21.2 二次函数的图象和性质(5)
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数（quadratic function）是数学中的一类函数，其表达式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
这种函数的图像是一条抛物线，其特点是拥有许多有趣的性质和图像的变化规律。
本文将对二次函数的图像与性质进行详细说明。
一、基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2，其中a为二次函数的系数，决定了抛物线的开口方向和形状。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、顶点二次函数的顶点（vertex）是抛物线的最高点（若开口向下）或最低点（若开口向上）。
顶点可通过求导数或利用抛物线的对称性求得。
顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = f(x)，其中f(x)为二次函数的表达式。
三、对称轴二次函数图像的对称轴（axis of symmetry）是通过抛物线的顶点，并且与抛物线相互对称的一条直线。
对称轴的方程可以通过对抛物线的表达式进行简单计算得到。
四、焦点和准线焦点（focus）和准线（directrix）是二次函数图像的两个重要元素。
焦点是指在平面上向外弯曲的抛物线上的一个特定点。
焦点的横纵坐标可通过复杂的求解方法得到，这里不再详述。
准线是通过焦点以及与对称轴垂直的直线上的特定点构成的直线段。
准线的方程也可通过复杂的计算得到。
五、零点二次函数的零点（zeros）是函数表达式等于零的横坐标。
其求取方法可以通过方程ax^2 + bx + c = 0来求解。
根据求根公式，可得有两个根、一个根或者无实根。
六、图像的变化规律通过改变二次函数的参数a、b、c的数值，可以使得二次函数的图像发生各种变化。
以下是几种常见的变化规律：1. 改变a的值，a越大，抛物线越“扁平”，开口越朝上或者朝下。
2. 改变b的值，b为线性项的系数，可以使抛物线左右平移。
3. 改变c的值，c为常数项的系数，可以使抛物线上下平移。
七、应用二次函数的图像与性质在实际生活中有广泛的应用。
21.2 二次函数的图像和性质
新课标沪科版·数学 九年级上
第21章 二次函数与 反比例函数
21.2 二次函数的图像和性质
知识点 二次函数y=ax²的图象和性质
投篮命中率是衡量一名篮球运动员得分能力 的重要标志,要提高投篮命中率,应该将球的运动路 线想象成抛物线,在心中建立如图所示的抛物线模 型,这种类型的抛物线表达式为y=ax²(a≠0),尽量向 高处抛出篮球,落点就是篮筐,这样投篮命中率会高 一些,同学们不妨多尝试几次,效果会不错的呦!
精度最高的望远镜,用来探测来自太空的无线电波.根
据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径
AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米,若按
图(2)中方式建立平面直角坐标系,则抛物线的表达式
就是y=
1 625
x²-100.
知识点 二次函数y=a(x+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)²的图象和性质
太阳镜,也称遮阳镜,作遮阳之用.人在阳光下 通常要靠调节瞳孔大小来调节光通量,当光线强 度超过人眼调节能力时,就会对人眼造成伤害.所 以在户外活动场所,特别是在夏天,需要采用遮阳 镜来遮挡阳光,以减轻眼睛调节造成的疲劳或强 光刺激造成的伤害.如图所示的是一副太阳镜,
知识点 用待定系数法求二次函数表达式
跳台滑雪简称“跳雪”.就是运动员脚着特 制的滑雪板,沿着跳台的倾斜助滑道下滑.跳雪是 冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行 路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后 的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似 满足函数关系y=ax²+bx+c(a≠0).下图记录了某 运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数 模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最 高点时的水平距离.
