数学123《简单复合函数的导数》PPT课件
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1.2.3简单复合函数的求导法则 (共29张PPT)
第5课时
简单复合函数的求导法则
第5课时
简单复合函数的求导法则
• 1.简单复合函数求导的一般步骤为“分层— —求导——回代”，即(1)弄清复合关系，将 复合函数分解成基本初等函数形式;(2)利用 求导法则分层求导;(3)最终结果要将中间变 量换成原来的自变量.注意不要漏掉第(3)步 回代的过程.
第5课时
第5课时
简单复合函数的求导法则
第5课时
简单复合函数的求导法则
• 预学2:复合函数的概念及拆分方法 • 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)， 给定一个x值，就得到了u的值，进而确定 了y的值，这就确定了一个新的函数y＝ f(g(x))，这个新函数是由y＝f(u)和u＝g(x)复 合而成的，我们称这个新函数为复合函数， 记作y＝f(g(x)).特别地，当g(x)＝ax＋b时， 这个复合函数就是y＝f(ax＋b)，其中u为中 间变量，把函数f(u)叫作外层函数，函数g(x) 叫作内层函数.
第5课时
简单复合函数的求导法则
• 3.求曲线的切线方程要注意“在某点处的切 线”与“过某点的切线”这两种不同的说法.
第5课时
简单复合函数的求导法则
第5课时
简单复合函数的求导法则
No.1 middle school ，my love ！
第5课时
简单复合函数的求导法则
作业：见固学案
No.1 middle school ，my love ！
第5课时
简单复合函数的求导法则
• 海上一艘油轮发生了泄漏事故，泄出的 原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜 的面积S(单位:m2)关于油膜半径r(单位:m) 的函数为 S＝f(r)＝πr2.油膜的半径r随着 时间t(单位:s)的增加而增大，假设r关于t 的函数为r＝φ(t)＝2t＋1，则油膜的面积S 关于时间t的瞬时变化率是多少?
《复合函数的导数》PPT课件_OK
4
10
题型一 复合函数的求导方法
例1: 求下列函数的导数.
(1)
y
1 (1 3x)4
;
解 : 1令u
1 3x,则y
1 u4
u4 ,
yu 4u5, ux 3,
yx
yu
ux
12u5
(1
12 3x)5
.
11
例1: 求下列函数的导数.
2 y cosx2;
(2)令u=x2,则y=cosu, ∴y′x=y′u·u′x=- sinu·2x =-2x sinx2.
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
2
复习： 导数的运算法则
f (x) g(x) f (x) g(x)
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
f g
(( gxx(1x))) ?
值域 y∈B
U∈D y∈B
5
问题1:指出下列函数的复合关系：
1) y (a bx n )m
2) y
sin(x
1)
x
解: 1)y u m , u a bx n
2)y
sin u
,u
x
1
x
3) y ln 3 ex 2
y 4) 3log2(x 2 2x 3)
3)y ln u,u 3 v ,v e x 2
1.2.2复合函数的导数
1
复习： 基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
10
题型一 复合函数的求导方法
例1: 求下列函数的导数.
(1)
y
1 (1 3x)4
;
解 : 1令u
1 3x,则y
1 u4
u4 ,
yu 4u5, ux 3,
yx
yu
ux
12u5
(1
12 3x)5
.
11
例1: 求下列函数的导数.
2 y cosx2;
(2)令u=x2,则y=cosu, ∴y′x=y′u·u′x=- sinu·2x =-2x sinx2.
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
2
复习： 导数的运算法则
f (x) g(x) f (x) g(x)
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
f g
(( gxx(1x))) ?
