当a＝1时，f（x）＝，当x＜0时，f（x）＝|x﹣1|+1＞2，当x≥0时，f（x）＝|（x﹣1）2﹣1|+1≥1，当x＝0时，取得最小值1，则f（x）的最小值为1，满足题意，当a＝﹣1时，f（x）＝，当x＜0时，f（x）≥﹣3；当x≥0时，f（x）＝x2+2x﹣1的值域为[﹣1，+∞），可得f（x）的最小值为﹣1．故排除B，C，D，故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（4分）已知2log6x＝1﹣log63，则x的值是．【解答】解：原式等价于log6x2＝log66﹣log63＝log62，所以x2＝2，又x＞0，∴x＝，故答案为：．12．（6分）若实数x，y满足，则x+y的最大值为5，x2+y2的取值范围为[，13]．【解答】解：不等式组可化为或，在同一坐标系中画出两个不等式组表示的平面区域，如图所示；则由图形知，目标函数z＝x+y过点C时，z取得最大值，由，解得C（2，3），∴x+y的最大值为5；又z＝x2+y2表示区域内的点到原点的距离的平方，由图形知，x2+y2的最小值为，最大值为22+32＝13，∴x2+y2的取值范围是[，13]．故答案为：5，[，13]．13．（6分）一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为26+2，其外接球的体积是．【解答】解：如图：P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝5，AB＝3，BC＝4，三棱锥的表面积为：＝26+2三棱锥的外接球就是长方体三度为：5，4，3的外接球，所以外接球的半径为：＝．外接球的体积为：＝．故答案为：26+2；．14．（6分）点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且，．若，则y＝1，若，则x+y＝2．【解答】解：根据条件：＝，＝；又＝+；∴＝+；又M，G，N三点共线；∴+＝1；∵x＝，∴y＝1；∵，∴＝＝xy＝，又＝3，即＝3，∴x+y＝2．故答案为：1，2．15．（6分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若﹣1，S5，S10成等差数列，则S10﹣2S5＝1，S15﹣S10的最小值为4．【解答】解：∵﹣1，S5，S10成等差数列，∴2S5＝S10﹣1，∴S10﹣2S5＝1，又由等比数列的性质可得S5，S10﹣S5，S15﹣S10为等比数列，∴S5（S15﹣S10）＝（S10﹣S5）2，∴S15﹣S10＝＝＝S5++2≥2+2＝4，当且仅当S5＝即S5＝1时取等号，∴S15﹣S10的最小值为4，故答案为：1；4．16．（4分）将一个4×4正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有两个红色方格，则有90种不同的染色方法．【解答】解：第一行染2个红色方格有C42种染法；第一行染好后，有如下三种情况：①第二行的红色方格均与第一行的红色方格同列，这时其余行都只有1种染法；②第二行染的红色方格与第一行的红色方格均不同列，这时第三行有C42种染法，第四行的染法随之确定；③第二行染的红色方格恰有一个与第一行的红色方格同列，而第一、第二这两行染好后，第三行的红色方格必然有一个与上面的红色方格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行染法随之确定．因此，共有染法为：6×（1+6+4×2）＝90（种）．故答案为：9017．（4分）棱长为36的正四面体A﹣BCD的内切球球面上有一动点M，则的最小值为4．【解答】解：由阿波罗尼斯球得内切球球心O是线段CH上以C，E为定点，空间中满足＝λ（λ≠1）的点P的集合，连结CO并延长交平面ABD于H，交内切球上方的点设为K，过M作ME⊥CH，交CH于E，连结BM，CM，设OE＝x，由已知得CO＝9，OH＝3，＝，∴＝，解得x＝，∴λ＝＝＝3，∴，∴，∴MB+＝MB+ME≥BE，在△BOE中，BO＝CO＝9，OE＝，cos∠BOE＝﹣cos∠BOH＝﹣，∴BE＝＝4．∴的最小值为4．故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）已知当x∈R时，函数f（x）＝sin x（cos x+a sin x）的最大值为，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）由，可得：b2+c2﹣a2＝bc，所以cos A＝＝＝，又0＜A＜π，可得：A＝，由sin A sin B＝cos2，可得：sin B＝，sin B＝1+cos C，∴B+C＝，则sin（﹣C）＝1+cos C，∴可得：sin C＝1，解得C＝，∴B＝．…（6分）（Ⅱ）f（x）＝sin x（cos x+a sin x）＝sin2x+（1﹣cos2x）＝+sin（2x﹣θ），tanθ＝a，∵函数f（x）＝sin x（cos x+a sin x）的最大值为，∴+＝，∴解得a＝．．…（6分）19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，（Ⅰ）证明；AC⊥BP；（Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值．【解答】（I）证明：取AC的中点M，连接PM，BM，∵AB＝BC，P A＝PC，∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M，∴AC⊥平面PBM，∵BP⊂平面PBM，∴AC⊥BP．（II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，∴∠ABC＝120°，∵AB＝BC＝1，∴AC＝，BM＝，∴AC⊥CD，又AC⊥BM，∴BM∥CD．∵P A＝PC＝，CM＝＝，∴PM＝，∵PB＝，∴cos∠BMP＝＝﹣，∴∠PMB＝120°，以M为原点，以MB，MC的方向为x轴，y轴的正方向，以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M﹣xyz，如图所示：则A（0，﹣，0），C（0，，0），P（﹣，0，），D（﹣1，，0），∴＝（﹣1，，0），＝（0，，0），＝（﹣，，），设平面ACP的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝得＝（，0，1），∴cos＜，＞＝＝﹣，∴直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝．20．（15分）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设函数（ⅰ）求证：f（x）是减函数；（ⅱ）若不等式对任意n∈N*恒成立（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【解答】（I）证明：令g（x）＝lnx﹣（x＞1），则g′（x）＝﹣＝＝＝﹣＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）＜g（1）＝0，即lnx﹣＜0．∴lnx＜（x＞1）．（II）证明：（i）f′（x）＝﹣+＝，由（I）可知lnx＜，∴（lnx）2＜，∴x（lnx）2＜（x﹣1）2，∴f′（x）＜0，∴f（x）＝﹣（x＞1）是减函数．（ii）由得（n+a）ln（1+）＜1，∵ln（1+）＞ln1＝0，∴n+a＜，即a＜﹣n，令1+＝t，则n＝（1＜t≤2）．