二次函数图像的性质与解析
二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。
二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。
3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。
4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。
三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。
2.求对称轴：对称轴为x=h。
3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。
4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。
5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。
四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。
2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。
3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。
五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质在我们学习数学的过程中，二次函数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中，比如物理、经济等方面也经常能看到它的身影。
今天，咱们就来好好聊聊二次函数的图像与性质。
二次函数的一般形式是 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。
当 a ＞ 0 时，函数图像开口向上；当 a ＜ 0 时，函数图像开口向下。
这就好像一个碗，如果开口向上，就能往里装东西；开口向下，东西就容易掉出来。
先来说说二次函数图像的对称轴。
对称轴的方程是 x ＝ b ／ 2a 。
这条对称轴把二次函数的图像分成了两个对称的部分，就像镜子里的反射一样。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，那么对称轴就是 x ＝（－2) ／（2×1) ＝ 1 。
接下来看看顶点。
顶点就是二次函数图像的最高点或者最低点。
当a ＞ 0 时，顶点是图像的最低点；当 a ＜ 0 时，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标可以通过把对称轴的 x 值代入函数中求得。
还是以 y ＝ x²2x ＋ 1 为例，对称轴 x ＝ 1 ，把 x ＝ 1 代入函数，得到 y ＝ 1² 2×1 ＋1 ＝ 0 ，所以顶点坐标就是(1, 0) 。
再说说二次函数的截距。
当 x ＝ 0 时，y ＝ c ，这个 c 就是函数在y 轴上的截距。
比如函数 y ＝ 2x²＋ 3x 1 ，这里的 c ＝－1 ，也就是说函数图像与 y 轴的交点是(0, －1) 。
二次函数的图像还与判别式Δ ＝ b² 4ac 有着密切的关系。
如果Δ＞ 0 ，函数图像与 x 轴有两个交点；如果Δ ＝ 0 ，函数图像与 x 轴有一个交点；如果Δ ＜ 0 ，函数图像与 x 轴没有交点。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x 3 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，c ＝－3 ，那么Δ ＝（－2)² 4×1×（－3) ＝ 16 ＞ 0 ，所以函数图像与 x 轴有两个交点。
数学沪科版九年级(上册)21.2二次函数的图象和性质课件(共17张PPT)
04:09
17
14
小
结 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点:
(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,
在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,
在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.
a<0时,开口向下,
y=ax2+bx+c(a>0)
顶点坐标 对称轴 开口方向
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
向下
增减性 最值
04:09
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2(x2 4x 4) 7 8
a x
b
2
c
b2
2a
4a
a x
b
2
4ac
b2
.
2(x 2)2 1
2a
4a
一半的平 方
整理:前三项 化为平方形 式
化简
9
04:09
函数y=ax²+bx+c的对称轴、顶点
坐标是什么？
例1.y写出a下x2列函b数x 的c开的口对方向称、轴对是称轴:x、顶点b坐标：
04:09
13
达标测评
1、若二次函数y =ax2-4x-6的图象的顶点横坐标 是 2__、-_2抛_，_物_则平线a移=_y______12__x_2_个_3_单x_位25是，由再抛向物_线__y平移- 12_x_2 先_个向 单位得到的。 3、已知抛物线y=x2-4x+h的顶点在直线y =4x-1 上，求抛物线的顶点坐标。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是数学中一种重要的函数形式，其图像形状特殊且具有许多性质。
本文将介绍二次函数的图像特点以及与其相关的性质。
一、二次函数的标准形式二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
为了便于研究，我们可以将二次函数表示为标准形式f(x) =a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
二、二次函数的图像特点1. 对称轴：二次函数的对称轴是与顶点坐标垂直的直线。
对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。
