工程力学--轴向拉压杆的应力及变形
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FN FN
拉力为正
FN
FN
FN
压力为负
FN
第4章 拉压杆的应力及变形 [例题4-1]
A
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
1 B 1 F2
2 C 2
3 D
F1 F1 F1
F3
3
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 F4 出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
轴力(图)的简便求法
A B
2 C
D
F
F4
x
0
N 2 F2 F1
F1
F2 F2
2
F3 N2
N 2 F1 F2 10 20 10kN
F1
由内力方程得：
Ni Fi
设轴力为正时，任一横截面上的轴力等于横 截面一侧所有外力在杆轴线上投影的代数和，背 离截面的外力为正，指向截面的外力为负。
F
C
FN 1
2
x 0:
y 0:
FN 1 28.3kN
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 1 sin 45 F 0
y
45°
FN2
B
x
FN 2 20 kN
F
第4章 拉压杆的应力及变形
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
A
1
45°
FN 1 28.3kN
如物体的自重和惯性力。
连续作用于物体表面的力。 分布力： 如油缸内壁的油压力，水坝受 到的水压力。 若外力作用面积远小于物体表 集中力： 面的尺寸，可作为作用于一点 的集中力。 如火车轮对钢轨的压力,滚动 轴承对轴的反作用力等。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
按 时 间
pа
p cos cos
2
p sin
0 0
2
sin 2
0:
0 max
45 :
90 :
45
2
45 max
90 0
横截面：垂直于长度方向的截面
轴 直
线：所有横截面形心的连线 横截面和轴线是相互垂直的 杆：轴线为直线
等直杆：轴线为直线，横截面相同 曲 杆：轴线为曲线
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
二、材料力学的任务
构 强 刚 件（element）的承载能力 度(Strength)：即抵抗破坏的能力 度(Stiffness)：即抵抗变形的能力
F3
F3
一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向 F dF 都将趋于一定极限，得到 p lim A 0 A dA 应力总量P 可以分解成: 垂直于截面的分量σ －－正应力 平行于截面的分量τ －－切应力
第4章 拉压杆的应力及变形
应力的国际单位为Pa
1N/m2= 1Pa（帕斯卡）
AB段：N
3 30 30 20
20
40 kN R A
注：内力的大小与杆截面的 大小无关，与材料无关。
轴力图要求： 1.正负号 2.数值 3.阴影线与轴线垂直
第4章 拉压杆的应力及变形
4.3 拉压杆内的应力
应力的概念
F A
C
F4
p
C
F4
由外力引起的内力集 度称为应力。
F •平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度 p A
第4章 拉压杆的应力及变形
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
[例4-2] 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。 解： 3 30KN 2 30KN 1 20KN DE 段： N1 20 kN
RA A
3
40 +
B
10
C2D
+ –
1
E
BD段： N 2 30 20 10kN
RA 30 10kN
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
三、基本假设
1 均匀连续性假设（continuity assumption） 认为材料无空隙地分布于物体所占的整个空间中 认为物体内的任何部分，其力学性能相同 2 各向同性假设 (isotropy assumption ) 认为在物体内各个不同方向的力学性能相同
A δ1 B C B’ F δ2
3 小变形假设 δ 远小于构件的最小尺寸，所 以通过节点平衡求各杆内力时， 把支架的变形略去不计。计算 得到很大的简化。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
四、外力与内力
外力： 体积力: 按 外 力 作 用 的 表面力 方 式 连续分布于物体内部各点的力。
单位:
FN 牛顿(N) A 平方米(m2)
dA
帕斯卡(pa)
1MPa = 106Pa
FN dA
A
1GPa = 109Pa
正应力符号规定:
FN dA
A
为拉应力，规定为正， 当FN为拉力时， 为压应力，规定为负． 当FN为压力时，
FN A
第4章 拉压杆的应力及变形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
构件：机器、结构中的零、部件的统称。
杆件（ bar）: 板（plate）: 平板、壳 块体（ body） 板 壳 块 体
