数学123《简单复合函数的导数》PPT课件

[g f((x x))]f(x)g(x g)2 (xf)(x)g(x)
其中 g(x)0
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复合函数:
由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．
由函数 y f (u)与 u(x)复合而成
的函数一般形式是 yf[(x)]
，其中u称为中间变量．
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目前我们所研究的简单复合函数的导数 仅限于形如f（ax+b）的复合函数
u'(x)
a
所以
dy dx
a[ f
(u)]u
'
再将u=ax+b代入上式便得到 d y
dx
10
建构数学 一般地，我们有u=ax+b时，有
若 y=f(u),u=ax+b，则 y'xy'uu'x
即y： 'xy'ua
• 对于一般的复合函数，结论也成立 。 • 复合函数的求导法则 • 复合函数对自变量的导数，等于已
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (u2)2u ux(3x2)3
两个导数相乘，得
y u u x 2 u 3 2 (3 x 2 ) 3 1x 8 1
从而有 y'xy'uu'x
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问题探究：
考察函数 ysin2x 的导数 。
一:方 y s2 i面 x n 2 si x c no xs
4
法则2:两个函数的积的导数，等于
第一个函数的导数乘以第二个函数
加 乘 上第一个函数 以第二个函数
的导数
[ f( x ) g ( x ) ] f( x ) g ( x ) f( x ) g ( x ).
5
法则3:
[C(fx)]Cf(x).C (为常 ) 数
6
法则4 :两个函数的商的导数，等于分 子的导数与分母的积，减去分母的导数 与分子的积，再除以分母的平方,即：
abc 1
4
a
2b
c
1
4a b 1
a3
解得
b
11
c 9
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练习题 1．函数y=(5x－4)3的导数是（ C）
（A）y’＝3(5x－4)2 （B）y’＝9(5x－4)2 （C）y’＝15(5x－4)2 （D）y’＝12(5x－4)2
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2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数 是（ ）D
知函数对中间变量的导数，乘以中间变
量对自变量的导数 ，即 y'xy'uu'x11
问题探究：
求函数 y (3x2)2 的导数 。
方法一：
y x [ ( 3 x 2 )2 ] ( 9 x 2 1 2 x 4 ) 1 8 x 1 2
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方法二：将函数 y (3x2)2
看作是函数 y u 2 和函数 u3x2
3
则y=sinu
y'[sin(2x3)]'2(sinu)u'
2cosu2cos(2x)
3
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例3．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1，1), 且在点(2，－1)处与直线y=x－3相切，求a， b，c的值. 解：函数y=ax2+bx+c的导数y’=2ax+b，
由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1，
简单复合函数 的导数
1
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前言
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2
知识回顾：基本求导公式:
(1 )k( xb)k,特殊 C 0 的 (C 为 ： )常
(2)(x)' x1(为常数）
(3)a(x)' axln a0(且 ,aa1)
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Thank you for watching and listening
25
y x (sin2x)
(2sin x； cosx)
2(sin x)cosx 2sin x(cosx)
2cos2 x 2sin2 x
2cos2x
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另一方面： 将函数 ysin2x
看作是函数
ysinu
和函数
u2x
分 解
复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
yu (su i)ncousux
(2x)2
求 导
两个导数相乘，得 yu ux(cuo)s2相乘
2co2sx
百度文库回 代
从而有 y'xy'uu'x 15
例2．求下列函数的导数
（1） y (5x3)5
解：（1）y=(5x+3)5， 令u=5x+3，则y=u5，
所以 [(5 x 3 )5 ]' 5 (u 5 )u' 5 5 u 4
=25(5x+3)4
（A）y’=Asin(ωx+φ) （B）y’=－Asin(ωx+φ) （C）y’=Aωcos(ωx+φ) （D）y’=－Aωsin(ωx+φ)
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Q&A问答环节
敏而好学，不耻下问。 学问学问，边学边问。
He is quick and eager to learn. Learning is learni ng and asking.
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（2） ylnx(2 1)
解：（2）y=ln(x2+1)
令u=x2+1，则y=lnu，
所以y’= 1 ·(2x)
u
2x x2 1
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（3） y e2x3
解：y=e－2x－3 令u=－2x－3，则y=eu， 所以y’=eu·(－2)=－2e－2x－3 .
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（4） y sin(2x )
3
解：令u=2x+
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仅限于形如f（ax+b）的复合函数
例1．已知可导函数y=f(u)，且u=ax+b(a，
dy
b为常数，a≠0)，求 d x .
解：设x有一改变量△x，则对应于u，y分 别由有改yx 变uy量 △ux u，得△ lyixm ， 0 yx lu im 0 u y lixm 0 u x
而
u lim x0 x
(4)l(oaxg )' x1l(na a0,且 a1)
(5)(ex)' ex
(6)(lnx') 1
x
(7)(sinx)' cosx (8)(co' sxs)inx
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法则1: 两个函数的和（或差）的 导数，等于这两个函数的导数的和 （或差），即：
[f(x ) g (x )] f(x ) g (x ).