2. 顶点：二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，是二次函数的关键特征。
顶点坐标为(h, k)。
3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。
4. 正定或负定：二次函数的图像在开口方向上是否有最值，与二次项系数a的符号有关。
若a > 0，则二次函数为正定；若a < 0，则二次函数为负定。
5. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即f(x) = 0的解。
零点个数最多为2个。
三、二次函数的性质1. 零点和因式分解：二次函数的零点可以通过因式分解得到。
对于一般二次函数的标准形式f(x) = ax² + bx + c，我们可以利用求根公式或配方法将其因式分解为f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁、x₂为零点。
2. 最值：二次函数开口方向上的最值即为顶点，若二次函数开口向上，顶点为最小值；若二次函数开口向下，顶点为最大值。
3. 对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，即对于任意x点，若(x, y)在图像上，则(x, -y)也在图像上。
4. 范围：二次函数的范围与二次项系数a的正负相关。
若a > 0，则函数的范围为区间(k, +∞)；若a < 0，则函数的范围为区间(-∞, k)，其中k为顶点纵坐标。
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》(第5课时)教学设计
沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第5课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》是沪教版数学九年级上册第21章第2节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的实例和练习来理解和掌握。
教材中提供了丰富的例题和练习题，以及一些探究活动，帮助学生逐步深入理解二次函数的图象和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
同时，学生对于数学的兴趣和积极性也需要教师的激发和引导。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的图象和性质，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
2.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。
3.激发学生对数学的兴趣和积极性，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和运用。
2.二次函数的图象和性质的推导和证明。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。
2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质的实例，帮助学生直观地理解和掌握。
3.学生进行小组讨论和探究活动，培养学生的合作意识和探究精神。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相关的教学PPT或投影片。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象和性质的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体展示一些二次函数的图象和性质的实例，让学生直观地感受和理解二次函数的图象和性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析，找出二次函数的图象和性质的特点，并进行推理和证明。
21.2)y=a(x+h)2的图象和性质
位置
开口方向 增减性 最值
当x=-h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=-h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
开口大小
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2（x-3）2 y= −2（x+3）2 y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
二次函数的图像和性质
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
上节复习
y＝ax2+k
图象
a>0
a<0
k>0
k<0
k>0
k<0
开口向下 开口向上 开口 ︱a︱越大，开口越小；︱a︱越小，开口越大 关于y轴对称 对称性 顶点
(0,k)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
X=-1
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
二次函数y=a(x+h)2的性质：
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x+h)2 (a>0) 抛物线
在对称轴(直线:x=-1)左侧 (即x<-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而减少,. 顶点是最低点,函数 有最小值.当x=-1时, 最小值是0..
y 3x 2
y 3x 1
2
在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x>-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.
九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
九年级上《21.2.2二次函数的图象与性质》课时练习含答案