杆 件
第4章 拉压杆的应力及变形
杆：一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺 寸
纵向（长的一个方向） 横向（短的两个方向）
第4章 拉压杆的应力及变形
第4章 拉压杆的应力及变形 3
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
横
截 面 上 应 受拉力P
力
分 布
均匀性假设
连续性假设
第4章 拉压杆的应力及变形 计算机模拟横截面上正应力的分布
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
第4章 拉压杆的应力及变形 4、横截面上应力公式 FN x
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
AB段
0 N1 F1 10kN
x x
N1 N2
F
F2
N3 F4
BC段
F
N kN
+
10
–
25 CD段
+
0 N 2 F2 F1 N 2 F1 F2 10 20 10kN Fx 0
N3 F4 25kN
10
x
2、绘制轴力图。
第4章 拉压杆的应力及变形
第4章 拉压杆的应力及变形 三、斜截面上应力
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
FN F
p
p
FN F A A
A
A s o c
F s o c s o c A
第4章 拉压杆的应力及变形 符号规定：
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
正应力σ ：拉为正，压为负。 剪应力τ ：绕脱离体顺时针转向时为正。 α 的符号：由 x 轴逆时针转到外法线 n 时为正。
若AAB = ABC = 500mm 2，ACD = 200mm 2， 求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力| |max。
解：
AB
BC
AB段：
N AB 20103 40MPa 6 AAB 50010
N BC 10103 20MPa 6 ABC 50010
第4章 拉压杆的应力及变形
第4章 轴向拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基本假设及基本概念 4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
4.3 应力.拉压杆内的应力
4.4 轴向拉（压）杆的变形. 胡克定律 4.5 拉压超静定问题
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
4.1 材料力学的基本假设及基本概念
内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消
失。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
六、杆件的基本变形
(1)拉伸或压缩 外力特点: 外力的合力作用线与 杆的轴线重合。 变形特点: 杆的变形主要是轴向 伸缩伴随横向缩扩。
拉压变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
刚 度 不 足 破 坏
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
稳 定 性 不 足 破 坏
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
材料力学的任务: 在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以 最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺 寸、选择适宜的材料，而提供必要的理论基 础和计算方法。
1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
应力的特点 （1）应力定义在受力构件某一截面的某一点处。 （2）应力是矢量。 （3）截面上各点应力在截面合成结果为该截面的内力。
第4章 拉压杆的应力及变形
拉压杆内的应力
1 实验观察变形： 变形前
a c
受载后 P
b d b´ d´
a´ c´
P
2 平面假设(plane assumption)：变形前原为平面的横截面，变 形后仍保持为平面，且垂直于轴线。
扭转变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
(4) 弯曲
外力特点：
杆受垂直于轴线的外力 或外力偶矩矢的作用。
变形特点： 弯曲变形
轴线由变形前的直线变成了曲线。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
P 截开： 代替： 平衡： P P A A A P P N
(2)剪切 外力特点： 作用在构件两侧面上的外力 合力大小相等、方向相反且作 用线很近。 变形特点： 位于两力之间的截面发生 相对错动。
剪切变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
(3) 扭转
外力特点： 在垂直于杆件轴线的两个 平面内，作用一对大小相等、 转向相反的力偶。 变形特点： 各横截面绕轴线发生相对转动.