∴a＜﹣＝f（t），由（i）可知f（t）在（1，2]上单调递减，∴f（t）的最小值为f（2）＝．∴a＜．21．（15分）如图，已知椭圆离心率为，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆切于点P，OQ⊥l，垂足为Q，其中O为坐标原点．求△OPQ面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝，则2c＝2，c＝1，则a＝2，b＝＝3，∴椭圆C的方程：；（Ⅱ）方法一：设P（x0，y0），（x0≠0，y0≠0）由椭圆在P的切线方程：，即3x0x+4y0y﹣12＝0，则直线OQ的方程：y＝x，即3x0y﹣4y0x＝0，则|OQ|＝，|PQ|＝＝，则△OPQ面积S△OPQ＝×|OQ|×|PQ|＝××＝≤＝，当且仅当9x02＝16y02，即x02＝，y02＝时取等号，△OPQ面积的最大值．方法二：设切线方程：y＝kx+m，（k≠0）切点P（x0，y0），（x0≠0，y0≠0），O到切线的距离：|OQ|＝，联立，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，△＝（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＝0，整理得：m2＝3+4k2，代入解得：x0＝﹣，y0＝k0x+m＝，直线OQ的方程：y＝﹣x，即ky+x＝0，则|PQ|＝＝，则则△OPQ面积S△OPQ＝×|OQ|×|PQ|＝×|PQ|•|OQ|＝ו＝×≤×＝，当且仅当k2＝1时，即x02＝，y02＝时取等号，△OPQ面积的最大值．22．（15分）已知正项数列{a n}满足a1＝4，，n∈N*．（Ⅰ）求证：a n≥4n；（Ⅱ）求证：【解答】证明：（Ⅰ）首先利用lnx≤x﹣1，可得，即，以下用数学归纳法证明a n≥4n，①当n＝1时显然成立；②假设当n＝k时，不等式成立，即a k≥4k，则当n＝k+1时，由函数的单调性可得，，也就是说，当n＝k+1时，不等式也成立；由①②可知，a n≥4n对任意的n∈N*成立；（Ⅱ）易知，由≥3a n+4，则a n+1+2≥3（a n+2），所以，，则，因此，＝，所以，．。
2018年浙江省“五校联考”高考数学二模试卷
2018年浙江省“五校联考”高考数学二模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A={x||x−1|≤1}，B={x|log2x≤2}，则B∩∁R A=()A.[2, 4]B.(2, 4]C.[0, 4]D.(2, 4]∪(−∞, 0)2. 若复数z满足z(1+i)=|1−i|+i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（）A.1−√22B.√2−12C.−√2+12i D.√2−12i3. 已知随机变量X∼B(4, p)，若EX=83，则P(X=2)=()A.8 3B.827C.23D.494. 设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A.a⊥α，b // β，α⊥βB.a⊥α，b⊥β，α // βC.a⊂α，b⊥β，α // βD.a⊂α，b // β，α⊥β5. 如图，设A、B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则CO→∗CB→的取值范围是（）A.[−1, 3]B.[1, 3]C.[−3, −1]D.[−3, 1]6. (1−√x)6(1+√x)4的展开式中x的系数是（）A.−4B.−3C.3D.47. 点D是△ABC的边AB的中点，∠ABC=120∘，|CD||AB|=√32，若以A、B为焦点的双曲线恰好经过点C，则该双曲线的离心率为（）A.√7+13B.√5+12C.√2+1D.√3+18. 若cosα+sinα=tanα(0<α<π2)，则α∈()A.(0,π6) B.(π6,π4) C.(π4,π3) D.(π3,π2)9. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c，有以下四个命题：（1）以√a，√b，√c为边长的三角形一定存在；（2）以2a ，2b ，2c 为边长的三角形一定存在；（3）以a 3，b 3，c 3为边长的三角形一定存在；（4）以|a −b|+c ，|b −c|+a ，|c −a|+b 为边长的三角形一定存在，其中正确命题的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10. 已知函数f(x)={|(x −a)2−1|+a,x ≥0|x −a|+2a −1,x <0 的最小值为2a −1，则实数a 的取值范围是（ ） A.a =±1 B.0≤a ≤1 C.a ≤0或a =1 D.a ≤0或a ≥1二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．已知2log 6x =1−log 63，则x 的值是________．若实数x ，y 满足{−x +y ≤1y ≥|2x −1| ，则x +y 的最大值为________，x 2+y 2的取值范围为________．一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为________．点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM →=xAB →，AN →=yAC →．若x =12，则y =________，若S △AMN =23S △ABC ，则x +y =________．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若−1，S 5，S 10成等差数列，则S 10−2S 5=________，S 15−S 10的最小值为________．将一个4×4正方形棋盘中的8个小正方形方格染成红色，使得每行、每列都恰有两个红色方格，则有________种不同的染色方法．棱长为36的正四面体A−BCD的内切球球面上有一动点M，则MB+13MC的最小值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(b+c)2−a2=(2+√2)bc，sinAsinB=cos2C2．(Ⅰ)求角A和角B的大小；(Ⅱ)已知当x∈R时，函数f(x)=sinx(cosx+asinx)的最大值为32，求a的值．如图，四棱锥P−ABCD的底面是梯形．BC // AD，AB=BC=CD=1，AD=2，PB=√132，PA=PC=√3(Ⅰ)证明；AC⊥BP；(Ⅱ)求直线AD与平面APC所成角的正弦值．(Ⅰ)求证：lnx<√x>1)；(Ⅱ)设函数f(x)=1lnx −1x−1(x>1)(ⅰ)求证：f(x)是减函数；(ⅱ)若不等式(1+1n)n+a<e对任意n∈N∗恒成立（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为12，焦距为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)直线l与椭圆切于点P，OQ⊥l，垂足为Q，其中O为坐标原点．求△OPQ面积的最大值．已知正项数列{a n}满足a1=4，lna n+1=1na n2−a n+3，n∈N∗．(Ⅰ)求证：a n≥4n；(Ⅱ)求证：16≤12+a1+12+a2+..