2018届五校联考-数学试卷

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2018届高三“五校联考”试卷
数 学 Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知全集{}1,0,2U =-，集合{}1,0A =-，则U A ð = ▲ ． 2．设复数z 满足i zi -=3（i 为虚数单位）
，则z 为 ▲ ．
3．设向量(2,6)a =-，(1,)b m =-，若//a b ，则实数m 的值为 ▲ ．
4．0y -=为双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线，则b 的值为 ▲ ．
5．1
""5
a =
是“直线2(1)20ax a y +-+=与直线(1)330a x ay +++=垂直”的 ▲ 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选取一个填入）． 6．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8x f x =，则19()3
f -的值为 ▲ ．
7．若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为 ▲ ．
8．设,x y 满足0
||||1y y x x y >⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
，则y x 3+的最大值为 ▲ ．
9．已知)6
5,
3(
π
πα∈，且3
cos()35πα-=，则αsin 的值是 ▲ ．
10．设数列{}n a 的首项11a =，且满足21212n n a a +-=与2211n n a a -=+，则数列{}n a 的前20项和为
▲ ．
11．已知,B D 是以AC 为直径的圆上的两点，且2AB =，5AD =，则AC BD ⋅的值为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(1)(1x y -+-=和两点
(,2),(,2)A a a B a a ---，且1a >，若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得
90APB AQB ∠=∠=，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
13．已知,,(0,)a b c ∈+∞，则2222()5
2a b c bc ac
++++的最小值为 ▲ ．
14．已知函数()ln (e )+f x x a x b =+-
，其中e 为自然对数的底数，若不等式()
0f x ≤恒成立，
则
b
a
的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14
分）
已知ABC ∆
的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos a B A =. （1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆的面积为
4
b a
c =
>，求,a c .
16．（本小题满分14分）
如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAB ⊥平面ABCD ,//BC 平面PAD ,PBA ∆为锐角三角形，且 PB BC ⊥. 求证：(1) //AD 平面PBC ； (2)平面PBC ⊥平面PAB .
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17．（本小题满分14分）
园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ（弧度）的扇形观景水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元. （1）当r 和θ分别为多少时，可使得扇形观景水池面积最大，并求出最大面积； （2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.
18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左顶点(2,0)A -，且点3
(1,)2-在椭圆上，1F 、2F 分
别是椭圆的左、右焦点。

过点A 作斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于另一点B ，直线2BF 交椭圆
E 于点C .
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若12CF F ∆为等腰三角形，求点
B 的坐标； （3）若1
FC AB ⊥，求k 的值.
19．（本小题满分16分）
已知数列{},{}n n a b 满足：13n n n b a a +=+；*
n N ∈ （1）若n b n =，230a a +=，求1a 的值； （2）设1n n n a b b +=+，11a =-，24
3
a =
，求证：数列{}n b 成等比数列； （3）若数列{}n b 成等差数列，且1235b a a =-，试判断数列{}n a 是否成等差数列？并证明你的结论.
20．（本小题满分16分）
已知函数ex e x f x -=)(，a ax x g +=2)(，其中e 为自然对数的底数，R a ∈. （1）求证：0)(≥x f ；
（2）若存在R x ∈0，使)()(00x g x f =，求a 的取值范围； （3）若对任意的)1,(--∞∈x ，)()(x g x f ≥恒成立，求a 的最小值.
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数学 Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角为6
π
，设l 与圆224x y +=相交于,A B
两点，求点P 到,A B 两点的距离之积.
B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵A ＝1 2a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．
C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，直线l 和圆C 的极坐标方程为cos()6
a π
ρθ+=(a ∈R )和4sin ρθ=.若直
线l 与圆C 有且只有一个公共点，求a 的值.
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，//EF BC ，
4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=，O 为EF 的中点.
（1）求二面角F AE B --的正弦值； （2）若BE ⊥平面AOC ，求a 的值.
23．(本小题满分10分)
已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，直线过点(4,0)M .
（1）若点F
，求直线的斜率；
（2）设,A B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.。