值域 y∈B
U∈D y∈B
5
问题1:指出下列函数的复合关系：
1) y (a bx n )m
2) y
sin(x
1)
x
解: 1)y u m , u a bx n
2)y
sin u
,u
x
1
x
3) y ln 3 ex 2
y 4) 3log2(x 2 2x 3)
3)y ln u,u 3 v ,v e x 2
1.2.2复合函数的导数
1
复习： 基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
人教版高中数学 选择性必修二 A版5.2.3《简单复合函数的导数》课件PPT
′
= 2cosx ∙ + 2 ∙ −
=2
2
− 2
2
= 2cos2
知识梳理
=
= 2的导数为 ′ = ′() = 2
= = 的导数为 ′ = ′ = = cos2x
∴ ′()=′() ∙ ′ = 22
第三部分
课堂练习
跟踪练习
1.求下列函数的导数：
(1) = 2 − 2
(2) = ln
4
+ 5 2 + − 1
(3) = 2
跟踪练习
解析: 1 ′ = 22 + 22
′
3
1
4
(2) = 4() ∙ + 10+1= ()3 +10 + 1
=
2
′
= ′
(
≠ 0)
课堂总结
复合函数的求导法则：
一般地，对于由函数 = 和 =
数 =
复合而成的函
，它的导数与函数 = 和 =
的导
数间的关系为： ′ = ′ ∙ ′ . 即对的导数等于对
的导数与对 的导数的乘积。
2 3
即 =
2
3
课堂互动
2.求函数 = 2 + 2 的导数.
解析:
2
′()＝
2 2
=
1
2
+ 2 + 22
+ 2 + 22
课堂互动
3.求函数 = 3 + 2
解析: ′ =
2
(3
简单复合函数的导数-高考数学复习PPT
1 C.ln 3
解析
f′(x)＝（x－11）ln
，故 3
f′(2)＝ln13.
D.－ln13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
索引
2.若函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a＝( A )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
解析 y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，
3.注意1个易错点 对复合函数求导不完全.
索引
拓展延伸分层精练 核心素养达成
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
一、基础达标
1.设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝( C )
A.ln 3
B.－ln 3
解析 设直线 y＝x＋1 与曲线 y＝ln(x＋a)相切于点(x0，y0)，则 y0＝1＋x0，y0＝ ln(x0＋a)， 又 y′＝x＋1 a， ∴y′|x＝x0＝x0＋1 a＝1，即 x0＋a＝1. 又 y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
索引
训练3 曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面
积为( A )
A.13
B.12
C.23
D.1
解析 对 y＝e－2x＋1 求导得 y′＝－2e－2x，则 y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2，
∴曲线 y＝e－2x＋1 在点(0，2)处的切线方程为 y＝－2x＋2.
索引
7.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160 km/h.假 设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v＝0.4t ＋ 0.6t2 ， 则 出 站 后 “ 绿 巨 人 ” 速 度 首 次 达 到 24 m/s 时 的 加 速 度 为
简单复合函数的导数 课件
（2）函数 = −.+ 可以看作函数 = 和 = −. + 的复合函数.根
据复合函数的求导法则，有
′ = ′ ∙ ′ = ′ ∙ −. + ′ = −. = −. −.+
（3）函数 = ln(2 − 1) 可以看作函数 = ln 和 = 2 − 1 的复合函数.根据
(2)令 u＝ex＋x2，则 y＝ln u，
ex＋2x
1 x 2
1
x
y′x＝y'u·u′x＝u·(e ＋x )′＝ x
·
(e
＋2x)＝ x
.
2
2
e ＋x
e ＋x
例3 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：
s）的函数满足关系式为 = (
− ) . 求函数y在t=3s 时的导数，并解
个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 且 ˊ = ˊ · ˊ .
复
合
函
数
求
导
分层——选择中间变量，写出
构成它的内、外层函数
求导——分别求内、外层函数对
应变量的导数
代回——把中间变量回代
相乘——把上述求导的结果相乘
课后提升
3
1．下列求导运算正确的是（ B）A．( + )′ = +
5.2 导数的运算
思 考
=
(1
+
)
的导数呢？
如何求函数 = (1 + ) 的导数呢？
3
= (1 + )3 = 3 + 3 2 + 3 + 1
简单复合函数的导数 课件-高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册
) (
)
x
(
1
x
)
.