+12+a n≤14参考答案与试题解析2018年浙江省“五校联考”高考数学二模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】解不等式求得集合A 、B ，根据交集与补集的定义计算即可． 【解答】集合A ={x||x −1|≤1}={x|−1≤x −1≤1}={x|0≤x ≤2}=[0, 2]， B ={x|log 2x ≤2}={x|0<x ≤4}=(0, 4]， ∴ ∁R A =(−∞, 0)∪(2, +∞)， ∴ B ∩∁R A =(2, 4]． 2.【答案】 A【考点】 复数的运算 【解析】复数z 满足z(1+i)=|1−i|+i ，则(a +bi)(1+i)=a −b +(b +a)i =√2+i ，列方程组能求出z 的虚部． 【解答】设z =a +bi ，∵ 复数z 满足z(1+i)=|1−i|+i （其中i 为虚数单位）， ∴ (a +bi)(1+i)=√2+i ，∴ a +bi +ai +bi 2=a −b +(b +a)i =√2+i ， ∴ {a −b =√2a +b =1 ，解得a =√2+12，b =1−√22．∴ z 的虚部为1−√22．3.【答案】 B【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】根据数学期望值求出p ，再利用公式计算概率P(X =2)的值． 【解答】由随机变量X ∼B(4, p)， 且EX =83，即np =4p =83，解得p =23；∴ P(X =2)=C 42⋅(23)2⋅(1−23)2=827． 4.【答案】 C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可． 【解答】A 、B 、D 的反例如图．5.【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】如图所示，可得O(0, 0)，A(−2, 0)，C(−1, 0)，设B(2cosθ, 2sinθ)．θ∈[0, 2π)．利用数量积运算性质与三角函数的单调性可得CO →∗CB →范围．【解答】 如图所示，可得O(0, 0)，A(−2, 0)，C(−1, 0)，设B(2cosθ, 2sinθ)．θ∈[0, 2π)． CO →∗CB →=(1, 0)⋅(2cosθ+1, 2sinθ)=2cosθ+1∈[−1, 3]． 6.【答案】 B【考点】二项式定理的应用 【解析】展开式中x 的系数由三部分和组成：(1−√x)6的常数项与(1+√x)4展开式的x 的系数积；(1−√x)6的展开式的x 的系数与(1+√x)4的常数项的积；(1−√x)6的√x 的系数与(1+√x)4的√x 的系数积．利用二项展开式的通项求得各项系数． 【解答】(1−√x)6的展开式的通项为T r+1=C 6r (−√x)r =(−1)rC 6rx r2∴ (1−√x)6展开式中常数项为C 60，含x 的项的系数为C 62，含√x 的项的系数为−C 61 (1+√x)4的展开式的通项为T r+1=C 4r(√x)r∴(1+√x)4的展开式中的x的系数为C42，常数项为C40，含√x的项的系数为C41故(1−√x)6(1+√x)4的展开式中x的系数是C60C42+C62C40−C61C41=6+15−24=−37.【答案】A【考点】双曲线的特性【解析】设AB=2，根据余弦定理计算BC，AC，从而得出离心率．【解答】不妨设AB=2，则CD=√3，BD=12AB=1，在△BCD中，由余弦定理可得：cos∠ABC=BC2+1−32BC =−12，解得BC=1，在△ABC中，由余弦定理得AC=√4+1−2∗2∗1∗cos120∘=√7，不妨设以AB为焦点的双曲线方程为x2a2−y2b2=1，则2a=AC−BC=√7−1，2c=AB=2，∴离心率e=ca =√7−1=√7+13．8.【答案】C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】把等式左边利用辅助角公式化积，结合α的范围求出cosα+sinα的范围进一步得到tanα的范围，则答案可求．【解答】cosα+sinα=√2sin(α+π4)，当0<α<π2时，π4<α+π4<3π4，则√2sin(α+π4)∈(1, √2]⊂(1, √3)，∴tanα∈(1, √3)．得α∈(π4,π3 )．9.【答案】∵(√b+√c)2−(√a)2=b+c−a+2√bc>0，∴√b+√c>√a，∴以√a，√b，√c为边长的三角形一定存在；当b=3，c=2，a=4时，22+23>24不成立，因此以2a，2b，2c为边长的三角形不一定存在；当b=3，c=2，a=4时，a3>b3+c3不成立，因此以a3，b3，c3为边长的三角形不一定存在； B【考点】 三角形求面积 【解析】三角形ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，不妨设a ≥b ≥c ，则b +c >a ．通过作差或平方作差，利用绝对值不等式的性质及其三角形三边大小关系即可判断出结论． 【解答】∵ (√b +√c)2−(√a)2=b +c −a +2√bc >0，∴ √b +√c >√a ，∴ 以√a ，√b ，√c 为边长的三角形一定存在；当b =3，c =2，a =4时，22+23>24不成立，因此以2a ，2b ，2c 为边长的三角形不一定存在；当b =3，c =2，a =4时，a 3>b 3+c 3不成立，因此以a 3，b 3，c 3为边长的三角形不一定存在；∵ |a −b|+c +|b −c|+a ≥|a −c|+c +a >|c −a|+b ，∴ 以|a −b|+c ，|b −c|+a ，|c −a|+b 为边长的三角形一定存在； 其中正确命题的个数为2个． 故选：B ． 10.【答案】 A【考点】分段函数的应用函数的最值及其几何意义 【解析】讨论a =0，a =1，求得f(x)的解析式，运用二次函数、绝对值函数的值域，可得最值，即可得到结论． 【解答】解：若a =0，则f(x)={|x 2−1|,x ≥0|x|−1,x <0 ， 可得x <0时，f(x)>−1； x ≥0时，f(x)≥0，可得f(x)的值域为(−1, +∞)，无最小值； 当a =1时，f(x)={|(x −1)2−1|+1,x ≥0|x −1|+1,x <0 ， 当x <0时，f(x)=|x −1|+1>2，当x ≥0时，f(x)=|(x −1)2−1|+1≥1， 当x =0时，取得最小值1，则f(x)的最小值为1，满足题意，当a =−1时，f(x)={|(x +1)2−1|−1,x ≥0|x +1|−3,x <0， 当x <0时，f(x)≥−3；当x ≥0时，f(x)=x 2+2x −1的值域为[−1, +∞)， 可得f(x)的最小值为−1． 故排除B ，C,D. 故选A .二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 【答案】 √2【考点】对数的运算性质 【解析】由对数的性质分别化简等号两边，再根据对数函数的定义域和单调性求值． 【解答】原式等价于log 6x 2=log 66−log 63=log 62， 所以x 2=2， 又x >0， ∴ x =√2， 【答案】 5,[0, 13] 【考点】 简单线性规划 【解析】画出不等式组表示的平面区域，由图形求出目标函数z =x +y 的最大值，再根据z =x 2+y 2表示区域内的点到原点的距离的平方，求出x 2+y 2的取值范围． 