九年级上学期数学课时练习题21.2二次函数y=ax2的图象和性质一、精心选一选1﹒抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（）A. B.C.D.3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限4﹒抛物线y＝12x2，y＝－3x2，y＝x2的图象开口最大的是（）A.y＝12x2B.y＝－3x2C.y＝x2D.无法确定5﹒二次函数y＝13x2的图象的开口方向是（）A.向上B.向下C.向左D.向右6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7﹒苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（）A.B.C.D.8﹒关于函数y＝3x2的性质的叙述，错误的是（）A .对称轴是y 轴B .顶点是坐标原点C .当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D .y 有最大值 9﹒已知点A （－3，y 1），B （－1，y 2），C （2，y 3）在抛物线y ＝23x 2上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A .y 1＜y 2＜y 3B .y 1＞y 2＞y 3C .y 1＜y 3＜y 2D .y 2＜y 3＜y 110.如图，平行于x 轴的直线AC 分别交抛物线y 1＝x 2（x ≥0）与y 2＝24x（x ≥0）于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2于点E ，则DEAB＝（ ） A .2 B .2 C .5 D .3 二、细心填一填11.已知关于x 的二次函数y ＝a 226a a x--，当a ＝_____时，其图象开口向上；当a ＝_____时，其图象开口向下.12.已知坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点，则m 的取值范围是___________________. 13.已知二次函数y ＝12x 2的图象如图所示，线段AB ∥x 轴，交抛物线 于A 、B 两点，且点A 的横坐标为2，则AB 的长度为__________. 14.对于二次函数y ＝ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4， 则常数a 的值是___________. 15.写出抛物线y ＝12x 2与抛物线y ＝－12x 2的一条共同特征 是_________________________.16.若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P （－2，4），则当x ＝2时，y ＝______.17.抛物线y ＝－3x 2的对称轴是_______________，当x ____________时，抛物线上的点都在x 轴的下方.18.下列函数中，具有过原点，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这两个特征的函数有_______________.（只填序号）①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）；③y ＝－2x +a 2（a ≠0）；④y ＝32x －a .三、解答题（本题共8小题，第19题8分；第20、21每小题各10分；第22、 23每小题各12分；第24题14分共66分） 19.已知函数y ＝(m +3)232m m x +-是关于x 的二次函数.（1）求m 的值；（2）当m 为何值时，该函数图象的开口向下？ （3）当m 为何值时，该函数有最小值？ （4）试说明函数的增减性.20.已知，二次函数y ＝x 2与一次函数y ＝2x +3的图象交于A 、B 两点.（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象； （2）求△AOB 的面积.21.如图，已知直线l 过A （4，0），B （0，4）两点，它与二次函数y ＝ax 2的图象在第一象限内相交于点P .若△AOP 的面积为4.5，求a 的值.22.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；（2）求点C的坐标；（3）求△COB的面积.23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：x/m 5 10 20 30 40 50y/m0.125 0.5 2 4.5 8 12.5甲乙（1）请你以上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y 关于x的函数图象；（2）猜想出用x表示y的二次函数的关系式；（3）当水面宽度为36m时，一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m的货船能否在这个河段安全通过？为什么？21.2二次函数y=ax2的图象和性质课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A B A A A C D D A1﹒抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2共有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小解答：∵a＝2＞0，∴抛物线y＝－2x2开口向下，以y轴为对称轴，有最高点，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x ＜0时，y随x的增大而减小；∵a＝－2＜0，∴抛物线y＝2x2开口向上，以y轴为对称轴，有最低点，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；∵a＝12＞0，∴抛物线y＝12x2开口向下，以y轴为对称轴，有最高点，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；综合上述，这三条抛物线均以y轴为对称轴，故选：B.2﹒函数y＝－a(x+a)与y＝－ax2（a≠0）在同一坐标上的图象大致是（）A. B.C.D.解答：由y＝－a(x+a)得y＝－ax+a2，当a＞0时，直线y＝－ax+a2经过一、二、四象象，抛物线y＝－ax2开口向下；当a＜0时，直线y＝－ax+a2经过一、二、三象象，抛物线y＝－ax2开口向上；符合上述要求的只有A选项，故选：A.3﹒抛物线y＝ax2（a＜0）的图象一定经过（）A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限解答：∵a＜0，∴抛物线y＝ax2经过三、四象限，故选：B.4﹒抛物线y＝12x2，y＝－3x2，y＝x2的图象开口最大的是（）A.y＝12x2B.y＝－3x2C.y＝x2D.