2
5 1 x
1 x
5 1 x
(1 x)
5
1
2 2
2
2
2
y
(2
x
3)
1
x
(2
x
3)(1 x ) ;
解:
1
2 2
讲
课
人
：
邢
启
强
1
1
y 4 x(1 x ) (2 x 2 3) (1 x 2 ) 2 2 x
2
2
3
即曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,
所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
讲
课
人
：
邢
启
强
13
典型例题
例4(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
A. 5
B.2 5
C.3 5
)
D.0
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'|= =2 求P(x ,y )→由点到直线的距离求最小值
)
x
(
1
x
)
.
2
5 1 x
1 x
5 1 x
(1 x)
5
1
2 2
2
2
2
y
(2
x
3)
1
x
(2
x
3)(1 x ) ;
解:
1
2 2
讲
课
人
：
邢
启
强
1
1
y 4 x(1 x ) (2 x 2 3) (1 x 2 ) 2 2 x
2
2
3
即曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离是 5.
讲
课
人
：
邢
启
强
(2)令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,
所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
讲
课
人
：
邢
启
强
13
典型例题
例4(1)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是(
A. 5
B.2 5
C.3 5
)
D.0
(2)设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'|= =2 求P(x ,y )→由点到直线的距离求最小值
5.2.3简单复合函数的导数课件(人教版)
y通过中间变量u表示成x的函数.
复合函数
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
试一试
指出以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3
探究:如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.
y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′ =2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′] = 2[cos2x-sin2x]=2cos2x
特别地，[cf ( x)] ___cf__(_x_)__；
f (x)
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
(3)
g(
x)
[g( x)]2
.
学习新知
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
LOGO
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无 法用现有的方法求它的导数.
[解] 解法一：f′(x)＝2f′(2－x)·(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，得f′(1)＝2. 又f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1.
巩固练习 1.曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.
高中数学选择性必修二 课件 5 2 3简单复合函数的导数课件(共49张)
(2)令 y＝f (x)，则曲线 y＝eax 在点(0，1)处的切线的斜率为 f ′(0)， 又切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直，所以 f ′(0)＝2.因为 f (x)＝eax，所以 f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以 f ′(0)＝ae0＝a，故 a＝2.]
1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线 y＝ln(2x－1)上的点到直线 2x－y＋m＝0 的最小距离为 2 5”，求 m 的值．
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数
学习目标
核心素养
1.通过复合函数求导公式的学习， 1.了解复合函数的概念．(易混
培养数学抽象、逻辑推理的核心素 点)
养． 2．理解复合函数的求导法则，
2．借助复合函数求导及导数运算 并能求简单的复合函数的导
法则的综合应用，提升数学运算的 数．(重点、易错点)
2．曲线 y＝aex＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，你 能求出 a，b 的值吗？
[提示] ∵y′＝aex＋ln x＋1， ∴y′|x＝1＝ae＋1， ∴2＝ae＋1， ∴a＝e－1. ∴切点为(1，1)， 将(1，1)代入 y＝2x＋b，得 1＝2＋b， ∴b＝－1，故 a＝1e，b＝－1.
5．求下列函数的导数： (1)y＝e2x；(2)y＝(1－3x)3.
[解] (1)y′＝e2x·(2x)′＝e2x·2＝2e2x. (2)y′＝3(1－3x)2(1－3x)′＝－9(1－3x)2 或 y′＝－81x2＋54x－9.
3如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线 的斜率，这是求切线方程最重要的条件.
4与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的 切线与曲线的公共点不一定只有一个.