【解答】不等式组{−x +y ≤1y ≥|2x −1| 可化为 {x −y ≥−1y ≥2x −1y ≥0 或{x −y ≥−1y ≥−2x +1y ≥0， 在同一坐标系中画出两个不等式组表示的平面区域，如图所示；则由图形知，目标函数z =x +y 过点C 时，z 取得最大值， 由{x −y =−1y =2x −1 ，解得C(2, 3)， ∴ x +y 的最大值为5；又z =x 2+y 2表示区域内的点到原点的距离的平方， 由图形知，x 2+y 2的最小值为0， 最大值为22+32=13，∴ x 2+y 2的取值范围是[0, 13]． 【答案】26+2√34，其外接球的体积是125√23π【考点】由三视图求体积 【解析】判断几何体的形状，利用所使用的数据求解三棱锥的表面积以及外接球体积即可． 【解答】如图：PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，PA =5，AB =3，BC =4，三棱锥的表面积为：12×3×5+12×3×4+12×4×√25+9+12×5×√9+16=26+2√34 三棱锥的外接球就是长方体三度为：5，4，3的外接球，所以外接球的半径为：12√32+42+52=5√22．外接球的体积为：4π3×(5√22)3=125√23π． 【答案】 1,2【考点】平面向量的基本定理 【解析】用AM →,AN →表示出AG →，根据三点共线求出x ，y 的关系，根据三角形的面积比得出xy =23，从而可求出x +y 的值． 【解答】根据条件：AC →=1y AN →，AB →=1x AM →；又AG →=13AB →+13AC →；∴ AG →=13x AM →+13y AN →； 又M ，G ，N 三点共线； ∴ 13x +13y =1； ∵ x =12，∴ y =1； ∵ S △AMN =23S △ABC ， ∴12AM∗AN∗sin∠MAN 12AB∗AC∗sin∠BAC =AM AB∗AN AC =xy =23，又1x +1y =3，即x+yxy =3， ∴ x +y =2．【答案】1,4【考点】等比数列的前n项和【解析】由题意和等差数列易得第一问；再根据S5，S10−S5，S15−S10为等比数列，可得S15−S10为S5的式子，由基本不等式可得第二问．【解答】∵−1，S5，S10成等差数列，∴2S5=S10−1，∴S10−2S5=1，又由等比数列的性质可得S5，S10−S5，S15−S10为等比数列，∴S5(S15−S10)=(S10−S5)2，∴S15−S10=(S10−S5)2S5=(1+2S5−S5)2S5=S5+1S5+2≥2√S5∗1S5+2=4，当且仅当S5=1S5即S5=1时取等号，∴S15−S10的最小值为4，【答案】90【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，先分析第一行的染法数目，进而分类讨论第一行染好后的3种情况，①第二行的红色方格均与第一行的红色方格同列，②第二行染的红色方格与第一行的红色方格均不同列，③第二行染的红色方格恰有一个与第一行的红色方格同列，依次分析第三、四行的染法数目，综合可得第二、三、行的染法数目，由分步计数原理可得答案．【解答】第一行染2个红色方格有C42种染法；第一行染好后，有如下三种情况：①第二行的红色方格均与第一行的红色方格同列，这时其余行都只有1种染法；②第二行染的红色方格与第一行的红色方格均不同列，这时第三行有C42种染法，第四行的染法随之确定；③第二行染的红色方格恰有一个与第一行的红色方格同列，而第一、第二这两行染好后，第三行的红色方格必然有一个与上面的红色方格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行染法随之确定．因此，共有染法为：6×(1+6+4×2)=90（种）．【答案】4√33【考点】球内接多面体【解析】由阿波罗尼斯球得内切球球心O是线段CH上以C，E为定点空间中满足PCPE=λ(λ≠1)的点P的集合，连结CO并延长交平面ABD于H，交内切球上方的点设为K，过M作ME⊥CH，交CH于E，连结BM，CM，设OE=x，由已知得CO=9√6，OH=3√6，KCKE=HC HE ，推导出x=√6，λ=3，从而13MC=ME，进而MB+13MC=MB+ME≥BE，由此能求出MB+13MC的最小值．【解答】由阿波罗尼斯球得内切球球心O是线段CH上以C，E为定点，空间中满足PCPE=λ(λ≠1)的点P的集合，连结CO并延长交平面ABD于H，交内切球上方的点设为K，过M作ME⊥CH，交CH于E，连结BM，CM，设OE=x，由已知得CO=9√6，OH=3√6，KC KE =HCHE，∴√63√6−x=√63√6+x，解得x=√6，∴λ=KCKE =√62√6=3，∴MCME =3，∴13MC=ME，∴MB+13MC=MB+ME≥BE，在△BOE中，BO=CO=9√6，OE=√6，cos∠BOE=−cos∠BOH=−13，∴BE=√(9√6)2+(√6)2−2×9√6×√6×(−13)=4√33．∴MB+13MC的最小值为4√33．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】(Ⅰ)由(b+c)2−a2=(2+√2)bc，可得：b2+c2−a2=√2bc，所以cosA=b2+c2−a22bc =√2bc2bc=√22，又0<A<π，可得：A=π4，由sinAsinB=cos2C2，可得：√22sinB=1+cosC2，√2sinB=1+cosC，∴B+C=3π4，则√2sin(3π4−C)=1+cosC，∴可得：sinC=1，解得C=π2，∴B=π4．(Ⅱ)f(x)=sinx(cosx+asinx)=12sin2x+a2(1−cos2x)=a2+√1+a22sin(2x−θ)，tanθ=a，∵函数f(x)=sinx(cosx+asinx)的最大值为32，∴a2+√1+a22=32，∴解得a=43．．【考点】余弦定理【解析】(Ⅰ)由已知可得：b2+c2−a2=√2bc，利用余弦定理可求cosA，结合范围0<A<π，可求A=π4，由已知可得sinB=1+cosC，由B+C=3π4，则利用三角函数恒等变换的应用可求sinC=1，解得C=π2，利用三角形内角和定理解得B=π4．(Ⅱ)利用恒等变换公式对f(x)=sinx(cosx+asinx)化简得到f(x)=a2+√1+a22sin(2x−θ)，再由最大值，建立方程即可求出a的值．【解答】(Ⅰ)由(b+c)2−a2=(2+√2)bc，可得：b2+c2−a2=√2bc，所以cosA=b2+c2−a22bc =√2bc2bc=√22，又0<A<π，可得：A=π4，由sinAsinB=cos2C2，可得：√22sinB=1+cosC2，√2sinB=1+cosC，∴B+C=3π4，则√2sin(3π4−C)=1+cosC，∴可得：sinC=1，解得C=π2，∴B=π4．(Ⅱ)f(x)=sinx(cosx+asinx)=12sin2x+a2(1−cos2x)=a2+√1+a22sin(2x−θ)，tanθ=a，∵函数f(x)=sinx(cosx+asinx)的最大值为32，∴a2+√1+a22=32，∴解得a=43．．【答案】则A(0, −√32, 0)，C(0, √32, 0)，P(−34, 0, 3√34)，D(−1, √32, 0)，∴AD→=(−1, √3, 0)，AC→=(0, √3, 0)，AP→=(−34, √32, 3√34)，设平面ACP 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗AC →=0n →∗AP →=0 ，即{√3y =0−34x +√32y +3√34z =0 ， 令x =√3得n →=(√3, 0, 1)， ∴ cos <n →，AD →>=n →∗AD →|n →||AD →|=−√34， ∴ 直线AD 与平面APC 所成角的正弦值为|cos <n →，AD →>|=√34．