BC段：
CD段：
CD
NCD 10103 50MPa 6 ACD 20010
| | =50MPa max
第4章 拉压杆的应力及变形
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
[例题4-3]
A 1
45°
图示结构，试求杆件 AB 、 CB的应力。已 知 F=20kN ；斜杆 AB 为直径 20mm 的圆截 面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） B 取节点B为研究对象：
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
轴力图意义:
1 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 2 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定 危险截面位置，为强度计算提供依据。 3 特点：突变值 = 集中载荷大小（方向？同学自己思考）
N kN
+
10
–
25
+
10
x
第4章 拉压杆的应力及变形
X 0
PN 0
NP
1 轴力(axial force) ——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
2 轴力的正负规定: 拉为正，压为负。
(拉力) 3 引起轴向拉伸变形的轴力为正 轴力图：轴力沿杆件轴线变化的图形。 引起轴向压缩变形的轴力为负(压力)
第4章 拉压杆的应力及变形
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
稳定性(Stability)：即保持原有平衡状态的能力 构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的形状有关，而且与所 用材料的力学性能有关，因此在进行理论分析的基础上，实验 研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
强 度 不 足 破 坏
一、研究对象 在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固 体（deformable body），而构件一般均由固体材料制成， 故构件一般都是变形固体。 静力学中，力为滑移矢量，力偶矩矢为自由矢。 材料力学中，力与力偶矩矢均不能自由平移。 力的可传性
变 形 不 等 效
力的平移定理
第4章 拉压杆的应力及变形
静载： 缓慢加载（a≈0）,自重，变化相对较慢 动载： 快速加载（a≠0），或冲击加载
第4章 拉压杆的应力及变形
内力
物体因受外力作用而使其内部各部分之间因相
对位置改变而引起的相互作用；
材料力学中的内力，是指外力作用下，物体各
质点之间相互作用力的变化量，所以是物体内 部各部分之间因外力而引起的附加相互作用力， 即“附加内力”；
FN 2 20 kN
2、计算各杆件的应力。
B F
C
FN 1
2
y
B F
FN 1 28.3 10 3 1 A1 20 2 10 6 4 6 90 10 Pa 90 MPa
FN 2 45°
x
FN 2 20 10 3 2 2 6 A2 15 10 89 10 6 Pa 89 MPa
拉力为正
FN
FN
FN
压力为负
FN
第4章 拉压杆的应力及变形 [例题4-1]
A
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
1 B 1 F2
2 C 2
3 D
F1 F1 F1
F3
3
已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画 F4 出图示杆件的轴力图。 解：1、计算各段的轴力。
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
轴力(图)的简便求法
A B
2 C
D
F
F4
x
0
N 2 F2 F1
F1
F2 F2
2
F3 N2
N 2 F1 F2 10 20 10kN
F1
由内力方程得：
Ni Fi
设轴力为正时，任一横截面上的轴力等于横 截面一侧所有外力在杆轴线上投影的代数和，背 离截面的外力为正，指向截面的外力为负。
F
C
FN 1
2
x 0:
y 0:
FN 1 28.3kN
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 1 sin 45 F 0
y
45°
FN2
B
x
FN 2 20 kN
F
第4章 拉压杆的应力及变形
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
A
1
45°
FN 1 28.3kN
如物体的自重和惯性力。
连续作用于物体表面的力。 分布力： 如油缸内壁的油压力，水坝受 到的水压力。 若外力作用面积远小于物体表 集中力： 面的尺寸，可作为作用于一点 的集中力。 如火车轮对钢轨的压力,滚动 轴承对轴的反作用力等。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
按 时 间
pа
p cos cos
2
p sin
0 0
2
sin 2
0:
0 max
45 :
90 :
45
2
45 max
90 0
横截面：垂直于长度方向的截面
轴 直
线：所有横截面形心的连线 横截面和轴线是相互垂直的 杆：轴线为直线
等直杆：轴线为直线，横截面相同 曲 杆：轴线为曲线
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
二、材料力学的任务