高中数学选择性必修二 5 2 3简单复合函数的导数课件(共27张)
5.2.3
简单复合函数的导数
课标阐释
思维脉络
1.了解复合函数的概念.(数学抽象) 简 单 复 合 函 数 的 导 数
2.理解复合函数的求导法则,并能求
概念
简单的复合函数的导数.(逻辑推理、
求导法则——应用
数学运算)
激趣诱思
知识点拨
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角
函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、
a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'| = =2
0
求P(x0,y0)→由点到直线的距离求最小值
(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
2
,∴y'| =
f'(x)=(
)
A.2cos 2x+2e2x
B.cos 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x
D.sin 2x+e2x
解析:因为f(x)=sin 2x+e2x,所以f'(x)=2cos 2x+2e2x.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=(
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
简单复合函数的导数
课标阐释
思维脉络
1.了解复合函数的概念.(数学抽象) 简 单 复 合 函 数 的 导 数
2.理解复合函数的求导法则,并能求
概念
简单的复合函数的导数.(逻辑推理、
求导法则——应用
数学运算)
激趣诱思
知识点拨
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角
函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、
a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'| = =2
0
求P(x0,y0)→由点到直线的距离求最小值
(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
2
,∴y'| =
f'(x)=(
)
A.2cos 2x+2e2x
B.cos 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x
D.sin 2x+e2x
解析:因为f(x)=sin 2x+e2x,所以f'(x)=2cos 2x+2e2x.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=(
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
苏教版选修2-2高中数学1.2.3《简单复合函数的导数》ppt课件
u处有导数yu f (u)，则复合函数
y f ((x))在点x处也有导数，且 y'x y'u u'x ，或fx((x)) f (u) (x).
建构数学 复合函数求导的基本步骤是：
（1）分解． （2）求导． （3）相乘． （4）回代 ．
数学运用
试说明下列函数是怎样复合而成的:
高中数学 选修２-２
回顾 1.基本求导公式:
（1）C ＝0（C为常数） （2）(xa)＝axa－1（a为常数）
（3）(ax)＝αxlna（a＞0，且a≠1）
（4）(logax)＝
1 x
logae＝
x
1 ln
a（a＞0，且a≠1）
（5）(ex)＝ex
（6）(lnx)＝1
x
（7）(sinx)＝cosx （8）(cosx)＝－sinx
(1) y (2x 3)3； (2) y ln(5x 1)； (3) y 1 ； (4) y cos(1 2x).
3x 1
数学运用
例1 求下列函数的导数：
(1) y (2x 3)3；(2) y ln(5x 1)； (3) y 1 ；(4) y cos(1 2x).
g
(
x)
g 2 (x)
其中g(x) 0
复合函数 由几个函数复合而成的函数，叫复合
函数.由函数y f (u)与u (x)复合而成的 函数的一般形式是y f [(x)]，其中u称为
中间变量.
目前我们所研究的简单复合函数的 导数仅限于形如f(ax＋b)的复合函数．
问题探究
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
y f ((x))在点x处也有导数，且 y'x y'u u'x ，或fx((x)) f (u) (x).
建构数学 复合函数求导的基本步骤是：
（1）分解． （2）求导． （3）相乘． （4）回代 ．
数学运用
试说明下列函数是怎样复合而成的:
高中数学 选修２-２
回顾 1.基本求导公式:
（1）C ＝0（C为常数） （2）(xa)＝axa－1（a为常数）
（3）(ax)＝αxlna（a＞0，且a≠1）
（4）(logax)＝
1 x
logae＝
x
1 ln
a（a＞0，且a≠1）
（5）(ex)＝ex
（6）(lnx)＝1
x
（7）(sinx)＝cosx （8）(cosx)＝－sinx
(1) y (2x 3)3； (2) y ln(5x 1)； (3) y 1 ； (4) y cos(1 2x).
3x 1
数学运用
例1 求下列函数的导数：
(1) y (2x 3)3；(2) y ln(5x 1)； (3) y 1 ；(4) y cos(1 2x).
g
(
x)
g 2 (x)
其中g(x) 0
复合函数 由几个函数复合而成的函数，叫复合
函数.由函数y f (u)与u (x)复合而成的 函数的一般形式是y f [(x)]，其中u称为
中间变量.