【考点】直线与平面垂直 直线与平面所成的角 【解析】（I ）取AC 的中点M ，连接PM ，BM ，通过证明AC ⊥平面PBM 得出AC ⊥BP ； (II)以M 为原点建立坐标系，求出平面APC 的法向量n →，通过计算n →与AD →的夹角得出AD 与平面APC 所成角． 【解答】（I ）证明：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ， ∵ AB =BC ，PA =PC ，∴ AC ⊥BM ，AC ⊥PM ，又BM ∩PM =M ， ∴ AC ⊥平面PBM ， ∵ BP ⊂平面PBM ， ∴ AC ⊥BP ．(II)∵ 底面ABCD 是梯形．BC // AD ，AB =BC =CD =1，AD =2， ∴ ∠ABC =120∘，∵ AB =BC =1，∴ AC =√3，BM =12，∴ AC ⊥CD ， 又AC ⊥BM ，∴ BM // CD ．∵ PA =PC =√3，CM =12AC =√32，∴ PM =32，∵ PB =√132，∴ cos∠BMP =PM 2+BM 2−BP 22PM∗BM=−12，∴ ∠PMB =120∘，以M 为原点，以MB ，MC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，以平面ABCD 在M 处的垂线为z 轴建立坐标系M −xyz ， 【答案】（1）证明：令g(x)=lnx −√x>1)，则g′(x)=1x −√x−(x−1)⋅12√xx=1−√x+x−12√xx=(√x−1)⋅1−√x 2√xx=√x−1)22x √x<0，∴ g(x)在(1, +∞)上单调递减， ∴ g(x)<g(1)=0，即lnx √x<0．∴ lnx <x>1)．（2）证明：(i)f′(x)=−1x(lnx)2+1(x−1)2=x(lnx)2−(x−1)2(x−1)2(lnx)2，由(I)可知lnx <√x，∴ (lnx)2<(x−1)2x，∴ x(lnx)2<(x −1)2，∴ f′(x)<0，∴ f(x)=1lnx −1x−1(x >1)是减函数． (ii)由(1+1n )n+a <e 得(n +a)ln(1+1n )<1， ∵ ln(1+1n )>ln1=0，∴ n +a <1ln(1+1n)，即a <1ln(1+1n)−n ，令1+1n =t ，则n =1t−1(1<t ≤2)． ∴ a <1lnt −1t−1=f(t)，由(i)可知f(t)在(1, 2]上单调递减， ∴ f(t)的最小值为f(2)=1ln2−1． ∴ a <1ln2−1．【考点】不等式的证明 【解析】（I ）作差求导，根据单调性和最值得出结论；(II)(i)根据(I)的结论判断f′(x)<0，从而结论得证；(ii)分离参数可得a <1ln(1+1n)−n ，使用换元法和(i)的单调性求出函数的最小值即可得出a 的范围． 【解答】（1）证明：令g(x)=lnx −√x>1)，则g′(x)=1x−√x−(x−1)⋅12√xx=1−√x+x−12√xx=(√x−1)⋅1−√x 2√xx=√x−1)22x √x<0，∴ g(x)在(1, +∞)上单调递减， ∴ g(x)<g(1)=0，即lnx √x<0．∴ lnx <x>1)．（2）证明：(i)f′(x)=−1x(lnx)2+1(x−1)2=x(lnx)2−(x−1)2(x−1)2(lnx)2，由(I)可知lnx <√x，∴ (lnx)2<(x−1)2x，∴ x(lnx)2<(x −1)2，∴ f′(x)<0，∴ f(x)=1lnx −1x−1(x >1)是减函数． (ii)由(1+1n )n+a <e 得(n +a)ln(1+1n )<1， ∵ ln(1+1n )>ln1=0，∴ n +a <1ln(1+1n)，即a <1ln(1+1n)−n ，令1+1n =t ，则n =1t−1(1<t ≤2)． ∴ a <1lnt −1t−1=f(t)，由(i)可知f(t)在(1, 2]上单调递减， ∴ f(t)的最小值为f(2)=1ln2−1． ∴ a <1ln2−1． 【答案】（1）由椭圆的离心率e =ca =12，则2c =2，c =1， 则a =2，b =√a 2−b 2=3， ∴ 椭圆C 的方程：x 24+y 23=1；（2）方法一：设P(x 0, y 0)，(x 0≠0, y 0≠0)由椭圆在P 的切线方程：x 0x 4+y 0y 3=1，即3x 0x +4y 0y −12=0，则直线OQ 的方程：y =4y3x 0x ，即3x 0y −4y 0x =0，则|OQ|=√9x 0+16y 0，|PQ|=0000√9x 0+16y 0=00√9x 0+16y 0，则△OPQ 面积S △OPQ =12×|OQ|×|PQ|=12√9x 0+16y 0×00√9x 0+16y 0=6|x 0y 0|9x 02+16y 02≤6|x 0y 0|2×3×4|x 0y 0|=14，当且仅当9x 02=16y 02，即x 02=167，y 02=97时取等号， △OPQ 面积的最大值14．方法二：设切线方程：y =kx +m ，(k ≠0)切点P(x 0, y 0)，(x 0≠0, y 0≠0)， O 到切线的距离：|OQ|=√1+k 2，联立{y =kx +m x 24+y 23=1，整理得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=(8km)2−4×(3+4k 2)(4m 2−12)=0，整理得：m 2=3+4k 2， 代入解得：x 0=√3+4k 2，y 0=k 0x +m =√3+4k 2， 直线OQ 的方程：y =−1k x ，即ky +x =0，则|PQ|=|√3+4k 2−√3+4k 2|√1+k 2=√3+4k 2√1+k 2，则则△OPQ 面积S △OPQ =12×|OQ|×|PQ|=12×|PQ|⋅|OQ|=12√3+4k 2√1+k 2⋅√1+k 2=12×|k|1+k 2≤12×|k|2|k|=14， 当且仅当k 2=1时，即x 02=167，y 02=97时取等号， △OPQ 面积的最大值14．【考点】椭圆的标准方程 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(Ⅰ)根据椭圆的离心率公式及c =1，即可求得a 和c 的值，即可求得椭圆方程；(Ⅱ)方法一：根据椭圆的切线方程，求得直线OQ 的方程，根据点到直线的距离公式即可求得|OQ|及|PQ|，利用三角形的面积公式和基本不等式即可求得△OPQ 面积的最大值；方法二：设切线方程y =kx +m ，求得直线OQ 方程，将切线方程代入椭圆方程，由△=0，即可求得m 2=3+4k 2，利用点到直线的距离公式分别求得|OQ|及|PQ|，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△OPQ 面积的最大值． 【解答】（1）由椭圆的离心率e =ca =12，则2c =2，c =1， 则a =2，b =√a 2−b 2=3， ∴ 椭圆C 的方程：x 24+y 23=1；（2）方法一：设P(x 0, y 0)，(x 0≠0, y 0≠0)由椭圆在P 的切线方程：x 0x 4+y 0y 3=1，即3x 0x +4y 0y −12=0，则直线OQ 的方程：y =4y3x 0x ，即3x 0y −4y 0x =0，则|OQ|=√9x 0+16y 0，|PQ|=0000√9x 0+16y 0=00√9x 0+16y 0，则△OPQ 面积S △OPQ =12×|OQ|×|PQ|=12√9x 0+16y 0×00√9x 0+16y 0=6|x 0y 0|9x 02+16y 02≤6|x 0y 0|2×3×4|x 0y 0|=14， 当且仅当9x 02=16y 02，即x 02=167，y 02=97时取等号，△OPQ 面积的最大值14．