构 强 刚 件（element）的承载能力 度(Strength)：即抵抗破坏的能力 度(Stiffness)：即抵抗变形的能力
F3
F3
一点的应力：当面积趋于零时，平均应力的大小和方向 F dF 都将趋于一定极限，得到 p lim A 0 A dA 应力总量P 可以分解成: 垂直于截面的分量σ －－正应力 平行于截面的分量τ －－切应力
第4章 拉压杆的应力及变形
应力的国际单位为Pa
1N/m2= 1Pa（帕斯卡）
AB段：N
3 30 30 20
20
40 kN R A
注：内力的大小与杆截面的 大小无关，与材料无关。
轴力图要求： 1.正负号 2.数值 3.阴影线与轴线垂直
第4章 拉压杆的应力及变形
4.3 拉压杆内的应力
应力的概念
F A
C
F4
p
C
F4
由外力引起的内力集 度称为应力。
F •平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度 p A
第4章 拉压杆的应力及变形
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
[例4-2] 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。 解： 3 30KN 2 30KN 1 20KN DE 段： N1 20 kN
RA A
3
40 +
B
10
C2D
+ –
1
E
BD段： N 2 30 20 10kN
RA 30 10kN
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
三、基本假设
1 均匀连续性假设（continuity assumption） 认为材料无空隙地分布于物体所占的整个空间中 认为物体内的任何部分，其力学性能相同 2 各向同性假设 (isotropy assumption ) 认为在物体内各个不同方向的力学性能相同
A δ1 B C B’ F δ2
3 小变形假设 δ 远小于构件的最小尺寸，所 以通过节点平衡求各杆内力时， 把支架的变形略去不计。计算 得到很大的简化。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
四、外力与内力
外力： 体积力: 按 外 力 作 用 的 表面力 方 式 连续分布于物体内部各点的力。
单位:
FN 牛顿(N) A 平方米(m2)
dA
帕斯卡(pa)
1MPa = 106Pa
FN dA
A
1GPa = 109Pa
正应力符号规定:
FN dA
A
为拉应力，规定为正， 当FN为拉力时， 为压应力，规定为负． 当FN为压力时，
FN A
第4章 拉压杆的应力及变形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
构件：机器、结构中的零、部件的统称。
杆件（ bar）: 板（plate）: 平板、壳 块体（ body） 板 壳 块 体
杆 件
第4章 拉压杆的应力及变形
杆：一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺 寸
纵向（长的一个方向） 横向（短的两个方向）
第4章 拉压杆的应力及变形
第4章 拉压杆的应力及变形 3
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
横
截 面 上 应 受拉力P
力
分 布
均匀性假设
连续性假设
第4章 拉压杆的应力及变形 计算机模拟横截面上正应力的分布
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
第4章 拉压杆的应力及变形 4、横截面上应力公式 FN x
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
AB段
0 N1 F1 10kN
x x
N1 N2
F
F2
N3 F4
BC段
F
N kN
+
10
–
25 CD段
+
0 N 2 F2 F1 N 2 F1 F2 10 20 10kN Fx 0
N3 F4 25kN
10
x
2、绘制轴力图。
第4章 拉压杆的应力及变形
第4章 拉压杆的应力及变形 三、斜截面上应力
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
FN F
p
p
FN F A A
A
A s o c
F s o c s o c A
第4章 拉压杆的应力及变形 符号规定：
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
正应力σ ：拉为正，压为负。 剪应力τ ：绕脱离体顺时针转向时为正。 α 的符号：由 x 轴逆时针转到外法线 n 时为正。
若AAB = ABC = 500mm 2，ACD = 200mm 2， 求各杆段的正应力及整个杆件最大正应力| |max。
解：
AB
BC
AB段：
N AB 20103 40MPa 6 AAB 50010
N BC 10103 20MPa 6 ABC 50010
第4章 拉压杆的应力及变形
第4章 轴向拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基本假设及基本概念 4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
4.3 应力.拉压杆内的应力
4.4 轴向拉（压）杆的变形. 胡克定律 4.5 拉压超静定问题
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
4.1 材料力学的基本假设及基本概念
内力随外力的增加而加大，随外力的撤除而消