目前我们所研究的简单复合函数的 导数仅限于形如f(ax＋b)的复合函数．
问题探究
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
简单复合函数的导数 PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修二)
1
2
2
= ×2=
=
.
2 − 1
高中数学
这可以作为
结果吗？
例1 求下列函数的导数：
（1） = (3 + 5)3 ；
（2） = e−2+3 ；
（3） = ln( + 1).
高中数学可以看作 = 3 和 = 3 + 5的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
需要用到复合函数的求导法则.
高中数学
−
)的导数？
追问2：函数 =
(
−
)可以看作哪两个函数的复合函数？
= 18sin， =
高中数学
2π
3
−
π
.
2
解：函数 =
2π
18sin(
3
−
π
)可以看作函数
2
= 18sin与 =
π
的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
设 = ℎ = 2 − 1( >
1
)，则
2
= = ln.
所以 = = ln(2 − 1)可以看做
= 和 = ℎ 经过“复合”得到.
即： = = = (ℎ()).
高中数学
定义：
一般地，对于两个函数 = 和 = ℎ ，如果通过中间变
国家中小学课程资源
简单复合函数的导数
教师：XX
日期：XX年XX月XX日
温故知新
问题1 导数的四则运算法则是什么？
±
高中数学
′
′
′
2
2
= ×2=
=
.
2 − 1
高中数学
这可以作为
结果吗？
例1 求下列函数的导数：
（1） = (3 + 5)3 ；
（2） = e−2+3 ；
（3） = ln( + 1).
高中数学可以看作 = 3 和 = 3 + 5的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
需要用到复合函数的求导法则.
高中数学
−
)的导数？
追问2：函数 =
(
−
)可以看作哪两个函数的复合函数？
= 18sin， =
高中数学
2π
3
−
π
.
2
解：函数 =
2π
18sin(
3
−
π
)可以看作函数
2
= 18sin与 =
π
的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
设 = ℎ = 2 − 1( >
1
)，则
2
= = ln.
所以 = = ln(2 − 1)可以看做
= 和 = ℎ 经过“复合”得到.
即： = = = (ℎ()).
高中数学
定义：
一般地，对于两个函数 = 和 = ℎ ，如果通过中间变
国家中小学课程资源
简单复合函数的导数
教师：XX
日期：XX年XX月XX日
温故知新
问题1 导数的四则运算法则是什么？
±
高中数学
′
′
′
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[g f((x x))]f(x)g(x g)2 (xf)(x)g(x)
其中 g(x)0
7
复合函数:
由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．
由函数 y f (u)与 u(x)复合而成
的函数一般形式是 yf[(x)]
，其中u称为中间变量．
8
目前我们所研究的简单复合函数的导数 仅限于形如f（ax+b）的复合函数
(4)l(oaxg )' x1l(na a0,且 a1)
(5)(ex)' ex
(6)(lnx') 1
x
(7)(sinx)' cosx (8)(co' sxs)inx
3
法则1: 两个函数的和（或差）的 导数，等于这两个函数的导数的和 （或差），即：
[f(x ) g (x )] f(x ) g (x ).
9
仅限于形如f（ax+b）的复合函数
例1．已知可导函数y=f(u)，且u=ax+b(a，
dy
b为常数，a≠0)，求 d x .
解：设x有一改变量△x，则对应于u，y分 别由有改yx 变uy量 △ux u，得△ lyixm ， 0 yx lu im 0 u y lixm 0 u x
而
u lim x0 x
23
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此处结束语
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24
谢谢您的观看与聆听
Thank you for watching and listening
25
（A）y’=Asin(ωx+φ) （B）y’=－Asin(ωx+φ) （C）y’=Aωcos(ωx+φ) （D）y’=－Aωsin(ωx+φ)
22
Q&A问答环节
敏而好学，不耻下问。 学问学问，边学边问。
He is quick and eager to learn. Learning is learni ng and asking.