无法确定解答：∵12＜1＜3，∴抛物线y＝12x2的图象开口最大，故选：A.5﹒二次函数y＝13x2的图象的开口方向是（）A.向上B.向下C.向左D.向右解答：∵a＝13＞0，∴二次函数y＝x2的图象的开口向上，故选：A.6﹒下列函数：①y＝－x；②y＝－x2（x＜0）；③y＝2x+1；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小的函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解答：①y＝－x，要分两种情况判断其增减性，故不符合题意；②y＝－x2（x＜0），y随x的增大而增大，故不符合题意；③y＝2x+1，y随x的增大而增大，故不符合题意；④y＝x2（x＜0），y随x的增大而减小，故符合题意，综上，可知只有④符合题意，故选：A.7﹒苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足s＝gt2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（）A.B.C.D.解答：由s＝gt2（g＝9.8）可知此函数为二次函数，且g＞0，自变量t的取值范围为t＞0，所以只有C符合题意，故选：C.8﹒关于函数y＝3x2的性质的叙述，错误的是（）A.对称轴是y轴B.顶点是坐标原点C.当x＞0时，y随x的增大而增大D.y有最大值解答：对于二次函数y＝3x2有下列性质：开口向上；以y轴为对称轴；顶点是坐标原点；当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；y有最小值，故选：D.9﹒已知点A（－3，y1），B（－1，y2），C（2，y3）在抛物线y＝23x2上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1＜y2＜y3B.y1＞y2＞y3C.y1＜y3＜y2D.y2＜y3＜y1解答：当x＝－3时，y1＝6；当x＝－1时，y2＝23；当x＝2时，y3＝83，而23＜83＜6，∴y2＜y3＜y1，故选：D.10.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1＝x2（x≥0）与y2＝24x（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则DEAB＝（）A.2B.2C.5D.3 解答：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2＝a，解得：x＝a，∴B（a，a），当24x ＝a 时，x ＝a∴C （a a ）， ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为a ∴y 1＝a 2＝4a ，∴点D 的坐标为（a ，4a ）， ∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为4a ，∴24x ＝4a ，解得：x ＝a ，∴点E 的坐标为（a 4a ）， ∴DE ＝a a ＝a ，∴DE AB 2aa＝2， 故选：A . 二、细心填一填11. 4，－2； 12. m ＜－1； 13. 4； 14. －43； 15. 以y 轴为对称轴； 16. 4； 17. y 轴，≠0； 18. ①②.11.已知关于x 的二次函数y ＝a 226a a x --，当a ＝_____时，其图象开口向上；当a ＝_____时，其图象开口向下. 解答：∵y ＝a 226a a x--是二次函数，∴a 2－2a －6＝2，解得：a 1＝－2，a 2＝4，∴当a ＝4时，其图象开口向上；当a ＝－2时，其图象开口向下，故答案为：4，－2.12.已知坐标原点是抛物线y ＝(m +1)x 2的最高点，则m 的取值范围是___________________.解答：∵坐标原点是抛物线y＝(m+1)x2的最高点，∴该抛物线的开口向下，则m+1＜0，解得：m＜－1，故答案为：m＜－1.13.已知二次函数y＝12x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为__________. 解答：当y＝2时，x＝±2，则A、B两点横坐标分别为－2，2，∵AB∥x轴，∴AB＝22--＝4，故答案为：4.14.对于二次函数y＝ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是___________.解答：当x＝1时，y＝ax2＝a，当x＝2时，y＝ax2＝4a，由a－4a＝4得：a＝－43，故答案为：－4 3 .15.写出抛物线y＝12x2与抛物线y＝－12x2的一条共同特征是_________________________.解答：均以y轴为对称轴，故答案为：以y轴为对称轴.16.若二次函数y＝ax2的图象经过点P（－2，4），则当x＝2时，y＝______.解答：将P（－2，4）代入y＝ax2得：(－2)2a＝4，解得：a＝1，∴y＝x2，∴当x＝2时，y＝4，故答案为：4.17.抛物线y＝－3x2的对称轴是_______________，当x____________时，抛物线上的点都在x轴的下方.解答：抛物线y＝－3x2的对称轴是y轴，当x≠0时，抛物线上的点都在x轴的下方，故答案为：y轴，≠0.18.下列函数中，具有过原点，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这两个特征的函数有 _______________.（只填序号）①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1）；③y ＝－2x +a 2（a ≠0）；④y ＝32x －a . 解答：具有过原点，且当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这两个特征的函数有：①y ＝－ax 2（a ＞0）；②y ＝(a －1)x 2（a ＜1），故答案为：①②.三、解答题19.已知函数y ＝(m +3)232m m x +-是关于x 的二次函数.（1）求m 的值；（2）当m 为何值时，该函数图象的开口向下？（3）当m 为何值时，该函数有最小值？（4）试说明函数的增减性.