方法二：设切线方程：y =kx +m ，(k ≠0)切点P(x 0, y 0)，(x 0≠0, y 0≠0)， O 到切线的距离：|OQ|=√1+k 2，联立{y =kx +mx 24+y 23=1，整理得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=(8km)2−4×(3+4k 2)(4m 2−12)=0，整理得：m 2=3+4k 2， 代入解得：x 0=√3+4k 2，y 0=k 0x +m =√3+4k 2， 直线OQ 的方程：y =−1k x ，即ky +x =0，则|PQ|=|√3+4k 2−√3+4k 2|√1+k 2=√3+4k 2√1+k 2，则则△OPQ 面积S △OPQ =12×|OQ|×|PQ|=12×|PQ|⋅|OQ|=12√3+4k 2√1+k 2⋅√1+k 2=12×|k|1+k 2≤12×|k|2|k|=14， 当且仅当k 2=1时，即x 02=167，y 02=97时取等号， △OPQ 面积的最大值14． 【答案】证明：(Ⅰ)首先利用lnx ≤x −1，可得1n a n 2+a n −3=lna n+1≤a n+1−1，即a n+1≥1na n 2+a n −4，以下用数学归纳法证明a n ≥4n ， ①当n =1时显然成立；②假设当n =k 时，不等式成立，即a k ≥4k ，则当n =k +1时，由函数f(x)=1k x 2−x +4的单调性可得，a k+1≥1k ⋅a k 2−a k +4≥1k(4k)2−4k +4=12k +4>4(k +1)，也就是说，当n =k +1时，不等式也成立；由①②可知，a n ≥4n 对任意的n ∈N ∗成立； （2）易知12+a 1+12+a 2+⋯+12+a n>12+a 1=16，由a n+1≥1n a n2−a n +4=a n (an n−1)+4≥3a n +4，则a n+1+2≥3(a n +2)， 所以，a n +2≥3(a n−1+2)≥32(a n−2+2)≥⋯≥3n−1(a 1+2)=3n−1⋅6=2⋅3n ，则12+a n≤12⋅13，因此，12+a 1+12+a 2+⋯+12+a n≤12(13+132+⋯+13n )=12⋅13(1−13n )1−13=14(1−13n )=14，所以，16≤12+a 1+12+a 2+⋯+12+a n≤14．【考点】数列与不等式的综合 【解析】(Ⅰ)由lnx ≤x −1，得a n+1≥1n a n2−a n +4，然后利用数学归纳法证明不等式a n ≥4n 成立；(Ⅱ)先由12+a 1+12+a 2+⋯+12+a n>12+a 1=16成立，再由a n+1≥1n a n2−a n +4≥3a n +4成立，于是得到a n+1+2≥3(a n +2)成立，进而得到a n +2≥2⋅3n ，于是得到12+a n≤12⋅13n，然后利用不等式的可加性与等比数列求和公式可证明12+a 1+12+a 2+⋯+12+a n≤14成立．【解答】证明：(Ⅰ)首先利用lnx ≤x −1，可得1n a n 2+a n −3=lna n+1≤a n+1−1，即a n+1≥1na n 2+a n −4，以下用数学归纳法证明a n ≥4n ， ①当n =1时显然成立；②假设当n =k 时，不等式成立，即a k ≥4k ，则当n =k +1时，由函数f(x)=1k x 2−x +4的单调性可得，a k+1≥1k ⋅a k 2−a k +4≥1k(4k)2−4k +4=12k +4>4(k +1)，也就是说，当n =k +1时，不等式也成立；由①②可知，a n ≥4n 对任意的n ∈N ∗成立； （2）易知12+a 1+12+a 2+⋯+12+a n>12+a 1=16，由a n+1≥1n a n2−a n +4=a n (an n −1)+4≥3a n +4，则a n+1+2≥3(a n +2)， 所以，a n +2≥3(a n−1+2)≥32(a n−2+2)≥⋯≥3n−1(a 1+2)=3n−1⋅6=2⋅3n ，则12+a n≤12⋅13n ，因此，12+a 1+12+a 2+⋯+12+a n≤12(13+13+⋯+13)=12⋅13(1−13n )1−13=14(1−13)=14，所以，16≤12+a 1+12+a 2+⋯+12+a n≤14．。
五校联考高二数学试卷及答题卡(无答案)
5.设非零向量 a,b 满足 a+b = a-b 则 A.a b B. a = b C.a∥b D. a b
15.设 F1，F2 分别是椭圆的两个焦点，P 是第一象限内该椭圆上一点，且，则正数 m 的值为________． 16.曲线 C 是平面内到直线 l1：x=-1 和直线 l2：y=1 的距离之积等于常数 k 下列四个结论： ①曲线 C 过点(-1，1)； ②曲线 C 关于点(-1，1)对称； + 不小于 2k；
4. 点 P 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的 底 面 A1B1C1D1 上 一 点 ， 则 A. B. C.[-1，0] ·
D.（ 1， 2） 的取值范围是 D.
13.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2bcosB=acosC+ccosA,则 B= 14.在△ABC 中，若∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8，PC⊥平面 ABC，PC=4，M 是 AB 上一点，则 PM 的最小值为 .
P1：{an}为先减后增数列； P3： n N *, a n e
1 n
n 1
，关于{an}有如下命题：
P2：{an}为递减数列； P4： n N *, an e 其中正确的是
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.设集合 A 1， 2， 3， B 2， 3， 4 ， 则 A B =
x 1
1
五校联考（高二数学试卷）第 2 页 共 4 页
甘肃省酒泉地区普通高中2018 学年度五校联考试卷 高 二 数 学 试 卷 答 题 卡
高考数学试题-广东2018学年度第一学期期末高三五校联
2018—2018学年第一学期期末高三五校联考数学试题（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．若集合}1|{2<=x x M ，}1|{xxy x N -==，则N M = A ．M B ．N C ．φ D ．}10|{}01|{<<<<-x x x x2．在复平面内，复数1＋i2009(1－i)2对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知cos 0()(1)10x x f x f x x π->⎧⎪=⎨++≤⎪⎩，则)34()34(-+f f 的值等于A ．2-B ．1C ．2D ．34．已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则⊂； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥；③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若αββαβα⊥⊥⊂=⊥n m n n m 则,,,, ； 其中正确的命题个数是A ．1B ．2C ．