u'(x)
a
所以
dy dx
a[ f
(u)]u
'
再将u=ax+b代入上式便得到 d y
dx
10
建构数学 一般地，我们有u=ax+b时，有
若 y=f(u),u=ax+b，则 y'xy'uu'x
即y： 'xy'ua
• 对于一般的复合函数，结论也成立 。 • 复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已
abc 1
4
a
2b
c
1
4a b 1
a3
解得
b
14)3的导数是（ C）
（A）y’＝3(5x－4)2 （B）y’＝9(5x－4)2 （C）y’＝15(5x－4)2 （D）y’＝12(5x－4)2
21
2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数 是（ ）D
简单复合函数 的导数
1
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前言
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2
知识回顾：基本求导公式:
(1 )k( xb)k,特殊 C 0 的 (C 为 ： )常
(2)(x)' x1(为常数）
(3)a(x)' axln a0(且 ,aa1)
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (u2)2u ux(3x2)3
两个导数相乘，得
y u u x 2 u 3 2 (3 x 2 ) 3 1x 8 1
从而有 y'xy'uu'x
13
问题探究：
考察函数 ysin2x 的导数 。
一:方 y s2 i面 x n 2 si x c no xs
3
则y=sinu
y'[sin(2x3)]'2(sinu)u'
2cosu2cos(2x)
3
19
例3．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1，1), 且在点(2，－1)处与直线y=x－3相切，求a， b，c的值. 解：函数y=ax2+bx+c的导数y’=2ax+b，
由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1，
4
法则2:两个函数的积的导数，等于
第一个函数的导数乘以第二个函数
加 乘 上第一个函数 以第二个函数
的导数
[ f( x ) g ( x ) ] f( x ) g ( x ) f( x ) g ( x ).
5
法则3:
[C(fx)]Cf(x).C (为常 ) 数
6
法则4 :两个函数的商的导数，等于分 子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
16
（2） ylnx(2 1)
解：（2）y=ln(x2+1)
令u=x2+1，则y=lnu，
所以y’= 1 ·(2x)
u
2x x2 1
17
（3） y e2x3
解：y=e－2x－3 令u=－2x－3，则y=eu， 所以y’=eu·(－2)=－2e－2x－3 .
18
（4） y sin(2x )
3
解：令u=2x+
y x (sin2x)
(2sin x； cosx)
2(sin x)cosx 2sin x(cosx)
2cos2 x 2sin2 x
2cos2x
14
另一方面： 将函数 ysin2x
看作是函数
ysinu
和函数
u2x
分 解
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (su i)ncousux
(2x)2
求 导
两个导数相乘，得 yu ux(cuo)s2相乘
2co2sx
回 代
从而有 y'xy'uu'x 15
例2．求下列函数的导数
（1） y (5x3)5
解：（1）y=(5x+3)5， 令u=5x+3，则y=u5，
所以 [(5 x 3 )5 ]' 5 (u 5 )u' 5 5 u 4
=25(5x+3)4
知函数对中间变量的导数，乘以中间变
量对自变量的导数 ，即 y'xy'uu'x11
问题探究：
求函数 y (3x2)2 的导数 。
方法一：
y x [ ( 3 x 2 )2 ] ( 9 x 2 1 2 x 4 ) 1 8 x 1 2
12
方法二：将函数 y (3x2)2
看作是函数 y u 2 和函数 u3x2
其中 g(x)0
7
复合函数:
由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．
由函数 y f (u)与 u(x)复合而成
的函数一般形式是 yf[(x)]
，其中u称为中间变量．
8
目前我们所研究的简单复合函数的导数 仅限于形如f（ax+b）的复合函数
(4)l(oaxg )' x1l(na a0,且 a1)
(5)(ex)' ex
(6)(lnx') 1
x
(7)(sinx)' cosx (8)(co' sxs)inx
3
法则1: 两个函数的和（或差）的 导数，等于这两个函数的导数的和 （或差），即：
[f(x ) g (x )] f(x ) g (x ).
9
仅限于形如f（ax+b）的复合函数
例1．已知可导函数y=f(u)，且u=ax+b(a，
dy
b为常数，a≠0)，求 d x .