解：∵函数y ＝(m +3)232m m x +-是关于x 的二次函数，∴232230m m m ⎧+-=⎨+≠⎩，解得：124,13m m m =-=⎧⎨≠-⎩， ∴当m ＝－4或m ＝1时，原函数为二次函数；（2）∵函数图象的开口向下，∴m +3＜0，∴m ＜－3，∴当m ＝－4时，该函数图象的开口向下；（3）∵该函数有最小值，∴m +3＞0，∴m ＞－3，∴当m ＝1时，该函数有最小值；（4）①当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；②当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小.20.已知，二次函数y ＝x 2与一次函数y ＝2x +3的图象交于A 、B 两点.（1）请根据上述要求在下面的平面直角坐标系中画出图象；（2）求△AOB的面积.解：（1）画函数图象如下：（2）由图象可知：A（－1，1），B（3，9），设直线y＝2x+3与y轴交点为C，则点C（0，3），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝12×3×1+12×3×3＝32+92＝6.21.如图，已知直线l过A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为4.5，求a的值.解：设点P的坐标为（x，y），直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（4，0），B（0，4）分别代入y＝kx+b，得k＝－1，b＝4，故y＝－x+4，∵△AOP的面积为4.5＝12×4×y，∴y＝94，再把y＝94代入y＝－x+4，得x＝74，∴P（74，94），把P（74，94）代入到y＝ax2得：a＝3649.22.如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）.（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；（2）求点C的坐标；（3）求△COB的面积.解：（1）设直线的函数表达式为y＝kx+b，∵A（2，0），B（1，1）都在直线y＝kx+b上，∴201k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：12kb=-⎧⎨=⎩，∴直线AB的解析式为y＝－x+2；∵点B（1，1）在y＝ax2的图象上，∴a＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2；（3）由22y x y x=-+⎧⎨=⎩得：24x y =-⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩， ∵点C 在第二象限，∴点C 的坐标为（－2，4），∴S △COB ＝S △AOC －S △OAB ＝12×2×4－12×2×1＝3， 即△COB 的面积为3.23.甲是某段河床横断面的示意图.查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：x /m5 10 20 30 40 50 y /m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5甲 乙 （1）请你以上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，尝试在图乙所给的直角坐标系中画出y 关于x 的函数图象；（2）猜想出用x 表示y 的二次函数的关系式；（3）当水面宽度为36m 时，一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m 的货船能否在这个河段安全通过？为什么？解：（1）画出y 关于x 的函数图象如下：（2）猜想：y＝1200x2；（3）当水面宽度为36m时，相应的x＝18，则y＝1200x2＝1200×182＝1.62，即此时河段的最大水深为1.62m，∵货船吃水深为1.8m，而1.62m＜1.8m，∴当水面宽度为36m时，该货船不能通过这个河段.。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。
下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。
一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。
2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。
3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。
4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。
5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。
二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。
2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。
新沪科版九年级上册初中数学 21-2-2二次函数的图形与性质 教学课件
第三页，共二十页。
新课导入
前面我们已经学习了二次函数y=ax2的图象和性质，同 学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、
顶点坐标、最值、以及增减性吗？今天我们将学习只有二次项和
常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质.
随x的增大而增大，因为x1= >0，x2=2>0，x1<x2，所以y1<y2，又
所以点C(
，y3)到对称轴的距离大于点B(2，y2)到对称轴的距离
，所以y2<y3，所以y3>y2>y1.
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课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与系数a,b,c及b2-4ac的符号之间的关系:
y=ax2+bx+c (a≠0)
配方试试
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化成 y=a(x+h)2+k形式.