3D ．45．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且11a +b =5，11a >b ，++11a b N (n N )、∈∈，则数列nb{a }前10项的和等于A.55B.70C.85D.1006．定义行列式运算1234a a a a =1423a a a a -.将函数sin ()cos xf x x=的图象向左平移n （0n >）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 A ．6p B ．3p C ．56p D ．23p 7．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1,f -=(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃?的值为 A ．2- B ．1- C ．0 D ．18．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，!!(2)(4)642n n n n =--当n 为奇数时，!!(2)(4)531n n n n =--` 现有四个命题：①(2007!!)(2006!!)2007!=， ②2006!!21003!=， ③2006!!个位数为0， ④2007!!个位数为5其中正确的个数为A .1 B.2 C.3 D .4第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题,13～15题是选做题. 每小题5分，满分30分.9．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163x y -=的右焦点重合，则p 的值为 ． 10．设a ＝(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式6(展开式中含2x 项的系数是11．在Rt △ABC 中，CA ⊥CB ，斜边AB 上的高为h 1， 则2221111CB CA h +=；类比此性质，如图，在四 面体P —ABC 中，若PA ，PB ，PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为 ；12．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22⨯列联表计算得2 3.918K ≈，经查对临界值表知2( 3.841)0.05P K ≥≈． 对此，四名同学做出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用” q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒 r ：这种血清预防感冒的有效率为95% s ：这种血清预防感冒的有效率为5%则下列结论中，正确结论的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上） （1） p ∧﹁q ； （2）﹁p ∧q ； (3)（﹁p ∧﹁q ）∧（r ∨s ）； （4）(p ∨﹁r )∧(﹁q ∨s ) ▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分.13．（坐标系与参数方程选做题） 已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则该圆的圆心到直线sin 2cos 1ρθρθ+= 的距离是 .14．（不等式选讲选做题） 已知g(x)=|x-1|-|x-2|,则g(x)的值域为 ；若关于x 的不等式2()1()g x a a x R ≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．15．（几何证明选讲选做题） 如图：PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，已知∠BPA=030，PA=PC=1，则圆O 的半径等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16．（本小题满分12分） 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c =7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.17．（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：23123456f(x)=x,f(x)=x ,f(x)=x ,f(x)=sinx,f(x)=cosx,f(x)=2. （1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡BAPFE DCBAGFDECBA片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望. 18．(本小题满分14分) 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =2π，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE = x ，G 是BC 的中点。
安徽省中职五校联盟2018届高三第二次联考卷数学测试卷
第1页 共4页 第2页 共4页学校：_________________ 班级：__________ 姓名：_______________ 座位号：______装订线内不要答题安徽省中职五校联盟2018届高三第二次联考卷数学测试卷一、单项选择题(每一小题仅有一个正确答案。
每小题6分，共计60分) 1. 设全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，则U A ð等于A.{O ，3，4} B ．{3，4}C ．{1，2}D ．{0，1}2. x ＜1是x ＜3的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3. 若f (x －1)－x ＋1，则f (3)等于A ．3B ．4C ．5D ．64. 下列函数中为偶函数的是A ．f (x )＝1－x 3B ．f (x )＝2x －lC ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝x 2＋25. 已知过点A (1，3)和B (m ，4)的直线与直线x ＋2y ＋l ＝O 垂直，则m 的值为A ．32B ．13C ．23D ．126. 设a 、b 、c 是三条直线，α、β、γ是三个平面，下列命题正确的是A ．若a ⊥γ，β⊥γ，则α∥βB ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥αC ．若a ⊥α，a ⊥β，则α∥βD ．若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥c7. 两球的表面积之比为1:9，则两球的体积之比为A ．1:3B ．1:9C ．l:27D ．8. 已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(－1，1)，则3a ＋2b等于A ．(－7，4)B ．(7，4)C ．(－7，－4)D ．(7，－4)9. 在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 3＋a 8等于A ．12B ．24C ．36D ．4810. 等比数列{a n }中，若口a 2＝10，a 3＝20，则S 5等于A ．155B ．150C ．160D ．165二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分。