解：设x有一改变量△x，则对应于u，y分 别由有改yx 变uy量 △ux u，得△ lyixm ， 0 yx lu im 0 u y lixm 0 u x
而
u lim x0 x
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25
（A）y’=Asin(ωx+φ) （B）y’=－Asin(ωx+φ) （C）y’=Aωcos(ωx+φ) （D）y’=－Aωsin(ωx+φ)
22
Q&A问答环节
敏而好学，不耻下问。 学问学问，边学边问。
He is quick and eager to learn. Learning is learni ng and asking.
u'(x)
a
所以
dy dx
a[ f
(u)]u
'
再将u=ax+b代入上式便得到 d y
dx
10
建构数学 一般地，我们有u=ax+b时，有
若 y=f(u),u=ax+b，则 y'xy'uu'x
即y： 'xy'ua
• 对于一般的复合函数，结论也成立 。 • 复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已
abc 1
4
a
2b
c
1
4a b 1
a3
解得
b
14)3的导数是（ C）
（A）y’＝3(5x－4)2 （B）y’＝9(5x－4)2 （C）y’＝15(5x－4)2 （D）y’＝12(5x－4)2
21
2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数 是（ ）D
简单复合函数 的导数
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2
知识回顾：基本求导公式:
(1 )k( xb)k,特殊 C 0 的 (C 为 ： )常
(2)(x)' x1(为常数）
(3)a(x)' axln a0(且 ,aa1)
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (u2)2u ux(3x2)3
两个导数相乘，得
y u u x 2 u 3 2 (3 x 2 ) 3 1x 8 1
从而有 y'xy'uu'x
13
问题探究：
考察函数 ysin2x 的导数 。
一:方 y s2 i面 x n 2 si x c no xs
3
则y=sinu
y'[sin(2x3)]'2(sinu)u'
2cosu2cos(2x)
3
19
例3．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1，1), 且在点(2，－1)处与直线y=x－3相切，求a， b，c的值. 解：函数y=ax2+bx+c的导数y’=2ax+b，
由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1，
4
法则2:两个函数的积的导数，等于
第一个函数的导数乘以第二个函数
加 乘 上第一个函数 以第二个函数
的导数
[ f( x ) g ( x ) ] f( x ) g ( x ) f( x ) g ( x ).
5
法则3:
[C(fx)]Cf(x).C (为常 ) 数
6
法则4 :两个函数的商的导数，等于分 子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
16
（2） ylnx(2 1)
解：（2）y=ln(x2+1)
令u=x2+1，则y=lnu，
所以y’= 1 ·(2x)
u
2x x2 1
17
（3） y e2x3
解：y=e－2x－3 令u=－2x－3，则y=eu， 所以y’=eu·(－2)=－2e－2x－3 .
18
（4） y sin(2x )
3
解：令u=2x+
y x (sin2x)
(2sin x； cosx)
2(sin x)cosx 2sin x(cosx)
2cos2 x 2sin2 x
2cos2x
14
另一方面： 将函数 ysin2x
看作是函数
ysinu
和函数
u2x
分 解
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (su i)ncousux
(2x)2
求 导
两个导数相乘，得 yu ux(cuo)s2相乘
2co2sx
回 代
从而有 y'xy'uu'x 15
例2．求下列函数的导数
（1） y (5x3)5
解：（1）y=(5x+3)5， 令u=5x+3，则y=u5，
所以 [(5 x 3 )5 ]' 5 (u 5 )u' 5 5 u 4
=25(5x+3)4
知函数对中间变量的导数，乘以中间变
量对自变量的导数 ，即 y'xy'uu'x11
问题探究：
求函数 y (3x2)2 的导数 。
方法一：
y x [ ( 3 x 2 )2 ] ( 9 x 2 1 2 x 4 ) 1 8 x 1 2
12
方法二：将函数 y (3x2)2
看作是函数 y u 2 和函数 u3x2