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新课讲解
结论
几何性质：
（1）抛物线y＝ax2＋k开口方向由a决定，当a>0时
，开口向上，当a<0时，开口向下；
（2）对称轴是y轴；
（3）顶点坐标是（0，k）；
（4） 决定了抛物线的开口大小.
a
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新课讲解
练一练
1 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数
是( ) C
A．3
B．2
C．1
D．0
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新课讲解
知识点2 二次函数y=ax2+k的性质 思考： 观察二次函数y＝2x2－1与y＝2x2+1的图象，当x＜0
21.2二次函数的图象和性质5
练习：
1．抛物线y=－3（x-2）2的开口______，对称轴______、顶点坐 标是__________； 2．将函数y＝6x2向右平移2个单位后所得到的抛物线解析式 ____________． 3.将抛物线y＝－(x+5)2向左平移2个单位后，得到的抛物线解析 式为____________． 4.写出一个顶点是（7，0），形状、开口方向与抛物线y＝－5x2 都相同的二次函数解析式___________________．
出这两条抛物线
的特点吗？
－4
－2 －2
24
－4
y 1 x 12
－6
2
y 1 x 12
2
可以看出，抛物线 y 1 x 12的开口向下，对
2
称轴是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它
记作直线x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y 1 x 12
2
的开口向___下______，对称轴是_____直__线__x__=__1___，顶点
小结：二次函数y=a（x+ｈ）2的图像和性质
y＝a(x+ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点 增减性
h<0
h>0
开口向上
h<0 h>0
开口向下
|a|越大，开口越小
直线ｘ＝-ｈ
(-ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
当x<-h时，y随x的增大而减小 当x<-h时，y随x的增大而增大 当x>-h时，y随x的增大而增大 当x>-h时，y随x的增大而减小
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、二次函数的一般形式二次函数是一种形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a eq0。
二、二次函数的图像1.抛物线二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2.判别法利用二次函数的判别式 $\\Delta = b^2 - 4ac$ 的正负性可以确定二次函数的图像开口方向和与x轴的交点情况。
3.最值点二次函数的顶点为抛物线的最值点，当a>0时，最小值在顶点处取得；当a<0时，最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为 $-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
三、二次函数的性质1.对称轴二次函数的对称轴为直线 $x = -\\frac{b}{2a}$，即抛物线关于对称轴对称。
2.单调性当a>0时，二次函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
3.零点二次函数的零点为方程f(x)=0的解，可以利用求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求得。
4.图像的平移如f(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为平移后的顶点坐标，抛物线上下平移，方向与a的正负有关。
四、应用二次函数在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
例如几何问题中的抛物线轨迹、物体自由落体运动方程、经济学中的成本、收益关系等均可用二次函数描述。
结语二次函数作为高中数学中重要的函数类型，在图像和性质上有着独特的表现，通过对其图像和性质的深入理解，可以更好地应用于解决实际问题。
希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握二次函数的知识。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中常见的一种函数类型，其图像呈现出特定的形状和性质。
本文将介绍二次函数的图像特点，探讨二次函数的性质以及解释这些性质的意义。
一、二次函数的图像特点1. 平移和伸缩：二次函数的图像可以通过平移和伸缩来改变其位置和形状。
一般二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
当a>0时，图像开口向上，当a<0时，图像开口向下。
参数b控制了二次函数图像的水平位置，参数c则控制了图像的垂直位置。
2. 对称性：二次函数的图像具有关于直线x = -b / (2a)的对称性。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴将图像分成两个完全对称的部分。
3. 顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点。
对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点，对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))。
4. 零点：二次函数与x轴交点的坐标称为零点。
零点是二次函数的解，即f(x) = 0的解。
二次函数可以有两个、一个或零个零点，取决于判别式D = b^2 - 4ac的值。
二、二次函数的性质1. 单调性：开口向上的二次函数在对称轴的两侧是单调递增的，开口向下的二次函数在对称轴的两侧是单调递减的。
对于开口向上的二次函数，当x趋于正无穷时，函数值也趋于正无穷；当x趋于负无穷时，函数值也趋于负无穷。
对于开口向下的二次函数，情况相反。
2. 极值：二次函数的最小值（开口向上）或最大值（开口向下）即为顶点的纵坐标，其横坐标为对称轴的横坐标。
3. 范围和值域：对于开口向上的二次函数，其值域为[y, +∞)，其中y为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，其值域为(-∞, y]，其中y为顶点的纵坐标。
4. 最大值或最小值：当a>0时，开口向上的二次函数不存在最小值；当a<0时，开口向下的二次函数不存在最大值。
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抛物线
1 y x2 2
1 y ( x 1) 2 1 2
1 y x
有什么关系?