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数学 第1页（共4页）
2018届高三“五校联考”试卷
数 学 Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}1,0,2U =-，集合{}1,0A =-，则U A ð = ▲ ． 2．设复数z 满足i zi -=3（i 为虚数单位）
，则z 为 ▲ ．
3．设向量(2,6)a =-，(1,)b m =-，若//a b ，则实数m 的值为 ▲ ．
4．0y -=为双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线，则b 的值为 ▲ ．
5．1
""5
a =
是“直线2(1)20ax a y +-+=与直线(1)330a x ay +++=垂直”的 ▲ 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入）． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8x f x =，则19()3
f -的值为 ▲ ．
7．若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为 ▲ ．
8．设,x y 满足0
||||1y y x x y >⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
，则y x 3+的最大值为 ▲ ．
9．已知)6
5,
3(
π
πα∈，且3
cos()35πα-=，则αsin 的值是 ▲ ．
10．设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则数列{}n a 的前20项和为
▲ ．
11．已知,B D 是以AC 为直径的圆上的两点，且2AB =，5AD =，则AC BD ⋅的值为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(1)(1x y -+-=和两点
(,2),(,2)A a a B a a ---，且1a >，若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得
90APB AQB ∠=∠=，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
13．已知,,(0,)a b c ∈+∞，则2222()5
2a b c bc ac
++++的最小值为 ▲ ．
14．已知函数()ln (e )+f x x a x b =+-
，其中e 为自然对数的底数，若不等式()
0f x ≤恒成立，
则
b
a
的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14
分）
已知ABC ∆
的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a B A =. （1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆的面积为
4
b a
c =
>，求,a c .
16．（本小题满分14分）
如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAB ⊥平面ABCD ,//BC 平面PAD ,PBA ∆为锐角三角形，且 PB BC ⊥. 求证：(1) //AD 平面PBC ； (2)平面PBC ⊥平面PAB .
数学 第2页（共4页）
17．（本小题满分14分）
园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元. （1）当r 和θ分别为多少时，可使得扇形观景水池面积最大，并求出最大面积； （2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.
18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左顶点(2,0)A -，且点3
(1,)2-在椭圆上，1F 、2F 分
别是椭圆的左、右焦点。
过点A 作斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于另一点B ，直线2BF 交椭圆
E 于点C .
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若12CF F ∆为等腰三角形，求点
B 的坐标； （3）若1
FC AB ⊥，求k 的值.
19．（本小题满分16分）
已知数列{},{}n n a b 满足：13n n n b a a +=+；*
n N ∈ （1）若n b n =，230a a +=，求1a 的值； （2）设1n n n a b b +=+，11a =-，24
3
a =
，求证：数列{}n b 成等比数列； （3）若数列{}n b 成等差数列，且1235b a a =-，试判断数列{}n a 是否成等差数列？并证明你的结论.
20．（本小题满分16分）
已知函数ex e x f x -=)(，a ax x g +=2)(，其中e 为自然对数的底数，R a ∈. （1）求证：0)(≥x f ；
（2）若存在R x ∈0，使)()(00x g x f =，求a 的取值范围； （3）若对任意的)1,(--∞∈x ，)()(x g x f ≥恒成立，求a 的最小值.
数学（答案） 第1页（共9页）
2018届高三“五校联考”试卷
数学 Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角为6
π
，设l 与圆224x y +=相交于,A B
两点，求点P 到,A B 两点的距离之积.
B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．
C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，直线l 和圆C 的极坐标方程为cos()6
a π
ρθ+=(a ∈R )和4sin ρθ=.若直
线l 与圆C 有且只有一个公共点，求a 的值.
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，//EF BC ，
4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=，O 为EF 的中点.
（1）求二面角F AE B --的正弦值； （2）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值.
23．(本小题满分10分)
已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，直线过点(4,0)M .
（1）若点F
，求直线的斜率；
（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.。