失。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
六、杆件的基本变形
(1)拉伸或压缩 外力特点: 外力的合力作用线与 杆的轴线重合。 变形特点: 杆的变形主要是轴向 伸缩伴随横向缩扩。
拉压变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
刚 度 不 足 破 坏
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
稳 定 性 不 足 破 坏
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
材料力学的任务: 在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以 最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺 寸、选择适宜的材料，而提供必要的理论基 础和计算方法。
1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
应力的特点 （1）应力定义在受力构件某一截面的某一点处。 （2）应力是矢量。 （3）截面上各点应力在截面合成结果为该截面的内力。
第4章 拉压杆的应力及变形
拉压杆内的应力
1 实验观察变形： 变形前
a c
受载后 P
b d b´ d´
a´ c´
P
2 平面假设(plane assumption)：变形前原为平面的横截面，变 形后仍保持为平面，且垂直于轴线。
扭转变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
(4) 弯曲
外力特点：
杆受垂直于轴线的外力 或外力偶矩矢的作用。
变形特点： 弯曲变形
轴线由变形前的直线变成了曲线。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
4.2 拉压杆横截面上的轴力及轴力图
P 截开： 代替： 平衡： P P A A A P P N
(2)剪切 外力特点： 作用在构件两侧面上的外力 合力大小相等、方向相反且作 用线很近。 变形特点： 位于两力之间的截面发生 相对错动。
剪切变形
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
(3) 扭转
外力特点： 在垂直于杆件轴线的两个 平面内，作用一对大小相等、 转向相反的力偶。 变形特点： 各横截面绕轴线发生相对转动.
BC段：
CD段：
CD
NCD 10103 50MPa 6 ACD 20010
| | =50MPa max
第4章 拉压杆的应力及变形
4.3 应力 ·拉压杆内 的应力
[例题4-3]
A 1
45°
图示结构，试求杆件 AB 、 CB的应力。已 知 F=20kN ；斜杆 AB 为直径 20mm 的圆截 面杆，水平杆CB为15×15的方截面杆。 解：1、计算各杆件的轴力。 （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） B 取节点B为研究对象：
4.2 拉压杆横截面 上的轴力及轴力图
轴力图意义:
1 反映出轴力与截面位置变化关系，较直观； 2 确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定 危险截面位置，为强度计算提供依据。 3 特点：突变值 = 集中载荷大小（方向？同学自己思考）
N kN
+
10
–
25
+
10
x
第4章 拉压杆的应力及变形
X 0
PN 0
NP
1 轴力(axial force) ——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
2 轴力的正负规定: 拉为正，压为负。
(拉力) 3 引起轴向拉伸变形的轴力为正 轴力图：轴力沿杆件轴线变化的图形。 引起轴向压缩变形的轴力为负(压力)
第4章 拉压杆的应力及变形
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相 同的正负号。
稳定性(Stability)：即保持原有平衡状态的能力 构件的强度、刚度和稳定性不仅与构件的形状有关，而且与所 用材料的力学性能有关，因此在进行理论分析的基础上，实验 研究是完成材料力学的任务所必需的途径和手段。
第4章 拉压杆的应力及变形
4.1 材料力学的基 本假设及基本概念
强 度 不 足 破 坏
一、研究对象 在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固 体（deformable body），而构件一般均由固体材料制成， 故构件一般都是变形固体。 静力学中，力为滑移矢量，力偶矩矢为自由矢。 材料力学中，力与力偶矩矢均不能自由平移。 力的可传性
变 形 不 等 效
力的平移定理
第4章 拉压杆的应力及变形
静载： 缓慢加载（a≈0）,自重，变化相对较慢 动载： 快速加载（a≠0），或冲击加载
第4章 拉压杆的应力及变形
内力
物体因受外力作用而使其内部各部分之间因相
对位置改变而引起的相互作用；
材料力学中的内力，是指外力作用下，物体各
质点之间相互作用力的变化量，所以是物体内 部各部分之间因外力而引起的附加相互作用力， 即“附加内力”；
FN 2 20 kN
2、计算各杆件的应力。
B F
C
FN 1
2
y
B F
FN 1 28.3 10 3 1 A1 20 2 10 6 4 6 90 10 Pa 90 MPa
FN 2 45°
x
FN 2 20 10 3 2 2 6 A2 15 10 89 10 6 Pa 89 MPa