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 -2 y ( x 1) 2 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y x y x 1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y 1 ( x 1) 2 1 -8 2 1个单位 -9 -10
二次函数y=a(x+h)2 +k的图象和性质
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。 K>0 上移 y=ax2 K<0 下移 左加 y=ax2 右减 y=a(x+h)2 y=ax2+k
1 2 y ( x 1 ) 1的图像.指出它的开口 例3.画出函数 2
方向、顶点与对称轴、 解: 先列表
直线x=−h
由h和k的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
当x=−h时,最小值为k.
当x=−h时,最大值为k.
观察二次函数 在同一直角坐标系中的图象，思考这三条抛物线 有什么关系？
1 1 2 1 2 2 y ( x 1 ) 1 y x , y x 1, 2 2 2
形状相同， 开口方向相同. 顶点不同， 对称轴不同.
1 y ( x 1) 2 1 2
1 2 y x , 2
1 2 y x 1, 2
1 1 2 2 y ( x 1 ) 1 ？ y x 抛物线 怎样移动就可以得到抛物线 2 2
1
y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 y ( x 1) 2 1
2
再描点、连线
1 (1)抛物线 y ( x 1) 2 1 2
的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 抛物线 y ( x 1) 1 2 的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线
y=a(x+h)2+k(a>0)
（−h，k）
直线x=−h
由h和k的符号确定
y=a(x+h)2+k(a<0)
（−h，k）
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
练习
8、说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
2 2
开口向上 对称轴是x=-3 顶点是（-3，5）
2
开口向下 对称轴是x=1 顶点是（1，-2）
2
（3）y （ 4 x 3） 7；（4）y （ 5 x 2） 6.
平移方法2:
x=－1
1 1 2 向左平移 1 2 2 向下平移 y ( x 1 ) 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1个单位
一般地,抛物线y=a(x+h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x +h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
开口向上 对称轴是x=3 顶点是（3，7） 开口向下 对称轴是x=-2 顶点是（-2，-6）
你认为今天这节课最需要 掌握的是 ________________ 。
作业：P14 5、（3）
驶向胜利的 彼岸
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
再描点画图.
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
平移方法: y=ax2向左(右)平移 y=a(x+h)2 向上(下)平y=a(x+h)2+k |h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x+h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位
各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移
y = a( x + h )2 + k
C(3,0=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标
直线x=－3 (－3,5) 直线x=1 (1,－2)
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
向下
向上 向下
直线x=3
直线x=2
(3,7)
(2,－6)
y=－5(2－x)2－6
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
3、如何平移：
3 y ( x 1) 2 4
3 y ( x 1) 2 2 4
3 y ( x 3) 2 3 4
3 y ( x 5) 2 2 4
4、抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0）， 则a= 。 5、设抛物线的顶点为（1，-2），且经过 点（2，3），求它的解析式。 6、抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移 2个单位得到的抛物线是 。 7、抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 。
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x + h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地，抛物线 y = a(x+h)2+k 与y = ax2形状相同，位置不同。
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中 心竖直安装一根水管.在水管的顶端 安装一个喷水头,使喷出的抛物线形 水柱在与池中心的水平距离为1m处 达到最高,高度为3m,水柱落地处离 池中心3m,水管应多长? 解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y B(1，3) 是图中这段抛物线的顶点. 因此可 3 设这段抛物线对应的函数是 A y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 2 ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 O 3 2 y=－4 (x－1) ＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.